Examen final

Resistencia de Materiales,

Elasticidad y Plasticidad

26 de mayo de 2015

Apellidos ..............................................................................

Nombre........................................................Nº.....................

Ejercicio 1 (Se recogerá a las 10:30h)

Considere la viga zanca de la figura soportada mediante apoyos fijos en A y B. Las piezas

horizontales AC y DB tienen 0,8 m de canto y están sometidas a un calentamiento linealmente

variable con el canto, ∆T en la cara superior y 0ºC en la inferior. La rigidez a flexión es

EI=2,5x105 kNm2 en todas las piezas y se desprecia la deformación por esfuerzo axil.

Se pide:

a) Croquis acotado de las reacciones en los apoyos, con magnitud y sentido. (4 puntos)

b) Croquis acotados de las leyes de momentos flectores y de esfuerzos axiles. (3 puntos)

c) Deformada a estima, indicando la posición de los puntos de inflexión. (3 puntos)

4,0

A

B

C

Zanca sometida a acción térmica

∆T=25°C

1,5

D

4,0

α=10-5 °C

-1

∆T=0°C

Examen ordinario

Resistencia de Materiales,

Elasticidad y Plasticidad

26 de mayo de 2015

Apellidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Curso 3º

Ejercicio 2 (Se recogerá a las 11,00 h aproximadamente.)

El arco semicircular de la figura soporta en su clave C las cargas

indicadas. La rigidez a flexión se da en la propia figura. Se pide:

a) Dibujar un croquis con las reacciones acotadas en magnitud y

sentido. (5 puntos)

b) Escribir la expresión de la ley de momentos flectores en función

de la coordenada angular n indicada. Dibujarla y acotarla en susvalores extremos. (3 puntos)

c) Calcular el giro en la clave C. (2 puntos)

Notas: 1) En el cálculo se despreciarán las deformaciones por esfuerzos axiles y cortantes.

2) Se dan los valores numéricos de las siguientes integrales:

Valores numéricos de

f1(n)f2(n)

1 sen(n) cos(n)

1 B/2 1 1

sen(n) 1 B/4 1/2

cos(n) 1 1/2 B/4

R 5 P 30 M 100

Carga P simétrica VB1P

2P 30=

Msim φ( ) V B1 R. 1 cos φ( )( ). H R. sin φ( ).

u B

0

π

2

φM sim φ( ) R. sin φ( ). R. d

H

V B10

π

2

φ1 cos φ( )( ) sin φ( ). d.

0

π

2

φsin φ( )2d

H 9.549= (Resulta H=P/2π)

Carga M antisimétrica MM

2VB2

M

R

M asim φ( ) V B2 R 1 cos φ( )( ).

Suma entre B y C

M 1 φ( ) V B1 V B2 R. 1 cos φ( )( ). H R. sin φ( ).

φ max atanH

V B1 V B2

φ max180

π

. 20.905=

M 1 φ( )

φ

00.511.5250

0

50

100

M 1 0( ) 0=

M 1 φ max 8.809=

M 1π

277.254=

Entre A y C

M 2 φ( ) V B1 V B2 R. 1 cos φ( )( ). H R. sin φ( ).

M 2 φ( )

φ

0 0.5 1 1.540

20

0

φ max atanH

V B1 V B2 φ max180

π

. 62.364=

M 2 0( ) 0=

M 2 φ max 28.896=

M 2π

222.746= M 1

π

2M 2

π

22 M. 0=

1

Figura 1

Figura 2

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Apellidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nº.....................Curso 3º Alumnos de Adaptación marcad X aquí *

Ejercicio 3 (Se recogerá a las 13:00 horas aproximadamente)

1) La sección de una viga rectangular tiene un canto c y un ancho b, expresados en metros (figura 1.b).El material, elasto-plástico perfecto, que constituye la viga tiene un límite elástico, �e=10-3 y unadeformación de rotura, �r = 3 �e, en un diagrama tensión-deformación, válido tanto en tracción comoen compresión, en el que la tensión de fluencia es )P=200 MPa (figura 1.a). Una sección de la vigase somete a dos situaciones de carga:

Situación 1). Cuando en la sección de la viga actúan un axil, N1 y un momento M1, el estado tensionales el representado en la figura 1.c).

Situación 2). Cuando en la sección de la viga actúan un axil, N2 y un momento M2, la deformación enlas fibras superiores es la correspondiente a la deformación de rotura en compresión y la de las fibrasinferiores es el doble de la deformación correspondiente al límite elástico en tracción (figura 1.d).

1.a). Dibujar y acotar la ley de deformaciones en la sección en el estado de carga correspondientea la situación 1. (1,5 puntos)

1.b). Dibujar y acotar en función de c la ley de tensiones en la sección en el estado de cargacorrespondiente a la situación 2.

(1,5 puntos)

1.c). Obtener la dimensión del canto, c, de la sección sabiendo que M1/N1= 0,5 m (2 puntos)

2) En la viga de la figura 2 cuyas dimensiones se indican, está constituida por tres vanos de igual longitudy apoyos fijos. El momento plástico de cada vano se da en la figura.

2.a) Considerando las cargas indicadas, determinar el valor de P que provoca el colapso en tres posiblessituaciones. (3 puntos)2.b) Dibujar, acotando los valores más significativos, la ley de momentos cuando se alcanza la cargade colapso. (2 puntos)

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Curso 3º Alumnos de Adaptación marcad X aquí G

Ejercicio 4 (Se recogerá a las 13,30 h aproximadamente.)

El cilindro de sección elíptica de la figura está empotrado en un extremo y libre en el otro; se

encuentra sometido a las dos fuerzas 2P y !P indicadas. Se pide:

a) Demostrar que M(x,y) es la función de tensiones del problema de torsión en la sección elípticasometida al momento torsor Mz

(2 puntos)

b) Determinar la máxima ténsión tangencial (que resulta de los esfuerzos cortante y torsor) y el

punto donde se produce. (4 puntos)

c) Escribir el tensor de tensiones en el punto A (!a, 0, 0) (4 puntos)

Notas. No se considera el efecto del peso propio.

El empotramiento permite el libre alabeo de la sección.

Para las tensiones de flexión y cortante se aceptan las fórmulas de la Resistencia de Materiales.

Se dan las siguientes fórmulas relativas a la elipse:

DATOS: E= 200 GPa; <= 0,25; a= 3 cm; b= 2 cm; P= 2 kN; L= 50 cm

E 200 103.Torsión en elipse a 0.03 b 0.02 P 2 L 0.50

M z 3 P. b. M z 0.12=

A π a. b. I xxπ a. b

3.

4I yy

π a3. b.

4x G

4 a.

3 π.

104A. 18.85= 10

8I xx. 18.85= 10

8I yy. 42.412=

1) Φ x y,( )M z

π a. b.1

x2

a2

y2

b2

.= Cumple Φ=0 en el contorno

Cumple 2.IntΦ=MzIntΦ

M z

π a. b.A

1

a2I yy. 1

b2I xx.. 2 IntΦ.

M z

1=

2)τ zx x y,( )

2 M z.

π a. b3.y. τ zy x y,( )

2 M z.

π a3. b.

x.

Por cortante Q=-P sobre x=0 τ QP

I yy

A

2x G.

2 b.. τ Q 1.415 10

3=

Por torsión en B(0,-b,0) τ Tor τ zx 0 b,( ) τ Tor 6.366 103

=

Total τ max τ Q τ Tor τ max 7.781 103

= Es τzx en B(0,-b,0)

3 En A tenemos σz de flexion y τzy de torsion

σ zP L.

I yy

a. σ z 7.074 104

= τ zy a 0,( ) 4.244 103

=

T A

0

0

0

0

0

τ zy a 0,( )

0

τ zy a 0,( )

σ z

T A

0

0

0

0

0

4.244 103

0

4.244 103

7.074 104

=

1