CAPITULO 1 INTRODUCCION

1.1- Introducción

a) La ingeniería Civil es una de las ramas de la Ingeniería que se especializa en la construcción de estructuras, edificios, obras hidráulicas y de transporte.

También busca determinar el efecto de cargas sobre estructuras naturales, tales como masas de suelo sometidas a la acción del peso de cortinas de presas o el flujo del agua hacia niveles inferiores de la superficie terrestre.

b) En su afán por mejorar las condiciones de sus construcciones, el hombre ha buscado de

muchas formas predecir la carga máxima que puede soportar un material estructural bajo

la acción de cargas gravitacionales y dinámicas, como podrían ser los efectos de las

fuerzas de viento y sismo.

c) Durante la época de la edad media la construcción más representativa fueron las

catedrales,cuyo método constructivo estuvo basado en sistemas muy antiguos y poco

realistas con resultados variados. Desde resultados exitosos hasta fracasos estrepitosos.

Con esta forma, los constructores de esa época encontraron la experiencia suficiente para

establecer reglas geométricas simples que les permitieron con el tiempo dimensionar sus

construcciones de tal forma que pudieran resistir los efectos de las cargas, con grandes

márgenes de incertidumbre.

Hoy en día es posible encontrar construcciones de esa época y se puede observar que en

casi todas ellas prevalecen elementos estructurales con dimensiones demasiado robustas.

d) A partir de los trabajos realizados por Galileo y posteriormente por Newton, se

establecieron los fundamentos teóricos que rigen parte de la física moderna y que

actualmente conocemos como mecánica de los cuerpos no deformables.

e) Durante los siglos XVIII y XIX, algunos científicos europeos como Laplace, Bernoulli,

Cauchy, Navier, Saint Venant, Euler entre muchos otros lograron desarrollar los principios

de la mecánica de los cuerpos deformables. Fue en esa época cuando se establecieron las

bases de lo que en la actualidad conocemos como Mecánica del Medio Continuo (MMC) y

la Resistencia de Materiales también llamada Mecánica de Materiales.

1

La Resistencia de Materiales es una derivación de la aplicación técnica de la teoría de

elasticidad para elementos estructurales de mucho uso en diversas áreas de la ingeniería.

Por ejemplo, algunas estructuras formadas por barras rectas como edificios constituidos

de vigas y columnas, armaduras para techos en naves industriales, puentes vehiculares

soportados por vigas de alma llena o por armaduras, etc.

Al inicio de su desarrollo estas teorías tuvieron un proceso semejante hasta que ambas

líneas de pensamiento derivaron en la unificación consolidando una teoría única de los

cuerpos deformables. Entonces la Mecánica agrupo a los 3 estados posibles de la materia

que forman nuestro universo, es decir, fluidos, sólidos y gases.

En otras palabras, No existía una teoría general ni una teoría técnica especializada para la

solución de problemas de la ingeniería. Con el paso de los años y también con el

incremento en el desarrollo de la teoría de elasticidad comenzaron a encontrarse

soluciones para casos simplificados. Se tiene registrado que los primeros trabajos

desarrollados en este campo fueron hechos por Saint Venant, aunque otros investigadores

de la teoría de elasticidad de esa época argumentaron que las soluciones técnicas

ofrecidas por Saint Venant incurrían a errores o presentaban incompatibilidad en las

soluciones matemáticas, también argumentaron que en bajo ciertas condiciones, estos

eran de una magnitud que podía ser despreciada.

f) Debido a su complejidad, otras disciplinas han requerido el desarrollo de teorías con

menos hipótesis simplificatorias y en consecuencia con una mayor complejidad

matemática en su solución, entre estas disciplinas se cuentan cálculo de esfuerzos y

deformaciones en placas sometidas a acciones en su plano o transversales al mismo,

cálculo de los efectos de las cargas inducidas por edificios sobre las masas de suelo en que

se apoyan, cálculo de barras donde las tres dimensiones son similares, etc.

g) De esta forma las aplicaciones de la Resistencia de Materiales (RM) comprenden

soluciones para una gran variedad de problemas reales de la ingeniería, reservando el uso

de la Mecánica del Medio Continuo para problemas menos comunes.

1.1.1- Problema general del análisis estructural

De manera global, se puede decir que el objetivo del análisis estructural consiste en:

"Determinar el estado de esfuerzos y deformaciones del material que componen las estructuras con las que trabaja el Ingeniero Civil, cuando es sometida a la acción de fuerzas gravitacionales, inerciales, electromagnéticas y térmicas".

2

Los estados de esfuerzos y deformaciones serán definidos de manera detallada y precisa

desde el punto de vista matemático en el capítulo 2 y 3 respectivamente.

1.2- Soluciones propuestas por la teoría convencional de la Resistencia de Materiales (RM)

Como se explicó anteriormente la Resistencia de Materiales tuvo un paralelismo con la

Mecánica del Medio Continuo en cuanto a su desarrollo. Para la Resistencia de Materiales

Convencional se considero una serie de hipótesis tomando en cuenta la geometría de las

barras deformadas con la intención de aplicar soluciones matemáticas de menor

complejidad respecto a aquellas aplicadas para la Mecánica del Medio Continuo. En

síntesis, estas teorías aplican expresiones matemáticas más simples, es decir, para casos

del tipo lineal.

Otra hipótesis simplificatoria establece la idealización del comportamiento de materiales y

que fue postulada por primera vez por Robert Hooke:

"Los esfuerzos son directamente proporcionales a la deformación unitaria del material (elasticidad lineal)"

3

1.2.1- Barras rectas prismáticas sometidas a fuerzas axiales de tensión

En el análisis de estas barras (ver Fig. 1.1) se asume que la deformación unitaria

longitudinal es constante en el caso de una barra recta prismática y directamente

proporcional a la magnitud P / AE, en el caso general.

... ...

o p

a) b)

Figura 1.1

Queda implícita la suposición de que la deformación unitaria longitudinal es constante en

todos los puntos de la sección transversal. Ver Figura 1.lb

Esta suposición respecto a la geometría de la deformada no toma en cuenta la forma de la

transición en las dimensiones transversales de la barra, para el cálculo de las

deformaciones y los esfuerzos asociados a las mismas, Ver figura 1.2.

---

Figura 1.2

Tampoco considera el efecto de la presencia de agujeros en la distribución de

deformaciones unitarias en la sección transversal.

1.2.1.1 Predicciones de la resistencia de materiales convencional

Si aplicamos las hipótesis mencionadas anteriormente, que son de conocimiento general,

podemos establecer que la distribución de esfuerzos de la figura 1.1ª es tal y como se

muestra en la figura 1.lb. En dicha figura se observa que las deformaciones longitudinales

y los esfuerzos asociados son constantes en cada sección transversal,

4

independientemente de transiciones bruscas o suaves en la sección transversal o de la

presencia de huecos. En resumen, la teoría de la Resistencia de Materiales Convencional

no habla sobre la concentración de esfuerzos.

1.2.1.2 Inconsistencias entre la teoría de resistencia de materiales y la evidencia de

experimental.

Estas diferencias son causadas por la aplicación de modelos matemáticos, aunque el

interés del ingeniero es estudiar no lo que ocurre con este modelo, sino, en el mundo

físico en el cuál existe la barra, hecha de materiales reales y no ideales.

Así, un análisis objetivo de nuestros resultados exige que sean comparados con lo

observable en el mundo físico. Se puede afirmar que hay bastantes evidencias

experimentales acerca de que en las zonas de transición de las barras en tensión, o en

aquellas zonas de la barra donde existen huecos, se desarrollan altas concentraciones de

deformaciones y en consecuencia de esfuerzos (Mecánica de Sólidos, Egor Popov; Theory

of Elasticity by Timoshenko and Goodier).

5

1.2.1.3 Predicciones de la teoría general

Para determinar los esfuerzos en las barras cargadas axialmente se utiliza la ecuación a =

:¡ , donde se asume que el esfuerzo es uniforme en su sección transversal. Pero la

realidad es que las barras tienen imperfecciones, agujeros, ranuras o cambios abruptos en

su · geometría que crean perturbaciones en el patrón uniforme de esfuerzos. Esas

discontinuidades en la geometría ocasionan altos esfuerzos en regiones muy pequeñas de

la barra y se conocen como concentración de esfuerzos.

Las concentraciones también pueden ocurrir en puntos de carga tales como cargas

concentradas o puntuales. Los esfuerzos que se producen en estas regiones pueden

determinarse por métodos experimentales o bien por métodos avanzados de análisis

como el método del elemento finito.

p b o p

a) b)

Figura 1.3

Considerando las anteriores figuras puede observarse que los esfuerzos máximos Omax

de la placa se presentan en los bordes del orificio y podría ser considerablemente mayor

que el esfuerzo nominal Omax = P /et (t es el espesor). La intensidad de una concentración

de esfuerzos suele expresarse con la razón del esfuerzo máximo y el esfuerzo nominal,

llamada factor de concentración de esfuerzos K:

K= 11max

11nom

6

Omax

1.2.1.4 Hipótesis de Saint Venant

Para demostrar esta hipótesis, observemos la siguiente figura:

,,, ,,,,,,,.

=

a) b)

Figura 1.4

Considérese dos barras prismáticas con un sistema de carga distinto pero estáticamente

equivalente (significa que los dos sistemas de carga tienen la misma fuerza resultante y el

mismo momento resultante) y que actúa sobre la misma región de la barra.

El Principio de Saint Venant establece que los esfuerzos en las barras causados por

cualquiera de los 2 sistemas en la figura 1.4 son los mismos siempre que nos alejemos de

la región cargada (distancia b en la figura).

Entonces la distribución de los esfuerzos cerca del extremo de una barra de sección

transversal rectangular sometida a una carga concentrada P que actúa sobre un área

pequeña se muestra en la siguiente figura:

p

p

------------------~------

,_ -- - -- -----·

(J = bt

------------ ------------------~~------

------------ ------------------lII.II_I"¡~------

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1.2.2 Barras rectas prismáticas en flexión por carga concentrada al centro

En el caso del problema de las barras rectas prismáticas sometidas a flexión, es crucial la

introducción de la hipótesis de Bernoulli. La cual establece que las secciones transversales

planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga siguen siendo perpendiculares al eje

de la viga una vez deformada.

Este postulado permite relacionar las deformaciones de todos los puntos materiales de la

barra con las deformaciones del eje neutro, conduciendo así a la conocida ley lineal de

variación de la deformación longitudinal con la distancia al eje neutro, aunado a la

hipótesis de la ley de Hooke que fundamenta el modelo de los materiales elástico lineales.

Es decir, si conocemos una función matemática que cuantifique el desplazamiento de la

infinidad de puntos contenidos por la línea del eje neutro, entonces conoceremos el

desplazamiento de la infinidad de puntos contenidos en el volumen total de la barra.

p

dx

----- ----------------------------

dx

1.2.2.1 Inconsistencias entre la teoría de resistencia de materiales y la evidencia

experimental

Las técnicas de la fotoelasticidad aplicadas a modelos de barras a flexión, permiten

observar concentración de esfuerzos justo bajo las zonas en las que se aplican las cargas

concentradas y en los apoyos. La resistencia de materiales no predice la aparición de

dichas concentraciones de deformaciones y esfuerzos.

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1.3 Solución propuesta por la mecánica del medio continuo.

La mecánica del medio continuo se basa en pocos principios generales y todas sus

propuestas se deducen de estos principios y algunas hipótesis adicionales. Un paradigma

fundamental de esta mecánica es basar sus resultados en la menor cantidad posible de

postulados, derivando todas sus propuestas para el cálculo de deformaciones y esfuerzos

en las estructuras de la materia.

Esto sigue la escuela clásica de pensamiento, utilizada por Euclides en el desarrollo de sus

elementos de geometría, la cual ha sido adoptada por la ciencia moderna como uno de

sus pilares. Podemos afirmar que el-0tro gran pilar de dicha ciencia, es la consideración de

la realidad física observable en sus deducciones y la búsqueda de congruencia entre el

mundo sensible y las teorías matemáticas elaboradas para intentar predecirlo.

1.3.1 Principios fundamentales

Estos principios deben basarse en lo siguiente:

-Que exista equilibrio en los sistemas estructurales dinámicos (PF)

-Todos los sistemas estudiados están formados por un medio (material) continuo (PM)

-Sus razonamientos deben ser objetivos (PL)

-Busca congruencia en sus deducciones (PL)

-Busca que los resultados calculados coincidan (tanto como sea posible) con mediciones

en experimentos controlados

Estos principios se detallan a continuación:

PRINCIPIOS FÍSICOS (PF}

Principio de equilibrio dinámico (de fuerzas).

Este principio se refiere al equilibrio dinámico que existe siempre entre las fuerzas

actuantes sobre un continuum y las fuerzas de cuerpo, típicamente las fuerzas de

inercia inducidas durante el movimiento de un continuum respecto a un sistema

inercial de referencia. Para fines prácticos, podemos tomar como sistema inercial de

referencia al globo terrestre.

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Este principio fue expresado por Newton en el año de 1687 en el primer libro de su tratado Philosophiae Natura/is Principia Matemática. En términos matemáticos se puede expresar como:

Sumatoria de fuerzas externas = Masa * Aceleración

Este principio expresa, matemáticamente, la condición de las estructuras que nos

· interesa construir: En general, SE MUEVEN respecto al sistema inercial de referencia

(la tierra).

Principio de coincidencia con la realidad sensible.

Por supuesto que la teoría matemática, sus axiomas y sus conclusiones, deben

conducirnos a resultados que puedan ser comprobados experimentalmente, buscando

que la diferencia entre las magnitudes calculadas contra las magnitudes medibles en un

experimento controlado, tengan un margen de error tolerable por la práctica

profesional de la ingeniería Civil, posiblemente menor del 10%. Este principio de

coincidencia está obligado por el uso del método científico, el cual postula la

objetividad de nuestras conclusiones.

PRINCIPIOS MATEMÁTICOS

Principio del Medio Continuo.

**El ingeniero suele enfrentarse a muchos problemas mecánicos cuya solución no

puede obtenerse por medio de la mecánica de los puntos materiales y de los cuerpos

rígidos. Ejemplos de tales problemas son los que surgen al analizar flexiones o

torsiones de trabes y columnas, consolidación o deslizamiento de masas de suelo,

vibración de maquinaria, escurrimiento de líquidos y gases. Todos estos casos se

relacionan con medios deformables caracterizados por el hecho de que sus átomos o

moléculas están tan próximos unos a otros que el material puede considerarse,

macroscópicamente, como una masa homogénea, cuyas deformaciones deben poder

preverse sin necesidad de considerar el movimiento de cada una de las partículas que

la componen.

Este resultado, producto de la experiencia, sugiere que dichos materiales pueden

idealizarse como medios continuos, carentes de huecos o separaciones entre sus

partículas. Normalmente se acepta, además, que tales medios sean también

•• Encerrado entre estos símbolos, se encuentra la cita textual de la explicación que da el Dr. Enzo Levi en su libro de elementos de MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO.

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isótropos. La isotropía supone que la microestructura del material consiste de

elementos orientados al azar, y excluye, por consiguiente, la existencia de direcciones

"preferenciales" para sus propiedades mecánicas. Así, en un material isótropo

conductor, el calor se difunde con igual rapidez en todas las direcciones. También, la

isotropía implica que el efecto de deformación producido en el material por

determinado sistema de fuerzas no depende de la orientación del material mismo; en

otras palabras, que si sujetamos a determinados esfuerzos, por ejemplo, un cubo de

cierta sustancia sólida, la deformación resultante no dependerá de la dirección según

la cual el cubo ha sido recortado de un pedazo más grande de material.

Si observamos al microscopio los sólidos utilizados por el ingeniero, vemos que la

mayoría posee una estructura cristalina y que esos cristales constituyen granos

separados entre sí. Dentro de cada grano se observa el mismo arreglo cristalográfico,

aunque el arreglo pueda variar de un cristal a otro. Los cristales a veces están

sumergidos en una matriz amorfa, que llena el espacio intergranular (fotografías

siguientes).

Cristales en etapas tempranas del concreto Estructura de la madera

Estas características estructurales pueden, en determinados casos, provocar efectos

que la hipótesis del medio continuo no está naturalmente capacitada para justificar.

11

Para aclarar las ideas, supongamos que sobre un

material cristalino (por ejemplo, un metal) actúen

ciertas fuerzas que tienden a deformarlo. Esto

significa que los cristales tenderán a desplazarse,

relativamente unos a otros, y cambiar de posición. Sin

embargo, si las fuerzas no son de gran magnitud y se

aplican durante un tiempo corto, es probable que al

eliminarse tales fuerzas, los granos, que deben

haberse movido poco con respecto a su posición

original, vuelvan a recuperarla porque ésta constituye

el acomodo más compacto y estable. Pero si las

fuerzas son intensas, es probable que provoquen "dislocaciones" progresivas que

desalojen los granos y los alejen demasiado de su posición original dando por

resultado que, al cesar las fuerzas, el material se encuentre deformado

permanentemente. En el primer caso, nos enfrentamos a un comportamiento

elástico, y, en el segundo caso, a un flujo. Así que el hecho de que un mismo material

se comporte o no elásticamente, depende de la magnitud de los esfuerzos a los cuales

está sometido. Se llama punto de fluencia la condición en la cual un material deja de

comportarse de una manera y empieza a comportarse de otra debido a un desarreglo

importante en la frontera de los granos.

La mecánica del medio continuo idealiza el material por medio de un modelo

matemático que, sin tener en cuenta de manera explícita su estructura microscópica y

sin considerar, a escala mucho más pequeña, las acciones entre moléculas, permite,

en la mayoría de los casos, predecir su comportamiento, con exactitud suficiente para

la práctica. Conviene subrayar, sin embargo, que, si los esfuerzos a que se somete el

material aumentan excesivamente, acabarán produciéndose agrietamientos

microscópicos, los cuales eventualmente podrán crecer hasta transformarse en

verdaderas fracturas. Una grieta, por pequeña que sea, impide la trasmisión

isotrópica de los esfuerzos; así que, desde el momento en que aparece, el medio

pierde su continuidad, y, estrictamente hablando, los métodos de análisis que vamos

a estudiar dejan de ser aplicables.

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El modelo matemático que deseamos construir tiene que basarse esencialmente sobre

conceptos diferenciales. Imaginemos que un material, sólido o fluido se subdivide

idealmente en elementos pequeños, por ejemplo, de forma cúbica, por medio de planos

que lo crucen, y luego se prosigue la subdivisión agregando siempre más planos secantes,

y reduciendo progresivamente el tamaño de los cubos resultantes.

Cada elemento posee ciertas propiedades extensivas (es decir, propiedades cuyos valores

dependen de la cantidad de sustancia presente), así como masa, peso, cantidad de calor,

etc., y es natural pensar en una masa media, un peso medio, una cantidad de calor media,

que se obtienen dividiendo masa, peso y cantidad de calor totales de cada cubo entre el

volumen del mismo. Si el cubo tiene volumen ~V, masa ~m, peso ~P, hallaremos una

masa media ~m/~V y un peso medio ~P/~V. Ahora, consideremos un punto fijo dentro

del material y una sucesión de cubos cada vez más pequeños que encierren al punto. Si la

sustancia es homogénea, las características medias serán constantes al reducirse el cubo,

e iguales a sus valores límites cuando tiendan a cero los volúmenes :

l, é!.m dm

J'!J LlV = dV' lím M' = dp ~v ... o LlV dV

(1.1)

Pero si el material no es homogéneo, como por ejemplo la atmósfera, cuya masa media

se reduce con la altura, masa media y peso medio variarán de un elemento a otro. Ahora

bien, nuestra idealización implica que dichas propiedades medias varíen con continuidad

al reducirse el tamaño de los cubos, y permite admitir la existencia, en cada punto del

material, de una masa específica ( o densidad) p y de un peso específico y locales,

definidos por ( 1.1) como:

dP y= dV

(1.2)

En términos matemáticos, aceptaremos que masa y peso, así como otras propiedades

extensivas, por ejemplo, la cantidad de calor contenida, sean funciones continuas y

derivables de los puntos del espacio ocupado por el medio. Si se ha establecido un sistema

de coordenadas, por ejemplo cartesianas x, y, z, se podrá decir "funciones continuas y

derivables de x, y, z"; pero evidentemente el concepto tiene un significado independiente

del tipo de coordenadas escogido, de su posición y hasta de la existencia de un sistema de

referencia.

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Es interesante observar que las propiedades ( 1.2) ya no son extensivas: son propiedades

intensivas (o de punto), es decir que su valor no depende de la cantidad de sustancia

presente. Así son todas las demás propiedades que se conocen como específicas, y

además la presión, la temperatura, la velocidad del sonido en el medio, y muchas otras.

Analicemos las variaciones con el tiempo de tales propiedades. Supongamos, por

ejemplo, que se está calentando una pieza metálica, y se controla la temperatura Ten un

punto fijo. A un intervalo de tiempo !::,.t corresponderá una variación de temperatura !::,.T.

Consideremos el valor medio !::,. T / !::,.t en un instante determinado (por ejemplo,

exactamente una hora después de flaber empezado a calentarse), para intervalos de

tiempo cada vez más pequeños. Para que la pieza metálica pueda idealizarse como un

medio continuo, es necesario que la razón !::,.T / !::,.t varíe con continuidad al reducirse el

intervalo temporal, de modo que exista y sea finito el límite.

lím liT = dT =T <IHO fÍt dt

que mide la rapidez de variación local de la temperatura. En general, supondremos que

todas las propiedades intensivas de un medio continuo son funciones continuas y

derivables del tiempo, en cada punto del medio.

Es importante recordar aquí la siguiente fórmula, que permite calcular la derivada total

de una función cualquiera, escalar o vectorialf(x,y,z,t) con respecto al tiempo t:

siendo vx, vy, vz las componentes de la velocidad.

la hipótesis cuyo significado físico acabamos de explicar, de que las propiedades del

medio continuo son funciones continuas y derivables del tiempo y del espacio, permite

aprovechar, para el estudio de su comportamiento, todos los recursos del cálculo

diferencial, y operar por medio de ellos sobre los campos escalares y vectoriales (de

desplazamientos, velocidades, fuerzas, etc.), ligados al medio. Además, podremos aplicar

teoremas del valor medio para calcular el valor que cierta función f adquiere en un punto

B, conociendo el valor que ella y sus derivadas toman en otro punto A y la posición

relativa de 8 con respecto a A. En particular, si A y 8 están muy próximos entre sí; es decir,

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si, siendo las coordenadas de A x0 , Yo, z0 , las de B son x0

+&,Yo+ ~y. z0 + & con Llx, Lly,

Llz muy pequeños, consideraremos lícito escribir

calculándose las derivadas en el punto A. Esto resulta por utilizar la fórmula de Taylor, en

que se desprecian, por su pequeñez, las potencias de Llx, Lly, Llz de grado superior al . ** primero.

LOS PRINCIPIOS LÓGICOS.

Se refieren a la consistencia que debe haber en la realización de nuestras deducciones, es

decir, debemos aplicar los principios de la lógica simbólica en nuestros razonamientos.

IDEAS PRINCIPALES

1. La mecánica del continuum es una parte de la física que intenta reproducir el movimiento de los cuerpos deformables.

2. En esta mecánica se establece que el continuum es una región física que comprende a sus fronteras, en la cual cualquier fenómeno puede ser descrito por medio de FUNCIONES CONTINUAS. Matemáticamente un continuum es un DOMINIO, en el cual cualquier fenómeno queda descrito por funciones continuas, derivables y de variación suave.

3. Estas idealizaciones se justifican debido a que actualmente ofrecen el camino más viable para un enfoque matemático de los problemas de deformaciones y escurrimientos de sólidos y fluidos; sin embargo, no dejan de constituir un modelo fenomenológico que sólo es aceptable bajo un punto de vista macroscópico.

En la definición matemática de continuidad, se establece para la función de la figura que:

lo .... existe f(a) (e,.) 20 .... existe limf(x)

x-->a

3o .... 1imf(x) = f(a) X-->a

...

•• Fin de la cita textual del libro del Dr. Enzo Levi

15

/(7'.)

. / /1

1

Función discontinua

X

' Función discontinua

EN UN MEDIO CONTINUO DEBE EXISTIR CONTINUIDAD EN LAS FUNCIONES QUE DESCRIBEN ALGÚN FENÓMENO EN TODOS Y CADA UNO DE LOS PUNTOS DEL DOMINIO.

En ocasiones la mecánica del continuum intenta describir el movimiento de partículas

asociadas a puntos en el medio. Para esa descripción, presupone que las partículas

siempre tienen sus caras en contacto con las partículas vecinas, antes y después de aplicar

fuerzas al continuum.

Al aceptar la idea de continuidad, se puede aceptar inmediatamente lo siguiente:

~l. ~· 1 1

. 1

' +x;-t t

11'~ f

A,i = lh, • .x, ti..,.,, .. ]•

)C

Si X¡,X2 E DOMINIO

y y1,y2 E RANGO

entonces existe:

lim Ay= dy .i<->0 Llx dx

Al definir una función continua, pueden existir funciones derivadas de orden superior, y

por ello existir:

dx ' dx2 , ••• , dxn

En funciones de varias variables existen por continuidad:

Si existe continuidad, se puede aceptar también la existencia de

df = º1 .dx ox

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Así mismo, se puede recurrir a integraciones para definir nuevas funciones.

En funciones continuas, es posible establecer que si existen dos puntos en un dominio A y

B, es posible definir, mediante una serie de Taylor que:

1B =!A +_l_(ªf.dx+ a¡_dy+ a¡ .dz) u ax ay az

+ !(ª2 { .dx2 + ···) 2! OX

+ ...

En ocasiones, en problemas de ingeniería, se acostumbra tomar solamente los términos

lineales que aparecen en la definición-de Taylor:

a¡ a¡ oJ JB-JA =df=-.dx+-.dy+-.dz ax ay az

Es común que al aceptar esta condición de diferencial total, los razonamientos conduzcan

a una mecánica de carácter lineal.

1.3.2 PRINCIPALES MARCOS ESPACIALES DE REFERENCIA UTILIZADOS EN LA MMC

En la mecánica del continuum es necesario describir el movimiento de los puntos del

continuum, las partículas que los contienen y de las regiones adyacentes a ellos.

En términos generales, la mecánica del medio continuo es una herramienta analítica

utilizada en el estudio del comportamiento de toda la materia, incluyendo la materia

sólida, líquida o en forma de gas. En este curso nos enfocaremos exclusivamente en el

estudio de los materiales en estado sólido. Así, podríamos especializar el nombre de la

herramienta al denominarla: Mecánica de sólidos (deformables).

En el desarrollo de esta herramienta, existen dos enfoques posibles, de los cuales uno

debe ser adoptado desde el principio para, a partir de ahí, realizar las deducciones

necesarias para llegar a plantear los teoremas generales.

ENFOQUE DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS.

En este, se adopta el concepto de volumen de control. Este es una región espacial de

posición y dimensiones conocidas que no cambian con el tiempo. Es de interés el estudio

del cambio de la masa y energía respecto al cambio en el tiempo.

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ENFOQUE DE LA MECÁNICA DE SÓLIDOS.

Aquí se adopta el concepto de partícula, la cual tiene cierta posición y dimensiones

iniciales. Al actuar las fuerzas sobre la partícula, esta (en general) cambia de posición,

orientación y dimensiones (sufre cambios de volumen y distorsiones).

A partir de aquí, cuando hablemos de partículas, estaremos utilizando el enfoque de la

mecánica de sólidos. Por esta razón será necesario hablar de un diferencial de volumen y

describiremos sus variaciones en dimensiones respecto a cualquier dirección y respecto al

tiempo (como es el caso de los siste.mas sometidos a acciones dinámicas).

En la descripción de estos movimientos deberemos emplear algún marco de referencia. La

MMC utiliza en muchas de sus soluciones alguno de los tres marcos de referencia

descritos a continuación.

MARCO CARTESIANO DE REFERENCIA:

En un marco cartesiano, las partículas elementales se formarán mediante 6 cortaduras:

X

3 que contienen al punto en el que se describe el movimiento.

3 que se encuentran separadas una distancia diferencial de las 3

superficies previas.

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MARCO CILÍNDRICO DE REFERENCIA:

Ahora, en un marco cilíndrico de referencia:

-

/ MARCO ESFÉRICO DE REFERENCIA:

Finalmente, en un marco esférico, la posición de los puntos y las partículas que los

contienen, se describe de la siguiente manera:

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En la descripción de un continuum resultará siempre necesario seleccionar un marco de

referencia, el cual permita plantear las solución matemática mediante funciones

continuas.

Esa solución debe ser independiente del marco de referencia, a fin de mantener el

principio de objetividad en la solución de la mecánica del continuum.

Esas soluciones siempre se basan en los siguientes principios:

~ Equilibrio dinámico

~ Continuidad

~ Objetividad

~ Coherencia en las soluciones

~ Similitud con resultados de experimentos controlados, con el mínimo de error admisible (3%)

La mecánica del continuum, al aceptar estos principios, se transforma en una secuencia

axiológica mediante la cual se intenta describir el movimiento de los cuerpos deformables.

1.3.3 TRES ASPECTOS CENTRALES DE LA MMC

Buscando un mejor entendimiento de los fundamentos de la MMC, se ha dividido su

estudio en tres partes:

a) ESTÁTICA DEL CONTINUUM que busca mantener el principio de equilibrio en todas las partículas de un continuum.

b) CINEMÁTICA DEL CONTINUUM, donde se busca mantener la continuidad en el movimiento de las partículas, sin importar las causas que lo generan.

c) DINÁMICA O CINÉTICA DEL CONTINUUM, donde se busca relacionar causas con efectos, o sea buscar coherencia, manteniendo errores inferiores a los resultados comúnmente obtenidos de experimentos controlados.

Una vez entendidos estos aspectos de la MMC, se estará preparado para aplicarla en la solución de los problemas de la práctica profesional de la ingeniería.

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