elasticidad y resistencia de materiales. ejercicios resueltos
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EDITORIALUNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA
ISBN 978-84-9705-682-3
Antonio J. Jiménez Mocholí Salvador Ivorra Chorro
ELASTICIDAD YRESISTENCIA DE MATERIALES
EJERCICIOS RESUELTOS
EDITORIALUNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA
Colección Académica
Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: Jiménez Mocholí, A.J.; Ivorra Chorro, S. (2019). Elasticidad y resistencia de materiales. Ejercicios resueltos. Valencia: Editorial Universitat Politècnica de València
© Antonio J. Jiménez Mocholí Salvador Ivorra Chorro
© Editorial Universitat Politècnica de València Venta: www.lalibreria.upv.es / Ref.:6571_01_01_01
ISBN: 978-84-9705-682-3 (versión impresa) ISBN: 978-84-9048-845-4 (versión electrónica)
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La Editorial UPV autoriza la reproducción, traducción y difusión parcial de la presente publicación con fines científicos, educativos y de investigación que no sean comerciales ni de lucro, siempre que se identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV, la publicación y los autores. La autorización para reproducir, difundir o traducir el presente estudio, o compilar o crear obras derivadas del mismo en cualquier forma, con fines comerciales/lucrativos o sin ánimo de lucro, deberá solicitarse por escrito al correo [email protected]
AUTORES
ANTONIO J. JIMÉNEZ MOCHOLÍ
Dr. Ingeniero Industrial por la UPV (2003) y Profesor Titular de Universidad en el Departamento de Mecánica de los Medios continuos y Teoría de Estructuras de la Universitat Politécnica de Valéncia. Desde el año 1992 ha impartido asignaturas relacionadas con el campo de la Elasticidad y Resistencia de Materiales y la Teoría de Estructuras en diferentes titulaciones de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. Autor de dos libros relacionados con esta materia y de numerosos artículos en jornadas y congresos nacionales e internacionales de formación e innovación docente. Recibió el año 2006 el premio de Excelencia Docente de la Escuela Técnica Superior de Industriales de la Universitat Politécnica de Valéncia.
SALVADOR IVORRA CHORRO
Dr. Ingeniero Industrial por la UPV, actualmente Catedrático de Universidad en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Alicante. Ha sido profesor en la ETSI Industriales de Ia UPV y profesor visitante en varias Universidades Europeas. Sus líneas de investigación están relacionadas con el comportamiento dinámico de edificios históricos y el refuerzo de estructuras, habiendo dirigido proyectos de investigación en convocatorias públicas autonómicas, estatales y nacionales. Dentro de su actividad profesional, puede destacarse la pasarela peatonal Kiss Bridge que recibió la nominación de la fib a la mejor obra de estructuras en 2013, así como el refuerzo de la chimenea industrial La Paz de Agost, que en 2019 recibió el premio a la mejor obra pequeña de la Asociación de Consultores de Estructuras.
RESUMEN
Esta colección de ejercicios tiene como objetivo servir de apoyo a la docencia que el alumno recibe durante el curso en las asignaturas 'Elasticidad y Resistencia de Materiales' y 'Complementos de Resistencia de Materiales' en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Valencia. Las cuestiones y problemas han sido extraídos en su gran mayoría de los exámenes de las asignaturas de los últimos años. El alumno encontrará inicialmente los ejercicios de Elasticidad y, a continuación, los de Resistencia de Materiales dedicados a los depósitos de pared delgada sometidos a presión interna, al esfuerzo axil, la flexión, la torsión, la combinación de esfuerzos y la estabilidad.
A mis padres, toda una vida de trabajo y dedicación a sus hijos
Antonio J. Jiménez Mocholí
A mis padres y a Mª José
Salvador Ivorra Chorro
3
PRÓLOGO
Esta tercera edición de la colección de ejercicios que presentamos en estas páginas está enfocada a servir de apoyo a nuestros alumnos de segundo curso de las asignaturas ‘Elasticidad y Resistencia de Materiales’ y ‘Complementos de Resistencia de Materia-les’ en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Valencia.
Somos conscientes que el alumno puede encontrar, entre la numerosa bibliografía existente, diversos textos y material de consulta que cumplen ampliamente con este fin. Con ello en la mente, nos hemos decidido a publicar una colección de cuestiones y problemas extraídos en su gran mayoría de los exámenes de las asignaturas de los últimos años. Este ha sido nuestro enfoque diferencial inicial.
El texto está escrito con el objetivo de reforzar la docencia que el alumno, que se inicia en esta fascinante, y en ocasiones compleja materia, recibe durante el curso en el aula. Con tal propósito, se han resuelto los ejercicios respetando la nomenclatura y convenios que han sido utilizados en las clases teóricas y prácticas de la asignatura, estructurándose la materia en el mismo orden cronológico en que se imparte durante el curso. Así, el alumno encontrará inicialmente los ejercicios de Elasticidad y, a conti-nuación, los de Resistencia de Materiales, dedicados al esfuerzo axil, la flexión, la torsión, la combinación de esfuerzos y, por último, la estabilidad. Por otra parte, los alumnos de ‘Complementos de Resistencia de Materiales’ encontrarán una colección de problemas de recipientes de pared delgada sometidos a presión interna.
A pesar de la cuidadosa revisión del texto y de las figuras, estamos plenamente convencidos que el lector encontrará errores en las páginas de esta publicación, pues es bien sabido que los sistemas están sujetos a las leyes de la termodinámica y tienden de forma natural a aumentar su entropía. No obstante, es también misión del ingeniero acotar el error, obrando contra este capricho de la natura. Agradeciendo de antemano su colaboración, animamos a los alumnos a comunicarnos las erratas que se encuentren en estas páginas. De este modo, podrán ser enmendadas en próximas revisiones, consiguiendo que sus futuros compañeros de profesión reciban en sus manos un texto mejorado.
Valencia, febrero de 2009
Los autores
5
ÍNDICE
1. ELASTICIDAD ............................................................................................. 9
PROBLEMAS 1 ............................................................................................................ 11 2 ............................................................................................................ 18 3 ............................................................................................................ 21 4 ............................................................................................................ 29 5 ............................................................................................................ 32 6 ............................................................................................................ 39 7 ............................................................................................................ 44 8 ............................................................................................................ 51 9 ............................................................................................................ 57 10 ............................................................................................................ 65 11 ............................................................................................................ 75
2. RECIPIENTES A PRESIÓN ................................................................... 81
PROBLEMAS 12 ............................................................................................................ 83 13 ............................................................................................................ 87 14 ............................................................................................................ 91 15 ............................................................................................................ 94 16 ............................................................................................................ 96 17 ............................................................................................................ 100 18 ............................................................................................................ 103
3. TRACCIÓN Y COMPRESIÓN .............................................................. 109
PROBLEMAS 19 ............................................................................................................ 111 20 ............................................................................................................ 116 21 ............................................................................................................ 122 22 ............................................................................................................. 125
ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES
6
23 ............................................................................................................ 127 24 ............................................................................................................. 131 25 ............................................................................................................. 134 26 ............................................................................................................ 137 27 ............................................................................................................. 141 28 ............................................................................................................. 145 29 ............................................................................................................ 148
4. FLEXIÓN ........................................................................................................ 151
PROBLEMAS 30 ............................................................................................................ 153
31 ............................................................................................................ 159
32 ............................................................................................................ 164
33 ............................................................................................................ 169
34 ............................................................................................................ 173
35 ............................................................................................................ 175
36 ............................................................................................................ 182
37 ............................................................................................................ 188
38 ............................................................................................................ 192
39 ............................................................................................................ 200
40 ............................................................................................................ 209
41 ............................................................................................................ 215
42 ............................................................................................................ 218
43 ............................................................................................................ 221
44 ............................................................................................................ 224
45 ............................................................................................................ 227
46 ............................................................................................................ 230
5. TORSIÓN ........................................................................................................ 235
PROBLEMAS 47 ............................................................................................................ 237
ÍNDICE
7
6. COMBINACIÓN DE ESFUERZOS ...................................................... 241
PROBLEMAS 48 ............................................................................................................ 243
49 ............................................................................................................ 246
50 ............................................................................................................ 252
51 ............................................................................................................ 259
52 ............................................................................................................ 266
53 ............................................................................................................ 273
54 ............................................................................................................ 279
55 ............................................................................................................ 282
56 ............................................................................................................ 288
57 ............................................................................................................ 294
58 ............................................................................................................ 300
59 ............................................................................................................ 308
60 ............................................................................................................. 315
61 ............................................................................................................ 318
62 ............................................................................................................ 323
63 ............................................................................................................ 330
64 ............................................................................................................ 335 65 ............................................................................................................. 341
66 ............................................................................................................. 348
7. ESTABILIDAD ............................................................................................. 357
PROBLEMAS 67 ............................................................................................................ 359
68 ............................................................................................................. 367
69 ............................................................................................................ 375
70 ............................................................................................................ 379
1ELASTICIDAD
ELASTICIDAD
11
PROBLEMA 1
Para el cubo de acero de 15 cm de lado indicado en la figura y el estado de tensiones representado, determinar:
a) Tensiones y direcciones principales.
b) Componentes intrínsecas del vector tensión asociado al plano paralelo al eje x,cuya normal forma 60º con el eje y en sentido antihorario.
c) Vector tensión asociado a la dirección OA .
d) Vector deformación asociado a la dirección OA .
e) Componente intrínseca normal del vector deformación asociado a la direcciónOA .
Datos del acero: ν = 0´3
26 /101́2 cmkpE ⋅=
26 /108́0 cmkpG ⋅=
10 kp/cm2
y
x
z 100 kp/cm2
25 kp/cm2
20 kp/cm2
25 kp/cm 2
A
O
ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES
12
RESOLUCIÓN:
a) Tensiones y direcciones principales.
a.1) Cálculo de la matriz de tensiones:
a.2) Cálculo de las tensiones principales:
Partiremos de la expresión:
[ ] [ ]( ) 0det =⋅− Iλσ
que particularizada para la matriz [σ] se escribe:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]2
2
251002010
10251001020100025
010025020
−−⋅−⋅−=
=−⋅−−⋅−⋅−=−
−−
λλλ
λλλλλ
λλ
Igualando dicha expresión a cero, se obtienen los siguientes autovalores:
Si ordenamos ahora los autovalores de manera que 321 λλλ ≥≥ , resultan las si-guientes tensiones principales:
[ ] 2/100025
010025020
cmkp=σ
==
→⋅−±=→=+⋅−2
222
/83´12/17´107
21375412012001375120
cmkpcmkp
λλ
λλλ
2/10010 cmkp=→=− λλ
ELASTICIDAD
13
a.3) Cálculo de las direcciones principales:
Para determinar las direcciones principales, calcularemos los autovectores corres-pondientes a cada una de las tensiones principales anteriormente calculadas.
1
000
17´7025017´97025017´87
/17´107
21
21
21
1
1
1
21
=++
=⋅−
−−
=
zyx
zyx
cmkpParaσ
obtenemos:
( )9610́,0,276´01 =u
1
000
17´870250832́025017´7
/83´12
22
22
22
2
2
2
22
=++
=⋅−
=
zyx
zyx
cmkpPara σ
resulta: ( )2760́,0,9610́2 −=u
Para 23 /10 cmkp=σ la dirección principal se calculará como el producto vectorial
de 21 uu ∧ :
)0,1,0(213 =∧= uuu
23
22
21
/10
/83´12
/17´107
cmkpcmkpcmkp
=
=
=
σσσ
ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES
14
Este resultado era previsible, puesto que en la matriz de tensiones [σ] la fila corres-pondiente a la dirección del eje “y” tiene todos los elementos nulos, excepto el ele-mento de la diagonal 2/10 cmkpy =σ . Por tanto, su dirección asociada (0,1,0) es una dirección principal.
b) Componentes intrínsecas del vector tensión asociado al plano paralelo al eje “x”,cuya normal forma 60º con el eje “y” en sentido antihorario.
b.1) Cálculo del vector n asociado al plano paralelo al eje x, cuya normal forma60º con el eje y en sentido antihorario.
De la figura anterior se pueden deducir las siguientes relaciones:
2160cos160cos
2360sen160sen
11
11
=⋅=→=
=⋅=→=
yny
znz
Por lo que el vector n queda de la forma:
=23,
21,0n
y
z
x x
y
z
60º
n
60º
z1
y1
n
ELASTICIDAD
15
b.2) Cálculo de las componentes intrínsecas:
• Obtención del vector tensión:
• Obtención de las componentes intrínsecas del vector tensión:
Componente normal:
Componente tangencial:
c) Vector tensión asociado a la dirección OA .
c.1) Cálculo del vector OA :
( )2 2115 15 15 15 21́21 cm 0, 0́71, 0́71OAOA j k OA n
OA= ⋅ + ⋅ → = + = → = =
{ } [ ] { } 2
020 0 25 21́6510 10 0 5 /225 0 100 86́ 63
2
nT n kp cmσ= ⋅ = ⋅ =
{ } { } ( ) 2
0121́ 65 5 86´6 77´49 /23
2
Tnn T n kp cmσ = ⋅ = ⋅ =
{ } { } ( )
{ } { }
2
2 2 2
21́ 6521́ 65 5 86́ 6 5 7.993́ 28 /
86́ 6
7.993́ 28 77´49 44́ 59 /
T
n n
T
n n n
T T kp cm
T T kp cmτ σ
⋅ = ⋅ =
= ⋅ − = − =
ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES
16
c.2) Cálculo del vector tensión:
{ } [ ] { }1
21
20 0 25 0 17´750 10 0 0´71 7 1́ /25 0 100 0´71 71
nT n kp cmσ= ⋅ = ⋅ =
d) Vector deformación asociado a la dirección OA .
d.1) Cálculo de la matriz de deformaciones:
[ ]
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
εγγ
γεγ
γγε
ε
21
21
21
21
21
21
Para hallar cada uno de los componentes de la matriz de deformaciones se aplicarán las Leyes de Hooke Generalizadas:
Sustituyendo estos valores en la matriz de deformaciones se obtiene:
[ ]⋅⋅
⋅−⋅⋅−
=−−
−
−−
55
5
56
1033´4010561́010241́010561́010196́
ε
56 101253́
108́025
0
−⋅=⋅
==
==
Gxz
xz
yzxy
τγ
γγ
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) 56
56
66
1033´4102030́100101́2
11
10241́1002030́10101́2
11
10196́1001030́20101́2
11
−
−
−
⋅=+⋅−⋅⋅
=+⋅−⋅=
⋅−=+⋅−⋅⋅
=+⋅−⋅=
⋅−=+⋅−⋅⋅
=+⋅−⋅=
yxzz
zxyy
zyxx
E
E
E
σσνσε
σσνσε
σσνσε
ELASTICIDAD
17
d.2) Cálculo del vector deformación asociado a la dirección OA :
La dirección OA viene definida por el vector ( )710́,710́,01 =n .Para el cálculo del vector deformación asociado a la dirección OA utilizaremos la
expresión de Cauchy:
{ } [ ] { }11 nd n ⋅= ε
de donde, tras sustituir valores numéricos, resulta:
{ } [ ] { }⋅⋅−
⋅
=⋅⋅⋅
⋅−⋅⋅−
=⋅=−
−
−
−−
−
−−
5
6
5
55
5
56
1
10073́108́8
10111́
710́710́0
10334́010561́010241́010561́010196́
1 nd n ε
e) Componente intrínseca normal del vector deformación asociado a la direcciónOA .
{ } { } ( ) 10551́710́710́0
10073́1088́101́1 556511
−−−− ⋅=⋅⋅⋅−⋅=⋅= ndT
nnε
ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES
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PROBLEMA 2
Un prisma de un determinado material, cuyas dimensiones vienen reflejadas en la figura adjunta, se somete al estado tensional mostrado en la misma:
Determinar:
a) Deformación unitaria del espesor.
b) Variación de volumen del elemento.
c) Tensión que debe aplicarse en la dirección y para producir el mismoalargamiento en las dos direcciones principales.
RESOLUCIÓN:
a) Cálculo de la deformación unitaria del espesor.
Dado que en este problema los datos de partida son las tensiones a las que está sometido el elemento, las Leyes de Comportamiento a utilizar serán las Leyes de Hooke Generalizadas, que particularizadas para el caso que nos ocupa quedan de la forma:
==
450́ 040́E
material del Datosν
GPa
20 kp/cm2
Espesor e= 0´5 cm
10 cm
2 cm
70 kp/cm2
x
y
z
ELASTICIDAD
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Claramente se observa que en la dirección x el elemento sufre un alargamiento, mientras que en las otras dos direcciones, z e y, el elemento se acorta, dado que las deformaciones unitarias son negativas.
Así pues, la respuesta a este primer apartado es: 1́0−=zε
b) Cálculo de la variación de volumen del elemento.
b.1) Primer método:
La variación de volumen del elemento viene dada por una expresión del tipo:
Por otra parte, la longitud final de cada arista del prisma puede obtenerse a partir de
la definición de la deformación unitaria:
siendo:
Por tanto: 3074´10 cmV final = obteniendo:
( )
( )
( )
1́0)020´4507(0´4540011
02870́ )070´45-(2040011
15250́)020´45-(704001 1
−=⋅+⋅⋅−=⋅−⋅−⋅=
=⋅⋅=⋅−⋅=
=⋅⋅=⋅−⋅=
yxz
xyy
yxx
E
-E
E
σνσνε
σνσε
σνσε
inicialfinal VVV −=Δ
( )
inicialiinicialifinal lll ⋅+=
30740́1007´10 cmVVV inicialfinal =−=−=Δ
( )( )( ) =⋅−=
=⋅−=
=⋅+=
cm l
cm l
cm l
zfinal
yfinal
xfinal
450́50́1́050́
941́2028750́2
52´111015250́10
ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES
20
b.2) Segundo método:
Es conocida la expresión de la variación unitaria de volumen:
11110
−+⋅+⋅+= )()()(V
Vzyx εεεΔ
Dado que el volumen inicial V0 de este prisma es fácil de calcular mediante el producto de sus tres dimensiones iniciales, la determinación de la variación de volumen será:
300 0740111 cm´V)()()(VV zyx =−+⋅+⋅+⋅= εεεΔ
Resultado que, lógicamente, coincide con el anteriormente determinado.
c) Tensión que debe aplicarse en la dirección “y” para producir el mismoalargamiento en las dos direcciones principales.
Bastará con igualar los alargamientos de las dos direcciones principales:
( ) ( )xyyxyyxxyx EE l l ll ⋅−⋅⋅=⋅−⋅⋅→⋅=⋅→= νν 12110
Operando con estos valores:
xyyxxyyx σν
νσνσνσσνσσνσ ⋅⋅+
+=→⋅+⋅=+⋅→⋅−=⋅⋅−⋅)51(
)5( )51()5( 55
de donde se obtiene:
y para el caso particular que nos ocupa:
2 70cmkp
x =σ
Por tanto, la tensión en la dirección y será:
xxy σσν
νσ ⋅=⋅⋅+
+= 681́)51(
)5(
2 6´117cmkp
y =σ
ELASTICIDAD
21
PROBLEMA 3
La figura muestra el estado tensional al que se encuentra sometido un elemento diferencial construido de aluminio.
Determinar:
a) Matriz de tensiones referida los ejes x-y.
b) Matriz de deformaciones referida a los ejes x-y.
c) Lecturas de las galgas extensométricas 1, 2 y 3.
d) Matriz de tensiones referida a los ejes x’-y’.
e) Tensiones principales a través de los círculos de Mohr.
f) Orientación del elemento para alcanzar una posición de tensiones principales.
g) Orientación del elemento para alcanzar una posición de tensiones tangenciales máximas.
Datos del Aluminio: • 25 kp/cm 107 ⋅=E
• 25 kp/cm 1062́ ⋅=G
• ν = 0´33
100 kp/cm2
x
y
1 2
3
45º
45º
20º100 kp/cm2
35 kp/cm2
35 kp/cm2
30 kp/cm2
x’ y’
30 kp/cm2
30 kp/cm2
30 kp/cm2
A
ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES
22
RESOLUCIÓN:
a) Matriz de tensiones referida a los ejes x-y.
La matriz de tensiones se puede plantear directamente de la figura anterior:
[ ] 2cmkp −−−
=353030100
σ
Esta es una matriz bidimensional puesto que el elemento diferencial de aluminio es plano.
b) Matriz de deformaciones referida a los ejes x-y.
Para la obtención de las deformaciones se utilizarán las Leyes de Hooke Generalizadaspara materiales isótropos y homogéneos. Estas leyes de comportamiento particulariza-das para el caso plano tienen la siguiente forma:
( ) ( )
( ) ( )
⋅−=⋅⋅
−=⋅
=
⋅−=⋅−−⋅⋅
=⋅−⋅=
⋅=⋅+⋅⋅
=⋅−⋅=
−
−
−
55
55
45
10775́106´22
30 22
1071´9100330́351071 1
10591́35330́1001071 1
G
E
E
xyxy
xyy
yxx
τγ
σνσε
σνσε
Por tanto, la matriz de deformaciones referida los ejes x-y, será la siguiente:
[ ] 4-10 9710́5770́5770́591́
⋅−−−
=ε
c) Lecturas de las galgas extensométricas 1, 2 y 3.
Para la resolución de este apartado se procederá a través de los círculos de Mohr,partiendo del estado de deformaciones obtenido en el apartado anterior.
ELASTICIDAD
23
Para la construcción de esta figura se obtendrá el centro del círculo a través de la expresión:
410310́2
−⋅=+
= yxOHεε
A continuación, se sitúa el punto A de coordenadas )10 5770́,10 591́( -4-4 ⋅−⋅ , siendo el plano HA el que representa en el círculo de Mohr la posición del eje x del elemento diferencial de aluminio en estudio.
410 −⋅nε
41021 −⋅⋅ nγ
α
α+40
α+ 130º A
α-50º
B
C
D
O H ε1 ε2 εx
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