elasticidad y resistencia de materiales flexión

Área: mecánica de medios continuos y teoría de estructuras / Universidad de Málaga

Elasticidad y resistencia de materialesFlexión



Isla en el Mur. Graz, Austria

Puente del Alamillo, Sevilla

Cubierta de la terminal T4. Aeropuerto de Barajas,Madrid

INDICE

8.1 Introducción, diagramas de vigas isostáticas.

8.2 Tensiones en la barra sometida a flexión pura.

8.3 Tensiones en la barra sometida a flexión simple.

8.4 Tensiones principales debidas a flexión simple.

8.5 Tensiones en barras curvas a flexión simple.

8.6 Dimensionamiento de barras a flexión simple.



introducción. diagramas de vigas isostáticas.

FLEXION es el estado tensional al que se halla sometida una bara prismática cuando en su sección transversal

aparecen momentos flectores.

FLEXION PURA es un caso particular de la flexión que se produce si en las secciones transversales sólo aparecen

momentos flectores.

FLEXION SIMPLE es el caso más general, cuando además de flectores aparecen cortantes a lo largo de la sección

transversal.

DIAGRAMA de esfuerzos es la representación gráfica de esfuerzos cortantes y flectores a lo largo de la barra.

En las estructuras ISOSTATICAS los esfuerzos pueden determinarse aplicando, únicamente, las ecuaciones de equilibrio. Por el contrario, en las estructuras HIPERESTATICAS han de aplicarse además las ecuaciones

de compatibilidad y comportamiento.



Mz(x) Mz(x+dx)

Vy(x)

Vy(x+dx)

q(x)

0Fy =∑0dx)x(q)dxx(V)x(V yy =−+−

)x(dV)x(V)dxx(V yyy +=+

0dx)x(q)x(dVy =−−

)x(qdx

)x(dVy −=

cte)x(V0)x(q y =⇒=

0Mz =∑

[ ] 02dx)x(qdx)x(dV)x(V

)dxx(M)x(M2

yy

zz

=+++

++−

)x(dM)x(M)dxx(M zzz +=+

0dx)x(V)x(dM yz =+−

)x(Vdx

)x(dMy

z =

cte)x(M0)x(V zy =⇒=

Mz(x1)Mz(x2)Vy(x1)

Vy(x2)

q(x)

y

x

dx


Sólo se va a considerar FLEXION PLANA: la viga se mueve en el plano OXY y sólo se consideran las fuerzas en las direcciones de los ejes contenidos en el plano (OX y OY) y los momentos perpendiculares al plano de trabajo (OZ), por tanto los esfuerzos a los que está sometida la barra son N, VY y MZ. En flexión sólo se estu-dian VY y MZ que, por simplicidad, se notarán V y M.




Considérese la viga biapoyada de la figura, sometida a una carga concentrada:

Esquemáticamente, el proceso de obtención de diagramas es el siguiente:

1. Sustituir los apoyos por las reacciones que generan.

2. Analizar el equilibrio de conjunto: aplicar ecuaciones de equilibrio y obtener las reacciones.

3. Obtener los esfuerzos cortantes y momentos flectores en cada sección de la barra, dividiéndola en dos partes y sustituyendo una de ellas por lo que genera en la otra que son, precisamente, los esfuerzos. Pueden determinarse aplicando equilibrio en la parte de la viga que se está considerando.

a b

L

x

yP

P

YA YB

XA

A B

∑

∑

∑

=⇒=

===−+⇒=

=⇒=

0P·a-L·Y0ML

P·aY;

L

P·bY0PYY0F

0X0F

BA

BABAy

Ax

V

P�b/L

X

A

sección A, parte izquierda

·xL

P·bM0x·

L

P·bM0M

L

P·bV0V

L

P·b0Fy

==−⇒=

==−⇒=

∑

∑

P

B

sección B, parte izquierda

V

P�b/L

X( ) ·x

L

P·bM0a-xPx·

L

P·bM0M

L

P·aV0VP

L

P·b0Fy

==+−⇒=

−==−−⇒=

∑

∑

finalmente, puede utilizarse la parte derecha de la viga, entre la sección B y el apoyo derecho, para comprobar los resultados

Obviamente, los resultados son iguales si se analiza la parte derecha o izquierda de la viga. Los signos para cortante y flector que se consideran al analizar la parte izquierda serán contrarios si se analiza la parte derecha



Los esfuerzos calculados (cortantes y flectores) en toda la viga anterior ya pueden ser representados.

Sólo son necesarias algunas reglas, comúnmente aceptadas, para que la representación sea lo más uniforme y generalizada posible.

1. Se entiende que lo que se representa es una sucesión de secciónes infinitesimales de la viga (rebanadas).

2. Criterio de signos para momentos flectores: La mayoría de los manuales y progamas de cálculo coinciden en representar el momento positivo por la parte traccionada de la barra y el negativo por la parte comprimida de la misma. O si se prefiere, el momento positivo asociado a la parte inferior de una deformación cóncava y el negativo a la parte superior de una deformación convexa.

3. Criterio de signos para esfuerzo cortante: En este caso hay menos uniformidad, puede utilizarse el citerio del manuel de la asignatura.

(P�b�x)/L

(P�b)/L

(P�a)/L





Considérese la viga biapoyada de la figura, sometida a una carga distribuida de valor constante:

Esquemáticamente, el proceso de obtención de diagramas es ahora el siguiente:

1. Sustituir los apoyos por las reacciones que generan. (sustituir la carga repartida por la carga concentrada equivalente y analizar el equilibrio de la pieza; si la carga es única y constante este paso puede obviarse y analizarse por simetría)

2. Analizar el equilibrio de conjunto: aplicar ecuaciones de equilibrio y obtener las reacciones.

3. Obtener los esfuerzos cortantes y momentos flectores en una sección genérica de la barra. Si la carga no fuera constante a lo largo de toda la barra habría que estudiar cada una de las secciones características de la misma.

∑

∑

∑

=−⇒=

===−+⇒=

⇒=

02

q·LL·Y0M

2

q·LY;

2

q·LY0q·LYY0F

X0F

2

BA

BABAy

Ax

2

q·x·x

2

q·LM0

2

q·xx·

2

q·LM0M

q·x2

q·LV0Vq·x

2

q·L0F

22

x

y

−==+−⇒=

−==−−⇒=

∑

∑

En consecuancia, es posible obtener esfuerzos cortantes y momentos flectores para cualquier estado de cargas dado

L

x

yq

q�L

YA YB

XA

AL/2

2

q·LYY BA ==

(q�L²)/8

(q�L)/2

(q�L)/2

q

q�L/2

X

V

sección A, parte izquierda



relación entre las expresiones de fuerza,esfuerzo cortante y momento flector.

PUEDE DEMOSTRARSE QUE EXISTE UNA RELACION DIRECTA ENTRE LAS EXPRESIO-NES QUE DEFINEN LA FUERZA, EL ESFUERZO CONTANTE Y EL ESFUERZO FLECTOR.

Considérese la viga biapoyada de la figura, sometida a una carga distribuida de valor variable a lo largo de la coordenada x:

Si se aisla la rebanada dx ha de sustituirse el resto de la viga por sus efectos, que son momentos flectores y esfuerzos cortantes en cada sección.

x dx

x

yq (x)

Si en lugar de un elemento diferencial se hubiese aislado un solo punto la situación de equilibrio sería la misma (es decir, existirán a ambos lados de ese punto los correspon-dientes esfuerzos contantes y flectores), PERO AHORA LOS ESFUERZOS A DERECHA E IZQUIERDA DEL PUN-TO SERÁN IGUALES Y DE SENTIDO CONTRARIO.

M

q

V

M+dM

V+dV

El razonamiento es simple; Si lo que se aísla es un elemento diferencial (figura sobre estas líneas) los esfuerzos a ambos lados de esa diferencial don muy parecidos, sólo difieren una cantidad diferencial, tal y como puede verse en las expresiones a la derecha de la figura.

( )0

2

dxqV·dx-M-dMM0M

0dV-V-q·dx-V0F2

der

y

=++⇒=

=⇒=

∑

∑

V=−=dx

dM;q

dx

dVExpresiones de las que, despreciando los infinitésimos de degundo orden, pueden deducirse estas relaciones:Es decir:

La pendiente del diagrama de flectores coincide con el diagrama de cortantes.

La pendiente del diagrama de cortantes coincide con el de cargas distribuidas (o sea, de momentos flectores).

El cortante máximo aparece en el punto en el que el flector ( o sea la carga distribuida) es cero y el flector máximo en el punto en el que el cortante es cero



DeformadaCIRCULAR

Flexión PuraV(x)=0; M(x)=cte

SecciónA

SecciónB

Mz Mz

flexión Pura tensiones en la barra.

FLEXION PURA

Estado tensional generado por la existencia de cargas transversales en el que, en las secciones transversales de la barra, aparecen, solamente, momentos flectores,

siendo nulos el resto de los esfuerzos.

Se produce tan solo en casos muy concretos de geometría y cargas.

Se estudia la distribución de tensiones en una sección transversal de una barra sometida a este esquema de esfuerzos:

Para una barra que tenga un plano longitudinal de simetría en el que, además, actúen los momentos flectores, la barra se deformará en ese plano.

Como el momento flector es constante a lo largo de toda la barra, la flexión de la barra también será constante. Es decir, la curvatura de la flexión no varía a lo

largo de su longitud.

Por tanto, tras la deformación, la barra adquiere la forma de un ARCO DE CIRCUNFERENCIA.

Se admite la hipótesis de que las secciones permanecen plantas tras la deformación, pero sufrirán un giro y un desplazamiento.

Sección A==Sección A’

Sección B

SecciónB’

y

a

bc

x

dx



ρ

∆L>0

∆L=0

∆L<0

x

y

SecciónA

SecciónB

SecciónA’

SecciónB’

O

P

Q

Mz Mz

DeformadaCIRCULAR

Fibras con ∆L>0Fibras con ∆L<0

Alguna fibra ∆L=0(fibra neutra)

Como la curvatura es constante, todas las fibras longitudinales de la barra tomarán la forma de

un arco de circunferencia.

En consecuencia, habrá fibras que aumentarán su longitud y

otras que la disminuirán.

flexión Pura tensiones en la barra .

Todas las fibras describen un arco de circunferencia cuyo centro es O. El radio de curvatura de la fibra neutra es ρ



ρ

x

y

SecciónA

SecciónB

SecciónA’ Sección

B’

O

P

Q

Hipótesis desecciones planas

Sección A==Sección A’

Sección B

SecciónB’

y

a

bc

x

dx

abc ~ OPQ


Partiendo de la semejanza de estos triángulos

PQOP

cbab =

dxLy ρ=

∆

E

y xx

σερ

==

dAyE

dA0)x(N)x(A)x(A

xx ∫∫ ρ=σ== 0dAy

)x(A

=∫ = c.d.g.Fibra

neutra

zx

z

)x(A

2

)x(A

xz Iy

IE

dAyE

dAyMσ−=

ρ−=

ρ−=σ−= ∫∫ y

I

M

z

zx −=σ

Ley de Navier

Aplicando la Ley de Hooke

Y recordando que todos los esfuerzos son nulos excepto

el momento flector Mz

0y =

Y si se escribe la expresión del momento flector Mzconsiderando la relación derivada de la ley de hooke:

Que permite obtener las tensiones en la sección a partir del valor del momento flector actuante...



... e introduce el concepto de MOMENTO DE INERCIA DE LA

SECCION según un eje perpendicular al del plano de

trabajo.

En consecuencia, si el momento flector es positivo se produce tensión normal positiva por debajo de la fibra neutra y tensión normal negativa por encima de la

línea neutra, de ahí la comentada relación entre el signo del momento y la curvatura de la deformada.

Una buena representación gráfica de tensiones a lo largo de la sección sería esta:

En la que puede comprobarse que la tensión máxima aparece en los puntos más alejados de la fibra neutra.

y

x

)x(xσ

Mz(x)

z

maxz.max I

y·M=xσ

z

zmaxx W

M=σDonde la relación Iz/ymax se denomina módulo resistente de la sección y se designa por Wz, con lo que la expresión de las tensiones máximas en la sección resulta:

En consecuencia, las secciones más resistentes a flexión son aquellas en las que el módulo resistente sea muy grande. Para ello debe ser grande el momento de inercia y pequeña la ymax, pero eso no puede ser al mismo tiempo. Pero, como en definitiva, el momento de inercia aumenta con la ymax lo que interesa es

aumentar la altura de la sección.

En general, secciones grandes tendrán módulos resistentes grandes pero, a causa de la gran cantidad de material empleado, grandes pesos muertos y elevado coste. Interesan, por tanto, geometrías que dispongan de la mejor relación entre su área y su módulo resistente. Para ello es conveniente concentrar el área lo más

alejada posible de la fibra neutra.

De ahí surge el empleo de las secciones de paredes delgadas y geometría de doble “T” o “U”.




…salvo que la barra sea muy corta y tenga un canto proporcionalmente grande, claro.

Situación que ocurre en piezas de escasa longitud pero muy cargadas, en las que el efecto del cortante

resulta desastroso si no se considera.

Orientativamente:Orientativamente:

flexión Simple tensiones en la barra.

Ya se ha dicho que la gran diferencia entre la flexión pura y flexión SIMPLE es la aparición del

ESFUERZO CORTANTE

El efecto del constante en la sección de la barra es complejo pero, en síntesis, puede afirmarse que las tensiones tangenciales que lo desencadenan van acompañadas de unas tensiones secundarias en la dirección

del eje x que producen un alabeo de la sección. Es decir, que la hipótesis de secciones planas de ve comprometida. Y si eso ocurriera puede suponerse que el cálculo de las tensiones normales a lo largo de la

pieza podría llegar a ser erróneo, con el consiguiente peligro que ello supone.

Si el esfuerzo cortante es constante a lo largo de la barra entonces el alabeo de todas las secciones es el mismo y la expresión obtenida para el cálculo de las tensiones a partir del momento flector (Navier) no varía. Sin embargo, cuando el esfuerzo cortante no es constante a lo largo de la barra, se produce un alabeo distinto para cada sección, por lo que la expresión definida por la ley de Navier no es exacta (ahora la

semejanza de triángulos no es posible en los mismos términos enunciados).

La ley de Navierqueda

comprometida

No obstante, puede demostrarse que esa diferencia en el cálculo de las tensiones normales (debido al alabeo de la sección) ronda la escasa magnitud h/L (canto / Longitud de la barra), de modo que el error que se comete al

despreciar el efecto del esfuerzo cortante es pequeño…

(L>10h aprox.)

(L<10h aprox.) Este efecto PUEDE DESPRECIARSE

Este efecto DEBE CONSIDERARSE

τ

τ


Elasticidad y resistencia de materialesFlexión INDICE

8.1 Introducción, diagramas de vigas isostáticas.

8.2 Tensiones en la barra sometida a flexión pura.

8.3 Tensiones en la barra sometida a flexión simple.

8.4 Tensiones principales debidas a flexión simple.

8.5 Tensiones en barras curvas a flexión simple.

8.6 Dimensionamiento de barras a flexión simple.



dxb(y)


Para obtener las tensiones tangenciales debidas al esfuerzo cortante ha de estudiarse una sección de la barra de longitud diferencial sometida a momento

flector y a esfuerzo cortante.

Considerese además la reciprocidad de las tensiones tangenciales ; en el borde superior de la sección transversal latensión tangencial es nula cuando no existen fuerzas rasantes

en la parte superior de la barra (lema de Cauchy)

σ(x,y) σ(x,y)+dσ(x,y)

τ(x,y)

Aplicando equilibrio de fuerzas en el eje longitudinal de la rebanada de la barra de la figura:

( )( )

( )( ) ( )

( )( )dxy·bdA·d0dxy·bdAddA0F

yAyAyA

x τστσσσ =⇒=++−⇒= ∫∫∑ ∫

∫∫

===⇒=A(y) zz

A(y)

z b(y)·I

V·S(y)...

b(y)·I

ydAdxdM

·b(y)dxdAI

ydM ττ

Aplicando ahora la ley de Navier:Expresión en la que se ha considerado que el cortante, V, es una

característica de la sección y sale de la integral, donde A(y) es el área de la parte de sección transversal que va desde un punto genérico y hasta el extremo superior, b(y) es el ancho de la sección en ese punto

genérico y S(y) es el momento estático* de la sección respecto al centro de gravedad de la sección completa.

De modo que la tensión tangencial debida al

esfuerzo cortante viene dada por la siguiente

expresión:

Caracterizada por el siguiente

criterio de signos:

VVVVτ

τ

b(y)·I

V·S(y)

z

−=τ



*



La distribución de tensiones tangenciales debidas a la flexión simple en una sección rectangular será:

Teniendo en cuenta las características geométricas de la sección mostrada en la figura de la derecha el momento de

inercia Iz será:


h

b

y

zy

12

b·hI;

2

y

8

hb·y·bd(y)ydAS(y);bb(y)

3

z

A(y)

2

h

y

22

=

−==== ∫ ∫

3

22

3

22

z b·h

y·22h

V·3

12b·h

b·

2y

8h

V·b

b(y)·I

V·S(y)

−

−=

−

−=−=τ

22 yR2 −

Con lo que la tensión tangencial será:

τ

y

La distribución de tensiones tangenciales debidas a la flexión simple en una sección circular será:

Teniendo en cuenta las características geométricas de la sección mostrada en la figura de la derecha, el momento

elástico S(x) y el momento de inercia Iz serán:

y

yz

( )4

R·I;yR2b(y);yR

3

2dyyRydAS(y)

4

z222

322

R

y

l2l

2

A(y)

π=−=−=−== ∫∫

Con lo que la tensión tangencial será:

( ) ( )4

22

224

2

322

z R·3

yRV4

yR2·4R·

yR32

V·

b(y)·I

V·S(y)

ππτ −=

−

−−=−=

Que, al igual que en el caso anterior, obedece a una ley parabólica de valor nulo en los extremo y valor máximo

en el centro.

Pueden tener una dirección radial o circunferencial, ambas recíprocas.

y

z

τxr

τxθ



La distribución de tensiones tangenciales debidas a la flexión simple en una sección en doble T será:

Teniendo en cuenta las características geométricas de la sección mostrada en la figura de la derecha habrá que

distinguir entre puntos de cálculo pertenecientes al ala (rama central) o al alma (ramas horizontales). Nótese, además que el

perfil posee doble simetría.




flexión Simple tensiones PRINCIPALES en la barra.

Una de las simplificaciones que permitieron trascender desde la elasticidad hasta la resistencia de materiales tenía que ver con los valores de las tensiones

σy, σz, y τyz, que permitían considerarlas despreciables.

Quedan, por tanto, como posibles tensiones no nulas σx, τxy y τxz.

En flexión simple, con un eje de simetría y considerando un eje OY’ por el que pase la resultante de las tensiones tangenciales, pueden considerarse los problemas de resistencia de materiales como problemas de tensión plana cuyo tensor de tensiones sería:

y

x

y’

xyτ

xzτ

τ

2'

22

'

2

22;0;

22 xyxx

IIIIIxyxx

I τσσσστσσσ +

−==+

+=

[ ]

=

yxy

xyx

σττσ

σ'

'

En este tipo de problemas, las tensiones principales se obtienen de la misma forma que se obtuvieron para la tensión plana:



flexión Simple DIMENSIONAMIENTO de barras.

Dimensionar es ASEGURARSE DE QUE LA TENSION EQUIVALENTE de todos los puntos del sólido NO SOBREPASA LA

TENSION DE TRABAJO.

Para el acero suele usarse como tensión equivalente la de Von-Mises, cuya expresión matemática era:

( ) ( ) ( )[ ]222

2

1IIIIIIIIIIIIeq σσσσσσσ −+−+−=

En la que, si se sustituyen los valores de las tensiones principales expresados en la página anterior, se obtiene:

22 3τσσ +=eq

Donde σ es la tensión normal debida al momento flector (se ha determinado hace varias páginas) y τ es la tensión tangencial debida al esfuerzo cortante. Puede, inicialmente, despreciarse la tensión

normal debida al cortante en un primer predimensionamiento y luego considerarse si no se cumple la relación luz/canto expresada.

Puede, por tanto, considerarse una tensión de trabajo igual a laequivalente:

22 3τσσ +=t

Con lo que se obtienen, iterando, las características esenciales de la sección que se desea utilizar seleccionada por criterios de

eficiencia mecánica, constructivos u otros.

En la que, en la mayor parte de los casos, la tangencial es de tan escasa influencia que puede despreciarse.

Conviene recordar esta expresión que relacionaba la tensión máxima con la capacidad

resistente de la sección, a través de su módulo resistente o de su área y su momento de inercia:

z

zx W

M==z

maxz.max I

y·Mσ



flexión Simple DIMENSIONAMIENTO de barras.

z

zx W

M==z

maxz.max I

y·Mσ

Los fabricantes ofrecen tablas con los datos mecánicos de los productos laminados que producen, por ejemplo:

En las que pueden consultarse los datos necesarios para la elección de la sección adecuada.

¡¡Hay que tener cuidado con ¡¡Hay que tener cuidado con ¡¡Hay que tener cuidado con ¡¡Hay que tener cuidado con las unidades!!las unidades!!las unidades!!las unidades!!

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