Colegio SSCC Concepcin - Depto. de Matemticas

Unidad de Aprendizaje: Ecuacin de la Recta

Capacidades/Destreza/Habilidad: Racionamiento Matemtico/ Aplicacin / Calcular, Resolver /Conjeturar/Analizar

Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad, Responsabilidad / Trabajo en equipo, Cumplimiento

Aprendizajes Esperados: Deducir la ecuacin de la recta en el plano cartesiano a partir de algunos elementos entregados. Clculos de distancia entres 2 puntos. Rectas paralelas y perpendiculares. Identificar y deducir elementos secundarios del triangulo.

Recursos TICs: Resolucin de las problemticas a travs de un POWERPOINT en la pizarra

Evaluacin de proceso: Correccin de tareas, interrogaciones, trabajo en clases

Tiempo: 3 semana

Profesor Responsable: Miguel Fernndez Riquelme

Profesores de nivel: Paulina Roa - Miguel Fernndez R Gabriela Aguilera

/Curso:2 E.M.

Gua N21

Unidad: Ecuacin de la Recta

Nombre:_________________________________________________CURSO:______

Ecuacin de la Recta

Concepto de Recta

Una recta es la representacin grfica de una funcin de primer grado. Toda funcin de la forma y = ax + b de IR en IR representa una lnea recta.

La x y la y son las variables de la ecuacin, siendo x la variable independiente ya que puede tomar cualquier valor, mientras que y se llama variable dependiente, ya que su valor est determinado por el valor que tome x.Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuacin.

Ejemplo: El punto (7, 2) satisface la ecuacin y = x - 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 - 5 2 = 2 lo que resulta verdadero.

Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas IR x IR, siendo x el valor de la abscisa e y el valor de la ordenada. (x, y) = (Abscisa , Ordenada)

Ejemplo: El punto (-3, 5) tiene por abscisa -3 y por ordenada 5.

La ecuacin de la recta puede ser representada en dos formas:

Forma General: ax + by + c = 0

Forma Principal: y = mx + n

Pendiente de una Recta

En la ecuacin principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posicin.

La pendiente permite obtener el grado de inclinacin que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posicin seala el punto en que la recta interceptar al eje de las ordenadas.

Ejemplo: La ecuacin y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posicin 7, lo que indica que interceptar al eje y en el punto (0,7).

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1, y1) y (x2, y2), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea

Obs. Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente igual a cero. Una recta que es paralela al eje y, no tiene pendiente

EJERCICIOS:

1. Calcula en cada caso la pendiente de la recta determinada por los puntos:a) A (4,6) y B (2,3)

b) P (-3,2) y Q (-3,5)

c) M (4,8) y W (-7,8)

2. Considera el tringulo ABC, cuyos vrtices son A(4,6) , B(-6,4) y C(8,2). Calcula la pendiente de la recta que contiene a cada lado del tringulo.

En la ecuacin general de la recta, ax + by + c = 0 la pendiente y el coeficiente de posicin quedan determinados por:

Demostrmoslo: Transformemos la ecuacin general de la recta en una ecuacin principal.

Ax + By + C = 0 Ax + By = -C By = -Ax C

luego y

Ejemplo: Cul es la pendiente y el coeficiente de posicin de la recta 4x - 6y + 3 = 0?A = 4, b =-6, c = 3

m = -4/-6 = 2/3 ; n = -3/-6 = 1/2

EjerciciosEscribe la ecuacin general y principal de la recta, de modo que m y n sean, respectivamente:a) Ejemplo : 1 y -1 y = 1x -1 0 = x y -1

b) 5 y 0

c) 8 y 3

d) 3/5 y 1/ 4

e) -4/3 y 5/4

Tres puntos colineales. (alineados)Tres puntos son colineales si pertenecen a la misma rectaA, B y C son colineales si la pendiente de AB es igual a la pendiente de BC. Ejercicios1. Deducir si los puntos A(-2, 1), B(2, 1), C( 4, 2) son colineales.

2. Calcular el valor de k en C para que se cumpla que los 3 puntos A(-3, -2), B(6, 3), C(0, k) sean colineales.

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuacin.

Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), tambin perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente por ser colineales. O sea

y Luego, la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos es:

que tambin se puede expresar como

Ejemplo:

Determina la ecuacin de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)

y - 2 = x 1 x - y + 1 = 0Ecuacin de la recta dado punto-pendiente

La ecuacin de la recta que pasa por dos puntos est determinada por

pero luego reemplazando en la ecuacin anterior se obtiene

despejando, obtenemos que:y - y1 = m(x - x1)

Ejemplo: Determina la ecuacin general de la recta de pendiente -4 y que pasa por el punto (5,-3)

y - y1 = m(x - x1) y - (-3) = -4(x - 5) y + 4 = -4x + 20

Luego la ecuacin pedida es 4x + y - 16 = 0.

Ejercicios:

Encuentra la ecuacin principal y general de la recta que pasa por los puntos a) A (3,4) y B (7, 4)

b) G(-5,2) y B (-3,-1)

c) L(1/2, 1/3) y F(0,1)

Determina las ecuaciones principal y general de la recta que pasa por el punto dado y que tiene la pendiente que se indica

a) Ejemplo: A (6,4) ; m = -3 (x - x1)m = y y1 (x 6)(-3) = y 4

b) B(0,4) ; m = 1

c) C(5,5) ; m = 3/5

Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares

Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posicin distintos, o sea

L1: y = m1x + n1 Entonces L1 // L2 s y slo si m1 = m2

L2: y = m2x + n2,

Ejemplo: Las rectas y = 4x + 5 ; y = 4x - 2 son paralelas.Ambas tiene pendiente igual a cuatro

Dos rectas son coincidentes (son la misma) cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posicin iguales, o sea

L1: y = m1x + n1

L2: y = m2x + n2,

Entonces L1 coincidente con L2 s y slo si m1 = m2 y n1 = n2

Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es (-1), o sea

L1: y = m1x + n1 Entonces L1 L2 s y slo si m1 m2 = -1

L2: y = m2x + n2,Ejemplo:

L1: y = -2x + 3 Entonces L1 L2 ya que -2 0,5 = -1L2: y = 0,5x - 4

EjerciciosEncuentra la ecuacin general de la recta que pasa por el punto A(5,2) y es paralela a la recta de ecuacin y = 3x -1

Encuentra la ecuacin principal de la recta que pasa por el punto B(-2,0) y es paralela a la recta de ecuacin 2x y +5 = 0

Encuentra la ecuacin principal de la recta que pasa por el origen del sistema cartesiano y es paralela a la recta que pasa por los puntos (4,1) y (6,5)

Son paralelas las recta que pasan, respectivamente, por los puntos A(2,4) B(5,7) y C(5,2) y D(9,6)?

Calcula el valor de la constante K en la ecuacin de la recta 2kx y - 1 = 0 que es paralela a la recta de ecuacin 3x - 2y + 6 = 0

Comprueba si el cuadriltero ABCD, cuyos vrtices son A(-1,-2) B(8, 4) C(5, 5) y D(2, 3) es un trapecio (Un trapecio es un cuadriltero que tiene un par de lados paralelo)

Encuentra la ecuacin principal de la recta que pasa por el punto (3, 5) y es perpendicular a la recta de ecuacin y = x -2

Encuentra la ecuacin general de la recta que pasa por el punto (-1, 3) y es perpendicular a la recta de ecuacin 3x y -1 = 0

La recta que pasa por los puntos (-3, 1) y (2, 4) Es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-1, 3) y (1, 1)?

Comprueba que el tringulo ABC, cuyos vrtices son A(-2, 1), B(6, 1), C(6, 4) es rectngulo en B

Coordenadas del punto medio:

Dados dos puntos y el punto medio est dado por:

Ejemplo:

Dados dos puntos A(-5, 2) y B(5, 2) Hallar las coordenadas del punto medio

EjercicioEl triangulo A(-3, -4), B(2, -1), C(0, 5) Calcular los puntos medios de cada lado del tringulo.

Distancia entre dos puntos:

Dados dos puntos y , la distancias est dada por:

Ejemplo:Hallar la distancia entre P(-3,-2) y Q(9,3) Restamos abscisa con abscisa y ordenada con ordenada

Luego =

Finalmente, la distancia entre P y Q es 13

Distancia de un punto a una recta:

La distancia de un punto a una recta es la medida del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta. P

L

La expresin para calcular la distancia entre un punto y una recta de ecuacin Ax + By + C = 0 es:

Ejemplo: Hallar la distancia entre el punto A(2, 5) y la recta L: 3x +4y -7 = 0

Utilizando la expresin y reemplazando en ella los valores dados se tiene:

EJERCICIOS:

Calcula la distancia entre el punto dado y la recta respectivaa) A(4, 1) y L: 2x y +1 = 0

b) B(-2,5) y L: y = (-1/2)x +4

c) C(2,6) y L: 3y x = 7

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