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8/18/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I.pdf

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CAPÍTULO 1

TENSIÓN


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Hoy trataremos algún aspecto del diseño

de una vasija o depósito de pared delgada(t/r


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4/398

F 0=∑

M 0=∑

F3

F1 ∆S

∆f

n

S

dS

f d

S

f

s

rrr

=

→ ∆

∆

∆ 0

limσ

CONCEPTO DE VECTOR TENSIÓN

Unidades: N/m2=Pa

Como en la práctica 1 Pa es de pequeñamagnitud, utilizaremos, en general, MPa

F3

F2F1

π


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Area= A/cosθ

θ

A

P

Area= A/cosθ

θ

A

P

Tensiones en una barra sometida a una carga de tracción

P P P P

G

Demos un corte a la barra por una sección que forma un ángulo

θ con el plano vertical

La resultante de la distribución de tensiones debe ser horizontaly pasar por el c.d.g. de la sección transversal de la barra


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Area= A/cosθ

θ

A

P

Area= A/cosθ

θ

A

P

x

y

x

y

θ

P N

V

( )

0sincos

090coscos0

=++−

=−++−=∑

θ θ

θ θ

V N P

or

V N P

F x

( )

0cossin

090sinsin

0

=−

=−−

=∑

θ θ

θ θ

V N

or

V N

F y

En realidad, las fuerzas N y V serán las resultantes de una distribución detensiones, las cuales las supondremos uniformes sobre la sección de corte

Planteando el equilibrio:


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θ

P N

V

θ

P N

V θ

θ

sin

cos

P V

P N

=

=

Área de la sección de corte:θ cos

A Area =

Como, por definición, latensión es fuerza divididapor área:

( )θ θ σ 2cos12

cos2 +== A

P

A

P

θ θ θ τ 2sin2cossin A

P

A

P

==

θ

P θ

P σ

τ

Por tanto:


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σ es máxima cuando θ es 0° ó 180°τ es máxima cuando θ es 45° ó 135° maxmax 2

1 σ τ =

A

P =maxσ

A

P

2max =τ

-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

Angle

S t r e s s / ( P / A )

σ

τ

T e n

s i ó n

( / σ 0

)

Ángulo θ

A

P =maxσ

0


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El signo de la tensión tangencial τ cambia cuando el ánguloθ es mayor de 90°

Nótese que: τ (θ )= -τ (90 ° +θ )

θ

P


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VASIJAS ESFÉRICAS A PRESIÓN

σ π rt 2

t

pr

2=σ

pr

2

π

Fuerza ejercida porla presión interna:

Fuerza ejercida porla tensión actuante:

De la igualdad entreambas, resulta:

r

r

t

σ

σ

p


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σ

σ

σ

Estado tensional en un punto de la vasija

Puntoelástico

t

pr

2=σ

¡ σ es mucho mayor que p !


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VASIJAS CILINDRICAS A PRESIÓN

D i r e c c

i ó n l o n

g i t u d i n a l

Dirección circunferencial

r

t

σh

σhσa

σa

Punto elástico


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Cálculo de la tensión longitudinal:

art σ π 2


pr 2

π Fuerza ejercida porla tensión actuante:

De la igualdad entreambas, resulta:

t

pr a

2

=σ

r t

Punto elástico

p

σa

σa


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Cálculo de la tensión circunferencial:

rlp2


Fuerza ejercida por

la tensión actuante:

hlt σ 2De la igualdad entre

ambas, resulta:

t

pr h =σ

r

t

l l

p

σh

σh


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Estado tensional en los puntos de la vasija cilíndrica:

¡ σh es mayor que σa, y ambas son mucho mayores que p !

t

pr h =σ

t pr a 2=σ


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a

a

σh=2σa

Forma de rotura másprobable


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Ejemplo: Determinar el espesor t de la vasija de la figura, realizadacon acero inoxidable austenítico, sabiendo que su radio es r y que

contiene un gas a una presión p. Considérese un coeficiente de seguridad γ.

Tensión máxima:

t

pr máx=σ


19/398


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Los elementos estructurales, olos componentes de máquinasdeben ser diseñados demanera tal que las tensiones

que se producen en su senosean menores que laresistencia del material.

El factor de seguridad tiene encuenta, principalmente:•Las incertidumbres de los valoresde las propiedades del material

•La incertidunbre del valor de lascargas actuantes•La incertidumbre del análisis•El comportamiento a largo plazo delelemento estructural•La importancia del elementoconsiderado en la integridad de laestructura de la que forma parte

Lógicamente el factor de seguridaddebe ser una cantidad mayor que launidad

COEFICIENTE DE SEGURIDAD

admisibletensión

resistenciaCoeficiente de seguridad

adm

R ===

σ

σ γγ

En vasijas a presión, γ suele oscilar entre 4 y 8


21/398


22/398

PERO, EN LA REALIDAD, NOS ENCONTRAREMOS

CON ESTRUCTURAS DE MAYOR COMPLEJIDAD,TANTO DE FORMA COMO DE ESTADO TENSIONAL


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TENSOR DE TENSIONES

x

y

z

P

x

y

z

P

x

y

z

P

σz

τzy

τzx

x

y

z

P

σz

τzy

τzx

σ

σy

x

y

z

P

τyz

τyx

x

y

z

P

σx

τxz

τxy

σy

x

y

z

P

τyz

τyx

σy

x

y

z

P

τyz

τyx

x

y

z

P

σx

τxz

τxy

x

y

z

P

σx

τxz

τxy

σ’σ’’


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P

z

y

x

0 τzx

τzy

τxz

τxyτyx

τyzτzx

τzy

σz

σy

σx

dx

dz

dy

σzdy

PUNTO ELÁSTICO TRIDIMENSIONAL

σ


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xeje caraslasenopuestasyiguales tensiones0 x ⊥⇒=∑ σ x F yeje caraslasenopuestasyiguales tensiones0 y ⊥⇒=∑ σ y F zeje caraslasenopuestasyiguales tensiones0 ⊥⇒=∑ z z F σ

zy zy yz x dz dxdydydxdz M τ τ τ τ =⇒=⋅−⋅=∑ yz 0 0 xz xz zx y dxdydz dz dxdy M τ τ τ τ =⇒=⋅−⋅=∑ zx 00

yx yx xy z dydxdz dxdydz M τ τ τ τ =⇒=⋅−⋅=∑ xy 00

P

z

y

x

0 τzx

τzy

τxz

τxyτyx

τ

yzτ

zx

τzy

σz

σy

σx

dx

dz

dy

σzdy


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La igualdad entre las tensiones tangenciales,actuando sobre planos ortogonales entre sí,puede demostrarse, por ejemplo, estableciendoel equilibrio de un pequeño paralelepípedo deespesor dz. Apliquemos la fuerza Vx:

V x=τ yxdxdz

x

y

dx

dy


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El equilibrio requiere que,

sobre la cara inferior, actúe

una fuerza igual y de signo

contrario, lo que producirá

un par:

Este par debe estar equilibrado por

otro (antihorario) consecuencia de

dos fuerzas verticales Vy actuando

sobre las caras verticales:

V x=τ yxdxdz

x

y

V y=τ xydydz

V x=τ yxdxdz

x

y

V x=τ yxdxdz

M z

=V x

dy=τ yx

dxdydz

dy


28/398

( ) ( ) xy yx

xy yx dxdydz dydxdz τ τ

τ τ =

=

Utilizando: ∑ = 0 z M

obtenemos:

Conclusión:Si sobre un plano en las proximidades de un punto, existe

una tensión tangencial, sobre un plano ortogonal al anteriordebe existir una tensión tangencial del mismo valor.

V x=τ yxdxdz

x

y

V y

=τ xy

dydz

dy

dx


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Teniendo en cuenta que, sobre cada una de las caras

del paralelepípedo infinitesimal considerado (punto elástico),actúan tres componentes del vector tensión correspondiente,se obtendrían, en total, 18 valores de los que sólo hay6 valores diferentes entre sí, a saber:

x y z yz zx xy , , , , ,σ σ σ τ τ τ

En un sólido, estas componentes, serán funciones continuas

de las coordenadas cartesianas del punto x,y,z.

( ) ( ).......,,,,, z y x z y x xy xy x x

τ τ σ σ ==


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ΩΩΩ=Ω∗ d+d+: zxxy nmd l d x Eje x x τ τ σ σ

ΩΩΩ=Ω∗ d+d+: yzy nmd l d y Eje xy y τ σ τ σ

ΩΩΩ=Ω

∗

d+d+: zyz nmd l d z Eje zx z σ τ τ σ

TENSIONES ACTUANDO EN UN PLANO CUALQUIERAz

y

x

τzx

τzy

τxz

τxyτyx

τyz

σ∗z

σy

σx

σz

σ∗y

σ∗x

C

B

A

P

π

u = l i + m j + n k

k ji * z * y

* x

*rrrr

σ σ σ σ ++=


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TENSOR DE TENSIONES(o Tensor de Cauchy)

Augustin-Louis CAUCHY

(1789-1857)

σx∗

σy∗

σz∗

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

′σ[ ]{

=

σx τxy τzx

τxy σy τyzτxz τyz σz

⎛

⎝

⎜

⎜⎜ ⎠

⎟

⎟⎟

T[ ]1 244 344

l

mn

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

rn[ ]{

[ ] [ ] nT rr

=∗

σ

u

u

*


32/398

( ) k ) z , y , x( Z j ) z , y , x( Y i ) z , y , x( X z , y , x f vrrrr

++=

FUERZAS INTERNAS POR UNIDAD DE VOLUMEN

y

x

z

dV f F d V ⋅= rrintdV

Fuerza interna, porunidad de volumen


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Ejemplo 2: sólido en movimiento (fuerzas de inercia)

k z j yi xadV adm f v

r&&

r&&

r&&rr

r

++−=×−=×−= ρ ρ /

z z y x Z y z y xY x z y x X &&&&&& ρ ρ ρ −=−=−= ),,(,),,(,),,(

Ejemplo 1: sólido sometido a la acción de la gravedad segúnel eje y

X(x,y,z) y Z(x,y,z) serían nulas y la función Y(x,y,z)= - ρ g

( ) j g z y x f vrr

ρ−=,,y

x

z


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ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO

x x x dx

x

∂σ′σ = σ +

∂

xy xy xy

zxzx zx

dx x

dx x

∂τ′τ = τ + ∂

∂τ′τ = τ +

∂dx

´


35/398

τyx

σy

τyz

σy

τyx

τyz

´

´

´

σz

τzxτzy

σz

τzx

τzý´

X +∂σx∂x

+∂τxy∂y

+∂τzx∂z

= 0

Y + ∂τxy∂x

+ ∂σy∂y

+ ∂τyz∂z

= 0

Z +∂τzx

∂x+∂τyz

∂y+∂σz

∂z= 0


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ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO

Sobre la superficie exterior del sólido (contorno) pueden, o no,actuar tensiones que, directamente, se apliquen al sólido

Ω Ω d f F d contorno ⋅=rr

z

y

x

dΩ

Fuerza, por unidad

de superficie, en elcontorno

FUERZA, POR UNIDAD DE SUPERFICIE, QUE ACTÚA SOBRE EL CONTORNO

( ) ( ) ( ) k z , y , x Z j z , y , xY i z , y , x X f

rrrr

++=Ω


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σ

σ

P

Q

x

y

P

σ

j f

rr

σ Ω =

Q 0 f

rr

=Ω

EJEMPLO:


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Y, sin embargo, en los puntos muy próximos a la superficie del sólidopueden existir tensiones internas.

En un punto P próximo al contorno del sólido, deberá existir equilibrio entrelas tensiones y las fuerzas, por unidad de superficie, aplicadas.

x

y

zk n jmil urrrr

++=

Ωf

r

τyxσ

y

τyz

σz

τzx

τzy

σxτ

xy

τzx

nml X zx xy x τ τ σ ++=

nml Y yz y xy τ σ τ ++=nml Z z yz zx σ τ τ ++=

Ecuaciones de equilibrio

en el contorno:

Contorno delsólido

P


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CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA

[ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

T tensor de tensiones en P referido al sistema x, y,z

T tensor de tensiones en P referido al sistema x , y ,z

R matriz del cambio de ejes

u = componentes de un vector unitario respecto al sistema x, y,z

u c

=

′ ′ ′ ′=

=

′ =

r

romponentes de un vertor unitario respecto al sistema x , y ,z′ ′ ′

RTRT

RTRTT

T

=

′


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x

y

x

y

x’

y’

θ

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

θ θ

θ θ R

cossen

sencos

CASO BIDIMENSIONAL:

σ ’y


41/398

σ x’ σ y’ τ x’y’

σ x

σ y

τ xy

x

y

x’y’

θ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′

′

′

xy

y

x

22

22

22

y x

y

x

sencoscos sencos sen

cos sen2cos sen

cos sen2 sencos

τ

σ

σ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

τ

σ

σ


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TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

Sea un sólido sometido a un sistema de cargas, P unpunto cualquiera del sólido (punto genérico) y [T] elcorrespondiente tensor de tensiones afecto a dicho punto.¿existirá algún plano, que pase por las proximidades

(a distancia infinitesimal) del punto P, tal que el vectortensión correspondiente, sea ortogonal a dicho plano(es decir, que el vector tensión no tenga componente según

el plano o, lo que es lo mismo, que sobre dicho plano noactúa ninguna tensión tangencial)?

n

df

σu

df σ

τ=0

, ,


43/398

[ ] [ ] [ ] T u′σ = rr

[ ] [ ]u′σ = σ rr

[ ] [ ] [ ]0 I- =uT r

σ

Vector tensión en una dirección cualquiera:

Vector tensión en la dirección que buscamos:

k n jmil u

rrrr

++=

( )

( )( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−−

=++−

0=n+m+l0=n+m+l

0

zyz

yzy

σ σ τ τ

τ σ σ τ

τ τ σ σ

zx

xy

zx xy x nml

( ) ⎫


44/398

0=σ σ τ τ

τ σ σ τ

τ τ σ σ

−−

−

z yz zx

yz y xy

zx xy x

( )

( )( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−−

=++−

0=n+m+l0=n+m+l

0

zyz

yzy

σ σ τ τ

τ σ σ τ

τ τ σ σ

zx

xy

zx xy x nml

Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial:

σ3 − I1 σ2 + I2 σ − I3 = 0

1 x y z

2 2 2

2 x y y z z x yz zx xy

3

I

I

I T

= σ + σ + σ

= σ σ + σ σ + σ σ − τ − τ − τ

=

Ecuación característica: Invariantes:


45/398

Tensiones principales

max int minσ σ σ ≥ ≥

321 σ≥≥

σmax

σmax

σ

min

σ

min

σ

int

σ int

Direcciones y tensiones principales:


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Direcciones y tensiones principales:

σ1 0 0

0 σ2 0

0 0 σ3

⎛

⎝

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟

Tensor de tensiones:

I1 = σ1 + σ2 + σ3I2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1I3 = σ1σ2σ3

Invariantes:

1

2 2 22

2 2 23 2

x y z

x y x z y z xy xz yz

y z xy xz yz x yz y xz z xy

I

I

I

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ τ τ τ

σ σ σ τ τ τ σ τ σ τ σ τ

= + +

= + + − − −

= + − − −

Las tensiones tangencialessobre los planos principalesson nulas

σ1

z

y

x

σ2

σ3


47/398

TENSIÓN HIDROSTATICA Y TENSIONES DESVIADORAS

3331321

cahidrostati I

p z y x =

++=

++==

σ σ σ σ σ σ σ

4 4 4 34 4 4 21434214 4 34 4 21desviadoracomp.

zyzzx

yzyxy

zxxyx

cahidrostaticomp.tensionesdetensor

'

''

+

00

0000

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

p

p

p

z yz zx

yz y xy

zx xy x

p p p z z y y x x −=−=−= σ σ σ σ σ σ ' ; ' ; '

( )27 2792

3

0

321

3

13

21

22

1

I I I I J

I I J

J

+−=

−=

=Invariantes del tensor desviador:


48/398

yy


49/398

P

n σ∗ σ∗∗+

x

y

P

n σ∗ σ∗∗+

P

nn σ∗ σ∗∗+σ∗σ∗ σ∗∗σ∗∗+

x

y

¿Cuál es el lugar geométrico delextremo del vector tensión total,correspondiente a dicho punto,cuando variemos el ángulo θ ?

θ σ

θ σ

cos

sen

1

2

⋅

⋅

y

x

11

2

2

2=

σ σ y x

Coordenadas del extremo del vector tensión:

CASO TRIDIMENSIONAL:


50/398

xy

z

⎛

⎝

⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ =

σ1 0 00 σ2 0

0 0 σ3

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

lm

n

⎛

⎝

⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ →

x = σ1 ly = σ2 m

z = σ3 n

⎫⎬⎪

⎭⎪

x2

σ12 +

y2

σ22 +

z2

σ32 = 1

CASO TRIDIMENSIONAL:

I1=Suma de las longitudes

de los tres semiejes del elipsoide

I2 =proporcional a la suma de lasáreas de las tres elipses queintercepta el elipsoide con losplanos principales

I3 =proporcional al volumen del

elipsoide

σ

σ

2

σ

3

EL CIRCULO DE MOHR: APLICACION A SITUACIONES


51/398

Otto MOHR (1835-1918)

BIDIMENSIONALES

-Tensiones normales: positivas si son de tracción-(negativas si fueran de compresión)- Tensiones tangenciales:

+ -


52/398

σyτxy

σxτθ

θ

u

y

x

σn

Signos a considerar para la construccióndel círculo de Mohr:- La tensión normal será positivasi es de tracción

- La tensión tangencial es positiva si,desde el centro del punto elástico,produjera un giro en sentido horario

τ > 0

τ

σn >0 TRACCION

u


53/398

x x xy

y xy y

cos

sen

∗

∗

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ σ τ θ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ τ σ θ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

θ

2 2

n x xy y

y x

xy

cos sen2 sen

sen2 sen2 cos22 2

σ = σ θ + τ θ + σ θ

σστ = θ − θ − τ θ

σy

τxy

σxτ

θθ

u

y

x

σn

⎡ ⎤


54/398

x y x y

n xy

x y

xy

cos2 sen22 2

sen2 cos22

⎡ ⎤σ + σ σ − σ

σ − = θ + τ θ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

σ − στ = θ − τ θ

que corresponden a la ecuación de una circunferencia

(en un plano cuyos ejes fueran σ y τ (Plano de Mohr)de centro:

(σ x +σ y )/2

y radio:

14

(σ x−σ y )2 +τ xy

2

Existe una correspondencia biunívoca entre cada direcciónid l t lá ti t di


55/398

que consideremos en el punto elástico en estudio y un

punto del círculo de Mohr correspondiente a ese puntoelástico: a cada dirección que pasa por las proximidadesdel punto P le corresponde un punto del círculo de Mohr cuya abcisa es la componente normal del vector tensión

que actúa sobre la dirección considerada y cuya ordenadaes la componente tangencial de dicho vector tensión

Una vez dibujado elcírculo de Mohr, puedenobtenerse, por ejemplo,los valores de las tensionesprincipales así como lasdirecciones sobre lasque actúan.

σ

τ

C⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +0

2,

y x σ

xy x τ−,

xy y τ,

( )τ σ −,2θ

( )max

( )max

σ

σ

PASOS PARA EL DIBUJO DEL CÍRCULO DE MOHR


56/398

A

B

A

B

C

A

B

C

AB

OBTENCIÓN DE LAS TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES


57/398

Dirección

principal 1

Direcciónprincipal 2

Planoprincipal 1

Planoprincipal 2 x

y

σ1

σ2

σxσx

σy

σy

τxy

y

x

σ

τ

σ1σ2

σx

σy

2

y x σ+

ε

τxy

τxy

τmax

PROPIEDADES CIRCULO DE MOHR:


58/398

Obtención del Polo del Círculo de Mohr:


59/398

x

y

(σx,-τxy)

(σy,τxy)

σ

τ

POLO

Otros aspectos del círculo de Mohr.


60/398

Otros aspectos del círculo de Mohr.

A (σ,τ)

B

C

σ

A

σ τθ

σ

τθ

Direcciones en las que elángulo del vector tensióncon la normal al plano sobreel que actúa es máximo

σ

τ

¿A qué dirección representa el POLO del círculo de Mohr?


61/398

(σx,-τxy)

(σy,τxy)

σ

τ

POLO

SOFTWARE DISPONIBLE EN LA RED


62/398

http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html

http://www.eng.usf.edu/~kaw/software/

http://www.umoncton.ca/turk/CdeMohr.xls

TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS(Problemas bidimensionales)


63/398

( )

σΙΙΙ=0

σΙΙ

σΙ

x

y

z

σΙΙΙ=0

σΙΙ

σΙ

σΙΙΙ=0

σΙΙ

σΙ

x

y

z

σΙ

σΙΙ

σΙ

σΙΙ

σΙ

σΙΙ

σ

τ

σΙσΙΙτmax

σ

τ

σΙσΙΙτmax 2

max II I σ σ

τ −

=

σΙ

Dirección de σIII

σΙ

Dirección de σIII

σ

τ

σΙ

σΙΙΙ=0

τmax

σ

τ

σΙ

σΙΙΙ=0 σ

τ

σΙ

σΙΙΙ=0

τmax

2max

I σ

τ =

σ

τ

σΙ

σΙΙΙ=0σΙΙ

τmax

σ

τ

σΙ

σΙΙΙ=0σΙΙ

τmax

2max

II σ τ =

I II I IImax Máximo de , ,

2 2 2

⎛ σ −σ σ σ ⎞τ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

σΙΙ

Dirección de σIII

TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS


64/398

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−=

2,

2,

2deMáximo 323121max

σ σ σ σ σ σ τ

TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS

(Problemas tridimensionales)

Más, en la web, sobre círculo de Mohr:


65/398

http://www.engin.umich.edu/students/support/mepo/ELRC/me211/mohr.html

, ,


66/398

CAPÍTULO 2

DEFORMACIÓN

Al aplicar cargas a un sólido, éste se deforma.


67/398

Vamos a suponer que, las deformaciones que se producen dentro

del sólido son “pequeñas”de manera tal que, la geometría del sólido

antes y después de deformarse es, a efectos prácticos, la misma.

Sólido deformadoSólido sin deformar


68/398

∆xx = posición geométrica

u = desplazamiento experimentado


69/398

( ) PQ

PQQ P lim P x

x

−=

∗∗

→∆ 0ε

( )[ ] ( )[ ]PuxQuxxOPOQQP +−+∆+=−= ∗∗∗∗

( ) ( ) uPuQuPQQP ∆=−=−∗∗

( ) P

0 x x

dxdu

xulim P ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ == → ∆

∆ε ∆

Configuración

sin deformar

Configuración

deformada


70/398

s

s s

A B ∆∆−∆

=→

*lim

nalong

( )

1

1

−

∆

∆≈

∆+≈∆

s

s

s s

*

*

a lo largo de n

Sólido

no deformado

Sólido

deformado

A

B

n

∆s

A*

B*

∆s*


71/398


72/398

∗∗∗

→→ −= R P QánguloQPRánguloγ

P R

P Q P lim

∗∗∗

→

→ −= R P Qánguloπ γ

P R

P Q P 2

lim

Configuración

sin deformar

Configuración

deformada

Las tensiones tangenciales actuando en un punto elástico


73/398

son la causa de aparición de las deformaciones angulares.Estas deformaciones no llevan aparejadas alargamientoso acortamientos del punto elástico sino que, simplemente,distorsionan su geometría.

τ yx

x

y

τ xy

τ yx

x

y

τ xy

2

γ

2

γ

γ

π

−2

γ

π

+2

Considerando un punto elástico (dimensiones infinitesimales), podemosdeterminar sus dimensiones finales así como los ángulos girados por sus lados


74/398

xy

π

−2

yz

π

−2

zx

π

−2

(1+εx)dx (1+εy)dy (1+εz)dz

Punto elásticoantes de deformarse:

Punto elástico

deformadoy

x

z

dxdy

dz

εydy

εzdz

2 / yz

CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS (u,v,w)


75/398

DENTRO DE UN SÓLIDO

z

y

x

j

i

k P

Q

P*

Q*δQ

δP

d r d r *

0

P P*

Q Q*

Vector desplazamiento en P = PP* = δP

Vector desplazamiento en Q = QQ* = δQ

k w jviuPrrrr

++=δ

k w jviuQ

rrrr

''' ++=δ

u=u(x,y,z)

v=v(x,y,z)

w=w(x,y,z)

Funciones

continuas de

x,y,z


76/398

Descomposición de la matriz [M]rr


77/398

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

z

w

y

w

x

w z

v

y

v

x

v z

u

y

u

x

u

M

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂

[ ] [ ]4 4 4 4 4 4 4 4 34 4 4 4 4 4 4 4 214 4 4 4 4 4 4 4 34 4 4 4 4 4 4 4 21

simétrica Dicahemisimétr W

z

w

z

v

y

w

z

u

x

w

y

w

z

v

y

v

y

u

x

v

x

w

z

u

x

v

y

u

x

u

z

v

y

w

z

u

x

w

y

w

z

v

y

u

x

v

x

w

z

u

x

v

y

u

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

=

P

Q

P*

Q*δQ

δP

d r d r *

[ ] r d MPQr

rr

+δ=δ

[ ] [ ]( ) r d DWPQr

rr

++δ=δ

d

r

r∗ = dr

r +r

δQ −r

δP[ ] [ ] r d Dr d Wr d r d rrrr ++=∗

[ ] [ ]( ) [ ] r d Dr d WIr d rrr

++=∗

Descomposición de movimientos


78/398

a) Traslación de definida por

b) Giro definido por la matriz hemisimétrica

c) Deformación definida por la matriz

→∗

→

→ 1QPPQ

→∗

→∗ → 21 QPQP

→∗∗

→∗ → QPQP 2


79/398

Los pasos a) y b) son comunes (traslación + giro) paratodos los puntos del entorno del punto P, por lo que noproducen variación relativa alguna (deformación) de las

distancias entre el punto P y dichos puntos. Sólo el pasoc) es el que produce deformaciones en el entorno delpunto P y el tensor correspondiente, que admite unarepresentación a través de la matriz [D] respecto alsistema de coordenadas que estamos empleando,se denomina Tensor de Deformaciones

INTERPRETACION FISICA DE LAS COMPONENTES DEL


80/398

TENSOR DE DEFORMACIONES

εx = ∂u

∂x

, εy = ∂v

∂y

, εz = ∂w

∂z

,

γ xy = ∂u∂y

+ ∂v∂x

, γ xz = ∂u∂z

+ ∂w∂x

, γ yz = ∂v∂z

+ ∂w∂y

D[ ]=

εxγ xy2

γ xz2

γ xy2

εy γyz

2γ xz2

γyz2

εz

⎡

⎣

⎢

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥

⎥⎥⎥

dyy

u

∂∂


81/398

tgα = α = ∂v∂x

tgβ = β = ∂u∂y

⎫⎬⎪

⎭⎪

⇒ γ xy = α +β = ∂u∂y

+ ∂v∂x

x

y

P A

B

P*A*

B*

vudy

dx

dxxv∂∂

xd x

uu

∂∂

+

dyy

vv

∂∂

+

α

β

DEFORMACIONES EN UNA DIRECCION CUALQUIERAr


82/398

Vector deformación unitaria: ε

[ ] [ ] [ ] [ ] u Ddr r d D

r r lim D

r r Dlim 0r 0r

v

rrr

r

==== →→∆∆

∆∆ε ∆∆

π

Componentes intrínsecas de :ε r


83/398

Deformación longitudinal unitaria, εn, definida como:

[ ]( )

lnmnlmnml

uuD=u=usobre. proy

xzyzxy

2

z

2

y

2

xn

n

γ+γ+γ+ε+ε+ε=ε

⋅⋅⋅εε=ε rrrrrr

Deformación angular unitaria:

n /2γ2n

2n

2

4

1γ ε ε +=

Relación:

[ ] u D vr

=ε

DIRECCIONES PRINCIPALES E INVARIANTES¿Para qué direcciones el vector deformación es perpendicular al plano correspondiente?

y yDirección 2


84/398

⇓

=−

TICACARACTERISECUACION 0 I D ε

0322

13 =−+− I I I ε ε ε

u

yx xy yx xy γ γ ε ε 2

1

2

1===

0

r

r

rr

u I D

uu D

ε

ε

γ xy/ /2

γ xy/ /2

γ xy/ /2γ xy/ /2

x

x

Dirección 1

0322

13 =−+− I I I ε ε ε


85/398

21

2

1

21

2

1

21

2

1

I

zyz

xzx

zyz

yzy

yxy

xyx

2 εγ

γε+

εγ

γε+

εγ

γε=

I zyx1 ε+ε+ε=

DI3 =

(Invariante lineal)

(Invariante cuadrático)

(Invariante cúbico)

TENSOR DE DEFORMACIONES EXPRESADO


86/398

⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

00

0000

ε

ε ε

EN EJES PRINCIPALES

3213

3132212

3211

ε ε ε

ε ε ε ε ε ε ε ε ε

=

++=++=

I

I I

Invariantes:

RELACIÓN ENTRE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES DE TENSIÓNY DEFORMACIÓN:


87/398

Para un sólido con comportamiento isótropo elástico lineal:

Si τ es cero, γ es también nula: Las direcciones principales de tensiónCoinciden con las de deformación.

G

τ γ =

σmax, εmax

σmin, εmin

σint, εint

DEFORMACIONES VOLUMETRICA Y DESVIADORA


88/398

inicial Vol.

inicial Vol.- final Vol.eV =

Volumen inicial= dx.dy.dzVolumen final= dx ⋅ dy ⋅dz ⋅ 1 + εx( )1 + εy( )1+ ε z( )=

dx ⋅ dy ⋅dz ⋅ 1 + εx + εy + εz + εx εy +.......

[ ]( z y xV εεεe ++= = I 1

=


89/398

4 4 4 4 34 4 4 4 21

4 4 34 4 21

4 4 4 4 34 4 4 4 21

desviadoraComp

z yz xz

yz y xy

xz xy x

avolumetricComp

V

V

V

ndeformaciodeTensor

z yz xz

yz y xy

xz xy x

εγγ

γεγ

γγε

e

e

e

εγγ

γεγ

γγε

.

.'

2

1

2

12

1

' 2

12

1

2

1'

00

00

00

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

V z z V y yV x x

z y xV

eeee

−=−=−= ++= ε ε ε ε ε ε ε ε ε

' ;' ;'

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD

( ) k)(j)(i)(

rrrr

δ


90/398

( ) k ) z , y , x( w j ) z , y , x( vi ) z , y , x( u z . y. x ++=δ Las tres funciones u,v,w (campo de desplazamientos) no pueden expresarsearbitrariamente en función de x, y, z, sino que tendrán que verificar unasdeterminadas relaciones para que los campos de desplazamientos y de

deformaciones que experimenta el sólido sean físicamente posibles.

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂

∂−∂

∂+∂

∂⋅∂∂=

∂⋅∂∂⋅

∂⋅∂∂=

∂∂+

∂∂

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂⋅

∂∂

=∂⋅∂

∂⋅

∂⋅∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−⋅

∂

∂=

∂⋅∂

∂⋅

∂⋅∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

z y x z y x z x x z

z y x y x z z y y z

z y x x z y y x x y

xy xz yz z xz z x

xy xz yz y yz z y

xy xz yz x xy y x

γ

γ

γ

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

;

;

;

CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA (2D)Conocidas las componentes del tensor de deformaciones( ε x ,ε y ,γ xy /2 ) en un punto referidas a un sistema cartesiano

d f i x y l l t d


91/398

de referencia x,y, veamos cuales son las componentes dedicho tensor respecto de otro sistema cartesiano x’,y’tal que, el su eje x’, forma un ángulo θ. Llamemos ( ε x’ ,ε y’ ,γ x’y’ /2 ) a las componentes respecto del nuevo sistema de referencia.

x

σ x’ σ y’ τ x’y’

σ x

σ y τ xy

y

x’y’

θ

/ 2y’x’ / 2x’

yy’


92/398

( ) θ γ θ ε ε γ

θ γ θ ε ε ε ε ε

θ γ

θ ε ε ε ε

ε

2cos2sen

2sen2

2cos22

2sen2

2cos22

''

'

'

xy y x y x

xy y x y x

y

xy y x y x

x

+−−=

−−−+=

+−

++

=

γ x’y’ / 2

γ x’y’ / 2

γ y’x’ / 2

γ y’x’ / 2

x

CIRCULO DE MOHR EN DEFORMACIONESγ/2γ/2

2

4

2''

2

2' R

y x y x

x ⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛ + γ ε ε

ε


93/398

εε

42 R x =+⎟⎟ ⎠⎜⎜⎝ −ε

42

R

2 xy

2

y x γ ε ε +⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ −=

τ yx

x

y

τ xy

2

γ

2

γ

τ xy

τ xy

CRITERIO DE SIGNOS:

y


94/398

εx

εy

γxy

x

y

ε

γ/2

Dirección y

Dirección x

ε1ε2


95/398

CAPÍTULO 3

COMPORTAMIENTO

MECÁNICO DE MATERIALES

“ut Tensio sic Vis”

ENSAYO DE TRACCIÓN


96/398

Probeta plana

Probeta cilíndrica

0 A FS

A = área de la sección transversal del fuste de la probeta

Tensión ingenieril


97/398

0l l e ∆

A0 área de la sección transversal del fuste de la probeta

Deformación ingenieril

A F

σ

A = área real de la sección transversal del fuste en unmomento dado

Tensión verdadera

l dl d ε

Deformación infinitesimal verdadera

0ln l l ε

e yeS 1ln1 ε σ

¿Qué forma tienen las curvas tensión ingenieril-deformación?


98/398

Deformación

T e n s i ó n

Hormigón Acero

Deformación

T e n s i ó n

u

y

u

ε ε

σ σ

εy

La curva tensión-deformaciónTensiones importantes que aparecen en la curva.

• Límite elástico (σy) – a partir de este punto el material deja det lá ti t i d d i t


99/398

(σy) p p jcomportarse elásticamente, apareciendo, caso de incrementarla tensión, deformaciones remanentes en el material

• Tensión última o resistencia a tracción (σu) – a partir de estepunto, se produce inestabilidad (estricción)

• Tensión de rotura (σR )

σ

ε

σuσR σy

Estricción

Curva tensión-deformación (ingenieril)

3Resistenciaa tracción =E

estricción


100/398

Deformación (∆L/Lo)

41

2

5

T e n s i ó n

( F / A )

Dominio

Elástico

DominioPlástico

Endurecimientopor deformación

Rotura

a tracción

p e

n d i e

n t e =

Dominio elástico

pendiente=módulo de Younglímite elástico

Dominio plástico

tensión última (estricción)

endurecimiento por deformaciónrotura

Límiteelástico

uσ

yσ

εEσ =

( )

E2y ε ε

σ

=

= y

Curva tensión-deformación (cont)

• Dominio elástico (Puntos 1 –2)


101/398

Dominio elástico ( )- Una vez retirada la tensión, el material recupera

su forma geométrica original

- Existe proporcionalidad entre tensiones ydeformaciones

: Tensión (MPa)

E : Módulo de elasticidad (Módulo de Young) (MPa): Deformación (adimensional)

σ

ε

- Punto 2 : Límite de fluencia: a partir de este punto,si cesa de actuar la tensión, la probeta sufre deformaciones

permanentes. (Si se sobrepasara este punto, la probeta

no recuperaría sus dimensiones originales)

εEσ =ε

σE =ó

Dominio plástico (Puntos 2 –3)Si la tensión s pera el límite elástico el material no rec perará



102/398

p ( )- Si la tensión supera el límite elástico, el material no recuperará

su forma original al descargar.

- Aparecen deformaciones permanentes.

- Si la probeta fuese descargada en el punto 3, la curva seguiríala línea que une los puntos 3 y 4 que tendría una pendiente

idéntica a la de la que une los puntos 1 y 2.

- La distancia entre los puntos 1 y 4 proporciona la deformación

permanente.

Endurecimiento por deformaciónSi la probeta fuese de nuevo cargada desde el punto 4 la



103/398

p- Si la probeta fuese de nuevo cargada desde el punto 4, la

curva sería la que une los puntos 4 y 3, y que tendría una

Pendiente idéntica al módulo de elasticidad.

- El material poseería, en el punto 3, un límite elástico mayor.- Este incremento del límite elástico aparente del material,

como consecuencia de un proceso de deformación previo, se

denomina Endurecimiento por deformación.

• Resistencia a tracción (Punto 3)



104/398

Resistencia a tracción (Punto 3)- En este punto comienza el fenómeno de estricción

en el fuste de la probeta.• Rotura (Punto 5)- Si el material sigue siendo cargado, la tensión ingenieril

parece decrecer (la tensión verdadera crecería), y no existeen la probeta un estado de deformación uniforme.

- La rotura física de la probeta se produce en el Punto 5.


105/398


106/398

ε E σ =Ley de Hooke

E=módulo de Young o de elasticidad

Existen materiales en los que la parte lineal de la curva

tensión-deformación no aparece.


107/398

Material E (GPa)


108/398

Material E (GPa)

Acero 210

Hormigón 25

Aluminio 70

Material Límite elástico

(MPa)

Tensión de rotura

(MPa)


109/398

(MPa) (MPa)

Acero AISI 1020 205-350 380-600

Aluminio 2024-T6 345 427

Aluminio 7076-T61 470 510

Titanio 11 (Ti-6Al-

2Sn-1.5Zr-1Mo-

0,35Bi-0,1Si)

930 1030

COMPORTAMIENTO DÚCTIL Y FRÁGIL


110/398

Dúctil

Frágil

T

e n s i ó n

Deformación

EFECTO POISSON

∆l∆R Simeon Poisson

(1781-1840)


111/398

R

R

l l

T

L

∆=

∆=

=cargaladeaplicacióndelaaortogonaldirecciónlasegúnndeformació

=cargaladeaplicacióndedirecciónlasegúnndeformació0

ε

ε

LT νε−=ε

Para la mayoría de los metales este coeficiente varía entre 0,28 y 0,32

γ

L1 L2

δ

EL ENSAYO DE CORTADURA


112/398

Q

h

δ

21 L L

Qmedia =τ

G L L

hQ

G L L

Qhh

G L L

Q

G

media

2121

21

tantan ≈==

==

γ δ

τ γ

γ τ G=

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎥

⎤

⎢⎢⎢

⎡

y

x y

x

S S S S S S S S S S S S

σ

σ ε

ε

262524232221

161514131211

ECUACION CONSTITUTIVA DE UN MATERIAL


113/398

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

zy

zx

yx

z

y

zy

zx

yx

z

S S S S S S

S S S S S S S S S S S S

S S S S S S

τ

τ τ

σ

γ

γ

γ

ε

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

2

2

2

Material con comportamiento isótropoLas tensiones tangenciales no causan deformaciones longitudinales y

las tensiones normales no causan deformaciones angulares:

S14 = S15 = S16 = S24 = S25 = S26 = S34 = S35 = S36 = 0

S41 = S42 = S43 = S51 = S52 = S53 = S61 = S62 = S63 = 0

Las deformaciones angulares sólo son causadas por las tensiones tangenciales

que actúan en el mismo plano que la deformación:

S45 = S46 = S56 = S54 = S65 = S64 = 0


114/398

la relación entre σx y εx , σy y εy , σz y εz , - es la misma:

S11 = S22 = S33

la relación entre τyx yγ yx

2 , τzx yγ zx

2 , τzy yγ zy

2 ,es la misma:

S44 = S55 = S66

si la que la influencia de σy sobre εx es la misma que la de , etc...σz

S12 = S13 = S21 = S23 = S31 = S32

⎤⎡⎤⎡⎥⎤

⎢⎡ x

SSS σε

000


115/398

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣ zy

zx

yx

z

y

x

zy

zx

yx

z

y

S S

S

S S S

S S S

S S S

τ τ

τ

σ

σ

σ

γ

γ

γ ε

ε

44

44

44

111212

121112

121211

0000000000

00000

000

000

000

2

2

2

LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS


116/398

E

E

E=

E

E

E=

E

E

E

z

y

y

z

X

Xz

z

x

y

x

X

Xy

z

z

y

y

X

X

σν−=εσν−=εσν−εν−=ε

σν−=ε

σν−=ε

σν−εν−=ε

σ=εσ=εσ=ε

=

DEFORMACIONES ANGULARES

σ σ σ σ 0 zyx ≡==


117/398

( )

( )σ

ν ε

σ ν

ε

σσσσ

E

+1=

E

+1-=

0z

y

x

y x

γγπ

ε+

ε+==⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ γ+π

∗

∗

1

1

1

OA

OB

24tg

x

yy

γ/2

B*

B


118/398

( ) ( ) τν+=σν+=γ

⇓

ε+

ε+=

γ−

γ+

=γπ

−

γ+

π

E

12

E

12

1

1

21

21

2tg

4tg1

2tg

4tg

Despejando

x

y

4 4 34 4 21

xo45º

A* A

G γ = τ

G =E

2 1 + ν( )

( )EE ZYX

X σ+σ

ν

−

σ

=ε

LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS


119/398

( )

( )

G

G

G

EE

EE

zyzy

zxzx

yxyx

yx

z

z

Zx

y

y

τ=γ

τ=γ

τ=γ

σ+σν

−σ

=ε

σ+σν

−σ

=ε

xvx

G2 G2e

λε+λ=σ

ECUACIONES DE LAMÉGabriel Lamé

(1795-1870)


120/398

zyzy

zxzx

yxyx

zvz

yvy

G

G

G

G2e

G2e

γ=τ

γ=τ

γ=τε+λ=σ

ε+λ=σ

zyxve ε+ε+ε= ( )( ) ( )νν−νν

λ+12

E=G

21+1

E=

DEFORMACIÓN VOLUMÉTRICA

p 0 inicial VolumenV =


121/398

Módulo de deformación volumétrica, K :

V V

p K

/∆=

V

p

V 00

0

V V V

final VolumenV

−=∆

=

Para materiales metálicos:

E K E G ≈≈≈

8

3

3

1ν


122/398

CAPÍTULO 4

PLANTEAMIENTO GENERALDEL PROBLEMA ELÁSTICO

INCÓGNITAS Y ECUACIONES DEL PROBLEMA ELÁSTICO

Incógnitas: Desplazamientos (u,v,w), Tensor de tensiones (σx,σy,σz,τxy,τxz,τyz)y Tensor de Deformaciones (εx,εy,εz,γxy,γxz,γyz) ¡15 incógnitas!Ecuaciones:


123/398

∂τ∂σ ∂τ+ + + =

∂ ∂ ∂

∂τ ∂σ ∂τ+ + + =

∂ ∂ ∂∂τ∂τ ∂σ

+ + + =∂ ∂ ∂

xy x xzX 0 x y z

xy y yzY 0

x y z

yz xz zZ 0 x y z

∂γ ∂γ⎧ ⎫∂ ε ∂γ∂ ⎪ ⎪= − + +⎨ ⎬

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭

∂ ε ∂γ ∂γ⎧ ⎫∂γ∂ ⎪ ⎪= − +

⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭

∂γ ∂γ⎧ ⎫∂ ε ∂γ∂ ⎪ ⎪= + −⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭

2 yz xy x xz2 y z x x y z

2 y yz xy xz2

z x y x y z

2 yz xy z xz2

x y z x y z

∂ γ ∂ ε∂ ε= +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ γ ∂ ε ∂ ε= +

∂ ∂ ∂ ∂∂ γ ∂ ε ∂ ε

= +∂ ∂ ∂ ∂

2 22 yz y z

2 2 y z y z

2 2 2zx x z

2 2z x z x2 2 2

xy y x2 2 x y x y

σ νε = − σ + σ

σ νε = − σ + σ

σ νε = − σ + σ

x ( ) x y zE E

y ( )

y x zE E

z ( )

z x y E E

γ = τ

γ = τ

γ = τ

/G xy xy

/Gzx zx

/G yz yz

σ = λ + ε

σ = λ + ε

σ = λ + ε

e 2G x v x

e 2G y v y

e 2Gz v z

τ = γ

τ = γ

τ = γ

G xy xy

Gzx zx

Gzy zy

Ecuaciones:

Equilibrio interno: Compatibilidad:

Constitutivas:

ó ¡15 ecuaciones!

FORMULACION EN DESPLAZAMIENTOS:ECUACIONES DE NAVIER:

Claude Louis

Marie Henri

NAVIER (1785-1836)Incógnitas: Los desplazamientos u,v,w en

cualquier punto del sólido


124/398

cualquier punto del sólido

∂+ λ + δ + ∆ =∂

∂+ λ + δ + ∆ =

∂

∂+ λ + δ + ∆ =∂

r

r

r

X ( G) (div ) G u 0 x

Y ( G) (div ) G v 0 y

Z ( G) (div ) G w 0z

+ λ + δ + ∆δ =

r r rr r

f ( G) gra d (div ) G 0v

Ecuación fundamentalde la Elasticidad:

k w jviu

rrrr

++=δ donde:

FORMULACION EN TENSIONES:ECUACIONES DE MICHELL Y BELTRAMI

John Henry MICHELL

(1863-1940)

Incógnitas: Las tensiones σ x,σ y,σ z,τ xy,τ xz,τ yzen cualquier punto del sólido


125/398

σ∂ ν ∂∆σ + = − −

+ ν − ν ∂∂σ∂ ν ∂

∆σ + = − −+ ν − ν ∂∂

σ∂ ν ∂∆σ + = − −+ ν − ν ∂∂

r

r

r

2I1 X1 div f 2 x v21 1 x x

2I1 Y1 div f 2 y v21 1 y y

2I1 Z1 div f 2z v21 1 zz

σ∂ ∂ ∂∆τ + = − +

+ ν ∂ ∂ ∂ ∂

σ∂ ∂ ∂∆τ + = − +

+ ν ∂ ∂ ∂ ∂σ∂ ∂ ∂

∆τ + = − ++ ν ∂ ∂ ∂ ∂

2I1 Y Z1 ( ) yz 1 y z z y

2I1 Z X1 ( )zx 1 z x x z

2I1 X Y1 ( ) xy 1 x y y x

Ecuaciones de Michell:

en cualquier punto del sólido

Ecuaciones de Beltrami: Eugenio BELTRAMI

(1835-1900)

Vf = constante


126/398

V f = constante

σ∂+ ν ∆σ + =

∂σ∂

+ ν ∆σ + =∂

σ∂+ ν ∆σ + =

∂

2I1(1 ) 0

x 2 x2I

1(1 ) 0 y 2 y

2I1(1 ) 0

z 2z

σ∂+ ν ∆τ + =

∂ ∂σ∂

+ ν ∆τ + =∂ ∂

σ∂+ ν ∆τ + =∂ ∂

2I1(1 ) 0

yz y z2I

1(1 ) 0zx z x

2

I1(1 ) 0 xy x y

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

x


127/398

F

Consideremos un muelle sometido a una fuerza F.F es proporcional al desplazamiento x: F=k.x

Determinemos el trabajo realizado por la fuerza cuando F= Fo:

oo x F W 2

1=

Esta energía (trabajo) es almacenada por el muelle y liberadacuando la fuerza cesa de actuar.

Si repitiéramos la misma experiencia con una barra:


128/398

= +∆

== = ⋅ = ∆∫l l l

o oo ol lo

1U F dl F l2

Trabajo realizado por la fuerza externa (U) =Energía potencial almacenada en el sólido

Elongación

C a

r g a

F0

∆l0

Trabajoexterno

F

∆l0

l

Area = AVolumen = Al0

o oF A= σ

l l∆00

2

1 Al U ε σ =

= +∆

== = ⋅ = ∆∫l l l

o oo ol lo

1U F dl F l

2


129/398

F

l0

Deformación

T

e n s i ó n

F0/A

∆l0 /l0

Densidad

de energía dedeformación,

ωE

o ol l∆ = ε 00

2

densidad de energía ω =energía elástica almacenadapor unidad de volumen:

1

2ω = σε

Como Eσ = ε2

21 E2 2E

σω = ε =

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR CORTANTEENERGÍA DE DEFORMACIÓN

ya

Consideremos un cubo de material

sometido a una tensión cortante τ que


130/398

xaa

sometido a una tensión cortante τxy quecausa una deformación angular γxy

y

x

( ) ( ) 322

1

2

1aaaU xy xy xy xy γ τ γ τ =⋅⋅=

δ = γxya

τxy

xy xy xy xy aa γ τ γ τ ω 2

1/

2

1 33 ==

γxy

DENSIDAD DE ENERGÍA (CASO GENERAL)

( )γτγτγτεσεσεσω +++++1


131/398

( ) xz xz yz yz xy xy z z y y x x γ τ γ τ γ τ ε σ ε σ ε σ ω +++++=

2

( ) ( ) ( )2222222

1

2

1 xz yz xy x z z y y x z y x

G E E τ τ τ σ σ σ σ σ σ

ν σ σ σ ω +++++−++=

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2V x y z xy yz xz1 1

e G G2 2

ω = λ + ε + ε + ε + γ + γ + γ

V x y ze = ε + ε + ε

0ω ≥

Expresando las deformaciones en función de las tensiones (Leyes de Hooke):

Expresando las tensiones en función de las deformaciones (Ecuaciones de Lamé):

Solución 1 Solución 2σ τ' ' σ τ'' ''

UNICIDAD DE LA SOLUCION DE UN PROBLEMA ELASTICOConsideremos un sólido sobre el que actúan fuerzas internas (X,Y,Z) por unidad

de volumen y fuerzas sobre su contorno (X,Y,Z). Supongamos que existen dos

soluciones diferentes:


132/398

σ τ,......., ,......... x xy σ τ,......., ,......... x xy

Ecs. Equil ibrio interno Ecs. Equil ibrio interno(Solución 1) (Solución 2)

0=+++ z xz '

y

xy'

x x' X

∂

∂τ

∂

∂τ

∂

∂σ 0=+++

z xz ' '

y

xy' '

x x' ' X

∂

∂τ

∂

∂τ

∂

∂σ

.....................

.....................

.....................

.....................Ecs. Equilibrio contorno Ecs. Equilibrio contorno

(Solución 1) (Solución 2)

n xz ' m xy' l x' X τ τ σ ++= n xz ' ' m xy' ' l x' ' X τ τ σ ++=

.....................

...............................................................

+ Ecs. Compatibilidad + Ecs. Compatibilidad(Solución 1) (Solución 2)

0=−+−

+−

z

) xz ' ' xz ' (

y

) xy' ' xy' (

x

) x' ' x' (

∂

τ τ ∂

∂

τ τ ∂

∂

σ σ ∂

0)'''()'''()'''( =−+−+− n xz xz m xy xyl x x τ τ τ τ σ σ

.....................

.....................

.....................

Restando las ecuaciones anteriores:


133/398

+ 6 Ecs. Compatibilidad que contienen ε x'

− ε x''

,.........,γ xy

'

− γ xy''

,..........

.....................

El resultado que hemos obtenido es equivalente a decir que se ha encontrado unanueva distribución tensional (diferencia entre los estados tensionales de lassoluciones 1 y 2), que verifica todas las ecuaciones del problema elástico, para elcaso de que el sólido se encuentre libre de cargas actuantes sobre él (fuerzasinternas y de contorno nulas). Esto implica que el trabajo realizado por tales fuerzases nulo, ya que las fuerzas actuantes resultan ser nulas y, por tanto, la energíaelástica almacenada, o su correspondiente densidad de energía, debiera sertambién nula, por lo que:

0)2,,,2,,,2,,,(21)2,,,2,,,2,,,(2,,,

21 =++++++= xz yz xyG z y xGve γ γ γ ε ε ε λ ω

.,.........'''''',,.........'''''' xy xy xy x x x γ γ γ ε ε ε −=−=Donde:

.,.........'''0''',,.........'''0''' xy xy xy x x x γ γ γ ε ε ε =⇒==⇒=

''',.......,''' xy xy x x τ τ σ σ ==


134/398

¡no pueden existir dos soluciones distintas para un mismo problema elástico!

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

z


135/398

y

x ESTADO 1 ESTADO 2

σ' x ...............τ' xy ..................

ε' x ................γ ' xy ...................

σ' 'x ...............τ' ' xy ..................

ε' ' x ................γ' ' xy ...................

ESTADO 1+2

σx = σ' x +σ' ' x ............... τxy = τ' xy +τ' ' xy ...............

εx = ε'x +ε' ' x ................γ xy = γ ' xy +γ' ' xy ...............

EJEMPLO:


136/398

q q

SAINT VENANT

(1797-1886)

PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

F1 F2

F3

F4

F5

Supongamos un mismo sólido sometido, en las mismasregiones, a dos sistemas de cargas mecánicamente

equivalentes:


137/398

Principio de Saint-Venant: los estados tenso-deformacionales producidos por ambossistemas de cargas en cualquier punto del sólido suficientemente alejado de la zona en

la que se aplican ambos sistemas (a distancias muy grandes en relación con las propiasdimensiones de la zona de la superficie sobre la que actúan el sistema de cargas 1 óel 2), son, a efectos prácticos, idénticos.

Md

F

ESTADOS TENSO - DEFORMACIONALES IDENTICOSSI M = F.d


138/398

CAPITULO 5

ELASTICIDAD PLANA

Supongamos el sólido de la figura, que posee forma cilíndrica con sus generatricesparalelas al eje z, y que se encuentra sometido a la acción de las cargas indicadas.El valor de dichas cargas es independiente de la coordenada z, así como sus

componentes en dicha dirección (fuerzas distribuidas y de superficie paralelas alplano x-y).

y


139/398

Las ecuaciones de la Elasticidad, y la correspondiente solución del problema,

se pueden plantear utilizando, solamente, las coordenadas (x,y).

z

x

σy

τ

xy

y


140/398

σxσx

σy

τxy

τxy

τxy

dx

dy

x

Tensiones en el plano x-y

v

x

u

εx

∂∂

∂

=


141/398

x

v

y

uγ

y

vε

xy

y

∂∂+∂

∂=

∂

∂

=

Deformaciones en el plano x-y

¿Y qué tensiones y deformaciones aparecen en un planoperpendicular al eje z?

Muchos problemas de elasticidad bidimensional se resuelvenhaciendo una de estas dos hipótesis:


142/398

0

0

0

z

zx

yz

=

=

=

DEFORMACIÓN PLANA0

0

0

z

zx

yz

=

=

=

TENSIÓN PLANA

TENSIÓN PLANA: Sólo son distintas de cero las componentes, en elPlano, del tensor de tensiones.

Componentes tensionales no nulas: xy y x τ σ σ ,,dAh

y

xy


143/398

Hipótesis:- h


144/398

Hipótesis:- w=0-Las dos caras del sólido no sufrendesplazamientos según z- Las fuerzas interiores por unidad de volumeny las aplicadas en el contorno perimetral delsólido no dependen de la coordenada z- u,v son funciones de sólo x e y

dA

x

y

z

x

xy

y

x

xy

xy

z

dA

1) Un estado tensional en el que la tensión normal y las tensionestangenciales actuantes sobre las caras de la pieza son nulas.

2) Si x-y es el plano del sólido bidimensional, las únicas componentes del

TENSIÓN PLANA


145/398

tensor de tensiones no nulas son: σx,σy ,τxy

3)Las componentes: σz ,τxz ,τyz serían nulas

u = u(x,y)

v = v(x,y)

w ≠ 0

D[ ]=

εxγ xy

2 0

γ xy2 εy 0

0 0 εz

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

T[ ]=σx τxy 0

τxy σy 0

0 0 0

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

Desplazamientos Tensor de deformaciones Tensor de tensiones

DEFORMACIÓN PLANA1) Un estado deformacional en el que la deformación longitudinal y lasdeformaciones angulares correspondientes a un plano paralelo a la sección

transversal de la pieza son nulas.

2) Si x-y es el plano de la sección transversal de la pieza las únicascomponentes del tensor de deformaciones no nulas son: εx , ε y , γxy


146/398

p x y γxy

3) Las componentes : εz , γxz , γyz serían nulas.

u= u (x,y)

v= v (x,y)

w=0

T[ ]=σx τxy 0

τxy σy 0

0 0 σz

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Desplazamientos Tensor de deformaciones Tensor de tensiones

D[ ]=

εx

γxy

2 0

γxy

2 εy 0

0 0 0

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

DEFORMACIÓN PLANA:

Ecuaciones de equilibrio interno:

Ecuaciones de equilibrio en el contorno:

0=++ y x

X xy x

∂

∂τ

∂

∂σ

0=++ y x

Y y xy∂ ∂σ

∂ ∂τ

X = l σx +m τxy ⎫


147/398

Ecuaciones de compatibilidad:

Ecuaciones constitutivas:

x xy

Y = l τxy + m σy

⎫⎬⎭

∂ 2εx∂y2+∂2εy∂x2=∂2γ xy∂x∂y

y x z z

z x y y

z y x x

E E

E E

E E

σ σ ν

σ ε

σ σ ν

σ ε

σ σ ν

σ ε

10

1

1

y x z σ σ ν σ

εx =1

E1− ν2( )σx − ν 1+ ν( )σy[

εy =1

E 1− ν2

( )σy − ν 1+ ν( )σx[

γ xy =τxy

G

∆ σx + σy( )= −1

1 − ν∂X∂x+∂Y∂y

⎝⎜ ⎞

⎠

TENSIÓN PLANA:

Las Ecuaciones de equilibrio interno y de equilibrio en el contorno son las mismasque en el caso de deformación plana. Las Ecuaciones de compatibilidad son:

∂ 2εx∂y2+ ∂

2εy∂x2= ∂

2γ xy∂x∂y

∂ 2εz∂ 2= 0⎧

⎪


148/398

Ecuaciones constitutivas:

∂y20

∂ 2εz∂x2= 0

∂ 2εz∂x∂y = 0

⎨

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

εx =σx − νσy

E

εy = σy − νσxE

γ xy =τxy

G

Estas tres ecuacionesno se han utilizado.La ecuación deducidaes sólo aproximada.

∆ σx + σy( )= − 1 + ν( ) ∂X∂x+∂Y∂y

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

∆ σx + σy( )= −1

1 − ν∂X∂x+∂Y∂y

⎛⎝⎜ ⎞

⎠

∂X ∂Y⎛⎜ ⎞⎟

TENSIÓN PLANA:

DEFORMACIÓN PLANA:


149/398

∆ σx + σy( )= − 1 + ν( ) ∂X

∂x +

∂Y

∂y

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Aspectos de interés:- Sólo una propiedad del material interviene en estas ecuaciones (el coeficiente

de Poisson, ν)- Si la fuerza por unidad de volumen que actúa sobre el sólido fuese constante(por ejemplo, la de la gravedad), las dos ecuaciones anteriores se convertiríanen la siguiente:

∆ σx + σy( )= 0

Sir George Biddell Airy(1801-1892)

FUNCION DE TENSIÓN O DE AIRY

La función de tensión de Airy permite una fácil resolución de los problemaselásticos bidimensionales. Una vez conocida esta función, que la representaremos

por φ(x,y) por ser función de estas dos coordenadas, pueden obtenerse lastensiones mediante un proceso de derivación de la misma.


150/398

FUNCION DE TENSIÓN O DE AIRY

∂τ∂σ+ + =∂ ∂

xy xX 0

x y ∂τ ∂σ+ + =∂ ∂

xy y Y 0

x y

Ecuaciones de equilibrio interno (X e Y son valores constantes):

224

2

2

2

2

2

y x y x y x

xy y x

∂∂∂=

∂⋅∂∂−=

∂∂=

∂∂ φ τ σ σ

Derivando respecto de x

Derivando respecto de y


151/398

σx =∂2φ∂y 2

σy =∂2φ∂x2

τxy = -∂2φ∂x∂y

- Xy - Yx

Si definimos una función φ (función de tensión o de Airy) de la que se pudiese obtener las tensiones actuantes en el sólido, de tal manera que:

∆ σx + σy( )= 0 ⇒ ∂2

∂x2+∂2

∂y 2

⎝⎜

⎠⎟∂2φ∂y2+∂2φ∂x2

⎝⎜

⎠⎟ = 0

∂4

φ∂x4+ 2 ∂

4

φ∂x2∂y 2

+ ∂4

φ∂y 4= 0 ó ∆2φ = 0

para que estas tensiones fuesen la solución de un problema plano, se tendría que cumplir:

¡La función φ debe ser biarmónica!

Baise Pascal(1623-1662)

FORMAS POLINÓMICAS DE LA FUNCIÓN DE AIRY

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1


152/398

1 No interesan: x y no dan lugar a tensiones

x 2 xy y2 Funciones

x

3

x

2

y xy

2

y

3

biarmónicasx4 x 3y x2 y2 xy 3 y 4 Funciones

x5 x4y x3y 2 x2 y3 xy4 y5 biarmónicas con solucionescondiciones

1 No interesan: x y no dan lugar a tensiones

x 2 xy y2 Funciones

x

3

x

2

y xy

2

y

3

biarmónicasx4 x 3y x2 y2 xy 3 y 4 Funciones

x5 x4y x3y 2 x2 y3 xy4 y5 biarmónicas con solucionescondiciones biarmónicas con condiciones

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

φ = ax2 + bxy + cy2

y y

a ≠ 0 b=c=0 b ≠ 0 a=c=0

POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO

b

a2

c2

x

y

x

−=

=

=

τ

σ

σ


153/398

σ

y

y

x

2c 2c

c ≠ 0 a=b=0

x

2a

2a

x

b

b

c2 x =σ

POLINOMIO DE TERCER GRADO

φ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3

σx=6dy+2cx

σy = 6ax + 2by

τxy = −2bx − 2cy

⎫

⎬⎪

⎭⎪


154/398

x

y

x

y

x

y

+ x

y

00 ===≠ cbad 00 ===≠ d cba

00 ===≠ d cab

x

y

x

y

x

y

+ x

y

00 ===≠ cbad 00 ===≠ d cba

00 ===≠ d cab

xy y⎭

POLINOMIO DE CUARTO GRADO

φ = ax4 + bx3y + cx2y 2 + dxy3 + ey4

∆2φ =

∂ 4φ∂x4+ 2

∂ 4φ∂x2∂y 2

+∂4φ∂y4= 24a + 8c + 24e = 0


155/398

3a + c + 3e = 0 ⇒ c = -3(a + e)POLINOMIO DE QUINTO GRADO

φ = ax5 + bx 4y + cx3y2 + dx 2y3 + exy 4 + fy 5

∆2φ = 120a+ 24e + 24c( )x + 120f + 24b + 24d( )y = 0

5a + e + c = 0

5f + b + d = 0⎫⎬⎭

CURVAS CARACTERISTICAS EN ELASTICIDAD PLANA

ISOSTÁTICAS Curvas envolventes de las tensiones principales

σx

σx

σy

τxy

τxyθ

Ι

2θ

τ

σΙ

(σx , τxy)

El ángulo θ que forma la direcciónprincipal mayor con el eje x será:

tg 2θ =2τxyσ σ

=2 tg θ1 tg

2θ


156/398

σy

xy

(σx , −τxy)

σx − σy 1-tg θ

tg θ =∂y∂x

∂y∂x⎛⎝ ⎞ ⎠

2

+σx − σy

2τxy

∂y∂x⎛⎝ ⎞ ⎠−1= 0

∂y∂x= −σx − σy

2τxy±

σx − σy2τxy

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

+1

↓

Las dos familias de isostáticas

Puntos singulares:

-Punto singular, circular o isotrópo

σx = σy τxy = 0- Punto neutro

σx = σy = τxy = 0


157/398

x y xy

En las proximidades de estos punto singulares, las isostáticas puedentomar estas formas:

TIPO INTERSECTIVO

TIPO ASINTOTICO

120 MPa

60 MPa

x

y

60º

A

B

C

D

5 0

c m

120 MPa

60 MPa

x

y

60º

A

B

C

D

5 0

c m

60 MPa

x

y

60º

A

B

C

D

5 0

c m

EJEMPLO:


158/398

50 cm50 cm50 cm

x

y

A

B C

D

9,5º

Isostáticas tipo II

Isostáticas tipo I

x

y

A

B C

D

9,5º

Isostáticas tipo II

Isostáticas tipo I

ISOCLINAS: Lugar geométrico de los puntos en los que lastensiones principales son paralelas a una dirección prefijada,y que se denomina parámetro de la isoclina.

tg 2θ =2τxyσ σ

= cteθ


159/398

σx− σ

y

ISOSTATICAISOCLINA DE

PARAMETRO θ

Las propiedades de las isoclinas son las siguientes:- Todas las isoclinas pasan por un punto isotrópo.- Sólo puede pasar una isoclina por un punto que no sea isotrópo.- Una isoclina de parámetro θ es idéntica a otra de parámetro- Si un sólido tiene un eje de simetría, y está simétricamente cargado respecto

a dicho eje, el eje de simetría es una isoclina.- En un borde sobre el que no actúan tensiones tangenciales, el parámetro de

una isoclina que lo corta, coincide con el del ángulo de inclinación de latangente al borde en el punto de corte.

θ ±π2

CURVAS DE TENSION TANGENCIAL MAXIMA: envolventes de lasdirecciones en las que la tensión tangencial es máxima en cada uno desus puntos.

σxσx

σy

τxy

τ

σ

(σx , τxy)


160/398

σy

τxy 2θ

σ

(σx , −τxy)

tg 2θ = −σx − σy

2τxy=

2tg θ1- tg2θ

,, tg θ =∂y∂x

∂y∂x⎛⎝ ⎞ ⎠

2

−

4τxyσx − σy

∂y∂x⎛⎝ ⎞ ⎠ −1= 0

∂y∂x=

2τxyσx − σy

±2τxyσx − σy

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

+ 1

↓ dos familias

ISOCROMÁTICAS: aquellas curvas en las que la diferencia entrelos valores de las tensiones principales toma un determinadovalor: σ1 - σ2 = cte

τmax =σ1 - σ2

2


161/398

ISOBARAS: lugar geométrico de los puntos en los que: σ1 = cte ó σ2 = cte

σx − σy2

±σx − σy

2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠

2

+ τxy2

= cte

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN C

elasticidad y resistencia de materiales i.pdf

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