apuntes de elasticidad y resistencia de materiales - santiago torrano & d. herrero perez

Leccion 1

Introduccion a la Elasticidad y

Resistencia de Materiales

Contenidos

1.1. Mecanica del Solido Rıgido y Mecanica del Solido De-

formable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Solido Rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. Solido Deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Hipotesis basicas de la Elasticidad y de la Resistencia

de Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Pequenos desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2. Pequenas deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3. Comportamiento elastico y lineal del material . . . . . . . . 4

1.2.4. Principio de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.5. Material homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.6. Material isotropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.7. Problema estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.8. Problema isotermo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.9. Consecuencias de las hipotesis basicas de la Elasticidad yde la Resistencia de Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Modelo matematico para el analisis de Solidos Deforma-

bles. Ecuaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

1.1 Mecanica del Solido Rıgido y Mecanica del Solido

Deformable

La Mecanica, que proviene de la palabra mechanica en latın que significa arte deconstruir una maquina, es la rama de la fısica que estudia y analiza el movimientoy reposo de los cuerpos, y su evolucion en el tiempo, bajo la accion de fuerzas. Lashipotesis basicas de la Mecanica de solidos se enumeran a continuacion:

1. Se consideran las ecuaciones de la Mecanica de Newton

2. El solido es un medio continuo

3. Se cumplen las leyes basicas de la Termodinamica (conservacion de la energıay produccion de entropıa)

La segunda hipotesis implica que el solido no tiene discontinuidades a nivel mi-croscopico como consecuencia de la distribucion molecular de cada material. Es decir,se ignora la existencia de estructuras a nivel microscopico (moleculares, atomicas,cristalinas o granulares), considerando que el comportamiento a nivel macroscopi-co es independiente de tal estructura (salvo a traves de relaciones experimentalesque se traducen en la relacion de comportamiento). Esta hipotesis se justifica porlas pequenas dimensiones de los constituyentes microscopicos (moleculas, cristales ogranos) en comparacion con las dimensiones significativas del solido (distribucion delos apoyos o de las cargas y dimensiones propias del solido) y permite trabajar con unespacio continuo y utilizar las herramientas que proporciona el analisis diferencial.

1.1.1 Solido Rıgido

Si un solido sometido a un conjunto de fuerzas alcanza el equilibrio sin sufrir modi-ficaciones de su forma original, o dichas modificaciones son despreciables respecto asu movimiento, se denomina Solido Rıgido. Un Solido Rıgido se caracteriza por unadistribucion continua de la materia y por la invariabilidad de las distancias relativasentre cualesquiera de los puntos que lo constituyen. Las ecuaciones de la estatica,de la cinematica y de la dinamica son suficientes para definir el comportamiento deeste tipo de solidos.

Figura 1.1 Solido Rıgido

La Figura 1.1 muestra un solido con una forma generica al que se aplica un sistemade fuerzas. Como consecuencia de las fuerzas aplicadas el solido se traslada y girasin deformarse, es decir, se comporta como un Solido Rıgido.

(c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero Perez

Introduccion a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 3

1.1.2 Solido Deformable

Si un solido sometido a un conjunto de fuerzas alcanza el equilibrio produciendosemodificaciones en su forma original, debemos adoptar el modelo de Solido Defor-

mable. Dicho modelo considera una distribucion continua de la materia, ası como lavariacion, tambien continua, de las distancias entre cualesquiera de los puntos que loconstituyen. Para establecer las ecuaciones generales que gobiernan el comportamien-to mecanico de los solidos deformables, es necesario complementar las ecuaciones dela estatica, cinematica y dinamica con ecuaciones que relacionen las modificacionesde forma del solido con las fuerzas que se producen en el interior del mismo debidasa este cambio de forma.

Figura 1.2 Solido Deformable

La Figura 1.2 muestra un solido con una forma generica al que se aplica un sistemafuerzas. Como consecuencia de las fuerzas aplicadas el solido se traslada, gira ydeforma, es decir, se comporta como un Solido Deformable.

1.2 Hipotesis basicas de la Elasticidad y de la Resisten-

cia de Materiales

La cinematica y dinamica de solidos deformables queda definida mediante la impo-sicion de las hipotesis basicas establecidas en el apartado 1.1. Dichas hipotesis dejanel campo de estudio del solido deformable muy abierto, por lo que se suele acotarestableciendo hipotesis adicionales. Una simplificacion al problema general del solidodeformable consiste en plantear el comportamiento del mismo como lineal, lo queimplica asumir tres hipotesis adicionales:

1. Pequenos desplazamientos

2. Pequenas deformaciones

3. Comportamiento elastico y lineal del material

1.2.1 Pequenos desplazamientos

La hipotesis de pequenos desplazamientos implica que los desplazamientos del soli-do son tan pequenos que las ecuaciones de equilibrio pueden plantearse, sin errorapreciable, en la posicion inicial.



Figura 1.3 Hipotesis de pequenos desplazamientos

En la Figura 1.3 se muestra un portico sometido a dos sistemas de fuerzas y la de-formada debida a cada uno de estos sistemas de fuerzas. El comportamiento de laestructura de la Figura 1.3 a) frente al sistema de cargas actuante puede considerarsedentro de la hipotesis de pequenos desplazamientos. La deformada coincide practica-mente con la configuracion inicial del portico. En la estructura de la Figura 1.3 b) laconfiguracion deformada de la estructura difiere sustancialmente de la configuracioninicial. Por tanto, no es correcto plantear las ecuaciones de equilibrio en la configu-racion anterior a la aplicacion del sistema de cargas, ya que los resultados obtenidosno tendrıan en cuenta los grandes desplazamientos que ha sufrido la estructura.

1.2.2 Pequenas deformaciones

La hipotesis de pequenas deformaciones supone que las derivadas de los despla-zamientos son despreciables frente a la unidad, y los productos de derivadas sondespreciables frente a las propias derivadas. Esto implica que las deformaciones seexpresen como combinacion lineal de las derivadas primeras de los desplazamien-

tos. Por ejemplo, εij =1

2

(

∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)

, siendo εij la deformacion, y ui y uj los

desplazamientos.

1.2.3 Comportamiento elastico y lineal del material

En todo punto de un solido de un determinado material existe una relacion entrelas tensiones y las deformaciones en dicho punto al someter al solido a un sistemacualesquiera de cargas. Si el solido recupera su forma inicial al cesar la aplicacionde las cargas, se dice que el material tiene un comportamiento elastico. Si ademas,la relacion entre tensiones y deformaciones es lineal, se dice que el material tiene uncomportamiento elastico y lineal.

Las tres hipotesis anteriores son necesarias y suficientes para considerar elsolido deformable como elastico y lineal. Ademas de las tres hipotesis anteriores, enel estudio de la Elasticidad Lineal y de la Resistencia de Materiales, se suponen estasotras hipotesis:

- Principio de Saint-Venant

- El material es homogeneo

- El material es isotropo



- El problema es estatico

- El problema es isotermo

1.2.4 Principio de Saint-Venant

El Principio de Saint-Venant establece que sistemas estaticamente equivalentes pro-ducen los mismos efectos. La Figura 1.4 muestra dos placas rectangulares, de identi-cas dimensiones, que se encuentran empotradas en un extremo y sometidas a unacarga uniformemente distribuida en el otro. En la placa de la Figura 1.4 a), la car-ga se distribuye uniformemente en la dimension h1, mientras que en la placa de laFigura 1.4 b) la carga se distribuye uniformemente sobre la dimension h2. En am-bos casos la resultante de la distribucion de fuerzas aplicadas sobre cada placa esqh1. Ademas, la distribucion de tensiones normales en la direccion de la carga seha representado sobre la superficie de cada placa, mostrando como se transmite lacarga hasta el apoyo en cada una de las placas. Para la placa que se muestra en laFigura 1.4 a) podemos observar como la carga se transmite hasta el apoyo de formauniforme. Sin embargo, en el caso de la placa que se muestra en la Figura 1.4 b), seadvierte una alteracion en la distribucion de las tensiones normales hasta una ciertadistancia de la zona de aplicacion de la carga, a partir de la cual la carga se trans-mite hasta el apoyo de forma uniforme, como en el caso de la placa que se muestraen la Figura 1.4 a). Podemos concluir que la aplicacion de la carga en un tramolimitado puede considerarse como una discontinuidad que provoca alteraciones en latransmision de la carga. No obstante, a una distancia suficientemente alejada de lazona de aplicacion, dicha discontinuidad no tiene afecto alguno.

Figura 1.4 Principio de Saint-Venant

1.2.5 Material homogeneo

Considerar el material homogeneo significa que todos los puntos del mismo son igua-les a efectos de comportamiento mecanico. Matematicamente implica que la relacionde comportamiento (relacion entre tensiones y deformaciones) es similar en cual-quier punto del material, y por tanto es independiente de las coordenadas del puntoestudiado.



1.2.6 Material isotropo

Un material isotropo es aquel cuyo comportamiento mecanico es independiente dela direccion considerada.

1.2.7 Problema estatico

Un problema es estatico si se considera que los efectos de inercia son despreciables.Se considera que esto ocurre cuando las cargas exteriores se aplican lentamente,permanecen invariables con el tiempo, y el solido tiene impedidos los desplazamientoscomo solido rıgido que puedan inducir las cargas actuantes.

1.2.8 Problema isotermo

En un problema isotermo no se producen variaciones de la temperatura, o al menos,el efecto de dicha variacion es despreciable.

1.2.9 Consecuencias de las hipotesis basicas de la Elasticidad y de

la Resistencia de Materiales

El conjunto de hipotesis anteriores, implica las siguientes consecuencias:

1. Principio de Superposicion

2. Existencia y unicidad de la solucion

El Principio de Superposicion supone que hay una relacion lineal entre la respuestaestructural y las cargas actuantes. Esto permite obtener la respuesta de una estruc-tura ante distintas cargas actuando simultaneamente como la suma de la respuestade la estructura ante cada una de ellas. Este principio se utiliza para resolver proble-mas con sistemas de cargas muy complejos descomponiendo los estados de cargas enotros mas simples, cuya solucion es conocida o mas facil de obtener. En la Figura 1.5se muestra una aplicacion del Principio de Superposicion.

Figura 1.5 Principio de Superposicion

La segunda consecuencia establece que siempre existe una solucion a cualquier pro-blema bien definido de mecanica de solidos, y que esta solucion es unica.

1.3 Modelo matematico para el analisis de Solidos De-

formables. Ecuaciones fundamentales

El objetivo inicial del analisis de Solidos Deformables consiste en establecer la rela-cion entre las magnitudes estaticas externas (fuerzas) y las magnitudes cinematicas



externas (desplazamientos).Para establecer dicha relacion, es necesario conocer que ocurre en el interior del

solido, definiendose las magnitudes internas. Las magnitudes cinematicas y estaticasinternas se relacionan a traves de la ley que modela el comportamiento del material,la cual es independiente de la geometrıa del solido y de las condiciones de contorno.Las magnitudes estaticas externas se relacionan con las magnitudes estaticas inter-nas a traves de las ecuaciones de equilibrio. Mientras que las magnitudes cinematicasexternas se relacionan con las magnitudes cinematicas internas a traves de las ecua-ciones de compatibilidad. De esta manera, se consigue relacionar las acciones externascon los desplazamientos del solido a traves de las variables internas.

Figura 1.6 Modelo matematico para el analisis de solidos deformables

En la Figura 1.6 se muestra esquematicamente el modelo matematico de analisis.Generalmente, la formulacion matematica de este esquema conduce a ecuaciones degran complejidad cuya solucion analıtica es inabordable. Ello hace que la obten-cion de soluciones exactas quede restringida a solidos con geometrıas y cargas muyconcretas.

1.4 Ejercicios propuestos

Ejercicio 1.1

Una barra de seccion transversal cilındrica de un determinado material ha sido so-metida a un ensayo de traccion. En la Tabla 1.1 se indican los valores obtenidos endicho ensayo.

Se pide:

1. Construir la grafica σ − ε

2. Determinar graficamente el valor lımite de σ a partir del cual el material dejade comportarse linealmente y la deformacion correspondiente

3. Determinar graficamente los valores de σ para ε = 0, 0035, asumiendo queel material se comporta linealmente para ese valor de ε y considerando uncomportamiento no lineal del material



Datos:

Tabla 1.1 Valores obtenidos del ensayo de traccion

σ (MPa) ε (%) σ (MPa) ε (%)

0,0 0,00 120,0 0,206715,0 0,0256 135,0 0,245030,0 0,0513 150,0 0,298445,0 0,0769 165,0 0,374860,0 0,1025 180,0 0,520275,0 0,1281 180,0 0,640090,0 0,1538 165,0 0,7732105,0 0,1794 160,89 0,8000

Solucion:

1. Construir la grafica σ − ε

Se muestra la grafica en la Figura 1.7

Figura 1.7 Diagrama tension-deformacion

2. Determinar graficamente el valor lımite de σ a partir del cual el material dejade comportarse linealmente y la deformacion correspondiente

La Figura 1.8 muestra el valor lımite de σ en el que el material deja decomportarse linealmente

3. Determinar graficamente los valores de σ para ε = 0, 0035, asumiendo queel material se comporta linealmente para ese valor de ε y considerando uncomportamiento no lineal del material



Figura 1.8 Determinacion grafica del valor lımite de σ a partir del cual el materialdeja de comportarse linealmente y la deformacion correspondiente

Figura 1.9 Determinacion grafica de los valores de σ para ε = 0, 00035, asumiendocomportamientos lineal y no lineal del material

La Figura 1.9 muestra los valores solicitados



Ejercicio 1.2

Para la viga en el voladizo que se muestra en la Figura 1.10 a) se conocen los despla-zamientos del puntoA para los estados de cargas que se muestran en la Figura 1.10 b).

Figura 1.10 Aplicacion del Principio de Superposicion

Obtener:

1. El desplazamiento vertical del punto A (wA), aplicando el principio de super-posicion

Solucion:

1. Obtener el desplazamiento vertical del punto A, aplicando el principio de su-perposicion

wA =50L3

3EI+

23L4

12EI

Ejercicio 1.3

Para las placas cargadas que se muestran en la Figura 1.11,

Determinar:

1. Si los sistemas de cargas aplicados en los extremos de las placas son estatica-mente equivalentes



Figura 1.11 Aplicacion del Principio de Saint-Venant

Solucion:

1. Determinar si los sistemas de cargas aplicados en los extremos de las placasson estaticamente equivalentes

Fuerza resultante para el sistema de cargas que se muestra en la Figu-

ra 1.11 a): H =5qhe

4Momento resultante para el sistema de cargas que se muestra en la Figu-

ra 1.11 a): M =qh2e

24

Por lo que sı son estaticamente equivalentes.


Leccion 2

Deformaciones

Contenidos

2.1. Concepto de deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Deformacion en el entorno de un punto . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Vector deformacion. Componentes intrınsecas . . . . . . . . 19

2.2.2. Deformaciones principales y direcciones principales de de-formacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Deformacion plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22



2.1 Concepto de deformacion

Las partıculas que constituyen cualquier solido real, bajo la accion de cargas queactuan sobre el, varıan su posicion en el espacio. Por consiguiente, el solido adoptauna configuracion deformada distinta de la inicial.

Figura 2.1 Concepto de deformacion

Existe deformacion en un solido si se produce un desplazamiento relativo entre laspartıculas que lo constituyen. El desplazamiento de los puntos de un solido es debidoa dos componentes: una componente de movimiento como solido rıgido y otra dedeformacion. Ası pues, el desplazamiento de los puntos de un solido no implicanecesariamente que este se deforme. El rectangulo ABCD de la Figura 2.1 se desplazahacia otra posicion A′B′C ′D′, pero es identico al inicial; es decir, no se ha producidoningun acercamiento o separacion entre sus partıculas, o lo que es lo mismo, nose ha producido ninguna deformacion. Solamente se ha producido un movimientocomo cuerpo rıgido. Lo mismo ocurre al pasar a la posicion A′′B′′C ′′D′′ medianteuna rotacion como solido rıgido. Finalmente, cuando el rectangulo pasa a la posicionA′′′B′′′C ′′′D′′′, sı que se deforma.

Los dos casos mas simples de deformacion son el alargamiento unitario y ladeformacion tangencial. Un ejemplo de estos tipos de deformacion se muestra en laFigura 2.2.

Figura 2.2 Ejemplos de deformacion: a) alargamiento en la direccion x, b)alargamiento en la direccion y, y c) deformacion tangencial pura sin rotacion


Deformaciones 15

El alargamiento unitario se define como un cambio de longitud por unidad de lon-gitud. Se denomina ε, indicando por medio de un subındice la direccion del alarga-miento. Observando las Figuras 2.2 a) y 2.2 b), se deduce que

εx ≃∆u

∆x, εy ≃

∆v

∆y(2.1)

La deformacion tangencial se define como la mitad del decremento del angulo rectoque forman inicialmente dos segmentos infinitamente pequenos. En referencia a laFigura 2.2 c), la expresion de la deformacion tangencial es

γxy ≃π

2− ψ = θ1 + θ2 (2.2)

εxy ≃1

2γxy ≃

1

2

(∆u

∆y+

∆v

∆x

)

(2.3)

Cuando ∆x y ∆y tienden a cero, las expresiones (2.1) y (2.3) toman la forma

εx =∂u

∂x, εy =

∂v

∂y, εxy =

1

2γxy =

1

2

(∂u

∂y+∂v

∂x

)

(2.4)

donde u y v son las componentes del desplazamiento en direccion de los ejes x e y,respectivamente.

Para obtener la expresion de la deformacion tangencial se han aproximado losangulos por sus tangentes (hipotesis de pequenos desplazamientos). El factor 1

2 enla deformacion tangencial se debe a que las componentes de la deformacion sonlas componentes de un tensor de segundo orden simetrico. De la expresion (2.2) sededuce que la deformacion tangencial es positiva si el angulo pasa a ser agudo.

2.2 Deformacion en el entorno de un punto

En la Figura 2.3 se muestra una viga biapoyada sometida a una carga puntual en suzona central, ası como la configuracion deformada de la misma.

Figura 2.3 Deformacion de una viga biapoyada sometida a una carga puntual

Se aprecia la distorsion que sufre la malla superpuesta sobre la viga una vez defor-mada. Los cuadrilateros que forman la malla sufren un alargamiento o acortamiento



de los lados que los forman y una variacion de los angulos rectos iniciales. Es decir,la posicion relativa entre los puntos del solido ha variado, por lo que la viga se hadeformado.

Para determinar la deformacion producida se va a trabajar con dos puntos cua-lesquiera P0 y P de la viga, muy proximos, unidos por el vector de posicion −→r quese muestra en la Figura 2.4 a). Al deformarse la viga, los puntos pasan, en la con-figuracion deformada, a las posiciones P ′

0 y P ′ que se muestran en la Figura 2.4 b).Considerando la hipotesis de pequenos desplazamientos se admite que las configura-ciones deformada e indeformada practicamente coinciden.

Figura 2.4 Deformacion en el entorno de un punto: a) configuracion inicial P0 - Py b) configuracion final P ′

0 - P ′

Denominamos vectores desplazamiento de los puntos P0 y P a −→u0 y −→u , respecti-vamente. Al estar muy proximos ambos puntos, es posible obtener el valor de −→uutilizando el desarrollo en serie de Taylor en el entorno del punto P0 como sigue,

u = u0 +∂u

∂xrx +

∂u

∂yry +

∂u

∂zrz

v = v0 +∂v

∂xrx +

∂v

∂yry +

∂v

∂zrz

w = w0 +∂w

∂xrx +

∂w

∂yry +

∂w

∂zrz

(2.5)

donde u, v y w son las componentes del desplazamiento en la direccion de los ejes x,y y z, respectivamente.

Figura 2.5 Variacion del vector r

Los terminos del desarrollo de grado mayor a uno se han despreciado debido a la


Deformaciones 17

hipotesis de pequenas deformaciones. La variacion del vector −→r que se muestra enla Figura 2.5 sera:

∆−→r =−→r′ −−→r = −→u −−→u0 (2.6)

Sustituyendo las expresiones (2.5) en (2.6) y desarrollando esta ultima, se obtiene:

∆rx =∂u

∂xrx +

∂u

∂yry +

∂u

∂zrz

∆ry =∂v

∂xrx +

∂v

∂yry +

∂v

∂zrz

∆rz =∂w

∂xrx +

∂w

∂yry +

∂w

∂zrz

(2.7)

Expresando (2.7) en forma matricial se tiene

∆rx∆ry∆rz

︸︷︷︸

∆r

=

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂v

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂w

∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

︸︷︷︸

J

rxryrz

︸︷︷︸

r

(2.8)

Donde la“matriz”J se denomina tensor gradiente de desplazamientos. Dicho tensorse puede descomponer en un tensor simetrico y otro antisimetrico como sigue

J = ε+ ω, (2.9)

siendo ε es el tensor de pequenas deformaciones, que desarrollando sus componentesse tiene

ε =

εx εxy εxzεxy εy εyzεxz εyz εz

=

∂u

∂x

1

2

(∂u

∂y+∂v

∂x

)1

2

(∂u

∂z+∂w

∂x

)

1

2

(∂u

∂y+∂v

∂x

)∂v

∂y

1

2

(∂v

∂z+∂w

∂y

)

1

2

(∂u

∂z+∂w

∂x

)1

2

(∂v

∂z+∂w

∂y

)∂w

∂z

(2.10)

y ω es el tensor de rotacion, que desarrollado tiene de componentes



ω =

0 ωxy ωxz

−ωxy 0 ωyz

−ωxz −ωyz 0

=

01

2

(∂u

∂y− ∂v

∂x

)1

2

(∂u

∂z− ∂w

∂x

)

1

2

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)

01

2

(∂v

∂z− ∂w

∂y

)

1

2

(∂w

∂x− ∂u

∂z

)1

2

(∂w

∂y− ∂v

∂z

)

0

(2.11)

La expresion (2.8) se puede expresar, en forma matricial, teniendo en cuenta (2.9)como

∆r = (ε+ ω) r = u-u0 (2.12)

que coincide con la expresion (2.6), esta expresada en forma vectorial.

La ecuacion anterior implica que la variacion relativa de la distancia entre dospuntos infinitamente proximos de un solido elastico se puede expresar sumando a−→u una componente de deformacion y otra componente de giro. En forma matricial,puede expresarse como

u = u0 + ε r+ ω r (2.13)

En la Figura 2.6 a) los puntos P0 y P (vector −→r ) han sufrido una traslacion comosolido rıgido hasta las posiciones P ′

0 y P ′′ respectivamente, definida por el vector −→u0.En la Figura 2.6 b) se produce una rotacion como solido rıgido del segmento P ′

0P′′ al-

rededor del punto P ′

0, de valor ωr (ω r) (por la hipotesis de pequenos desplazamientos

se aproxima el arco a la tangente).

Figura 2.6 Deformacion en el entorno de un punto: a) traslacion y b) giro

Finalmente, para pasar a la posicion P ′ se produce una deformacion del vector −→rde valor εr (ε r). En la Figura 2.7 se muestra la descomposicion completa de ladeformacion en el entorno de un punto.


Deformaciones 19

Figura 2.7 Deformacion en el entorno de un punto: descomposicion

2.2.1 Vector deformacion. Componentes intrınsecas

En todo punto de un solido donde este definido el tensor de pequenas deformaciones,para cada direccion−→r hay asociado un vector deformacion

−→εr que se calcula mediante

la expresion matricial

εr = εr =


rxryrz

(2.14)

Si se utiliza el vector unitario de −→r , denominado −→n , se obtiene el vector deformacionunitaria

−→εn

εn = εn =


l

m

n

(2.15)

siendo (l,m, n) los cosenos directores (las componentes) del vector −→n .

Figura 2.8 Componentes intrınsecas del vector deformacion

La componente intrınseca normal, la deformacion normal, es la proyeccion del vectordeformacion

−→εr sobre −→n . Se obtiene mediante las expresiones

εr =−→εr · −→n (Vectorialmente)

εr = nTεr = nT

εr (Matricialmente)(2.16)

La Figura 2.8 a) muestra graficamente esta proyeccion. La deformacion longitudinalunitaria se calcula mediante la expresion

εn =−→εn · −→n (Vectorialmente)

εn = nTεn = nT

εn (Matricialmente)(2.17)



La componente intrınseca tangencial (la deformacion tangencial o transversal) εt sedefine como la proyeccion del vector deformacion sobre el plano definido por −→n , talcomo se muestra en la Figura 2.8 a). Se calcula mediante las expresiones

εt =−→εr · −→t (Vectorialmente)

εt = tTεr = tTεr (Matricialmente)(2.18)

La componente intrınseca tangecial del vector deformacion tangencial unitaria secalcula mediante las expresiones

εt =−→εn · −→t (Vectorialmente)

εt = tTεt = tTεn (Matricialmente)(2.19)

siendo−→t el vector tangente al plano y perpendicular a −→n . La deformacion tangencial

tambien puede obtenerse vectorialmente, como

|εt| = |−→εr − εr−→n | (2.20)

o en el caso del vector deformacion unitaria como

|εt| = |−→εn − εn−→n | (2.21)

La deformacion angular φ, que se representa en la Figura 2.8 b), coincide con ladeformacion tangencial unitaria εt expresada en radianes.

2.2.2 Deformaciones principales y direcciones principales de defor-

macion

Al ser el tensor de pequenas deformaciones simetrico, se puede afirmar que existiranen cada punto del solido elastico tres direcciones perpendiculares entre sı, corres-pondientes a sendos planos, en los que no hay distorsion o deformacion angular. Esdecir, en forma matricial, se verifica

εn = εn = εIn (2.22)

que se puede expresar como

[ε− εI] n = 0 (2.23)

siendo ε el tensor de pequenas deformaciones, I la matriz identidad y ε el modulode la deformacion longitudinal. Por tanto,

εI = ε

1 0 00 1 00 0 1

=

ε 0 00 ε 00 0 ε

(2.24)

Expresando la ecuacion (2.23) en forma parametrica se tiene

(εx − ε) l + εxym+ εxzn = 0εxyl + (εy − ε)m+ εyzn = 0εxzl + εyzm+ (εz − ε)n = 0

(2.25)


Deformaciones 21

que es un sistema de tres ecuaciones algebraicas homogeneas lineales. Las componen-tes del vector unitario −→n son las incognitas, debiendo estas satisfacer por el caracterunitario del vector normal, la siguiente expresion

l2 +m2 + n2 = 1 (2.26)

siendo (l,m, n) los cosenos directores del vector −→n . Dichos cosenos directores nopueden ser todos cero, ya que deben satisfacer la ecuacion (2.26). Para que un sis-tema de ecuaciones homogeneas lineales tenga una solucion distinta a la trivial, escondicion necesaria y suficiente que el determinante de la matriz de coeficientes seaigual a cero, es decir

∣∣∣∣∣∣

εx − ε εxy εzxεxy εy − ε εyzεzx εyz εz − ε

∣∣∣∣∣∣

= 0. (2.27)

Al desarrollar este determinante se obtiene una ecuacion cubica, a la que denomina-mos ecuacion caracterıstica,

−ε3 + I1ε2 − I2ε+ I3 = 0 (2.28)

siendo

I1 = εx + εy + εz (2.29)

I2 =

∣∣∣∣

εy εyzεyz εz

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

εx εxzεxz εz

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

εx εxyεxy εy

∣∣∣∣

(2.30)

I3 = |ε| =

∣∣∣∣∣∣

εx εxy εzxεxy εy εyzεzx εyz εz

∣∣∣∣∣∣

(2.31)

Las raıces εi, siendo i = 1, 2, 3, de la ecuacion caracterıstica (los valores propios deε) reciben el nombre de deformaciones principales. Las direcciones de estas defor-maciones principales, es decir, los vectores propios de ε, se denominan direcciones

principales de deformacion. Se convendra que ε1 es la raız mayor (algebraicamente)y ε3 la menor.

En todo punto interior de un solido elastico existen, si el determinante del tensorde pequenas deformaciones es distinto de cero, tres direcciones principales ortogo-nales entre sı, que son las direcciones principales de deformacion. Los valores delas deformaciones principales son independientes del sistema de referencia adoptado,y son los valores maximos y mınimos que pueden adoptar las deformaciones en elentorno del punto considerado. Quiere esto decir que las raıces de la ecuacion carac-terıstica son invariantes. Esto implica que los coeficientes I1, I2 e I3 de la ecuacioncaracterıstica tambien son invariantes.

A I1 se le denomina invariante lineal, dilatacion cubica o dilatacion volumetrica.Se denota por e y representa el incremento de volumen unitario ∆V que sufre unparalelepıpedo elemental de lados dx, dy, dz y de volumen dV = dxdydz.

e =∆V

dV≈ ε1 + ε2 + ε3 ≈ εx + εy + εz (2.32)



2.3 Deformacion plana

Si se admite que los desplazamientos en un solido elastico se producen exclusiva-mente en un plano, las componentes de los desplazamientos son independientes de lacoordenada del eje perpendicular al plano. Se dice entonces que dicho solido esta so-metido a deformacion plana. Ası, considerando como plano de deformacion el xy, secumple que

u = u (x, y) , v = v (x, y) , w = 0 (2.33)

Las ecuaciones anteriores, implican que

εx =∂u

∂x, εy =

∂v

∂y, εxy =

1

2

(∂u

∂y+∂v

∂x

)

(2.34)

y

εz =∂w

∂z= 0, εxz =

1

2

(∂u

∂z+∂w

∂x

)

= 0, εyz =1

2

(∂v

∂z+∂w

∂y

)

= 0 (2.35)

Por tanto, el tensor de pequenas deformaciones, para el caso de deformacion planaen el plano xy, adopta la forma

ε =

(εx εxyεxy εy

)

(2.36)


Ejercicio 2.1

El campo vectorial de desplazamientos en el entorno del punto P de un medio con-tinuo es

u = 4xy · 10−5, v = 3xy2 · 10−5, w = xz · 10−5

siendo las unidades en milımetros.

Se pide:

1. Calcular el tensor de pequenas deformaciones

2. Calcular el tensor de rotacion

Solucion:

1. Calcular el tensor de pequenas deformaciones:

ε =

4y 2x+ 32y

2 z2

2x+ 32y

2 6xy 0z2 0 x

· 10−5


Deformaciones 23

2. Calcular el tensor de rotacion:

ω =

0 2x− 32y

2 −z2

−2x+ 32y

2 0 0z

20 0

· 10−5

Ejercicio 2.2

Conociendose el tensor de pequenas deformaciones ε en el entorno de un punto deun solido elastico, se pide:

1. Calcular las componentes intrınsecas de la deformacion del vector −→r

Datos:

ε =

8 8 −12

8 12 0−1

2 0 1

· 10−5

siendo −→r =−→i −−→k .

Solucion:

1. Calcular las componentes intrınsecas de la deformacion del vector −→r

εr =10√2· 10−5

εt =177√354

· 10−5

Ejercicio 2.3

Conociendose el tensor de pequenas deformaciones ε en el entorno de un punto deun solido elastico trabajando a deformacion plana, se pide:

1. Calcular las deformaciones principales

2. Calcular las direcciones principales de deformacion

Datos:

ε =

(120 −80−80 100

)

· 10−6



Solucion:

1. Calcular las deformaciones principales:

ε1 =(

110 + 10√65

)

· 10−6

ε2 =(

110− 10√65

)

· 10−6

2. Calcular las direcciones principales de deformacion:

n1 =(±0, 7497 ∓0, 6618

)T

n2 =(±0, 6618 ∓0, 7497

)T


Leccion 3

Tensiones

Contenidos

3.1. Concepto de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Componentes del vector tension . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. Denominacion de las tensiones. Criterio de signos . . . . 28

3.4. Formula de Cauchy. El tensor de tensiones . . . . . . . . 28

3.5. Ecuaciones de equilibrio interno . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6. Cambio de sistema de referencia . . . . . . . . . . . . . . 34

3.7. Tensiones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.8. Valores maximos de las componentes intrınsecas de la

tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.9. Tension plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.9.1. Curvas representativas de un estado tensional plano . . . . 40

3.10. Representacion del estado tensional en el entorno de un

punto. Cırculos de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.10.1. Construccion del cırculo de Mohr en tension plana . . . . . 41

3.10.2. Construccion de los cırculos de Mohr de un estado generalde tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.10.3. Calculo grafico de las componentes intrınsecas del vectortension para una direccion dada . . . . . . . . . . . . . . . 44



3.1 Concepto de tension

Al deformarse un solido bajo la accion de unas cargas, la variacion relativa de ladistancia entre las partıculas que lo constituyen no es indefinida debido a la accionde las fuerzas de atraccion intermoleculares, a excepcion de que se produzca la roturadel solido.

Sea un solido en equilibrio sometido a un sistema de fuerzas exteriores y a fuer-zas por unidad de masa como se muestra en la Figura 3.1 a). Mediante un corteimaginario a dicho solido por una superficie arbitraria, como el que se muestra en laFigura 3.1 b), se aisla un trozo de solido. En el interior del solido actuan las fuerzaspor unidad de masa correspondientes. En el contorno actuan fuerzas por unidad de

superficie que en la superficie de corte corresponden a la accion de cada una de lasdos partes en que se divide el solido sobre la otra. Por equilibrio, ambos conjuntosde fuerzas por unidad de superficie han de ser iguales y de sentidos contrarios.

Figura 3.1 Concepto de tension: a) solido en equilibrio y b) seccion de dicho solido

Estas fuerzas por unidad de superficie no son fuerzas actuantes sobre el exteriordel solido. Son fuerzas internas y resultantes a nivel macroscopico de las fuerzasintermoleculares que se oponen a las separaciones entre moleculas del solido. Noobstante, tanto las fuerzas por unidad de superficie que actuan en el exterior del solidocomo estas fuerzas internas, tienen el mismo sentido fısico: son fuerzas actuantes porunidad de superficie. Cada una de estas fuerzas recibe el nombre de vector tensiony se denota como

−→t .

En el contorno exterior del solido, la superficie sobre la que actuan las fuerzasexteriores esta perfectamente definida en cada punto del mismo (el vector normal alcontorno en dicho punto es unico) y la tension es una funcion de punto

−→t (x, y, z).

Sin embargo, para caracterizar el vector tension en un punto interior del solido es


Tensiones 27

necesario indicar el plano de corte, tangente a dicho punto, utilizado. Este planoqueda definido si se conoce su normal −→n . Es pues una hipotesis aceptable conside-rar que el vector tension asociado a un punto interior de un solido elastico dependedel punto considerado y de la normal en tal punto al plano tangente considerado−→tn (x, y, z,−→n ). Ya que por un punto pasan infinitos planos, habra infinitos vectorestension asociados a un mismo punto. Cabe preguntarse ¿como es posible sacar con-clusiones sobre el estado tensional en cualquier punto de un solido, si la magnitudque lo define varıa segun el plano que se considere? ¿Existe alguna relacion que li-gue estos infinitos vectores tension? En el desarrollo del tema se responderan estascuestiones.

3.2 Componentes del vector tension

Una descomposicion habitual del vector tension asociado a un punto de un solidoelastico, referido a un plano de normal −→n , se realiza mediante la descomposicionen sus componentes normal y tangencial, como se muestra en la Figura 3.2 a). Lacomponente normal se denomina tension normal σ, y la componente tangencial sedenomina tension tangencial τ . Ambas reciben el nombre de componentes intrınsecasdel vector tension.

Figura 3.2 Vector tension. a) Componentes intrınsecas normal y tangencial. b)Componentes globales

La componente intrınseca normal σ es la proyeccion del vector tension−→tn sobre −→n .

De forma vectorial, se calcula mediante la expresion

σ =−→tn · −→n (3.1)

y de forma matricial, mediante la expresion

σ = nTtn (3.2)

La componente intrınseca tangencial τ es la proyeccion del vector tension−→tn sobre

el plano. De forma vectorial, se calcula mediante las expresiones

τ =−→tn · −→t o τ =

∣

∣

∣

−→tn − σ−→n

∣

∣

∣ (3.3)



siendo−→t el vector tangente al plano. En forma matricial, τ se calcula mediante la

expresion

τ = tTtn (3.4)

Las componentes del vector tension en un sistema de coordenadas ortogonal, comoel que se muestra en la Figura 3.2 b), reciben el nombre de componentes globales delvector tension.

3.3 Denominacion de las tensiones. Criterio de signos

Se considerara positivo el vector tension con sentido hacia el exterior del solido. Enla Figura 3.3 a) se muestran las componentes globales de la tension respecto a seisplanos paralelos a los coordenados de un sistema cartesiano de ejes. El vector tensionse descompone en la direccion normal al plano y en dos direcciones perpendicularesentre sı, contenidas en el plano como se muestra en la Figura 3.3 b).

Figura 3.3 Vectores tension: a) direcciones y sentidos positivos, y b) componentesglobales de los vectores tension

Se denotara a la componente normal al plano con σ y vendra afectada del subındicecorrespondiente al eje perpendicular al plano. Las componentes tangenciales se de-notaran con τ y vendran afectadas de dos subındices. El primero corresponde al ejeperpendicular al plano donde esta contenida y el segundo al eje al que es paralela.Debido al criterio de tensiones positivas, los valores positivos de las componentes dela tension en las caras del primer octante (vistas) corresponden a sentidos positivosde los ejes cartesianos y en las caras ocultas a sentidos negativos de dichos ejes.

3.4 Formula de Cauchy. El tensor de tensiones

En el apartado 3.1 se afirmo que en un punto existen infinitos vectores tensionasociados a los infinitos planos que pasan por dicho punto. Surgıa la pregunta de siexiste alguna relacion entre esos infinitos vectores tension. Tal relacion existe y vienedada por la formula de Cauchy.

Para deducir la formula de Cauchy, se parte de un tetraedro infinitesimal en elentorno de un punto P . Tres de las caras son paralelas a los planos coordenados y


Tensiones 29

se cortan en el punto P , Figura 3.4 a), y la otra cara viene definida por un planoinclinado de normal −→n , Figura 3.4 b).

Figura 3.4 Tetraedro infinitesimal formado por a) caras paralelas a los planoscoordenados y b) un plano de normal −→n

Si el area de la superficie de normal −→n comprendida en el primer octante es dA, lasareas de las otras tres superficies que forman el tetraedro seran

dAx = dA cosα = dA l

dAy = dA cosβ = dA m (3.5)

dAz = dA cos γ = dA n

siendo l, m y n los cosenos directores de −→n .

Figura 3.5 a) Tensiones sobre las caras del tetraedro. b) Vector tension sobre elplano de normal −→n

Estableciendo el equilibrio de fuerzas en direccion x, Figuras 3.5 a) y b), se obtiene

−σx dAx + (−τyx) dAy + (−τzx) dAz + tnx dA+ bx dV = 0 (3.6)

donde bx es la componente en x de las fuerzas por unidad de volumen.Sustituyendo las expresiones (3.5) en la ecuacion (3.6), se obtiene

−σx dA l + (−τyx) dAm + (−τzx) dAn + tnx dA+ bx dV = 0 (3.7)

Dividiendo por dA y despreciando las fuerzas por unidad de volumen frente a lasfuerzas por unidad de superficie, la ecuacion de equilibrio de fuerzas en direccion x,es



σxl + τyxm+ τzxn = tnx (3.8)

Planteando el equilibrio de fuerzas en las direcciones y y z, se obtienen las ecuaciones

τxyl + σym+ τzyn = tny (3.9)

τxzl + τyzm+ σzn = tnz (3.10)

Estas tres ecuaciones se pueden expresar en forma matricial expandida como

tnx

tny

tnz

=

σx τyx τzx

τxy σy τzy

τxz τyz σz

l

m

n

(3.11)

o bien, en forma matricial compacta

tn = σn (3.12)

A σ, que contiene los valores de las componentes de las tensiones en cada plano, sele denomina tensor de tensiones.

Las expresiones (3.11) y (3.12), indican que el vector tension−→tn (tn) correspon-

diente a un plano de normal −→n (n) se obtiene multiplicando el tensor de tensionespor el vector unitario normal a dicho plano. Por consiguiente, el estado tensionalen el interior de un solido es conocido si lo es, en todos sus puntos, el tensor detensiones.

3.5 Ecuaciones de equilibrio interno

Para su deduccion se considerara el equilibrio de un elemento diferencial en el entornode un punto interior de un solido elastico, formado por un paralelepıpedo infinitesimalcuyas caras son paralelas a los planos coordenados. Las tensiones que actuan sobrecada una de las caras se muestran en las Figuras 3.6 a) y b).

Se admite que las componentes de las tensiones son funciones continuas de lascoordenadas del punto en que actuan (hipotesis de medio continuo) y que sus in-crementos se pueden poner en funcion de las derivadas primeras de las componentesrespecto a dichas coordenadas (hipotesis de pequenas deformaciones). Si en la cara

x = c actua la tension normal σx, en la cara x = c+dx actuara la tension σx+∂σx

∂xdx.

Sobre el elemento diferencial tambien actuaran las fuerzas de volumen bx, by y bz.

Para que el elemento este en equilibrio deben ser nulos los sumatorios de lasproyecciones sobre cada uno de los tres ejes de todas las fuerzas actuantes y lossumatorios de momentos de todas las fuerzas respecto a cada eje.


Tensiones 31

Figura 3.6 Tensiones sobre las caras del paralelepıpedo elemental: a) caras vistasy b) caras ocultas

Considerando positivo el sentido de los ejes que se muestra en la Figura 3.7, elequilibrio de fuerzas en la direccion del eje x sera:

Figura 3.7 Tensiones que intervienen en el equilibrio de fuerzas en direccion deleje x

[(

σx +∂σx

∂xdx

)

dydz − σxdydz

]

+

[(

τyx +∂τyx

∂ydy

)

dxdz − τyxdxdz

]

+ (3.13)

[(

τzx +∂τzx

∂zdz

)

dxdy − τzxdxdy

]

+ bxdxdydz = 0

Planteando el equilibrio en las otras dos direcciones, se obtienen las ecuaciones:



[(

σy +∂σy

∂ydy

)

dxdz − σydxdz

]

+

[(

τxy +∂τxy

∂xdx

)

dydz − τxydydz

]

+ (3.14)

[(

τzy +∂τzy

∂zdz

)

dxdy − τzydxdy

]

+ bydxdydz = 0

[(

σz +∂σz

∂zdz

)

dxdy − σzdxdy

]

+

[(

τxz +∂τxz

∂xdx

)

dydz − τxzdydz

]

+ (3.15)

[(

τyz +∂τyz

∂ydy

)

dxdz − τyzdxdz

]

+ bzdxdydz = 0

Dividiendo las expresiones (3.13), (3.14) y (3.15) por dxdydz, queda el sistema deecuaciones:

∂σx

∂x+

∂τyx

∂y+

∂τzx

∂z+ bx = 0

∂τxy

∂x+

∂σy

∂y+

∂τzy

∂z+ by = 0

∂τxz

∂x+

∂τyz

∂y+

∂σz

∂z+ bz = 0

(3.16)

que son las ecuaciones de equilibrio interno en un paralelepıpedo elemental, y re-lacionan las tensiones con las fuerzas de volumen o de masa. Las condiciones deequilibrio planteadas en (3.13), (3.14) y (3.15) son necesarias pero no suficientes. Pa-ra que el paralelepıpedo este en equilibrio estatico es necesario que exista equilibriode momentos.

Tomando momentos respecto a un eje paralelo z’, paralelo al z, que pase (paramayor comodidad) por el centro del paralelepıpedo, las componentes que contribuyenal equilibrio de momentos respecto a este eje se muestran en la Figura 3.8.

Se debe tener en cuenta que las componentes normales de la tension se cortano son coincidentes con el eje z′, por lo que no producen momentos. Ası mismo,tampoco producen momentos las componentes tangenciales de la tension paralelaso que cortan al eje. Las tres componentes de las fuerzas de volumen, supuestamentelocalizadas en el centro del paralelepıpedo, tambien cortan al eje y no producenmomentos. La condicion de equilibrio de momentos respecto al eje considerado es,por tanto:

τxy dydzdx

2+

(

τxy +∂τxy

∂xdx

)

dydzdx

2−

τyx dxdzdy

2−(

τyx +∂τyx

∂ydy

)

dxdzdy

2= 0

(3.17)

Tomando momentos respecto a otros dos ejes, paralelos al x e y de referencia, quepasen por el centro del paralelepıpedo, se obtienen las ecuaciones de equilibrio


Tensiones 33

Figura 3.8 Tensiones que intervienen en el equilibrio de momentos alrededor deun eje perpendicular al plano xy que pasa por el centro del paralelepıpedo

τyz dxdzdy

2+

(

τyz +∂τyz

∂ydy

)

dxdzdy

2−

τzy dxdydz

2−(

τzy +∂τzy

∂zdz

)

dxdydz

2= 0

(3.18)

τxz dydzdx

2+

(

τxz +∂τxz

∂xdx

)

dydzdx

2−

τzx dxdydz

2−(

τzx +∂τzx

∂zdz

)

dxdydz

2= 0

(3.19)

Dividiendo las expresiones (3.17), (3.18) y (3.19) por dxdydz, se obtiene

τxy = τyx , τxz = τzx , τyz = τzy (3.20)

Estas igualdades expresan matematicamente el Teorema de Reciprocidad de las Ten-siones tangenciales: las componentes de las tensiones tangenciales en un punto co-

rrespondientes a dos planos perpendiculares, en la direccion normal a la arista de

su diedro, son iguales. El sentido de dichas componentes es tal que considerando undiedro recto, ambas se dirigen hacia la arista o ambas se separan, como se muestraen la Figura 3.9.

Figura 3.9 Sentido de las tensiones tangenciales

A partir de estos resultados se puede afirmar que el tensor de tensiones es simetrico,quedando de la forma



σ =

σx τxy τxzτxy σy τyzτxz τyz σz

(3.21)

3.6 Cambio de sistema de referencia

Conocido el tensor de tensiones, el vector tension−→tn sobre un plano de normal −→n

viene dado por la formula de Cauchy (en notacion matricial)

tn = σn

Las componentes del tensor de tensiones estan referidas a un sistema de referenciaxyz como se muestra en la Figura 3.10 a).

Figura 3.10 a) Componentes de la tension referidas a un sistema xyz. b)Componentes de la tension referidas a un sistema x∗y∗z∗

Se considerara un nuevo sistema de referencia ortogonal con el mismo origen que elanterior, pero con distinta orientacion como se muestra en la Figura 3.10 b). ¿Cualesseran las componentes del tensor de tensiones en este nuevo sistema?

En lo que sigue de apartado se utilizara notacion matricial. Sea σ∗ el tensor de

tensiones referido a este nuevo sistema. El vector tension tn*, correspondiente a unplano cuya orientacion viene definida por el vector unitario n*, es

tn* = σ∗n* (3.22)

Los vectores tension en ambos sistemas, referidos al mismo plano, estan relacionadosmediante la matriz de rotacion de ejes R por la ecuacion

tn* = R tn (3.23)

Las filas de la matriz de rotacion de ejes son los cosenos de los angulos formados porcada eje nuevo con los antiguos, medidos en sentido antihorario del antiguo al nuevosistema,


Tensiones 35

R =

cos θxx∗ cos θyx∗ cos θzx∗

cos θxy∗ cos θyy∗ cos θzy∗

cos θxz∗ cos θyz∗ cos θzz∗

(3.24)

Las componentes de los vectores unitarios en ambos sistemas de referencia estanligadas por la relacion

n* = R n (3.25)

Al ser la matriz de cambio de ejes ortogonal (por pasar de un sistema de coordenadasortogonal dextrogiro a otro sistema de coordenadas ortogonal dextrogiro), su inversaes igual a la traspuesta, R−1 = RT. Por tanto, se cumple

n = R−1n* = RTn* (3.26)

La expresion (3.25), teniendo en cuenta la formula de Cauchy y la ecuacion (3.26),se expresa como

tn* = R tn = R σn = RσRTn* (3.27)

Sustituyendo (3.22) en (3.27)

σ∗n* = R σRTn* (3.28)

y dividiendo por n*, se obtiene la relacion que liga σ y σ∗

σ∗ = R σRT (3.29)

La ecuacion (3.29) permite obtener el tensor de tensiones en cualquier sistema dereferencia conocidos el tensor en otro sistema de referencia y la matriz de rotacionde ejes entre ambos sistemas.

3.7 Tensiones principales

Mediante la formula de Cauchy en forma matricial

tn = σn

conocido el tensor de tensiones σ, se obtiene el vector tension correspondiente aun determinado plano multiplicando el tensor de tensiones por el vector unitario −→nnormal a dicho plano.

Figura 3.11 Vector tension coincidente con la normal al plano



Si la direccion del vector normal y del vector tension coinciden, Figura 3.11, la com-ponente intrınseca tangencial es nula, existiendo solamente componente intrınsecanormal. En este caso, se verifica, continuando en notacion matricial

σn = σn = σIn (3.30)

o bien, pasando al primer miembro

[σ − σI]n = 0 (3.31)

siendo σ el tensor de tensiones, I la matriz identidad y σ el modulo de la tensionnormal. Por tanto,

σI = σ

1 0 00 1 00 0 1

=

σ 0 00 σ 00 0 σ

(3.32)

La ecuacion (3.31) es un sistema de tres ecuaciones algebraicas homogeneas lineales,con los cosenos directores (l,m, n) como incognitas. Ademas, las incognitas debensatisfacer, por el caracter unitario del vector normal, la ecuacion

l2 +m2 + n2 = 1 (3.33)

Desarrollando la ecuacion (3.31), se tiene

(σx − σ) l + τxym+ τxzn = 0τxyl + (σy − σ)m+ τyzn = 0τxzl + τyzm+ (σz − σ)n = 0

(3.34)

Los tres cosenos directores no pueden ser todos cero, ya que deben satisfacer la ecua-cion (3.33). Para que un sistema de ecuaciones homogeneas lineales tenga soluciondistinta de la trivial, es condicion necesaria y suficiente que el determinante de lamatriz de coeficientes sea igual a cero

∣

∣

∣

∣

∣

∣

σx − σ τxy τxzτxy σy − σ τyzτxz τyz σz − σ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 (3.35)

Al desarrollar este determinante se obtiene una ecuacion cubica, denominada ecua-

cion caracterıstica

−σ3 + I1σ2 − I2σ + I3 = 0 (3.36)

siendo

I1 = σx + σy + σz (3.37)

I2 =

∣

∣

∣

∣

σy τyzτyz σz

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

σx τxzτxz σz

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

σx τxyτxy σy

∣

∣

∣

∣

(3.38)

I3 = |σ| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

σx τxy τzxτxy σy τyzτzx τyz σz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(3.39)


Tensiones 37

Las raıces de la ecuacion caracterıstica (los valores propios de σ) reciben el nombrede tensiones principales. Se denominan σi, siendo i= 1,2,3. Las direcciones corres-pondientes de las tensiones principales (los vectores propios de σ) reciben el nombrede direcciones principales. Se convendra que σ1 es la raız mayor (algebraicamente) yσ3 la menor. En todo punto interior de un solido elastico existen, si el determinantede la matriz de tensiones es distinto de cero, tres direcciones ortogonales entre sı, queson las direcciones de las tensiones principales. Los valores de las tensiones principa-les son independientes del sistema de referencia adoptado, y son los valores maximosy mınimos que pueden adoptar las componentes del vector tension en el entornodel punto considerado. Esto implica que las raıces de la ecuacion caracterıstica soninvariantes. Esta afirmacion responde a la primera de las preguntas planteadas enel ultimo parrafo del apartado 3.1, concretamente, como era posible obtener infor-macion del estado tensional de un solido si la magnitud que lo define varıa segun elplano que se considere.

Puesto que las raıces de la ecuacion caracterıstica (las tensiones principales) nodependen de la eleccion del sistema de referencia, los coeficientes de dicha ecuaciontampoco dependen del sistema de referencia. Ası pues, las expresiones de I1, I2 e I3son escalares invariantes, concretamente, se denominan invariante lineal, invariantecuadratico e invariante cubico, respectivamente.

3.8 Valores maximos de las componentes intrınsecas de

la tension

Los valores maximos de las tensiones normales son las tensiones principales y co-rresponden a planos perpendiculares a las direcciones principales (planos de ten-sion tangencial nula). Al ordenar las tensiones principales tal que se cumpla queσ1 ≥ σ2 ≥ σ3, la mayor tension de traccion (o mınima de compresion) correspondeal plano principal 1, y la mınima tension de traccion (o maxima de compresion)corresponde al plano principal 3.

Figura 3.12 Normales de los planos de tension tangencial maxima

Los valores maximos de la tension tangencial corresponden a planos cuyas normalescoinciden con las bisectrices de los angulos rectos que forman las direcciones princi-pales dos a dos, como se muestra en la Figura 3.12. La maxima de todas, de acuerdocon el criterio de ordenacion de las tensiones principales adoptado, se produce segun



la bisectriz de las direcciones principales 1 y 3, y su valor es

τmax = τ13 =σ1 − σ3

2(3.40)

Los otros valores maximos de las tensiones tangenciales son

τ12 =σ1 − σ2

2(3.41)

τ23 =σ3 − σ2

2(3.42)

3.9 Tension plana

Un solido esta sometido a tension plana si todas las componentes de la tension seencuentran en un mismo plano. Si el plano considerado es el xy, se verifica queσz = τxz = τyz = 0, y el tensor de tensiones es

σ =

(

σx τxyτxy σy

)

(3.43)

Mediante la formula de Cauchy

tn = σn

es posible conocer las componentes del vector tension en un punto P respecto acualquier plano cuya normal −→n forme un angulo θ con el eje x, tal y como se muestraen la Figura 3.13.

Figura 3.13 Componentes intrınsecas del vector tension en un punto respecto aun plano de normal −→n

La formula de Cauchy en forma expandida es

(

tnx

tny

)

=

(

σx τxy

τxy σy

)(

l

m

)

=

(

σx τxy

τxy σy

)(

cos θ

senθ

)

(3.44)

Las componentes globales del vector tension son

tnx = σx cos θ + τxy senθtny = τxy cos θ + σy senθ

(3.45)

La componente intrınseca normal σ es


Tensiones 39

σ = nTtn =

=(

cos θ senθ)

(

σx cos θ + τxy senθτxy cos θ + σy senθ

)

= (3.46)

= σx cos2 θ + σy sen2 θ + 2τxy senθ cos θ

y la componente intrınseca tangencial τ

τ = tTtn =

=(

− senθ cos θ)

(

σx cos θ + τxy senθτxy cos θ + σy senθ

)

= (3.47)

= −σx cos θ senθ + σy cos θ senθ − τxy sen2 θ + τxy cos2 θ

siendo

t =(

cos (90 + θ) cos θ)T

=(

−senθ cos θ)T

Mediante las siguientes relaciones trigonometricas

cos2 θ =1 + cos 2θ

2

sen2 θ =1− cos 2θ

2sen 2θ = 2 sen θ cos θ

cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ

las componentes intrınsecas normal y tangencial se pueden expresar como

σ =σx + σy

2+

σx − σy

2cos 2θ + τxy sen 2θ (3.48)

τ = −σx − σy

2sen 2θ + τxy cos 2θ (3.49)

Dejando a un mismo lado de la igualdad los coeficientes multiplicados por funcionestrigonometricas, las ecuaciones (3.48) y (3.49) quedan como

σ − σx + σy

2=

σx − σy

2cos 2θ + τxy sen 2θ (3.50)

τ = −σx − σy

2sen 2θ + τxy cos 2θ (3.51)

Si el plano de referencia fuera principal, se verificarıa que τ = 0. Ası, igualando acero la ecuacion (3.51) se obtiene el angulo θ que forma la direccion principal 1 conel eje x

tan 2θ =τxy

σx − σy

2

(3.52)



3.9.1 Curvas representativas de un estado tensional plano

Es posible representar graficamente algunas caracterısticas que definen un estadotensional plano mediante una serie de curvas, algunas de las cuales se definen acontinuacion.

Lıneas isostaticas

Las lıneas isostaticas son las envolventes de las tensiones principales. Hay dos familiasde estas curvas, cada una de las cuales corresponde a una de las tensiones principales.Por cada punto pasan dos isostaticas, una de cada familia, que son ortogonales entresı.

Las ecuaciones de las isostaticas se obtienen a partir de la ecuacion

tan 2θ =τxy

σx − σy

2

=2 tan θ

1− tan2 θ(3.53)

siendo θ el angulo que forma la direccion principal 1 con la direccion positiva del ejex. Por tanto, se verifica

tan θ =dy

dx(3.54)

Sustituyendo (3.54) en (3.53), se obtiene

(

dy

dx

)2

+σx − σy

τxy

dy

dx− 1 = 0 (3.55)

que es una ecuacion de segundo grado endy

dx, cuyas raıces son

dy

dx= −σx − σy

2τxy±

√

(

σx − σy

2τxy

)2

+ 1 (3.56)

Las isostaticas son de gran utilidad en el diseno de elementos de hormigon armado, yaque las armaduras de acero que cosen las fisuras que las tracciones originan en el hor-migon deberıan colocarse coincidentes con la familia de isostaticas correspondientesa la tension principal 1.

Lıneas isobaras

Las lıneas isobaras unen puntos de igual valor de las tensiones principales correspon-dientes a cada familia de isostaticas. Las expresiones analıticas son

σ1 =σx + σy

2+

√

(

σx − σy

2

)2

+ τ2xy = k1 (3.57)

σ2 =σx + σy

2−

√

(

σx − σy

2

)2

+ τ2xy = k2 (3.58)


Tensiones 41

Lıneas de maxima tension cortante

Son las envolventes de las direcciones para las que la tension tangencial es maximaen cada punto. Forman dos familias de curvas ortogonales que cortan a 45o a lasisostaticas.

Las ecuaciones de estas curvas se obtienen a partir de la ecuacion

tan 2θ = −σx − σy

2τxy=

2 tan θ

1− tan2 θ(3.59)

como

tan θ =dy

dx

Sustituyendo esta expresion en (3.59), se obtiene

(

dy

dx

)2

− 4τxyσx − σy

dy

dx− 1 = 0 (3.60)

que es una ecuacion de segundo grado endy

dx, cuyas raıces son

dy

dx=

2τxyσx − σy

±

√

(

2τxyσx − σy

)2

+ 1 (3.61)

3.10 Representacion del estado tensional en el entorno

de un punto. Cırculos de Mohr

Los cırculos de Mohr permiten de forma grafica resolver problemas de tension planay de estados generales de tensiones.

3.10.1 Construccion del cırculo de Mohr en tension plana

Se utilizara el siguiente criterio: una componente normal o tangencial de tensionsera positiva siempre que actue sobre la cara positiva del elemento en la direccionpositiva de los ejes (en la direccion negativa de los ejes sobre la cara negativa delelemento).

El cırculo de Mohr se construye sobre un sistema de ejes de abscisa σ y de orde-nada τ , como se muestra en la Figura 3.14. Para su trazado, se siguen los siguientespasos:

1. Se representan los puntos A (σx, 0), B (σy, 0), C

[

σx + σy

2, 0

]

y

X (σx, τxy)

2. Se traza la lınea CX. Esta es la lınea de referencia correspondiente a un planoen el cuerpo elastico cuya normal es la direccion x positiva.

3. Con centro en C y radio R = CX se traza una circunferencia



Figura 3.14 Construccion del cırculo de Mohr

Solucion grafica para tensiones sobre un plano inclinado

Si se conocen las tensiones σx, σy y τxy en un sistema xy, las tensiones σ′x, σ

′y y τ ′xy

en cualquier plano inclinado que forme un angulo θ con la direccion positiva del ejex, pueden obtenerse graficamente siguiendo el procedimiento que se muestra en laFigura 3.15 como sigue:

Figura 3.15 Solucion grafica para tensiones sobre un plano inclinado

1. Se traza el cırculo de Mohr segun se ha descrito en el apartado anterior.

2. Para encontrar el punto sobre la circunferencia de Mohr que represente unplano en el cuerpo elastico cuya normal esta girada un angulo θ (en sentidoantihorario) respecto del eje x, hay que girar un angulo 2θ (en sentido horario)


Tensiones 43

a partir de la lınea CX. El punto X ′ de interseccion de la recta girada con lacircunferencia es el punto buscado, cuyas coordenadas son

(

σ′x, τ

′xy

)

.

3. La abscisa del punto D′, que esta en el extremo opuesto del diametro que pasapor X ′ es σ′

y, siendo las coordenadas del punto(

σ′y,−τ ′xy

)

.

Solucion grafica para el calculo de tensiones y direcciones principales

Figura 3.16 Solucion grafica para el calculo de tensiones y direcciones principales

La Figura 3.16 muestra un procedimiento sencillo para determinar graficamente lastensiones y las direcciones principales de un estado tensional conocido. El cırculo deMohr se construye como se indico anteriormente.

Por definicion, en los planos principales, la componente intrınseca tangencial esnula. Los puntos de interseccion del cırculo de Mohr con el eje de abscisas son puntosde componente τ = 0. Por tanto, representan el valor de las tensiones principales.La tension tangencial maxima corresponde al radio del cırculo.

Para obtener las direcciones principales se dibujan lıneas desde el punto X a lospuntos σ1 y σ2. La lınea Xσ1 es paralela al plano del cuerpo elastico sobre el queactua la tension σ1, mientras que la lınea Xσ2 es paralela al plano del cuerpo elasticosobre el que actua la tension σ2. Tengase en cuenta que θ es el angulo de inclinacionde la normal del plano sobre el que actua σ1, y no la inclinacion del plano.

3.10.2 Construccion de los cırculos de Mohr de un estado general

de tensiones

Para construir los cırculos de Mohr de un estado general de tensiones es necesarioreferir el tensor de tensiones al sistema de ejes principales. Es decir, el tensor detensiones debe tener la forma



σ =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

(3.62)

El metodo grafico se muestra en la Figura 3.17 siguiendo estos pasos:

1. Situar en abscisas los puntos A (σ1, 0), B (σ2, 0) y C (σ3, 0).

2. Construir las circunferencias C1 con centro O1

(

σ2 + σ3

2, 0

)

y radioσ2 − σ3

2,

C2 con centroO2

(

σ1 + σ3

2, 0

)

y radioσ1 − σ3

2, y C3 con centroO3

(

σ1 + σ2

2, 0

)

y radioσ1 − σ2

2.

Figura 3.17 Construccion de los cırculos de Mohr de un estado general detensiones

Un estado tensional es posible si las componentes intrınsecas correspondientes soninteriores a C2 (o caen sobre C2) y exteriores a C1 y C3 (o caen sobre C1 o C3).

3.10.3 Calculo grafico de las componentes intrınsecas del vector

tension para una direccion dada

Para resolver el problema graficamente es necesario que tanto el tensor de tensionescomo el vector que define la direccion en la que se van a determinar las componentesintrınsecas, esten referidos al sistema de ejes principales. Ademas, dicho vector debeser unitario. La Figura 3.18 muestra el metodo grafico, que consiste en los siguientespasos:


Tensiones 45

1. Construccion de los cırculos de Mohr como se indico en el apartado anterior(el punto correspondiente a las componentes intrınsecas debe ser exterior a lascircunferencias primera y tercera, e interior a la segunda, o bien, se hallara enalguna de las tres).

2. Usando los datos de l y n, se trazan por los puntos correspondientes a σ1 yσ3 del eje de abscisas, las rectas inclinadas mostradas en la Figura 3.18, cuyosangulos con la direccion del eje de ordenadas son, respectivamente

α = arc cos l

γ = arc cosn

Estas rectas cortan a la circunferencia C2 en los puntos P y Q

3. Se trazan sendas circunferencias con centros en O1 y O3, que pasen por Q yP, respectivamente

4. El punto S de interseccion de ambas circunferencias es el extremo del vectortension buscado. Sus proyecciones sobre el sistema σ-τ son las componentesintrınsecas

Figura 3.18 Construccion de los cırculos de Mohr de un estado general detensiones


Ejercicio 3.1

Conocido el tensor de tensiones en el entorno de un punto de un solido elastico, sepide:



1. Calcular las componentes globales respecto a un plano que contiene al eje x ysu traza es bisectriz del plano yz

2. Calcular las componentes intrınsecas del vector tension referido al plano defi-nido en el apartado anterior

Datos:

σ =

2 1 −41 4 0−4 0 1

siendo MPa las unidades de la tension σ.

Solucion:

1. Calcular las componentes globales respecto a un plano que contiene al eje x ysu traza es bisectriz del plano yz

tn =

tnx

tny

tnz

=

−5√2

2

−2√2

√2

2

2. Calcular las componentes intrınsecas del vector tension referido al plano defi-nido en el apartado anterior

σ = 2, 5 MPa

τ = 3, 8406 MPa

Ejercicio 3.2

Conocido el tensor de tensiones en un punto de un solido elastico, se pide calcular:

1. Los planos de tension normal maxima

2. La normal unitaria del plano libre de tensiones

Datos:

σ =

3 1 11 0 21 2 0

siendo las unidades de la tension σ MPa.


Tensiones 47

Solucion:

1. Los planos de tension normal maxima

n1 =(

± 2√6± 1√

6± 1√

6

)T

n2 =(

∓ 1√3± 1√

3± 1√

3

)T

n3 =(

0 ± 1√2∓ 1√

2

)T

2. La normal unitaria del plano libre de tensiones

n =(

∓ 2√6± 1√

6± 1√

6

)T

Ejercicio 3.3

Conocido el tensor de tensiones en un punto de un solido elastico, se pide

1. Calcular las componentes del tensor de tensiones respecto a un sistema de ejesgenerado al girar 60 los ejes x e y alrededor del eje z, en sentido antihorario,manteniendo este ultimo fijo

Datos:

σ =

1 −1 −1−1 −3 3−1 3 −3

siendo MPa las unidades de la tension σ.

Solucion:

1. Calcular las componentes del tensor de tensiones respecto a un sistema de ejesgenerado al girar 60 los ejes x e y alrededor del eje z, en sentido antihorario,manteniendo este ultimo fijo

σ* =

−4 +√3

2

1− 2√3

2

−1 + 3√3

2

1− 2√3

2

√3

2

3 +√3

2

−1 + 3√3

2

3 +√3

2−3


Leccion 4

Leyes de comportamiento

Contenidos

4.1. Ley general de comportamiento elastico-lineal . . . . . . 50

4.2. Relaciones experimentales entre tensiones y deformaciones 51

4.2.1. El ensayo de traccion (compresion) . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.2. Propiedades elasticas de los materiales . . . . . . . . . . . . 54

4.2.3. Modelos de comportamiento de los materiales . . . . . . . . 55

4.2.4. Otros conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3. Ley de Hooke generalizada para materiales homogeneos

e isotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4. Ecuaciones de Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59



4.1 Ley general de comportamiento elastico-lineal

Al actuar sobre un solido una solicitacion exterior, las deformaciones que se originany las tensiones asociadas dependeran de las fuerzas de atraccion molecular, es decir,de la estructura cristalina de la materia que constituye el solido. El caso mas generalde material es aquel que presenta un comportamiento diferente segun la direccion deaplicacion de las solicitaciones. Estos materiales se denominan anisotropos. La rela-cion entre tensiones y deformaciones se puede expresar en forma matricial compactacomo

σ = Cε (4.1)

y en forma matricial expandida como

σxσyσzτxyτxzτyz

=

c11 c12 c13 c14 c15 c16c21 c22 c23 c24 c25 c26c31 c32 c33 c34 35 c36c41 c42 c43 c44 c45 c46c51 c52 c53 c54 c55 c56c61 c62 c63 c64 c65 c66

εxεyεzγxyγxzγyz

(4.2)

estableciendose la relacion, en forma general, a traves de 36 constantes elasticas (cij).Pero al ser la matriz C simetrica, el numero de constantes se reduce a 21.

Es mas habitual utilizar la relacion inversa de la expresion (4.2) (teniendo encuenta la simetrıa de C)


=

b11 b12 b13 b14 b15 b16b12 b22 b23 b24 b25 b26b13 b23 b33 b34 b35 b36b14 b24 b34 b44 b45 b46b15 b25 b35 b45 b55 b56b16 b26 b36 b46 b56 b66


(4.3)

Desarrollando (4.3) la relacion entre deformaciones y tensiones es

εx = b11σx + b12σy + b13σz + b14τxy + b15τxz + b16τyz

εy = b12σx + b22σy + b23σz + b24τxy + b25τxz + b26τyz

εz = b13σx + b23σy + b33σz + b34τxy + b35τxz + b36τyz

γxy = b14σx + b24σy + b34σz + b44τxy + b45τxz + b46τyz (4.4)

γxz = b15σx + b25σy + b35σz + b45τxy + b55τxz + b56τyz

γyz = b16σx + b26σy + b36σz + b46τxy + b56τxz + b66τyz

En la expresion (4.4) se puede observar el acoplamiento entre los efectos normales ytangenciales.

Los materiales ortotropos son aquellos que presentan propiedades diferentes endirecciones perpendiculares entre sı. Si se toman como ejes de referencia tales direc-ciones y se expresa (4.3) en dicho sistema, la relacion entre deformaciones y tensionesse establece a traves de 9 constantes elasticas dadas por la ecuacion (4.5).


Leyes de comportamiento 51


=

b1 b2 b3 0 0 0b2 b4 b5 0 0 0b3 b5 b6 0 0 00 0 0 b7 0 00 0 0 0 b8 00 0 0 0 0 b9


(4.5)

Desarrollando (4.5), la relacion entre deformaciones y tensiones es

εx = b1σx + b2σy + b3σzεy = b2σx + b4σy + b5σzεz = b3σx + b5σy + b6σzγxy = b7τxyγxz = b8τxzγyz = b9τyz

(4.6)

En (4.6) se comprueba el desacoplamiento entre efectos normales y tangenciales.

Finalmente, los materiales isotropos son aquellos que presentan las mismas pro-piedades en cualquier direccion. Quedan caracterizados por 2 constantes elasticas.La expresion (4.2) queda como sigue


=

b1 −b2 −b2 0 0 0−b2 b1 −b2 0 0 0−b2 −b2 b1 0 0 00 0 0 b3 0 00 0 0 0 b3 00 0 0 0 0 b3


(4.7)

Desarrollando (4.7) se obtiene

εx = b1σx − b2σy − b2σzεy = −b2σx + b1σy − b2σzεz = −b2σx − b2σy + b1σzγxy = b3τxyγxz = b3τxzγyz = b3τyz

(4.8)

En (4.8) se comprueba que tambien hay desacoplamiento entre los efectos normalesy tangenciales en materiales isotropos.

4.2 Relaciones experimentales entre tensiones y defor-maciones

En el apartado anterior se expuso que la relacion entre deformaciones y tensionesdepende de la estructura cristalina de la materia que constituye el solido. Esto im-plica que para cada material hay una relacion tension-deformacion distinta, cuyadeterminacion se realiza experimentalmente en el laboratorio.



4.2.1 El ensayo de traccion (compresion)

El ensayo de traccion (compresion) es universalmente utilizado para determinar laspropiedades mecanicas de los materiales. Se realiza sobre piezas de dimensiones nor-malizadas, llamadas probetas, a las que se somete a un esfuerzo de traccion (com-presion) que aumenta gradualmente hasta la rotura.

Sea una probeta cuya seccion transversal tiene area S, a la que se le aplica en susextremos una fuerza F en direccion axial, como se muestra en la Figura 4.1. Estafuerza causa en el interior del material un estado de tensiones que se supondra uni-forme.

Figura 4.1 Ensayo de traccion (compresion). Piezas sometidas a traccion(compresion) y distribucion de tensiones uniforme en la seccion transversal

A partir de la definicion de tension, se establece la relacion entre la tension encualquier punto de una seccion transversal S de la probeta y la fuerza F mediantela ecuacion (4.9).

σ =F

S(4.9)

La probeta, debido al esfuerzo, experimenta un alargamiento (acortamiento) unitarioε en el sentido longitudinal. Aumentando progresivamente la fuerza F , se van obte-niendo distintos valores de σ y ε. Representando dichos valores en un sistema de ejescartesianos de abscisas ε y de ordenadas σ se obtiene el diagrama tension-deformaciondel material ensayado. En la Figura 4.2 se muestra el diagrama tension-deformacionpara un acero dulce. En el se distinguen varios puntos importantes para comprenderel comportamiento mecanico de un determinado material.

El tramo OA tiene un comportamiento elastico-lineal. Las deformaciones produ-cidas por las tensiones desaparecen totalmente cuando cesan las tensiones. Ademas,hay proporcionalidad entre las tensiones aplicadas y las deformaciones unitarias pro-ducidas. Al punto A, lımite superior de este tramo le corresponde una tension σpque se denomina lımite de proporcionalidad.

El tramo AB tiene un comportamiento elastico. El material se comporta deforma elastica pero no hay proporcionalidad entre las tensiones y las deformacionesproducidas. La grafica se curva desde A hasta B de forma que se va reduciendo elvalor de la pendiente a medida que aumenta la carga. Al punto B, lımite superiorde este tramo, le corresponde una tension σe que se denomina lımite de elasticidad.



Figura 4.2 Ensayo de traccion. Diagrama tension-deformacion para un acero dulce

El tramo BC tiene un comportamiento plastico. Si se deja de aplicar la fuerza detraccion, quedan deformaciones residuales permanentes, lo que impide que el materialvuelva a recuperar la configuracion inicial. Al punto C, al que le corresponde unatension σf , se le denomina lımite de fluencia. Hasta el punto C los alargamientos sonpequenos pero al llegar a el aumentan considerablemente sin necesidad de aumentarla fuerza F . Para cierto tipo de materiales la tension disminuye hasta un valordeterminado por el punto D, que se denomina lımite inferior de fluencia (en estecaso a C se le denomina lımite superior de fluencia).

Los tres valores de la tension definidos anteriormente son difıciles de distinguiren el ensayo de traccion. Por ello se suele adoptar como lımite elastico aquel valorde la tension que, al descargar la pieza, provoca una deformacion unitaria residualde 0,002 (2 por mil). Al seguir aumentando la fuerza sobre la probeta, la curva sigueaumentando hasta su valor maximo en el punto G, al que le corresponde una tensionσmax que se denomina resistencia a la traccion o tension de rotura. El tramo DG

se denomina de endurecimiento por deformacion1. Este es un tramo en el que esnecesario aumentar la tension para que aumente la deformacion. El comportamientoes no lineal, con valores decrecientes de la pendiente de la curva tension-deformacion.La rotura se produce unos instantes despues, en el punto H. En el tramo GH seobserva que se reduce la tension y el material sufre una gran deformacion. Esto esdebido al fenomeno conocido como estriccion, que consiste en una gran deformacionen una parte pequena de la probeta, Figura 4.3, reduciendose rapidamente el area

1Si en un punto del proceso de carga entre los puntos D y G, el F por ejemplo, se reduce hastacero la fuerza aplicada, se observa que la descarga de la probeta se produce de acuerdo con unalınea FO′ sensiblemente paralela a la lınea de carga inicial OA, quedando una deformacion plasticaresidual εp. Si se carga de nuevo la probeta, el comportamiento del material hasta el punto F

es elastico-lineal. Es decir, similar al tramo OA inicial pero con un lımite elastico superior. A unmaterial que ha sufrido este proceso se le denomina estirado en frıo. Esta es una forma de cambiarlas propiedades mecanicas del material, en este caso aumentar el lımite elastico. Sin embargo, laresistencia a la traccion no cambia, por lo que los materiales que han sufrido este proceso llegarana la rotura con una menor deformacion plastica.



de la seccion transversal. Al reducirse el area de la seccion transversal, la tensionaumenta sin necesidad de aumentar la fuerza axial. La deformacion plastica (que sereparte en un principio a lo largo de toda la probeta) se concentra en una pequenazona, y la probeta se rompe2.

Figura 4.3 Ensayo de traccion. Probeta antes y despues de la rotura

4.2.2 Propiedades elasticas de los materiales

A partir de los resultados del ensayo de traccion se obtienen dos propiedades queintervienen en el comportamiento elastico-lineal de los materiales3: el modulo de

elasticidad longitudinal o modulo de Young (E) y el coeficiente de Poisson (ν).

El modulo de elasticidad longitudinal es la pendiente de la curva tension-deformacionen el tramo elastico-lineal OA. Puesto que el tramo (OA) es un tramo lineal, la re-lacion tension-deformacion, en la direccion axial de la probeta, puede ponerse en laforma

σ = Eε (4.10)

Esta expresion constituye la ley de Hooke. El modulo de elasticidad se define comola tension necesaria para producir una deformacion longitudinal unitaria. Cuantomayor sea el modulo de elasticidad de un material menores seran las deformacionesque experimente para unas tensiones dadas. El modulo de elasticidad es diferentepara cada material y se expresa en las mismas unidades que la tension.

El coeficiente de Poisson es la relacion entre la contraccion transversal unitariay el alargamiento longitudinal unitario de la probeta:

ν =contraccion transversal unitaria

alargamiento longitudinal unitario(4.11)

2Para definir la curva tension deformacion (lınea continua), la tension ha sido determinada di-vidiendo la fuerza F por el area inicial de la probeta. Sin embargo, el area inicial de la probeta vadisminuyendo progresivamente, con lo cual la tension obtenida por la ecuacion (4.9) no es real (enrealidad es menor que la real). En la Figura 4.2 se ha dibujado, con lınea de trazos, la curva real. Seobserva que la probeta rompe a una tension mayor que la dada por el punto G. No obstante, debidoa la dificultad de obtener la grafica tension-deformacion real, es habitual utilizar la grafica de lıneacontinua mostrada en dicha figura, lo cual esta del lado de la seguridad.

3En el Codigo Tecnico de la Edificacion se dan los valores de las propiedades mecanicas de losmateriales mas utilizados en Arquitectura. En el Documento Basico SE-A: Seguridad Estructural-Acero, en su apartado 4 se especifican los valores de las propiedades mecanicas de los aceros. En elDocumento Basico SE-F: Seguridad Estructural-Fabrica, en sus apartado 4 y anejo C, se especificanlos valores de las propiedades mecanicas de las construcciones de fabrica. En el Documento BasicoSE-M: Seguridad estructural-Madera, en sus apartado 4 y anejos D y E se especifican los valoresde las propiedades mecanicas de la madera. Las propiedades mecanicas del hormigon se dan en laEHE.



Ası, en la direccion perpendicular a la de actuacion de la tension normal σ, apareceuna deformacion transversal de valor

εt = −νε = −νσ

E(4.12)

El coeficiente de Poisson ν, tal como se ha definido, adopta siempre valores positivos.En un material isotropo, su valor es independiente de la direccion de la deformaciontransversal que se considere. El valor maximo del coeficiente de Poisson es 0,54.

La relacion entre tensiones y deformaciones para materiales isotropos, ecuacion(4.10), en funcion de las propiedades elasticas del material, es

εx =σx

E−

ν

E(σy + σz)

εy =σy

E−

ν

E(σx + σz)

εz =σz

E−

ν

E(σx + σy)

γxy =τxy

G

γxz =τxz

G

γyz =τyz

G

(4.13)

siendo G el modulo de elasticidad transversal G =E

2 (1 + ν)

4.2.3 Modelos de comportamiento de los materiales

La relacion tension-deformacion de los materiales en la zona de comportamientono lineal suele ser excesivamente complicada para utilizarla en el desarrollo de lasdiversas teorıas que tienen en cuenta el comportamiento no lineal (plasticidad, vis-coelasticidad, etc). Por ello, se han elaborado diferentes modelos de comportamientode materiales. Algunos de estos modelos se muestran en la Figura 4.4.

4.2.4 Otros conceptos fundamentales

La ductilidad es una medida del grado de deformacion plastica que un material puedesoportar hasta la fractura. Un material que experimenta poca o ninguna deformacionplastica antes de la rotura se dice que tiene un comportamiento fragil. Cuando elmaterial llega a la rotura con una deformacion plastica importante se dice que tieneuna rotura ductil. Se ha habla de rotura ductil (o fragil) y no de materiales ductiles(o fragiles) porque el comportamiento ductil o fragil no depende exclusivamente del

4En en el tema 2, apartado 2.2.2 , se obtuvo que que la dilatacion cubica unitaria de un solidoes e = ∆V

V= εx + εy + εz. Sustituyendo la ecuacion (4.12) en la expresion de la dilatacion cubica,

se obtiene e = ε− νε− νε = (1− 2ν) ε. Esta expresion se anula para ν = 0, 5, y como la dilatacioncubica unitaria en una pieza sometida a traccion no puede ser negativa, ν tiene que ser inferior a 0,5.El valor ν = 0 corresponde a materiales rıgidos transversalmente (no se deforman transversalmenteal aplicar una fuerza longitudinal), mientras que el valor ν = 0, 5 corresponde al material masflexible transversalmente, que serıa aquel que no experimenta cambio de volumen al aplicar unafuerza unidimensional.



Figura 4.4 Modelos de comportamiento

material, sino que influyen otras componentes, tales como la temperatura, los estadostriples de tensiones, etc.

En los materiales metalicos hay otros conceptos habituales como resiliencia ytenacidad. Se entiende por resiliencia a la capacidad de un material de absorberenergıa elastica cuando se deforma, y de ceder esta energıa cuando se deja de aplicarla accion que causa la deformacion. Por tenacidad se entiende la capacidad de unmaterial de absorber energıa antes de la fractura.

4.3 Ley de Hooke generalizada para materiales homogeneose isotropos

Sea una barra de seccion transversal rectangular sometida en sus caras a fuerzaslongitudinales de traccion de valor F que se suponen repartidas uniformemente enla seccion. Se consideran los ejes de referencia como principales, tal como se muestraen la Figura 4.5.

Figura 4.5 Prisma sometido a traccion triaxial segun ejes principales



Considerando exclusivamente la fuerza en la direccion 1, el estado tensional en elsolido es

σ1 =F

S1

σ2 = σ3 = 0 (4.14)

τ12 = τ13 = τ23 = 0

siendo S1 el area de la seccion normal al eje 1. Para este estado tensional, las defor-maciones, Figura 4.6 a), que se producen en el solido son

ε1 =A′D′

−AD

AD(4.15)

ε2 =B′C ′

−BC

BC(4.16)

ε3 =A′B′

−AB

AB(4.17)

Figura 4.6 Prisma sometido a traccion triaxial segun ejes principales

Los subındices 1, 2 y 3 indican las deformaciones en las direcciones principales.La ecuacion (4.15) proporciona el alargamiento unitario en direccion principal 1,mientras que las expresiones (4.16) y (4.17) proporcionan la contraccion transversalunitaria segun las direcciones principales 2 y 3, respectivamente.

Teniendo en cuenta el tipo de solicitacion, la simetrıa de la pieza y las hipotesis deisotropıa y homogeneidad del material, se puede afirmar que no existe deformaciontangencial o deslizamiento, es decir

γ12 = γ13 = γ23 = 0 ⇒ τ12 = τ13 = τ23 = 0 (4.18)

Al considerar un comportamiento elastico del material es posible aplicar la ley deHooke:



ε1 =σ1

E

ε2 = −νε1 = −νσ1

E

ε3 = −νε1 = −νσ1

E

(4.19)

Si se consideran los efectos de las fuerzas en las direcciones 2 y 3, Figura 4.6 b) yFigura 4.6 c), se llega a expresiones similares a las anteriores, tal y como se muestraen la Tabla 4.1.

Tabla 4.1 Componentes de la deformacion segun la fuerza aplicada

EjeDeformaciones producidas por

F (en direccion 1) F (en direccion 2) F (en direccion 3)

1σ1

E−ν

σ2

E−ν

σ3

E

2 −νσ1

E

σ2

E−ν

σ3

E

3 −νσ1

E−ν

σ2

E

σ3

E

Al ser lineales las ecuaciones, se pueden superponer los efectos para determinar lasdeformaciones unitarias totales:

ε1 =σ1

E−

ν

E(σ2 + σ3) =

1

E[σ1 − ν (σ2 + σ3)]

ε2 =σ2

E−

ν

E(σ1 + σ3) =

1

E[σ2 − ν (σ1 + σ3)]

ε3 =σ3

E−

ν

E(σ1 + σ2) =

1

E[σ3 − ν (σ1 + σ2)]

(4.20)

Estas ecuaciones constituyen la ley de Hooke generalizada en las direcciones princi-pales.

En un sistema de referencia no principal, la ley de Hooke toma la siguiente forma:

εx =σx

E−

ν

E(σy + σz) =

1

E[σx − ν (σy + σz)]

εy =σy

E−

ν

E(σx + σz) =

1

E[σy − ν (σx + σz)]

εz =σz

E−

ν

E(σx + σy) =

1

E[σz − ν (σx + σy)]

γxy =τxy

G

γxz =τxz

G

γyz =τyz

G

(4.21)



Las expresiones anteriores constituyen la Ley de Hooke generalizada para materiales

homogeneos e isotropos en ejes cualesquiera, y coinciden con las expresadas en laecuacion (4.13).

4.4 Ecuaciones de Lame

Si las ecuaciones de (4.21), correspondientes a las tensiones normales, se expresan enforma matricial, se obtiene

εxεyεz

=1

E

1 −ν −ν

−ν 1 −ν

−ν −ν 1

σxσyσz

(4.22)

Expresando las tensiones en funcion de las deformaciones, invirtiendo la matriz deconstantes elasticas, se obtiene

σxσyσz

=E

(1 + ν) (1− 2ν)

1− ν ν ν

ν 1− ν ν

ν ν 1− ν

εxεyεz

(4.23)

Las tensiones tangenciales se pueden expresar en funcion de las deformaciones tan-genciales, ecuacion (4.21), como sigue

τxy = Gγxy

τxz = Gγxz

τyz = Gγyz

(4.24)

Haciendo λ =νE

(1 + ν) (1− 2ν), y conociendose que G =

E

2 (1 + ν), las ecuaciones

(4.23) y (4.24) se pueden expresar como

σx = λ e+ 2Gεx

σy = λ e+ 2Gεy

σz = λ e+ 2Gεz

τxy = Gγxy

τxz = Gγxz

τyz = Gγyz

(4.25)

siendo e = εx + εy + εz. Las ecuaciones (4.25) constituyen las llamadas ecuaciones

de Lame, y expresan las tensiones en funcion de las deformaciones.En caso de tension plana, las ecuaciones de Lame se simplifican. Si se trabaja en

el plano xy, las ecuaciones son

σx =E

1− ν2(εx + νεy)

σy =E

1− ν2(νεx + εy)

τxy = Gγxy

(4.26)




Ejercicio 4.1

El campo de desplazamientos de los puntos de un solido elastico viene definido porlas funciones:

u = x2 · 10−4 , v = (y2 +2x) · 10−4 , w = z2 · 10−4 (x, y y z se expresan en mm)

Determinar, para el punto P (1, 0, 2), cuyas coordenadas estan expresadas en mm:

1. El tensor de pequenas deformaciones

2. El tensor de tensiones

Datos:

E = 210 GPa , ν = 0, 3

Solucion:

1. El tensor de pequenas deformaciones

ε =

2 1 01 0 00 0 4

· 10−4

2. El tensor de tensiones

σ =

105 16, 154 016, 154 72, 692 0

0 0 137, 308

( MPa)

Ejercicio 4.2

El solido elastico de la Figura 4.7, se encuentra sometido a un estado de tensionesuniforme de componentes σx, σy y σz.

Determinar:

1. Lo que medirıan sendas galgas colocadas en las direcciones OE y GE

2. La variacion de volumen del solido

Datos:

σx = −3 MPa , σy = 2 MPa , σz = 2MPa

E = 210 GPa , ν = 0, 35



Figura 4.7 Solido elastico sometido a un estado de tensiones uniforme

Solucion:

1. Lo que medirıan sendas galgas colocadas en las direcciones OE y GE

εOE = 5, 404 · 10−6

εGE = −3, 920 · 10−7

2. La variacion de volumen del solido

∆V = 0, 000084 m3

Ejercicio 4.3

En una placa en la que se desconocen sus propiedades mecanicas, se han colocadodos galgas extensometricas, como se muestra en la Figura 4.8. Aplicando a la placaunas tensiones normales uniformes de traccion σx y σy, se miden unas deformacionesεx y εy.

Figura 4.8 Galgas extensometricas colocadas en una placa sometida a traccion



Se pide:

1. Determinar el coeficiente de Poisson ν, y el modulo de elasticidad longitudinalE del material.

2. Si las galgas hubieran sido dispuestas en roseta como se muestra en la figurade la derecha, ¿Que lecturas de εa, εb y εc habrıamos tenido?

Datos:

σx = 30 MPa , σy = 15 MPa

εx = 550 · 10−6 , εy = 100 · 10−6

Solucion:

1. Determinar el coeficiente de Poisson ν, y el modulo de elasticidad longitudinalE del material.

E = 45000 MPa

ν = 0, 35

2. Si las galgas hubieran sido dispuestas en roseta como se muestra en la figurade la derecha, ¿Que lecturas de εa, εb y εc habrıamos tenido?.

εa = 550 · 10−6

εb = 212, 5 · 10−6

εc = 212, 5 · 10−6


Leccion 5

Criterios de plasticidad y de

rotura

Contenidos

5.1. Criterio de plasticidad para materiales sujetos a un es-

tado triaxial de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2. Criterio de plasticidad de Von Mises . . . . . . . . . . . . 65

5.3. Criterio de plasticidad de Tresca . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4. Comparacion de los Criterios de plasticidad de Von Mi-

ses y de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5. Fallo de las estructuras. Factor de seguridad para el diseno 69

5.6. Criterio de rotura de la maxima componente de la ten-

sion normal para materiales fragiles, isotropos y con

comportamiento elastico y lineal . . . . . . . . . . . . . . 71

5.7. Criterio de rotura de Mohr para materiales fragiles su-

jetos a un estado plano de tensiones . . . . . . . . . . . . 71



5.1 Criterio de plasticidad para materiales sujetos a un

estado triaxial de tensiones

En cada punto de un solido sometido a acciones exteriores existe un estado tensional,y por consiguiente, un estado de deformaciones. Cuando las acciones exteriores nosuperan un determinado umbral, el solido recupera su forma original cuando cesandichas acciones. La deformacion del solido es reversible. No hay perdida de energıadurante el proceso de carga y descarga del solido. En este caso se dice que el solidotiene un comportamiento elastico. Cuando las acciones exteriores superan un de-terminado umbral, la deformacion del solido tiene una parte irreversible. Se diceque el solido se ha deformado plasticamente. La deformacion del solido tiene unacomponente elastica (reversible) y una componente plastica (irreversible).

El estado de traccion pura que se asocia a todos los puntos de una probeta some-tida a un ensayo de traccion no es mas que uno de los infinitos estados tensionales aque puede estar sometido un punto de un solido. Surge inmediatamente la necesidadde definir los lımites de comportamiento elastico para un caso general de estado detensiones. Para ello se han desarrollado diversos criterios de plasticidad.

El criterio de plasticidad para un material con comportamiento plastico ideal, sepuede expresar matematicamente como

f (σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz, σe) = 0 (5.1)

Si el material es isotropo, los valores de la funcion de plastificacion son independientesdel sistema de referencia utilizado. Por tanto, para materiales isotropos, con com-portamiento plastico ideal, la funcion de plastificacion puede expresarse en funcionde las tensiones principales como

f (σ1, σ2, σ3, σe) = 0 (5.2)

Figura 5.1 Superficie de plastificacion para un material isotropo concomportamiento plastico ideal


Criterios de Plasticidad y de Rotura 65

El criterio de plasticidad puede representarse por una superficie cerrada, que debeser convexa y, en el caso de materiales isotropos, cilındrica. La Figura 5.1 muestracomo su directriz pasa por el origen del sistema de referencia principal. Ademas, sise admite que la presion hidrostatica no produce plastificacion, la direccion de ladirectriz de la superficie de plastificacion es

−→n =1√3

−→i1 +

1√3

−→i2 +

1√3

−→i3 (5.3)

La geometrıa de la seccion transversal de la superficie de plastificacion depende delcriterio de plastificacion que se considere. El estado tensional de cualquier punto deun solido con un comportamiento plastico ideal corresponde a un punto sobre lasuperficie de plastificacion.

5.2 Criterio de plasticidad de Von Mises

En 1913, Von Mises propuso como criterio de plastificacion que esta se alcanza cuandolas componentes de la tension, en un punto del solido, satisfacen la relacion

1

6

[

(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)

2 + (σ3 − σ1)2]

= k2 (5.4)

o bien, en ejes no principales

1

6

[

(σx − σy)2 + (σy − σz)

2 + (σz − σx)2 + 6

(

τ2xy + τ2yz + τ2xz)

]

= k2 (5.5)

siendo k2 una constante a determinar mediante el ensayo de traccion del material.Ası, si el lımite elastico obtenido en el ensayo de traccion es σe, verificandose queσ1 = σe y σ2 = σ3 = 0, k2 es, sustituyendo en (5.4)

k2 =σ2e

3(5.6)

Sustituyendo k2 en las expresiones de Von Mises en ejes principales, queda

√

1

2

[

(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)

2 + (σ3 − σ1)2]

= σe (5.7)

y en ejes no principales,

√

1

2

[

(σx − σy)2 + (σy − σz)

2 + (σz − σx)2 + 6

(


]

= σe (5.8)

Es decir, las raıces de las expresiones anteriores constituyen la tension equivalentede Von Mises

σVM =

√

1

2

[

(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)

2 + (σ3 − σ1)2]

(5.9)

o bien,



σVM =

√

1

2

[

(σx − σy)2 + (σy − σz)

2 + (σz − σx)2 + 6

(


]

(5.10)

En el caso de tension plana, el criterio de Von Mises se simplifica. En el sistema deejes principales, la tension equivalente de Von Mises es

σVM =√

σ21 + σ2

2 − σ1σ2 (5.11)

y en el sistema de ejes no principales

σVM =√

σ2x + σ2

y − σxσy + 3τ2xy (5.12)

Si σVM = σe, el estado tensional correspondiente se encuentra sobre la superficie deplastificacion. Si σVM < σe, el estado tensional correspondiente es elastico.

El criterio de Von Mises representado en el espacio de las tensiones principales,es una superficie cilındrica de longitud infinita y de seccion transversal circular, talcomo se muestra en la Figura 5.2. Por tanto, este criterio cumple que la superficiede plastificacion es convexa.

Figura 5.2 Criterio de Von Mises: superficie de plastificacion

El criterio de Von Mises se suele adoptar cuando se utilizan materiales metalicos.

5.3 Criterio de plasticidad de Tresca

En 1868, Tresca propuso que la plastificacion se alcanza cuando la tension tangencialmaxima, en un punto de un solido, alcanza un valor igual a la mitad del lımite elasticoobtenido en el ensayo de traccion del material. Por este motivo, este criterio tambiense conoce como criterio de maxima tension tangencial.

En un ensayo de traccion se verifica que σ1 6= 0 y σ2 = σ3 = 0, siendo la tension

tangencial maxima τmax =σ1

2, como se muestra en la Figura 5.3 a).



Figura 5.3 a) Tension tangencial maxima en un ensayo de traccion. b) Tensiontangencial maxima en un estado general de tensiones

Para un estado triaxial de tensiones, siendo las tensiones principales σ1 > σ2 >

σ3, la tension tangencial maxima es τmax =σ1 − σ3

2, tal como se muestra en la

Figura 5.3 b). En este caso, el criterio de Tresca establece que existe plastificacion si

(σ1 − σ3)2 − σ2

e = 0 (5.13)

o lo que es lo mismo,

σe = σ1 − σ3 (5.14)

Figura 5.4 Criterio de Tresca: superficie de plastificacion

Si no se conoce el orden de las tensiones principales, el criterio de Tresca proponeque existe plastificacion si se verifica

[

(σ1 − σ2)2 − σ2

e

] [

(σ2 − σ3)2 − σ2

e

] [

(σ3 − σ1)2 − σ2

e

]

= 0 (5.15)



Es decir, se producira plastificacion si se verifica

|σ1 − σ2| ≥ σe (5.16)

|σ2 − σ3| ≥ σe (5.17)

|σ3 − σ1| ≥ σe (5.18)

Al representar el criterio de Tresca en el espacio de las tensiones principales, esteadquiere una superficie de seccion transversal hexagonal de longitud infinita, comose muestra en la Figura 5.4. Por tanto, este criterio cumple que la superficie deplastificacion es convexa.

5.4 Comparacion de los Criterios de plasticidad de Von

Mises y de Tresca

En la Figura 5.5 se muestran ambos criterios representados en el espacio de tensionesprincipales.

Figura 5.5 Comparacion de los criterios de Von Mises y de Tresca en el espacio detensiones principales

La funcion de plastificacion correspondiente al criterio de Von Mises es no lineal,mientras que la correspondiente al criterio de Tresca es lineal por tramos. Los resul-tados obtenidos con los dos criterios son muy parecidos. Esto se puede comprobarpara un estado plano de tensiones definido por

σ =

σ1 0 00 σ2 00 0 0

En este caso, el criterio de Von Mises se reduce a

σ21 − σ1σ2 + σ2

2 = σ2e (5.19)



Que corresponde a la expresion de una elipse en el plano σ1, σ2, con los ejes mayor ymenor inclinados 45 respecto a los ejes σ1 y σ2, respectivamente, como se muestraen la Figura 5.6.

Figura 5.6 Comparacion de los criterios de Von Mises y de Tresca para un estadoplano de tensiones

El criterio de Tresca depende de la ordenacion de σ1 y σ2. Ası, si σ1 > σ2 > 0, elcriterio de Tresca se reduce a

σ1 = σe (5.20)

En el caso que σ2 > σ1 > 0, el criterio de Tresca es

σ2 = σe (5.21)

Finalmente, si σ1 > 0 > σ2, el criterio de Tresca es

σ1 − σ2 = σe (5.22)

En la Figura 5.6 se puede comprobar que las mayores divergencias entre amboscriterios ocurren para σ1 = −σ2. En este caso, el criterio de Von Mises establece

como tension equivalente σVM =σe√3, mientras que el criterio de Tresca establece

σT =σe

2. La maxima discrepancia entre ambos criterios es aproximadamente de un

15%.

5.5 Fallo de las estructuras. Factor de seguridad para el

diseno

La resistencia de una estructura es la capacidad de esta de soportar y transmitircargas sin fallar. Debido a las incertidumbres existentes en el diseno de una estruc-tura, esta se disena con una resistencia mayor que la requerida. La relacion entre laresistencia de diseno y la requerida se conoce como factor de seguridad, γ:

γ =resistencia de diseno

resistencia requerida> 1 (5.23)



A continuacion, se enumeran algunos de los criterios que deben tenerse en cuentapara la determinacion del factor de seguridad de una estructura:

- El tipo (estaticas, dinamicas, cıclicas) y magnitud de las cargas que esta pre-visto actuen sobre la estructura a lo largo de su vida util.

- La calidad prevista de la construccion.

- La calidad de los materiales empleados en la construccion de la estructura.

- Los efectos producidos por las condiciones medioambientales.

- La naturaleza del fallo previsto. El fallo gradual permite reforzar la estructuraantes de su colapso.

- Las consecuencias del fallo. Si las consecuencias son catastroficas es necesarioincrementar el factor de seguridad.

- El coste del incremento del factor de seguridad.

- Los efectos de las simplificaciones utilizadas en el calculo de la estructura.

El factor de seguridad se aplica de las siguientes formas:

Las cargas de diseno se obtienen multiplicando las maximas cargas previstaspor un factor de seguridad.

Cargas de diseno = γ ×Maximas cargas previstas.

La tension maxima de trabajo (en regimen elastico) del material se obtienedividiendo el lımite elastico por un factor de seguridad.

Tension de trabajo en regimen elastico =Lımite elastico

γ.

La tension maxima de trabajo (en rotura) del material se obtiene dividiendola tension ultima por un factor de seguridad.

Tension ultima de trabajo =Tension ultima

γ.

Los elementos estructurales que conforman una estructura se disenan de forma queactuando sobre ellos las maximas cargas previstas durante su vida util, la maximatension en cualquiera de sus puntos no supere la obtenida aplicando el criterio deplasticidad o de rotura que se haya decidido utilizar.Los modos mas habituales de fallo de una estructura son:

- Fallo de la estructura debido a una excesiva deformacion elastica o viscoelasticade uno o mas de los elementos que la constituyen.

- Fallo de estructuras realizadas con materiales ductiles debido a la inicializaciondel proceso de plastificacion

- Fallo de estructuras realizadas con materiales ductiles debido al colapso plastico

- Fallo de la estructura por inestabilidad elastica o plastica de alguno de suselementos

- Fallo de la estructura por rotura repentina de alguno de sus elementos



5.6 Criterio de rotura de la maxima componente de la

tension normal para materiales fragiles, isotropos y

con comportamiento elastico y lineal

Este criterio considera que un solido hecho de un material fragil rompe cuando elmaximo valor absoluto de la componente normal de la tension, en cualesquiera delos puntos del solido, es igual a la tension ultima alcanzada en el ensayo de tracciondel material. Esto implica que la respuesta de un material sometido a compresionuniaxial es la misma que a traccion uniaxial. En la Figura 5.7 se representa estecriterio en el espacio de tensiones principales. Se observa que este criterio supone unasuperficie de plastificacion definida por un cubo, cuyos lados tienen una dimensiondel doble de la tension ultima del material en traccion o compresion uniaxial.

Figura 5.7 Criterio de rotura de la maxima componente de la tension normal paramateriales fragiles: superficie de rotura

5.7 Criterio de rotura de Mohr para materiales fragiles

sujetos a un estado plano de tensiones

El criterio de rotura de la maxima componente de la tension normal es valido paramateriales con el mismo comportamiento en traccion y compresion uniaxial. Sinembargo, hay materiales como el hormigon, la fundicion, las rocas, los suelos, cuyoscomportamientos en traccion y en compresion uniaxial, son diferentes . Otto Mohrpropuso un criterio de rotura para estos materiales, valido para estados planos detensiones. Este criterio precisa de realizar diferentes ensayos mecanicos en el materialen estudio.

Sea un material fragil sometido a un estado plano de tensiones. En la Figura 5.8 a)se muestra la grafica tension-deformacion correspondiente al ensayo de traccion deuna probeta de dicho material. En la Figura 5.8 b) se muestran los cırculos de Mohrcorrespondientes a los estados de tensiones definidos por los puntos A, B y U deldiagrama tension-deformacion. La probeta se considera segura para niveles de fuerzasque causen tensiones inferiores a σA

1 o σB1 . La probeta fallara cuando la fuerza cause

tensiones que alcancen el valor correspondiente a la tension σu. En la Figura 5.8 b) secomprueba como los cırculos de Mohr correspondientes a estados tensionales segurosson interiores al cırculo de Mohr correspondiente al estado ultimo de tensiones.



Figura 5.8 Cırculos de Mohr para los puntos de un solido sometido a traccionuniaxial

Sea ahora un solido hecho de un material fragil del que se conocen las tensiones ulti-mas en traccion y compresion uniaxial. En la Figura 5.9 a) se muestran los cırculos deMohr correspondientes a estos estados. El solido esta sujeto a cargas que inducen es-tados planos de tensiones cuyas tensiones principales son σ1 y σ2, ambas de tracciono de compresion. Segun establece Mohr, el solido bajo el estado de cargas supuesto esseguro cuando los cırculos de Mohr correspondientes a los distintos estados tensiona-les de cada punto del solido, son interiores a los cırculos de Mohr correspondientes alos estados ultimos en traccion o compresion. Si alguna de las tensiones principales esigual a la tension ultima del material en traccion o compresion uniaxial, es inseguro.

Figura 5.9 Estados tensionales seguros e inseguros de acuerdo con el criterio derotura de Mohr

En la Figura 5.9 a) se muestran los cırculos de Mohr para estados tensionales segurosy no seguros, de acuerdo con el criterio de Morh. En la Figura 5.9 b) se muestra, enel plano de las tensiones principales, el criterio de Mohr para el solido considerado.

Para utilizar el criterio de Mohr, es necesario realizar diferentes ensayos bajodiferentes estados de carga y construir los cırculo de Mohr correspondientes a los es-tados ultimos de tensiones. Por ejemplo, realizando ensayos de compresion uniaxial,torsion pura y traccion uniaxial en un material, se pueden construir los cırculos de



Mohr correspondientes a los estados ultimos de tensiones dados por estos ensayos,ası como trazar la envolvente de dichos cırculos, tal como se muestra en la Figu-ra 5.10 a). Segun el criterio de rotura de Mohr, un solido hecho del mismo materialque la probeta ensayada, sometido a un estado plano de tensiones, es seguro si elcırculo de Morh correspondiente a cualquier estado tensional posible en el solido esinterior a la envolvente definida anteriormente. En la Figura 5.10 b) se muestra elcriterio en el espacio de tensiones principales.

Figura 5.10 Envolvente de fallo para un estado plano de tensiones de acuerdo conel criterio de rotura de Mohr

Si para un determinado material solamente se dispone de los cırculos de Mohr co-rrespondientes a los estados ultimos tensionales de traccion y compresion uniaxial,como se muestra en la Figura 5.11 a), la envolvente de Mohr puede aproximarse porrectas tangentes a dichos cırculos. El correspondiente criterio de rotura en el planode tensiones principales se muestra en la Figura 5.11 b).

Figura 5.11 Envolvente de fallo simplificada para un estado plano de tensiones deacuerdo con el criterio de rotura de Mohr

Por tanto, el criterio de rotura de Mohr puede enunciarse como sigue: un solido



sometido a un estado plano de tensiones rompe cuando las cargas actuantes alcanzanun valor tal que el punto representativo del estado tensional correspondiente caigasobre el contorno definido por ABCDEFA de los criterios de rotura mostrados en laFigura 5.10 b) y en la Figura 5.11 b).

Para materiales cuyas propiedades en traccion y compresion uniaxial sean lasmismas, la geometrıa del criterio de Mohr es similar a la dada por el criterio deTresca.

En la mayorıa de los materiales cohesivos, como el hormigon, suelos o rocas, elcriterio de rotura depende de la presion hidrostatica. De forma que un incrementoen la presion hidrostatica de compresion produce un incremento en la capacidad delmaterial de resistir las tensiones solicitadas sin romper. Es decir, se admite que laexistencia de una presion hidrostatica actuando sobre dichos materiales no provocarotura de los mismos.


Ejercicio 5.1

En un nudo de la estructura que se muestra en la Figura 5.12 se han colocado unasgalgas en roseta con la estructura descargada.

Figura 5.12 Disposicion de galgas colocadas en un nudo

Cargada la estructura, se han obtenido los valores εa, εb y εc.

Determinar en el punto en estudio:

1. La tension equivalente de Von-Mises

2. El coeficiente de seguridad

Datos:

σe = 260 MPa

εa = 520 · 10−6 , εb = 360 · 10−6 , εc = −80 · 10−6

E = 210 GPa , ν = 0, 3



Solucion:

1. La tension equivalente de Von-Mises

σVM = 191, 2 MPa

2. El coeficiente de seguridad

n = 1, 36

Ejercicio 5.2

El tensor de tensiones en un punto P de un solido elastico es:

σ =

(

100 5050 −170

)

Comprobar si dicho punto esta plastificado segun los criterios:

1. De Von-Mises

2. De Tresca

Datos:

E = 210 GPa , σe = 260 MPa

Solucion:

1. Comprobar si dicho punto esta plastificado segun el criterio de Von-Mises.

σVM = 251, 794 MPa ⇒ σVM < σe

por tanto, no hay plastificacion.

2. Comprobar si dicho punto esta plastificado segun el criterio de Tresca.

σT = 287, 924 MPa ⇒ σT > σe

por tanto, hay plastificacion.


Leccion 6

El modelo de barras: calculo deesfuerzos

Contenidos

6.1. Definicion de barra prismatica . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2. Tipos de uniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.3. Estructuras isostaticas y estructuras hiperestaticas . . . 81

6.4. Definicion de esfuerzos (solicitacion) . . . . . . . . . . . . 82

6.5. Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.6. Leyes de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.7. Diagramas de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88



6.1 Definicion de barra prismatica

Se define barra prismatica o pieza prismatica como el volumen engendrado por elmovimiento de una seccion plana A (que puede tener huecos en su interior) al recorrersu centro de gravedad G una curva plana que se denomina directriz o eje de lapieza, manteniendose la seccion A normal a la directriz y permaneciendo duranteel movimiento uno de sus ejes (que no tiene por que ser de simetrıa), en el planode la directriz. La seccion A puede variar de tamano de una forma suave durantesu movimiento a lo largo de la directriz. Ademas, se supondra que los radios decurvatura de la directriz en los distintos puntos son muy grandes comparados concualquier dimension de la seccion. Es decir, solo se consideran piezas de pequenacurvatura. No obstante, lo mas habitual es la utilizacion de barras prismaticas dedirectriz recta, como la que se muestra en la Figura 6.1.

Figura 6.1 Definicion de barra prismatica

6.2 Tipos de uniones

Cualquier punto de una seccion transversal de una barra prismatica, en el espacio,tiene seis grados de libertad: tres posibles desplazamientos (u, v y w) en las direc-ciones de los ejes coordenados, y tres posibles giros (θx, θy y θz) alrededor de dichosejes.

Las barras que componen las estructuras estan unidas entre sı o al suelo me-diante ligaduras que coartan algunas o todas las posibilidades de movimiento de losextremos de las barras. En las ligaduras se desarrollan unas fuerzas (reacciones) queimpiden tales movimientos. El sistema de fuerzas constituido por las fuerzas aplica-das directamente sobre la estructura y las reacciones debe estar en equilibrio, por loque debe verificarse, si la estructura es espacial, que

∑

Fx = 0∑

Fy = 0∑

Fz = 0∑

Mx = 0∑

My = 0∑

Mz = 0(6.1)

Si la estructura es plana (por ejemplo, esta contenida en el plano XZ ), se verificaque


El modelo de barras: calculo de esfuerzos 79

∑

Fx = 0∑

Fz = 0∑

My = 0 (6.2)

En este ultimo caso, cada punto tiene tres grados de libertad: dos desplazamientos(u, w) en las direcciones de los ejes x y z respectivamente y un giro (θy) alrededordel eje y.

Figura 6.2 Barra prismatica sometida a carga puntual

Sea la barra AB de la Figura 6.2 a), con seccion transversal simetrica respectoal eje z. Esta sometida a una carga P contenida en el plano XZ. Para facilitar larepresentacion grafica se trabajara con la directriz de la barra, tal como se muestraen la Figura 6.2 b).

Figura 6.3 Movimiento como solido rıgido de la barra

Al actuar la fuerza P, la barra se movera libremente en el plano con un movimientocompuesto de traslacion y rotacion. Si se introduce una ligadura en el punto A,tal que permita el giro de la barra alrededor de dicho punto pero impida cualquiertraslacion (se considera que no hay rozamiento en la rotula), la barra, como solidorıgido, solo podra girar alrededor de A. El punto B describe un arco de radio AB

que se muestra en la Figura 6.3 a).Al considerar la hipotesis de pequenos desplazamientos, se puede asumir que el des-plazamiento del punto B es vertical. Los movimientos horizontal y vertical del puntoA estan impedidos por la ligadura dispuesta, que introduce las fuerzas (reacciones)RAx y RAz que se muestran en la Figura 6.3 b).

Si se introduce una ligadura en B que impida su movimiento vertical, como semuestra en la Figura 6.4 a), se evita el giro alrededor de A y el movimiento comosolido libre de la barra. El movimiento vertical del punto B esta impedido por laligadura mencionada, que introduce la fuerza (reaccion) RBz que se muestra en laFigura 6.4 b).



Figura 6.4 Reacciones en la barra AB que impiden el movimiento como solidolibre

Para las estructuras planas, los tipos de apoyos (ligaduras) mas comunes se resumenen la Figura 6.5.

Figura 6.5 Apoyos mas habituales

Los extremos de las barras unidos a cada uno de estos apoyos tienen impedidosalgunos grados de libertad, segun el tipo de apoyo. Esto implica la aparicion deunas reacciones que deben considerarse como fuerzas exteriores actuantes sobre la



estructura, aunque no se conozca su valor a priori. Las articulaciones en los apoyosse consideraran sin rozamiento.

El apoyo articulado movil permite el giro alrededor de la articulacion y el des-plazamiento en la direccion del terreno donde se apoya.

El apoyo articulado fijo permite el giro alrededor de la articulacion e impide losmovimientos en el plano donde se situa.

El apoyo empotrado impide los desplazamientos en el plano y el giro.

El apoyo deslizadera impide el desplazamiento en direccion perpendicular al te-rreno donde se situa y el giro.

Los apoyos elasticos permiten un desplazamiento (giro) en la direccion del muelleinversamente proporcional a la rigidez de este.

6.3 Estructuras isostaticas y estructuras hiperestaticas

El conjunto de cargas que actuan sobre una estructura queda completamente definidosi se conocen las fuerzas directamente aplicadas sobre ella, y las reacciones en lasligaduras (normalmente desconocidas).

Para establecer el equilibrio de fuerzas sobre la estructura, ademas de las ecua-ciones (6.1) en el caso espacial, o (6.2) en el caso plano, si la estructura tiene rotulas,se plantea por cada rotula una ecuacion adicional.

Una rotula divide a la estructura en dos partes e impide la transmision de momen-tos entre estas. Por tanto, ha de verificarse que el sumatorio de momentos respecto ala rotula de todas las fuerzas y momentos actuando a un lado u otro de la rotuladebe ser nulo.

El grado de hiperestaticidad (ha) de una estructura se define como el numerode ecuaciones adicionales (ademas de las de equilibrio y las que ofrecen las rotulas)necesarias para calcular las reacciones en las ligaduras.

Si el numero de reacciones desconocidas en las ligaduras coincide con el numerode ecuaciones de equilibrio de la estructura (ha = 0), se dice que la estructura esisostatica. La Figura 6.6 muestra dos estructuras en las que se tienen suficientesecuaciones de equilibrio y de rotulas para determinar las reacciones en los apoyos.

Figura 6.6 Estructuras isostaticas

Si el numero de reacciones desconocidas es superior al de ecuaciones (ha > 0), se diceque la estructura es hiperestatica. La Figura 6.7 muestra un ejemplo en el que esnecesario buscar ecuaciones adicionales a las de equilibrio y a las que ofrecen las rotu-las para determinar las reacciones. Estas ecuaciones adicionales pueden plantearseen terminos de desplazamientos conocidos.



Figura 6.7 Estructura hiperestatica

6.4 Definicion de esfuerzos (solicitacion)

Sea la barra biapoyada que se muestra en la Figura 6.8. La barra presenta simetrıarespecto al plano XZ. La carga vertical P esta contenida en dicho plano XZ, siendolos ejes y y z de la seccion los ejes principales de inercia.

Figura 6.8 Viga biapoyada sometida a carga puntual

La carga P se transmite a los apoyos generandose en estos las reacciones R1 y R2,que tambien estaran contenidas en el plano XZ, como se muestra en la Figura 6.9 a),donde se ha dibujado solo la directriz de la barra. Aislando un trozo de barra eimponiendo su equilibrio, deben actuar sobre la seccion de corte una fuerza verticalque equilibre la reaccion y un momento, el cual es necesario para el equilibrio demomentos, como se muestra en la Figura 6.9 b). El momento se produce alrededordel eje y, y la fuerza vertical R1 esta contenida en el plano XZ.

Figura 6.9 a) Reacciones. b) Fuerzas de equilibrio sobre una seccion arbitraria

La transmision de una parte (R1) de la carga P desde su punto de aplicacion hasta elapoyo izquierdo, se realiza al desarrollar el material un estado tensional estaticamenteequivalente a una fuerza y a un momento en cada seccion. En este caso concreto, lafuerza vertical es la resultante de la distribucion de tensiones tangenciales τxz en el



area de la seccion, y el momento esta causado por las tensiones normales σx, comose muestra en las Figuras 6.10 a) y b).

Figura 6.10 a) Estado tensional. b) Fuerzas equivalentes al estado tensional en laseccion

A partir de este ejemplo sencillo se pueden definir los esfuerzos como las fuerzas y

los momentos estaticamente equivalentes a la distribucion de vectores tension que

debe desarrollar el material en los puntos de cada seccion para transmitir las cargas

exteriores.

Figura 6.11 Tensiones sobre un elemento diferencial de una seccion de area A deuna barra prismatica

En el caso mas general, la seccion de una barra estara sometida a un estado tensionalsimilar al que se muestra en la Figura 6.11, estaticamente equivalente a seis esfuer-zos: un esfuerzo axil, dos esfuerzos cortantes, un momento torsor y dos momentosflectores.

El esfuerzo axil Nx (x) se define como la fuerza resultante de integrar las tensionesnormales σx (x, y, z) en el area de la seccion:

Nx (x) =

∫

A

σx (x, y, z) dA (6.3)

Los esfuerzos cortantes Vy (x) y Vz (x) se definen como las fuerzas resultantes deintegrar las tensiones tangenciales τxy (x, y, z) y τxz (x, y, z), respectivamente, en elarea de la seccion:

Vy (x) =

∫

A

τxy (x, y, z) dA (6.4)

Vz (x) =

∫

A

τxz (x, y, z) dA (6.5)



Se considerara que el axil y los cortantes son positivos cuando, actuando en unaseccion de normal positiva, llevan la direccion positiva de los ejes, o cuando en unacara de normal negativa llevan el sentido contrario.

En la figura 6.12 se muestran los esfuerzos axil y cortantes sobre una seccion deuna barra prismatica.

Figura 6.12 Esfuerzos axil y cortantes en direcciones y y z

Los momentos flectores My (x) y Mz (x) resultan de integrar en el area de la seccionlos momentos que producen las fuerzas normales σx (x, y, z) dA respecto a los ejes yy z, respectivamente:

My (x) =

∫

A

z σx (x, y, z) dA (6.6)

Mz (x) =

∫

A

y σx (x, y, z) dA (6.7)

My (x) se considerara positivo si lleva el sentido positivo del eje y. Mz (x) se consi-derara positivo si lleva el sentido negativo del eje z.

Por ultimo, el momento torsor Mx (x) es el resultante de integrar en el areade la seccion los momentos que originan las fuerzas tangenciales τxy (x, y, z) dA yτxz (x, y, z) dA respecto al eje x :

Mx (x) =

∫

A

(y τxz (x, y, z)− z τxy (x, y, z)) dA (6.8)

El sentido positivo es el del eje x.

En la Figura 6.13 a) y en la Figura 6.13 b) se muestran dos formas de representarlos momentos flectores y torsor. En la representacion de la Figura 6.13 b) se utilizael vector con doble flecha para indicar el sentido del momento de acuerdo a la regla

de la mano derecha, como se muestra en la Figura 6.13 c). Segun el criterio adop-tado, valores positivos de My (x) y Mz (x) implica que ambos momentos producentracciones en el primer cuadrante.

De las ecuaciones (6.3) a (6.8), se deduce que los esfuerzos son funcion, exclusi-vamente, de la coordenada x que se considere. Es decir, se ha pasado de un modelotridimensional, planteado en elasticidad, a un modelo de barra que es unidimensional.Se admitira que cualquier esfuerzo es constante en toda la seccion.



Figura 6.13 Momentos torsor y flectores alrededor de los ejes y y z

6.5 Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio interno del modelo de barras se obtienen planteando elequilibrio de fuerzas y momentos que actuan sobre una rebanada diferencial de labarra.

Figura 6.14 Esfuerzos y fuerzas actuantes sobre una rebanada

En la Figura 6.14 se muestra una rebanada diferencial de longitud dx y todas las



cargas y esfuerzos que la solicitan.En la seccion frontal de la rebanada diferencial que se muestra en las Figu-

ras 6.14 a) y b), actuan los esfuerzos Nx (x), Vy (x), Vz (x), Mx (x), My (x) y Mz (x),que son estaticamente equivalentes a la distribucion de tensiones en dicha seccion. Enla seccion dorsal de la rebanada diferencial actuan esos mismos esfuerzos incremen-tados una cantidad diferencial, Nx (x) + dNx (x), Vy (x) + dVy (x), Vz (x) + dVz (x),Mx (x) + dMx (x), My (x) + dMy (x) y Mz (x) + dMz (x). Finalmente, hay aplicadasunas cargas qx (x), qy (x) y qz (x), que se muestran en la Figura 6.14 c), y unos mo-mentos gx (x), gy (x) y gz (x), ambos tipos de cargas repartidas uniformemente sobrela longitud dx (los momentos distribuidos uniformemente no se han representado).

Imponiendo el equilibrio de fuerzas y momentos en la rebanada diferencial, aligual que se hace en elasticidad con las tensiones a nivel de punto, se obtienen lasseis ecuaciones de equilibrio interno.

El equilibrio de fuerzas en la direccion x es

Nx (x) + dNx (x)−Nx (x) + qx (x) dx = 0 (6.9)

obteniendose que

dNx (x)

dx+ qx (x) = 0 (6.10)

Los equilibrios de fuerzas en las direcciones y y z son

Vy (x) + dVy (x)− Vy (x) + qy (x) dx = 0 (6.11)

Vz (x) + dVz (x)− Vz (x) + qz (x) dx = 0 (6.12)

obteniendose que

dVy (x)

dx+ qy (x) = 0 (6.13)

dVz (x)

dx+ qz (x) = 0 (6.14)

Por ultimo, se estableceran los equilibrios de momentos. El equilibrio de momentosalrededor del eje x es

Mx (x) + dMx (x)−Mx (x) + gx (x) dx = 0 (6.15)

despejando se obtiene

dMx (x)

dx+ gx (x) = 0 (6.16)

Los equilibrios de momentos alrededor de los ejes y y z son

My (x) + dMy (x)−My (x)− Vz (x) dx+ gy (x) dx+ qz (x) dxdx

2= 0 (6.17)

Mz (x) + dMz (x)−Mz (x)− Vy (x) dx+ gz (x) dx+ qy (x) dxdx

2= 0 (6.18)

Despreciando el infinitesimo de orden superior(

dx2)

, se obtiene



dMy (x)

dx− Vz (x) + gy (x) = 0 (6.19)

dMz (x)

dx− Vy (x) + gz (x) = 0 (6.20)

Si se considera que la seccion es simetrica respecto al plano XZ, y que todas lascargas actuan sobre dicho plano, se puede pasar al modelo plano de rebanada que semuestra en la Figura 6.15.

Figura 6.15 Equilibrio de una rebanada considerando todas las cargas actuandoen el plano XZ

Estableciendo el equilibrio entre fuerzas y esfuerzos, las ecuaciones de equilibriointerno son:

dNx (x)

dx+ qx (x) = 0 (6.21)

dVz (x)

dx+ qz (x) = 0 (6.22)

dMy (x)

dx− Vz (x) = 0 (6.23)

De la expresion (6.21) se deduce que en cualquier tramo de una viga con qx = 0,el esfuerzo axil Nx (x) es constante.

De las ecuaciones (6.22) y (6.23) se deduce que en cualquier tramo de una vigacon qz = 0, el esfuerzo cortante Vz (x) es constante y My (x) varıa linealmente.

De las ecuaciones (6.22) y (6.23) se deduce que en tramos de una viga conqz 6= 0, el esfuerzo cortante Vz (x) y el momento flector My (x) varıan conleyes continuas de primer y segundo grado, respectivamente, si qz es constante.Estas leyes serıan de segundo y tercer grado, respectivamente, si qz variaralinealmente.

De la ecuacion (6.23) se deduce que si en un tramo Vz (x) = 0, My (x) esconstante. Si Vz (x) es distinto de cero, My (x) existe y es variable.

De la expresion (6.23) se deduce que para las secciones en que el esfuerzocortante se anula, el momento flector se hace maximo. No puede ser mınimoporque la derivada segunda de My (x) es negativa, ya que



qz (x) = −dVz (x)

dx(6.24)

y teniendo en cuenta (6.23), se obtiene

qz (x) = −dVz (x)

dx= −

d

dx

dMy (x)

dx= −

d2My (x)

dx2(6.25)

6.6 Leyes de esfuerzos

Al considerar el modelo unidimensional de barras, los esfuerzos sobre cada seccion sonexclusivamente funcion de la coordenada x y constantes en toda la seccion. Por tanto,dando los cortes adecuados en la barra de forma que se consideren todas las cargasactuantes y la distribucion de las mismas sobre esta y planteando las ecuacionesde equilibrio entre esfuerzos y cargas en cada seccion de corte, se obtendran lasecuaciones de variacion de los esfuerzos a lo largo de toda la barra en funcion de lacoordenada x. Estas ecuaciones se denominan leyes de esfuerzos.

En la Figura 6.16 se muestran los cortes que hay que dar en la estructura repre-sentada para que queden perfectamente determinadas las leyes de esfuerzos en todaella.

Figura 6.16 Secciones a estudiar para el calculo de esfuerzos en la barra

Para esta estructura, teniendo en cuenta las solicitaciones actuantes, son necesarioscuatro cortes. Los esfuerzos calculados en la seccion de abscisa xI son validos paratodo el tramo comprendido entre el apoyo A y la carga P1, ambos extremos incluidos.En la seccion de abscisa xII los esfuerzos calculados son validos para el tramo com-prendido entre los puntos de aplicacion de P1 y P2, ambos incluidos. Los esfuerzoscalculados en la seccion de abscisa xIII son validos para el tramo comprendido entreel punto de aplicacion de P2 y el comienzo de la carga distribuida q. Finalmente, losesfuerzos calculados en la seccion de abscisa xIV son validos para el tramo compren-dido entre el punto de comienzo de la carga distribuida y el apoyo B. De esta forma,las leyes de esfuerzos quedan perfectamente definidas para cualquier seccion de labarra.

Las leyes de esfuerzos son funciones continuas, salvo en los puntos donde actuancargas o momentos puntuales.

6.7 Diagramas de esfuerzos

La representacion grafica de las leyes de esfuerzos permite visualizar aquellas seccio-nes mas solicitadas, las cuales seran las mas crıticas para comprobar a resistencia ydeformacion. Esta representacion grafica recibe el nombre de diagramas de esfuerzos.

La construccion de los diagramas de esfuerzos no es mas que la representaciongrafica de las ecuaciones de las leyes de esfuerzos. El eje de abscisas representa la



coordenada x de cada una de las posibles secciones de la barra. En ordenadas serepresentan los esfuerzos. A modo ilustrativo, en la Figura 6.17 se muestran losdiagramas de esfuerzos de la estructura de la Figura 6.16.

Figura 6.17 Diagramas de esfuerzos

El signo de los esfuerzos se determina a partir del criterio de esfuerzos positivos aambos lados de una rebanada elemental, mostrado en la Figura 6.18 a). Para que elsentido de los esfuerzos quede perfectamente definido es necesario utilizar el sımbolocorrespondiente de entre los indicados en la Figura 6.18 b).

Figura 6.18 Criterio de signos a ambos lados de la rebanada diferencial ysımbolos y signo de los esfuerzos

Trazar los diagramas por encima o por debajo del eje x no da informacion sobre el



signo de los esfuerzos sino van acompanados del correspondiente sımbolo, que es elque indica como actua el esfuerzo sobre la seccion.


Ejercicio 6.1

Para la estructura de la Figura 6.19,

Figura 6.19 Estructura sometida a cargas uniformes

Se pide:

1. Calcular las reacciones en los apoyos

2. Calcular las expresiones de las leyes de esfuerzos

3. Dibujar los diagramas de esfuerzos, acotando los valores maximos y mınimosde los esfuerzos y las coordenadas de los puntos en que se producen

Datos:

L = 4 m

k = 5 · 103 kN/m , E = 210 GPa

q = 20 kN

Solucion:

1. Calcular las reacciones en los apoyos

RAz = 36, 667 kN

RBz = 43, 333 kN

RCx = −20 kN



2. Calcular las expresiones de las leyes de esfuerzos

Tabla 6.1 Leyes de esfuerzos

Tramo Nx Vz My

AB 0 −20x+ 36, 667 −10x2 + 36, 667xBC 0 0 -13,333DC 0 5x2 −1, 667x3

3. Dibujar los diagramas de esfuerzos, acotando los valores maximos y mınimosde los esfuerzos y las coordenadas de los puntos en que se producen

Figura 6.20 Diagramas de esfuerzos de una estructura sometida a cargasuniformes


Leccion 7

Distribucion de tensiones

normales en regimen elastico -

Conceptos fundamentales

Contenidos

7.1. Expresion general de la distribucion de tensiones normales 94

7.2. Eje neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.3. Representacion grafica plana de la distribucion de ten-

siones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97



7.1 Expresion general de la distribucion de tensiones

normales

Sea una seccion transversal de una barra prismatica sometida a una fuerza N aplicadaen su centro de gravedad en sentido positivo del eje x y a sendos momentos flectoressegun los ejes y y z que se muestran en la Figura 7.1 a). Se considera positivo elmomento segun el eje y si lleva la direccion del eje, y el momento segun el eje z silleva la direccion contraria al eje, es decir, si ambos momentos producen traccionesen el primer cuadrante. El origen de coordenadas coincide con el centro de gravedadde la seccion.

Figura 7.1 a) Seccion transversal de una barra prismatica sometida asolicitaciones normales b) Distribucion de tensiones normales sobre un elemento

diferencial de la seccion

Se supondra que las solicitaciones sobre la seccion producen un estado tensionalcaracterizado por

σx (x, y, z) 6= 0

σy (x, y, z) = σz (x, y, z) = 0

τxy (x, y, z) = τxz (x, y, z) = τyz (x, y, z) = 0

Las ecuaciones de equilibrio interno, desarrolladas en el tema 3 apartado 3.5,

∂σx

∂x+

∂τyx

∂y+

∂τzx

∂z+ bx = 0

∂τxy

∂x+

∂σy

∂y+

∂τzy

∂z+ by = 0

∂τxz

∂x+

∂τyz

∂y+

∂σz

∂z+ bz = 0,

se reducen (despreciando las fuerzas de volumen) a∂σx

∂x= 0; lo que implica que

la distribucion de tensiones normales en una seccion a una distancia x del origen


El esfuerzo axil 95

considerado, es solamente funcion de y y z. Ademas, es posible demostrar a travesde las ecuaciones de compatibilidad en tensiones o ecuaciones de Beltrami-Michell,que la distribucion de tensiones σx (x, y, z) debe ser lineal en y y z. Es decir,

σx (x, y, z) = Ay +Bz + C (7.1)

Para que el sistema de fuerzas resultante de la distribucion de tensiones σx (x, y, z) ylas fuerzas y momentos aplicados sobre la seccion sean estaticamente equivalentes, esnecesario y suficiente que se verifique la igualdad de resultantes de ambos sistemasy la igualdad de momentos de ambos sistemas respecto al mismo punto.

La igualdad de resultantes de ambos sistemas implica que

N (x) =

∫

S

σx (x, y, z) dS =

∫

S

(Ay +Bz + C) dS =

= A

∫

S

y dS

︸︷︷︸

Qz

+B

∫

S

z dS

︸︷︷︸

Qy

+C

∫

S

dS

︸︷︷︸

S

(7.2)

siendo Qy y Qz los momentos estaticos de la seccion respecto a los ejes y y z,respectivamente, y S el area de la seccion.

Al coincidir el origen de coordenadas y el centro de gravedad de la seccion, severifica queQy = Qz = 0, por lo que la expresion (7.2) queda reducida aN (x) = C S,es decir, la constante C de la ecuacion (7.1) es

C =N (x)

S(7.3)

La igualdad de momentos implica que

My (x)−→j −Mz (x)

−→k =

∫

S

−→r × [σx (x, y, z) dS]−→i =

=

∫

S

∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

0 y z

σx (x, y, z) dS 0 0

∣∣∣∣∣∣

=

=

∫

S

z σx (x, y, z) dS−→j −

∫

S

y σx (x, y, z) dS−→k

(7.4)

Identificando componentes se obtiene que

My (x) =

∫

S

z σx (x, y, z) dS (7.5)

Mz (x) =

∫

S

y σx (x, y, z) dS (7.6)

Sustituyendo (7.1) en (7.5) y (7.6)



My (x) =

∫

S

z (Ay +Bz + C) dS =

=

∫

S

z

(

Ay +Bz +N (x)

S

)

dS =

= A

∫

S

z y dS

︸︷︷︸

Iyz

+B

∫

S

z2 dS

︸︷︷︸

Iy

+N (x)

S

∫

S

z dS

︸︷︷︸

Qy

(7.7)

Mz (x) =

∫

S

y (Ay +Bz + C) dS =

=

∫

S

y

(

Ay +Bz +N (x)

S

)

dS =

= A

∫

S

y2dS

︸︷︷︸

Iz

+B

∫

S

y z dS

︸︷︷︸

Iyz

+N (x)

S

∫

S

y dS

︸︷︷︸

Qz

(7.8)

siendo Iy el momento de inercia de la seccion respecto al eje y ; Iz el momento deinercia de la seccion respecto al eje z e Iyz el producto de inercia de la seccion respectoa los ejes y y z. Los momentos estaticos Qy y Qz son nulos por estar referidos alcentro de gravedad de la seccion.

Los coeficientes A y B de la ecuacion (7.1) se determinan resolviendo el sistemade ecuaciones formado por (7.7) y (7.8)

A Iyz +B Iy = My (x)A Iz +B Iyz = Mz (x)

(7.9)

obteniendose

A =Mz (x) Iy −My (x) Iyz

IyIz − I2yzy B =

My (x) Iz −Mz (x) IyzIyIz − I2yz

Sustituyendo las expresiones de A, B y C en (7.1), la expresion de la tension normales

σx (x, y, z) =N (x)

S+

Mz (x) Iy −My (x) Iyz

IyIz − I2yzy +

My (x) Iz −Mz (x) Iyz

IyIz − I2yzz (7.10)

o bien

σx (x, y, z) =N (x)

S+

Iz z − Iyz y

IyIz − I2yzMy (x) +

Iy y − Iyz z

IyIz − I2yzMz (x) (7.11)

La formulacion anterior (y las que se deriven de esta en los siguientes apartados) esvalida tanto para secciones macizas como de pared delgada. Se consideran perfilesde pared delgada aquellos cuya seccion transversal tenga espesores de pared (t) quesean como maximo la decima parte de la menor dimension caracterıstica (h, b > 10t).El resto son perfiles de seccion maciza.

En la Figura 7.2 se muestra la distribucion de tensiones normales sobre unaseccion sometida a esfuerzo axil y momentos flectores segun los ejes y y z.


El esfuerzo axil 97

Figura 7.2 Distribucion de tensiones normales sobre una seccion de una barraprismatica sometida a solicitaciones normales

7.2 Eje neutro

Se define eje neutro como el lugar geometrico de los puntos de la seccion con tension

normal nula. Por tanto, se verifica

N (x)

S+

Iz z − Iyz y


Iy y − Iyz z

IyIz − I2yzMz (x) = 0 (7.12)

o si los ejes son principales de inercia (Iyz = 0),

N (x)

S+

My (x)

Iyz +

Mz (x)

Izy = 0 (7.13)

Si el eje neutro corta a la seccion, este la divide en dos zonas, una estara traccio-nada y la otra comprimida. Si el eje neutro no corta a la seccion, toda la seccionestara comprimida o traccionada, en funcion del valor de los esfuerzos que la solicitan.

En la Figura 7.3 se muestra el eje neutro correspondiente a una seccion sometidaa esfuerzo axil y a momentos flectores segun los ejes y y z.

Figura 7.3 Eje neutro correspondiente a una seccion sometida a esfuerzo axil y amomentos flectores segun los ejes y y z

7.3 Representacion grafica plana de la distribucion de

tensiones normales

Se suele utilizar una representacion plana (sobre el propio plano de la seccion) de ladistribucion de tensiones normales.



Figura 7.4 Representacion plana de la distribucion de tensiones normales

En la Figura 7.4 se muestra la proyeccion de la distribucion de tensiones en unaseccion, sobre un plano perpendicular al eje neutro. Posteriormente, dicho planose abate sobre el plano de la seccion, obteniendose la representacion buscada. Elprocedimiento de construccion es el que sigue:

1. Se traza el eje neutro sobre la seccion, como se muestra en la Figura 7.5

Figura 7.5 Representacion plana de la distribucion de σx (x, y, z). Paso 1

2. Se localizan los puntos mas y menos traccionados en la seccion, es decir, losvertices mas alejados del eje neutro a un lado y otro de este, como se muestraen la Figura 7.6


3. Por cualquier punto del plano que contiene a la seccion, se traza una perpen-dicular al eje neutro como la que se muestra en la Figura 7.7


El esfuerzo axil 99


4. Se trazan sendas paralelas al eje neutro que pasen por los puntos determinadosen el apartado anterior, las cuales deben cortar a la lınea perpendicular al ejeneutro trazada en el punto 2, como se muestra en la Figura 7.8


5. Se evaluan las tensiones en los puntos mas traccionados (menos comprimidos)y menos traccionados (mas comprimidos)

6. Con origen en la interseccion de las lıneas perpendicular y paralelas al ejeneutro, se trazan sobre las paralelas sendos segmentos proporcionales a lastensiones obtenidas en el apartado anterior y se unen los extremos, como semuestra en la Figura 7.9





Ejercicio 7.1

La expresion analıtica de la distribucion de tensiones normales de la seccion hexa-gonal mostrada en la Figura 7.10 es:

σx(y, z) = −21, 858 + 0, 266y − 0, 309z (Fuerzas en N y longitudes en mm)

Figura 7.10 Seccion hexagonal sometida a flexocompresion desviada

Obtener:

1. La ecuacion del eje neutro

2. La representacion grafica del eje neutro y de la distribucion de tensiones nor-males

Datos:

h = 300 mm , bw = 230 mm , be = 80 mm

Solucion:


y = 82, 173 + 1, 162z mm



El esfuerzo axil 101

Figura 7.11 Seccion hexagonal sometida a flexocompresion desviada. Distribucionde tensiones normales

Ejercicio 7.2

La expresion analıtica de la distribucion de tensiones normales de la seccion en dobleT mostrada en la Figura 7.12 es:

σx(y, z) = −3, 879 + 0, 679y (Fuerzas en N y longitudes en mm)

Figura 7.12 Seccion en doble T sometida a flexion compuesta

Obtener:



Datos:

h = 300 mm , b = 300 mm , tf = 19 mm , tw = 11 mm

Solucion:


y = 5, 713 mm




Figura 7.13 Seccion en doble T sometida a flexion compuesta. Distribucion detensiones normales


Leccion 8

El esfuerzo axil

Contenidos

8.1. Distribucion de tensiones normales estaticamente equi-

valentes a esfuerzos axiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.2. Deformaciones elasticas y desplazamientos debidos a un

axil centrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.3. Sistemas hiperestaticos sometidos a esfuerzo axil . . . . 107

8.4. Cargas termicas y faltas de ajuste . . . . . . . . . . . . . 109

8.4.1. Cargas termicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.4.2. Falta de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109



8.1 Distribucion de tensiones normales estaticamente

equivalentes a esfuerzos axiles

Una barra prismatica trabaja a esfuerzo axil, de traccion o compresion, cuando aldeformarse desarrolla en cada seccion normal a la directriz de la barra (seccion recta),tensiones estaticamente equivalentes a un esfuerzo axil. Esto implica que los esfuerzoscortantes y los momentos flectores y torsor son nulos. Por tanto, la distribucion detensiones normales, dada por (7.11), queda como

σx (x, y, z) =N (x)

S(8.1)

En este tipo de solicitacion el eje neutro nunca corta a la seccion. Se ha compro-bado experimentalmente que en una barra sometida exclusivamente a esfuerzo axil,cualquier seccion transversal recta y plana, sigue siendo recta y plana tras la defor-macion. Es decir, todos los puntos de una seccion tienen la misma deformacion. Sila seccion es homogenea, la distribucion de tensiones es uniforme en toda la seccion.El tensor de tensiones en cualquier punto de la seccion, es

σ =

σx 0 00 0 00 0 0

(8.2)

En la Figura 8.1 se representa la distribucion de tensiones correspondiente.

Figura 8.1 Distribucion uniforme de tensiones en una seccion sometidaexclusivamente a esfuerzo axil

En una barra con seccion transversal constante sometida a un esfuerzo axil constante,todos y cada uno de los puntos de cualquier seccion transversal de la barra, y todasy cada una de las secciones (por tanto todos los puntos de la barra) tendran lamisma tension. Si la seccion y/o el esfuerzo axil no son constantes, la distribucionde tensiones sera uniforme en cada seccion, pero variara su valor de una seccion aotra. Un ejemplo serıa un cable colgado que resiste la accion de su propio peso.



Figura 8.2 Esfuerzos y tensiones en una seccion inclinada respecto a la directriz,de una barra sometida exclusivamente a esfuerzo axil

El estado tensional en cualquier punto de una seccion que no sea recta, como la quese muestra en la Figura 8.2 a), se obtiene descomponiendo la fuerza axil actuanteen una componente normal y otra tangencial al plano considerado, como se muestraen la Figura 8.2 b). Las tensiones correspondientes se obtienen al dividir dichascomponentes por el area S de la seccion inclinada, tal y como se muestra en laFigura 8.2 c).

En la Figura 8.3 se muestra el cırculo de Mohr que representa un estado tensionalde traccion uniaxial. Se comprueba que dependiendo del plano considerado, puedenexistir tensiones tangenciales. La maxima tension tangencial (τmax en la figura) co-rresponde al plano que forma 45 con la directriz de la pieza.

Figura 8.3 Cırculo de Mohr para un estado de traccion uniaxial

8.2 Deformaciones elasticas y desplazamientos debidos

a un axil centrado

Para el estudio de las deformaciones en una barra prismatica cargada axialmente sehara uso de la ley de Hooke generalizada.

Si la seccion esta sometida exclusivamente a un esfuerzo axil en direccion del ejex, se verifica que σy = σz = τxy = τxz = τyz = 0. Las ecuaciones de la ley de Hooke



εx =σx

E−

ν

E(σy + σz) =

1

E[σx − ν (σy + σz)]

εy =σy

E−

ν

E(σx + σz) =

1

E[σy − ν (σx + σz)]

εz =σz

E−

ν

E(σx + σy) =

1

E[σz − ν (σx + σy)]

γxy =τxy

G

γxz =τxz

G

γyz =τyz

G

se reducen a

εx =σx

E(8.3)

εy = εz = −ν

Eσx (8.4)

Es decir, ademas de la deformacion longitudinal unitaria en la direccion de aplicacionde la carga, ecuacion (8.3), se producen deformaciones transversales, ecuacion(8.4).Teniendo en cuenta que la distribucion de tensiones normales en una seccion sometidaexclusivamente a esfuerzo axil es

σx =N

S(8.5)

sustituyendo (8.5) en (8.3), el alargamiento unitario en la direccion de aplicacion dela carga es

εx =N

ES(8.6)

El alargamiento unitario expresado como una variacion del alargamiento longitudinales

εx =du

dx(8.7)

Igualando (8.6) y (8.7), se obtiene

du

dx=

N

ES(8.8)

El desplazamiento u de una seccion de abscisa x, segun se muestra en la Figura 8.4,se obtiene a partir de la integracion de la ecuacion (8.8):

u =

∫ x

0

N

ESdx (8.9)



Figura 8.4 Alargamiento de una barra sometida exclusivamente a esfuerzo axil

El incremento de longitud de la barra se obtiene a partir de la ecuacion (8.9):

∆L =

∫ L

0

N

ESdx =

NL

ES(8.10)

La expresion (8.10) es valida en el caso de area y carga constantes. Si la barraesta sometida a fuerzas axiles diferentes en varias secciones, o si la seccion transversalo el modulo de elasticidad cambian a lo largo de la barra, la ecuacion (8.10) se aplicaa cada uno de los n tramos de la barra donde las magnitudes senaladas anteriormentesean constantes. El incremento de longitud de la barra se obtiene mediante la sumadel desplazamiento de cada tramo.

∆L =

n∑

i=1

NiLi

EiSi(8.11)

8.3 Sistemas hiperestaticos sometidos a esfuerzo axil

La forma de abordar este tipo de problemas hiperestaticos es planteando las ecua-ciones de equilibrio y tantas ecuaciones de compatibilidad de desplazamientos comogrado de hiperestaticidad de la estructura.

La barra de la Figura 8.5 a), de un material de modulo de elasticidad longitudinalE, esta constituida por dos tramos de igual longitud, con secciones transversalescirculares de diametros diferentes. Esta empotrada en ambos extremos. En el centrode gravedad de la seccion comun a ambos tramos actua una carga axial P.

Figura 8.5 a) Barra prismatica hiperestatica sometida a axil. b) Reacciones

En los empotramientos A y B, al estar la barra trabajando unicamente a esfuerzoaxil, solo habra reacciones horizontales, como se muestra en la Figura 8.5 b). Launica ecuacion de la estatica que puede plantearse es



∑

Fx = 0, RAx + P +RBx = 0 (8.12)

Se tienen dos incognitas (RAx y RBx) y una ecuacion (8.12); por tanto, el grado dehiperestaticidad es uno. Es necesaria una ecuacion adicional. La disposicion de losapoyos impide que la longitud de la barra varıe, por lo que puede plantearse comoecuacion adicional la ecuacion de compatibilidad

∆L = ∆LAC +∆LCB = 0 (8.13)

Para resolver el sistema formado por (8.12) y (8.13) es necesario expresar esta ultimaen funcion de las incognitas hiperestaticas. La ecuacion

∆L =NL

ES(8.14)

expresa el alargamiento en una barra sometida a esfuerzo axil en funcion del axil(N ), el area (S ) y el modulo de elasticidad longitudinal del material (E ). En laFigura 8.6 se muestran los solidos libres de cada uno de los tramos para el calculode los esfuerzos axiles.

Figura 8.6 a) Solido libre del tramo AC. b) Solido libre del tramo CB

Los esfuerzos axiles son

Tramo AC : 0 ≤ x ≤ L

Nx (x) = −RAx (8.15)

Tramo CB : L ≤ x ≤ 2L

Nx (x) = − (RAx + P ) (8.16)

Sustituyendo (8.15) y (8.16) en (8.14) y el resultado en (8.13), se obtiene

∆L =NxAC

L

ESAC

+NxCB

L

ESCB

= −RAxL

ESAC

−(RAx + P )L

ESCB

= 0 (8.17)

De (8.17) se obtiene RAx,

RAx = −P SAC

SAC + SCB

(8.18)

Sustituyendo (8.18) en (8.12) se obtiene RBx,

RBx = −P SCB

SAC + SCB

(8.19)



Conocidas las reacciones en los apoyos, las leyes de esfuerzos axiles y la variacionde longitud de cada tramo se obtienen sustituyendo las reacciones en las ecuaciones(8.14), (8.15) y (8.16).

8.4 Cargas termicas y faltas de ajuste

Ademas de las cargas externas, existen otras causas que provocan tensiones y defor-maciones en las estructuras. En este apartado se estudian dos de ellas:

Las cargas termicas

La falta de ajuste

8.4.1 Cargas termicas

Los cambios de temperatura pueden provocar un cambio en las dimensiones de unabarra prismatica. Un aumento de temperatura provoca una dilatacion del materialy un descenso de la temperatura, una contraccion. Esta dilatacion (contraccion)esta relacionada con el incremento de temperatura a traves de la relacion lineal

∆L = αL∆T (8.20)

siendo α una propiedad del material denominada coeficiente de dilatacion termica.Sus unidades se miden en deformacion unitaria por grado de temperatura. ∆T es elincremento (decremento) de temperatura que sufre la barra.

Un solido no sujeto a ligaduras, al aplicarle una carga termica, se deforma sinque exista tension en algun punto del mismo. En una estructura isostatica tampocose producen tensiones por la accion de cargas termicas, aunque sı deformaciones.Finalmente, una estructura hiperestatica, puede o no desarrollar tensiones debidasa una carga termica dependiendo de la geometrıa de la misma y del tipo de cargatermica.

8.4.2 Falta de ajuste

Si alguna barra de una estructura se construye con una longitud distinta a la especi-ficada, bien intencionadamente o por fallo en su fabricacion, al acoplarla a la estruc-tura, la geometrıa de esta es diferente a la disenada. Si la estructura es isostatica,la falta de ajuste de una o varias barras no causan deformaciones ni tensiones. Si labarra AC de la estructura de la Figura 8.7 a) tiene mayor longitud que la especifi-cada, al montarla, el punto C descendera de su posicion inicial a la C’, pero no seproducira ningun estado tensional en la estructura por esta falta de ajuste. Por elcontrario, si la estructura es hiperestatica, para el montaje de las barras con falta deajuste es necesario que se deformen otras barras, lo que origina un estado tensional.Si la barra AD de la estructura de la Figura 8.7 b) tiene mayor longitud que laespecificada, para que su montaje sea posible, las barras BD y CD deben alargarsey acortarse, respectivamente, para poder ajustarse con la AD. En el montaje, lastres barras sufriran deformaciones y en consecuencia estaran tensionadas al pasar elpunto D a la posicion D’.



Figura 8.7 a) Estructura isostatica con falta de ajuste. b) Estructurahiperestatica con falta de ajuste


Ejercicio 8.1

Para la pieza de la Figura 8.8 construida en acero

Figura 8.8 Barra cilındrica escalonada sometida a traccion

Obtener:

1. Las tensiones en cualquier punto de las secciones A-A y B-B

2. El alargamiento total experimentado por la barra

3. Los diametros finales de las secciones transversales A-A y B-B

Datos:

P = 50 kN

∅AA = 40 mm , ∅BB = 20 mm

E = 200 GPa , ν = 0, 3

Solucion:

1. Las tensiones en cualquier punto de las secciones A-A y B-B

σAA = 39, 789 MPa

σBB = 159, 155 MPa



2. El alargamiento total experimentado por la barra

∆L = 0, 388 mm

3. Los diametros finales de las secciones transversales A-A y B-B

∅AAfinal= 39, 9976 mm

∅BBfinal= 19, 9952 mm

Ejercicio 8.2

En la estructura de la Figura 8.9 todas las barras tienen area A y son de un mate-rial de modulo de elasticidad E. La barra horizontal se considera infinitamente rıgida.


Determinar:

1. Los esfuerzos en las barras 1, 2 y 3

Solucion:

1. Los esfuerzos en las barras 1, 2 y 3

N1 =7P

12, N2 =

P

3, N3 =

P

12

Ejercicio 8.3

El tubo metalico cuadrado de la Figura 8.10, de longitud L, lado a y espesor t, seencuentra empotrado en sus dos extremos, trabajando a una temperatura de T (C).Se admite que a esta temperatura el estado tensional en el tubo es despreciable. Sele aplica un incremento de temperatura ∆T .




Obtener:

1. La distribucion de tensiones en cualquier seccion transversal de la pieza

2. Las reacciones en los empotramientos

Datos:

L = 2 m , a = 40 mm , t = 2 mm

E = 210 GPa , ∆T = 20oC , α = 12 · 10−6m/m/oC

Solucion:

1. La distribucion de tensiones en cualquier seccion transversal de la pieza

σx = 50, 4 MPa

2. Las reacciones en los empotramientos

RAx = RBx = 15, 32 kN


Leccion 9

Flexion pura y flexion desviada

Contenidos


valentes a momentos flectores . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.2. Flexion pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.3. Ley de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.4. Flexion desviada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.5. Modulo resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119




equivalentes a momentos flectores

Una barra trabaja a flexion cuando esta sometida a un estado de cargas tal que aldeformarse origina tensiones estaticamente equivalentes en cada seccion a un mo-mento flector. Haciendo nulo el termino correspondiente a las tensiones debidas alaxil en la ecuacion (7.10) (primer termino del miembro derecho de la ecuacion), ladistribucion de tensiones es

σx (x, y, z) =Iz z − Iyz y


Iy y − Iyz z


De la ecuacion anterior se deduce que para este tipo de solicitacion el eje neutrosiempre corta a la seccion y pasa por el centro de gravedad de la misma.

Las tensiones normales debidas a momentos flectores exclusivamente, solo puedenexistir en secciones de tramos de barras prismaticas sometidas a momentos flectoresconstantes; en caso contrario, los esfuerzos cortantes no serıan nulos de acuerdo conlas ecuaciones de equilibrio

dMy (x)

dx− Vz (x) = 0

dMz (x)

dx+ Vy (x) = 0,

deducidas en el Tema 6 (en las cuales se han despreciado los momentos repartidosuniformemente).

Figura 9.1 a) Viga sometida a tensiones normales, debidas exclusivamente aflexion, en todas sus secciones. b) Viga sometida a tensiones normales, debidas

exclusivamente a flexion, en su tramo central

La viga de la Figura 9.1 a) esta sometida exclusivamente a flexion en toda su longitud;sin embargo, la viga de la Figura 9.1 b) solo esta sometida exclusivamente a flexionen el tramo comprendido entre las dos cargas, ya que en los otros dos tramos existeesfuerzo cortante.


Flexion pura y flexion desviada 115

9.2 Flexion pura

Si el momento flector es uniaxial se dice que la flexion es pura. Las distribucionesde tensiones normales para el momento actuando segun el eje y o el eje z son,respectivamente


IyIz − I2yzMy (x) (9.2)

σx (x, y, z) =Iy y − Iyz z


Si los ejes de referencia son principales de inercia, Iyz = 0, y las expresiones (9.2) y(9.3), se transforman en

σx (x, y, z) =My (x)

Iyz (9.4)

σx (x, y, z) =Mz (x)

Izy (9.5)

En la Figura 9.2 a) y en la Figura 9.2 b) se representan las distribuciones de tensionesnormales para los casos de flexion pura segun los ejes y y z, respectivamente.

Figura 9.2 Solicitacion y distribucion de tensiones debidas a flexion pura segunlos eje y (a) y z (b)



9.3 Ley de Navier

Sea una barra prismatica con seccion transversal simetrica sometida a dos momentosiguales y de signo contrario en sus extremos, considerandose que actuan solamenteen el plano de simetrıa (XZ ), tal como se muestra en la Figura 9.3.

Figura 9.3 Barra prismatica sometida a flexion pura de seccion transversalsimetrica

Se consideraran dos hipotesis de partida:

Linealidad entre tensiones y deformaciones (ley de Hooke)

Las secciones rectas y planas antes de la deformacion, siguen siendo rectas yplanas despues de la deformacion (hipotesis de Euler-Bernoulli)

Debido a la accion de los momentos flectores la viga flecta en el plano XZ. Las sec-ciones transversales permanecen rectas y planas aunque giran respecto de sı mismas.Las fibras de la cara inferior de la barra se alargan (se traccionan) y las de la carasuperior se acortan (se comprimen). La superficie comprendida entre las dos superfi-cies extremas, cuyas fibras ni se alargan ni se acortan, se denomina superficie neutra.La Figura 9.4 a) muestra graficamente la superficie neutra de una barra sometida aflexion pura.

Figura 9.4 a) Definicion de superficie neutra. b) Definicion de fibra neutra y ejeneutro

La interseccion de dicha superficie con el plano de simetrıa de la barra se denominafibra neutra. La interseccion de la superficie neutra con cualquier seccion transversalse denomina eje neutro. La Figura 9.4 b) muestra graficamente la fibra neutra y eleje neutro de una barra sometida a acciones exteriores.

Se estudiara una rebanada nmpq de la barra, de longitud dx. La fibra neutra serepresenta por la lınea AB que se muestra en la Figura 9.5 a). Las secciones transver-sales nm y pq permanecen rectas y planas, tal como se muestra en la Figura 9.5 b).



Figura 9.5 Rebanada de una barra prismatica sometida a flexion pura. a) Sindeformar. b) Deformada

Las trazas de los planos que contienen las secciones transversales mn y pq en labarra deformada forman un angulo dθ y se cortan en el punto O, que es el centro decurvatura de las fibras de la rebanada. El radio de curvatura ρ (referido a la fibraneutra) permanece constante durante la deformacion. Ademas, la distancia dx entrelas dos secciones mn y pq permanece invariable en la fibra neutra, verificandose

dx = ρ dθ (9.6)

El resto de las fibras longitudinales comprendidas entre los dos planos tendran de-formaciones lineales al alargarse o acortarse.

La fibra ef, antes de la deformacion, tiene una longitud dx. Tras la deformacion,que se muestra en la Figura 9.5 b), su longitud es

ef = (ρ+ z) dθ = (ρ+ z)dx

ρ= dx+

z

ρdx (9.7)

y su deformacion longitudinal unitaria

εef =

dx+z

ρdx− dx

dx=

z

ρ(9.8)

De acuerdo con la ley de Hooke, dicha deformacion se puede expresar en funcion dela tension sobre la fibra y del modulo de elasticidad longitudinal como:

εef =σx (x, y, z)

E(9.9)



Igualando las expresiones (9.8) y (9.9) se obtiene la Ley de Navier:

σx (x, y, z)

E=

z

ρ⇒ σx (x, y, z) =

E

ρz (9.10)

En una seccion sometida a flexion pura, los modulos de las tensiones actuantes sobre

las distintas fibras son directamente proporcionales a sus distancias al eje neutro.

Teniendo en cuenta (9.4) y (9.5), la ley de Navier puede expresarse como

1

ρ=

My (x)

EIy(9.11)

1

ρ=

Mz (x)

EIz(9.12)

dependiendo de si el momento actua segun el eje y o el z.

9.4 Flexion desviada

Si el momento flector se puede descomponer en las direcciones de los ejes y y z, laseccion esta sometida a flexion desviada. La expresion de la distribucion de tensionesnormales es la vista en (9.1)



Iy y − Iyz z

IyIz − I2yzMz (x)

La Figura 9.6 muestra la distribucion de tensiones normales en una seccion sometidaa flexion desviada.

Figura 9.6 a) Solicitacion de flexion desviada. b) Distribucion de tensionesdebidas a la flexion desviada

Si los ejes son principales de inercia

σx (x, y, z) =My (x) z

Iy+

Mz (x) y

Iz(9.13)



9.5 Modulo resistente

Para una seccion cualquiera, sometida a la accion de un momento flector M aplicadoen su centro de gravedad, se define el modulo resistente WP , asociado a un puntoP de la seccion, como el cociente entre el momento de inercia de la seccion respectoal eje neutro (Ien) y la mınima distancia (h) del punto P a dicho eje, tal como semuestra en la Figura 9.7 a).

Wp =Ien

h(9.14)

Figura 9.7 Concepto de modulo resistente

Si el momento flector actua en la direccion de uno de los ejes de la seccion, comose muestra en la Figura 9.5 b), las ecuaciones (9.4) y (9.5) se pueden reescribir enfuncion de los modulos resistentes de los puntos mas y menos traccionados, como

σxtraccion=

M

Wpt

=M

Ien

ht

σxcompresion=

M

Wpc

=M

Ien

hc

(9.15)

De las expresiones anteriores se deduce que aquellos puntos de la seccion con menormodulo resistente asociado (los mas alejados del eje neutro) seran los que estaransometidos a mayor tension normal.


Ejercicio 9.1

La seccion transversal de la viga en doble T que se muestra en la Figura 9.8, esta so-metida a un momento flector My de 90 kN·m.

Obtener:

1. Las propiedades estaticas de la seccion: area S e inercias principales IyG , IzG

2. La expresion analıtica de la distribucion de tensiones normales





Figura 9.8 Seccion llena en doble T sometida a flexion pura

Solucion:


S = 110 · 103 mm2

IyG = 3491, 67 · 106 mm4

IzG = 1091, 67 · 106 mm4


σx(y, z) = 0, 0258z (Fuerzas en N y longitudes en mm)


z = 0


Figura 9.9 Seccion llena en doble T sometida a flexion pura. Distribucion detensiones normales



Ejercicio 9.2

La seccion transversal de una viga en T esta sometida a un momento flector segunse muestra la Figura 9.10.

Figura 9.10 Seccion llena en T sometida a flexion desviada

Obtener:





Datos:

h = 130 mm , b = 200 mm , hf = 30 mm , bw = 40 mm

M = 15 kN·m

Solucion:


S = 100 · 102 mm2

IyG = 1392, 3 · 104 mm4

IzG = 2053, 3 · 104 mm4


σx(y, z) = 0, 365y + 0, 934z (Fuerzas en N y longitudes en mm)




y = −2, 559z


Figura 9.11 Seccion llena en T sometida a flexion desviada. Distribucion detensiones normales


Leccion 10

Flexion simple

Contenidos

10.1. Distribucion de tensiones tangenciales estaticamente equi-

valentes a esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . 124


valentes a esfuerzos cortantes en barras de seccion maciza124


valentes a esfuerzos cortantes en barras de pared delgada 128

10.3.1. Secciones abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

10.3.2. Secciones cerradas unicelulares . . . . . . . . . . . . . . . . 130

10.4. Centro de esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . 131



10.1 Distribucion de tensiones tangenciales estaticamen-

te equivalentes a esfuerzos cortantes

La flexion incluye generalmente tensiones tangenciales estaticamente equivalentes aalgun esfuerzo cortante (Vy (x) y/o Vz (x)), segun se deduce de las ecuaciones deequilibrio

dMy (x)

dx− Vz (x) = 0,

dMz (x)

dx+ Vy (x) = 0

en las que se han despreciado los momentos repartidos uniformemente.

Figura 10.1 Viga sometida a flexion pura y flexion simple en tramos diferentes

La viga de la Figura 10.1 esta sometida a flexion pura en el tramo comprendido entrelas dos cargas (donde la ley de flectores es constante), y a flexion mas cortante en losotros dos tramos (donde la ley de flectores es variable). A la solicitacion de flexionmas cortante se le denomina flexion simple.


te equivalentes a esfuerzos cortantes en barras de

seccion maciza

Si en una rebanada diferencial de una barra prismatica, como la de la Figura 10.2,existe un esfuerzo cortante, constante en ambas caras, es porque existe una variacionlineal del momento flector entre estas:

dMy (x)

dx= Vz (x) = k ⇒ My (x) = kx

En el desarrollo que sigue se consideraran secciones simetricas respecto del eje z,con las cargas actuando en el plano de simetrıa XZ. El eje y pasa por el centro degravedad de la seccion y, junto con el z, son los ejes principales de inercia.


Flexion simple 125

Figura 10.2 Rebanada diferencial de un tramo de viga sometido a flexion simple

La distribucion de tensiones normales en ambas caras de la rebanada se muestra enla Figura 10.3 a). La rebanada ha de estar en equilibrio, y cualquier trozo de ella,tambien. Sea un trozo de rebanada con su cara inferior a una altura z sobre el ejeneutro, con ancho b(z) a dicha altura y area S’ de la seccion transversal, tal comose muestra en la Figura 10.3 b).

Figura 10.3 Distribucion de tensiones normales a ambos lados de una rebanadadiferencial de un tramo de viga sometida a flexion simple

Estableciendo el equilibrio de fuerzas en el trozo de rebanada diferencial, como semuestra en la Figura 10.4

Figura 10.4 Equilibrio de un trozo de la rebanada diferencial de un tramo de vigasometida a flexion simple

se obtiene



∫

S′

σx1 (x, y, z) dS + τzx (x, y, z) b(z) dx−

∫

S′

σx2 (x, y, z) dS = 0 (10.1)

Las tensiones normales estan producidas solo por el momento flector, por lo que sepueden sustituir por la expresion (9.4), obteniendose

∫

S′

My (x)

Iyz dS + τzx (x, y, z) b(z) dx−

∫

S′

My (x) + dMy (x)

Iyz dS = 0 (10.2)

Operando, se obtiene

dMy (x)

Iy

∫

S′

z dS − τzx (x, y, z) b(z) dx = 0 (10.3)

y despejando τzx (x, y, z)

τzx (x, y, z) =1

b(z)Iy

dMy (x)

dx

∫

S′

z dS (10.4)

La integral representa el momento estatico del area S’ respecto al eje y, que sedenotara por Qy(z). Teniendo en cuenta que la derivada del momento flector respectoa x es el esfuerzo cortante, (10.4) toma la forma

τzx (x, y, z) =Qy(z)Vz (x)

b(z)Iy(10.5)

A la vista de la Figura 10.4 a) y de la Figura 10.4 b), las tensiones calculadas son lascontenidas en el plano de separacion de los trozos de la rebanada diferencial, es decir,las tensiones rasantes. De acuerdo con el principio de reciprocidad de las tensionestangenciales, las tensiones tangenciales en las caras de la rebanada diferencial connormal el eje x, son las tensiones rasantes, como se muestra en la Figura 10.5.

Figura 10.5 Tensiones tangenciales en las caras de la rebanada diferencial

Por tanto,

τxz (x, y, z) =Qy(z)Vz (x)

b(z)Iy(10.6)

Las secciones transversales de las barras sometidas a un esfuerzo cortante no semantienen planas tras la deformacion. Al ser variable, en general, la distribucion detensiones tangenciales sobre la seccion, tambien varıa la deformacion angular. Estose traduce en un alabeo de la seccion transversal, como se muestra en la Figura 10.6.


Flexion simple 127

Figura 10.6 Alabeo de secciones sometidas a flexion simple

Este alabeo no afecta de forma importante a las deformaciones longitudinales, por loque para el calculo de las tensiones debidas a flexion simple se utilizan las expresionesdeducidas en los apartados anteriores.

En general, si los ejes de la seccion no son principales de inercia y existen esfuerzoscortantes en las direcciones de los ejes y y z simultaneamente, se puede demostrarque las expresiones de las distribuciones de tensiones tangenciales son

τxy (x, y, z) =

=1

b(y)

(

Qz (y) Iy −Qy (y) IyzIyIz − I2yz

Vy (x) +Qy (y) Iz −Qz (y) Iyz

IyIz − I2yzVz (x)

) (10.7)

τxz (x, y, z) =

=1

b(z)

(

Qz (z) Iy −Qy (z) IyzIyIz − I2yz

Vy (x) +Qy (z) Iz −Qz (z) Iyz

IyIz − I2yzVz (x)

) (10.8)

Si los ejes son principales de inercia, las expresiones anteriores se simplifican:

τxy (x, y, z) =1

b(y)

(

Qz (y)

IzVy (x) +

Qy (y)

IyVz (x)

)

(10.9)

τxz (x, y, z) =1

b(z)

(

Qz (z)

IzVy (x) +

Qy (z)

IyVz (x)

)

(10.10)

Las expresiones de los momentos estaticos Qy (y), Qy (z), Qz (y) y Qz (z), que apa-recen en las ecuaciones anteriores son

Qy (y) = S zg (10.11)

Qy (z) = S zg (10.12)

Qz (z) = S yg (10.13)

Qz (y) = S yg (10.14)

El subındice en la denominacion del momento estatico indica el eje respecto al cual secalcula. Entre parentesis se senala la coordenada con la que varıa el area del elementocuyo momento estatico se desea calcular.

Si la seccion presenta simetrıa respecto del eje y, se verifica que Qy (y) = 0; y si laseccion presenta simetrıa respecto del eje z, se verifica que Qz (z) = 0. Obviamente,si la seccion presenta doble simetrıa, ambos momentos estaticos seran nulos.

En la Figura 10.7 se muestra graficamente el significado de estos momentos estati-cos.



Figura 10.7 a) Qy (y). b) Qy (z). c) Qz (z). d) Qz (y)


te equivalentes a esfuerzos cortantes en barras de

pared delgada

10.3.1 Secciones abiertas

Sea una barra con seccion transversal arbitraria, como la que se muestra en la Figu-ra 10.8 a), que cumple las condiciones de pared delgada. Los ejes y y z son principalesde inercia.

Figura 10.8 Barra prismatica de seccion transversal abierta de pared delgada


Flexion simple 129

Se supondra que el sistema de cargas es tal que provoca unicamente flexion en elplano XZ, siendo el eje y el eje neutro. La tension normal en cualquier punto de labarra sera

σx (x, s) =My (x)

Iyz (10.15)

siendo s una coordenada curvilınea que se mide sobre la lınea media del perfil (lıneade trazos fina en la Figura 10.8) a partir del origen escogido.

Se estudiara un elemento de volumen diferencial, abcd, con uno de sus lados, elab, coincidente con el borde de la seccion. El otro lado tiene longitud s, medida a lolargo de la lınea media de la seccion, como se muestra en la Figura 10.8 b). Al igualque ocurrıa en las secciones macizas, la variacion del momento flector a un lado yotro del volumen considerado implica tensiones diferentes a ambos lados, como sepuede ver en la Figura 10.8 c) por lo que son necesarias las tensiones tangencialespara conseguir el equilibrio. El equilibrio del volumen diferencial considerado implicaque

τxs (x, s) t (s) dx+

∫ s

0σx2 dS −

∫ s

0σx1 dS = 0 (10.16)

siendo t (s) el espesor del volumen diferencial (que puede variar con s). Sustituyendo(10.15) en (10.16), se obtiene

τxs (x, s) t (s) dx+My2 (x)

Iy

∫ s

0z dS −

My1 (x)

Iy

∫ s

0z dS (10.17)

y despejando la tension tangencial se llega a la expresion

τxs (x, s) = −dMy (x)

dx

1

Iy t(s)

∫ s

0z dS = −

Vz (x)

Iy t(s)

∫ s

0z dS (10.18)

donde se ha tenido en cuenta que la variacion del momento flector respecto a x, es elesfuerzo cortante. La integral que aparece en (10.18) es el momento estatico del trozode seccion transversal de longitud s, respecto al eje y. La ecuacion (10.18) adoptauna forma similar a la (10.6) obtenida para el caso de secciones macizas

τxs (x, s) = −Vz (x)Qy (s)

Iy t (s)(10.19)

A diferencia de la distribucion de tensiones en perfiles de seccion maciza, en perfiles depared delgada la tension tangencial se supone constante en el espesor. Las tensionestangenciales estan dirigidas a lo largo de la lınea media de la seccion transversal yactuan paralelas a los bordes de la seccion. Se define el flujo de tensiones en cualquierpunto de la seccion transversal como

qxs (x, s) = τxs (x, s) t (s) = −Vz (x)Qy (s)

Iy(10.20)

Al ser Vz e Iy constantes, el flujo de tensiones es directamente proporcional a Qy (s).En los extremos de las alas de la seccion, Qy (s) es cero, por lo que el flujo de tensionestambien es cero. El valor maximo del flujo de tensiones, que varıa de forma continua



de un extremo a otro de la seccion, se obtiene en el eje neutro, donde Qy (s) esmaximo.

Si existen simultaneamente cortantes en las direcciones de los ejes y y z, la ex-presion 10.20 se transforma en

τxs (x, s) = −Vy (x)Qz (s)

Izt (s)−

Vz (x)Qy (s)

Iyt (s)(10.21)

Si los ejes no son principales de inercia, la distribucion de tensiones tangenciales es

τxs (x, s) =

=1

t (s)

(

−Vy (x) Iy − Vz (x) Iyz

IyIz − I2yzQz (s)−

Vz (x) Iz − Vy (x) IyzIyIz − I2yz

Qy (s)

) (10.22)

siendo el flujo de tensiones

qxs (x, s) =

= −Vy (x) Iy − Vz (x) Iyz

IyIz − I2yzQz (s)−

Vz (x) Iz − Vy (x) IyzIyIz − I2yz

Qy (s)(10.23)

10.3.2 Secciones cerradas unicelulares

El flujo de tensiones tangenciales viene dado por la expresion

qV (x, s) = qV (x, 0) + qVA(x, s) (10.24)

siendo qVA(x, s) el flujo en s si la seccion estuviera abierta en s = 0 (la eleccion del

origen de coordenada s es arbitraria)

qVA(x, s) = −

Vy (x) Iy − Vz (x) IyzIyIz − I2yz

Qz (s)−Vz (x) Iz − Vy (x) Iyz

IyIz − I2yzQy (s) (10.25)

El calculo de qVA(x, s) es directo, como se indico anteriormente. Para determinar

qV (x, 0) se puede demostrar que la expresion es

qV (x, 0) =

−

∫ S

0

qVA(x, s)

t (s)ds

∫ S

0

1

t (0)ds

=

−

∫ S

0

qVA(x, s)

t (s)ds

S

t (0)

(10.26)

En la Figura 10.9 se muestra una barra de seccion transversal cerrada, unicelular. Dela expresion (10.26) se deduce que para calcular la distribucion de tensiones tangen-ciales estaticamente equivalentes a los esfuerzos cortantes que actuan en una seccioncerrada de pared delgada, hay que definir en primer lugar el origen de coordenadacurvilınea s y suponer que el perfil esta abierto en dicho origen. Despues se calculaqVA

(x, s) aplicando la ecuacion (10.25) y finalmente, tras deducir qV (x, 0) usandola ecuacion (10.26), se puede determinar el flujo de tensiones qV (x, s) utilizando laexpresion (10.24).


Flexion simple 131

Figura 10.9 Barra prismatica de seccion transversal cerrada, unicelular

10.4 Centro de esfuerzos cortantes

Si la distribucion de tensiones tangenciales sobre una seccion es estaticamente equi-valente al esfuerzo cortante, debe verificarse la igualdad de resultante y de momentosrespecto a cualquier punto del sistema formado por el esfuerzo cortante y la resul-tante de la distribucion de tensiones tangenciales. La igualdad de la resultante severifica siempre que la distribucion de tensiones tangenciales se haya calculado co-rrectamente. Sin embargo, en el desarrollo realizado para el calculo de estas no se hatenido en cuenta el punto de actuacion de la carga (cortante).

Figura 10.10 Concepto de centro de esfuerzos cortantes

En la Figura 10.10 a) se ha considerado la carga P actuando en el centro de gravedadde la seccion. La pieza se torsiona a la vez que flecta. Esta torsion es debida a queno existe equivalencia entre el momento que produce el esfuerzo cortante respecto acualquier punto de la seccion y el momento que produce la distribucion de tensionestangenciales. No obstante, existe un punto de aplicacion del esfuerzo cortante quehace que se verifique dicha equivalencia. Este punto se denomina centro de esfuerzos

cortantes. En la Figura 10.10 b) se muestra como al situar la carga P en el centro



de esfuerzos cortantes, C, la viga solo flecta en el plano XZ.De lo comentado anteriormente se deducen la siguientes consecuencias:

Para que una barra prismatica sometida a la accion de una carga transversalP trabaje a flexion sin torsion, es necesario que dicha carga pase por el centrode esfuerzos cortantes de la seccion en la que actua. En caso contrario, seproduciran en la seccion ademas de tensiones tangenciales debidas a la cargaP, tensiones tangenciales debidas a la accion del momento torsor Mx (x) = P a,siendo a la distancia desde el centro de esfuerzos cortantes al punto donde seha aplicado P, como se muestra en la Figura 10.11.

Figura 10.11 Torsion debida a la no aplicacion de la carga en el centro deesfuerzos cortantes

El centro de esfuerzos cortantes sera un punto tal que, el momento de lasfuerzas a que dan lugar las tensiones tangenciales respecto de el, sea nulo. Estoes evidente ya que, si sobre ese punto se aplica una carga P, el momento de estafuerza respecto de dicho punto es nulo y ambos sistemas serıan equivalentes.Esta propiedad permite determinar inmediatamente la posicion del centro deesfuerzos cortantes en secciones ramificadas que concurran en un punto: comotodas las tensiones tangenciales pasan por dicho punto, sus momentos respectode dicho punto son nulos, y este sera el centro de esfuerzos cortantes, como semuestra en la Figura 10.12.

Figura 10.12 Centro de esfuerzos cortantes en secciones ramificadas

Si una seccion tiene un eje de simetrıa, sobre el se encontrara el centro deesfuerzos cortantes. Si una seccion tiene dos ejes de simetrıa, la interseccionsera el centro de esfuerzos cortantes.


Flexion simple 133


Ejercicio 10.1

La seccion transversal de una viga en T esta sometida a un esfuerzo cortante Vz,segun se muestra en la Figura 10.13.

Figura 10.13 Seccion llena en T sometida a esfuerzo cortante

Obtener:


2. La expresion analıtica de la distribucion de tensiones tangenciales

3. La representacion grafica de la distribucion de tensiones tangenciales

Datos:

h = 130 mm , b = 200 mm , eala = 30 mm , ealma = 40 mm

Vz = 40 kN

Solucion:


S = 100 · 102 mm2

IyG = 1392, 3 · 104 mm4

IzG = 2053, 3 · 104 mm4


Utilizando como unidades de fuerza N y de longitud mm

τxz(z) =

11, 397122− 0, 0014388z2 (eala − zG ≤ z ≤ h− zG)2, 41871− 0, 0014388z2 (−zG ≤ z ≤ eala − zG)



τxy(y) =

−7, 482 + 0, 07482y

(

ealma

2≤ y ≤

b

2

)

−0, 06906y(

0 ≤ y ≤ealma

2

)

0, 06906y(ealma

2≤ y ≤ 0

)

7, 482− 0, 07482y

(

−b

2≤ y ≤ −

ealma

2

)


Figura 10.14 Seccion llena en T sometida a esfuerzo cortante. Distribucion detensiones tangenciales

Ejercicio 10.2

La seccion transversal que se muestra en la Figura 10.15 esta sometida a un esfuerzocortante Vz.

Figura 10.15 Seccion de pared delgada en doble T asimetrica sometida a esfuerzocortante


Flexion simple 135

Obtener:




Datos:

h = 220 mm , b1 = 50 mm , b2 = 150 mm , e1 = 9 mm , e2 = 6 mm

Vz = 350 kN

Solucion:


S = 4812 · 102 mm2

IyG = 442, 144 · 105 mm4

IzG = 142, 705 · 105 mm4


τxs(s) =

0, 835s1 (Ala superior - lado derecho)

0, 835s3 (Ala superior - lado izquierdo)

250, 540 + 0, 835s2 − 0, 00396s22 (Alma)

−0, 835s4 (Ala inferior -lado derecho)

−0, 835s6 (Ala inferior -lado izquierdo)




Figura 10.16 Seccion de pared delgada en doble T asimetrica sometida a esfuerzocortante. Distribucion de tensiones tangenciales debidas a un cortante segun z

Ejercicio 10.3

Para la seccion que se muestra en la Figura 10.15, determinar:

1. El centro de esfuerzos cortantes

Solucion:

1. Obtener el centro de esfuerzos cortantes

Figura 10.17 Seccion de pared delgada en doble T asimetrica sometida a esfuerzocortante. Centro de esfuerzos cortantes


Leccion 11

Flexion compuesta y flexion

compuesta desviada

Contenidos


valentes a la combinacion de esfuerzos axiles y momentos

flectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

11.2. Flexion compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

11.3. Flexion compuesta desviada . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

11.4. Nucleo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

11.5. Secciones sin zona de traccion . . . . . . . . . . . . . . . . 142




equivalentes a la combinacion de esfuerzos axiles y

momentos flectores

Una barra trabaja a flexion compuesta cuando esta sometida a un estado de cargastal que al deformarse se originan tensiones estaticamente equivalentes en cada secciona un esfuerzo axil y a un momento flector (My (x) o Mz (x)). Trabaja a flexion com-puesta desviada si junto al axil actuan sendos momentos flectores (My (x) y Mz (x)).En estos casos el eje neutro no pasa por el centro de gravedad, pudiendo localizarsedentro o fuera de la seccion, dependiendo de los valores de las solicitaciones.

11.2 Flexion compuesta

Las distribuciones de tensiones normales para el momento actuando segun el eje y oel eje z son, respectivamente

σx (x, y, z) =N (x)

S+

Iz z − Iyz y

IyIz − I2yzMy (x) (11.1)

σx (x, y, z) =N (x)

S+

Iy y − Iyz z


En la Figura 11.1 se muestra la distribucion de tensiones en una seccion sometida aflexion compuesta segun el eje y.

Figura 11.1 Distribucion de tensiones en una seccion sometida a flexioncompuesta segun el eje y

Si los ejes son principales de inercia, las expresiones 11.1 y 11.2 se simplifican:


Flexion compuesta y flexion compuesta desviada 139

σx (x, y, z) =N (x)

S+

My (x)

Iyz (11.3)

σx (x, y, z) =N (x)

S+

Mz (x)

Izy (11.4)

11.3 Flexion compuesta desviada

Si junto al axil actuan sendos momentos My (x) y Mz (x),

la distribucion de tensiones normales es

σx (x, y, z) =N (x)

S+

Iz z − Iyz y


Iy y − Iyz z


Si los ejes son principales de inercia, Iyz = 0, por tanto

σx (x, y, z) =N (x)

S+

My (x)

Iyz +

Mz (x)

Izy (11.6)

En la Figura 11.2 se muestra la distribucion de tensiones resultante de sumar lastensiones debidas a un axil y las tensiones debidas a sendos momentos My (x) yMz (x).

Figura 11.2 Distribucion de tensiones en una seccion sometida a una solicitacionde flexion compuesta desviada



11.4 Nucleo central

Existen materiales que trabajan muy bien a compresion y tienen un mal compor-tamiento a traccion, lo que los hace ideales para su uso en elementos estructuralesque trabajen fundamentalmente a compresion. No obstante, las cargas axiles siempreactuan con cierta excentricidad. Por tanto, interesa delimitar la zona de la seccion

transversal en la que la accion de un axil de compresion no provoca tracciones. Estazona se denomina nucleo central.

Ya se ha comentado anteriormente que el eje neutro en flexion compuesta o flexioncompuesta desviada no pasa por el centro de gravedad de la seccion. Esto implicaque la seccion y el eje neutro pueden intersecarse o no. Si la seccion y el eje neutrose cortan, este dividira a la seccion en dos partes: una trabajara a traccion y otra acompresion. Si la seccion y el eje neutro no se intersecan, toda la seccion trabajara atraccion o a compresion segun el sentido del axil. Teniendo en cuenta esto, se puededefinir el nucleo central de una seccion como el lugar geometrico de los puntos en

los que la aplicacion de un axil de compresion implica lıneas neutras tangentes al

contorno de la seccion sin intersecarla.

Las lıneas L1 y L2 de la seccion de la Figura 11.3 se corresponden con los ejesneutros al aplicar un axil en los puntos 1 y 2, respectivamente. La lınea L3 corres-ponde al eje neutro para un axil aplicado en el punto 3; en los tres casos, toda laseccion estarıa comprimida o traccionada dependiendo del sentido del axil. La lıneaL4 corresponde al eje neutro para un axil aplicado en el punto 4; en este caso seproducen tracciones y compresiones en la seccion.

Figura 11.3 Concepto de nucleo central

En una seccion sometida a flexion compuesta desviada, como se muestra en la Figu-ra 11.4, los momentos pueden expresarse en funcion del esfuerzo axil y sus excentri-cidades como

Mz (x) = N (x) ey

My (x) = N (x) ez(11.7)

Sustituyendo (11.7) en (11.5) y reordenando, se obtiene

σx (x, y, z) = N (x)

(

1

S+

eyIy − ezIyz

IyIz − I2yzy +

ezIz − eyIyz

IyIz − I2yzz

)

(11.8)



siendo la ecuacion del eje neutro

1

S+

eyIy − ezIyz

IyIz − I2yzy +

ezIz − eyIyz

IyIz − I2yzz = 0 (11.9)

Figura 11.4 Axil actuando excentricamente sobre una seccion

El proceso para la determinacion del contorno del nucleo central consiste en tomarcomo eje neutro las tangentes al contorno de la seccion (de ecuacion ay + bz +1 = 0) e identificar coeficientes con la ecuacion (11.9). Se puede comprobar que lascoordenadas (ey , ez) de un axil de compresion al que corresponde un determinadoeje neutro, son

ey =1

S(a Iz + b Iyz)

ez =1

S(a Iyz + b Iy)

(11.10)

Si los ejes y y z son principales de inercia, las ecuaciones (11.10) se simplifican

ey =a Iz

S= a i2z

ez =b Iy

S= b i2y

(11.11)

siendo iy e iz los radios de giro de la seccion respecto a los eje y y z, respectivamente:

iy =

√

Iy

Siz =

√

Iz

S(11.12)

Para definir el contorno del nucleo central, es necesario estudiar las tangentes a laseccion en un numero suficiente de puntos. Si la seccion esta formada por tramosrectilıneos, la obtencion del contorno se puede simplificar. Para ello se hara usode la siguiente propiedad: si la lınea neutra correspondiente a un axil aplicado con

excentricidad eAy y eAz pasa por el punto de coordenadas(

eBy , eBz

)

, se cumple que

la lınea neutra correspondiente al axil aplicado en eBy y eBz pasa por el punto de

coordenadas(

eAy , eAz

)

.

En la Figura 11.5, L1, L2, L3, L4 y L5 son los ejes neutros correspondientes a laaplicacion de un axil en los puntos 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. Haciendo uso de lapropiedad mencionada en el parrafo anterior, se puede afirmar que en la seccion de la



Figura 11.5, el segmento 12 contiene los puntos del nucleo central correspondientes alos ejes neutros que giran alrededor de O. Esto es, como L1 pasa por O, el eje neutrode O pasara por 1 y como L2 pasa por O, el eje neutro de O pasara por 2. Por tanto,el segmento 12 es parte de la lınea neutra correspondiente al axil aplicado en O. Deacuerdo con la propiedad citada anteriormente, mientras el axil recorra el segmento12 las lıneas neutras giraran alrededor de O desde L1 hasta L2. Por este motivo, enlas secciones con el contorno definido por tramos rectilıneos, el contorno del nucleopuede ser calculado uniendo mediante rectas los puntos de aplicacion del axil decompresion a los que corresponden los ejes neutros que son tangentes al contorno dela seccion sin intersecarla.

Figura 11.5 Determinacion del nucleo central

11.5 Secciones sin zona de traccion

Hay materiales cuya resistencia a traccion es tan pequena que no es considerada enlos calculos. Para el caso de elementos construidos con estos materiales y que van aestar sometidos a un axil excentrico, es necesario conocer la posicion del eje neutroque separa la zona de la seccion que trabaja (zona comprimida) de la que no trabaja

(zona traccionada).

Figura 11.6 Secciones sin zona de traccion

Sea una seccion generica, con eje de simetrıa coincidente con el eje z. Se supondra queel esfuerzo axil N actua en el punto C, sobre el eje de simetrıa, a una distancia a delborde y fuera del nucleo central, como se muestra en la Figura 11.6.

La seccion esta sometida a flexion compuesta segun el eje y. Por tanto, el eje neu-tro es perpendicular al eje z. Como se ha visto en apartados anteriores, las tensiones



normales son proporcionales a su distancia al eje neutro. Ası, un elemento diferencialdS, a una distancia z del eje neutro, tendra como tension σ = kz.

Para determinar la distancia del punto de actuacion del axil al eje neutro, zc, seestablecen las condiciones de equilibrio de fuerzas y de momentos. Ası, la resultantede las tensiones que actuan en la zona activa (sombreada en la figura) ha de ser igualal esfuerzo axil N (x):

N (x) =

∫

S

σx dS =

∫

S

k z dS = k

∫

S

z dS = k Qen (11.13)

siendo Qen el momento estatico de la zona comprimida respecto al eje neutro.

Ademas ha de verificarse que el momento de la resultante de las tensiones decompresion respecto al eje neutro ha de ser igual al momento del axil respecto adicho eje.

N (x) zc =

∫

S

z σx dS =

∫

S

k z2 dS = k

∫

S

z2 dS = k Ien (11.14)

siendo Ien el momento de inercia de la zona comprimida respecto al eje neutro.Dividiendo (11.14) por (11.13) se obtiene zc

zc =Ien

Qen(11.15)

Los valores de Qen e Ien son funcion de la incognita zc. Por tanto, resolviendo laecuacion resultante, se determina la posicion del eje neutro referida al punto deaplicacion del axil.


Ejercicio 11.1

La seccion transversal de la viga en T que se muestra en la Figura 11.7, esta sometidaa flexion compuesta desviada.

Figura 11.7 Seccion en T sometida a flexion compuesta desviada

Obtener:






4. La representacion grafica de la distribucion de tensiones normales

Datos:

h = 90 mm , b = 82 mm , eala = 10 mm , ealma = 7 mm

N = −300 kN , My = 50 kN·m , Mz = 30 kN·m

Solucion:


S = 1380 mm2

IyG = 979 · 103 mm4

IzG = 462 · 103 mm4


σx(y, z) = −10, 869 + 4, 329y + 1, 021z (Fuerzas en N y longitudes en mm)


y = 2, 511− 0, 236z


Figura 11.8 Seccion en T sometida a flexion compuesta desviada. Distribucion detensiones normales



Ejercicio 11.2

Para la seccion transversal de la Figura 11.9

Figura 11.9 Seccion romboidal

Obtener:


2. El nucleo central de la seccion

Solucion:


S =h2

2

IyG = IzG =h4

48

2. El nucleo central de la seccion

Tabla 11.1 Coordenadas de los vertices del nucleo central de la seccion

VerticeCoordenadasey ez

1h

12

h

12

2 −

h

12

h

12

3 −

h

12−

h

12

4h

12−

h

12



Figura 11.10 Seccion romboidal. Nucleo central

Ejercicio 11.3

En la Figura 11.11 se muestra una seccion transversal rectangular, sometida a unaxil de compresion excentrico. Se admitira que la resistencia del material a tracciones nula.

Figura 11.11 Seccion rectangular sometida a un axil de compresion excentrico

Obtener:

1. La distancia d del punto C de aplicacion del axil a la cara superior de la seccion

para que esta este comprimida3

4del canto h

Solucion:

1. La distancia d del punto C de aplicacion del axil a la cara superior de la seccion

para que esta este comprimida3

4del canto h

d =h

4


Leccion 12

Flexion plastica

Contenidos

12.1. Modelado del comportamiento del material . . . . . . . . 148

12.2. Plastificacion de la seccion en flexion pura . . . . . . . . 148

12.2.1. Momento plastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

12.2.2. Modulo plastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

12.2.3. Factor de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

12.2.4. Eje neutro en secciones plastificadas . . . . . . . . . . . . . 152

12.2.5. Diagrama momento-curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

12.3. Plastificacion de la seccion en flexion compuesta . . . . . 154

12.3.1. Plastificacion de la seccion en flexion compuesta: Plastifi-cacion parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

12.3.2. Plastificacion de la seccion en flexion compuesta: Plastifi-cacion total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

12.4. Plastificacion en secciones sometidas a flexion simple . . 156

12.5. Formacion de rotulas plasticas . . . . . . . . . . . . . . . . 158



12.1 Modelado del comportamiento del material

El comportamiento de los aceros de bajo contenido en carbono puede modelarsemediante el diagrama tension-deformacion de la Figura 12.1 a), que se conoce comocomportamiento elastoplastico perfecto, o mediante el diagrama tension-deformacionde la Figura 12.1 b) en el que se considera el endurecimiento por deformacion.

Figura 12.1 Diagramas elastoplasticos del acero. a) Comportamientoelastoplastico perfecto b) Comportamiento elastoplastico con endurecimiento

Ambos modelos de comportamiento suponen que los lımites de proporcionalidad,elastico y de fluencia coinciden. El modelo elastoplastico perfecto supone que la ten-sion de fluencia del material se mantiene constante para cualquier deformacion supe-rior a la del lımite elastico. El elastoplastico con endurecimiento admite un aumentode la resistencia a partir de deformaciones k εe siendo k del orden de 10 a 15. En am-bos modelos se admiten identicos comportamientos en traccion y compresion, tantopara el lımite elastico como para el modulo de elasticidad.

12.2 Plastificacion de la seccion en flexion pura

En la Figura 12.2 se muestran una seccion bisimetrica sometida a un momentoflector segun el eje y, y los diagramas planos de las distribuciones de deformacioneslongitudinales y tensiones normales correspondientes. En ninguna de la fibras seha alcanzado la deformacion del lımite elastico y en consecuencia las tensiones encualquier punto de la seccion estan por debajo del lımite elastico del material.

Figura 12.2 Diagramas de distribucion de deformaciones y de tensiones enregimen elastico

Las distribuciones de tensiones y deformaciones son lineales, respondiendo a las ecua-ciones


Flexion plastica 149

σx (y, z) =M

Iyz (12.1)

ε (z) =σx (y, z)

E=

M

EIyz = χz (12.2)

siendo E el modulo de elasticidad longitudinal y χ la curvatura de la seccion. Con-siderando una rebanada diferencial de un elemento estructural, la curvatura χ dela seccion es el angulo que se inclina una cara de la rebanada respecto de la otra,dividido por la distancia que las separa. Si se consideran dos secciones separadas unaunidad de longitud, la curvatura es

χ =ε (z)

z(12.3)

Si el momento flector se va incrementando, la tension y la deformacion en cada fibrade la seccion aumentan. Habra un valor de M para el que la deformacion en las fibraextremas (las mas tensionadas) coincida con la deformacion en el lımite elastico, εe,correspondiendoles la tension del lımite elastico, σe. En la Figura 12.3 se muestran losdiagramas planos de las distribuciones de deformaciones longitudinales y tensionesnormales.

Figura 12.3 Diagramas de distribucion de deformaciones y de tensiones enregimen elastico con las fibras extremas alcanzando el lımite elastico

Si se sigue incrementando el momento flector, se llegara a un estado tal que lasfibras extremas de la seccion habran superado la deformacion correspondiente allımite elastico junto con parte de las contiguas, trabajando todas ellas a una mismatension σe. En la Figura 12.4 se muestran los diagramas planos de las distribucionesde deformaciones longitudinales y tensiones normales correspondientes.

Figura 12.4 Diagramas de distribucion de deformaciones y de tensiones enregimen elastoplastico



Si se sigue incrementando M , habra una extensa zona de la seccion donde todas lasfibras superen la deformacion correspondiente al lımite elastico y por tanto trabajena la tension del lımite elastico, como se muestra en la Figura 12.5.

Figura 12.5 Diagramas de distribucion de deformaciones y de tensiones enregimen elastoplastico. Gran parte de la seccion plastificada

La deformacion en el lımite elastico para un acero es funcion del tipo de acero, estandoacotada entre εe = 0, 00112 para un acero con σe = 235 MPa y εe = 0, 00169 paraun acero con σe = 355 MPa.

Considerando una deformacion longitudinal unitaria en rotura para el acero deεrot = 0, 01, cuando en la fibra mas tensionada de la seccion se alcance la deformacioncorrespondiente a la rotura, la zona de la seccion trabajando en regimen elastico, quese muestra en la Figura 12.6, sera

z0

εrot=

z1

εe=

z1

εlım(12.4)

es decir, la zona elastica tiene una extension como maximo el doble de z1(en el casode que la sea seccion simetrica respecto al eje neutro), siendo z1

z1 =εe

εrotz0 (12.5)

Figura 12.6 Diagramas de distribucion de deformaciones y de tensiones enregimen elastoplastico. Fibras mas tensionadas con la deformacion en rotura

Ası, para un acero con εe = 0, 00169, la zona trabajando en regimen elastico sera,como maximo,

2× z1 = 2×0, 00169

0, 01z0 = 0, 338z0 (12.6)

De la ecuacion (12.6) se deduce que dicha zona es muy pequena en relacion con la zonaplastificada. Por este motivo se acepta la distribucion de tensiones mostrada en laFigura 12.7, en la que toda la seccion esta totalmente plastificada. Dicha distribucioncorresponde al caso, teorico, de curvatura infinita de la seccion.



Figura 12.7 Diagramas de distribucion de deformaciones y de tensiones enregimen plastico

12.2.1 Momento plastico

El momento que produce el estado tensional mostrado en la Figura 12.7 recibe elnombre de momento plastico (Mp). Al ser dicho momento estaticamente equivalenteal momento producido por la distribucion de tensiones normales, ha de cumplirseque

Mp =

∫ zt

zc

z σx (x, y, z) b dz (12.7)

siendo zt y zc las alturas, en valor absoluto, de las zonas traccionada y comprimida,respectivamente y b el ancho de la seccion. Al ser σx (y, z) = σe en la zona traccionaday σx (x, y, z) = −σe en la zona comprimida, sustituyendo en (12.7) se obtiene

Mp =

∫ zt

zc

z σx (x, y, z) b dz = σe

∫ zt

0z b dz + σe

∫ 0

zc

z b dz (12.8)

Las integrales corresponden a los momentos estaticos de las areas traccionada ycomprimida de la seccion respecto al eje neutro. Por tanto, (12.8) se puede reescribir(considerando los valores absolutos de Qyt y Qyc) como

Mp = σe [Qyt (z) +Qyc (z)] (12.9)

12.2.2 Modulo plastico

En el apartado 9.5, se dio el concepto de modulo resistente y se expreso la tensionen un punto en funcion del modulo resistente asociado a dicho punto como

σx (y, z) =M

W=

M

Ien

h

(12.10)

siendo h la mınima distancia del punto al eje neutro. El momento elastico Me, apartir de la ecuacion (12.10), puede expresarse como

Me = σeW (12.11)

Comparando las ecuaciones (12.9) y (12.11), el momento plastico puede ser expresadoen la forma

Mp = σeWp (12.12)



siendo Wp el modulo plastico de la seccion

Wp = Qyt (z) +Qyc (z) (12.13)

12.2.3 Factor de forma

La relacion entre los momentos plastico (Mp) y elastico (Me) da una idea de la mayorresistencia de la seccion cuando trabaja en regimen plastico.

λ =Mp

Me

=Wp

W(12.14)

Esta relacion se denomina factor de forma y se denota con la letra griega λ. El factorde forma depende exclusivamente de la geometrıa de la seccion (tanto W como Wp

son solamente funcion de la geometrıa de la seccion). Cuanto menor sea el factor deforma de una seccion, mejor estara disenada para trabajar a flexion.

12.2.4 Eje neutro en secciones plastificadas

Para determinar la posicion del eje neutro en una seccion plastificada se van a plan-tear los equilibrios de fuerzas y de momentos de la seccion.

Sea una seccion sometida a un sistema de cargas contenidas en un mismo plano,tal que producen un momento flector que plastifica la seccion.

Figura 12.8 Diagrama de distribucion de tensiones en una seccion asimetricatotalmente plastificada

En la Figura 12.8 se muestra la distribucion de tensiones correspondientes y la po-sicion del eje neutro. Planteando el equilibrio de fuerzas (las resultantes de la distri-bucion de tensiones propuesta), se ha de verificar

Fc = Ft (12.15)

es decir,

σeSc = σeSt (12.16)

siendo Fc, Ft, Sc y St las resultantes y las areas de las zonas comprimida y traccio-nada, respectivamente. De (12.16) se deduce que las areas de las zonas comprimiday traccionada son iguales en una seccion totalmente plastificada sometida a flexionpura y, obviamente, dichas areas coinciden con la mitad del area S de la seccion.



Sc = St =S

2(12.17)

La conclusion expresada en (12.17) implica que el eje neutro, en secciones asimetricastotalmente plastificadas, no pasa por el centro de gravedad de la seccion.

Planteando el equilibrio de momentos respecto al eje que resulta de la intersecciondel plano de cargas con la seccion, eje del plano de cargas, se obtiene

∫

St

σe ydS −

∫

Sc

σe ydS = 0 (12.18)

Al ser las areas comprimida y traccionada iguales

∫

St

ydS =

∫

Sc

ydS (12.19)

siendo las integrales los momentos estaticos de las zonas traccionada y comprimidarespecto al eje del plano de cargas con la seccion. Por tanto, se concluye que el ejeneutro en una seccion totalmente plastificada divide a la seccion en dos zonas cuyosmomentos estaticos respecto al eje del plano de cargas son iguales.

Al ser iguales las areas traccionada y comprimida, los centros de gravedad deambas zonas se encuentran sobre una misma recta que ademas es paralela al ejedel plano de cargas, como muestra la Figura 12.8. Por consiguiente, si el eje delplano de cargas es de simetrıa, el eje neutro de la seccion totalmente plastificadasera perpendicular al eje del plano de cargas.

En la Figura 12.9 se muestra la misma seccion, divida en dos areas iguales perodiferentes a las realizadas en (12.8). Se comprueba que los centros de gravedad deestas areas no coinciden sobre una misma lınea, paralela al eje del plano de cargas,por lo que no se verifica la ecuacion (12.19) y el eje neutro mostrado no es posible.

Figura 12.9 Eje neutro no posible en seccion asimetrica totalmente plastificada

12.2.5 Diagrama momento-curvatura

El diagrama momento-curvatura de una seccion describe el comportamiento resis-tente de la misma.

Al actuar un momento sobre una rebanada diferencial, esta se curva manteniendo-se las caras de la misma planas y por tanto, existiendo una distribucion tambien plana



de deformaciones. Al ir aumentando el momento, se va incrementando la curvatu-ra de la seccion. El diagrama momento-curvatura se obtiene representando en undiagrama de abscisa la curvatura y de ordenada el momento, la curvatura obtenidapara distintos valores del momento actuante en la seccion. Dicho diagrama tiene

una parte lineal, de ecuacion χ =M

EI. Sigue una parte no lineal, y finalmente el

diagrama acaba en Mp con una curvatura infinita (rama asintotica de la grafica dela Figura 12.10). La curvatura en la parte no lineal se puede obtener mediante la

expresion χ =σe

zeE. Siendo ze la profundidad de la zona elastica comprimida.

Figura 12.10 Diagrama momento-curvatura

12.3 Plastificacion de la seccion en flexion compuesta

Se distinguiran dos casos:

1. Plastificacion parcial de la seccion

2. Plastificacion total de la seccion

12.3.1 Plastificacion de la seccion en flexion compuesta: Plastifica-

cion parcial

Se trata de obtener la distribucion de tensiones y la curvatura en una seccion solici-tada a flexion compuesta (se entiende que el axil es de compresion), sin que la seccionse agote (plastifique totalmente). En la Figura 12.11 se muestran la dos posibilidades:

Solo una cabeza de la seccion ha plastificado, como se muestra en la Figu-ra 12.11 a). Las incognitas son ze y σ1.

Las dos cabezas de la seccion han plastificado, como se muestra en la Figu-ra 12.11 b). Las incognitas son z1 y z2.

Para el primer caso, alcanzara antes la plastificacion aquella cabeza que segun lasecuaciones clasicas de la resistencia de materiales este mas tensionada. Las deforma-ciones en la seccion se obtienen teniendo en cuenta que la inclinacion del diagramade tensiones en la parte elastica es Eχ y que ε(z) = χz.

Dependiendo de la complicacion de la seccion, para determinar la distribucionde tensiones puede ser necesario recurrir a metodos iterativos. Se parte de una dis-tribucion que se va corrigiendo hasta conseguir que los valores de Ni y Mi de la



i -esima iteracion coincidan con los N y M que solicitan a la seccion. Hay que teneren cuenta a la hora de establecer los incrementos para iterar, que un incremento enla curvatura produce un aumento en el momento, y que un desplazamiento del ejeneutro hacia la zona de traccion, produce un aumento del axil.

Figura 12.11 Seccion sometida a flexion compuesta segun el eje y. Plastificacionparcial

12.3.2 Plastificacion de la seccion en flexion compuesta: Plastifica-

cion total

Se trata de obtener las parejas de valores M′

p y N′

P que agotan la seccion dandolugar a una distribucion de tensiones como la mostrada en la Figura 12.12.

Figura 12.12 Seccion sometida a flexion compuesta segun el eje y. Plastificaciontotal

Con las distintas parejas de valores M′

p y N′

p que agotan la seccion, se construye eldiagrama de interaccion de la seccion, que se muestra en la Figura 12.13 a). Estese genera determinando para distintos valores de profundidad del eje neutro (zi),



los valores de M′

piy N

′

pique agotan la seccion. Estos valores se representan en un

sistema de ejes, de abscisas N′

p y ordenadas M′

p.

Figura 12.13 a) Diagrama de interaccion b) Obtencion de la carga deagotamiento de una seccion a partir del diagrama de interaccion

En la Figura 12.13 a) se han representado sendos diagramas de interaccion corres-pondientes a una seccion bisimetrica y a una seccion no bisimetrica. En seccionesbisimetricas el valor maximo de M

′

p coincide con Mp. En secciones no bisimetricas,

el valor maximo de M′

p es superior al momento plastico de la seccion, Mp.A partir del diagrama de interaccion es posible obtener la carga de agotamiento

para una seccion. Para ello se traza la recta que pasa por el origen y tiene de pendienteM

N(siendo M y N las solicitaciones sobre la seccion). La interseccion de dicha recta

con el diagrama de interaccion da el valor de los esfuerzos crıticos, tal y como semuestra en la Figura 12.13 b).

12.4 Plastificacion en secciones sometidas a flexion sim-

ple

Sobre una seccion sometida a flexion simple actuan las tensiones normales que produ-ce el momento flector y las tangenciales que produce el esfuerzo cortante. Por tanto,para estudiar la plastificacion de la seccion es necesario tener en cuenta ambos esta-dos tensionales para determinar un estado tensional unico que permita determinar siexiste plastificacion en la seccion. Esto implica utilizar algun criterio de plastificacion.

Tresca establecio en 1872 que la plastificacion en un punto de un elemento es-

tructural se produce cuando la tension tangencial maxima en dicho punto alcanza

un valor igual al que se produce cuando se alcanza el valor de la tension del lımite

elastico en el ensayo de traccion del material, τmax =σe

2como se muestra en la

Figura 12.14 a). El criterio de Tresca para un estado de tensiones no principal, segunse deduce de la Figura 12.14 b), es

τmax = R =

√

(σx

2

)2+ τ2xz =

σe

2(12.20)

Si se aplica el criterio de Von Mises, la plastificacion de la seccion se produce cuandola tension equivalente de Von Mises, σvm, alcanza el valor del lımite elastico σe.

σVM =√

σ2x + 3τ2xz = σe (12.21)



Figura 12.14 a) Cırculo de Mohr para el ensayo de traccion. b) Cırculo de Mohrpara un estado tensional no principal

En el caso en que solo existe tension normal, la plastificacion, para cualquiera delos dos criterios anteriores, se produce cuando la tension normal alcanza el lımiteelastico. Si solo existe tension tangencial, segun el criterio de Tresca, la plastificacionse produce cuando

τxz =σe

2(12.22)

mientras que el criterio de Von Mises establece que la plastificacion se produce cuando

τxz =σe√3

(12.23)

En el proceso de plastificacion de la seccion, cuando las fibras extremas alcanzan ellımite elastico y plastifican, todas estas fibras estan trabajando a la misma tensiona ambos lados de la seccion (rebanada diferencial), como se muestra en la Figu-ra 12.15 a) y en la Figura 12.15 b).

Figura 12.15 Rebanada diferencial de un elemento estructural trabajando aflexion simple. Plastificacion parcial

Por tanto, la resultantes de fuerzas a un lado y otro de la seccion son iguales, porlo que no aparecen tensiones tangenciales para equilibrarlas (τzx = 0). Ası pues, enplasticidad las tensiones tangenciales se reparten de acuerdo a lo establecido en elapartado 10.2, pero solo sobre la parte de la seccion que trabaja en regimen elasticotras aplicar el momento flector M. Es decir, las fibras plastificadas por la flexion nosufren tension tangencial alguna.



12.5 Formacion de rotulas plasticas

Sea el portico biarticulado e hiperestatico de la Figura 12.16 sometido a una cargapuntual P en el dintel.

Figura 12.16 Portico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel

En la Figura 12.17 se muestra la ley de momentos flectores.

Figura 12.17 Portico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel.Diagrama de momentos flectores

El momento maximo (MC) se produce en la seccion C donde actua la carga P. En losnudos B y D, los momentos son iguales (MB = MD), aunque se siguen nombrandocon el subındice indicando la seccion donde actuan. Si MC es inferior al momentoque agota la seccion en regimen elastico (Me) la distribucion de deformaciones y detensiones en la seccion en estudio es la mostrada en la Figura 12.17.

Al incrementar el valor de P hasta que la seccion C se agote en regimen elastico,la ley de momentos flectores y la distribucion de tensiones en la seccion C son lasmostradas en la Figura 12.18.Si se sigue incrementando P, comenzara la plastificacion de la seccion C, llegandoun momento en que toda la seccion plastificara; se ha alcanzado la deformacion enrotura de la fibra mas deformada, formandose una rotula plastica. En este momento,



Figura 12.18 Portico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel.Diagrama de momentos flectores y distribucion de tensiones en la seccion C al

alcanzarse σe en dicha seccion

la estructura inicialmente hiperestatica, ha pasado a ser isostatica, como se muestraen la Figura 12.19.

Figura 12.19 Formacion de una rotula plastica en la seccion C

Simultaneamente, en las secciones B y D tambien aumenta el momento llegando estasa agotarse elasticamente. Al seguir incrementando el valor de P, seguira aumentandoel momento flector en B y D. En la seccion C el momento plastico que agoto la seccionse mantiene constante, como muestra la Figura 12.20.



Figura 12.20 Portico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel.Redistribucion de momentos en B y D

Habra un valor de P para el que las secciones extremas B y D se agotan, formandosesendas rotulas plasticas, que provocan el colapso de la estructura al transformarseesta en un mecanismo, como muestra la Figura 12.21.

Figura 12.21 Colapso de la estructura por transformacion en mecanismo por laformacion de rotulas plasticas


Ejercicio 12.1

Para la seccion que se muestra en la Figura 12.22

Obtener:


2. Para el eje y:

a) El momento elastico

b) El momento plastico



c) El factor de forma

Figura 12.22 Seccion en T invertida. Flexion plastica

Datos:

h = b = 100 mm , ealma = eala = 10 mm

σe = 260 MPa

Solucion:


S = 1900 · 103 mm2

IyG = 1800, 044 · 103 mm4

IzG = 840, 833 · 103 mm4

2. Para el eje y:

a) El momento elastico: Me = 5, 562 kN·m

b) El momento plastico: Mp = 11, 823 kN·m

c) El factor de forma: λ = 1, 802

Ejercicio 12.2

Para la seccion en la Figura 12.23

Obtener:

1. El diagrama momento-curvatura, considerando la flexion segun el eje y



Figura 12.23 Seccion rectangular. Flexion plastica

Solucion:

1. Obtener el diagrama momento-curvatura, considerando la flexion segun el ejey

Figura 12.24 Seccion rectangular. Diagrama momento-curvatura

Tabla 12.1 Diagrama momento-curvatura. Valores

z M χ

0 Me =bh2

6σe

2σehE

σe

h

8

13bh2

64σe

8σe3hE

σe

h

4

11bh2

48σe

4σehE

σe

3h

8

47bh2

192σe

8σehE

σe

h

2Mp =

bh2

4σe ∞



Ejercicio 12.3

Para la seccion de Figura 12.25 sometida a un cortante Vz, realizada de un materialcon lımite elastico σe

Figura 12.25 Seccion rectangular sometida a flexion simple. Flexion plastica

Obtener:

1. El momento estaticamente equivalente a la distribucion de tensiones en la sec-cion cuando τxzmax

alcanza la mitad del lımite elastico

Solucion:

1. El momento estaticamente equivalente a la distribucion de tensiones en la sec-cion cuando τxzmax

alcanza la mitad del lımite elastico

M =bh2

4σe −

3V 2z

4bσe


Leccion 13

Desplazamientos en flexion

Contenidos

13.1. Ecuacion diferencial de la curva elastica . . . . . . . . . . 166

13.2. Teoremas de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

13.2.1. Primer Teorema de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

13.2.2. Segundo teorema de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

13.3. Calculo de desplazamientos por metodos energeticos.

Teorema de las Fuerzas Virtuales . . . . . . . . . . . . . . 171

13.4. Trazado aproximado de la deformada de una estructura 172

13.5. Deformaciones debidas a tensiones tangenciales . . . . . 173

13.5.1. Deformacion por esfuerzo cortante . . . . . . . . . . . . . . 173

13.6. Limitacion de las deformaciones segun el CTE . . . . . . 174



13.1 Ecuacion diferencial de la curva elastica

La curva (lınea) elastica es la configuracion que adopta la directriz de una barraprismatica trabajando a flexion. El analisis que se desarrolla a continuacion es validopara barras rectas que se deforman elasticamente por cargas contenidas en el planode simetrıa de la seccion transversal y aplicadas perpendicularmente al eje x de labarra. El eje x coincide con la directriz de la barra y su sentido positivo es haciala derecha. El eje z se dispone con sentido positivo hacia abajo. La ecuacion de lacurva elastica se denotara por w y es funcion de x (ver Figura 13.1).

Figura 13.1 Barra prismatica. Curva elastica

Sean dos secciones muy proximas, a y b, separadas una distancia ds sobre la lıneaelastica. El detalle ampliado se muestra en la Figura 13.2 para mayor claridad. Elangulo que la tangente en a forma con el eje x se denotara con θ. La tangente alpunto b forma un angulo θ+ dθ con el eje x. Por tanto, ambas tangentes forman unangulo dθ.

Figura 13.2 Barra prismatica. Obtencion de la ecuacion de la elastica

El arco ds puede expresarse en funcion del radio de curvatura ρ y del angulo entrelas dos tangentes dθ como

ds = ρdθ (13.1)

siendo la curvatura


Desplazamientos en flexion 167

1

ρ=

dθ

ds(13.2)

Considerando la hipotesis de pequenas deformaciones, se puede admitir que ds ∼= dxy θ ∼= tan θ = dw(x)

dx , con lo que la ecuacion (13.2) queda como

1

ρ=

dθ

ds=

dθ

dx=

d2w (x)

dx2(13.3)

siendo w (x) la funcion de desplazamientos en direccion z.

Sustituyendo en (13.3) las expresiones obtenidas en el apartado 9.3

1

ρ=

My (x)

EIy

se obtiene

1

ρ=

d2w (x)

dx2=

My (x)

EIy(13.4)

Para el sistema de ejes considerado, cuando la curva elastica es concava hacia arriba(convexa), la pendiente dw(x)

dx es algebraicamente decreciente con x, como se muestra

en la Figura 13.3 a), por tanto, d2w(x)dx2 es negativa. Del mismo modo, cuando la curva

es concava hacia abajo, la pendiente dw(x)dx es algebraicamente creciente con x, como

se muestra en la Figura 13.3 b), por tanto, d2w(x)dx2 es positiva.

Figura 13.3 Curva elastica. Criterio de signos

Segun el criterio de signos adoptado para los esfuerzos en el tema 6, los momentosflectores son positivos cuando producen tracciones en las fibras inferiores de la barra(considerando un sistema de ejes local como el mostrado en la Figura 13.3). Por lotanto, los momentos positivos disminuyen en el sentido algebraico la curvatura, mien-tras que los momentos negativos la aumentan. Por consiguiente, la ecuacion (13.4),para poder ser aplicada de acuerdo con los criterios considerados debe escribirsecomo

d2w (x)

dx2= −

My (x)

EIy(13.5)

La ecuacion anterior es valida siempre que todos los puntos de la barra presenten uncomportamiento elastico y las deformaciones sean pequenas. Debe tenerse presente



tambien que en la obtencion de dicha ecuacion no se han considerado las deforma-ciones debidas al esfuerzo cortante.

Integrando una vez (13.5) se obtiene la ecuacion de la pendiente de la curva elasti-ca, e integrando dos veces, se obtiene la curva elastica. En la integracion de (13.5)aparecen 2n constantes de integracion, siendo n el numero de tramos necesarios parala obtencion de la ley de flectores. Para determinar estas constantes de integraciones necesario considerar las condiciones de contorno de la barra. Si con estas no fuerasuficiente, se impondran condiciones de compatibilidad de desplazamientos y girosen los puntos comunes entre tramos considerados en la barra para el calculo de laley de momentos.

La ecuacion (13.5) puede escribirse de forma alternativa, derivando una vez cadamiembro de la ecuacion respecto de x

d

dx

(d2w (x)

dx2

)

= −1

EIy

dMy (x)

dx⇒ EIy

d3w (x)

dx3= −Vz (x) (13.6)

Derivando de nuevo respecto de x, se obtiene

d

dx

(d3w (x)

dx3

)

= −1

EIy

d2My (x)

dx2⇒ EIy

d4w (x)

dx4= qz (x) (13.7)

(13.6) y (13.7) son las ecuaciones diferenciales de la curva elastica en funcion delcortante y de la carga aplicada, respectivamente.

Si se prescinde de la hipotesis de pequenas deformaciones, no es admisible apro-ximar la tangente al angulo, por tanto

θ = arctandw (x)

dx(13.8)

Por otro lado, el arco ds puede expresarse en funcion de dx y dw, como

ds2 = dx2 + dw (x)2 ⇒ ds =

√

dx2 + dw (x)2 ⇒ ds =

√

1 + w′ (x)2 dx (13.9)

Habiendose obtenido la ultima relacion de (13.9) dividiendo ds por dx. Derivando(13.8) se obtiene

dθ

dx=

w′′ (x)

1 + w (x)2(13.10)

Sustituyendo (13.9) y (13.10) en (13.2), se obtiene

1

ρ=

dθ

ds=

dθ√

1 + w′ (x) (x)2 dx=

w′′ (x)

1 + w2√

1 + w′ (x)2=

w′′ (x)(

1 + w′ (x)2) 3

2

(13.11)

Finalmente, sustituyendo (13.11) en (13.4), la ecuacion diferencial de la curva elasticapara grandes deformaciones

My (x)

EIy=

w′′ (x)(

1 + w′ (x)2) 3

2

(13.12)



13.2 Teoremas de Mohr

13.2.1 Primer Teorema de Mohr

Permite obtener el giro relativo entre dos secciones de una barra prismatica.El angulo θAB entre las tangentes a la curva elastica en dos puntos A y B de

la misma, viene dado por el area del diagrama de momentos flectores comprendida

entre ambos puntos, dividida por EIy.

θAB =1

EIy

∫ B

A

My (x) dx (13.13)

Figura 13.4 Primer teorema de Mohr

La demostracion es sencilla. De acuerdo con la ley de Hooke, la tension en cualquierpunto de la seccion transversal de la barra es

σx = E εx (13.14)

siendo εx la deformacion unitaria del punto considerado.La hipotesis de Navier-Bernoulli puede expresarse como

εx =zdθ

ds(13.15)

Sustituyendo (13.15) en (13.14), se obtiene

σx = Ezdθ

ds(13.16)

Teniendo en cuenta que el flector actuante sobre la seccion es estaticamente equiva-lente a la distribucion de tensiones sobre la seccion, se obtiene

My (x) =

∫

S

σx bz dz = Edθ

ds

∫

S

bz2 dz = EIydθ

ds(13.17)



siendo b el ancho de la seccion transversal en el punto considerado e Iy el momentode inercia de la seccion transversal respecto al eje y. Despejando dθ de (13.17) seobtiene el angulo diferencial entre dos secciones separadas ds.

dθ =My (x)

EIyds (13.18)

Al ser los desplazamientos pequenos, se puede sustituir el arco ds por la distanciahorizonal dx ; integrando entre los puntos A y B se obtiene

θAB =

∫ B

A

My (x)

EIydx (13.19)

donde la integral representa el area del diagrama de momentos flectores comprendidaentre ambos puntos, dividida por EIy.

13.2.2 Segundo teorema de Mohr

La mınima distancia desde un punto A de la curva elastica hasta la tangente a otro

punto B de la curva elastica, es igual al momento estatico del area del diagrama de

momentos flectores respecto del punto A, dividido por EIy

wAB =1

EIy

∫ B

A

xMy (x) dx (13.20)

Figura 13.5 Segundo teorema de Mohr

Para demostrar este teorema, se comprueba que la mınima distancia dw desde elpunto A de la curva elastica a la tangente a la elastica en el punto de abscisa x+dx,que se muestra en la Figura 13.5, es



dw = xdθ (13.21)

Aplicando el primer teorema de Mohr e integrando (13.21) entre los puntos A y B

se obtiene la distancia mınima desde el punto A de la curva elastica a la tangente ala elastica en el punto B. Por la hipotesis de pequenos desplazamientos se aproximadicha distancia a la medida entre el punto A de la curva elastica y la interseccion dela vertical trazada por A con la tangente en B.

En aquellos casos en que la ley de momentos flectores sea sencilla, las areas ymomentos estaticos de la misma pueden ser calculados facilmente sin necesidad derealizar las integrales. Los sentidos de los desplazamientos y giros se pueden obtenera partir de las dos reglas siguientes:

Teniendo en cuenta el criterio de signos adoptado para los momentos en unaseccion de la pieza y asociando estos mismos signos a las areas de los diagramasde momentos flectores, un area total positiva corresponde a un giro antihorariode la tangente a la elastica en el punto B respecto a la tangente a la elasticaen el punto A.

Tomando como positivas las distancias que van en el sentido positivo de lasabscisas x, un momento estatico total positivo supone que el punto A de laelastica esta por encima de la tangente a la curva elastica en el punto B.

13.3 Calculo de desplazamientos por metodos energeti-

cos. Teorema de las Fuerzas Virtuales

Este teorema solo se va a aplicar a barras esbeltas, con la directriz contenida en elplano XZ, las cargas actuando en dicho plano y cuya seccion transversal presentasimetrıa respecto al eje z.

El Teorema de las Fuerzas Virtuales (TFV) se enuncia de la siguiente forma: lacondicion necesaria y suficiente para que un campo de desplazamientos ui sea com-

patible con un campo de deformaciones εij es que se cumpla la igualdad de trabajos

externos e internos, para todo campo de tensiones σ∗

ij en equilibrio con unas cargas

exteriores X∗

i y t∗i∫

V

x∗iuidV +

∫

S

tc∗i ucidS

︸︷︷︸

trabajo externo

=

∫

V

σ∗

ijεijdV

︸︷︷︸

trabajo interno

(13.22)

Considerando un estado de fuerzas y esfuerzos virtuales en equilibrio, el trabajovirtual complementario realizado por los esfuerzos virtuales al moverse sobre lasdeformaciones reales (trabajo interno) es

∫

V(σ∗)T εdV =

=

∫

L

[∫

S

(N∗(x)

A(x)+

M∗

y (x)

Iy(x)z

)(N∗(x)

E(x)A(x)+

M∗

y (x)

E(x)Iy(x)z

)

dA

]

dx =

=

∫

L

(N∗(x)N(x)

E(x)A(x)+

M∗

y (x)My(x)

E(x)Iy(x)z

)

dx

(13.23)



Si sobre la barra se aplican fuerzas virtuales (F ∗

xi, F∗

zi) y/o momentos virtuales(

M∗

yi

)

en n puntos, el trabajo virtual externo es

∫

V

x∗iuidV +

∫

S

tc∗i ucidS =

n∑

i=1

(F ∗

xiui + F ∗

ziwi +M∗

yiθyi)

(13.24)

siendo uxi, wzi los desplazamientos del punto i segun los ejes x y z, y θyi el giro delpunto i alrededor del eje y. Ası pues, la expresion del TFV para una barra esbeltaes

n∑

i=1

(F ∗

xiui + F ∗

ziwi +M∗

yiθyi)=

=

∫

L

(N∗(x)N(x)

E(x)A(x)+

M∗

y (x)My(x)

E(x)Iy(x)z

)

dx

(13.25)

Si la estructura esta formada por b barras esbeltas, con fuerzas (Fxi, Fzi) y/o mo-mentos (Myi) en n puntos, la ecuacion (13.25) es

n∑

i=1

(F ∗

xiui + F ∗

ziwi +M∗

yiθyi)=

=

b∑

j=1

∫

L

(N∗(x)N(x)

E(x)A(x)+

M∗

y (x)My(x)

E(x)Iy(x)z

)

dx

(13.26)

Si los valores de los esfuerzos y las propiedades de las barras son constantes (Sj = cte,Ej = cte, Nj = cte, Myj = cte, e Iyj = cte), la ecuacion (13.26) queda en la forma

n∑

i=1

(F ∗

xiuxi + F ∗

ziwzi +M∗

yiθyi)=

b∑

j=1

(N∗

j NjLj

EjAj+

M∗

yjMyjLj

EjIyj

)

(13.27)

Para la aplicacion de este metodo, lo unico que se requiere es que el sistema de cargasque actua sobre la estructura este en equilibrio. Puede tomarse como estructuravirtual la real sin apoyos y sometida a un estado de cargas resultante de equilibrarla carga o momento unitario (aplicada en la seccion cuyo desplazamiento o giro sedesea calcular) con cargas y/o momentos aplicados en secciones cuyo desplazamientoy/o giro sea conocido en la estructura real y en la direccion de estos.

13.4 Trazado aproximado de la deformada de una es-

tructura

Para el trazado aproximado de la deformada de una estructura sencilla, es necesarioconocer los diagramas de momentos flectores de las barras que la componen. Seconoce que un momento positivo tiende a curvar la barra con concavidad en direccionpositiva del eje z local. Por el contrario, un momento negativo tiende a curvar la barracon concavidad en direccion negativa del eje z local. Los puntos de momento cero sonpuntos de inflexion de la deformada de la barra. Por otro lado, tambien son conocidaslas restricciones a los desplazamientos en los puntos donde se situan apoyos.



Con la informacion indicada en el parrafo anterior, junto con los valores de losdesplazamientos y giros que se conozcan o se hayan calculado, se traza, de formaaproximada, la deformada de una estructura simple.

13.5 Deformaciones debidas a tensiones tangenciales

Las tensiones tangenciales producen un deslizamiento entre las superficies adyacen-tes. La deformacion unitaria consiste en una distorsion angular, que para materialescon comportamiento lineal y elastico cumple la ley de Hooke.

γ =dw (x)

dx=

τ

G(13.28)

siendo G el modulo de elasticidad transversal definido en el tema 4, apartado 4.2.2.

13.5.1 Deformacion por esfuerzo cortante

La deformacion de una barra por cortante se produce por el deslizamiento relativoentre las secciones adyacentes. La suma de todos estos movimientos elementales dala deformada total de la barra.

Figura 13.6 Deformacion por esfuerzo cortante

En la Figura 13.6 a) se muestra que si las dos caras de la rebanada de espesor dxde la viga se desplazan relativamente entre sı permaneciendo planas, la distorsionangular γm es constante a lo largo de la seccion. Ahora bien, la deformacion angularen cada punto de la seccion es proporcional a la tension tangencial en dicho punto.Como la distribucion de tensiones tangenciales no es constante, como se muestra enla Figura 13.6 b), las caras del elemento no permanecen planas sino que se alabean,como se representa en la Figura 13.6 c).

Para evaluar las deformaciones de toda la barra se va a considerar el modelosimplificado de deformacion por cortante, representado en la Figura 13.6 a). Se puedeescribir

w′ (x) =dw (x)

dx= γm =

αsVz (x)

GS(13.29)

donde Vz

Ses la tension tangencial media, obtenida dividiendo el esfuerzo cortante

entre el area de la seccion. αs es un coeficiente por el que hay que multiplicar la



tension media para obtener la tension en el centroide de la seccion. El valor de αs

depende de la forma de la seccion.Para calcular la ecuacion de la elastica debida al cortante se integra la ecuacion

(13.29)

w (x) =

∫ x

0

αsVz (x)

GSdx (13.30)

Esta deformacion hay que sumarla a la producida por el momento flector para evaluarla deformacion total. Si se deriva la ecuacion (13.29), se obtiene

w′′ (x) =d2w (x)

dx2=

αs

GS

dVz (x)

dx= −

αsqz (x)

GS(13.31)

La ecuacion diferencial de la elastica englobando los efectos del flector y cortantequeda

w′′ (x) =d2w (x)

dx2= −

My (x)

EIz−

αsqz (x)

GS(13.32)

13.6 Limitacion de las deformaciones segun el CTE

Segun el CTE, cuando se considere la integridad de los elementos constructivos, seadmite que la estructura horizontal de un piso o cubierta es suficientemente rıgida si,para cualquiera de sus piezas, ante cualquier combinacion de cargas caracterısticas,considerando solo las deformaciones que se producen despues de la puesta en obradel elemento, la flecha relativa es menor que:

1

500en pisos con tabiques fragiles (como los de gran formato, rasillones, o

placas) o pavimentos rıgidos sin juntas

1

400en pisos con tabiques ordinarios o pavimentos rıgidos con juntas

1

300en el resto de casos

La flecha relativa es el descenso maximo de vano respecto al extremo de la pieza quelo tenga menor, dividido por la luz del tramo. En el caso de voladizos se consideracomo luz el doble del vuelo.

Cuando se considere el confort de los usuarios, se admite que la estructura ho-rizontal de un piso o cubierta es suficiente rıgida si, para cualquiera de sus piezas,ante cualquier combinacion de acciones caracterısticas, considerando solamente las

acciones de corta duracion, la flecha relativa, es menor que1

350.


Ejercicio 13.1

Para la viga de la Figura 13.7

Obtener, utilizando la ecuacion diferencial de segundo orden de la curva elastica:



Figura 13.7 Viga articulada-empotrada con rotula intermedia y cargasdistribuidas uniformemente

1. Las ecuaciones de la curva elastica y de giros

2. El desplazamiento vertical del punto B

3. El giro del nudo A

4. La deforma aproximada de la estructura

Datos:

L = 4 m

Iy = 5, 5 · 10−4 mm4

q = 17 kN/m

E = 20 GPa

Solucion:

1. Las ecuaciones de la curva elastica y de giros

w′ =

1

EIy

[2, 833x3 − 17x2 + 90, 666

]0 ≤ x ≤ L

1

EIy

[−2, 833x3 + 51x2 − 272x+ 362, 666

]0 ≤ x ≤ L

w =

1

EIy

[0, 708x4 − 5, 666x3 + 90, 666x

]0 ≤ x ≤ L

1

EIy

[−0, 708x4 + 17x3 − 136x2 + 362, 666

]L ≤ x ≤ 2L


w (x = L) = wB = 0, 0165 m

3. El giro del nudo A

w′ (x = 0) = w′

A = 0, 00824 radianes



Figura 13.8 Viga articulada-empotrada con rotula intermedia y cargasdistribuidas uniformemente. Deformada aproximada


Ejercicio 13.2


Figura 13.9 Viga biapoyada con cargas triangulares simetricas

Obtener, utilizando los teoremas de Mohr:


2. Los giros de los puntos A y C


Datos:

L = 4 m

Iy = 5, 5 · 10−4 mm4

q = 15 kN/m

E = 20 GPa

Solucion:


w (x = L) = wB = 0, 0071 m

2. Los giros de los puntos A y C

w′ (x = 0) = w′

A = 0, 00444 radianes

w′ (x = 0) = w′

C = −0, 00444 radianes




Figura 13.10 Viga biapoyada con cargas triangulares simetricas. Deformadaaproximada

Ejercicio 13.3


Figura 13.11 Viga continua con doble rotula y carga uniformemente distribuida

Obtener, utilizando el Principio de las Fuerzas Virtuales:

1. Los desplazamientos verticales de los puntos B y C

2. Los giros de los puntos D y E


Datos:

L = 2, 5 m

Iy = 5, 5 · 10−4 mm4

P = 50 kN , q = 15 kN/m

E = 20 GPa

Solucion:

1. Los desplazamientos verticales de los puntos B y C

w (x = L) = wB = 0, 00888 m

w (x = 2L) = wC = 0, 01776 m



2. Los giros de los puntos D y E

w′ (x = 3L) = w′

D = −0, 00355 radianes

w′ (x = 4L) = w′

E = 0, 00177 radianes


Figura 13.12 Viga continua con doble rotula y carga uniformemente distribuida.Deformada aproximada


Leccion 14

Sistemas hiperestaticos

Contenidos

14.1. Metodo de las fuerzas para el calculo de sistemas hiper-

estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

14.2. Sistemas hiperestaticos sometidos a flexion . . . . . . . . 181

14.2.1. Aplicacion del Teorema de las Fuerzas Virtuales . . . . . . 181



14.1 Metodo de las fuerzas para el calculo de sistemas

hiperestaticos

Este metodo es valido para el calculo de estructuras con hiperestaticidad externa1

y/o con hiperestaticidad interna2.

Las incognitas en este metodo son fuerzas (esfuerzos o reacciones). El metodoconsiste en escoger tantas incognitas hiperestaticas como grado de hiperestaticidadpresente la estructura. Tales incognitas son aplicadas como cargas exteriores sobre laestructura inicial, exenta de los grados de libertad que estas incognitas coaccionaban.De esta forma, la estructura original se transforma en una estructura isostatica de-nominada estructura isostatica fundamental. Por tanto, las reacciones y las leyes deesfuerzos de la estructura isostatica fundamental son funcion de las cargas externasy de las reacciones hiperestaticas.

En la estructura hiperestatica de la Figura 14.1 a), de grado de hiperestaticidadha = 2, se han escogido el momento en A y la reaccion horizontal en B comoincognitas hiperestaticas. La estructura isostatica fundamental es la mostrada en laFigura 14.1 b).

Figura 14.1 a) Estructura hiperestatica. b) Estructura isostatica fundamental

Debe verificarse que los desplazamientos en los grados de libertad suprimidos de laestructura hiperestatica coincidan con los de la estructura isostatica fundamental.Esto implica el planteamiento de tantas ecuaciones de compatibilidad de despla-zamientos como incognitas hiperestaticas. Resolviendo el sistema formado por lasecuaciones de compatibilidad se obtiene el valor de las incognitas hiperestaticas.

Desde un punto de vista practico, es necesario realizar los siguientes pasos pararesolver un problema hiperestatico:

1. Determinacion del grado de hiperestaticidad, seleccion de las incognitas hiper-estaticas y obtencion la estructura isostatica fundamental

2. Obtencion de las leyes de esfuerzos de la estructura isostatica fundamental3

3. Planteamiento del sistema de ecuaciones de compatibilidad4

1La estructura es interiormente isostatica pero tiene un numero excesivo de condiciones de apoyo.2La estructura tiene un numero excesivo de barras pero es externamente isostatica.3Seran funcion de las cargas exteriores, de las reacciones y de las incognitas hiperestaticas.4Tantas ecuaciones como grado de hiperestaticidad. Cada una de estas ecuaciones planteara la

nulidad (o un valor concreto si el desplazamiento o giro tiene un valor conocido) del grado de libertadliberado en la estructura isostatica fundamental.


Sistemas hiperestaticos 181

4. Obtencion de las incognitas hiperestatica mediante la resolucion del sistema deecuaciones de compatibilidad

5. Resolucion de la estructura original con las reacciones hiperestaticas actuandocomo cargas exteriores

14.2 Sistemas hiperestaticos sometidos a flexion

14.2.1 Aplicacion del Teorema de las Fuerzas Virtuales

El Teorema de las Fuerzas Virtuales es un metodo potente muy util para la resolu-cion manual de este tipo de problemas. Para el caso de la estructura hiperestatica dela Figura 14.1 a), es necesario plantear junto a la estructura isostatica fundamentalmostrada en la Figura 14.1 b), dos estructuras virtuales, una por cada uno de los gra-dos de libertad correspondientes a las incognitas hiperestaticas. En la Figura 14.2 a)y en la Figura 14.2 b) se muestran dichas estructuras.

Figura 14.2 Estructuras virtuales: a) θA. b) uB

Conocidas las leyes de esfuerzos de la estructuras isostatica fundamental y de cadauna de las virtuales, se plantean las ecuaciones de compatibilidad θA = 0 y uB = 0,utilizando el Principio de las Fuerzas Virtuales 5.

Del sistema formado por las dos ecuaciones de compatibilidad se despejan lasincognitas hiperestaticas MAy y RBx (Figura 14.1 b)). Sustituyendo sus valores enlas leyes de esfuerzos y reacciones de la estructura isostatica fundamental se obtienenlas leyes de esfuerzos y reacciones de la estructura hiperestatica inicial.


Ejercicio 14.1

Para la estructura que se muestra en la Figura 14.3

Obtener:

1. Reacciones en los apoyos

2. La expresion analıtica de las leyes de esfuerzos para los tramos A-B y C-B

5Normalmente no se consideran las deformaciones debidas a los esfuerzos axiles, por lo que dichotermino queda eliminado de la expresion del Principio de las Fuerzas Virtuales



Figura 14.3 Estructura hiperestatica de dos barras

Datos:

L = 2 m

q = 10 kN/m , M = 80 kN/m

E = 210 GPa

Iy = 2770 · 10−8 m4

Solucion:


RAx = 45, 714 kN (→)

RAz = 40 kN (↑)

MAy = 68, 572 kN·m(x)

RCx = 45, 714 kN (←)

2. La expresion analıtica de las leyes de esfuerzos para los tramos A-B y C-B

Tabla 14.1 Expresion analıtica de las leyes de esfuerzos

Tramo Nx Vz My

AB -45,714 40− 10x −5x2 + 40x− 68, 572

CB 0 -45,714 45, 714x

Ejercicio 14.2

El apoyo B de la estructura que se muestra en la Figura 14.4, ha sufrido un descenso∆wB al aplicarle las cargas.

Obtener:


2. La expresion analıtica de las leyes de esfuerzos para los tramos A-B y B-C


Sistemas hiperestaticos 183

Figura 14.4 Viga continua con asiento diferencial en un apoyo

Datos:

L = 2 m

q = 10 kN/m , M = 60 kN/m

E = 20 GPa

Iy = 180 · 10−6 m4

∆wB = 5 mm

Solucion:


RAx = 0 kN

RAz = 48, 375 kN (↓)

RBz = 84, 5 kN (↑)

RCz = 23, 875 kN (↑)



Tramo Nx Vz My

AB 0 -48,375 −48, 375x+ 60

BC 0 −10x+ 56, 125 −5x2 + 56, 125x− 129

Ejercicio 14.3

Para la estructura que se muestra en la Figura 14.5

Obtener:

1. El valor de M para que el desplazamiento vertical del punto C sea nulo

2. Reacciones en los apoyos, teniendo en cuenta el valor de M calculado en elapartado anterior




Figura 14.5 Estructura hiperestatica de dos barras con apoyo elastico

Datos:

L = 4 m

Iy = 8, 36 · 10−5 m4

q = 20 kN/m

E = 210 GPa

k = 5 · 103 kN/m

Solucion:

1. El valor de M para que el desplazamiento vertical del punto C sea nulo

M = 165, 333kN·m


RAx = 0 kN

RAz = 40 kN (↑)

MAy = 58, 667 kN·m(y)

RCz = 0 kN



Tramo Nx Vz My

AB 40 0 58,667

BC 0 −2, 5x2 + 40 −0, 833x3 + 40x− 106, 667


Leccion 15

Torsion uniforme

Contenidos


valentes a un momento torsor . . . . . . . . . . . . . . . . 186

15.2. Torsion uniforme en barras prismaticas de seccion cir-

cular. Teorıa elemental de la torsion . . . . . . . . . . . . 186

15.3. Torsion uniforme en barras prismaticas de seccion no

circular maciza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

15.4. Torsion uniforme en barras prismaticas de secciones trans-

versales cuadradas y rectangulares . . . . . . . . . . . . . 189

15.5. Torsion uniforme en barras prismaticas de seccion de

pared delgada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

15.6. Sistemas hiperestaticos sometidos a torsion uniforme . . 193

15.7. Torsion no uniforme en barras prismaticas . . . . . . . . 194




te equivalentes a un momento torsor

Una barra prismatica trabaja a torsion uniforme cuando el unico esfuerzo presentees un momento torsor, constante a lo largo de toda ella, y el desplazamiento de todoslos puntos de la superficie de la barra es libre. Cualquier barra torsionada que nocumpla alguna de las dos condiciones anteriores trabaja a torsion no uniforme.

15.2 Torsion uniforme en barras prismaticas de seccion

circular. Teorıa elemental de la torsion

Las barras prismaticas de seccion circular son el elemento estructural mas comunsometido a torsion. Se puede demostrar que debido a la simetrıa de la seccion trans-versal, las secciones transversales planas normales al eje de la barra permanecenplanas durante la deformacion y no sufren distorsion en su propio plano. Esto seaprecia en la Figura 15.1. Se ha trazado una rejilla sobre la barra sin deformar, comose muestra en la Figura 15.1 a). Al deformarse, las secciones transversales circularespermanecen siendo circulares y las lıneas longitudinales forman helices que intersecana los cırculos segun angulos iguales, como se muestra en la Figura 15.1 b).

Figura 15.1 Deformacion de una barra prismatica de seccion circular sometida atorsion uniforme

Sea una rebanada diferencial de la barra, de longitud dx, como se muestra en laFigura 15.2. Se considerara un elemento en la superficie de esta, definido por susvertices a, b, c y d. Los lados ab y cd son inicialmente paralelos al eje longitudinal.Durante la torsion de la barra, las secciones transversales extremas giran una respectoa la otra un angulo dφ , de manera que, considerando como referencia la seccionextrema de la izquierda, los puntos b y c pasan a la posicion b’ y c’. Se consideraque las longitudes de los lados del elemento, ahora ab’ y dc’, no han cambiado. Sinembargo, si se ha producido una deformacion angular, de valor

γmax =bb′

ab(15.1)

γmax viene expresada en radianes. La distancia ab es la longitud de la rebanadadiferencial, dx.


Torsion uniforme 187

Figura 15.2 Rebanada diferencial sometida a torsion pura

Por otro lado, si r es el radio de la seccion transversal, bb’ puede expresarse comordφ, y la ecuacion (15.1) como

γmax =rdφ

dx(15.2)

En la ecuacion 15.2dφ

dxes la razon de cambio del angulo de torsion con respecto a la

distancia x medida a lo largo del eje de la barra. Dicha razon se denota con la letraθ y se denomina angulo de torsion por unidad de longitud,

θ =dφ

dx(15.3)

Sustituyendo en la ecuacion (15.2) la (15.3), aquella toma la forma

γmax = rθ (15.4)

Como los radios en las secciones transversales permanecen rectos y sin deformardurante la torsion, el analisis realizado anteriormente es valido para cualquier ele-mento sobre la superficie de un cilindro interior de radio r. Por tanto, la deformacionangular tiene la expresion

γ = ρθ =ρ

rγmax (15.5)

La ecuacion (15.5) implica que las deformaciones angulares en una barra circularvarıan linealmente con la distancia radial ρ desde el centro. Es nula en el centro y

maxima en la superficie exterior. Esta variacion lineal implica quedφ

dxes constante.

Conocida la deformacion, el estado tensional se puede determinar a partir de larelacion tension-deformacion para el material de la barra. Si el material es elasticoy lineal, la ley de Hooke establece como relacion entre la tension y la deformaciontangenciales

τ = Gγ (15.6)

Sustituyendo (15.2) en (15.6), la tension tangencial maxima es

τmax = Grdφ

dx(15.7)



que al igual que las deformaciones, tiene una distribucion lineal y es nula en el centroy maximo en la superficie, como se muestra en la Figura 15.3.

Figura 15.3 Distribucion de tensiones en una seccion circular de una barraprismatica sometida a torsion uniforme

El momento torsor resultante de la actuacion de la tension tangencial es

Mx (x) =

∫

S

r τ dS = Gdφ

dx

∫

S

r2dS = Gdφ

dxIp (15.8)

El angulo de torsion, a partir de la ecuacion anterior, es

φ =

∫

Mx (x)

GIpdx (15.9)

siendo S el area e Ip el momento de inercia polar, de la seccion transversal.Por equilibrio, Mx (x) es igual en magnitud al momento torsor Mt aplicado en el

extremo de la seccion. Expresando las ecuaciones (15.7), (15.8) y (15.9) en funcion dela solicitacion actuante (Mt), las constantes del material y la geometrıa de la barra,e integrando (15.9) a lo largo de la barra, se obtienen las ecuaciones fundamentalesde la teorıa elemental de la torsion

τmax =Mtr

Ip(15.10)

θ =Mt

GIp(15.11)

φ =MtL

GIp(15.12)


no circular maciza

La Figura 15.4 muestra una barra prismatica de seccion transversal cuadrada so-metida a torsion uniforme. Las secciones transversales planas normales al eje de labarra no permanecen planas durante la deformacion (experimentan desplazamientosde alabeo) y sufren distorsion en su propio plano. Esto implica que no es posibleestablecer una teorıa sencilla como la expuesta en el apartado 15.2.



Figura 15.4 Barra prismatica de seccion transversal cuadrada sometida a torsion

Saint-Venant obtuvo la solucion exacta al problema de torsion no uniforme en pie-zas prismaticas de forma arbitraria, suponiendo que la deformacion es uniforme, yconsiste en:

una rotacion como solido rıgido de las secciones en su plano, y

un alabeo de las secciones fuera de su plano.

El problema debe ser formulado haciendo uso del modelo de medio continuo elastico.L. Prandtl propuso en 1903 que las tensiones fueran expresadas a partir de una

funcion de tension Φ(y, z), llamada tambien funcion de Prandtl, de forma que

τxy (x, y, z) =∂Φ(y, z)

∂zτxz (x, y, z) =

−∂Φ(y, z)

∂y(15.13)

El problema se reduce a encontrar una funcion Φ (y, z) que satisfaga las ecuacionesde compatibilidad y las condiciones de contorno de la torsion uniforme. Esto implicaque la funcion Φ (y, z) satisfaga la ecuacion diferencial

∆Φ (y, z) =∂2Φ(y, z)

∂y2+

∂2Φ(y, z)

∂z2= −2Gθ (15.14)

con la condicion de contorno de que la funcion de tension sea constante a lo largodel contorno de la seccion.

La resolucion analıtica de la torsion uniforme en barras prismaticas de seccionno circular de seccion maciza mediante el planteamiento del parrafo anterior es, engeneral, muy compleja. No obstante, se han obtenido distintas expresiones comosolucion a diferentes tipos de secciones sometidas a torsion.

15.4 Torsion uniforme en barras prismaticas de seccio-

nes transversales cuadradas y rectangulares

En la Figura 15.5 se muestran sendas secciones, cuadrada y rectangular, donde sehan senalado los puntos de tension tangencial maxima.



Figura 15.5 Puntos de tension tangencial maxima en secciones transversalescuadradas y rectangulares sometidas a torsion uniforme

Las expresiones de los valores de la tension tangencial maxima y del angulo giradopor unidad de longitud, se indican en la Tabla 15.1.

Tabla 15.1 Tension tangencial maxima y angulo de torsion en secciones cuadradasy rectangulares

Seccion τmax θ

Cuadrada4, 81Mt

a37, 10MtL

a4G

RectangularMt

αab2Mt

Gβab3

En la Tabla 15.2 se dan los valores de los coeficientes α y β, en funcion de la relacionentre el ancho y el canto de la seccion rectangular, utilizados en las expresiones deτmax y θ.

Tabla 15.2 Valores de α y β para secciones rectangulares

a/b 1 1,5 2 2,5 3 4 6 10 ∞

α 0,208 0,231 0,246 0,256 0,267 0,282 0,299 0,312 0,333β 0,141 0,229 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,312 0,333


de pared delgada

En las barras prismaticas de seccion de pared delgada sometidas a torsion uniforme,cada seccion sufre un giro distinto alrededor del centro de torsion y unos desplaza-mientos de alabeo iguales en todas las secciones.

La seccion mas elemental es la rectangular estrecha que se muestra en la Figu-ra 15.6.



Figura 15.6 Seccion rectangular estrecha sometida a torsion

La funcion de Prandtl para el rectangulo estrecho es

Φ (y) = −Gθ

(

y2 −1

4e2)

(15.15)

y las distribuciones de tensiones son

τxy = −∂Φ(y)

∂z= 0 (15.16)

τxz (y) =∂Φ (y)

∂y= −2Gθy (15.17)

En la Figura 15.7 se muestra la distribucion de tensiones τxz la cual varıa linealmenteen el espesor. Las tensiones maximas se producen en los puntos mas alejados de lalınea media del rectangulo (en dicha lınea media τxz es nula).

Figura 15.7 Distribucion de tensiones tangenciales en una seccion rectangularestrecha sometida a torsion

Se puede demostrar que la constante torsional J, el angulo girado por unidad delongitud de barra θ y la tension maxima son

J =1

3be3 (15.18)

θ =3Mx (x)

Gbe3(15.19)

τxzmax= τxz

(

y = ±e

2

)

=∓3Mx (x)

be2(15.20)



Las secciones abiertas se pueden generar mediante secciones rectangulares estrechas,como se muestra en la Figura 15.8.

Figura 15.8 Perfil abierto de pared delgada construido mediante adicion derectangulos estrechos

La constante torsional de cualquier perfil abierto de pared delgada puede ser calcu-lada directamente aplicando la ecuacion (15.18) a cada rectangulo y sumando:

J =

n∑

i=1

(

1

3bie

3i

)

(15.21)

siendo n es el numero de rectangulo que forman la seccion, bi y ei son, respectiva-mente, la longitud y el espesor del rectangulo generico i.

Las tensiones tangenciales estaticamente equivalentes al momento torsor en per-files cerrados de pared delgada se distribuyen de forma distinta a como lo hacen ensecciones abiertas. Como el espesor de las paredes es muy pequeno, se puede simpli-ficar el calculo considerando que la tension tangencial τxs es constante en el mismo.En la Figura 15.9 se muestra la distribucion de tensiones tangenciales, constante, enun tramo de una seccion de un perfil cerrado de pared delgada.

Figura 15.9 Perfil cerrado de pared delgada. Distribucion de tensionestangenciales

Para secciones cerradas de espesor constante, se obtiene:

τxs (x, s) =Mx (x)

2Ωe(15.22)

siendo Ω el area encerrada por la lınea media de la seccion. El angulo girado porunidad de longitud de la barra se obtiene mediante la expresion:

θ =τxs (x, s)S

2GΩ=

Mx (x)S

4GΩ2e(15.23)

siendo S la longitud de la lınea media de la seccion. La constante torsional vale



J =4Ω2e

S(15.24)

15.6 Sistemas hiperestaticos sometidos a torsion unifor-

me

La forma de abordar este tipo de problemas hiperestaticos es planteando las ecua-ciones de equilibrio y tantas ecuaciones de compatibilidad de desplamientos1 comogrado de hiperestaticidad de la estructura.

La barra de la Figura 15.10 a), de un material de modulo de elasticidad transver-sal G, esta constituida por dos tramos de igual longitud con secciones transversalescirculares de diametros diferentes. Esta empotrada en ambos extremos. En el centrode gravedad de la seccion comun a ambos tramos actua un momento torsor Mt.

Figura 15.10 a) Barra prismatica hiperestatica sometida a torsion. b) Reacciones

En los empotramientos A y B, al estar la barra trabajando unicamente a torsion,Figura 15.10 b), solo habra momentos torsores como reacciones. La unica ecuacionde la estatica que puede plantearse es

∑

Mx = 0, MAx +Mt +MBx = 0 (15.25)

Se tienen dos incognitas (MAx y MBx) y una ecuacion (15.25); por tanto, el gradode hiperestaticidad es uno. Es necesaria una ecuacion adicional. Esta puede ser laecuacion de compatibilidad de giros, ya que se conoce que es nulo el giro relativo delas secciones empotradas:

φB = φA + φAC + φCB = 0 (15.26)

Para resolver el sistema formado por (15.25) y (15.26) es necesario expresar estaultima en funcion de las incognitas hiperestaticas. La ecuacion

φ =Mx (x)L

GIp(15.27)

expresa el angulo de torsion en una seccion de una barra sometida a torsion enfuncion del momento torsor (Mx (x)), el momento de inercia polar (Ip) y el modulode elasticidad transversal del material (G). En la Figura 15.11 se muestran los solidoslibres de cada uno de los tramos para el calculo de los esfuerzos de torsion.

1Hay que entender aquı desplazamientos como desplazamientos generalizados (desplazamientosy giros), ya que se va a trabajar con giros.



Figura 15.11 a) Solido libre del tramo AC. b) Solido libre del tramo CB

Los esfuerzos momentos torsores son

Tramo AC : 0 ≤ x ≤ L

Mx (x) = −MAx (15.28)

Tramo CB : L ≤ x ≤ 2L

Mx (x) = − (MAx +Mt) (15.29)

Sustituyendo (15.28) y (15.29) en (15.27) y el resultado en (15.26), se obtiene

φB = φA +MxAC

L

GIpAC

+MxCB

L

GIpCB

= −MAxL

GIpAC

−(MAx +Mt)L

GIpCB

= 0 (15.30)

Ademas, se conoce que φA = φB = 0. Sustituyendo estos valores en (15.30), seobtiene

MAxL

GIpAC

+(MAx +Mt)L

GIpCB

= 0 (15.31)

De (15.31) se obtiene MAx,

MAx = −MtIpAC

IpAC+ IpCB

(15.32)

Sustituyendo (15.32) en (15.25) se obtiene MBx,

MBx = −MtIpCB

IpAC+ IpCB

(15.33)

Conocidas las reacciones en los apoyos, las leyes de torsores y el angulo de torsion decada tramo se obtienen sustituyendo las reacciones en las ecuaciones (15.28), (15.29)y (15.27).

15.7 Torsion no uniforme en barras prismaticas

Si la barra trabaja a torsion no uniforme, el elemento desarrolla ademas de tensionestangenciales, tensiones normales que varıan a lo largo de la barra, lo que implicatensiones tangenciales similares a las que se producen en flexion.

Si las barras trabajando a torsion no uniforme no son propensas a alabear sig-nificativamente (las deformaciones longitudinales son pequenas), se puede utilizar la



teorıa de torsion uniforme. Esta simplificacion es posible hacerla en el caso de seccio-nes macizas, secciones delgadas cerradas, tubos y secciones formadas por rectangulosestrechos que se cortan en un unico punto (por ejemplo, los angulares y los perfilesen T).


Ejercicio 15.1

Una barra de 1,25 m de longitud, con seccion transversal circular de 50 mm dediametro, esta sometida a un momento torsor Mt = 500 N·m. El material tiene unmodulo de elasticidad transversal G = 80 GPa. Determinar:

1. La tension tangencial maxima

2. El angulo total girado

Solucion:

1. La tension tangencial maxima

τmax = 20, 37 MPa

2. El angulo total girado

φ = 0, 0127 rad

Ejercicio 15.2

La barra biempotrada que se muestra en la Figura 15.12, de seccion transversal tubu-lar, con diametros exteriores ∅AC en el tramo AC y ∅CB en el tramo CB, y espesore en ambos tramos, esta sometida a un momento torsor en C.

Figura 15.12 Barra biempotrada escalonada de seccion tubular sometida a torsion

Obtener:

1. Las reacciones en los apoyos

2. La tension tangencial maxima en cada uno de los tramos (AC y CB)



Datos:

L = 250 mm , ∅AC = 25 mm , ∅CB = 15 mm , e = 5 mm

Mt = 15000 N·mm

Ip =π ·∅4

32G = 80 GPa

Solucion:

1. Las reacciones en los apoyos

MAX = 11590,91 N·mm

MBX = 3409, 09 N·mm

2. La tension tangencial maxima en cada uno de los tramos (AC y CB)

τmaxAC= −4, 34 MPa

τmaxCB= 5, 21 MPa

Ejercicio 15.3

Para la seccion tubular rectangular abierta que se muestra en la Figura 15.13

Figura 15.13 Seccion tubular rectangular abierta

Obtener:

1. La constante torsional J



2. El maximo momento torsor que puede resistir la seccion para un valor maximoadmisible de la tension tangencial τ

Datos:

h = 100 mm , b = 70 mm , e1 = 2, 7 mm , e2 = 4 mm

Solucion:

1. La constante torsional J

J = 4298, 867 mm4

2. El maximo momento torsor que puede resistir la seccion para un valor maximoadmisible de la tension tangencial τ

Mtmax= 1074, 71 MPa ( Se considera τ expresada en MPa)


Leccion 16

Pandeo

Contenidos

16.1. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

16.2. Problema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

16.3. Dependencia entre la carga crıtica y las condiciones de

apoyo de la barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

16.4. Dominio de aplicacion de la formula de Euler . . . . . . 206

16.5. Compresion excentrica de una barra esbelta . . . . . . . 208



16.1 Estabilidad

Los tres tipos de equilibrio que puede presentar un cuerpo son:

equilibrio estable

equilibrio indiferente

equilibrio inestable

Sea una esfera apoyada sobre una superficie concava, sobre una superficie plana, ysobre una superficie convexa, tal como se muestra en la Figura 16.1. Si la esfera dela Figura 16.1 a) se desplaza una magnitud infinitamente pequena de su posicionde equilibrio inicial, esta retorna a la posicion original (equilibrio estable). Si dichodesplazamiento lo realiza la esfera de la Figura 16.1 b), esta conserva su posicionde equilibrio (equilibrio indiferente). Por ultimo, al provocar el desplazamiento de laesfera de la Figura 16.1 c), esta se alejara cada vez mas de su posicion de equilibrioinicial (equilibrio inestable).

Figura 16.1 Tipos de equilibrio. a) Equilibrio estable. b) Equilibrio indiferente c)Equilibrio inestable

Se entiende por estabilidad la propiedad de un sistema estructural de mantener suestado de equilibrio durante el periodo de actuacion de las fuerzas exteriores. Si seconsidera la esfera y la superficie de rodadura anteriores como un sistema estructural,en los casos a y b se dice que el sistema es estable. En el caso c se dice que el sistemaes inestable.

El analisis de estabilidad de los sistemas elasticos permite establecer aquellosvalores de las fuerzas exteriores para los que el equilibrio estable se convierte eninestable. Estas fuerzas reciben el nombre de fuerzas crıticas.

Se aclararan estos conceptos con un ejemplo sencillo recogido de la MecanicaClasica. Sea la barra rıgida AB, articulada sobre un apoyo fijo en A y sostenida enposicion vertical por un resorte, como se muestra en la Figura 16.2 a).

Si se separa el punto B de su posicion de equilibrio una longitud BB′ = z, elresorte ejerce sobre el extremo superior de la barra una fuerza horizontal k z, siendok la rigidez del resorte. Se estudiara la estabilidad del sistema bajo la accion de unafuerza vertical P aplicada en B, y dirigida hacia abajo. Para ello se considerara labarra en una posicion AB′ proxima a la de equilibrio vertical, como se muestra enla Figura 16.2 b).

La fuerza P produce un momento P z respecto al punto A, en sentido horario,que tiende a alejar la barra de su posicion de equilibrio. Por otro lado, el momentorespecto al punto A de la fuerza ejercida por el resorte es k zL, en sentido antihorario,y tiende a devolver a la barra a su posicion de equilibrio, como se muestra en laFigura 16.2 c).


Pandeo 201

Figura 16.2 Tipos de equilibrio. Estudio de la estabilidad del equilibrio de unabarra articulada y mantenida en posicion vertical por un resorte

Ası pues, el equilibrio de la barra en la posicion vertical es estable si se cumple que

k zL > P z KL > P (16.1)

Es decir, P debe ser menor a un valor crıtico Pcrıt = KL. Si se supera dicho va-lor, el sistema pierde la estabilidad. Cuando P = Pcrıt, el equilibrio de la barra esindiferente.

El caso mas simple de perdida de estabilidad en cuerpos elasticos corresponde auna barra comprimida axialmente, como la que se muestra en la Figura 16.3. Cuandola carga aplicada es lo suficientemente grande, la barra no puede mantener su formarecta y se flexiona, dando lugar a la perdida de estabilidad.

Figura 16.3 Perdida de la estabilidad de una barra carga axialmente

16.2 Problema de Euler

El planteamiento que sigue fue hecho por el matematico L. Euler1 en el ultimo terciodel siglo XVIII. Por este motivo, al hablar de estabilidad de la barra comprimida seemplean las expresiones problema de Euler o estabilidad de la barra segun Euler.

1Euler, L.Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minime Propietate Gandentes, sier solutio

problematis isoperimetrici latissimo sensu acepti. M. Bousquet, Laussane and Geneva, 1774.



En el planteamiento del problema de Euler se consideran las siguientes hipotesis:

1. La barra es esbelta de seccion constante y esta constituida por un materialperfectamente elastico. Se considera que no existe imperfeccion geometrica al-guna.

2. Los ejes y y z, son los principales de inercia.

3. Las tensiones que se generan al comprimir la barra no superan en ningun caso ellımite elastico del material. Se consideran pequenas deformaciones y pequenosdesplazamientos.

4. El material esta libre de tensiones residuales.

5. Las cargas de compresion P aplicadas en las secciones extremas de la barraresultan de una distribucion constante de tensiones normales sobre esas seccio-nes. Esto implica que las cargas estan aplicadas exactamente en el centro degravedad y en la direccion de la directriz de la barra.

Figura 16.4 Estabilidad de la barra de Euler

Se supondra que, por cierta causa, la barra comprimida de la Figura 16.4 recibio cier-ta flexion. Se van a analizar las condiciones que hacen posible el equilibrio de la barracon el eje flexionado.

Cuando se consideran pequenos desplazamientos, se verifica la ecuacion

E Iy z′′ = My (x) (16.2)

La flexion de la barra ocurre en el plano XZ, por lo tanto Iy es el momento de inerciade la seccion respecto a un eje perpendicular a dicho plano. El momento flectorMy (x)es, en valor absoluto, igual a P z. Se considerara positivo el momento que aumenta lacurvatura, luego analizando la lınea elastica de la viga de la Figura 16.4, se observaque la fuerza de compresion P disminuye, en el sentido algebraico de la palabra, lacurvatura. El momento de la fuerza P se orienta de tal manera que, al curvar masla lınea elastica, la curvatura se hace mas negativa, es decir, disminuye. Ası pues,

E Iy z′′ = −My (x) = −P z (16.3)

Llamando k2 =P

EIyy sustituyendo esta expresion en la ecuacion (16.3), se obtiene

z′′ + k2z = 0 (16.4)


Pandeo 203

Esta es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden, de coeficientes constantes(se considera que la inercia es constante) y homogenea. Su ecuacion caracterıstica esr2 + k2 = 0, cuyas raıces son r = ±k i, siendo su solucion general

z = C1 sen (kx) + C2 cos (kx) (16.5)

Las constantes C1 y C2 se calculan a partir de las condiciones de contorno.

x = 0 ⇒ z = 0 ⇒ C2 = 0 (16.6)

x = L ⇒ z = 0 ⇒ C1 sen (kL) = 0 (16.7)

La ecuacion (16.7) tiene dos soluciones posibles: C1 = 0 o sen (kL) = 0. Si la primerasolucion es la correcta, se verifica que C1 = C2 = 0; es decir, los desplazamientos z

son nulos y la barra queda en la configuracion inicial. En el segundo caso kL = nπ,siendo n un numero entero, arbitrario, mayor que 1. Teniendo en cuenta la expresionde k2, se obtiene

k2 =n2π2

L2=

P

EIy⇒ P =

n2π2EIy

L2(16.8)

La ecuacion anterior implica que para que la barra mantenga la forma curvilınea esnecesario que la fuerza P tenga unos valores determinados. La fuerza mınima, Pcrıt,no igual a cero, se obtiene cuando n = 1.

Pcrıt =π2EIy

L2(16.9)

Esta fuerza se denomina primera carga crıtica o fuerza de Euler. Cuando n = 1,kL = π y la ecuacion de la lınea elastica (16.5) es

z = C1 sen(πx

L

)

(16.10)

La barra se flexiona segun una semionda sinusoidal cuya amplitud maxima es C1.Para cualquier otro valor entero de n, la ecuacion de la lınea elastica es

z = C1 sen(nπx

L

)

(16.11)

Es decir, la lınea elastica de la barra se representa por una curva compuesta por n

semiondas, como muestra la Figura 16.5, que corresponden a las diferentes configu-raciones de equilibrio de la misma.

Figura 16.5 Posibles configuraciones de equilibrio de la barra de Euler

La ecuacion (16.11) depende del valor de la constante C1, por lo que se podrıa pen-sar en un equilibrio indiferente al ser posibles infinitas configuraciones de equilibriocorrespondientes a los distintos valores de C1. Sin embargo, se ha admitido en el



desarrollo realizado la hipotesis de pequenos desplazamientos, lo cual no es admi-sible cuando la carga es superior a Pcrıt, ya que las deformaciones aumentaran congran rapidez (como se comprueba experimentalmente) y no se puede prescindir deltermino z′2. En dicho caso hay que utilizar la ecuacion diferencial

EIyz′′

(1 + z′2)3

2

= −P z (16.12)

Integrando esta ecuacion y sustituyendo x por L2 se obtiene la flecha w

(

L2

)

en elpunto central

w

(

L

2

)

=L√8

π

√

P

Pcrıt− 1

[

1−1

8

(

P

Pcrıt − 1

)]

(16.13)

Observando esta expresion se obtienen las siguientes conclusiones:

Si P < Pcrıt, w(

L2

)

resulta imaginaria, lo cual no tiene sentido fısico. La con-figuracion recta es la unica posible

Si P = Pcrıt, w(

L2

)

= 0. La barra tiene una configuracion recta

Si P > Pcrıt, w(

L2

)

es real. Es decir, la deformada esta definida y el equilibriosolo es posible mediante configuraciones curvas.

Como para cada valor de P corresponde una deformada diferente, no hay po-siciones de equilibrio indiferente. Si crece P por encima de Pcrıt, la flecha aumentamuy rapidamente.

Figura 16.6 Curvas carga-desplazamiento. Rama A: Pilar ideal elastico conpequenos desplazamientos. Rama B : Pilar ideal elastico con grandes

desplazamientos

La rama B de la grafica de la Figura 16.6 se observa como al alcanzar el pilar la cargacrıtica, se requiere una carga creciente para producir un aumento del desplazamiento.En la misma figura se ha representado el desplazamiento considerando pequenosdesplazamientos (rama A), donde se observa que el desplazamiento no esta definidoa partir de la carga crıtica.

16.3 Dependencia entre la carga crıtica y las condiciones

de apoyo de la barra

Generalmente, los extremos de la barra se apoyan de alguna de las formas represen-tadas en la Figura 16.7.


Pandeo 205

Figura 16.7 Dependencia entre la carga crıtica y las condiciones de apoyo de labarra

En la barra biarticulada analizada para la deduccion de la formula de Euler, sedemostro que la flexion de esta durante el pandeo ocurre segun una semionda desinusoide, obteniendose la expresion de la fuerza crıtica indicada en la ecuacion (16.9).Se llamara al problema de Euler caso fundamental. Es posible utilizar la solucionobtenida para el caso fundamental para otras condiciones de apoyo de la barra. Ası,por ejemplo, si la barra se empotra en un extremo y se deja libre en el otro, lalınea elastica de la barra podra ser transformada en la lınea elastica de una barrabiarticulada como se indica en la Figura 16.8.

Figura 16.8 Obtencion del coeficiente de esbeltez β de una barra empotrada-librea partir de la barra articulada-articulada

Observando dicha figura, se puede concluir que la carga crıtica correspondiente auna barra de longitud L empotrada en un extremo, sera igual a la carga crıticacorrespondiente al caso fundamental para una barra de longitud 2L.

Pcrıt =π2EIy

(2L)2(16.14)

En el caso de una barra biarticulada con un apoyo en mitad de la misma, al perder laestabilidad se flexiona segun dos semiondas. Es decir, cada uno de sus vanos pierde



la estabilidad de la misma forma que el caso fundamental para una barra de longitudL

2. Por lo tanto, la carga crıtica es

Pcrıt =π2EIy(

L

2

)2 (16.15)

Generalizando las ecuaciones obtenidas, se puede determinar una expresion generalde la fuerza crıtica para una barra comprimida, y para cualquier tipo de apoyo, como

Pcrıt =π2EIy

(βL)2(16.16)

β es el coeficiente de esbeltez, que depende de las condiciones de apoyo de la barra.De acuerdo con lo anterior, se denomina longitud de pandeo Lk de una pieza sometidaa un esfuerzo normal de compresion a la longitud que deberıa tener la pieza del casofundamental, para tener la misma carga crıtica que la pieza real considerada. Lalongitud de pandeo viene dada por la expresion Lk = βL.

De la ecuacion (16.16) se puede concluir que, cuanto menor es β, mayor sera lacarga crıtica y, por lo tanto, la carga admisible sobre la barra. Por ejemplo, la cargacrıtica de la barra empotrada en sus dos extremos es 16 veces mayor que la de labarra empotrada en un extremo y libre en el otro. Por este motivo, allı donde resulteposible, se deben empotrar rıgidamente los dos extremos de la barra; sin embargo,en la practica, esto no es siempre posible. Los elementos que sirven de apoyo delos extremos de las barras presentan, siempre, un cierto grado de elasticidad, y estointroduce cierta indeterminacion en los calculos. Por eso, muy a menudo, el calculose realiza considerando que los extremos estan articulados, lo que va a favor de laseguridad.

16.4 Dominio de aplicacion de la formula de Euler

Al deducir la formula de Euler, se empleo la ecuacion diferencial de la lınea elasticaque se basa en la ley de Hooke, la cual es valida mientras no se sobrepase la tension dellımite de proporcionalidad del material (σp) hasta un valor que se denominara tensioncrıtica (σcrıt), es decir

σcrıt =Pcrıt

S≤ σp (16.17)

Esta tension crıtica es igual a la tension que se produce en cualquier seccion trans-versal de la barra al actuar la carga crıtica

σcrıt =Pcrıt

S=

π2EIy

S (βL)2(16.18)

siendo S el area de la seccion transversal de la barra.

El radio de giro iy de la seccion transversal de una barra es iy =

√

Iy

A. La ecuacion

(16.18) puede escribirse en funcion del radio de giro como


Pandeo 207

σcrıt =π2E

(

βLiy

)2 (16.19)

A la magnitud βLiy, que caracteriza la influencia de las dimensiones de la barra y

las condiciones de apoyo de sus extremos, se la denomina esbeltez de la barra, esuna magnitud adimensional, y se denota por λ. Se pueden reescribir las ecuaciones(16.16) y (16.19) en funcion de la esbeltez

Pcrıt =π2ES

λ2(16.20)

σcrıt =π2E

λ2(16.21)

Hasta ahora se ha empleado el momento de inercia correspondiente al eje y de laseccion recta, al suponer solo la posibilidad de pandeo en el plano XZ. Sin embargo,si no esta impedido el movimiento, la barra puede pandear en cualquier plano. Dela ecuacion (16.21) se deduce que la barra pandeara en el plano de mayor esbeltez(λmax). Si las condiciones de apoyo en ambos planos son iguales, el pandeo se produ-cira en el plano definido por X y el eje de mayor inercia de la seccion recta (alrededordel eje de menor inercia).

La validez de la formula de Euler planteada en la ecuacion (16.17), reescrita enfuncion de la esbeltez maxima, es

σcrıt =π2E

λ2max

≤ σp (16.22)

Despejando la esbeltez de la ecuacion (16.22), se obtiene el valor mınimo de teneresbeltez de una barra para que se pueda aplicar la formula de Euler

λmın ≥

√

π2E

σp(16.23)

La curva ABC de la Figura 16.9 representa la ecuacion (16.23), y se denominahiperbola de Euler.

Los pilares que pueden ser calculados a pandeo con la teorıa de Euler se denomi-nan pilares esbeltos.

Los pilares con una esbeltez maxima muy baja, pueden fallar por resistencia antesde que se alcance la tension crıtica de compresion. Los pilares con este tipo de fallose denominan pilares cortos.

Existe una zona intermedia, en la que el calculo no se puede realizar por compre-sion, puesto que la barra es suficientemente larga y mantiene en su comportamientolas particularidades relacionadas con el fenomeno de la perdida de estabilidad, ytampoco se puede aplicar el calculo de la estabilidad segun Euler, puesto que enel material de la barra surgen deformaciones plasticas. Son los denominados pilaresmedios. Para tratar este tipo de pilares se han planteado diversas teorıas, aunque novan a ser tratadas en este tema.



Figura 16.9 Hiperbola de Euler

16.5 Compresion excentrica de una barra esbelta

Sea la barra considerada en el caso fundamental sometida a una carga con excentri-cidad e, como se muestra en la Figura 16.10 a).

Figura 16.10 Compresion excentrica de una barra esbelta

Al flexionarse la barra, como se muestra en la Figura 16.10 b), se origina en cadaseccion de la misma un momento flector de valor

My (x) = P (e+ z) (16.24)

La ecuacion diferencial de la curva elastica, considerando pequenos desplazamientos,es

E Iy z′′ = −My (x) = −P (e+ z) (16.25)

Haciendo k2 =P

EIy, la ecuacion (16.25) queda como

z′′ + k2z = −k2e (16.26)

La solucion general de la ecuacion (16.26) es


Pandeo 209

z = C1 sen (kx) + C2 cos (kx)− e (16.27)

Las constantes C1 y C2 se calculan a partir de las condiciones de contorno.

x = 0 ⇒ z = 0 ⇒ C2 = e (16.28)

x = L ⇒ z = 0 ⇒ C1 sen (kL) + e (cos (kL)− 1) = 0 (16.29)

De (16.29) se obtiene que

C1 = ecos (kL)− 1

sen (kL)= e tan

(

kL

2

)

(16.30)

La ecuacion de la curva eslastica es

z = e tan

(

kL

2

)

sen (kx) + e cos (kx)− e (16.31)

El momento flector maximo se produce en la seccion de zmax, y esta se produce en

x =L

2.

zmax = e tan

(

kL

2

)

sen

(

kL

2

)

+ e cos

(

kL

2

)

− e = e sec

(

kL

2

)

− e (16.32)

Siendo el momento flector maximo

Mymax= P (e+ z) = Pe sec

(

kL

2

)

(16.33)

Se observa que el momento flector obtenido es el momento flector de primer orden(Pe) multiplicado por el coeficiente sec

(

kL2

)

. Cuando se alcance la carga crıtica, elvalor de la secante se hace infinito

sec

(

kL

2

)

= sec

(√

Pcrıt

EIy

L

2

)

=

sec

√

√

√

√

√

π2EIy

L2

EIy

L

2

= sec(π

2

)

=∞

(16.34)


Ejercicio 16.1

Un pilar de longitud L y seccion rectangular transversal hueca, como se muestra enla Figura 16.11, esta empotrado en la base y libre en la cabeza.



Figura 16.11 Seccion rectangular hueca

Se pide:


2. La clasificacion en el pilar en corto, medio o largo

3. En caso de ser largo, determinar la carga crıtica de pandeo utilizando la teorıade Euler

4. La carga crıtica si la cabeza del pilar tiene impedido el desplazamiento en elplazo XZ

Datos:

L = 5 m , a = 50 mm , b = 100 mm , t = 10 mm

E = 210 GPa , σe = 248 MPa

Solucion:


S = 2600 mm2

IyG = 861, 667 · 103 mm4

IzG = 2886, 667 · 103 mm4

2. La clasificacion en el pilar en corto, medio o largo

Se trata de un pilar largo.

3. En caso de ser largo, determinar la carga crıtica de pandeo utilizando la teorıade Euler

Pcrıt = 17849, 87 N

4. La carga crıtica si la cabeza del pilar tiene impedido el desplazamiento en elplazo XZ

Pcrıt = 59827, 73 N


Pandeo 211

Ejercicio 16.2

La Figura 16.12 muestra las secciones transversales de dos pilares, de longitud L,sometidos a una carga de compresion centrada. Ambos estan empotrados en la base.El pilar de seccion transversal dos IPN en cruz esta libre en la cabeza. El pilar deseccion transversal dos UPN empresilladas, esta articulado en la cabeza.

Figura 16.12 Secciones transversales de pilares

Obtener:

1. Cual de los dos pilares perdera la estabilidad antes y la carga crıtica corres-pondiente

Datos:

L = 5 m

E = 210 GPa

2 IPN 180 2 UPN 120

S = 55, 3 · 10−4m2 S = 54,8 · 10−4m2

Iy = 1530 · 10−8m4 Iy = 1560 · 10−8m4

Iz = 1530 · 10−8m4 Iz = 1580 · 10−8m4

Solucion:

1. Cual de los dos pilares perdera la estabilidad antes y la carga crıtica corres-pondiente

El pilar en seccion transversal 2 IPN 180 en cruz perdera la estabilidad antes.La carga crıtica correspondiente es:

Pcrıt = 317, 110 kN



Ejercicio 16.3

Un pilar empotrado en la base y libre en la cabeza, de longitud L, tiene de secciontransversal la que se muestra en la Figura 16.13, formada por perfiles laminadossoldados, fabricados en acero S275 JR.

Figura 16.13 2 IPN 400 perpendiculares

Obtener:

1. La carga crıtica de pandeo segun Euler

2. La carga de pandeo segun el Codigo Tecnico de la Edificacion

Datos:

L = 10 m

E = 210 GPa , fy = 275 MPa , γM1 = 1, 05

2 IPN 400 perpendiculares

S = 236 · 10−4m2

Iy = 30370 · 10−8m4

Iz = 55700 · 10−8m4

iy = 11, 3 · 10−2miz = 15, 4 · 10−2m

Solucion:

1. La carga crıtica de pandeo segun Euler

Pcrıt = 1573, 634 kN

2. La carga de pandeo segun el Codigo Tecnico de la Edificacion

PCTE = 1174, 38 kN


Apendice A

Propiedades estaticas de areas

planas

A.1 Momento estatico y Centroide

Sea el area plana de la Figura A.1.

Figura A.1 Area plana. Centroide

El area S de la misma se obtiene mediante la expresion

S =

∫

S

dS (A.1)

siendo dS un elemento diferencial de area, con coordenadas y y z respecto a un siste-ma de coordenadas arbitrario, con origen en O, como el mostrado en la Figura A.1.Los momentos estaticos del area con respecto a los ejes y y z, se definen como

Qy =

∫

S

zdS (A.2)

Qz =

∫

S

ydS (A.3)

Los momentos estaticos pueden ser positivos o negativos, dependiendo de la posicionde los ejes y y z. Su ecuacion de dimensiones es

[

L3]

. La obtencion de las coordenadas(yC , zC) del centroide es inmediata a partir de los momentos estaticos, mediante lasexpresiones

215


yC =Qz

S=

∫

S

ydS∫

S

dS

(A.4)

zC =Qy

S=

∫

S

zdS∫

S

dS

(A.5)

Las coordenadas pueden ser positivas o negativas, dependiendo de la posicion de losejes y y z.

Si un area es simetrica respecto a un eje, el centro de gravedad debe encontrarsesobre ese eje, como se muestra en la Figura A.2 a), ya que el momento estatico deun area respecto a un eje de simetrıa es nulo. Si un area tiene dos ejes de simetrıa, elcentro de gravedad se encuentra en la interseccion de ambos ejes, como se muestraen la Figura A.2 b).

Figura A.2 Simetrıas y posicion del centroide

A menudo, un area se puede descomponer en varias figuras simples. Si se conoce elarea Si de cada una de estas figuras y la localizacion de su centroide (yCi

, zCi), es po-

sible obviar la integracion de las expresiones (A.4) y (A.5), y calcular las coordenadasdel centroide mediante las expresiones

yC =

∑ni=1 yCi

Si∑n

i=1 Si

(A.6)

zC =

∑ni=1 zCi

Si∑n

i=1 Si

(A.7)

Si una de las figuras simples tuviera un agujero, dicho agujero se considerarıa comouna parte adicional de area negativa.

A.2 Momentos de inercia y radios de giro

A.2.1 Momentos de inercia

Los momentos de inercia Iy e Iz de un area con respecto a los ejes y y z, respectiva-mente, se definen como


Propiedades estaticas de areas planas 217

Iy =

∫

S

z2dS (A.8)

Iz =

∫

S

y2dS (A.9)

Los momentos de inercia son cantidades siempre positivas y de dimensiones[

L4]

.El momento polar de inercia JO, o momento respecto a un punto O, como se

muestra en la Figura A.3,

Figura A.3 Momento polar de inercia

se obtiene mediante la expresion

JO =

∫

S

r2dS =

∫

S

(

y2 + z2)

dS = Iz + Iy (A.10)

El momento de inercia de una seccion compuesta con respecto a cualquier eje es lasuma de los momentos de inercia de sus partes respecto a dicho eje.

A.2.2 Radios de giro

El radio de giro i de una seccion, se define como la raız cuadrada del cocienteentre el momento de inercia y el area de la seccion. Referidos a unos ejes de referenciay y z, seran

iy =

√

Iy

S(A.11)

iz =

√Iz

S(A.12)

El radio de giro es una cantidad siempre positiva y de dimensiones [L]. Aunqueel radio de giro no tiene un significado fısico obvio, se puede considerar como ladistancia (medida desde el eje de referencia) donde deberıa concentrarse todo el areapara dar el mismo momento de inercia que el area original.

A.3 Producto de inercia

El producto de inercia de una seccion respecto a un sistema de ejes perpendicularesy y z, se define como



Iyz =

∫

S

y zdS (A.13)

Al igual que en los momentos de inercia, la dimension del producto de inercia es[

L4]

. Sin embargo, el producto de inercia puede ser positivo o negativo, como semuestra en la Figura A.4 a), o nulo, como se muestra en la Figura A.4 b).

Figura A.4 a) Producto de inercia: signos. b) Seccion simetrica respecto al eje z :producto de inercia nulo

Si todo el area se encuentra en el primer cuadrante respecto a los ejes de referencia,el producto de inercia es positivo, ya que y y z son siempre positivas. Si todo el arease encuentra en el segundo cuadrante, el producto de inercia es negativo, ya que lacoordenada y es negativa y la z es positiva. Similarmente, si todo el area se encuentraen el tercer o cuarto cuadrante, tienen signo negativo y positivo, respectivamente.Cuando el area se situa en mas de un cuadrante, el signo del producto de inerciadepende de la distribucion del area dentro de los cuadrantes.

Cuando uno de los ejes es de simetrıa, los productos de inercia de cada uno delos dos lados en los que se divide la seccion se anulan, y por lo tanto, el productode inercia es nulo. Es decir, el producto de inercia de un area es nulo con respecto acualquier par de ejes donde al menos uno de ellos es de simetrıa.

A.4 Teorema de Steiner

El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos, permite relacionar el momentode inercia respecto a un eje cualquiera con el momento de inercia respecto a un ejeparalelo al anterior que pase por el centro de gravedad de la seccion (en el caso delproducto de inercia, relaciona el producto de inercia respecto a dos ejes cualesquieracon el producto de inercia respecto a dos ejes paralelos a los anteriores que pasenpor el centro de gravedad de la seccion).

Para la seccion mostrada en la Figura A.5, el momento de inercia respecto al ejey es

Iy =

∫

S

(z + d1)2 dS (A.14)



Figura A.5 Teorema de Steiner

Desarrollando la ecuacion A.14, se obtiene

Iy =

∫

S

z2dS + 2d1

∫

S

zdS + d21

∫

S

dS (A.15)

El primer termino del segundo miembro es el momento de inercia de la seccionrespecto al eje y que pasa por el centroide del area. El segundo termino es el momentoestatico de la seccion respecto al eje yC (dicha integral es nula ya que el momentoestatico respecto a un eje que pasa por el centroide de la seccion es nulo). El tercertermino de la integral es el area S de la seccion. Por lo tanto la ecuacion (A.15) sepuede expresar como

Iy = IyC + S d21 (A.16)

De la misma manera, el momento de inercia respecto al eje z se obtiene mediante laexpresion

Iz = IzC + S d22 (A.17)

El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos, para momentos de inercia,se expresa de la siguiente forma:

El momento de inercia de un area con respecto a cualquier eje en su plano es

igual al momento de inercia con respecto a un eje paralelo al anterior y que pase por

el centro de gravedad del area, mas el producto del area y el cuadrado de la distancia

entre los dos ejes.

En el caso del producto de inercia, la expresion (A.14) tomarıa la forma

Iyz =

∫

S

(z + d1) (y + d2) dS (A.18)

Desarrollando esta ecuacion, se obtiene

Iyz =

∫

S

y zdS + d1

∫

S

zdS + d2

∫

S

ydS + d1 d2

∫

S

dS (A.19)

El primer termino del segundo miembro de la ecuacion es el producto de inerciarespecto a unos ejes que pasan por el centroide, paralelos a los de referencia. Losterminos segundo y tercero son nulos, ya que corresponden a los momentos estaticosdel area respecto a unos ejes que pasan por el centroide. La integral del ultimo



termino es el area de la seccion. Por tanto, la ecuacion (A.19) se puede expresarcomo

Iyz = IyzC + S d1 d2 (A.20)

El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos, para el producto de inercia,se expresa de la siguiente forma:

El producto de inercia de un area con respecto a cualquier par de ejes en su plano

es igual al producto de inercia con respecto a unos ejes paralelos a los anteriores y

que pasen por el centroide del area, mas el producto del area y las distancias de cada

uno de estos ejes que pasan por el centroide, respecto a los de referencia.

A.5 Ejes principales y momentos principales de inercia

Los momentos de inercia de un area plana dependen de la posicion del origen y dela orientacion de los ejes de referencia. Ası, para un cierto sistema de referencia,los momentos y producto de inercia varıan conforme se giran los ejes alrededor delorigen, habiendo unos valores maximos y mınimos de los momentos y producto deinercia.

Se considerara como tensor de inercia I, respecto a unos ejes cualesquiera

I =

(

IyC −IyzC−IyzC IzC

)

(A.21)

en el que los elementos de la diagonal principal son los momentos de inercia respectoa los ejes de referencia considerados y los elementos fuera de la diagonal principal sonlos productos de inercia, cambiados de signo, respecto a los mismos ejes de referencia.

Los valores propios de este tensor seran los momentos principales de inercia,mientras que los vectores propios asociados a dichos valores propios, seran los cosenosdirectores de los ejes principales de inercia. Resolviendo la ecuacion caracterısticaobtenida del determinante de la ecuacion (A.22) se obtienen los momentos de inerciaprincipales I1 e I2.

∣

∣

∣

∣

IyC − I −IyzC−IyzC IzC − I

∣

∣

∣

∣

= 0 (A.22)

Para cada valor de Ii, la direccion del eje principal asociado se obtiene resolviendoel sistema de ecuaciones formado por (A.23) y (A.24)

(

IyC −IyzC−IyzC IzC

)(

l

m

)

(A.23)

l2 +m2 = 1 (A.24)

El producto de inercia referido a los ejes principales de inercia, es nulo.Si lo que se desea es conocer las componentes del tensor de inercia para unos ejes

girados un angulo determinado respecto a los de referencia, se aplicarıa la ecuacionde Cauchy

In = In (A.25)



Los momentos principales de inercia tambien se pueden obtener graficamentemediante el cırculo de Mohr. En la Figura A.6 se representa un cırculo de Mohr paraun tensor de inercia determinado y los valores de los momentos de inercia principales.

Figura A.6 Cırculo de Mohr para un tensor de inercia

Observando el cırculo de Mohr se pueden extraer las expresiones de los momentosde inercia principales y de la direccion de los ejes principales de inercia

I1,2 =Iy + Iz

2±

√

(

Iy − Iz

2

)2

+ I2yz (A.26)

tan 2θ =2Iyz

Iy − Iz(A.27)

A.6 Ejemplos resueltos

Ejemplo A.1

Para la seccion en Z que se muestra en la Figura A.7

Figura A.7 Seccion en Z

Obtener:



1. Las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia

2. Los momentos de inercia, el producto de inercia y los radios de giro respecto aunos ejes paralelos a los de referencia, que pasen por el centroide

3. Los ejes y momentos principales de inercia

Solucion:


La seccion se puede dividir en tres trozos como se muestra en la Figura A.8

Figura A.8 Seccion en Z. Descomposicion en tres rectangulos

cuyas areas parciales y total son

S1 = 0, 3× 0, 1 = 0, 03 m2

S2 = 0, 1× 0, 6 = 0, 06 m2

S3 = 0, 3× 0, 1 = 0, 03 m2

S = S1 + S2 + S3 = 0, 12 m2

El centroide de la seccion se calcula a partir de las expresiones (A.6) y (A.7).Considerando las distancias que se muestran en la Figura A.8, las coordenadasdel centroide son

yC =y1 S1 + y2 S2 + y3 S3

S=

0, 55× 0, 03 + 0, 35× 0, 06 + 0, 15× 0, 03

0, 12

= 0, 35 m

zC =z1 S1 + z2 S2 + z3 S3

S=

0, 05× 0, 03 + 0, 3× 0, 06 + 0, 55× 0, 03

0, 12

= 0, 30 m




Para calcular los momentos de inercia se utilizan las expresiones (A.8), (A.9),(A.16) y (A.17). Al comienzo, se calculan los momentos de inercia de cadatrozo respecto a unos ejes paralelos a los de referencia (en este caso son losejes que pasan por el centroide de la seccion y son paralelos a los consideradosinicialmente). Respecto los ejes y y z locales, los momentos de inercia son

IyC1 =0, 3× 0, 13

12= 25 · 10−6 m4 IzC1 =

0, 1× 0, 33

12= 225 · 10−6 m4

IyC2 =0, 1× 0, 63

12= 18 · 10−4 m4 IzC2 =

0, 6× 0, 13

12= 50 · 10−6 m4

IyC3 =0, 3× 0, 13

12= 25 · 10−6 m4 IzC3 =

0, 1× 0, 33

12= 225 · 10−6 m4

Aplicando Steiner se obtienen los momentos de inercia del conjunto respecto alos ejes yC y zC .

IyC = IyC1 + S1 dz21 + IyC2 + S2 dz

22 + IyC3 + S3 dz

23

IzC = IzC1 + S1 dy21 + IzC2 + S2 dy

22 + IzC3 + S3 dy

23

Las distancias dyi y dzi se muestran en las Figuras A.9 a) y A.9 b), respecti-vamente.

Figura A.9 Seccion en Z. Distancias para el calculo de los momentos y productode inercia

Sustituyendo valores numericos, se obtiene

IyC = 25 · 10−6 + 0, 03× (−0, 25)2 + 18 · 10−4 + 0, 06× 02+

25 · 10−6 + 0, 03× 0, 252 = 56 · 10−4 m4



IzC = 225 · 10−6 + 0, 03× 0, 202 + 50 · 10−6 + 0, 06× 02+

225 · 10−6 + 0, 03× (−0, 20)2 = 29 · 10−4 m4

Para obtener el producto de inercia se utiliza la ecuacion (A.20). Los productosde inercia de cada trozo respecto a unos ejes que pasen por el centro de gravedadde cada uno de ellos son nulos, precisamente por estar referidos a dichos ejes.

Iyz = S1 dy1 dz1 + S2 dy2 dz2 + S3 dy3 dz3


Iyz = 0, 03× (−0, 25)× 0, 20 + 0, 03× 0, 25× (−0, 20) = −30 · 10−4 m4

Para calcular los radios de giro se utilizan las expresiones (A.11) y (A.12).Sustituyendo los valores ya conocidos de area e inercias, se obtiene

iy =

√56 · 10−4

0, 12= 0, 216 m

iz =

√29 · 10−4

0, 12= 0, 155 m

3. Los ejes y momentos principales de inercia

El tensor de inercia es

I =

(

56 · 10−4 30 · 10−4

30 · 10−4 29 · 10−4

)

Resolviendo el determinante

∣

∣

∣

∣

56 · 10−4 − I 30 · 10−4

30 · 10−4 29 · 10−4 − I

∣

∣

∣

∣

= 0

se obtiene la ecuacion caracterıstica

I2 − 0, 0085I + 724 · 10−8 = 0

cuyas raıces son los momentos principales de inercia:

I1 = 75 · 10−4 m4 , I2 = 10 · 10−4 m4



Calculo de la direccion principal correspondiente al momento prin-

cipal de inercia I = I1

(

56 · 10−4 − 75 · 10−4 30 · 10−4

30 · 10−4 29 · 10−4 − 75 · 10−4

)(

l

m

)

=

(

00

)

Desarrollando la expresion anterior se obtiene el sistema lineal y homogeneode ecuaciones, y teniendo en cuenta la condicion

l2 +m2 = 1

se obtiene la direccion del eje principal 1

n1 =(

±0, 8398 ±0, 5430)T



(

56 · 10−4 − 10 · 10−4 30 · 10−4

30 · 10−4 29 · 10−4 − 10 · 10−4

)(

l

m

)

=

(

00

)

Desarrollando la expresion anterior se obtiene el sistema lineal y homogeneode ecuaciones, y teniendo en cuenta la condicion

l2 +m2 = 1


n2 =(

∓0, 5430 ±0, 8398)T

En la Figura A.10 se muestran los ejes principales de inercia de la seccion.



Figura A.10 Seccion en Z. Ejes principales de inercia

Ejemplo A.2

Para la seccion en L asimetrica que se muestra en la Figura A.11

Figura A.11 Seccion en L asimetrica

Obtener:



3. Analıtica y graficamente los ejes y momentos principales de inercia

Datos:

a = 400 mm , b = 300 mm , c = 200 mm

Solucion:

1. Obtener las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia

La seccion se puede dividir en dos trozos, como se muestra en la Figura A.12,

cuyas areas parciales y total son



Figura A.12 Seccion en L asimetrica. Descomposicion en dos rectangulos

S1 = 0, 7× 0, 3 = 0, 21 m2

S2 = 0, 2× 0, 3 = 0, 06 m2

S = S1 + S2 = 0, 27 m2

El centroide de la seccion se calcula a partir de las expresiones (A.6) y (A.7).Considerando las distancias que se muestran en la Figura A.12, las coordenadasdel centroide son

yC =y1 S1 + y2 S2

S=

0, 35× 0, 21 + 0, 1× 0, 06

0, 27= 0, 294 m

zC =z1 S1 + z2 S2

S=

0, 35× 0, 21 + 0, 55× 0, 06

0, 27= 0, 394 m

2. Obtener los momentos de inercia, el producto de inercia y los radios de girorespecto a unos ejes paralelos a los de referencia, que pasen por el centroide

Para calcular los momentos de inercia se utilizan las expresiones (A.8), (A.9),(A.16) y (A.17). Al comienzo, se calculan los momentos de inercia de cadatrozo respecto a unos ejes paralelos a los de referencia (en este caso son los ejesque pasan por el centroide de la seccion y son paralelos a los que se consideraninicialmente). Respecto los ejes y y z locales, los momentos de inercia son

IyC1 =0, 3× 0, 73

12= 85, 75 · 10−4 m4 IzC1 =

0, 7× 0, 33

12= 15, 75 · 10−4 m4

IyC2 =0, 2× 0, 33

12= 45 · 10−5 m4 IzC2 =

0, 3× 0, 23

12= 2 · 10−4 m4

Aplicando Steiner, se obtienen los momentos de inercia del conjunto respectoa los ejes yC y zC .

IyC = IyC1 + S1 dz21 + IyC2 + S2 dz

22

IzC = IzC1 + S1 dy21 + IzC2 + S2 dy

22



Las distancias dyi y dzi se muestran en la Figura A.13).

Figura A.13 Seccion en L asimetrica. Distancias para el calculo de los momentosy producto de inercia


IyC = 85, 75 · 10−4 + 0, 21× (−0, 044)2 + 45 · 10−5 + 0, 06× 0, 1562

= 108, 92 · 10−4 m4

IzC = 15, 75 · 10−4 + 0, 21× 0, 0562 + 2 · 10−4 + 0, 06× (−0, 194)2

= 46, 92 · 10−4 m4

Para obtener el producto de inercia se utilizara la ecuacion A.20. Los productosde inercia de cada trozo respecto a unos ejes que pasen por el centro de gravedadde cada uno de ellos son nulos, precisamente por estar referidos a dichos ejes.

Iyz = S1 dy1 dz1 + S2 dy2 dz2


Iyz = 0, 21× 0, 056× (−0, 044) + 0, 06× (−0, 194)× 0, 156

= −23, 33 · 10−4 m4

Para calcular los radios de giro se utilizan las expresiones A.11 y A.12. Susti-tuyendo los valores ya conocidos de area e inercias, se obtiene

iy =

√

108, 92 · 10−4

0, 27= 0, 2 m

iz =

√

46, 92 · 10−4

0, 27= 0, 132 m



3. Obtener analıtica y graficamente los ejes y momentos principales de inercia Losejes y momentos principales de inercia

El tensor de inercia es

I =

(

108, 92 · 10−4 23, 33 · 10−4

23, 33 · 10−4 46, 92 · 10−4

)

Resolviendo el determinante

∣

∣

∣

∣

108, 92 · 10−4 − I 23, 33 · 10−4

23, 33 · 10−4 46, 92 · 10−4 − I

∣

∣

∣

∣

= 0

se obtiene la ecuacion caracterıstica

I2 − 0, 0156I + 45, 66 · 10−6 = 0

cuyas raıces son los momentos principales de inercia:

I1 = 116, 72 · 10−4 m4 , I2 = 39, 12 · 10−4 m4



(

(108, 92− 116, 72) · 10−4 23, 33 · 10−4

23, 33 · 10−4 (46, 92− 116, 72) · 10−4

)(

l

m

)

=

(

00

)

Desarrollando la expresion anterior se obtiene el sistema lineal y homogeneode ecuaciones y teniendo en cuenta la condicion

l2 +m2 = 1


n1 =(

±0, 9484 ±0, 3170)T





(

(108, 92− 39, 12) · 10−4 23, 33 · 10−4

23, 33 · 10−4 (46, 92− 39, 12) · 10−4

)(

l

m

)

=

(

00

)

Desarrollando la expresion anterior se obtiene el sistema lineal y homogeneode ecuaciones y teniendo en cuenta la condicion

l2 +m2 = 1


n2 =(

∓0, 3170 ±0, 9484)T

En la Figura A.14 se muestran los ejes principales de inercia de la seccion.

Figura A.14 Seccion en L asimetrica. Ejes principales de inercia

En la Figura A.15 se muestra la solucion grafica.

Figura A.15 Seccion en L asimetrica. Momentos principales de inercia: soluciongrafica


Apendice B

Dimensionado y comprobacion

de secciones

El Codigo Tecnico de la Edificacion (CTE), en el Documento Basico-Seguridad Es-tructural Acero (DB-SE-A Acero), hace una clasificacion de las secciones atendiendoa su capacidad de deformacion y de desarrollo de resistencia plastica al ser solicitadaspor un momento flector. En las cuatro clases de secciones1 admite como metodo pa-ra la determinacion de la resistencia de las secciones el metodo elastico (con algunarestriccion en el caso de secciones esbeltas). Por este motivo, se va a desarrollar elprocedimiento de dimensionado utilizando el metodo elastico para los distintos tiposde solicitaciones normales vistas en este tema.

No obstante, el CTE especifica que la opcion de utilizar criterios de comprobaciony diseno basados en distribuciones elasticas de tensiones, es admisible siempre queen ningun punto de la seccion2, las tensiones de calculo, combinadas conforme alcriterio de plastificacion de Von Mises, superen la resistencia de calculo.

B.1 Resistencia de las secciones a traccion o compresion

B.1.1 Dimensionado

NEd ≤ Npl,Rd = A · fyd ⇒ A ≥NEd

fyd(B.1)

Siendo:

NEd : Axil de calculo

Npl,Rd : Resistencia plastica de la seccion

A : Area de la seccion

fyd =fy

γM0: Resistencia de calculo del material

fy : Tension del lımite elastico del material

γM0 : Coeficiente parcial de seguridad del material (1,05)

1Plastica, Compacta, Semicompacta y Esbelta.2En la seccion clase 4 hay que considerar el area eficaz

231


En terminos de resistencia, la ecuacion anterior se expresa como

NEd

Npl,Rd

≤ 1 (B.2)

B.1.2 Comprobacion

σx,d =NEd

A

si σx,d ≤ fyd perfil validosi σx,d > fyd perfil no valido

Siendo:σx,d : Tension en cualquier punto de la seccion

B.2 Resistencia de las secciones a flexion pura

B.2.1 Dimensionado

MEd ≤Mel,Rd = Wel · fyd ⇒ Wel ≥MEd

fyd(B.3)

En terminos de resistencia, la ecuacion anterior se expresa como

MEd

Mel,Rd

≤ 1 (B.4)

Siendo:

MEd : Momento flector de calculo

Mel,Rd : Momento elastico de la seccion

Wel : Modulo resistente de la seccion correspondiente al eje de flexion

B.2.2 Comprobacion

σx,d =MEd

Eel


B.3 Resistencia de las secciones a flexion compuesta

segun el eje y

B.3.1 Dimensionado

En terminos de resistencia debe verificarse

NEd

Npl,Rd

+My,Ed

Mel,Rdy

≤ 1 (B.5)

Siendo:My,Ed : Momento flector de calculo segun el eje y

Mel,Rdy : Momento elastico de la seccion segun el eje y


Dimensionado y comprobacion de secciones 233

Procedimiento de dimensionado

1. Obtencion del perfil mınimo necesario para resistir el esfuerzo axil

A ≥NEd

fyd(B.6)

2. Obtencion del perfil mınimo necesario para resistir el momento flector

Wy,el ≥My,Ed

fyd(B.7)

3. Para el mayor de los perfiles obtenidos, con el area e inercia segun y que lecorresponda, se realiza la comprobacion

σx,Ed =NEd

A+

My,Ed

Iyz ≤ fyd (B.8)

Si la seccion presenta simetrıa respecto del eje y,

σx,Ed =NEd

A+

My,Ed

Wy,el

≤ fyd (B.9)

Siendo:

Iy : Momento de inercia de la seccion correspondiente al eje y

Wy,el : Modulo resistente de la seccion correspondiente al eje y

z : Coordenada z de cualquier punto de la seccion

B.3.2 Comprobacion

σx,Ed =NEd

A+

My,Ed

Wy,el



segun el eje z

B.4.1 Dimensionado


NEd

Npl,Rd

+Mz,Ed

Mel,Rdz

≤ 1 (B.10)

Siendo:Mz,Ed : Momento flector de calculo segun el eje z

Mel,Rdz : Momento elastico de la seccion segun el eje z





A ≥NEd

fyd(B.11)

2. Obtencion del perfil mınimo necesario para resistir el momento flector

Wz,el ≥Mz,Ed

fyd(B.12)

3. Para el mayor de los perfiles obtenidos, con el area e inercia segun z que lecorresponda, se realiza la comprobacion

σx,Ed =NEd

A+

Mz,Ed

Izy ≤ fyd (B.13)

Si la seccion presenta simetrıa respecto del eje z,

σx,Ed =NEd

A+

Mz,Ed

Wz,el

≤ fyd (B.14)

Siendo:

Iz : Momento de inercia de la seccion correspondiente al eje z

Wz,el : Modulo resistente de la seccion correspondiente al eje z

y : Coordenada y de cualquier punto de la seccion

B.4.2 Comprobacion

σx,Ed =NEd

A+

Mz,Ed

Wz,el


B.5 Resistencia de las secciones a flexion desviada

B.5.1 Dimensionado


My,Ed

Mel,Rdy

+Mz,Ed

Mel,Rdz

≤ 1 (B.15)


1. Obtencion del perfil mınimo necesario para resistir el momento flector segun y

Wy,el ≥My,Ed

fyd(B.16)



2. Obtencion del perfil mınimo necesario para resistir el momento flector segun z

Wz,el ≥Mz,Ed

fyd(B.17)

3. Para el mayor de los perfiles obtenidos, con las inercias segun y y z que lecorresponda, se realiza la comprobacion

σx,Ed =My,Ed

Iyz +

Mz,Ed

Izy ≤ fyd (B.18)

Si la seccion presenta simetrıa respecto de los ejes y y z,

σx,Ed =My,Ed

Wy,el

+Mz,Ed

Wz,el

≤ fyd (B.19)

B.5.2 Comprobacion

σx,Ed =My,Ed

Wy,el

+Mz,Ed

Wz,el



desviada

B.6.1 Dimensionado


NEd

Npl,Rd

+My,Ed

Mel,Rdy

+Mz,Ed

Mel,Rdz

≤ 1 (B.20)



A ≥NEd

fyd(B.21)

2. Obtencion del perfil mınimo necesario para resistir el momento flector segun y

Wy,el ≥My,Ed

fyd(B.22)

3. Obtencion del perfil mınimo necesario para resistir el momento flector segun z

Wz,el ≥Mz,Ed

fyd(B.23)



4. Para el mayor de los perfiles obtenidos, con el area y las inercias segun y y z

que le corresponda, se realiza la comprobacion

σx,Ed =NEd

A+

My,Ed

Iyz +

Mz,Ed

Izy ≤ fyd (B.24)

Si la seccion presenta simetrıa respecto de los ejes y yz,

σx,Ed =NEd

A+

My,Ed

Wy,el

+Mz,Ed

Wz,el

≤ fyd (B.25)

B.6.2 Comprobacion

σx,Ed =NEd

A+

My,Ed

Wy,el

+Mz,Ed

Wz,el


B.7 Dimensionado a pandeo

El CTE especifica que la capacidad a pandeo por flexion, en compresion centrada,de una barra de seccion constante, puede tomarse como

Nb,Rd = χ ·A · fyd (B.26)

Siendo:

χ : Coeficiente de reduccion por pandeo

fyd : Resistencia de calculo del acero, tomandofyd =fy

γM1= 1, 1


NEd

Nb,Rd

≤ 1 (B.27)

Para barras de seccion constante y axil constante, se denomina esbeltez reducida a larelacion entre la resistencia plastica de la seccion de calculo y la compresion crıticapor pandeo, de valor

λ =

√

A · fy

Ncr

(B.28)

Ncr =

(

π

Lk

)2

· E · I (B.29)

Siendo:

λ : Esbeltez reducida

Ncr : Compresion crıtica por pandeo

Lk : Longitud de pandeo de la pieza

E : Modulo de elasticidad

I : Momento de inercia del area de la seccion para flexion en el plano considerado



La esbeltez reducida puede expresarse, de forma simplificada como

λ =λ

λE

(B.30)

Siendo:

λ =Lk

i: Esbeltez mecanica de la seccion correspondiente

i : Radio de giro

λE = π

√

E

fy: 93, 91 para S235; 86, 81 para S275; 76, 41 para S355

Las esbelteces reducidas segun cada uno de los ejes son

λy =λy

λE

(B.31)

λz =λz

λE

(B.32)

El coeficiente χ de reduccion por pandeo se obtiene mediante la expresion

χ =1

φ+

√

φ2 −(

λk

)2≤ 1 (B.33)

y debe ser menor que la unidad. φ se obtiene mediante la expresion

φ = 0, 5[

1 + α(

λk − 0, 2)

+(

λk

)2]

(B.34)

Siendo:

α : Coeficiente de imperfeccion elastica, que adopta los valores de la Tabla B.3en funcion de la curva de pandeo (vease Tabla B.2). Esta representa la sen-sibilidad al fenomeno dependiendo del tipo de seccion, plano de pandeo y ti-po de acero, de acuerdo a la Tabla B.2.

Los valores del coeficiente χ se pueden obtener directamente de la Figura B.1 o dela Tabla B.3 en funcion del coeficiente de imperfeccion y de la esbeltez reducida.

Tabla B.1 Longitud de pandeo de barras canonicas

Condicionesde extremo

biarticulada biempotradaempotradaarticulada

biempotradadesplazable

en mensula

Longitud Lk 1,0 L 0,5 L 0,7 L 1,0 L 2,0 L



Tabla B.2 Curva de pandeo en funcion de la seccion transversal

Tipo de seccionTipo de acero S235 a S355 S450

Eje de pandeo(1) y z y z

Perfiles laminados en I

h/b > 1,2 t ≤ 40 mm a b a0 a0

40 mm < t ≤ 100 mm b c a a

h/b ≤ 1,2 t ≤ 100 mm b c a a

t > 100 mm d d c c

Perfiles armados en I

t ≤ 40 mm b c b c

t > 40 mm c d c d

Agrupacion de perfiles laminados soldados

c c c c

Tubos de chapa simples o agrupados

laminados en caliente a a a0 a0

conformados en frio c c c c

Perfiles armados en cajon(2)

soldadura gruesa

a/t > 0, 5 b/t < 30 h/tw < 30c c c c

en otro caso b b b b

Perfiles simples U, T, chapa, redondo macizo

c c c c

Perfiles L

b b b b

(1) Para el significado del eje de pandeo, y los terminos h, b, t, tw vease el anejo Bdel “Documento Basico SE-A”, seguridad estructural acero del CTE

(2) La variable a se refiere al ancho de banda de garganta de la soldadura



Figura B.1 Curvas de pandeo

Tabla B.3 Valores del coeficiente de pandeo (χ)

Esbeltezreducida

Curva de pandeo

a0 a b c d

Coeficiente (α)de imperfeccion

0,13 0,21 0,34 0,49 0,76

≤ 0,20 1,00 1,00 1,00 1,00 1,000,30 0,99 0,98 0,96 0,95 0,920,40 0,97 0,95 0,93 0,90 0,85

0,50 0,95 0,92 0,88 0,84 0,780,60 0,93 0,89 0,84 0,79 0,710,70 0,90 0,85 0,78 0,72 0,64

0,80 0,85 0,80 0,72 0,66 0,580,90 0,80 0,73 0,66 0,60 0,521,00 0,73 0,67 0,60 0,54 0,47

1,10 0,65 0,60 0,54 0,48 0,421,20 0,57 0,53 0,48 0,43 0,381,30 0,51 0,47 0,43 0,39 0,34

1,40 0,45 0,42 0,38 0,35 0,311,50 0,40 0,37 0,34 0,31 0,281,60 0,35 0,32 0,31 0,28 0,25

1,80 0,28 0,27 0,25 0,23 0,21

2,00(1) 0,23 0,22 0,21 0,20 0,18

2,20(1) 0,19 0,19 0,18 0,17 0,15

2,40(1) 0,16 0,16 0,15 0,14 0,13

2,70(2) 0,13 0,13 0,12 0,12 0,11

3,00(2) 0,11 0,10 0,10 0,10 0,09

(1) esbeltez intolerable en los elementos principales(2) esbeltez intolerable incluso en elementos de arriostramiento



B.8 Ejercicios propuestos

Ejercicio B.1

Para la estructura que se muestra en la Figura B.2

Figura B.2 Semiportico

Se pide:

1. Dimensionar la barra AB, a resistencia, utilizando perfiles HEB

2. Valores maximo y mınimo de la tension normal en la seccion mas solicitada dela barra AB

Datos:

L = 6 m; H = 3 m

P = 45 kN; q = 15 kN/m

fy = 275 MPa, E = 210 GPa, γM1 = 1, 05

Estructura fabricada en acero S275 JR

Solucion:

1. Dimensionar la barra AB, utilizando perfiles HEBEl perfil HEB 200 es el mınimo perfil que cumple a resistencia.

2. Valores maximo y mınimo de la tension normal en la seccion mas solicitada dela barra AB

σx,dtraccion = 242, 604 MPa

σx,dcompresion= −231, 08 MPa



Ejercicio B.2

El pilar de una estructura, trabajando a compresion centrada, ha sido disenado conun perfil ∅125.4. El axil de calculo es NEd.

Se pide:

1. Obtener la capacidad a pandeo por flexion, Nb,Rd, de acuerdo con el CTE

2. Comprobar la validez del diseno

Datos:

L = 5 m

NEd = 56 kN

fy = 275 MPa, E = 210 GPa, γM1 = 1, 05

Pilar fabricado en acero S275 JR y conformado en frıo

Solucion:

1. Obtener la capacidad a pandeo por flexion, Nb,Rd, de acuerdo con el CTE

Nb,Rd = 147 kN

2. Comprobar la validez del diseno

Nb,Rd = 147 kN > NEd = 46 kN el diseno es valido


apuntes de elasticidad y resistencia de materiales - santiago torrano & d. herrero perez

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