EL POTENCIAL DE OSCILADOR ARMNICO SIMPLECon anterioridad se han estudiado varios potenciales los cuales son funciones discontinuas con valores constantes en las regiones adyacentes. Un ejemplo ms real de los potenciales son las funciones continuas de la posicin, una de estas y de la cual hablaremos hoy es la del oscilador armnico simple.Como el oscilador armnico simple es la base para cualquier sistema oscilatorio, es demasiado importante ya que se utiliza por ejemplo en el estudio de vibraciones de tomos en molculas diatmicas, en las propiedades acsticas y trmicas de slidos que provienen de vibraciones atmicas, propiedades magnticas de slidos, lo cual incluye vibraciones en la orientacin del ncleo y la electrodinmica de sistemas cunticos en los cuales las ondas electromagnticas estn vibrando. Dicho en otras palabras, el oscilador armnico simple se puede utilizar para describir casi cualquier sistema que ejecute vibraciones pequeas alrededor de un punto de equilibrio estable.En una posicin de equilibrio estable, la funcin v(x) debe tener un mnimo, esta funcin alrededor del punto de equilibrio se puede aproximar como una parbola porque es una funcin realista y por ende es continua.

La ecuacin para esta funcin parablica es:donde C es una constante.

Desde el punto de vista de la mecnica clsica se dice que una partcula bajo la influencia de la fuerza lineal restauradora ejercida por el potencial, tiene la ecuacin:

Donde C es la constante de fuerza.Esta partcula al ser desplazada una cantidad Xo de la posicin de equilibrio, oscilar alrededor de dicha posicin con una frecuencia:

Segn esta teora, la energa total E de la partcula es proporcional a y puede tener cualquier valor ya que Xo es arbitraria. por otra parte, la mecnica cuntica predice que la energa total E puede tomar solamente un conjunto discreto de valores ya que la partcula est ligada por el potencial a una regin de extensin finita. Por el postulado de Plank se sabe que la energa de una partcula que ejecuta oscilaciones armnicas simples solamente puede tomar uno de los valores.

En las exposiciones anteriores se ha realizado la solucin de la ecuacin de Schrdinger, por lo que en esta ocasin en vez de verificar por sustitucin una eigenfuncin tpica y obtener un eigenvalor en la solucin, se va a describir los resultados de la solucin y analizar su significado.Los eigenvalores para el potencial de oscilador armonico simple estn dados por:

donde v es la frecuencia de oscilacin clsica de la partcula en el potencial. Todos los eigenvalores son discretos ya que para cualquiera de ellos la particula est ligada.

las eigenfunciones para el oscilador armnico simple desde la fsica cuntica tienen la siguiente funcin: