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Ejercicios resueltos 1
Conocimientos bsicos de Matemticas. Bloque 4. Clculo. Tema 7. Integral Definida
MATEMTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ana Allueva Jos Luis Alejandre Jos Miguel GonzlezGG33ww
Bloque 4. Clculo Tema 7 Integral Definida
Ejercicios resueltos 4.7-1 Resuelve las siguientes integrales definidas:
) a x dx2 2
03
) xb e dx1
0
) e
c dxx11
) d x x x x dx1 2 3 4
12 5
) e dxx3
2
11
)
xf dxx x
2
21
2 1
) g senxdx2
0
) h dxx1
20
11
) i dxx x5
2
11 2
) xj dxx
1
40 1
Solucin
) a x dx x2 22 3 3 3
003 2 0 8 0 8
) x xb e dx e e e e1 1 1 0
001
) ln ln ln e e
c dx x ex 111
1 1 0 1
) d x x x x dx x x x x1
1 2 3 4 2 3 4 5
11
1 2 12 5
2 3 4
1 2 1 1 2 1 2 2 4 101 1 1 1 2
2 3 4 2 3 4 3 3 3 3

) e dxx3
2
11
t x tdx dt t dt C x Cdt dxx t
1 21 211 1 2 1
1 21
dx xx33
2 2
12 1 2 2 2 1 2 2 2
1
)
xf dxx x
2
21
2 1
x x A Bdx dx dx dxx x x x x x22 1 2 1
1 1
x A B x A x B x
x x x x2 1
2 1 11 1
x AA B
x B0 1
11 1
ln lnx dx dx dx x x
x x x x2 2 2 2
2 11 1 1
2 1 1 11
1
ln ln ln ln ln ln ln ln2 3 1 2 2 3 2 3
) cos cos cos g senxdx x2 2
002 0 1 1 0
) h dx arctagx arctag arctagx
1 1
2 00
11 0 0
1 4 4
) i dxx x5
2
11 2
A Bdx dx dx
x x x x1
1 2 1 2
A B A x B x
x x x x1
1 2 11 2 1 2
x AA B
x B1 1 3 1 12 1 3 3 3

ln lndx dx x xx x x x
5 5 5
22 2
1 1 1 1 11 2
1 2 3 1 2 3
ln ln ln ln ln ln ln ln ln1 1 1 1 1 2 14 7 1 4 4 7 4 4 73 3 3 3 3 3 3
) xj dxx
1
40 1
t xx dx dt arctg t C arctg x C
x tdt xdx
22
4 2
1 1 1 11 2 1 2 22
x dx arctg x arctg arctgx
11 240 0
1 1 1 1 11 0 0
1 2 2 2 2 4 2 8
4.7-2 Calcula el rea de la regin limitada por las siguientes grficas:
)( )
a y xy EJE OXxx
1001
)( )
b y xy EJE OXxx
2 1012
)( )
c y xy EJE OXxx
3
002
)
( )
d y xy xy EJE OX
2
20
)( )
e y x xy EJE OXxx
2 2001
) cos( )
f y xy EJE OXxx
02
3 2
) g y xy x
2
) h y x xy x x
2
2
6
2
Solucin

)( )
a y xy EJE OXxx
1001
A x dx1
01
x x1
2
0
12
1 31 0
2 2
)( )
b y xy EJE OXxx
2 1012
A x dx2 2
11
x x2
3
1
13
8 12 1
3 3
7 101
3 3
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5 y x2 1
x 1
y 0
x 2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y 0
x 0 x 1
y x 1

)( )
c y xy EJE OXxx
3
002
A x dx x
22 3 4
00
1 160 4
4 4
)
( )
d y xy xy EJE OX
2
20
A 1 1 1 3 50 2 4 2 2
3 2 3 2 6
1 2 3
2
4
6
8
y x3
x 0
y 0
x 2
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
y 0
y x2
y x 2
Puntos de corte:
x x x x2 22 2 0 ,x 1 2
A x dx x dx1 22
0 12
x x x1 23 2
0 1
23 2

)( )
e y x xy EJE OXxx
2 2001
x xA x x dx x
13 21 2
00
1 1 132 2 2 0
3 2 3 2 6
) cos( )
f y xy EJE OXxx
02
3 2
cosA xdx senx sen sen3 2 3 2
22
31 1 2
2 2
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
x 0
y 0
y x x2 2
x 1
2
1 x 2
y 0
x 3 2
cosy x
-1

0.5 1 1.5
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
y xy x2
-1 1 2 3 4 5 6
2
4
6
8
y x x2 2
y x x2 6
) g y xy x
2
Puntos de corte:
,x x x x x x x2 2 0 1 0 0 1
x xA x x dx
12 31 2
00
1 1 10
2 3 2 3 6
) h y x xy x x
2
2
6
2
Puntos de corte: x x x x2 26 2
x x x x22 8 0 4 0 ,x 0 4
A x x x x dx4 2 2
06 2
x x dx4 2
02 8
x x43 2
0
2 83 2
128 6464 0
3 3

-1 1
1 y x21 x 1 x 1
-1 1
-1
1
1 2 3 4-0.5
0.5
1
1.5
2 y x x21 2
2
y x12
4.7-3 Calcula el volumen del slido de revolucin generado al girar alrededor del eje OX las siguientes grficas:
) a y xxx
211
1
) b y x x
y x
21 22
12
) c yyxx
3005
Solucin
) a y xxx
211
1
V x dx
x x dx
x xx
1 22
1
1 2 4
1
13 5
1
1
1 2
23 5
2 1 2 11 1
3 5 3 5
4 2 162
3 5 15
) b y x x
y x
21 22
12

0y
0x
3y
5x
Puntos de corte:
,x xx x x x x x x x x2
2 22 4 3 0 3 0 0 32 2
Se calcula el volumen generado por la grfica de arriba (volumen lleno) y se le resta el volumen generado por la grfica de abajo (volumen del agujero):
x x x xV x dx dx x x dx dx
x x x xx x dx
2 22 4 23 3 3 33 2
0 0 0 0
34 5 4 33 3 2
00
2 2 42 2 4 4
15 52
4 4 20 2 4
243 81 135 243 810 675 108 270
20 2 4 20 20 5
) c yyxx
3005
V dx dx x5 5 52
00 03 9 9 45 0 45

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