"-La línea recta

Las propiedades fundamentales de la recta, de acuerdo con los axiomas de Euclides, son:

• Por dos puntos distintos pas.J una y sólo una recta.

• Dos rectas distintas se COftiln en un solo plJnto. o bien son paralelas.

Con esta un idad comennmos el estudio !iistem~tico de ( urvas en el plano. Para plt'seflcar la I'eCta nos basamos en la idea inwitiva quetenemos de eU;¡ y la describimos algebrakamentt por medio deSUeruaclÓfl,1a cwllnvolucra,al Igual que el resto de las que veremos INS adelante, dos variables. aenera lmemE! denotadas por xy y.

la ecuación de una recta puede adoptar va ri as IOrmas, algunas de las cuales redilen nombres especiales. Debe tenerse presente que no son varias las ecuaciooes de una re<:ta 5ino uml sol .. que es

presentada en fonnn divmas, y quepodemos p3.5aI" deunaa oua medianteel manejo algebraico de las e.:uadooes:despeje, multiplicación por coostantes no nulas, etCétera.

Hay caracteflsticas que determinan una rt'Cta en pani cular: por ejemplo. hay una sola recta que cumple alguN de las siguientescondiciOl1t'S:

, Tener una pendiente dada y puar por un determinado punto.

, Teneruna pef1diente dada ycorurel eje Yen un cierto pumo.

, Corur los ejes coordenados en dos puntos dados, distin tos entre sr.

, Pasar por dos puntos distintos. L.¡¡ Kuac!6n de una recta puede obtenerse si

conocemos los elementoS que interVienen en alguno de los enunci¡¡dos ¡¡nteriores.

lodr"ólulo ... mkl.n.n ) 9ado<a ,.., ...... Lo< fófmulude !'in!lo,,,,,,,ión

f."~ ,. ,. 1 ........... -;- paJo..

Ángulo de inclinación de una recta con respecco al eje X. la pendiente de una recta Para wbirullOlsllla de ruedas deun nivel aom\, la maner.ll máss.mcllla es uohundo UIlOI rampa_ El ucenso e mbserw::illo si la I"iImpa eRi menos indinada

GJ.ando Jorge ea.ba jugando con su a'0i6n decontrol remoto. se le atoró en la pun­ta de un pino que se tocontraba a 6 metros de distancia. ~ qu~ bajar ti avión pateando UIlOl pelota. Si ti pino mide 3 metros de altura, ¡cu~ es el ~ngulo. con respecto .1 piso. con el que debe ¡¡Iir la p8<xa para golpeM el avión y qlte este aiga alsltelo!

Solución: Para resolver este problema, 5upong¡¡mos que la pelota que Jorge va a pitear se mcuftma en el or~n; emonCft, la base del lirbol se encutotra en el punto P(6.0~ el avión to Q(6,J) Y o: es el 'ngulo buscado. AsI. podemos considerar el sigultote equema {regura 2.1 ~

y Q

p

o I 1 l 4 ~ 6 X

~JU .. l.l

El tri.\ngulo aoPQ e recdlngu!o;totOfICe;

Q 3 I tano: -.-.-. og 6 2

0 .. 27°.

El.mgulocon el que debe salir la pelota es de IprOJ(imadamtote 2'r. (En reall­dild, la bola no s,eguiri. ullOl li nea recta. describirla. un arco de paribola.: la ¡ituación qlte se prestota es una simplificación o modelo del aso real).

lAda una recta no horizontaL el íngulo /l ~ seobtiene al hilcergirarel eje X almle­dor del puotO Pen sentido cooturlo olI movimiento de las m,lIleCilbs del reloj hastl q.tecoinci<b con la ~ se llama anguJo .:k inc/ioodOn de la ~ (figuras 22 y 1.3).

Si la fectaeshonzoot~1. IU ~ogulodeifKlill¡¡¡,ción es cero. El ~ogu 'ode inclin¡¡¡,ción deuna recta puedevanar de O'" a 180·,

Llamimouerrtido po~vode giro al q..e escont1iri(! al movimie~to de las mine­ollas del reloj Y smtido negativo al quecoincidecoll el moyimienoo de ellas (flgUl'iS 2.4 Y 15),

Sentido p,,.llIvo

La ptncIfmtede lJ:'IiI recu es el valor de la tangente de su ingulo de Inclinaci6l'l a, La penclierl[e sedenol1 de rruonHll usu1l por m. O la,

Como el ¡¡¡gulo de tan 90" no est~definldo. ernonces tod~ ","(fQ wrtiall-.lQUe­la cuyo ¡¡¡gulo de ilKlinación es 90"~ tiene pendiente.

SI cooocemosel yalor mde la pendiente. pnces el ángulo de Inclinación a vale:

a. tan-I m

y se puedecollOcer l/n yalor aproximado ~iantellnilStlblasollnacakl/lado1i.

úkulo de la pendienteCl.Wldo seconocen dos p~de la recta -"'%,

Encontrar la pendiente m de la recta que pau por los plintos 1'(- 2.2) y Q(3,5).

Solud/m: Tl';llamosla r«ta que une Iospuntos PyQ. ES(~ corta el eje X elle plinto A Por P trazamos un1 recta paralela al ejeXydesdeQ trazamosllna rectapar.'¡eIa al eje Y. Las dos r«t.ll se corUIl en B,Observ.uno1 que el tfiW&ulo liQPB es un uiingulo rectángulo. El ~ngulo fJ - LQPB es igual al angulo a por ser in¡¡ulos correspon­dientes (figura 2.6).

y

•

]\-2,2) {j

A o

- 6 - 4 - 2

0(3,5)

8(3.2)

x .......

l a~,. .. 1a tlngoonledolqulo do !neIMeIer. do la f'KtI

)

SI1'(:r,.T , )yQ(~.T)· _LoopOftdl ..... <M

la''''''''q''''p''''''p'''PV QKm={::~-5~P«! .... e:r, .. :r"Kdecl~lIue 1.1 recQ no SU venIaiI

)

Entonces.

tan cr ,., tan 1:1- cuero opuesto ;; BQ amo adpcl!1"Q PlJ

5 - 2 3 ,., ]-(-2) = - .

P~r.I tI1<Ofl(r.lr I~ pendientl!<k un~ r«t~ no Vl?ftlrn ronodeodo dos pumos dl!l!Ila, !'(xl '>'1) Y Q(xl'>' j. calculamos el cociente

( m.~. ) (2.1)

Obs~q~ ~ _ ~ yqu..!l!n ambas fracciones 105 mlnu..!ndos dl!1 nu­mefOldor y denominlKlór 50n l.1S coordenad~ dl! uno de los pumos y los $Ustraen­

dosson lüdel otro. Si tO~OSOtfO p.udl!puntos P y Q' en la miSINreaa..comosemUoesm en la

figur.l 2.7. se 'tbliepef! dos ui.5.ngulos se.mjantes. y por tanto la raron dl! sus Giltl!tOS es la misma. Es decir. la pl!ncllente de una recta puedl! determlnlr'Si! usa.ndo dos puntos cualHqu~f¡l d~ ella.

y

P : P'

Q ' . : ------- %.-~-------_!

Q x

Si la ,ectaes VfftÍGill tod<>s los puntos~ la recta tientn la misma primm coor· denada, de modo qu~ el denomini'dor de Iii expresi6n anterior ~e Ca<! y. por t~n­to. no puede ewluarse. EstO concuerda con lo dicho anteriormente en el sentido que 1;oS rectuvertiar.lesno tie..en pendiente.

ObsuVllCionts: LlI pend ien t~ d~ UN rectll no vertlclll es un número qIH! midequ~ tan indinada esto! la recta y h¡¡ci¡ dónde est<i indlnil<b.:

• LlI pl!ndient~es positiva cuando la rectll está inclinada hacia la derecha. • La pl!ndient~ es aro cuando la rectles horizontal. • La pend~me es Ilf'ptiva cuando la rKta ~sd inclinada lIiKlala Izquierda. • Cuindo el vaJor ab50luto de la pmdient~ es muy grande la recu es Gilsi veM:iGll. • Cu~ndo su wr ab$Oluto es muy pe~ÍIO, la recta ('$ asl Ilorizonul • Una recta uMiGll no tiellf'pendientr..

1. &leontr.Jf liI pendiente de liI re.:tiI que pilSil por los puntol 1'(2.7) y Q(- 2,3).

Solución: UsaIll(l5 la fOImula (2.1) para obI:~liI pendlftI(e di! la!l'((3 (1'Iglra a):

3-7 -4 m ______ 1.

- 2 - 2 -4

2. &leont,..,. la pendiente de la recta que P¡s.a por lospuntol [>(3,-4) y Q(p),

Solución: la pendieme de la recta es{flgUr.J 2.9~

m_ 2-{-4>.~ _ _ ~. I- 3 1-1 )

3. fn<:ontrilf la pendiente~ la iku quep¿lil por los puntos 1'(-5.-3) yQ(- I,-3~

Soludón: U pendiente~ I~ rect~ es(flglJr.l2,10~

- 3- (-3) O m_ _ _ . 0, -1-(-5) 4

~ 4. Si P(-2,5) Y m - -t ,mconrrar lascoordmtdaldeorro ¡ifilJJo de la

~til quep;lSil por Py tiene pendiente m.

Solución: PaJ'll enconrrarorro punto, iI partir de P, ¡vanzllmos honzonu,lmenre 3unidades hacia li dere.:ha (el denominador de la pendiente) llegando ~ punto decoordenws (1, 5), A pilftir de ene punto, bajanos ver­óulmente 4 unidades (d nUrnmOOr de la pendiente), llepndo ~ ~ punto Q( I, 1). Podemoscomprobir que li rectil que palil por los ¡:umol Py Q tiene pendiente m:

8 punto Q se encuentra sobre li tecta que pasa por Py tiene pen­dimre ni. -1(figura 2.11).

y

Q

_) _1 _1

-, -,

p

1 1 3 X ~"',.u

x

P(3,-4)

y

x Q(-1,-3)

1'(-5,-3)

y

P(- 2,5)

- ) -1

",,",'Ul

-,

•

.... ocklld rt-q\I~~n "'5 IOonM_polOblesy artIptndle_fI)~

M-fs.

y

)

x

S. Si 1'(0,7) ~ m. ) i. encontr.lr las coordenadas de Otro punto de la recta ~pa5a por P y tiene pendiente 111.

Solución: Pua encontr.>r Otro punto. a partir de P, avanzamos l1ort· romalmentl1 1 unidad hada la ~tla 11~lldo al pumo de coordenadu ( l . 7). A partir de este punto. SUfllTlOs ~ ticalmerm Ji unidadn.lleg¡lndo a$1 alpunro Q\ I,7 +,fi . Podemoscomprobarque la recta que pas.1 por 105 punros y Q t~ne pendiente m;

1,-r,.7+./2-7. 12. X, -K, 1-0

El pumo Qleeocumrr.lsobll!la rKU QUt!pasa por PytlnH! pendiente m (Rgura 2. 11~

Cálculo J8 iPgulo d~ inclinación cuando se conoc~n dos puntos de la teda

a

p(x"Y,)

x

Hay trtScaso! posibles:

Para encontr.lrel ángulo de Inclinxlon a de una rectl !lO vmlal ccnodendo dos pUntOS de tUi\, P(x,.y,' y Q(x"rJ primero takulamos $U pendiente:

~ -"'%

yentOllCes a. tan ,

m. "-Y', X, -x,

m.

Si "'. O,entonces (l.. tan-l O -O· y,port;lOlo.~tratadeunar«tahoriZOl1I;¡l;I. Si m ,. o. 1ffl(000es a _ tan -, m cumple ~ .r '" a "" 90-, Esm su:~ en la fi· ,.,U l.13,yaque y, - y , >0 y "', -x. "" o y. portanto.eI cociememespositivo, ~ m < o. emOrKes U - tan-I m cumple que 90" <u < 180". Esto le presa1tl en la figura 2.14, ya cp..Ie" -" < O yx. -x, > O ypor tanto, el cociente m es negativo.

y

___ _ o X

" i R(X" 'I)

Uso de la calculadora para obtener una aproximadón de (X

&1 los dos primeros cuos al'lteriores, es decir, cu~r'ido m .. O O m,. o. ¡plic<tmosl~ furn:iól'l tan-O de la cakulador.J al valor m y obtenemos UI'I valor p;n a.

&1 el tercerQ. (uar'lÓO'" -< o. por lo ~rtml J\O podemos lucer lo ~l'Iterlor, pues rTlU(tlascak:uladoras 1'10 calculan 131'1-' rncuarldo m es~advo.

fIltoocesproc:edemos de la slglJlente rmll'ler.l: akulamos tan- (-m) -r'lÓtese que -m ,. 0- y ob~mos UI'I .mgulo {J. EnCOllCes.

( a .. I80"-p. ) (2.2)

CoI'I base el'lla figura 2.14 aplicaremos por qut se procede dela miUlm ¡l'Ires descrita cualldo m < O.

Col'lsideramos el trlillgUlo r«dl'lgulo PQRy observamos quelos il'lgulos a y (J SOIl suplen1mrarlos por _ alrftllos UlftTI05. As~

( a+!J - I80". )

ftlr oc.o l;¡do, croemos que:

tan{J--m;

olo~eslomismo p. tan -I (-m) ypor(2.3) a .1BJi'-fJ~ '0

1. &lcol'ltmfHngulo a qudormala rKuQUf' pasaporlcnputr lOS P(-4,-2) Y Q(3, 5)con el eje X.

Soluoon: El angulo a esel ~l'Igulode la recta.EocOl'ltrmlOS I¡ pendiente de la recta:

5-(-2) m" .. 1,

3-(-4)

de dooOe:

Con unaalculado .... mcomr.Jmos el ángulo cuya tiln~nte es Lyobcroemos (.1 .. 45~ Li r«n q.¡epil$~ por Py Qformaun 3rigulodf' 45° con el rje X(figur.J 2.15).

{2.3}

-, p

AI!1Jnasc.ulador~o ) c\oonttt1c ... puodoon da. 1M qulCloen gr;oclot o ... radia.-. AIeg~r ...

<t.q""loo~~~do .... g.ado .. Par~ ello 0"'1 ..... Ob" ....

SI ..... pugta ... 90."'. .. ti dando ... grados: si "1.~1 .• nnd~K

y

Q

x

-,

y

p

-, x

~.L16

y

1. &!contrar",1 ingulo d.¡> Inclinaci6n a do! la rt'(ti <JI" ¡>aSa por los pumos ~-3, I )YQ(O.1-3jj).

So/UcKm: &Kontl"ilmos la pendlencede la r«ta:

1-3n- l r.; m_ __,,3 0- (-') .

Con lX\j ~ encootnIrTlO$.¡>1 '~oCUY¡OUf9"Jl(ees - ( -J3) - /, yobtellmlos fJ.@.

De ¡~rdo (on (2.2) ~mos qU@<

Cómo gr~ficar 1 .. recta conodendo uno de sus puntos y su pendiente:s

U. pmdlft1~ nosdln(tÚ,nto subir o baJu_lkalmmtt' porcada unidMl QUf' .il.Yan­

Zilmoshorizontalmente. !Juremos esto pira dibujar una ~t¡ cuando conocemos un pomo de tlll Y su pmdlftl te.

1. Dibujar la r~u que p.na pOr~o 0(0,0) y~ne pnldiente ~ .

Solución: -"'% Apanir de 0(0,0) avannmos horiZMCalmeru4unldades (eldenomllllldor <kla pelClieltf') hacia la der«lla.l~ndo al pumo R(4, O) (figun 2.17). A panlr de ~te punto, subimos wrtlcalmentt 7 unidades (el numerador dela peodiemt).llepndo as! al punto Q(4, 7) (fig,¡r.l 2.18).

y y

Q(4 ,7) ¡ Q(4, 7)

0(0,0)--+_7_:-"_,°-:;' X

O(o,O),--+ ___ ~: (_',-:O)

X .0"'.

Tl"U<llmosla recu <p.>e' pasa por Iospuntos O y Q <p.>e tiene peodÍl!!1tt h @5láin(linadOlhal;ia la ~lIa (flgJra 2.1H

Comprolloxión: Apliumol la fórmub (l.l)a 101 pumol 0(0,0) y Q(4, 7~

7 -O 7 m _ _ _ _ .

4 - 0 4

2. Dibujar la recta que pasa pore! punto PO,3) y tiene pemliente- 2.

SoIuci6n: EKrlbimos - 1 <omo f· A pMtirde 1'(1,3) ~v¡¡"uamO$ horizont~lmente I unidad (el denominador de b pendiente) h~ia b d~ha.llepmlo al puntO R(2 ,3) (figura 1.20). A pmirde este punto. baj¡¡oos .ertic¡lrnente 1 unidades (bajamos. ya QUI! el nUl1'M!radorde I~ pendien[f es neg¡orlvo). llegando asl al punto Q(2, 1) (figura 2.21).

y y

P(I,3) p(1.3) . - R{2,3) .... -7 R(2,3)

1 Q(2,I)

1 2 J X 1 1. , X .... '~ ~.1.21

Traz¡¡oos la rectaquepa!a por los puntos Py Q. que lieneperu:!iente -2 yest~ Indin~~ h<Kla I~ Izquierda (figura 2.22).

Comprobación: " AplicamOl la fórmula (1,1) a los pumol 1'(1, 3) y Q(2, 1): -"'%

H m _ _ _ _ 2.

2 _1

Encuentra la pendientfde la recta que pasa por los dos puntosdado5.

1. 1'(-9,0).Q(0,3).

1. 1'(3, 2). Q(6.1).

l . 1\5, 7),Q(- 1,4).

4. ~-5. 5).Q(I , 1).

S. 1'(- 2,-2). Q(-1,6).

6. 1'(7.5,-2.2 ). Q(4.8,-5.6).

1. p(¡.¡).Q(3.l ). 1. p(-5,H , Q{8,t~

,. p{-t.-H,Q{-~ ,-4),

10. 1'(4TT,O). Q(O,9TT).

11. 1'(3TT, 5). Q(- 8TT,2).

n . P(-6, - 3),Q(4, - 7).

U . P! fi.l l, Q(O.1).

... P . J2 .8). Q(J2 .6). 15. P J2.2J5)Q(2.'¡¡ ).

y

16. Halla la pendientede I~s r«tas (.l, ~ (,donde ( , piU porlos puntos 1'(-5,2) y Q(-).4~ (,~a por los puntos 1'(-5,2) y R(4,2~ (, p;w porlos puntos 1'(-5,2) y$(-1,-3). Dibuja todas I~s rtCtasen el mismo sistema de tjts coordenados. ¡Q~ putdes d«lr ~ t5(iS rtCtall

17. Dibuja UN rteta que~se por 1'(1,3) y tenga ptndienteposltlvi. '" Dibuja UN rteta que ~se por 1'(1,3) y tenga ptndiententgatiVil. 19. Dibuja UN r«ti quepase por 1'(1.3) y tenga ptndientecero.

En adansQ,dibuja la recta que paupor el punto py tiene pendiente m.

lO. 1'(1,0~", - 2. 11.1'(0,0),,,,_- ). 11. 1'(-2,8),,,,-0. 2l. 1'(5,5).",-1. 14.1'(7,-3)."'_-1.

lS. 1'(0,-2), ", _ 4. 16. P(3,7),m--t. 11.1'(6,-2),m-t· 21. P(-),-I). m- ~.

19. Lo~rticesde un tri~ngulown A(I,8~ B(-7,4) yC(4,-3). Eocuentr.lla ~~nteckndi lado del triángulo.

]0. los l'énices deun triángulo son A(-5,6~ B(-4,-4) Y C(6,0). Encuentra la pendlentedendi Iido del tri~gulo.

Ecuación de la recta conociendo uno de sus puntos y su pendiente -.. % Podemos obtener la toJición de una recta de varias manms. dependiendo de los dito. que ",pimOS de eUI; reclprOCiml'l1tt, SI tenemos la f!CuaciÓn de uni r«ta, podemos escribirla en distintas formu yo~tentrde t5(as Información dirf!Ctl sobre la ff!Ctl

Formil punto-pendiente

En l':5tt caso, obtenemos la w;uaci6n de li rf!Cti i partir decooocer un puntO de ella Y su pendiente.

EncOntr.lf la f!Cuación del:a rtCti que pQS<I por el puntO 1'(5, 4) ~ tiene pendieme (uatro.

Soluo:i6n: Si Q(x,yl escuilquler otro punto de la m:GI. entoll(es la pendiente es:

1-' m o --, ,-,

Al d~Ja.r,otmm~mos:

y-' '.--. . -, ,-4 - 4(%-5).

EntKUKión t~mbién e~utisfech~ por 1'(5,4) (figuf1I2.23).

En genenJ. collsideremosel problem¡ de encomr¡r la ecuación ~ la recta que~n porel pumo p(x" y,) yde~p4!nd~mem.

SI Q(x,y) escuilqulerotro pootO M la recta, le debe satisfacer:

Al despejar. obttrtemos:

m .. l.::....l1.. x-x,

la CU~ ¡¡mblén es nd~hil por P(x"Y,~

(2.4)

Esta manera de p~ntar la ~ua(i6n ck la recta se llama forma l)utIt¡>.pendirm! de b. ('ICua.ción de la rectil. '1'\ ~ li obtuvimos ((loocie!ldo la pendiente y IX! punto de ella. Redprocamente. si vemos una ecuaci6n de t .ste tiPQ. podemos saoo por CJlé puma pasa la recta y qué pendiente t;elle (...er elsesurtdO ¡¡e los siguienteS ~mplol). -"'%

1. &1<:omrarla e<:UilCióndela recta quep.lsa por(4,-I)ytienepeodeJl(e-2.

54/u66n: U$amos (2.~) con (%,.y,). (4.- 1) Y m __ 2 yobtenemos:

Y- 1,- I1I(x- r,) y- ( - 1) _ (- 2)(x - 4)

1+1 _ _ 2(.>:_4).

2. Dir unpunto y la pelldientede la recta y -5 .. -7(x + 3).

Solución: L1ew.mosb ecUllción dada ala folm3 y - y, .. m(x - x,):

,-5 _ _ 7(%_(_3)).

y

1'(5,4)

, X

-,

- ,"

OIIdoYnp,mlOp{",.J',I~ ) '" "~_ro ... ,Ia ""yaclOn .,¡" .. _laq .... ~po,p yhen!l.,.ncl...,to, .. ,.. J'-".",(~-~),

y

P(O,2)

Q(l,-I)

r, - 5, ",- -:J, m _ _ 7;

dedonde tel'\emOS que la I«ca pasa por el punto 1'(- 3,5) y (1_ pet\­dlent4!m __ 7.

). Grafiar la r«ta cuy.¡ «uKión 4!$ 3x+ y .. 2.

Solución: I Primer método:

Uevamosl.¡ ecuKión dada a I¡ forma (2.4);

)'-2 = -)",

y-2 _ _ 3{x_O).

~ .!ll':l'lTIKión que obtenemos (Dn rsla ultima ecU.Kión es. QUI' la recta pasa por el punto 1'(0,2) y tiene pendiente - 3. Para g,afiar la ra:t;I, priowro localizamos en el plano cm~l,¡,no el pumo 1'(0,2). Expresamos L;¡ pendiente - ) como 1-. A partir de 1'(0,2) aVUIUffiOS horizontalmente 1 unkl~ Iw:la Iil der«f¡¡ (el denomlnildor de liI pen0 dien{e~ llegando al punto (1.2) (figura 2.24); a panir de este punlo, bOlj.uno¡ vemCOllmente 3 unio»des (b.lj;lmol porque el numerador es n~{iYO~ llegando al pum~-I) (figu,.,2.2S).

y -~ y %

1'(0,2) , _ (1,2) 1'(0, 2) , ., (1,2)

• X X -, ,...,." -, Q(J,-J) 'i, .... o>H

Ahora unírnoslos pumos Py Qcan una recta (figura 2.26).

y _ _ 3Jr+2.

Si ,, - o,<!monces y _ -)- O +2 .. 2,esdedr, la recta pau porel pun-10 1'(0,2). Ahora podemos tomucualquierotro ..... 10. de xy elKOntru el cormportdieore ~ y, por ejemplo. iI %--I,eorooces y - S.

H8TlO1~Il(Ontrado q~@! punto Q(-I,S) t~mbitn ~t6 ~rl! I~ rl!C­tao T ... umo~la rl!Cca q~p;\u ¡»r Py Q.

Forma pendiente-ordenada al origen

Mo ... t~mblbl conocemos la pendient~ '" de la rece,. y 1.100 d~ sus pun(O~ P, pero e~ punto es UIlO muy particular: ~ en que la recta cona el eje y; a b ordenada de este punto P, que usualmente se deoota (00 la letra b, se I~ llama orderroda (11 origen de la recea . Esdl!dr,lasc:oordenotdas de Pson (o,b) y b es laordenotda al ori­gen de la recea. Como conocemos un punto de la recta 1'(0,b) y IU pen.diente m, poden'losobt_r. por l"Oedio d~ (1.~~ la ecuación de la recta;

y-&.,II(":-O),

q,¡e también se puede escribir como:

(2.S)

Esta liltimHcuadón secollOcecomo la forma Pfrdjc,(urdeoado /JI orisen de Ii ecuación de la recta.

y

I'(o,b)

" tan a _ m

1. Enconmr la ecuación de la recu que dene pendiente 3 y que cona ell'j~ Yen el punto - l.

SOludOn: la pendiente es m _ 3 Y la ordeoad.t al origen es b_ - l . Sustituimos estOS valores en la ecuación (2.S); entonces:

AsL la ecuación busGlda es:

y_mx+b

y _ 3.u(_I) y_3x_ l.

y - )x- l .

En Inglatio"aM usa , -_ ••• pu ...... M<lumbr.Mno .. PO' , a unacon<Un,~ .. bltrar .... En ... mbio.n f<udo< lklldo«Je -'méflGse uSi , __ .1>.

laK1JacI6n,_",~+ ~

COlW<ponM a ~ rktacon r-ndIo>n""'q~coru'" .,hnb.

)

)

-,

l. iCu~16la peldientede la recta , _ - }% - 51 GrafiGIena ra:ta.

y SohlciÓfl;

-, X L1ecU3Ci6n dad;¡ esdescrita811a forma (2.$~ L1 recta corta 1'1 ~e Yen /)_-5, 1'5 decir, pasa por 1'1 punto p(0,-5) y tl_ pll!lldlll!lln!! m - - t - -t. Ahora elegimos cualquier O{fl) valor de %y lo sustituimos en la ecuación di' la recta para obten« ti valor ycorrespofldimte. Porejtrnplo. si x--3entol1«S;

-, R(-3,-3)

X

y 3x-3y_S

a

X

~

_'o

E'(O.-5) , , _ __ {_3)_5 _ _ 3. 3

~l?8

O SI'óI, la recu pasa umblm por 1'1 pumo R(- 3, - 3). Truamos la recu que pau por P y R (figura 2.l8~

3. Gralicv la recta queliene porecuKI6n 4x - ,_ -3.

So/ud6rr; Escriklmolla l'C~i6n en la forTThlpendiente-orden¡da al ori:¡ell, esdecir, deja~s li vui.l.ble ,sola en uno ~ los miembros ~ la ecuación:

4x-y _ _ 3

-y_-4%_3

y_u+3.

la recta COrta el eje Yen b - 3 y tiEoe peldiente m - 4. t. Mat<:lImos el punto P(0.3); ¡~rtir de ahl a ..... nzamos I unidad ala

derecha y 41lacia amb<J para lIellual punto Q( 1, 7). Truamos la recta que unePyQ(figura2.29~ -.. %

4. En<ontmel ~ngulo de Inclinación a de la recta 3:.: - 3, _ 5.

So/ud6rr; Debemosll!llconUllr primero la pelldientede la recta. Para ello, la escribi· moslI!Illil forma pendill!lltl'-Ordeniida al origen:

3x-3,_s -3, - -lu5

5 ,-x-J'

L1 pendiente de la recu 1'5 m _ 1, es decir, lana _ l . Debemos uur u~ calculador .. o, simplemente, acordamos del tri~ngulo rect~ngulo cuyos mgulos agudos miden 45" pillra e'KOntrar que el iÍngulo cuya tangente es I 6 a _ 4S".

El iÍfI5Ilo de inclinación de la ra:ta 3:.: -3y _ S es45~ (figura 2 ,30~

S. Encontmel ~nsulo de inclinac:ión a de I~ re<:(~ J3" + y-I .. o,

SoIuQ6", EKribimos la ecuac:ión m la fomu pendienteoOroenada ¡J origen par~ l!nCootrar la pendiente

J3,,+ y-l _ 0

y - -J3x+l,

~SI que m - -.ji Utiliz~O un~ alcul<ldora. erKOntram<lsque el in¡ulo cuya tiln~ntees-( - .f3 J • .jj es p. 6O".Tambiénpodemcsobtenerete vaIorrecordandoe) uii;ngulo rect.inguloruyos ángulos ¡gudos midm 30· yflf'. ~ ac:uerdocon {2.2}. [mm"OO$ ~

a .. 180" - 60· .. 12(t.

El ángulo dei,.cllnac:ión de I~ re<:[~.f3x + y- 1_ O es 1Ul"(ligura 2.31~

6. EIIIIÍmffi) ck MadI Alde un .~ón l~defiflE' como el cocieJ"Ke de su velo­cidad v.,mtll' la wo1ocidad deI~ v., ~e pue:le consi~rar¡e cons­tante aunque disminuye a medida !pe baja la temperatura de la almós­tm..AsI, Al es¡ádw po rlacu~n:

Esta ecuación representa una recta ~e pasa por el ori8e)"l jb_O) y cuya pendiente es m .. v.. Según su velocid~ de vuekl.Io.l a-Mr.esseclasinan por su númftU de Mach eR: ... %

• Subsónlco si M <0.7. • TransónlcoliO.7 <M<I.2. • Supersónico si I.2 .. M<5. • Hipersónlco si AhS.

El ntrn.ero de Mach esun nUmftU adimmsiona~ es decir. un nUI""nI!JO que no tiene,uociidasunidades fisias q.¡e lo delinan.

~nrr.l.la ecuaOónckla recta QOI!' pasa porel punoodadoyrieJll'penr:iente m.

,. R::2,3),m-- I. • ~1 .2S.0.sJ,m.-6. , ~-2,7), m_S, ,. ~O,4),m- -t .

• F(-I,-5), m_o' L F(-S,-5J,m--f·

•• F(8,O), m _}f. •• F(3,- 7),m-t· , ~-9,-3), m __ Io.

AM'''n ~!lIRI ~ _ )

de M.io:h lbnsl ""iCh 11J8.1916. fI~<o y ~1600b ... u,~) ....... trobljos

yen...-.:J6"pnndpio dr Mod> dk:lendo 'Ia

mua 1 .... "'lal no IU ~"" ca' ..... ,'«1t.a ."rln-.a d .. .., mJWII.<inO ~""modKla

de ... a<opIaml8>to con" _odf.l ~nl ..... ,..,.

) Ono, .,...,plo. dio lU_adlm~m."_

"'n~ln"""",<M~~""

qHH utlkzunmedn~ de H .. do.,., dt 1Iio~ uMdo tri ~k:uloldt I;ran~slón

de c.alo,; ,.1 dt fmntl. ..UUdoenOpllca

Laec:uac.:indedemaoda ) _ .... Leyde ..

6om_ .. .,.."..,da d!unbl<!nooeNlc¡g dI .... -.u~ .... p<ec¡g IUrMn ... ~ .. lnc .. _n ... ~.I p,..bdkmln"~.

H~II¡ I~ ecuación de la fect~ ""e tiene pendiente ... y que COrt~ el eje Yen el punto dado.

10. m_3,b_lf. 11. m.O,b_5. 11. m"¡¡ , b_o. lJ. m_ *.b_-8. 14. m--12,b--t. 15. m_7,b .. _ }.

16. ,." .. t.b .. ,. 17. m _ l, b- l6. la. m.- IT.b-- ~ .

19. m- -6.b- ./1. lO. m _./5 1>.- 4.

21. m- -Fo,I> - - /:¡.

11. 3y-5x _ O. la. 8x+4y - - 16. 2). y .. -2. 29.3x-5y-8 .. 0. 14. 3x+2y.-9. lO. x+y-7 .. 0. 15. -2x+5y .. 3. 11. y-1. 26..4x-y - 1I. 32. -h. }x - - i . 17. -9y+6x .. - 18. ]]. h+tx-12-0.

14. En~tr;l I /II"ClUción~larectaoorizon t~lqOl'panport'lpuntoF(-2,-4) y graflcila .

1S. Una rKU con p!!nd~me - 2 pan por t'1 punro P(5, - I). U. ~bsclsa del punto Qqueesti en tos" recta es l . ErKuentr;l 1" orden.adadt' Q.

36. U\~ recr~ con pendiente -t,- p~ por el punro p(-4.S). u.~bscls¡ del punro Qquee\(á en esa rectaes 3. Ell(uentra la orden.ada de Q

37. Encuentr;l I~ ecuKiÓll de 1 .. recu ""t' p;l$~ por t'1 puntO 1'(3.2) y q.re corta el eje X en -8,

la. Deduce la rorma peodiente-atiKia al origen de la ecuación dt' la fl!(ta. Es decir. ellCUentr~ la K UKl6n ~Ja rect~qlf!! d_ pendiente m yQtH! corta t'1 eje X en t'1 punto.:l.

Encuent", eI.t.ngulo delrKllnoklón de la recta dada con el eje X.

19. Jix + y+6_0. 40. .[3x - 2y - 5_ 0. 'U. x - 2y+3_0.

41. x+y+4 .. 0. 43.5x+6y- I2 _ 0. 44. 7x-3y + 6 _ 0.

Ecuación de la recta conociendo dos de sus puntos

Un ~organiza Ql p~a las gruta! deúcahuamilpa. Al haar el aNlI!'! del C05tO,

se detetmjrg que sj a5iSlen lO nillo5. el (0$1;0 que debe a..bír cada lr.o debe ser de sso. Si van 40 niños, entonces el cmto ser.! de S75 por riño. Suponiendo que la eaaci6n de demandi es lineaJ.iCuil serfa el (05(0 que debeabine por peDOOa si a$llten 9Oniños~

So/ud'm: U. ecuiKión de demanda relKiona el número de dem~nd .. nteS (ni~os ¡!iKentes) ron el cobro por att'nder a (;Ida uno de t'11as. Qlf!! la ecuao:;lón ~ lineal ""óere decir que St' cr;lcadt' 13 ecuación doe una recta.

ll¡m~mos;t ¡Inúmero de nil\os y p~1 precio ""e debe ~r cad~ uro Conside. "uemo¡ parejas de la forma (;t, pI. Con los datos del problema, [tllfmos P(3O,80) y Q(4O, 75) (figur.l 2.32).

Y

•

1'(30,80)

~~ R(9O,45)

10 lO J<I<40 30 60 70 10 90 X

~.'J1

Ahor.llrlegimos tualquler.l de 10sdo¡puntosqlll!(O noctmOs, dl¡;¡mosQ(40.15), par.l usar I¡ forma punto.pendiente (Vi) y encontrar I¡ tcl.Iklón de demanda; es <:\Klr. en I¡ etuiIClón:

p-p,_m(;t_;t,),

!USlituimol 101 valores numéric:os conocidol p;lril obterter:

I P-75 __ _ (;t_40 ). ,

I p_· _ ;t +':I5. , De maner.o que ¡;j asisten 90 nii\os, es dedr x - 9O, tfltOl1Ces al lusrirui, obtenernm.:

I p .. - - (90) +95 .. 50. ,

Es d«ir, cada niño pa¡aQ S50.

\bmO¡ahOrol cómo encontrolr, en gI!Ile ..... 1¡ ecuación de la ,ena ""e p;ll;;l po, do. ¡JJntosdadosP(x,.",) y ~'''l\(onx, ,,"x , .Simnocemo¡dospunto¡de I¡ r«til, podemosencont'tr w pendiente:

171."-"; x, - x,

, ... dos",,,,,,,lon~ )

1- 1, - b.:.lt{x_lr,) JI',-JI',

0-Y," L..:.L.(x_x,) ",-X, _pmdoon .... f'KUI

_p.MlIpo.losp"nl<>J

I'{%"',J yQ(z,'I,J· .... p .. q ... .r, .. ".

y ,

1'(4.-1)

ahora. com~ndo cu.llq.Jier.l ~ los dos plSlCOS que cooocemos. dipmos P (:l:I'Y'~ podemosen.contnor 1<1 ecu.lción en su form;r, plSlCO pendiente (2.4):

(y-y,. ;: =!: (:1:-:1:,).) (1.6)

1. Encontnor laecUKIÓll de la reca.que ~ por 101 pUntOS P(4. - I)y Q(8.3~

Solución: Usamos [(4. - I)mmoel plrlCodecoordenadas (X,.1Jy SU5tituimos m (2.6):

Q(8.3) "

1-1, -1' -Y' (:I:-:l:,) x,-x,

3 - ( - 1) y_(_I)a --(x _ 4) ,-, ,.1 y+I. - ,- (x - .1)

y+l_x _4

y.x-5.

x Vt.!.monhot" que ~ si. en lugu deelegir P.elegimos Q(s, 3) CQmo el punrode coorden~ (x,.y,) pm ~r l.l sustituCión m (2.6):

..... ll'

y- y, . y, - y, (x-x,)

~.-., -, y-' --(x-8) .~,

y_3 _ --4 (x_8) -1

y-3. :1:-8 y _ x_5.

Hemos obtmido, como er.l de espffilrlt. b. misrThII ecuiKióo (figura 2.33).

1. Encnnuw la ecu;oeiÓlldebo recta qut pHll por los 1',.11\10$1'(5.2) yQ(7. -2).

Solución: ~mM Q (omo rI punto decoordm,adas (.1). y,) y sustituimM m (2.6):

y- y, a lL::1'.t.(X - X,) "',-)1;, 2- {- 2)

1-(-2)a (%-7) '-7

y + 2 __ 2(:I:_7)

Y __ 2(x_7)_2

y .. - 2%+ 12.

También podemoscaJculu. primero, la pendiente:

-2-2 m _ __ _ _ '

7-' ydespoés sustituir en la «uación tH) (figura 234):

r - (_2) .. - 2{x - 7)

y + 2 .. -2x+ 14 y __ 2x+12.

y

" "

p

• • X

-, Q

Rectas vert icales

Us ecwdo~ ~n~riom sirYl!ll p.lra rtpmeflUT cu~IQUier T«tiI .

~epto las rto:tas vertin!es. ya que e\tas no tienen pendiente. S·n anb.u¡o.las l!ClIiIoCiooes paralu rectill ven:lc.lles son muy sencillos. pues rodas sus punros tienen la mism~ primer¡ ooordenada. AsJdil «¡ación de la recta vertical qutp.lsa por el pumo (h. k.) es: ~

.",%

1. Escribir la eaJación de la recta verwl que pas.a por (3, 2~

Scluci6rr;

h

la ecuación de la recta ~Ical que pasa por (3.2) ex_) (figura 2.36).

:1 ¡ ~j,,) ~

-,. y

X

x_h .. laKUXi6ndorll ) fkta ... rualqu."", ... P"'elp""1O IlI,ilpara Qlalqu~wla,<Mk..

En cada aso, escribe la ecll.1d6n de l<I recta ~ pasa por los puntosebdos.

,. P(3,-4~ Q(2,2). •. p(-M),O(!,-1). ,. 1'(4,0), Q(-7,-I). 7. 1'(7,2~Q(2,7). •. p(-6, 8~ Q(3,-1). •. P(-,.,7), Q(-"H). •. p(\,5). Q(,¡ ). •. P(-II,-31 Q(-I8,-24) .

s. p(~, t),Q(t,H·

En cada caso, prueba que los p~tos ebdo¡ IOn colinem y mcuentr.lll<l ecuaci6n de la recta que pasa por ellos,

10. P(-2,3~Q(1,2),R(4,1).

11. P(-4,-31 Q(-I ,1), R(2,S).

11. p(O,7),Q(5,-I3).R(-2,15).

11 1'(5,-3), Q(o.-5~ R(IO,- I).

14. P(7,1O),Q(Vf),R{-~,-t'-). 1S- PÜ.-l!~Q(- t,-f),R{ I ,- !f )

En cada taSI}, :;e d~n los vffiices de un triá~gulo; dibúj;llo y erKlItf'IUil l<I¡ ecui>CIo­nes de 1U$1&.

16. A(-S,3), B(I,3). C(-I ,6). 17 . .A(8,0~ B(2,-2~ O:-S.I).

11. A(-3,2), 8(4.4). C(6,-3). 19. A(-2,5), 8(9,-S~C(7.0).

20. Los vértices de un (uadri~tero son 1'.(5,-2), 8(4,4). C(- 1,2). D(-2,-2). Di· búJ~lo y eJI(lItf'IUilI~s ecuxlones de IUS IiIdos y de:;us di.lgOn~les.

21, Halla los puntos que equidisten de IOS'puntos A(-7,5) y 8(6,-3).

EncumU1lla ec::uacl6n de l<I f'@C[aquepaSJ¡.eorlospuntosffi@dlosde lossegmm­tOS ABy CD,donde:

12. A(9,-2), B(2,-I). C(-S,3), D(-2,7). 23. 1'.(-4,-2). B(-I,-4). C(-1,6), D(I,2). 24. LhiI compañia hace una (otizaci6n pmo un banquete. de maner.l que el costo

es de $I2000p¡r~ 100 personas. o de $16500 par¡ ISOpersoO<l.l . .. ErKlItf'Itr.li1a ecuación que dettfmin~ el costo del banquete p~r.liX Pf/f$()­

nas, suponiendo que estli d¡do por la KUKi6n deuna recta. b. ¿Cu.1mo (ostaría el b.llnquete plIr.II125 pE'rsonu?

2S- Un viaje con boleto de avi6n incluido time (ierto (OSlO por persona, Si se de­sea pmNJlectf un tiempo ma)"CIr en el lugar, sedebe p~r una cuota óldkio­na! por noche.. Con perma~ncia de dos nodles adicionales, el p¡go [Oral es de $6400 y. con seis noc~ óldiciona'es, el (OstO es de $8200. Lo5 ~ljmen[Os

no están incluidos. .. Encumtr.l, :;uponimdo que M dado por la ecuación de una recu, el

COstO tOtal del viaje COn "oornes Idkion~les. b. ¿Cuil es el costo sin noches adicionales? ~ ¿Cu.1nto(ue5(¡¡' OO¡¡, noche~icion¡11

16. 1kI punto P{x,y) equidina de los puntos Q(-4,- I) y R( 1 ,-4~ La rKta que une Peon el punto 5(-3,3) tiene pendiente- l , Encuenm lascoordemdas MI punto P.

17. COnsidera el cuadriL!.tero con 'o'b-ticesA(-6, J), B(-3,-5), C(2,-2) Y D(3,3) • .. Erlcuencr.llos pultosmedosde ABy CDy la KI.lKión de la rect;l qUf.' los me. b. Halla los puntOS medios de l'tD y Be, Y la ecINd6n de la ~ta que los une. t. Encueml"l. el punto de intmeo::dón de las rea:asobtenidu eJ1101 incilol

anteriores. el. Localiu los puntos medios de lu diagonales AC y SD )'Ia KUiloon de la

IKU que los une. l. Prueba que el punto obtenido en el Inciso c.esd sobre ka reaa que obtu·

visteen el el.

Forma general de la ecuación de la recta

Nos gusurla [eJ1~ una forma de IaKuación de la ~tól quecubrier~ ¡anlO lal ~tas venialescomo I;u quena lo IOn, E$Jj\es IaJ(lt1J1(J gnremlde la Ku}(ión de la recta y se obtiene powndo todos los u~rmi~~) Kuxibn a un mll'mbro. de manen que esle quede 19u.alado i cero: -;.r.

1. Escribir la Kuxión y. 4;>: + 5 en la forma gl!ner..1.

Si pasamos todol los tffi"nlnol ~ un lado ~ la Kuxlón,llbtrrtemos I~ ecuación en su forma general:

4x-y+5 _ 0

2. Escrib ir, eJ11a forma general la ecuiKión de la rect¡¡, que pu:. por P(-3,2) y tiene pendiente 8.

Solución: U forma pumo·pendiente de la Kuación de 111 rKta es:

efeau'lfldo luoperxiones. y puando todos los terminos deun llICIo de la Kuxión. obt~nemos la forma general de la ecuxión:

"'_JO<U SI t

y

,

-,

"+y_7 _ 0

). &!contra. la forrN ~ral M la ecuación de la recta cp.>e pasa por d punto 1'(;4,3) cuyo ángulo MinclinKión es 135'.

So/UcKm: Debemos encontrar la pendiente de la I«ta para poder utilizar la ecu.a· dón de la !«ti cp.>e pau por un p~t() <:OIlCX;ldo y t~ne una pendiente d.KIa , La pendiente de la recta es la tangente del ingulo que forma dicha recta con ti eje X.

",o. tan 135' • - tan 45· .. - 1,

y.l que 135" y 45" Ion Migulos suplementarios (el valor de tan 135" tam· blhI se puede obtener dl!l'Ctimente uundo una ca/oJladora). La ecua· ción de la recta es:

y-3.-1("-4).

P(4,3) Pas..no¡ todo al primer miembro pan obtener la ecuación en la forrrno geom~

x ".U1

"+r- 7 - O.

la forma general de la ecuación de la recta e¡" ~ y -7.0 (fI· gun 2.37).

4. &!contra. la forrrno genmol dela ec~<Kión de la recta vertical que p.1Sa por

el punto (-4,5). "

Solución: .,,% COmo la I«ta esvertlcaL entonce!todossuspuntos tienen la misma pri· mera coordenada y. como la rect;;¡ ~ por (""""" 5~ ese valor corniln debe ser-4;dedonde la ecuación es:

,, _ -4.

Al pasar todo al primer mitmbro.obtenemos I;J ecu.ación de la recta en JJ forma gener.a~

Consideremos la recta 1", + By + e .. o. Enonces al menos uno de los ~ coeficien· tes A o Besdistintodeo.lefl tantoqueCnotienere5lricciónalguna.

Si B -o. entonces A .. O yla ecuación se nrlKe a Á1:+ c- 0, es decir, le uata M la n!Cta vertical:

e ".--. A

SI B .. (). emOrKe!i I.l rect.l A.x .. By+ C _ O tiene peooienre m. -f y orden<lda ¡j origen -~, )'lI que <11 despejar y le obtiene:

A e y __ _ x _ _ ,

B B

que es 1<1 ecuacl6n de la rect<l en su forma pendiente-<)rdet\.ilda al origen:

Mi,m-- h b-- i · Observamos que pMi que la recta A.x + By +C _ O ~a venic.d es necesario y

su~me que B- o. En partk;ular, 1I B .. (). entoll(es lóI recra con tcuad6n g.entral A.x + By +C _ O no esvertical.

1. Enconlnr lapendiemeylólordenada alorigen de la recta 2x- 5,. +1 -O.

Solución: la pendiente es:

2 , m ____ _

-, , y la orden~a al origen. , , b __ _ _ _ •

-, ,

!ii una ecuación se obtiene de otra efe<::twooo las operaciones siguientes; Sumar la mi$fN (;)ntid~ (que puede seruna exprt5i6n aigl!braka) deambos loldos de una ecu.lCi6n. Multi plkar amboslildol de un¡ ecu.lCi6n por la mism;J. c.ll1tid.iJd distint¡r, de amo

&l tonees. lu do¡ ecuaciones wn equil'GlDlUS.

Oos eclLilciones que son equiv~lemes represent.1n el mismo lug¡or eeométnco. En el aso de ecu.lCiones lineales en dos v.ariabla. rep~tan la mi5fN recta. Ob~rva que I.l forma g.entral de la ecuación de la recta puede escribirse dedi~um¡neras. )'lI que ¡i multiplicamo¡ la tcu.lCi6n:

Pen,sa!"ien~ cmlc<Y • En laecu;oclÓf'l9O"'efal de la ~""+Bl'. c - 0 •• 1 C - OyA.O.¡q..,¡t1podo

~H'

por un~ ronst~rlte Á distlnt~ de cero. obtEnemos I.l ecuoldón;

).A.;t + )..By + }f; .. O,

1. Prob~rque las uesecuaciones sigl.ientes son equivalenteS:

5011ld60:

3'%-6,+12_0, .o:-2y+4 .. 0,

- .u2y-4 _ 0.

(l¡tenemOsla segunda ecuación mu ltiplicando la prlmm por !:

3x-6,+12_0

!(lX-6Y+12) .. O , x-2y+4_0.

CbttnemOsL1 tft«'1'1 multiplicando la ~nda por (-1):

x-2y+4 z 0

-{X~+4).O -~2y- 4_0.

-"'% I'OrúltimQ.obtenemosla primera multlpllcul<:1o la tercen. por (-3):

-x+ 2,-4 _ 0

-3(-%+2)'-4) _ 0

:lr-6)'+ 12_0.

(1.3)

AsI, I.n ecuaciones son equivalentes. Las treS representan b recta cuya «uaci6n I'S(ritll en la forma pendiffit~rd .. nada al or~ es:

, ,_ - x+2. ,

E5u ultima e:uaci6n es equivalentea las ameriores. pL1e5 seobtiene a partir de cualqum de ellas utililiilndo 5UCesivamente las dos o~ione que producen ecuiKIonf'$ equivalentes.

Encuentralil ecUilción de II recu que plSl por el punto P y tiene pendiente m.Elcribel¡ en la forma ge~ AA + By+ C - o.

•• p(-S,O),m- t . < P(--4, -I ),,,, _5. , P(O,n).m- f · • p(-'¡iJ2),m __ ~.

1 P(Ó,3), m .. -1. • P{- }.}),m_7.

Hall¡ I¡ ecuación ~ I¡ recta qo.t(' plSiI por 101 pumol P y Q. EKn"bfl .. en 1 .. formlgmel3lAx+ By +C- O.

7. P(2.-3), Q(6,- I) .

• '(Ji,.),Q(-3,-3). 9. P(O,4),Q(2,O).

10. P(-I,O),Q(O.I).

11. p{-t.-ft).Q(lA",5ft). 11. p{V • .!.). Q{.y. ,i- ).

U. las e5ulas en gradQsFahrmh-eit o Cels.ius (en gradoscentlllJ3dos) pal3 medir li tempffiltul3estM1 ~iOn .. diilS por 1 .. ecuKión li1ea~

C-~(F-ñ). , Gl3liu estOI recta colociodo Fen el eje tlorizonul y Cen el eje venbl ,,,,,,,,Me a, iA Cu~ntOsgrKIos(enógl3dol equivalen 32°F, lOO"Py 410"P. b. iAcuántosgrKIosfahmlheitequiva1en 3ó.S"C 100"<: V10"o. c. ,En qué valor coirKiden lu escaluCelsiusy F¡llmlhélt1

.",% Encuentra la forma ~ral de la «uKlón de la recta que pasa ~or el punto P 0ly0 angulo de Indlnacl6n es a.

17. P(- I ,-5),a= tíO°. 1 •• P(5.3), a=3Q~,

19. P(2,-(i),a=45°,

EKrtbe la forma general de la ecuación de la recta con pendiente m y orde­nada al origen b.

20, m __ 5,b_ 1. 21. m _ 8.b _ _ 3. 12, m_2.b_6.

23. m __ ! .b __ 10.

24. m -! .b -+, n. m __ l,b __ f,

~ermina si la recu daclil es o 00 vertical.

26. y"ZX. 27,5y - 0, 11, -x-y- I _ D.

29.x - 32_3,.. )O. -.>:+25 - 41. 31.7x + I _ ,.,

Pen1a,mien~ cmlcO" • En IaKllkI6n~nefal de la recto Al: + B,. e -o, si A_OyB~O •• qy" dpo<M

' 1Kta1Hf

L"cuk~n~+i"'l se] llamo """'" :mliriaJ ck la «UGCidnckl<1 reaa. que «>rtuleJe Yen ~yeleJe x~.

Forma simétrica de la ecuación de la recta

podemos escribir;

Ax+By _ -c.

Si C .. o. podemos diVIdir entre -C oblemmdo:

si, ademh,4 y BtambiM 50n distintos dtCffO, podemos escribir la I!CUolCión antt­norcomo:

~ ~+.L_I ~~ -i -~ . .,

Uanumol <1 _ - '1 ¡". _ - ~ y escriblmoi:

[ ;+~_1_) (U)

Esu. ecuación se llamafomlll simtui91a ~cua,ión dr la rrda y (lene la YeI1(iJiI

de cp..Ie en el ... podemos ver expliclu.e los pumo, donde la recta (orta lo, dos e~ (figura 2.38~ -"'%

ObsuVllCio"es; t Si x_ o. Olxenemol)' - b . • SI)'_O,obt_mO$x_a.

y

, x

...... >.:11

~ luobserv.Kio~ anteriores deducimos que la recta corta ~ eje Yen,. - f¡ y ~ eje X en x - a.ObserVolITKl$ que un.a. recta COrU ambol e~ en puntO. distintOI del origen si. y 5610 si, en su ecu.ad6n, en forma generaL ,4,,0. B¡oO y C¡oO; solamente cuando $ecumplen enu condido~ le ~uede escribir la ecuación de la recta en la forma simkrin.

1. EnconUllr la e.:uación de I~ recta quecoru lo~ ejeien (S,O)y (0,-3).

SoIuci6n: Hacemos ,,_ S Y b_- 3; ahol"ill. sustitlllrTlOl en la ecuac ión sim~r1a;

- 3x+Sy ... 1S_0.

2. Encontrar 105 puntos en los que la rect~ Sx +8, -6 _ O corQ los ejes.

SoIuci6n: P¡sarTlOS el término irtdepertdier>te ~I otro lado de I~ ecuación y dividimos en[re~:

que puede escrib¡~ romo:

~+8y_6

5x +!t_ I , 6 6

~ Alt la remcon:a los eJes en (t,0) y(O.t).(flgul"ill 2.39). .",%

COnsideremos la recta Al: + By +C _ O. Cuando e_o no podemos pr5enc;¡r la ecuacKin en su forma slmhrica, ya que en <5le aso tenemo.::

y no podemos dividir entre cero. pero ¡ur> podemos determinar la intersección de la recu con OO¡ urtO de los ejes: a ambos los interseca en el origl!!'l 0(0,0). Esto es fkll decomprobar, ya que:

A'O+S'O_O,

es decir, 0(0, O) pertenece a la recta yobviamenre 0(0, O) tamb~n esd en ada uno de 105 ejes.

Sin embargo, cu~ndo de una recta (figul"ill 2...0) ~ólo sat>ernos quecorn 105 ejei en el or~n 0(0,0). rtO es po~ible saber ele cuál se uua. nec~it;¡mo5 conocer mis información sobre ella.

-,

y

• X

IlOSMU,..bnnlrMs<M ) .. ",,,,,,,l6ndo»"~ que lO< l. ro'mI norml~ ¡rCOO<ll·l_"'-P_O msmaque usado. P;O'~l/'DS::o>yp.1tI

phmMOlHun w,guloyal ...,..rdoClunidl~

y

! X

D~en cada cno, qué información inmediata teproporcion.1 Li ecuación.

.. y- t x.8. . . ~ · f -l. l. ~ . ~. l . 10. t x.5y- 12-0. ,. 6x - 9y.7 " 0. 11.5x - 8y.3 .. 0. •. x-3 . 0 . 11. y . -20x. .. y +I - t(x-J) . 13. y.f- -4 {x+7). •. y-2 .~{x-6). 14. y.8" ~{H9) .

7. y+9-0. IS. y- -;tH4. l. y . -x.

Escri~ LisslgulemesectUClones (\f, recra¡ en la forma Ilmérrica y gr¡flall.l..

16. J .H8,-6_0. 11. 6x - 5, - 3O .. 0. u. y ~tx+ t. 19. y - "" -~(H4). lO. 2x.201--5-0.

21. y+7.6{X- 4). 22. 2Ox - 5y.25"0. 21. 4x+7y-28 .. 0. 24. y ... -;'; x+3.

Encuentra Li ecuación (\f, Li recta que,orta el fje X en ay el fje Yen b. Elcri­bela en Li fol'lTU general.

25. ¡¡ .. -5,b_8. 26. ¡¡ __ 3,b_5.

21. Encuemra Li f(uación del~ recta quep¡sa pore! punto 1'(1,4) tal que Li dlu:ancladel ong,n al pumo de'~ecd6n de LirK1:acon el lje X IU Igual a Lidlstancla del origen al pJntO de Interseccl6n de la recta con el fje Y. Sugerencia: us.a la forma simárica de la ecuacl6n de la rK1:a.

Intersección de rectas

Un f¡¡bricantede .... dio~ tiene COsto¡ fijol d~ SI40diariol mi¡ Snporcoocepto de mmo d~obra y mattnales por ud¡ radio fabricado. ~ cada apa .... !o es vendido en SI07.¿cu.1mos radios debe producir y vendl'fcac:L. diael flIbric:anl1' p;l.ra pr..ntiur que 110 haya pén::hdu ni pna neiasr

Solución: El COstO totoll de pro<1xci6n de xr~io¡ al dLi es:

puesto quecada ¡pa .... to ~ ~m 5107, 101 ingreoscornspondim¡es IOn:

l (x)_ I07x.

P~ra pr~mlzar ""e no Ill yl pb'did.ls ni gillilncias. el COito to(~1 y los ingrews deben ser i¡pules, esdecir,

.. "",d.

,(x)_ e(x) IQ7x _ 72r +1 4Q,

107r-72x _ l40

1<0 x .. - .. 4.

l5

La solllClón de ts(~ @(u~clón @S X - 4. De lo amerior d~udmo$ que, para que no haya p&dldas ni gallilnclas, debe prodllClry v«lder 4 radiosdiammmtt, lo que ~p~nr¡ri unrosro y un In~ 19ualesen(f@ s~ $428-

Ilbujarn:lo las rectas 'lOo e{r) y y_ l (x). que representan el COstO total y los Í"lgreIO$, oblervamos""e !tcon:an en el PUn(O (4,42S) (figura 1.41).

y

oro

' 00 y - C(x) - 72%+l40

->00

5abemosque, dada! dos rectas en el plano, su.:tde uno y lÓlo u~o de lo! slguien· res hechos:

t ~ron: an en un solo puntO (figura U2). t Son paralelas y distintas (fisura 2.43). t Son I¡ mism¡r, recta (fisura 2.44).

x

s.e<omn~unoolo I"'nlO.

FiIur.1.0

x

Son p.o.,ldo. 1 dinin ....

Rp'1.0

y

x

y

-, -, '" X P

x+3y+ I _O

5% - y - II - 0 r..,.l4S

Un punto en el pl~oo está en dos r«t.u si Siltlsface I.u ectadontS de ~moo m:t.u. Si tenemos liS ecuaciontS de dos rectas y q~mos encontr.llr su inters«­dóJl. lo qlM!' debemos !lacer es reso"'er lu ecuaciones simuldnea!llente. es decir. encontr.llrsussolucionescomunes. De;¡cuerdo con I,¡ diKu5i6n anterior. podemos esperar ur.o y $010 UrlO de los siguientes resultados:

Hay tro solo pUntO (x,y) que sadslice ambas ecuaciones. Este es el puntO dcmde se cortan I.u rea.u (ptrotO dt Intersección). Ninglfl pUntO I-atisf.\o::e ambas ecuaciones. Uis reccasson p3r.l1lewydiSl'intis. lis dos ecu;¡ciones son equivalenle y todos los puntos que SiI[~en una. umbién satisfacen la otr.ll.l.isdos«uaciones represent¡¡,n I,¡ mllrnil rect ...

1. Encomr.llrla Intersección de lasrecus Sx- y- 11 - O Y X +3y+ 1_ O.

5c11lli6n: ~s ~olver simultáneamente:

5x - y - II _0 x+3y+I_0.

(2.10)

Pilfilellmin;¡r l.I:1ól de las v¡u-ables, rrUtipllamos Iil prirnm «lQoon por 3:

15x- 31-33 _ O

.:¡Iy+I _ O,

lllmanoo las tcUidones anterior6:%bIerlemo¡;

16,,-32 _ 0,

x_2.

Ahofil. 5Ustitulmos este valor en laseguncb ecuación de (2.8):

dedonde:

y- - 1.

El punrodor.:le se conan Ia.rectlll es 1'(2. - 1) (figura 2.45).

2. Encontr~r I.l intersección de I.lI rect.u:Jx - y - 5. O ~ 6x - 2y -+ 7 .0.

So/f.JOO'" ResolYm1oS simult~ne~meme:

3.0: - y - S - o

6.o:-2y + 7 .0.

Multiplicando I.l prirr-.el"ll ecuación por - 2:

su:namos ~ obtenemos:

~x+2y-+ I O.0

6x - 2y-+7.0,

lo cual e$ falso. Por tanto. lis ~t¡S 00 se (ortan, es ~ir, son par.lll~as romo sepuedeveren la fiSUfi 2.46.

"y

3. Encontrar I.l Inwse.:cl6n de lurt<:ta! lx - 6y - 9 .. O ~ 2x- 4, - 6 .. O.

SoIud6", Al triti r ~ resolver limult.me.unente:

3x-6y-9.0

2x-4,-6 . 0;

multiplicamos I;J primm ecuoldón por 2 y I.l se­sunda por J, yobtrnemos:

6x - 12y - 1S.0

6x-12y-IS .. O.

Es decir, que liS ecuaciones originales son equi­Voilentes JI. entonces, lu 001 ecuaciones Inlciiles representan I;J misma recta (figura 2.41).

y

-. -,

F\<?n,.sa.mien~ CritiCO'" • ¡Cómo SO" la!! po .. ,n"",,",, deta._3x - l- s - o yh - 2y ~ 7.0f

• x

3x- 6,- 9 - 0

2x- 4,- 6 - O

.... . 1.<7

4. Con un~ b;lrriC<l de I 10 li¡rolde vioOl81e$eQUiere lleflilr 16I! bo¡ell.lS,unal de t litfO yotras de f _ <Cu~ntas bctell<ls de cada clase se utililarán?

So/UcKm: Llamamos;r a lu botellu de! litro ~ y a 1M de f de litro. PL\f\ce¡,mos el slstemadt«uado~

x+y_ 16I! , 3 ix+¡ y- IIO.

Despejamos xde ambiU ecuacioMS:

"".:0,,, .. ,,_-:,-, 3

x-120 - i y·

Iplalamos liS ecuaciones 1 resolvemos par.! obtener y.

3 168 - ,.·220 -'2 Y

11}4 .. y.

(2.11)

Sustituimos este \'lior de yen cullqu ler.! de 1.lS «uaciones (1.1 1) para obtenerel valordex:

X~ I04 .. 64.

Se udllnrin 64 botellas de t IIrrrii>J04 de t de litro.

Comprobación:

Pr imera ecu.acióf\: x+y.64+ I04_ I68.

~ecuacl6f\: t ;o:+ t y - 1(64 )+ t(104 )- lIO.

En CildiCilsQ, determini si In recussecortan o oo.Gr.!fia Wr«til5.

.. 3x+9y _ 12 •. Sx-8y _ 2

x-Jy.4. 4Q;r + 40y_U.

•• 14x- IO r _ _ S s . x- 3,.._4

7x-S,... -8. 3;r-9y_ 11. ,. )x+2y _ -4 •. - lh+4y _ 1I

6x+4y_20. 4x+2y __ 7.

•. 6%-3, _ 2 10. 6;.:+4, _ _ 2

2%+6y_3. -3%- 2y_ l.

• 6%+2, __ 7 1I. 4x-y .. - 17 2%+5, _ _ 1. 2%+y_ lI . •. 3" -4),-4 n . .Il" ... 24)'_2

2%-)'-ó. 2.u+6~y·5.

13. Determina si lis =US 5% - 6y" 0, 2% - 1 - 17 .. O Y lx - 7 y .. O forman un triingulo. Si e5 el gso, t!1(lH!ntra $U$ Yértices.

1 • • Determina si las recus 3% - y+ 23 .. O. 4% -+ 3,. -+ 30 .. O Y 3% - y+ 11 . 0 forman un tri.1ngulo. Si el el QSO, encuemu SU$v~rtkes.

l S. Encu4!mn li«Uadón cWla n!CUQU4!pasa porel pUntO P(3,2)y porrl pumo de InterJección de lu r«east+ f· l Y t -+ i - l.

16. Hallal .. «uacl6nde b. rKD.qll!! ¡mi por el puntO p(-.t.S)yporrl punto(\f, inten«cl6n de las rectas 1 -+ i .. I Y f -+ ~ .. lo

11. Prueb¡ ""e la rect¡ que pm. por los puntos 1'(3, 1) yQ(7,-2) divide en dos parteS iguales el segmemo que tiene como eJ«mnOslos pumos 1'\(-6,4) y 8(6.4). ~

11. Pruel:u qur 1 .. receiQU!!' pow.fKlrlospuntos P(2,-S) y Q(-1 , 6) dl~endos p.ilrteS Iguales el s~rlto que tlent como extremos 105 pJntOS .1.(- 3.-3) y 8(4,4).

" . Determina si Lu r«tas %- y- 2 -O, 3%+ 1-18_0 Y 3.1:+4,-27 - O ~ ron:;u1 en !Xl punto.

20. Prueba ~ la re::ta ~pas.a por los puntcrs P( O.t) y QH,o) corta la r«ta ~ paSo1 poor el orlg,en Y cuya pendiente es I en el punto de coordeoadolS Rlm.m).

11 . &lcuemn los y¡¡lores de I.lis constantes 11 y b t el que lolS rectolS ax+ 3y -11 _ O Y -x +by - 8 _ O Sf! COrtMl en el pun¡o-I'Q.5).

11. !Cu'nto miden Ios'ngulosde un tlüngulo 1I Sf! So1beque uno de ellos mide 21f. y ~ Ioutseantes,. el doble ~..-.o ~nol el out! es Igual a SO"?

23. La densidad del plomo ~nos la densidad de I.li plata es Igual a 0.88. 51 al doble de la densidad de la plata le restamos 9.59, se obtlene la demidad del plomo. Encuentr.ll.lisdensidades del plomo y la plata.

l~ . Es<ribe el número 49 como SUrN de dos núm~ de t¡J manera ~ un OJartOde uno deellos mú!XI ten:io del otro se¡, igual a lol

15. lkI nú~ro dedos cifrascumplecon las siguientes condiciones: la cifra de las unidades es trl'S unidades menOr ~ la de I~ decl'll~. Gnco W'cesla cifra de las decenas menos cinco wcesla de las unidades es igual a cel'0. Encuen· tra la IUrN de la cifra de las unkLades más la cifra de 1," decenas.

Ángulo entre dos rectas

Consideremosdos rectucI,I~lesquie .... l, )l.~secortel1 eI1 unpunto ÁComo se \fe en la figu1ll1.4S. En A, seforman cuatro iongum. los ángulos 0, y 0. son !Uple­mentarlos y C3d~ uno de los restantes es Igual a 6, o O, por ser opuestO por el ~I. ~. "'5~ sólo tlayqued«ldlr ~mre 0, y O,pa .... d~nlrel ~ngulo ~n~ las recta5.E$to crea cierta amblgQedad. palll evitarla, dlsclngulremosentreel ingulo de l , a t, q.¡e !e obtimeal ~r ¡irar,en !enodo posioYl)(com .... rio al de las INrt«illasdel reIoj~ a la m:ta t, (m:ta in icial) tlasu que coincida con la m:ta t, (recti final~ que en la figura es el ingulo (J~ y el ángulo de t . ¡ l , q.¡e en la fisura represenumoHOmo O~

1, y

1,

B,

a , 0, a ,

B e x

Por !Upuesto.alcooocer «o O~Q)oocemos tambM!n el Otro, ya que 50n suple­memarkll. la recra t, corta el lje X en By Sil ;i,ngulo de Inclinación es u,.ul"K(a t, corta el eje X en Cy su ingulo de inclinación es al'

Co05ldemnos el [l1~ngulo ABC; romo la!Uma de SIIS ~nBUlos Interiom es de 180", tenemos:

es decir,

(2.12)

asl q.¡e, para encone .... r el ~ngulo formado ¡>or las dos rectas, ulrulamos el ;i,ngulo de indioiIClóodela rKU Hnal (l,) meoosel ~ogulode ioclinaciÓfl dela recu inicial (t ,).

Si ninguna de las recras es verti(;l~ podemos umb~n expresar la rangenre de 6, en tnmlnos de las pendientes de las rtetas l , y l~ recordando la fórmula de la taogente de la diferencia de dos angulos:

( ) tana, -tana, IlmO, . tan a , -a, _ . I +tana,tana,

Si Ilamamo5 ni, y m, a las pendientes de t, yl .. emonces:

ni, _lBna, y m, - talla,

y al sU5Iltuir eo la ecl,liIClón anterior,obtl'tll'mos:

tanO,: JI'I,-m,. '-+".,m, (2.1)

Mora. ulculamosel ~n8U1o 8~ Como 8, y 8, son suplememaros. entOnces.

tan8, " tan(18(t -0,)" -tartO,.

esd«ir.

Observamos q..¡t. en cua Iquler aso, en el numerador aparece la pendiente de la reaa final rnrnos la ~nd~me de la tKra Inicial.

511a5 ecuaciones. en la fonna gen.eraL de t , y t, son:

A,X+B,.y+c, - O

~B,r+C, "o,

respectivarnrnte entonces sus pendientes swr.

Sustituyendo estoS V<llores en (2.11);

~~--~ ~O.- ~ ~ . 1 + - "1;" - "1;"

simplificamos la! frao:kmes y obtenemos:

tanO, - A.,I'I, - A,I'I,. A,A,+B,B, (2.14)

En general. la fórmula (2.1~) es!NS fiell de evaluar q..¡e la fórmula (2.13). con la """taja adidonal de qut' (2 1 ~) sirve p,tril akular el1ngulo entre 005 r«t;lS, aun en el aso ~ que una ~ellas sea vertical.

Ula form.l de recordar esta fórmul~ es la siguiente: Sf'~a encontrar la tangtme del ;ingulo 8, de la recta (, a la recta (,. Escribi­

rnos SUI ecuaciones generales en ese orden:

l, : A,:c+ B.y+G. .. o t, : A,.:c + 8,y+ c, .. O.

DICI.lutKtalf, y f, CU)'ild KIIIClO ..... lOn

A,Hl\1·C:; - Oy A,H s".c, -o, 1II1-p«1iy¡_n~ Ii Yrlgtnte del ;lnoulo 8,def"f,ti . -"'''' ... '" tan ,- "A, ..... '

)

Old.lM_.t,y', ) C\I)'M«UlICb .... ton }'- .... %.~, y,- .. ,,,,.b,, ....... 1I_te,1a tarogen!. doolllngulo 11, d. ',a,> .. tanO,_~.

En c.w.a una de ell¡s elimiOilmos las v¡ riiobles,los sigrtos y O:

A, R,

A. B.

P3r.a ot>{tllft" ~ numerador de la ffa(06n qU!! nos (la tan (J" IlaCflOOs la o~ra-

06n Indicada a continuacl6n:

Esdecir, A,B, - A,B,. P3 ra obtellft" el denominador hac:emos las o~lon~:

A, R,

1 1

es decir, A,:4l + B.a,. Al escrib,Ras como cO(ÍI'nte obtenernos el lado ck-recho de la fórmula:

tanO, . A,a, - .t.B. . A,A, +B,B,

Cuando de» rectal son p.al1llel¡s o coiro:::iden. erlmnces conYl:'nimosen decir que brman un ~f'>gI.llo deo".

.",%,

1. Encontrarel jngulo de I.a rectu: +3)'+ 2. O a I.a recta -;r: + 3y+ 5. O.

SOlución: Llamamos O al ~ngulo buscado. Detemlin..rllOS su wlor apl icando'" fór' mula (2.12). Como, en ~ caso:

e1mnces,

A, - 1

A, . -1

05eil, O es el íngulocu)'ll tangente esigual a ~ yenees 3UI".

Otr,\ foffil.l p,\r;l obeeoer I;¡ wlución es eoconer;lITlOS I;¡s pendierlres de !ti receu;

x+3y+2_0

3"a-x-Z , , ".-')x -) ,

Dedonde.m,- -~ y m,. .. t ·

-x+3,,+5. 0

3"ax-S , , ,.')x ~ ').

Uciliz.lmOi alto ... 1iI fórmulil (2.11) Y obeeoemos:

m,-m, t - (-~) 3 "",.--- _ a _ o

I+m,m, 1+(tH- t) 4

qu~es I;¡ mlslN ecuac::16n ~ y'\ resolvimos.: O _ 36.8° (figu ... 2.49}

Y

, x / ,

x + 3,+ 2_0

..... '" 1. Enc.oner~r el ingulode la recta 5x - 3,'" 4 ~ la rea~x ~

Soludón: -"'% llilmamos {I al ~nllUlo buscado. La recu x. 7 esv~rtlCII y;por tinto. no time pend~me. 151 ~ no podemos utilizar la fórmula (2.13): pf!rtl, eo GlImbio,la fórmula (2.14) 51 es aplicable. Observamos que~~ este<aso:

EntOl"lCes:

A, . S

A, . 1

B, - -3 y

B,.O. " ,

x. ,

• X

y

a

l. &lCOrltr.lre! ~rlgulo i\8UdO erltre lal reo:t,u 2..: - 31 - 6 -O Y X + 5y. 10 _ O.

5011106", Ú~lNmos t, a I~ recta 2x - 3y - 6_ (ly 1, a la recta x +5y + 10 _ O. Puesto

que amb3~ recns e!dn escritas etl I~ forma ~ral apllaremol la fólTTlu la (2.1 2) par.l4!l1(onrruel ~ngulo de 1, a 1 ..

En elle alO. tenemos que:

entonces:

n, __ 3

a, - 5;

Utilizando una u lculólOOr.I. encomramos que el ángulo cuya tI~te es - 1 es el árlgJloobw50 135' . Este irlgulo 5e ¡eñala enl~fi¡ur¡¡2.s1 .

Entooces, el árlgulo agudo buSGldo es su suplemennrio: 180"-135~ . 45·.

4. !Cuánto miden los árlgulos Interiores del tri.l.ngulo cuyos vbtices IOn A(2,6). 8 (-3,- 1) Y C(4,-S)?

501uó6n;

A (Z.6)

Dibujamos e! triángulo (figurll2.s2~ p¡r¡¡ enCOnlr¡¡r eI'íngulo tlrCillcuLlmos LlI pendientes m, y

m. de losl.ados AH y "'\.respecti>nmenre.: enronces:

_~.~ _ 6-(-s) ... _!! ni, 2 - (-3) S Y ni, 2 - 4 2·

Asi:

x

Entooces,

C(4,-5)

CalOJlamosla pendien:e /ti,de! lado Be:

- 1-(-5) 4 In, - - --o

-3-4 7

Mora. cakubmo¡ eI.mgulo p,e-; decir.

m -m f_ L f \ 6lI ~p __ ' - ' _= ( j __ ' dl!don~{J-84.20· .

I +m,m, I +f - f 7

y ~ ~ngulo r ~:

-""-=-""- - 1- H j 69 tan y .. .. "-. I+m,m, I+(- f )(-Y) 58

Ast r" 49.9S· .

Ob.servad6n: S~ podrla dar tambM!n solucl6n al último ~jemplo aplicando la fórmula {2.13} a cada uno d~ los (ft5 p;r,r5 d~ loldos \4 si ~n algpil caso obn!nft'OOs un ángulo obtuso. entonces IocambLamos por su suplemettarlo.

Encuentra el ingulo de la primera recta ¡la segund.!..

1. x+3y .. Oyx - y+SooO. 1. Sx+6y-7_0y4:r_3y_ I I_O. ). x - 2y - I .. Oy:r - y+I"O. 4. 4:r+y-7_0yx_6y+8_0. S. x -2y+S .. Oy3x-y+ IO .. O. 6. 2:r+y- I _Oy3x_y_4_0. 7. )'+3 .. Uy2x+)'+S .. O. a. x - S .. O yx+2y - S .. O.

9. Uncu~rilherolieIleYérticaA(2.3~ 8(3.2). C(2.1) Y D(I.2). Encuenua las pendiente-; de los I~ol y los ~n8UIOI interlore-; del cUildrjl~tero. Gr.tfl· ak>.

10. Un tri.!.ngulo tiene Yértkes A(-2,6). B(~,-I ), C(6,-2~ Encuenb'a las pendil'ntl'$ de 1o¡I;odos y los ángulos interiores eIfol lriingulo. Grallcalo.

11 . Una recta t, time pendientet. E1inguloque se forma, al ir eIfoau recu a l" e-; de45". Encuentra la pendieme de la recta 1,.

11. Una recIa t, time pendienre2.E1 ángulo que SI! forma. al if~6:a recu a 1" e-; de 13S·. Encuentra la pendientedeb recta t ,.

13. Los ladoselfo un triingulo seenaJmtrlln sobre las rectas 4.-. + 3 Y - 19 = Q. 3x - 4 y+ 17 = O yl.-.- ll y + 3_ O. EnaJmtrlllos ángulos interiores del triíngulo y di qu.i- tipo elfo DÜ.ngulo 1'$.

Para lelismo y perpendicularidad

Un número de ooscifrl$wmp!econ Ij$ $i¡uientesrondi60nes: la cifra de Ij$ unIda­des es lm Unidades menor que la de b.! d~j$. Cinco ve<es la Clfr.I de b.s decena! rntno!clnco Yeces la dt las unldildes es¡~1 a CffO. En<ontru el número

SOlución: Llamamos d a la cifra de las de«nas y 11 a h de las unidades. Expresamos la informa­ción en lengauje algebraico:

u _ d+J

Sd-Su_O.

Aprov«hamos cp..Ie 101 est.li despt'jada en la primera ecuación del sistema para su!druirb en la !~nda :

Sd-S(d+3)_0 Sd - Sd - 1S .. 0

- IS .. o.

Como - 15 .. O conclulmosquttl Jlste-na no tiene soloción. No hay un núrntrO que nustaga las condiciones dtdas..

Recordamos cp..Ie tsto Jignifica, geom«ricamente, que las rtetj$ rfpresentada! por estas «UiIdo1leS no se corno. es decir. son pafillelill.

OI;.$ervamos que, al esnibir la! e.:;uadoM!S en la forma gl:rw:-fill:

-.1+101.., _0 sa1'511_0,

.",%

A, .. - 1 A, _S

8, .. 1

8, .-5;

e1oonces. si O es el ~ngulo de la primera a b. sesundt de IJ,s dos rectill. obtenemos:

tanO .. A,8¡ - AA .. (-l)(-S)-S(I) .. .J!...- .. O A,A,+n,a, (- I)S +I (- S) - 10 .

De doode O _ O·.

u:. visto en el ~plo ¡nt<!fiar concuerda con nuestra convención: t Si dos recwroincideno wn pafilleW, enmnces forman un ángulo de (1'. 0Ir0

Cil50puticularmente im portantees ClIanOO dos IlI'til! forman WI ángulo de 9ft. t Si el inguloformado es de9O",declmos que IaHecU.! son perpendicu/Ilrt$.

Relación entre las pendientes de rectas paralelas o perpendiculares

A p~f1ir de ta f6rmu l~ (2.14) podemos obtener Glndic:io~ que nos indiquen que dos rectas no verticales:

t ,: 1\,.1(+ B,y+<:;"O

t,: A,%+B,y+C,-O

.It"Oln p~r~lI?Ias o perpendicul~m. Las dos ~~s 50n pi raJetas Y form~n un ~ngulo de 0". entonces tan 00

.. O Y por Glnliguienteel numerador de (1.14}es igu¡l ¡cero:

(A,~ -A.B, o O.) (2.15)

Como ning,..na de las rectas es vertlc.al t_fllO$ n, n, ,. 0 y podemos di'lidir I¡ ecuaci6n Imerior entre B, 8"

mmo 111 pendientes de las rectas estin d.1du por:

m. - -~ y m' ---r' OOtertemos:

-""+111, - 0.

Despejando m .. tentmos:

( m, om,, ) (2.16)

es decir. las pendientes de dos rectll p~raJel¡¡ no verticales wn igu;l.les. Giando las rectas 50n perpendlculam, el ~ngulo fonnadoporelasesde9O" y la

UlI8J"11 te de 90" no esd definida; esto lucMeOundo el denominulorde (2.14) es igual ~ cerQ, luego I~ condici6n par.ll que dos recus 59n perpenrlicalares es:

S.d"eq~ealusod<tt. ) IeIrI",.,...re~

t.penclltnw"una recu ~ ... de IIItxprfllOn mt>d!Jllfo/~,que

"""ledfCl' mocI.d.ade In<I'n.:lOn

) mbmapencl_ ... .,ton~ "'n~aIII .... o""nlll ( A,A,+B,B, _O. )

(2.11) mbmarectill:'" ~ "',

) SI ~ prodU(1O d~ las I"'ndlMtM"¡"dM_tas ... 1;I .... I:O-I,.nlOn<fll:o< t'KUII "'n ¡>OrpO'ndkula'fi: "' .... , --1

Como ningun.t de I.ts rectllS es .-ertical. rertemos que 8,B, al: O Y podemos dividir la ecuación anterior ent~ B,8,:

I}_ A,A, + B,8, _ A, A, +1_

8,8, B,B,'

como las pen.dientesde las rectas euin dadupor.

obtenemos:

es decir,

m, - -~

" ..... __ A.,

B,

m,m, - - 1;

~ ~

es decir, la pendiente de una de tilas es ti negativo ~I recipm(o de la otl'l.

~

(l.18)

1. Oetmnln~r si las rectas -5::t + 3>"*J8 _1) Y 3% + 5r -4 - O son perpen­diculares..

SOludiln: ErKonmHOOS lu pendienteS de las r«tas:

uim, - }y

- .5x + 3,+18 _0

5 r- 3x - 6,

3%+5y - 4_0

, 4 y __ _ x+ _ , 5 5

de donde m, • - ~. Ahol'l CilkulJII'IOS ~ producto de las pen.dientes:

~m· -H- ~J- - ' · I'ortantQ, las rectuson perpendiculares.

2. Enconuv la ecuoodón deb. recu t, quepau. pOr el punto A;2, l)ylS pero pendiculv <1 1<1 =t<l l~cuYll ecuKión lS 2x - 3y- l _ O.

501uci6n: Escribimos la ecuaclon de t , en la forma pel'ldiente-<lrdenada al origen par.a determinar s ... pendiente:

2% -31- 1_ 0 -3y __ 2%+1

, , y_")x_),

a$l qlM!' su p~lente lS m, - f; enton<;~ la pendienrede l ,lS:

, , , ",,--~--~--- .

m, i 2

Utiliz<lrnos ahora la forma punto·pendienre para 8'Konm ... -1il ecuoodón de t~ ~ ,

y- I _ _ ~(%_"2)

2 2(y-I) - -3(x-2) 2y - 2 _ _ 3x+6

3x+2, -8_0.

Por lo t<lnto, 1<1 ecuaciOn de 1, es 3x + 2,- 8 -O 1. (figura 2.s3~ ~

y

-,

<" 3. Encontrar la ecuaclon de la recta que pasa po r P(3,4) ~ ti paralela ¡ la reaa2x-3y _ lO.

5o/u66n: Escribirnos la ecuación en liI fo rma p~iente-<lrdenada al origen par.a de· rermin.r la pendienre:

2% - 31_ 10

, " , _ _ x __ • , , La pendiente~ la recra es'; La recta ~ buscamos tiene 1S4 misma pel'ldiente~pau pOr ~3,4); por co n5lguient e, :su«uaciOn es (figur.a 2.$4}

y-4 .. .!(x - 3) , 2x-3y+6_0.

-,

y

-,

"'_JO<U 15 ~

2x- 3,- 1_0

~2,1)

• X

3x+2,-8_0

...... 11)

X

2;(-3,_ 10

Q(-3,-2)

Pen/sa.mien~ CritiCO" • .<ómo deu..mlnu SI dosoKtM cOn 11 misma pendiente SOn ~Ia,o!oelrulde l. mi..., • ....".1

y

4. Et\(Ontrar I.i ecuacl6ro de la recta t, que ~5a por Q(- 3,- 2) y es perpen­dicu lar . la «<n. (", cuy¡ ecuaclónl'Sx _ 4.

Soludó,.:

, .. la r«t'I ; ... 4es ..ertlaL asl que UI'Ia f«l¡I per~ndk:ubr a ella debe S@f tlorlZ()f1ta~ por lo r.mm, CQdos $UI punros ~n la

misma segunda cootdenada. Como queremos cp..It plise por e punto Q(- ),- 2),su KUac:i60 d~ ~r y--2(ligura 2.SS).

x ~ndo una reaa t, es ..ertaL entonces la otra recta l, es: • Pu;lIeba i ,y i ,eslambimYelticaL ,..-2 • Perpeodiculan t, si l, eshoriront¡J,

Encumtr.l b'\:tACi6ii de la r«tiI que pasa por el pUltO dado y es perpmdicubr a la r«ta d.ida.

1. p(- 3.nS%+6y-IJ_O.

2. P(-I,I~2x - ,.+ IO.O .

l. P(4,-2~7%-3y-I.O .

4. 1'(0.3); 5%-1- 3 - 0 .

S. P(- I.-sb:-- 2.

6. ~2,2);)'.1.

, . P(-9,-12~2r+9y_O .

l. IV,O~4.l"+7y+2 1 .0.

P{t .-t);x- y+8 - 0.

-"'% Encuentra la ecuacl6n de la recta t, q¡e pISa po.el p~tO dado yes paraleL!.ala reall d;lda.

10. 1'(-2,-3~y- tH 4 .

11. p(1 ,O);H5y - 12-0.

12. p(- 2.5Ay--2.

13. P(5,5);'1"- 3.

14. p(J2,-lf'l" - Y+5.

15. P(4,3~.r+J2y_o .

16. P(o,8~ 1I.r+5y+7_0.

17.1'(3, - 2);'1"-, - 0 .

1 •. P(t ,-t);I2x-4y- I -0.

Oeterm¡n~ li los siguientes p.:.res de rect.u se(oft~n en un punto, son P'lr~lebs o son la misma rl!CU. En@!nsodequesecortenenunpunto.analiusisonp4!f· pendiculares.

n . 4'1"+y - 3 .. 0y2% - 5y+ 4 .. 0 . 23 . 4'I" - y+6 .. 0y2% - 5y+ 12 .. 0.

lO. 3'1"-)'+ I _Oy:.-+3y_ 15_0. 14. 'I"-y+2_0y'l"+y+5_0.

21 . 2'1"-y-3_0y&1'_4y+3_ 0. 15. 5;:r-y-23_0y23;:r+5y+7_a

22. 6x - 3y+32_0yolx _ 2y+2_0. 16. 3x-4y+4_0y~+8y+2_0.

27. ~o el <uoldril.1tero con 'l'éftices en 11(0.0), 8(6.0), 01,21 D(5, 41 prueba que las rectas que unen los puntos medios de los lados sucesiYOs del <uoldril~rero forman un paraleloSJOlmo.Represéntalo grifiamente.

u . ~oelpar.JIeIoSJOlmocon llérticesA(OO), 8(5,01 C(3.41 D(M1prueb.J losiguimte a. Que I~s diagonales de est4! par.J~Iogr.amo son perpendk;ula~. Re·

pR5hlt~lo grl.fiamente. b. Q..te est4! paralelogramo es..., rombo. Represéntllode lT~nm gráfica.

n . ~o el par.Jlelogramocon llértices AH ,3), 8(3, 3), C(- 3, -2) Y D(I ,-21 prueba que sus diagon¡!es le cortan en el plXl to medio. Represérulo de mooo piflCO-

30. ();¡do el uUngulo rec~ngulo con llértices A(O,O), 8(4,0) y C(0,-6). prllelU que la dist;¡ocia de cuaq.ier vffliceaJ puntO rnMio d<! la hipo· teI'Iu~ es la misma. Rtpresb1talo grUicamence.

)1. ~os los puntos A(-2,31 8(8,8), C(U), D( 4,3), E(0. - 2), F(6, 1): a. Encuentra las ecuacionesde lal rectal que paYn por A yaC ~ D. E Y F. b. Oes<ribec6mo Ion las rect~1 que encontlOlste. c. Er\(:uerma lasecuaciontSdf:o las rectas que pasan por A y El, 8 yF. En·

cuentr~ las coorden~das \l!!1 punto P. en que le cortan las OOS rectas. d. Er\(:uentra lasecuac:ionesa.l~tasque pown por Ey C Fy D. En·

Cl.lentr.J las coordenadas del punto Qen que se cortan las dos rectl5.. e. EncuIMtr.J las ecuaciones de las rectasquepasan por A yC By D. En·

cuentra lascoordlMadudtl punto R en q.Je5ecOrtan las dos rectl5.. f. Prueba que 101 puntos P, Q y Rson collneales. '" GraflCi en un mismo plano torla$las ft\:tas y plintOS ~ encontraste.

Desigualdades y regiones del plano

Una rectl d",ldeel plano 1M ITe5conJuntOI IJImOSf:ntn! $i:

• El conjuntod<! puntos queesún en la I«ta • W. regi6n formolda por el conjunto de pUntOS queest~n i un lado de la recu. • W. ~6n form~da porel(onJuntodepunt05q\M!'esr~n al Otro lado dela r4!«a.

Regiones det plano determinadas por rectas no verticales

Describi , las ,egionesdeterminadas por la recta JI + 2y- 8 . O.

Solud{III: Escribirnos la recta 1M la forma pIMdieflte-ordenad;t al origetl:

y

-,

y

y _____ 1'(".,)

x

Gr¡¡,ficándola. obtenemos ~ rl&l'(;l2,56. Observ,uno5 que 1<1 =ta divide el pl,lOo en ere conjuntos: • l os punto$qut tsdin en '" reaa . • los puntosqueed,n .. rrib¡ de la recn. t los puntosquteldn abajo de la r«ta. Sa~mos ~ los puncos qtM! ~ln en 1 .. recta son los ~

satisfacen la ecuaclon:

1 y .. - - x+ <l. ,

ObServolmOS que si IlOS movemos ~tic.¡Jmente hacia arriba, la orOO1ada del punto es (;l(la ~ mayor. As!, los puncosque~!n aniba de la recta $atl$f;l(:en la ¡!guitn te desigualdad:

I y>-- %+ 4. ,

~Oe 1" miSm<l manera. si nos rTIOYemO i venicalmeme hilei" iN.jo.laor­deil'id" ~ punID es cada ~ mmor, por lo que ku puntos QUf' ~;in abajo ~Ia recta s¡¡clsf.acen loa desigualdad:

1 )'<-2%+4,

Consideremos una rect .. 1'10 vertJc¡¡1 a.rya ecUllción es Y- 1m" + b; los pun­- "'.-<9--'------"x toS que están en la recta 500 ~edsamentelo5que ¡ .. tisfacen KJ ecuación.

Consideremos ahora un punto1'(x. y) que este arrib .. de b rect¡, romo se ..... ,v muesrr.lml.lflgur.a.l.S7. -""

la recta par1lela al eje Ycorta la recu l ad¡ en un punto Q QUf' tiene la ml5mll priml'fa coordenada qUO! P. Al traLlOr uN pMlllel.l.ll ~jf' X de5d~ Qob{enemos la

segund.l coordenada d~ Q.

0( .... )', ).

)', _m", +b.

aderÑs. como Pest~ ~nib¡¡ de I.l fecr~, I~ segun.d~ coorden¡d~ de Pt$ ma)'Or q..e la de Q ~ d«ir.

y,. Yt i

(2.19)

Como el punto P fue ell!gldo de m;lrltr~ ~rbitruia. amI» de la rta~. cualquier (l(J"() puntO QI.lt ts~ dt tst mlorno lado dt la rtcra sadsl';\(:e la dts~aldad (2.19).

SI tomamos un plll\tO cl,l,lIlqu!era qlIe est~ debajo de la n!Ctil, obtendremos la dtsigualdad;

y<nut+b.

En resumen. una recta no venical con ecllllCión r" nut + b divide el piUlO en ~conJumO$;

• Lospuntosqllt est~n en la r«ta qlJt~tlsfacen la ecuación y _ nut + b. , Lo,pumo$qlIttuinambadel~n!CtaqUO!ladsfacofllladedg\Jaldady > nut + b. , Los puntos qUO! estIon debajo de la recta que satisfacen la desigLIaldad

y<mx+b.

SCludón: Los plintOs qlIe escin en la r«ta satlst.Ken y .. -7. los qlIe le mcuenlran amI» de la recta satisfa<:en la deliguilldad y,.-7 Y los que se tullan debajo de la n!Ct~ ~tisfacen la desigualditd

y < -7 (figura 2.$8). "

2. I}p§criblr m«I.lan[@ dt5igwkbdes la ~ón $Ombrnd.l~~ la figura 2.59, limitada por las rectas t,: 6x+2y +3:(I y l, :..: +2y- 16 =O.

SCludón:

Escribimos las ecuaciones en la forma penrliente-ordenadol al origen; es decir, despejamos la y,ul.wle y.

3 1 ,--3":-2 Y y .. - l u8.

Los puntOS qlIt tsdn en la lOna sombre.lda esdn debajo de la r«ta t, y. portanto. ~ti5facen;

3 y< -3..: --,

2

y est~n ¡mI» de b n!Cta t, ni qlIe satisl'llcen:

1 '''-"2..:+ 8.

SI y-"'''. ~M~"'I'KU. no~,lalpu""lq"" _n arrlb;odoo la_u.

_lllar"" IadKIgualdad ,~ ...... ·b

51,_",,,,",, ~"'I'KU no-uul.lalpuf\lOJq ...

_n"bajo" la fkQ

_I<far"" IadHIgualdad ,c"u~b

y

x y~ -7

y< -7

y

" x

)

)

y

-,

y • ...(ix+IO

, , X

(2,-2)

Port~nto, la 20Jkl sombrudil con~steen Iospunros (x,y) ques~tilracen ambas desigu¡¡ldades:

q.¡e podemos resumir en:

lo Ei'1<ontrat los villores de x para los cuales 1 .. recca y . - 6x+ 10 escli ~ baJo~ la~¡y- -2x+l.

Solución: P..e5olvemos la ~Igualdacl:

-6x+ IO<-lx+l

-{ix+ 2r .. 2- 10

--4r .. -8,

.ti divid ir mt~ -lIt Invi~te b. desigualdad:

-, ., ­-<

x> 2.

y . - 2" t 2 Sil:" 2. entonces y _ -6% .. lG;estl debiljode y. -2%+2 (figurill.60). -"'%,

~ .. " ,.(01,1 4. Granar 1.1 ~n del pilIlO q¡e s.ati5t.Ke lis desigualdades y .. 3x + 2 Y 1<6- 1 ,,_

y

-. 1_ 3%+2

Solución: Primero enconu;¡uoos la soluci6n de cada una de ell<u.l.J)s pumos que satisfacen y" )x" 2 son bs <p.>e rnirl debajo de la r«ti y - 3".. .. 2, los que satisfacen y .. 6 - 7 JI: son los que estln abajo de'" rect i y _ 6- h.

Por (¡ntQ, los puntos q~ Wltisfacen am­bols desiguald¡des son los c,Je eldo debajo de (;Ida una de Lu dos n!(tiS (figura 2.61).

Regiones del plano determinadas por rectas vertiClles

Us únicilS rectiU p~'" lilS ~ no $e puede proceder de la mane",anter!or son las ~us verticales. y.I que roo tienen pendien[e. Sin embar¡o. dada un r~u vertica l %. k.esta tamb~n dMde el plano en tres~ones;

• LOS punm! qll!! estAn en la re<:tlI. qll!! son los que satl5fa(:en la KlJ;w;lOn % _ /0; •

• Los puntos qtJe edn a la derecha de la recta. que 50n los que satisfao!n la des­iguald~}C > k.

, Los plJnws que eseán i la ilquierda de la recta. que Ion lo! que misl"ao:en la desigu~ld~ x < k.

1. ldenti~ar lal regiones determinadas por la recti}c. 5.

SOlución:

y

~.1.1i2

l . Grifar la región determin¡di por 1.15 desiglJaldides 4 < -}C + 9 Y y>-5. .",%

SOlorión: L1 ~6n que determina la desigualdad JI:,. 3 s.on los puntOs que est.l.n a la derecha de li recu % • 3.

liI ~6n quedettrmin.a la desigualdad y < -}C +9 son 101 punmsque esQnd~jo de la recta y . - }C+ 9.

L1 res;i6n que determina la desigua.k:lad y > -5 son Io5puntosque escln arriba de la rectay. -5.

A5I, la regi6n determinada. por las " y ue condiciones se muestra en la fi· ~ g,.. ra 2.63; lO

, """ . - }C'" \1

"'- " X y _ _ 5

~, - ," •• 3

"'_JO<U" ~

O'O'Ouna_u. .... _

% _ k.IOl p"'''''' '1U. titJn ala_haMlaffocta

lOn Iosq~MtlSfacen '" des~"'daclx ~ 1.

0.0.0 una _u. .... rtk.al x _ k,loo JKnIao qU.MIin alal:tqul.~MIa n!Cta

,.", IOlq ... ..-hIa.::.n la des¡y ..... da<:lx .. 1.

)

)

Punto de equilibrio

Un fabOCUlte de cod>e<:itol de juguete tiene como ganOI lIjos la aotidótd de $630 diarios y el costo de ad;¡ cochecito ~ de SI50 El pr«io de ...enea ~ de S2O. Dur.llnte el primer mes produjO ~ vendió 3528(oc~ltOS. iC~1 fue IagananciJ en ese mes! ¿CuimQ5 (O(h@(lrosdmt producir dUr3'~ ~ mes para qU!! -mameniendo ese pr@(lo- notengap&dld,u!

Soluci6n: UamJmol ;>: JI numero de coch@(ltos pro~cidol en un mel. El COlitO total de pro­ducción el:

kll1rwesos JI Yeoomos Ion:

C~I(UlalJ)9s la utilidOld obtenldil ill venderto~ que el I~ direren<ia entre 101 ingre­§O:i y los COit&:

1(;>:)_ C(:!;)_ 20;>:- 18!JOO- I;x- 5x- 18900.

Puesl:o que en el mes en cuestión se Yeooleron 35.28 coch@(lros, entoll«S la utilidad fue:

S(3S28~900 _ - 1260.

L~ flobrln perdió dunmre el me¡ $ 1 2~

Para ,,-,e no hay¡ p4!rdida en el mes. la utilidOld deberll ser no negativa, el decir.

simplificando:

1000 :!OO:l JOOO 400CI 5000 6000 X .... ~

20;>: - 18900 - IS;>: lO O;

Sx- 189001:0

"900 n -­S

x .,3780.

Para qU!! no haya ~rdid~s, es n@(es.Jrioque pn:x!ta<;a ~ venda porlo menos) 780cochedtoJ.

Ob5eMlmos en la fipn 1~ que ruando x e¡ rN'jOr que 3780, la ~u y _ 2t)x em. arriba dela rectI Y • 18900 + ISx, e¡ decir.la canci· dadobtenida al venderl':iOS xartlculol es m~r queel 0)5(0 de su pro­ducclón)\ por comigljentt.lv¡r ganancia. Si porel contrario,xe¡ menor que 3780. trIt(lrl(\'$la rectI y - 20x mdebiljode y - 18900 +15;>:, es decir, que la cantidad obterida al Yender esos x prod.xlos es menor que el 0)5(0 de proru<Xi60.en Q/)'O aso hay ~rdkbJ .

8 pumo de Intenecdón de 1;tS dos rect;tS le coooce como purrt~ de tqui/ibrio de msro·ingn50,

8 precio de un artkulo en el merado utí relacionado con e número de ~r­Ikulos que pueden Yen~ Cuando el precio de un producw es muy alto. los (l)nwmldores r'\() lo adquieren; en amblQ. c~ndo es; bajo. st vende mU)' bien, La e::~el6n que rtlaelona el precio deun an:k:ulo am la onddad de dios qtJI! los con· JJmldores ut;l,n dlspuestosa comprarse lL!.ma m¡adé" de demiU'.da.

u«UKión dedemaflda mils simple es lI:la «Uaoon I¡MIlI como

donde p es el precio pQf unid¡(\, "es el número de artkulos," y l/son constantes. Con ts(o le h.1 definido el precio en fundón del numero de artlculos; de esu forma Y se pueden alcular fkllmente Ioslngesos brutos y la utilidad netade una empresa quevendo! " articu lon un precio poda uno.

Es cL!.ro que si el precio de los ankulosaumenta, entonces se \1!r'ldmn menos articulos, mientr;tS que si baja el preciQ. le \01!oomn m;ls. EStO sigJ1i1ica que L!. pen­diente "de L!. recu es neptjy¡ (figura 2.65).

Puesto que tantO el precio como.&' número de .uúculos...endldos son aontida­d.os no rM'puvas, únomente ~Presl';tlu.!Jl0s L!. parte de la ~¡ que se encuentra en el primer cuadrante.

o., la misma manera, la Glnddad de articulos que un bbrla.nU! tsrlo dlsplJeS(o HOIoca1 en el mercado ut~ relacionada con el precio al que puede venderlos.. 51 el precio de los articulos es mo. el fabriaonU! produclri muchos artlcu~; en aombkl, ... el precio es bajQ. prodll(irá pocos, con la ~ranu dec~ar es05eZ. la relKión a1t~ el número de artkulos que pueden coloca~e en el mt!Odo )' su precio se lla­ma Kwci6n ckoftrfa. NueYamente.1a ecuación deoFena mils siy'~es la ecuación lineal aunqueen esrecaso. asfcomo en el amerlor. en la vida relt se u~n ecuacio· nes mis comp~;tS. Emonai. la ecu~ de oferra se es.cribe co~

doooe p esel preckl ofreo:ido por unidad, x es el número de artkulos que le colocan aL!. YenU.' y dsonconstanteS.

En este c.uo, L!. per'ldiente (es posltM. pues cuar'ldo el precio es alto, los fa­briaontes tratan de producir muchos artlculos y, cuando ei bajo, producen pocos (flguri 2.66).

8 punro en el que la Glntidad de ankulos Ól'mandada por lel conwmldores mincide con el número de irtkulos que o~e el producto r es donde se ¡ntenean las recr~ s y le lL!.ma punto de equiljbrio de merwdo.

y

• X .... '"

• X

1. Una fábrica de colcho~ I~nu ~I merado uno de sus producoos y m­Oten(r~ que 00 el itCepndo. Por ('1(0. decide vamr el precio. de ~rdo con la experiencia obtenida y las polítias de la mlpres.a; al hacerio se de· terminan dos ecuaciones: .... '" deo~ru y otra de dermnda. Erlcuetltra esas@(uaclones.suporllendoQUl! IOn 11~1es, ~ parrlr de I~ slpllmU! In­formación: .. l..¡¡ t.ibrica fija un pndo de $29QO, obs«va quedu~nU! un mes 00 se

regjs.lf;l ninguna venta . b. Decidedisminuir el pndo a $2 700 Y Iogr.o vender 100 colchones m

un mes. c. un estudio de mercado mUe5tr.1 cpJe por cada $200 cpJe sedisminuyen

er1 el preclo, la demar.:L1 se Irw:rtmerua er1 100 unidades. d. El fabrbnte 00 esd dispuesto a vender ad.a colchón en meoos de

$1700. e.. Ofrecea un comerciante 800cdchonesa $2 000 cada uno.

Solución: Plirqvo. erKOncn.remolla er:~iá1 de la deman.u: y .. IIX +- b. er1 la que usam1h la variable yen lug¡r de p.O~. d~nOldelerminM a y b. P~ra ello. escriblmos losdatoscomo pa!esordenados. Observamos qte no tlay demmd~ si el prtdo es $2900; es decir. el parorder1.ldo:

(,,'900),

l)@'L1mlsrmmanera.segUnnosdicen,elpunto:

( 100,2700)

tambil!n pertenece", L1 recta )' .. 111' + b. por loque:

2100 _ Iooa+/I.

Como)lil sabernos que b. 2 900 tenemo!.:

2100.1000:1 +-2900

"" --- g 100

g. -2.

AsI, I~ ecuaci6n de demanda es:

)' .. -2% +- 2900.

Ahol'il enCOmr.lffiOS I~ ecu;¡,ción de I~ ofen;¡; y .. ex +d donde -como antes- usamos 1<1 viri<lbleyen lugar de p.

Que el fabriume no esté di$p~sto i vender colda ~rtkulo en menos de $1 700 lo interpretamOs como que el número de ~rtkulos que ...en­deri<l en $1 700 serta C4!f(I. A,demAs, como ofrece 8OOcokhones ¡ 52000 cada unQ, (enf'mOS qtH! los pUnID!:

(0, 1700) y(800,2000)

$;lómeen li ecutclón de ... ofmi:

1700.0c+d

2000 .. SOOc+d,

di! donde:

d.'¡ 700

300 3 ( .-.-. ... 800 8

A,st 1<1 ecuación de la oferta es y _~;r; + 1700 (figura 2.61).

y

~:~ Y" I >:+ I700

'~ L'_.2 '-::',~------

"" ~ ,~

~ , __ 2;r;+2900

200 <100 liOO !lOO 1000 1200 1<100 X

2. Encontrarel punto de equilibrio de merado en el ejemplo Interior.

SoIud6n: Considmmos 1<11 ecu;¡,ciones de ofert~ y de dem¡nda obte!lid;1s;

( , .. -2>:+2900 y y-~>:+1700.)-< ~

(2.20)

Como en las dos ecuac:lones eni de~ada la y. pi'" obtentr el pumo en

ti que ~cortan. basca con igualar:

-2% + 2900 _!;r; + 1700 • • y despejando ;r; obtenf'mOS:

2900-1700 .. h+!% • " 1200 _ _ %

• 9"'" -- ." "

SustituyeJldo este v~lor de ;¡ten IJ, primer.l ecU;dÓ"l de (2.10) obterM'mos:

("'lO) 35900 y _ _ 2 """"i'9 +2900 __ ,_, _ _ 1889.5.

U1Sr@((asseoorun ~ el punro (t::- . "':'") QUII!e. ap!l)l[lmadamffite, ~ punto (SOS, 1890).

ErKuenu-¡ las deslguald¡des que describen las regiones ef1 que las rectas si· gulenteS dlYiden el plano.

1. 2%- y+7 _ 0. l. -x-S-O. 3. y-S_O.

4. -tx+ly - O. So 1x-ty+l -0. 6. -x+L~-5.0.

l. Eriq',eIltU 105 v~loresdexpaQ Ioscu.J,les I¡ recta y_ -4..: + 7 es~ ~rrjb~ dio Ilm:(~y -1.1"- 1.

l. Halla los valores de x par.llloscuale5 b recta y • ~ x + l} esd arriba de la reuay-- t x+ .!J.

,. D«ermln.1 ~ gafica la regl6n q¡eCOrlSli de los pUJltosque ndsfacenlas desi8JJ<lldades siguieme5: y < -6%+ 10.,:> -2;1; + 2, Y < 2;1; + 2.

10. El dlffiode una zapareril. en la Oudad de ~o lIace un pedido luna f.lbria en LeóJl, Gu"najul(o. C~I pior tiene un COSlO $190 Yo por con' ~def~,d~~r$26OQ;

L Escribe la fu1.ción decoSlo poniendo que eslinelll. SI Glda pM ~ \f@ndeofll $230: -"'% b.¿Cullntos pares debe vel'lder ~ara recuperar la Inversión sin obtener

g¡¡nMK lal

(.. ¿Cu~ntos pares debe 'lender para obtener Lm~ ganancia de $16000? 11. Un ama decasa Il¡¡,c.e p;lsteles p.ra mejorar la ecooomb f<lmiliar. Cada

pastel tiene un CO:ilO de $19 porcon.:epm de materia prima, mientras ""e el aumento en el gaStO diariodela c~a por conceptO de ¡gua, IU2 y ps~ciendea$16.

a. Escribe la ecuación de cosco. SlIponlendo que es lineal. Siad¡ pastel se \OI!ndel'l1 $27: b. i.Cu~ntos pasteles debe YeIlderdiariamente p~ra ~seguraf que no Il¡y~

pérdid."ls? c. ¿Cuantos pastrles d@be vender para ganar al db por lo menos $70?

12. Un vendedor opende artkulos a comi5ión recibiendo $3 por cada arel· QJIo vendido. El vendedor trabajl de IULles a yiemes. p~ diariamente $S para que se le permita vender ~n 00 mercado y $C'i pira tran~rtirse.

Oe!.putls de una semana en la que 00 ruvo in/lJ"flos para COmpeniir los pstOi, <kcide oocontinUilrcon la ventl. a. ¡Cu~ntos artkulos vendió dUrlIlte es¡¡ sermn¡¡? b. ¡Cu¡ÍntourtÑ;lJlos debe YeIldl!r en una sem~na p~ra ""~ t"tStando 5US

gastOS, lequeden $)5 pesos perCo\d¡ día de trab*?

11. Una fábrica tiene gastos fijos al mtS de $8 500 Y cada articulo prodocido d4!f1e un COstO ~ $6.50. Un vtndtdor le ofl«e un n~ tqulpo con el q.¡e puede producir el mismo articulo en $4.75, pero el d.ttoo de I;t f¡. brica calcula que la adquisición ~I nl.ltYO equipo aum4!f1!ar~ 105 gilSCOS

fijos mmsualesa $15000. Si cada lIn:1culo !t\lendeen $9: L ¡Cuil ~ .. I pumo di' equilibrio .. n C»dll. CÓÜO!

SI al mtS I'tI'lde ISOOOartlculos: b. ¡Otbe adquirir el nlltYO equipo o le con\'Í_ constrVar el que ya

tienl'? 14. lk1 comer~me ilKlquiefe un lote de telu. E!lima cp..e. ~ etablece un

pr«io ~ $52 por metro ~ tela, podria vtndl'r .. n un mes 385 metros: peto disminuyendo el precio a $45 el metro. podria YMder 63<lmetros. SI la o~rtll esd dadll por la ecuación y _ 175x -6.500: a. Escribe la ecuación ~ demanda suponl4!f1do que es IIn~l. b. ¡Cu.il es .. 1 pl'l'do por ITK'tro qu .. ~ilibra la om-ra y b demanda?

15. lkIa !toora cp..e vende tamales observa que puede vtI'Id« 200 al dla 51 los da lO 53 cada uoo. ptrO si aumenta el precio lO $3.50. entooces sólo ..... nd .. ISOtamales. Si la om-ra está dada di' man-erl qUl' a un precio di' $3 puede otrec .. r 2S(1 tam~ diarios y a $2.50ofrecma sol¡menre 50 tilmale!., %, L Encuentra la ecuaclOn de demanda Mlponiendo que es 'Ineal b. EncuftlU1lla ecuaclOn d .. om-ra suponlmdo qlll' I'S Iln .... 1. c. ¡Cu.il es el precio cp..etquilibra la om-ra y I¡ demanda?

16. En lila rtaudl'ria, el YMde::lor obSl'rva que. a un precio de $4.50 por kilo, p~ ..... nd~60kgd .. jilomal .... n una semana, pl'ro si aumenta el precio lO $5.50 sólo YMd .. 40 kg. L,ncuaOón de oleru est:. d.ada por.

~ six:> 20 -"'%

L Encuenua la ecuación d .. demMl<b luponifondo que I'S ln-eal b. Encuentra el puntod .... cp..ilibrlo de mercado.

17. En un.a f¡brlca f.uniliar,loscosros fijos mensuales son de $5500 Y puede ¡:reducir hasta 2500(1ardcu!oi. cada uno delolcuall's tielll' un cosro de $16. Cieno mes, laderNnda es mayor y .. 1 cUmo pid .. aotro fabricante q ..... lo apo)'\' pifil'losri-runa producción total de 40000 uticulos. El fa· bricante estima que. a partir de 25000ardculos, el cosco sen. de 516.22 por unidad. Cada articulo puede serYMdido en $19. L EKrib .. 1a ecuación d .. cosco suponifondo que hasca 25000 articulos,

es lineal. b. ¡ClJál es .. 1 menornumero dl'arricu losque ~¡". ..... ro::Ierparl no n!gis·

trMpérdidas? c. ¡ClJándo ganarla mis por unid."ad, ..... ndiendo 2S000 o 'll'fldiendo

37000 articulos?

y

p

, X

Distancia de un pumo a una recta

Encontrar I,d,na",,,,, del puntO p(-4.;) .1. recta x- 2y-1 .. O.

Solución; UI dlsran<;1a d~ pumo a la rec:u x - 21- 2 .. Q es la dlsull(la ~ Pal pumo d~ la

recta mis prruimo a ~.

Escribimos la ecuación cR la ~a to la I'oIlT\a penditotf-ordtnada al origm;

1 y - - %- 1.

1

Consid~mos la ~a p~MdI(Ularaella QUt pase por p( -4.1). s.abtmO$qtH! esta perpendicular titrtependitote - 2 y portantQ. su ecuación es:

, , .. - 2x - ­,

Enconmmos el punto doIU se corran las ~.u:

%_2y _ 2_0 y 4.u21+9_O.

5x_ -7

7 x _ _ _ . S

(2.> 1)

Sustlllirnolestt ...aJo, de", en la primera KUid6n de (U 1) Y olxenerTllKeI VilO( de Y.

7 - - -2v_2

S '

7 2Y- - 5 - 2

17 r Oo -lO"

El plXlto donde secortan ludos reautoS oÍ -¡ .-l¡i) (figuno 2.68).

Ladist¡rK~ del punto Pi la recties li distindide Pi Q;

As/.Ia distarKla de p( -4.t) a la recta - 2y- 2 .o O esde.lfJ3.

GJnYde~mos una re:t¡ (cualquiera y un punto p(x,• y,) que no d:é en 1<1 =t<l. L<I (htan<:~ del puntO pol la re:tol ( $e define como la distan<i'" de P <11 punto de ( que esté más cercano ol a Si la recta no es ven:ÍCiIII y su ecuación en la furm", 1IeIler.l1 es:

A:o:+B1+ C _O,

fIltonces la formol ~nd~nt~rdeni/lda al orlgio:n de la ecuación es:

A e Y--8 X -8·

Col"l5idertmos la recCill {' ~pi5¡¡'~ ,.J:J y ~ ~rpenckular a ( (figura 2.69~ Puesto que la pendiente de ( ~ rn .. - t la pendiente de (' el f; entOrKeS, la

brma pendienre-ordeni/ld¡¡, <11 ortgm de (' ~:

B y- y,-".4(X-X')

A,- Ay, .. Bx - fu: ,

-fu: + Ay+ Bx, - Ay," O.

~ Nlora enconuM!"lOs ~I punto ~n qu~ s~colun las t"@(us l y l'f~dmr, 1"501ve­

mos el sistema:

Ax+By __ C

-fu: + Ay_ -11.>:, + Ay,.

MultiplÍCillmo¡ li primen. ecu¡ción de (2.22) por B y li ¡egurtdipor A:

A&+B' y __ BC

-A8x + A'y .o -A&, +A'y,.

Sumándolas y ~oIYift1do para y, ob~mo5:

{A' + B')y _ -BC-A&, + A'y,

A' +8'

(2.22)

y

,....1'"

L»d,sur.:llcNun punto I'(x,,1) ala_ti A.:rtBJtC-OM 4_ .0.", +/Iy, .q .

.,¡.o.' + 11'

)

Sustltu~ eS«' vollor de r en 1,\ prmer.. ecuación de (2.21) y despej.mdo x ~_.

A", + 1I ( -BC-ABx, tA' y, ).-c A' +B'

_B'e_ AB'"" +A' Br, Ax+ A'+ B' .-C

x • ..!. CC_ (-B'C- AB'XI + A'Br, 11 A l A' +11'

x • ..!. (-C ( A' + B')+ B'C + AB'x, - A' BY, ) Al A' +B'

-C\+B'x, -ABr, x - ,,' +8' .

AA el poow en el ~ ~cort¡n lasm:tl5 e5:

Q (-0\ + B'x , - ABr, -Be - ABx, + A'r,) A' +B' , A' +B' .

L1 di51arK!¡ de P a L;¡ recta es la dinaMia de Pa Q:

Es decir,

(::f,A'+AC+ABY,) + ,AB+BC+ B' Y')'

A'+ 8' ~ A' +8'

IAt, +Br, +9

J A'+B'

IAt, + By, + C1 ,. . JA'+ B' (2.23)

~ usa el valor absoluto porque la di51¡¡Il(ia debe $@f unnÍll1'lelo!lOnegativo.

1. &leontr.Jr la dilUndl del pumo 1'(2,3) i la IKU)' _ t.l + l.

SoIud6,,: EKriblmosla « uoKl6n de la r«U en la fonna senen~ ,

Y_¡oH 1

, -¡.l+)'-1 .. 0

-3.l+4)'-4 .. 0.

Susdrulmos lu coo.mnadas de P(2, 3) Y los ~Ientes de la «uao::l6n de la recta en li IOrmula (2.23):

1*',·81,· "1 1-')(')·(')(')·(-<1 I ~ , d_ JA' +B' " J(_3}'+{4)' ·J'25-s·

&1tOno:es.lidist.uKia esd .. ~sur.J 2.70).

2. Hallarla dina no:la entre el puntO 1'(1, -5) ~ la recta y+ 1_ -x.

Soludó,,: Escribimos la ecuOldón de li rm:a en la forma seneri~

.l+)'+ I _O.

~ Susdrulmo¡lucoordenida¡de p(1, -5) ylolco~~de la e::u¡..

d611 de la reaa en la fónnula (2.23):

Obsérvese cpJedeno tOmirse el valor ibsolu!Aobrerldrramos una distan­cia negatiYi.

Entonces, la dlnancla es d .. i (figura l.11):

y

~ -, x -, --.4 _ /

-6 1'(1, - 5)

~ .... "'.71

y

P(2,3) •

-,

SlliIdIS\IO",I"doeunpu"to "un" ,<!(\IO es.:ero, ¡quf te puede decl, iCet'uodel ~ntol

6x+2,-3_0

~~tti~~ SI ~dlstanciumre dos _S~IasH<e«>,

""" .. putdedKlrd. 1,.~1

L~dlstan:1o il'ntre do. rKWl ~lM H la dlW><lode un punlOde lII'Iad •• Ila< IlootraltC'la

)

Distancia entre dos rectas paralelas

EncontrarladinMlcit entre lal rectas 6% + 2y- 3 - O y6%+ 2y+ 21 - O.

Solución; NOtamos ~ los ~k:lenre ~ las vambles x y ,en una de ~s ecwdonesson respectivamente 19u.ilesa los que aparect~ en la otra KuKlón;entonces, In rectas tienen la mi$ma pendiente (-J)y po, tanro son paralelas.

Elegimos un punto cualquiera en la primera ~ta. P~ra tilo. tomamos cualquier valor de x. por ejemplo x - 110 5usówimlH en 1" K\liKión y enCOntnlllO¡ el valor de ,correspondiente:

6(1)+ 2, -3 - O dedonde, _ _ !. , Asl, ti punto p( 1, - t) pKtenKe a la primera recta. úlculamos allora la disun­

Cla de P a la segunda recta:

d _16(11+2( -t)+211_ ~ _~_ ~-3]<J "' ./6' +2' .. 40 2 .. 10 .J IO ..

P\), tanto, la diStancia entre 1a5~tas es de j; (figura 2.72). Para encontrar la di5tancla entre dosl"Ktu paralelas. tomamol un punto en una

de ellu y encontralllOsla distancia de ese punto a la otra recta.

Encuentra la di5tanció! entre la ~U~tO dador...

1. y-tx+5.P(- 1,2). . .. ~ y+2 _ 0.P(4,S).

> y- -tx + t, P(- 3,-4). 7. x- 2 -O, P(7, 1).

• t + ~- I.p(1, 5). L x+,'" 0, P(-4,-5) .

< roa - tx - 2, 1'(2,- 1). ,. -4x+ 6y+ 7 .. O, P(o.-3).

< 3x+ 5y- 8 ... O, P(6,2). 10.2x-IOy-5_0,1'(- 2,4).

HlJla la distancia entre las dos rectasdiitdilS.

11. 6x+9y-9_0,2X+3y+7_0.

11. x+2y+2_0, 4+4, _ 3_0.

13.7.>:-5y+I - O,7.r-5,- 1- 0.

15. .>:+2, + 2_0,2x + 4y_3_0.

16. S%+3,- 8_0.8.>:+3,+6_0.

17. SJ:+6, - W.5x+6, - 15. 1". -4+4y-3 _0,_8x+16y_2 _ 0. 1" -x+3y-5 _ 0,5x_15,+8 _ 0.

19. EnaJentra la Kuación de la ~ta quees perpendicular al segmentO ~ ~ por rl origen y que furrN un ángulo de 30" con el eje X. y cuy.¡ distan­ció! lJ origa¡ es 5.

20. Considera 101 puntos A(-1.3), 8(2.6). Y C(4, 1). Calcula la diitaltCla del puntoA a la recta que pasa por 8 y e Calcula eI.i~ dellr;angulo(on~· tkesA,8yC.

21 . Consideri lis rectaH:uyas e:uaciones son, .. ~% + ~ y 9% - 12, - S .. O. Y los PUIl(OS A( 2, t ) y 8(8, 8). CalcoA.l lis dist<lllcias de A Y B ~ ud .. UN de las ~s.¿Qué puedes condtir iIICefCiI deb ~ que pua por 'OS pOOW5 A y In

22. Ul puntO p(x,y) equidlstil; de los puntosA(3, 7) yB(6, 6~ ~dist¡fl(i¡ de P a I¡ r«ra quepaS¡ por A y !:lene pftld~nte 2 ~ de t.. Encutrltr¡ lascoor­derladM de P.

U. LDspuntosA,(x. 4) y 8(5. , ) ~ftKuenrr.m ¡mboSlUludlsund¡ de~de la r«ra quepasa por los puntos 1'(- 3, 2) y Q(8,S). Encuettrala abscisa de A, y la orden.lda de B.

Lados opuestos (semiplanos) respecto a una recta

JUin y Milii se erKuenmn en un¡ ciudid que dtne uni calle qu~ b cruu de un atl"fmO a ouo. Ellos ~halbn en el mismo lado de b calle si pueden caminarhasu <.bnde~t.\el otro sincruzirl.l; tri cambio, mn en 1id0SOpUest05$1 necesitan cru' ar la calle pira enl;ontrarlt

lJtiliuremo¡ el cmerio ¡nttrior tri el ").00 carre\ÍMIO para dmnir (u.\ndo dm puno IIOStrl el pbno fuera deuna recta ( están en el mismo lado respecto de l o en lados opuestos. MI, dlrtnlOS que dos puntOS P Y Q tuci de ( esdin en lados OpU6tOS respectO a esa recta si el segmento PQ Intersta a 1 (figura 2.73). Asimismo, diremos que Py Q est'\n en un mismo lido respeao ¡ { si PQno IntmeQ l ( (ligI.lra2.7~).

y y p p

--, Q .. . - .

Q

x x ~ .. )n

En el apirrado "Oe\Ígu¡ldade$ y regiones del pbno· vimos qu~ una rect¡ 1 no vertical divide el plano en tres conjuntos que pu~n caracterizarse de la siguiente manl'rll $1 , _ mx + b es la ecuación de la recta:

• Los puntos que están en la re:ta, que son precisamente los que Sltisfacen la ecu.Kión y_ mx + b.

• Lospuntos queesrán arriba de la recta. que satisfacen la desigualdad ,,. m% + b.

• Lm puntos que están aba;o de la re:ta, que satisfacen b desi¡r.Jaldid y<m% + b.

Rl:>5l.lÍt.1! intuitivamente cla.ro que $1 los puntos Py Q 1'SC1n ambOllrriba o debajo de la re:ti 1, enttmces elsegmtntO 1'Qno inters-eal t y, por tanto, los puntos P y Q esdin tri 00 mismo lado; en til1 tO que si uno esr'\ arriba y otrO deb¡jo, entol1<es PO in~ 1 y los puntos est.~n tri lados contnrio$.

Por lo amerior. se dir.\. que los puntos p(x.y) ""e s¡tisfacer1 y,.. mI('" h form~n un lado (semiplano) de b recta i, y el lado contruio a este lo rOrmiln los puntos (x. y) ""e mi$f.tcen y < mx'" b.

En una recta vertical no seóe~ la forma pendiente-ordenada al oriien. se tiene una ecuación del tipo:

las tra ~~ er1 que divide el pbno ""edin caracterimiS como se india 1 oontinuación:

• !Ds pUntOS queescán en la rectil.""f u.tisFicf n b ecuación x _11. • !Ds puntOS que están a b dereclla de b recta, ""e s¡¡isfacer1 la desiguald¡d

X><I.

• !Ds puntos que estin a la Izquierda de la recta. que satlsf.acer1 la deslguald¡d X<<I.

uno de sus lados ~ formado por lo! puntos (x,y) que cumplen b condición x> 11 yel otro l¡do lo (Onstituyen IosqJf!SitisFacen x .. 11.

Si queremosenglobar ambas sltuaciollf5.1o quedebemos Il~r es tl3bajir con b forma 8"1erjl%, de b ecuildÓll de la rero>. AsI. si b rern ltiene por ecuación smm~

Ax+~+C_O,

• uno de sus lados es d formado por los puntos (X, y) que satls(¡¡cen:

(2.24)

• y ell¡docontl3r1o 1 este es el formailo por los puntos (x,y) q..¡e uti$facen: .",%

(2.JS)

Podemos Ilam¡r a uno de los lados el ¡¡do positil.l{J ~ al OtrO el lado "qat¡~o. Esu asignación de nombra puede hacerse d~ modo arbitr.nio. atendiendo ~ aspectos geométricos. o bien puramente aJgebl3icos. Cuando dimos estos nombres decimos que /remo) "riflltado /"s lodos de .b rtaa.

Dos orientaciones de los lados de una ruta

Daremos dos formas de orientar los bdo! de una recta que mpoooer1 a distintos lSpecIOS ~~ri(Os y que se exprnan de modo a~bl3i(o de manera tal ""e el lado positivo queda representado por una desigualdad del tipo de la que apareceen (2.J41 yel n~gatiYO por una como la que se india en (22S~

OriDltaoo" 1!SI:03"dar

La primera de elbs es b que mú usaremos y $Urge de b discusión con b que co­mimu esta sección. A!.i, para una recta 00 Yleftical establecm"lOs como bdo po-

~itiYl) ell.ldo de aniba y como negativo el de ab<ljo; en tilmO ql.M' para una r«t~ ~ial designamos como positiYl) el lado de la dtncha Y como ne¡;¡tÍYO el de kl izqIlitl"da. Una vez que hemos procedido de ma m~ner.a, decimos que hemos d.oo laorimtad6n es(áJd¡ro natural a los lados de la recta (figuras lJ5y 2.J6~

y y (

(

Ax+By+C>O AI:+C<O

x x

El criterio algebraico ~e ~Heja esta orientación esdndar es el siguiente: escrlbl­r!lOS IHCUilCión de la recta 1 en la form~ general;

~D)' + C-O

OJldando de tener n > 0 (cuando t no sea I'trtlcalJ,o bien B _ O y.4 > O (cuando t 1m I'trtlGll). Para que secumpla lo amenor, qulzis sl!!r;i necesario muldpllar por - lla ecuación originalmente dada para t. Una vezhecho estO. los IJdosde t. segUn I¡ orlentóKI6n est~n<:br. queo:bn CiIliKtmz¡dos como 5igue;

t EII.ldo positiYl) l!!Stá formado por lospuntosque Siltisfacen .4xc+ By+ e > O. t ElI.ldo negiltivo ~ formado por los pumos ques;¡tlsfacen Nt + By+ C <o. Para conYenC81lOS de eno observamos que cuando B > O,,,

. . A c ·,,% ,04.%+ lIy+ C>Oequivaleay> -Jj% -"8:

51lavemal.entonca B _Oy.4 > O, laecuacl6n¡eneralsereO.lcea Al: +C _ Oy:

Ax+C> O equiYllle a;r¡ > - ~ A

En ... o ... n~n~,) "" una I"KQI no ~I<:.>I ""'.11)'< C-o,con lI~o. .. lado poso ........ ~ qu. .... ,....,tr ........ Iba dill ... ml ...... y_ .. ' m_po' IMpuntr><q ...... I.' .... n

A.tt'IIy.c~o

fnlao ... nUO<l6n~,) "" una fK~ nO _Ik ... 1 A.tt >By. e_O.ron B~O . .. Iodo nog;nho ..... 1 q"" .. ""c.....,'ra ... .» ... ml ...... y_ .. ' m_po' b.punto<q""_a<oon A.tt./I;I'.C~O

y

Q(-4,S) ·

- 10 --.tI --ó --.4 -1 -, , X

1. Determinar en qué lado de la recta 3x + 4y + S .. O estlo el punto Q( -4, S) ducueroo con la ~rient.lCión est~~r.

SollJd6n: \/tamos prll"nl!ro g.eolTlttt1camente lo que pan: Al ¡rafiur la recta, vemos q.te Q esdl arriba de la recta y, por tanto, está en el lado positr.<o de ~Ia (~gura l.n~

Si abordamos numéricamente el problema. notamos que la ~n 3;1' + 4 Y + 5 • O em eKriu de forma que el co.eficltote de res positivo;entonces, simplementeeYllluamosel punto Q(-4,S) en ell¡do izquierdo de l¡ ecu.lCión y vemos que:

3(-4)+ 4(S) + 5 .. 25 >0,

lipa m lo quelrw:lia que Q elá del lado positivo de la recta.

y 2. Detmninardequéladodelarecta2x - 5y" O estáelpunmQ(2,"Ó) %,.. \leViJn l¡ orientiKión est~ndar.

-, -,

SoIu.:Hin: X SI gr¡ficamos la recta,ob~r ..... mos que el punto Qesd.debaJo de

ell¡, 151 que esd en el lado Mgativo (figura 2JS~ AtI~kémo$lo ~tloril algebrilkMnellte. Como el coeficiente de

y (B.-5) en /¡¡ ecuiKión 21: - Sy .. O es nfgativo, pril"nl!ro multi-• Q(2,-6) pliam<» l~ecu.lClón por-l:

...... 1.11 I ~2x+5y.O .

. ",%, Después evaluam<» el lado Izquierdo en el punto Q(2,-6):

-2(2)+ S(~)_ -34 <O.

). D,tda la recta l. cuy.J «uación es íx+ 3y - 8 - O, detmninar si los plln· tOS "2, 1) y Q(-4,3) esan en el mismo lado de la rectl o en ladosopoes-11)1. Además, dl'temllnlf en qué lado e.d cada uno de esos pumos según Ii orientKÍÓn estándar.

Solución: Evaluamos ell.ldo izq...ierdo de l¡ ecuación 5.11: +3y - 8 .. O en los puntOS Py Q:

5(2)+3(1)- S:5 y 5(-4)+3(3) - 8: - 19;

el primer ..... Ior es positlYo y el segundo ne¡ptivo. por lo que P y Q est~n el lados opuesros de l.

ObserV¡Uf>Osquetfllae<l,Ió1Ción 5x .. 3y- 8 _ Oelcotficienrede yes positiyo; por lo t¡¡nto, podemos ¡plia~ el criterio ¡lgmraKo que Ilemos estable<klo pMi la orirnt:;\Clón est;indar; como:

y

5( 2) .. 3(1)-8_5>0 Y 5(-4) .. 3(3)-8 __ 19<0,

tenemos ~ 1'(2, 1) est;!, tfl el lado posltiYo)' Q(-4,3) tfl el lado nrgatiyo (ligura 2.79).

Q(-4,3) •

Orientación puntual

l.,¡¡ stgUnd,¡ rm.ntra de ()f~mar 101 lados de una m:ta se hace esuble<ltfldo que el lado positivo es aquel dondresd un punto particular p(x. ,y.) quehemo5 escogi­do p,rvi¡¡meme; a tal tipo deo,ieJJ(ólCión la lI.unamos orTtllt<loon ~lIl1twl.

El cri terio a~raico para IIna oñrJJ(ólCión puntual determinada po, el 1'11010 p( x. , Y. ) es el siguiente: escribimos Ij~dón de la rectaen la forma ¡peneJ¡~

f\x .. By"'C_ O;

entOrlCes, mllltlplicamos 1'0, (-1) si l'Iace falta piR lograrque al ew.IIIM la e<IIKI6n en el punto p(x.,y.)secumpl¡ queAx. .. By . .. c .. O; y est¡¡ble<emosque el lado positiYO está formado po, los punros Q(;c,y) que satishcro Ax + ay .. C .. O yel lado nI!goltiYO por los ""e CIImplen A% + By+ e <o. Oe-esti m,)oer¡¡, el punto P el;!, drllado positivo. .,

<

1, Las e<uaclones y _ x "1, y _ -X" 1 Y Y - - 1 cor~polldtfl I rres m:tas ""e forman un trUngulo. Dar ooa oritfltacl6n puntual a los lados dedl­~s m:tilS, de modo tal ""e todo plinto interior ¡I Ui~f1Sl'1o esté en los lados positiws rrsp«:to ¡¡ cida una de ellas, y obtrntr las desigualdades ""e denotn los lados positiYOs.

S<lllIdOn: Escribimos las e<uacior>es en la forma geller1.l :

Nosd;uroscuero deque el orlger\ ed. enel Inteñorde1 tIIAreJJo(llgura 2..80), ¡si que podemos utilizallo para du la orientación pumual ¡ cadalado.A1 evaluar los miembros drllado izquierdo de las e<uac:iones ameriores en (o.O),obtt'l'M'moi:

(0)-(0) .. 1_1>0 {O)+(O)- I _ _ l <O

(0)+1 _1>0.

. , -,

-,

• P(2. J)

X

~,-."

• X

y

1'(- 1,8) •

•

-, • X

¡\I dividir ~K"Kl6n ....... II,+C-Od. una,,,,, ... I.n". ~'A' • ti'. obt." ... mo< """"uaclOO norm"l>ada A ... IIy.~_o. .,.'..1' .11'

)

As!. debemos multiplicar por - 1 I;J. seguOOl ecu.Kión y eJl(OJK~ los lados posieiYO! estilon dados porbsdesi¡p.uldKles:

%-]+ 1>0

-x-,+ I >O

]+ 1 >0,

fII /o suasiVQ,Q lmoosqLR ¡ndiqLlmlOI otra COla,. US<lTrmOsla on'mtadónntdndar (arriblt Q(¡ajo. derecha t izquitrdclJ.

Distancia dirigida de un punto a una recta

Consideremos I~ recta' w)IiI ecuación es 7% -8,+ 20. O Y ti punto 1'(-1,8). ¡A q~ dIstancia de la r«ta etá P! ¿En qu~ lado de t em P!

Solud6n: Utlllundo la f6,I11,"1I (2.23) de la distarKL1 de un puntO a una recta, e_mosquela dlsu.nda de P a 1 es:

Pa ra determinaren qué I~o está dY'!Jlto (recordemosqueest'amos us.ando la orientación estoÍlldar de la recta~ mlllelplcamos I¡ ecuilCión 7%-8y+ 20 -o por - ] ya <JIt ti c~lclm [t de ,tS n~[iYo, 'DIJp lo que Obttnm1OS:

- 7%+&,-20 - 0 .

y al evaluar el miembro iZquierdo en P, tenemos:

-7( - 1)+ 8(8)- 20.51 .. O.

Esdeclr, PestoÍ en diado positivo: arriba dela reaa (Hgura 2.8 1). Cuando diYidimolla I'(uxión A:t + By + e _ Ode .... ~ rect l t f'nlll' .j A' + ¡f,

dl'(imosqllf' la oormalizamos, ya ~ I'(uación:

la llamamos «LIIXi6n normalizada df' ~ recta. El "so de las fomw normalizadas no. pl'rmitf' tXfinir la distancia dirigida, quf'

tlImbién lIamlll"f'mOs distancia con signo d<! un punto a .... a mu, cuyo VlIIo, oos IIf'Yi1 a cort(lct!" la distallCj;¡ dd puntO a "na reaa ( 1' en su caso, el lado de la fl!Cta f'n quf' '!"St'! ~ f' llCUentr.!.

eonsideremosel puntoP(J< •• ro) y escrj~s l. ecuolClón gtoenl de Ji. rectal:

de modo cal que R" o. o bien R. O Y A "O; tal y <XImo proce<Íimol para <:br l. ooen taclón est~ndar a los lados de r. PosteriormenTe. nO!11\allumos esta I!'(uadón y obtertemo~

donde B'" 00 bien. B' . O Y A '" O. Al ~Iuar el mll!Olbro Izquierdo en el punto p(x.. Yo) seobd_loque llama·

molla cU/:IlItÍQ dirigk10 (est6I1dar) de P a t y que denoumos por D( P, t ). Es decl r,

D(p t )= Axo+Bro+C. , J A' +B'

Est~ dimncia seri: ~. . , Pmidva cuando 1'(xo' ro) est~clFeIl~o poiitiwl dela m::u. , NegadVil cuando p(x" y. ) esté en el ~ negatiwl de la m::u. , Qro cuando 1'(x. ,y. ) e!l:~en la m::u. En mao,

D(P,l) Ax,+ By, +C"O J A'+B'

equivalea Irx. + B'y. ", e,. O 0.10 q.¡.eeslo mismQ,i quep~¡doeJl ell¡do poiltlYo (arrtnao derKlla). -"'%

De modo Jlmllar,

D(p,t)- Ax, +Bro+C <o ,}A' ... 8'

equlvalea A'x. + B'r. + C' < o 0.10 queeslo mismQ,¡ quePesthbicadoen el lada neg¡.tivo(abajo o izquierda)de (,

Analmente, D(P,t ): o equivaiea Axo + By. +C - o y ¡etieneentoncesque P esdi en la rl'Ctll.

Recordamos que la disuncia de P a t es:

d(P,r) .. Ax, +,11,., ~q =1D(p,r~. ,A + 8

osea. el Villor absoluto de la distancia dirigi<:b es la diltanciadel pl6lto a la ~l.

ResLlFllm: La distancia dirigi<b D(P, t ) de un puntO P a una recta t nos dice. a través de ¡U signo, c6mo está ubkado el punto res¡>@(toala recta, orientada de la man~ es· tin<:br, y su t¡mai\o (51.1 valor absoluto) !'lOS India la disuncia del punto a la ~a.

c...ando '''0.0 b~ A .o) yA .. O,~nlOnc:_ P(r,.y,).mUbl"'¡" ln'I .... o .1.delfth6dela rtalA:t+B}'+e-Osl ..... -",.*e .. o

,:11.' *B'

p{.".,.,).mub;CIdQ <»bI¡o o a 1.lzqul.,cIa eN 1.'-Ar+B,+C_Osl

A:t - !lyl .. e eO. ,lA' .B'

y

• F(3,2)

-, x

L 1 3 X -, • p(4.-2)

1. fnconmlr I~ diluncill dirigid;¡ del punto 1'(3, 2) ala m:tl ( tU)'4I ecu;¡ci6n es 3x - 4)'+ 8 .. Q; c!e<:lr(ómo en! ubiado Prelpecto tll r1!Cta.

Solución; MUltlpllaomos la lKU<lclón por -1, por $~ n~dvo I!'I coenclft1[4! d~ y.

-3%+ ~)'-8 S .. O .

EValulomOIM Pe! miembro Izquierdode 1.1. ecuxlón Irm!rior 'f obtn!!mos:

3 .. 8 !J D(P, i ) .. - - (3)+ - (1)- - .. - - o

5 5 5 5

Su diL~ .. dirigida es - ~. A~ que PeilÍl en I:'lbdo ~ivo ~ la reo:ta (abajo) y $ti distancia <1 1 es 1-tl- I (figura 2.82).

1. fncontrv la dlSQIncia del punto P(4, - 2) a la recta venial t cu)'ll ecu;¡­

dón es - 5.1 + 2 .. O; determinar $le! pumo 4!'StÍl4!n el mismo liKIo que el origen.

SoluOOn: Para resporlder ambas preguntas bilSll calcular L1s diiUOCi.l¡ dirigidas D(P, l) y D(O. l). -<'%,

Muklplicamosla ecuación por- I, ya que tS una recta v«úcal (B .. (1) y f'1 coefir:imU' ele x es negativo. DeS¡m51a normaliDmol obtmiendo:

, %- -_ 0 .

5

Sustituimos Iucoordmadas de P(4, - 2) yO(o..O) tn el miembro izquier­do de la ecuación anterior,

y D(O.().O-!.-~, 5 5

asl que P est¡ l!Il el lado posntvo de l y su djsur><:~ a ella es lfl - if-, I!I'I tanto que O esdi en el lado nep[i\fO.Por tanto, Py O est~nen lados con­trouíos, l'eipecto i l (figura aH

Coordenadas de un punto respecto a dos rectas ortogonales

L~ di$(¡nci~ di rigida tierte un¡ ~pliación intem.aote.Ob$ffv.omoSq.oe si p(~.y) es Wl pWlto ~ plaoo.~es la diltmcÍi dirigida de P a la ~u ~ .. O.es decir. al eje y, y yes la distancia dlógida de P ¡ la recu y .. O,es decir, al tje X. A.sLlucoordtnidas dt Psoo lasdlsraoc\as dirigidas a dos~u$ PIl!l'PtIldIcu La~ en(rt si. Esra kI~ nos ptnnlte encootrar lucoordtfl¡(Jas de P respecto a cualqultr sistema de tjesOrtO­gonales.

Si X' Y Y' son dos rectas ptrpendicuLares toue sLentonces laicoordenadas dt Wl punto P(~y) respectO ilI 51stema oft080oill X ' Y' SOl'\;

x'=D( p'.Y')

y'=D{P,x ')

1. Encootrar laicoordeoadude F(s,J) respecto a Lurectas .X ·: 8x- 6y+ 6 = O y Y':JX+4y - I = O.

SiJ/uci6n: ~ Comprobamos prim~ qlJt 1n-.f~SJ.uSOO ptrpl:'ooiclJbres.lo Qllt logramos al utilizar el crittrto (2.1~):

ol;1iencomprol::wldoqut5USpendientesm, - - b m, " ~s;a¡i5f;J(:torn, " -*. Orient~mos los ~os de Las rectas y oorma lIumos las ecuaciones q.oe re­

Rejan dicha orieotación:

()34 1 26 D P,Y' __ {S)-t _{3) ___ _ 5 S S 5

y

(,)433 1-4 D P,X __ _ {S)+ _(J) _ _ __ _

S S S 5 '

asi que lascoordenadas de P.con rtipecto ¡ las dosrect¡s di· das, son (~ , - .!f) (f1&llra 211'~

"'_1OCIII10l ~

y

•

'::> p

" • X

-, "-""'.M

Biseccriz de un ángulo

Encontrar 11II1.'(UiK;6n de cada una de hu bi$l.'Cll"O(t$ de 10$ ¡ngulo$ form~O$ por las fl.'Ct1ll! t, ~ t ,tu)'1ll$«uacionei son 4x - 3y + 2 _ O Y Sx -12y+ 19 .. o. repec· tlwmtnte_

SOlución: Como en ambas 1.'CU1IICior-.es el coeficientede y es ntptjyo, entorxe5 multiplicamos ambas por (-1), que d1lln 1111 orientiKión es¡~ndar a cada fl.'Cta:

-4x+3y-2 a O

- ;x+12y - 19 .. 0.

Normaliumos las ecuaciones:

y

-4X+3y-2 .. 0

J(-4J+3' , 3 ,

- Sx+sY - S .. o

-~.Hl2y-19 .. O

J(-s)' + 12'

5 11 19 - - x+ ....,,--j:- - .. o.

13 "!3 13 -"'%

Uamamot blteetrizintmor dt l1li dflglio a la semirrecta c:,Je parte del ~rtice del ingulo Y q.>e lo dlWdeen dos iIlgulos igt:ala R«ordemos ~ 101 puntos de una bisectriz interior equidistan de cad;¡ una de las rectas.

Al gr1lHor las rect.lS t, y t,observ.JLmcs q.>ese form¡ un p<ir de ángulos.lgudos opu@5t()sporel ~rtk:e.cu)'O .keromún Veselpuntode in~ción de ludos fl.'CtolS. l olS blSl.'(trkes interiores de esos .\ngulos;l8Udos forman un1ll recta que lIa· maremos /0 biseariz de cualquier¡¡ <leellos.Con elICepción de V, codos los puntosde eu bisectriz tienen la propiedad deq.>e eltÚl en el lado positivo de sólo una de las dosrectu t , y l ,;ali pilra ellolladinaocia dirigida a U"" de lo1S rectu espositÍ'llL y la disfancia dirigida a la otr.J es ne¡¡ltjya, compartiendo amlnsdistarxw dirigidas el mismo wlorabsoluto. esdecir, son núme.-osq.>e sólo difieren en el sigIlO. El ~rtice ~ en ambas fl.'(tas. por lo que su distan<ia dirigida a t , y 1, escero; es decir, todos lal punto! de la bis«ttb:, y 5610 ellos. satlmen;

D(P,t, ) . -D(P,t, ),

o, lo que es lo mismo,

-~X+ ~ y- ~ __ (_ 2.x+ ~y-~). 5 S 5 13 13 13

esdecir,

Sx- 12y.19 _0

~ .':2 .. dedondela forma ~er.l1 es: u-3y+2_0

7x-9y+l l _ 0,

qu~ es la bls~art:z c!f, los ingulos agudos (flgura 2.8S). Poroera parte. hay un parc!f,ingulosobtusosopueseos por

el ~rtic~ V, La rece¡ damnin¡d¡ por las biseceric~s inttliores de esos íngulos ~s llamada la ~ctriz de walquiml de esos dos 6",11101. C.ld;t punto de esti bisectrl~ en el lado positivo de aTIbas r«tas. o bim ~n el lacio ~títb de ~dos, con excrp­d6n, por supuesto, del vb"tlc~ ~ esei ttt ambas r«tiJ, Por unto, la ecuación dedkha bisectriz es:

$.1: - 12y+ 19 _0

-, D(P, I, ). D(P, I. ),

Con lo que obtenemos:

4 3 2 5 12 19 - sX+ 5Y- s· -1iX+1i Y - Ii'

SimplifiCilndo, obtenemos la rorlThl geJlel'a~

9x+7y - 23.0,

Ob_mos que las bls«erkes son ortogonales entrt ,t

Dos r«tas t, y t.~ se cortan fomun dos pares deíngulos iguiln (figura 1.87). C¡da uno d~ esos ~ngulos tien~ una bisectriz interlor,l..¡¡¡ bise(lfic~s inreriores

de cada pir de ~ngulos OpUI&OS por el ~e d~lffl11inan una recta llamada la l:isectriz dtl C~IlI't1'II de los 6ngu/os dd por rtSpea"vo. As~ ren.emos dos r«tas bisectrkescon la propiedad de~todopuneo decualquiera deellas equidi!u de l , y l~ ndecir, la ecuaci6n:

d(P, t, ) := d(P,t, )

representa ludos bisectrices.

"'_1OCIII10l t

~l "

p." " t ,

" X

-, ~

... '~ y 1,

Y"" 1,

""

'.

,....."'7

A ron tinu.lCión veremos que con el uso o:k! I~ dist.m<i¡ dirl~ poo:k!mosobtener 1<1 ecuxi6n o:k! cad<l un<l o:k! ell<Il,

Engentnl. si:

son lasecuaclones normalizadas quedan I~orientación esdndardedos rectas q.¡e se intersecan, entonces las oos bisectrices de los ánsulosrormados por ellas esdn decermin<ldas por 1<11 ecuaciones:

Ax + 8y+C .A'% + 8',,+C'

A% + Ily+ C . ~ (A' % + 11) +C').

Cuando queremos identlflur especffiumtnte un~ de lilS dos. debemos tener ruidado en escribir I<ls ecuaciones de manera ~ I<lS rectas ~f,n orientadas de manera est~d¡ry fijar un puntO 1'(%.,.) de la bisectriZdeseada.

Si PeId a..~ por.it ivo o en r ll<ldo nrptivo de <lmbilS rect¡¡¡,1<I bMctriz b, que lo contiene está d<lda por la ecuacl6n:

esdecir,

D(P. [ . ) ~ D(P. l,),

(Ax+BY+~'%+8'y+C" )

-.. %

(A _ A')% +( B _B'),. +(c - e, . Q.

(2.26)

En c.vnbio. si P está en ell.ldo positiVO de un~ de ellas Y en el lado negativo de la otra, entonces. 1<1 bisectriz b, q.¡e lo oontÍtrle_;i dada por la ecuación:

(2.27)

es decir,

( Ax+By+ e - - (A'%+B'y+c 'h ) (2.28)

(A+ A')% +(B + B')y+(e + C~. O.

lkl~ propied~ import ~nre q.>e ti_JI ~s bilectrkes de los ~flgUlos form.lOOs por dOI rectas que se cort'ln es que iOn perpendiculares (flgur.I 2.88~

Polr.l comprob¡¡trlo, eI1 geoen.l escribirnos lu ecuaciones rlOrm¡ ludiu de Iu rec­liS y obtenemos 1;11 yguientes para Iu bisectrices:

y

(A- A' )x +(lI-lI')y +(e- e ') _ o

(..4. + ..4.') :<+ ( H + 8'»)' +(C + C')_ o,

A' + B' _(A')' +(B')' _ l .

Aplicamos el criterio (2. 14 ~ obteniendo:

(A - A')(A+ A' )+(B - B')(B+ B') _ A' - (A' y + B' -(B')' - O.

'-1, Eoconlur I¡s ecuaciones de lu bisectrices de los ángulol forrNIdos por

I¡s m:tiS 6.>: + 8y - 5 .. O Y 4x - 8)'+ 10 .. O.

SoIud6n: PuestO queen la segunda ecuxi6n elcoeticierltede res negativo, multl-pliCOlmos por (-1) tod;¡ la ecuxión: "

-4x+8,-10 _ 0. . ... %

NOrmalizamos la priml'fa ecuxl6n yesca última:

,

6.>:+8,-5 _G

,J6' + 8' • • 5 iOx+IO'-IO-G

=-4ii·C·~8~yc-:l~O _ O K ... 4)' +8'

...... 8 10 J;j X + 'J;) )' - -;¡;¡ - O,

"'_1OCIII1DS ~

/, /,

.... ,.

P,r,tncOr>IrW'-1 blMClrictsdtlo. ",,~Ios Iorr"l\ldo. PO' dos ~taS, ........ n y "".mallzwllal ""'Id ...... de '-'IKU.L

)

-10 -8 --ó

y

• _o.

~ ~ -, , • X

-<

1 r.,..... >-901

l..;1s ecu.lCiones de la bisectrices son (figuu 2.89};

4 /; 8 X

(~+~)x+(~+k )Y+ (-~+(-7s0 ))_0 (~-io )x+(~+~)y+ ( -~-Tso )_0

(~-(- ;" )H~- ;..H+(-~))., (~+ ~)H(~- Jso)Y+(-~+ ~)_O.

2. En<ontrar I.1 s ecU<Kiones de 1,\$ bi!-eCtrlces de los ingulos form.ldos por las rectas 12x - 5y+ 2 .. O Y 7x - 9 .. O.

",.:t." Puesto que.en la primera ecuación el coeficiente. de yelnegatlvo, multl­pllcarnolla ecuación por (- I~

- 12x+5, - 2_0.

EIlla s.eguoda ecu<Kl6n te!1tmOlqlltel coeficiemedeyeslgual acero yel de x es positivo. entonces 00 n~c;t·amos modificar la ecuación.

y

r-brm¡lizamos: .....,.

-12;"~y - 2 ., J t2' +5'

11 ) 2

- li x+i3'-u-O

7x-9 --., , , x- - .o. ,

Encuentra, en cada C¡UO, la dirnmeia del punto P 1I la r~u dada y da~mina si Pestíi del mismo lado de la rtCt¡ que el origen.

1. 2X+3y-3_0,N:S,-2). 1. $x -4y- 8 _ 0, 1'(- 1, - 1). ). 2%-S-O, p(0,t). 4. %+y-6_0,P(3,4). So 8%+7y+2"0, P(-2, 1).

6. .H 7" + 21 -O, 1'(7,-3). 7. ,,+9 - O, 1'(- 3.-7). L 2x-,,+5_0, 1'(""",, 0). 9.3%-,,-6_0,1'( 1,-4).

Encuentra la bil~tril deI .ingulo "\udo '""mm por ~ do:! ~Ui d.lIdn.

10. 12'x -S,,-S _ Oyó'x+S,,_7 _ 0. 11 . 9%+l2y+21 _ 0y3x+4y+5_0. 12. y - ó .. Oy4,X - 3y+ó .. 0. 13. b+2,,-3_0y2.x_y+3_0. 14. 7% +24y_21_0 Y 12x+9y-6z0. 15. 8'x+IS,,+S _Oy3.x _ 4 y_2S_U.

~ 16. Enruftlmlla ~uacl6n de cada una de las blsKIrm de kl"t,tngulos for­

mados por las rectU l, y l, cuyas ecuaciones lOn J,X - 4y + 7.0 Y 8%+15y+3 _ 0.

17. LosladosdeunaUnguloseencuentranlObrelasreclu,S'x - 12y - 8 _ O, 9% + 12y + 14. O Y 3.x - 4y + 5 _ O. Enruentfil las ecuiICiones de I~s bisectrices de los ~ngulos del tri~ngulo y prueb;¡ que se cortan en un mismo punto.

Ecuaciones paramétricas de una recca

IDs puntos A( " 3) Y B(~, 4) daerminan dOS$4!gJ"IWntos dirigidos MI y IJA que sólo dilltren ftl su dirtedón. Al alcularen cada aso la diferftlcill (mremo final menos ectmno inicilll) obtenemos par$s ordenadas:

B-A.(-")-(I,'H~I) A- ,.(1,')-(-5,.)-(.,-1,

"'_IOCIIIUI1~

L.l primtfil sirve pilralndiur I~ dlfecclbn de A ~i~ B; ~ s.etl.orlda, ~ d.rección de 8hlcil A As~ decimosqueAatienelidlrección (-11, 1) Y BA li dirección (6,~I) (fiSUra¡1.91 y 2.91).

y B

tL:: .. ::.: .. :: .. :-: .. Oo •. ;. kA

, X

y B _ .=-.... :;.:.: ... :::: .. • [¡

'A

, X

Ob~ry;¡mosque par¡ Irde A hotda B nOllT'tOWmOI horuomalmeme-6 unida· des ydesp~ 1 unidad verticalmente.

Un móvil le mueveen Irnea rectl 00" w/(¡cidod (onstOlltt del punto A(l, 3) tlxia el puma B( 1,7) Y llega ¡ ese punto81 Un.l unidad de tiempo. Describir la posición del móvil et\.~W Imullte.

SOIuci6,,:

y

(1.7)

(2.11

• X fVor,I131

Con$id~$que el móvil esd en A(2,J ) al tiempo t _ Q. Por mOYl!'rsecon veio<:i­dold constante ~ ti_ que ~I tiempo t~ tl)(ontrm en elpumo p(t) _ (% (t),,,( t )) wyas coordenadal Siltisfacen:

(2.29)

donde <1 Y b 5011 conStantes que a conrinul(i6n d~enninamnos. Como la posición del móvilallnstantet _ 1 es P(I)_ B( I, 7) tenemos:

1 .. x(l) .. 2+<1'1

7.,,(¡ )_3+b·!.

As[. (a,b) - (~¡, 4): es decir. (<I,b) - B- A y, por tinto. (a,b) lJ'ldicalll dirección de A Ilacia B.

Al sustituir los v¡lores de,¡ y ben (2.29) obter'lemos:

x(t)_2_t

y(t)_3+41. (2.30)

Para valores de t entre O y I el móvil5e encuentra en el5epTlento que une (2, 3) con (1,7).

Si t > I,el móvil seencuemra en la recta que une lospunros (2. 3) Y (1,7) pero fuera del5egmerlto ""e ellos detemllnlrl, mú all~ del puntO (1, 7~

Si t < O,el móvil tlmbiblescá endicha re:u.peromel ocroladodel punto (2, 3).

Cuando describimos las(O()rdmada.sde llI1 pUntO p(x, y) en UN (lrva,en rbmlll()S de una tercera ~ariable t,

x_x{t), y_ y(t)

lIalTllmos a estas a:uociona paramiD'ims dela curv.J ydecimos que tes llI1 ¡:onlmrtro. Las ec~iones paramétricas ~iten describir umo sran c.mtí<W:I de CUrv.lS en

el plano. Para obt~nerln, pens.a1T'KH ~tron mOvil qLlf' recOtRla curv;¡dada, d~ ma­nera (pJt!tn c<lda Inmnt~ t wcoordmadl$dtl rnóYil son (%(t),)'(I)).

lk¡a curva drne muchou ecuaciones puamkrias dlsrln[ou. SI pensamos en la o.Jrva como una armera. un móvil puede recorm'la demuchou m.mtrasdistintu modifiando su Yelocidóld, detenlmdosee. induslllt', recorritndolaen sentido con­trario. Por e~mplo, las ecuaciones p.ar.llnétric.as:

x(t)_2 _ 1'

y(t) _3+4t' ~ -"'%

deso1ben la misma recta ""e luecuaclones (2.30), 51n embar¡o, con estls nuevasdes-­(ribimos ~ moYtmientodeun móvil que va de A a B misdeipiKioque ~ móvil del

tjemplo Incrocb:toóo, pero que desp~ de haber llepdo a B va m~ rlpldo. De hechQ.la mayor parte de lou figurou de este libro est~n construidas utl1iundo

ecuaciones par¡lInétricou. &110 sucesivo ya lI()t'S(ribiremosx(¡)y )(I),sino limplementet y y. ~ y¡¡,riou m¡¡,ntral de describir una (f(Q mediante ecuacion('$ par~Cb.

Momaremosdos ellas;pal1ll la pr1mera nosbaurfmOsen el ejempblntroductorlo. Si COrlOCl'mosdos p<mtosdeUnll recta R(x. ,yo ) yQ(x"y,), ffi(ooaslospulltC».:

l'(t):R+t(Q-R)

p(t ): ("""0) +1 (XI -X. ,l, - ro) {1.31}

pertenecen a la recta paracu.alquief valor de tytodo punto deella sepuedeescribir de esu. roflNl. SI a partir de esta ecuación escribimo.s la abscisa) la ordenada de P(t) = (x, r), obtenemos las ecUllciones paramétricu:

x .. x, .I(~-x, ), , .. , • • '(,, -r, ) de la r«ta.

"'_1OCIII1(w~

U ..... IOQIOC.,nPS FW"'am,*<r\a. cM la NCU

"'" pa~por k" punto, /1(~,.",) yO( ¡r .. r,) iOn IC _". "('" - ¡r.) ,- 1'.+1(1', -1', ).

)

Un ... ecu"clones ~_~usde"'~Q Y_JIU." son 'o,

Un ... ecu"'lo ..... ~_~usd .... re<Q Ax.lI,.C_O .... n

, e x _ __ I __ , ,

)

)

, P~ra ,. o, el puotO (x.y) es I¡wl ~ R(x •• ,.); p~r~ '_1. el puotO (x.y) es

o(x" y,). , Pu~ tenue Oy 1, (x,y) está entre Ry Q. , P~r~ t > 1, (x,y) eui fuer,¡¡ del ~unro RQ en el lado deQ. , P~ra t <0, (x,y) esd. fuer~ del ~nto RQ en ell.ldo de R. Tambltn poderrloseso1blr a oda pooro del~ recr~ como:

Q+I(R-Q).

En el prime.- ClSO, podemoi (oniideru que estamo~ recofTiertdo I~ recra en la dirección de R hacia Q y en el5egUndQ. en §encielo contrario.

Otra manera de p~nmetrlur un~ reaa es a p~rtir de alguM de las formas de su@cuacIÓnon:e5Iall.1, despejando una de las variables y utlllundo la otra romo par.l.metro.

Pore~mplo, a partir de la forma p!!ndiffite-ordmada. al origm:

utili:Z¡¡mos~~mo par.l.metro:

Otro ejemplo es a partir de la forma general:

cuando A .. O. Ene5ti1 Yluxión p~p~ x:

'''A e "--'A'-A y utilizar ycomo parámetrO:

y _l.

1. ();¡r url<lS@cuoloCiones paramétr\o::asdela r@ceaqueunelospuntosI'(5,3) yQ(8,2~

So/uci6,,: Sustituimos los p~tos dados m Ia@cuxión (1.)1):

(5,3)+ ,[(8,2)-(5,3)] _ (S,3) +,(3, -1);

si escribimos por sep.mdo I~ absdw y I~ ordenOlda deestOS pootos. entOJ'lCes:

2. D~r un.as«uaciones par.lomKricas dela recta lx -7'1- !1000,

So/uoon: Despep.mo! cUilq..ier.lo de lu variable5: , ,

'1-- x --, 7 7

Urllizarno¡ xromo pari.mm'O:

x _ t, , ,

'I -- t - - . 7 7

3. Escribirmla forma gm~II¡~~ de la =(;1 cuy;u ecuacionel pil"¡o mKrlcasson xoo 41 - 8 Y yoo -St+ L Soluoon: OdIemos eliminar el ~metrO t. p~r.l io c~ lo despep.mosde un~ de 1011 dos ecuaciones y lo sustituimos en la otra.

De la primeri ew.0Idó1l obtenemos:

Sustituyendo ell la segulld.l:

x_41_8

41_x+8

• 1 .. - +2 • '1 __

51+

1

'I --S(¡+2)+1 5 y ___ x_ IO+1

•

~demos multipliar I;r, ecuación por4 para eliminar I¡s fraccione:

5..:+4'1+ 36 _ 0.

Portioto, la ecuación de est<1I r«Q en su forma gtrl~1 e5 5..: . ... y + 36 - o.

Pensamien!A..., críticO" • U<ando .,,,,mo p.>,~m ... r<>,

",""n"'" ~na<@c~ .. <lo.­p.>raméulQ!; de la recY

cu)Qecuaclónfllj esc.lQenlo ...... . IITII!t~u

!.+l.l. • •

En Cildl. CilSQ.da unas ecuadone pamnétrias de ~ rectil que une los pun­tOSc»do i.

.. P(-2, 4), Q(2,-ii). • 1'(2, 1), Q(2, 11). ,. P(,,-7),Q(.5,4)_ ,. 1'(-9,-,), Q(4, -3) .

l. P(-5,-3), Q(S,3). • 1'(0,6), Q(-7 ,O). •. p(4,-ii),Q(- I, I). . . 1'(4,- 1), Q( 1,-8). 5. P(- I ,-l O), Q(8, 1).

En cada CiSQ. da unas ecuaciones pariméuic,u de la = ta dada,

lO. 4",+2),+13 _ 0. 11. 6%-7y+5.0. 11. -2 x +)'-8 _ 0.

11. 9%- y-9 - O. 14.7x+5y+20.0. 15.5:0:-2)'+ 14 _ 0.

&l cada caso, escribe en la forma genml ~ =ta CUyai ecu;loCiones parimé-­uicas IOn:

16. x .\;o- t, Y .. -2+6t. 17. ",.7 -3t.,. 4-2t. 1 .. ", .. 1+4I,y_3+51.

Resolución de problemas

19. x .. -7+ 13t,y .. S-St. lO. x.! + ~t.y.2 + t t. 11. ", .. 4 -.!ft,y_! t.

lugares geométricos " .... %

Encontrir etlugar gfCmárico de los puntos I'(x,y) que ec,Jidisun de los puntos 1\(-5,2) y B(I ,4).

5011166,.; L1 dista/Ki,¡ de A a P es:

y la dinarKill de B a P es:

~I elevamo~ ~I (U~lOldo y $Implilkolmos:

(:r + sr +(Y - 2)' • (:r- 1)' + (y- 4)' x' + lOx + 25+ r' - 4)'+4 _ x' -2x+l t)" - 8)'+ 16

10>;+25-4)'+4 _ -2>;+1- Sy+ 16

12x+ 4y+ 12_0

3x + )'+3_0.

Ellear gtolrn!trico determinado por uJla ecu,¡c!ÓJl es el coojuntO de puntOS que la sadsfac",-

B objeto de la geometrla anaUtica es estudiar ciertos lug¡¡resgeo~ricos utill­nndo louecuaclones que los repltiellu n V. redprocanwnte.ll!p~entar geométr\..

canwnte las soluciones de ecuaciones para obtentr propiedades de ellas. a partir de 5U represeJltóICión geométrica.

.. 1. EncOntrar laecuKlóndel luprgeoméaicode IOlpuntOs p(x,y)talesque

la difell!ncla de los cU~r.ldos de sus dlKandu a los pUntOS A(- 2. - I) V JJ(o,3)sui~l a 16.

SoIud6rr, El cu~rildo de la dist.U1ej¡¡ de A a Pes:

«-(-2))' .(,-(-1))' -(u 2)' .(,.ít yel cu~rado de la disun.cla de B a Pes:

-<'%

(x -O)' +(y _ 3)' _ x' t{y- 3)'.

Con los datOS del probl4!ffi3, planmmos la l!C:lJa(ión:

(Xt 2)' t (y+ 1)' _ [x' +(y - 3)' ] _ 16.

Simplificando tenernos:

x' +4x+ 4+ y' +2y+I-(x' + y' -6y+9)_16

4x+8y_16 _ 5+9

-4% t 20 '-- ,-1 5

y--2"Xt2"'

Ellug¡¡rgeom~ri(o bu5C3do oesla recu y ... -t x + t (figur.l2.9S~

y 4 • 8(1.4)

-6 _4 _2 x

y

•

e F G A X

2. En el trUngulo CU)'OI vértices son A(7,0). /(0, 10) Y C(-4,OJ,er'lcormarel lugar geométrico que oocriboen Iosceltrosde los =Iángulos inKritos en ese trj¡ogulo y q~ tienffi uoo de sus Iold<» sobre ell.ldo AC.

Solución: Ob~5 (figura l.%)que ~ ladoACeu:~en ete~Xyq~la alrur.a d~ tri.!.ngulo estI sobre el eje Yy mide lO.

La «UaCión de la ~a A 8 ~

P;¡ra con$UUir un ~dngulo con las propiMades ~ueridas, rornamos sobre el eje YcualqJler valor kenlreOy Io.y unamos una I'«ca p.aralela al ~ X que p~por k..l..,¡ KUOK161 de esu rKU es:

La rwa y. /¡-COrtOl!¡ recta ABenel punto Dy liI recta GBen el punta E. P:ira k !?9tlV ~c~nadOlS de D ~I~ t'1 ,¡§lema de Kuxiones:

As!, las «)Ordenadas de D son:

P:ira mcontr.lr lilScoordmadasdel punto Econsiden.mos III KUilC16n de liI,ectJ CB:

y procediendo de manera anilop a III amerior ~I'mOS qu<! las coorde­nadudeEson:

lOI dol vértices del r«t~nSUIo quenO$ falca conocer leeflCuemran lobre el eje X;entonces. levantamos una perpeookulu a elte *que p~ por el puntO E. Ella recta es Yertal y corta el * X en el punco:

De maner.a análoga, la re<:ta perpendicular al eje X que pm por Dcorta el eje Xen el punto:

El centro M del re<:dngulo es el puntodondese cortan lasdi¡gonales. ti decir, donde se cortan las rectal FD V GR

L1 abscl~ de M esel punto medio de las abscisas de Ey D, es decir,

y la ordenada es el punto medio de lasordenadude li y F.

k+O k

'--'--2' Dedonde.

Allel puntO medio dfopende sólo de III altura del reaingule. En este caso. como la altura del trlingulo es lO. entonces la ordenada de M serlo, a lo más, S,

Ahora consideramos el s&erna dfo «uaciones:

'_'(k~) , 10

despejamos * dfo la s~ ecuación y la sustituimos en la primera:

,_ '(I- ~) -'(I-¿). 2 10 2 S

fita última expmi6n li podemosncrlbircomo:

lo quertpresl!Ota una r«t~ quecon:a el eje X en ~ y el eje Yen 5,

a lupr geométrico busado e¡ e ¡,egmento de la recta ! + 1::. 1 (On y~ [0,5] (figul3137). f 5

y B

e F G A X ...... !1l

1. fnc~13 ellupr ,eommkode Iospumos OJya distancia al eje X es seis vece¡ :iU distancia al eje Y.

2. ErKuenua el Iug¡r geométrico de un punto tal que la peooienre de l.l ~ta que pi§¡! por él y ei punto P(0, 2) estinco YeCes la pendien te de la ~[~ que pill poré! yel puma Q(O,-6).

). ErKuenua el lupr geométrico delos puntos que equidina/1 de 10$ puntol A(3,9)yB(S,2).

4. Encuenua el lupr gromél:ricQ de,,! puntoS ta~ qlH! :iU dlsuncla a b recta 5% + 3y+ 7 .. O eHres ~su distancia a la recta 6y - S = 0.

Mund0) virtual

l. RKa pum:o-pmdln1tl!, ~ e! punto P(2,3) y e! escalar m . 4. Ahora Q)Mtruye la recta ¡¡ que pallo por Py tiene perdente m. Utiliza el Q)r\$['UCtor RtcIl:I Pu_~rntI' del menú de rec:taL En la panc;¡lb de datOS irYlít\t:Qs,. oprime el bothn Datos (.Q1feillnllS pil3 _los valores de los objetos coJlSll'uidos. OOOerva Ia«~ de l.l n!(t.l.l'<:$blememe fJ)

es la que e¡peraNs. Si haces el ejen:icio a milllQ, es prob.¡bIe que obten­gas 4x - y- S .0. RecuEfd¡ que si multiplias la ~6n de o..N recta por o..N constante. Qtxienes la misma recta. De roda! l;ti ecuaciones d¡.

du en la forma .u + By + e • o que representan una r«ta, GeoIab elige ;qJfb en la que JI.' + B' • L es dl!cir, la normalluda. PaI3 no'milllzar una eaación hay que dMelir todos; los coefIcienteS entre .f.i.'+ijf; en el ~~IQ. g <ivldlmos los (DftidtntfS entre .,r¡r:t¡I" = JIj, o~mos 0.970143% - 0242536 Y - l. 21 Ui8 • o.que ese! resultldoqueda ~lab.

fn la ~m¡lI¡ gr~fic¡.,\rr¡stf¡l el puntO Py observaque la r<!Cca ~ tr.ul¡· di con éL pero sigue teniendo la mi5ll1'\ inclinación.

1. Anm.d60. ~nen.remO$Ia familia de rectu que pw por P v;lriUlOO la pendiera de las misINs. ere.. ~ animaó6n que mueYa el escalar", entre - IOy 10. Etlla pantalla de datoS aNlíticos, pon el o.nor enel ~gI6n de la ~ ay~lIgPque~ traza. En la p;lnulla ~n.::~ endl!lldI!~ borón de nza (T) y ejecuta la anlmacl6n. Observa un ab.inlco de rec~5 que pasan

"" P. ) . Pendiente. En una recta A:c+ B)'+ e .. o ot:unemosla pelldientedes-

pepJldo yy fijártdonoserl el coeficiente de.t; .ui, '" .. - t. UtIliza la cons­trucci6n del ejercicio 1. Geolab p~utilillr loselemento!deun objeto p;r,u con muir otros. As!, si 11 es U~ recti. a.A. a.B, oLe son los coeficien­tes..4., 8 Y Cde Ia~. Consuuy.! ~I esolarcakulado" .. -111 • ..4., oL/J Y Q)"""rueba que 11 .. m.

4. .4.n • . llo. Ula la conmucclón del ejm:ldo ¡ n[.mor. El ingulo q~ rol'l1U. !na recta con ell!je X es el ángulo cuya tang.ente es la pendiente de la recta. UW el constructor MWida dt ángulos _ Gl/cubdo par¡ <onstruir et6ngulo ca/rulado g, poniendo la fónnula al'an(n).En el mmÍldeherl3.­miemilS puedes elegir la mag,ffiI en que quieres cpJe le muestre el '4lor ~ ángulo: radialle$, ¡rado:irliln~~noos, o gr.¡c\o¡ con decimales.

S. Rectil pordos IXInlos.construyelos punlos 1'(4,- 1) y Q(.,)) y la recta ' que pan por ellos.Ob2r'4 1M la pan[il llilgrálb QlI@IoSPllnrosPyQ aparecIMerI la llsea QlI@escialaderech,¡¡.EstOesporquefueronpunlo¡ (llnlm!i<!os dlrectamlMlt. Puedes elegir cu;r,lqolera de ello¡ y arrastrarlo (Dn d ratón. Observa ~ la retlil también se mueve. Ve lambién cómo cambia su ecu;adón.

6. blft"SeCción de dos recu i. Ulilila IiIconmucr16ndel *'" . io anlerior. ConStruye OIfOS dos puntoS R(2,31 5(-2, 1) Y la recta que pau por I'llos. En el r1"lMÚ ~consmJCcl6n de punros, rllJll! IlIItrSO!~ IX Il!ct<1i Y mnseruye la inlersecclón W de estas reclas;obs.erva el resultildo..Ah-ora cambia los '4lorri ele las coordenadu ele R Y S a R(S.2) y S(9.6). Ob­set"Y¡ cómo son las rt.:las. SI 1M la panlalla de dalo! analltices oprimes 1'1 botón Ottos carttsiOIlOS, en el rengl6n del pumo IV dio:e 1"1() tJljlU ti ohjtlo. Ahora. pon los '4lores R(S, O) y S(9,4}. 1M e:sttCilSQ, las dos I"«lilS roinciden y nUoeYamemeel pumo W dice ro existe ti objtf:o.

7. Rectu perpcndiwlares y panol«u. Utiliu la wnmucción del ejercicio S.COnseruye lln punto arbllrario A.Ahora censtruyela rectap perpen­dicular a , que Jn.Ia por A. QbsI'l"Vil lo. coefk:iIMte. de ¡mbl.5 r«tiIS.

¡qué maci6n hilyenlre ellos? Conse~ Urnl I"«ta t pilralell iI 'que pase por A •• Qllé rellld6n hay erllJe los coeI"iciIMteS de t y r?

L Oistlnci l de un punto iI Urnl ,ectil. Utiliza la construcción del ejercicio S.Conseruye llnil recta que pase por Py Q (aJ conSlfuirb,elige los pun­lOS en ese orden~ COnstruye un punto arbitrario A y la distalKia d del plinto A ¡ la recta ' .Obser'4 que d " O cuan-do A en;i arriba de liI rectil, Y d "" O clli.ndo esd. debajo. Esw no coincide con lo exput!l:o en el apar­tado "Oi5t¡¡lKÍa de un punlo iI una recta". ¿Por qué? Si Geo 'ilb consuv)le ..... a rectil por 105 puntos PyQlaooemHomo 51 fuera un rIo.Allr de P a Q, d iado izquierdo es el neg;ltiw y el derecho es el posili\fQ. Al CiIIkular

ti diltaocil del punto a I¡ rect~, no torm. el v~lor ~bloluto del nume­radorde la Kuación (2.30), sinoque pone un signo de acuerdo con II or\l!ntlción de II real. En I¡ plntl,lI¡ deditOs ",n¡ llticos, selecciona I¡ recta. y en tipo de dibujo (a la delKh¡ dedondeseeligeel color) selec­dona oñenUldtl _ UlntinuQ. Ob~va <pJe en el txtrtmO de la recta ap;! ' rece una necha <pJe muesrra la or\j!nraclón. Conmu~ arra recu s que p.lse por Q y P (en ese orden). Observa que I"'KuoKión deses ig ..... 1 ¡ la de r si multiplicamos todos 105 coeficitotes por - l . la recta $ está or\l!ntid¡ en el otro sentido que r. Constru~ la distancia edel punto A. a I¡ recta s y obler4 que ¡har. s es positiva ( ulndo A est' arriba de la recu.

9. llis«trir: de un ángulo. Construye los p!.fltOS K4,-I), Q(8,3) Y R(3,6~ Cormruye Iasl"tCt3sry sde Pi Qvde Pa Ro respeo:ivamerne (los punros en ese orden). COI"l5ll"U)'e un pIRO arbitrario A. y las <in:anclas dl y J2, de A a r y So rt$pKciYalT"ll!l"Q.. las ~s di-.iden el plano en (uatro ~onP!.. ~ el pu:ltO A hacia cada una de las regiones y obsttva que los núme­ros di y J2 son positivos en o.na de ellas, ~tivos en I¡ región opuestl por el vértice i li anterior. y que tienen signos opuestos en las otras dos re&\QnP!.. Comtruye la bisectriZ de Iai rectas r. s utilizartdo I¡ opción Intt· rior'líei . .memi 8iwctriLObserva <pJe estiI bisectriz p.l.li por las regiones donde di y rll tienen el mismo sl~ Conmuye la bisectriz de las rec· [1\ r. s udllulldo la opción &rl!riDrdel menú 8iseariz. ¡Por qu~ regiones pi.la? En oc.asiond no deseamos que Gtolab tome la decisión de( u.\1 bi· sectriz dlb~r, en ese (;¡so, podemos conStruir I¡ bisectriz <pJe pase por la región en donde esd ciertO punto. Conuruye la bi5ectrizde las rec­tOlS r, $ utiliundo la opción En lo mj$mo rtgi6n qllt un punto, y utili:u el punto A parll determinar li regi~ ambilli de color para distinguirli de 1000otrll¡ bisectrices. Arrnm. él punto A hKii las diferenteS regiones yol)serva cómo lo "persigue" b IílJ.!ariI.

Resumen de la unidad ]

, Forrr\¡ PUnto-pendiente de I¡ ecuación de una recta J - )', • m(x - x,), , li ecuación de la recta que pOlSa por los puntos I'(x"y,) yQ(x"y, ) es:

Y_Y,. k.h.. (x-x,). x,-x,

, Forma p~ietlte-ordeni'lda al origefl de la ecuación de una recta J. mx. h. , Ecuación de la recta verticil que pasa porel punto (h,k~x=h. , Forma general de la K uaci6n de una recei A.:o:. By.e.Q. , Forma ,i~rica dI' III E'CUKlón de una recu ! . ~ _ 1 . , Dos rectas distintas no verticales ion p3ralelas si m, - m,. ~ Dos rectOlS no vtJticales son perpendiculares $Í m,m, • - l.

" IA",+By.+q • ladistillnciil de un punto /' \%"r, )~ la re.::t¡ Al: + By + e .. Oes i .. .

J A' +8'

• Si A," + B,y+C; .. O y A.r+B,,+c, .. o son Inecuaciones de 1, y 1 .. ~5pectjya­mente. las blstarius de 105 ¡ngulo! ~rmi~o5 por ellas eseán dadas por:

IA,,,+ B,.r+C,I .. IA,z + 8,,+ e,,! J~+s: lA.: +B;

Ecu.aciones paramétñcas de la ~¡. • U'\a5ecuaci~ piramétricasdeb rem que pa¡.a por los puntos R( x" Y. ) y Q( X,," )

SOJl:

• Unas ecuaciones paral'Tláricas de la recta r .. mx T b 50n:

X"I, y_ml+b.

• UnasecuacioM$ PMllrMrio:;;H de ~ta A.l: + By+ e _OconA .. O son:

~ r Ejercicios de repaso

'0

En cada caso, tIlcuentrala ecuación de la 1'«1:1 que tiene lasprop¡J'ades dadas.

1. la pendiente es Igual a - ty ¡lasa por el punto P(2,6). '1. p~¡.a por los pum05 P(-2,3) y Q(4,-3). 3. La fM!nd~n~es I y la ornenac:b al origm es igual a-2. " . P¡ra~ a la recta 3x - r + I .. O Y puapor el punto P(-5.-I~ s.. Perpendicular a la recu 2;<-- 5r - O '1 pOlSaporel punto 1'(2,- 1). 6. Perpendicular a la recta x .. 6yplsa por el punto P(7,-I~ 7. Paraleb ¡ la rtcu y .. -2 Y pasapore! punto 1'(3, 4). .. Pay pore! punto 1'(1,- 4) y foflN un ;!,ngulo de 135"con el eje X.

,. Sidos ~dces de un tri.mgulo equilitero son los puntosll(-3.2) y 8(1 ,2), m ­cuentr.ll e! terter vértice.

10. SI el extr!'mo de un se¡vnemo el; el plinto 11(5,3) y el plinto medio de dicllo segmento es 8(6, I).lcuil ese! otro extremo del segmento?

1,. &lcuemrl la ecuación cHl lupr geom~uic() de los pumol 1'(1:,,) talei que la diferencia de IOlcuadooosde slIsdinnciu I dos puntos A(5,3) y 8(- 1.6) el;

igu¡J 125. 12. Dildo el trl.\ngulo con v&tiCts A(-3 , 7~ B(- 7,-5) Y C(S , 1) encuentra la ecua·

cIón de la I«ca que es p.erpendkular a b recu que UI'\e los puntos medios de loS lados A8 y Be y pas¡¡ pare! pUlID INdio m, AC.

13. &lcuffiU'¡lI~ ecuolCión de bo recta <!lit' p;ls..l por los puntos medios de los ses­~flt05 ,48y en, donde 04(7.4). 8( 11A 0:-3,-4), 0(4,2).

H . Encuentn.la ecuKión de la recu que pasa po r los puntos medios de los seg. mentol ABy CD, dondt- A(3. 7). 8( 1.3). C(3,4).D(S,8J,

lS . Losladosde un triánguloestinsobre lasrectnl lx- 3y - 1 .. O.7x.f 4)' + 23 .. O Y 2;:0;- 3, + 19 - O.ErKuent!Oi sus vmkes yla longitlld de susllldoi.

16. Oadu las ~as 20x - 21 Y + 6 - O yax -6y- 9 _ O,el'\ClI!!nmola«uadón de Ii recta bisectriz del ~ngulo agudo.

11. EnCUffitra la I!(;uación de la recta que pa$1 por el punto donde se cortan las n!Ctas4x +9, + 7 .. Oy x -6,- 23 .0, yel punto P(2,7).

1'. Encuentra los ...... Iores de las COO5la1tes rn y 1> erl Il ecuación de la. rect¡ r. rnx +1> li la recta par;;¡ por los puntos 1'(- 2,6) y Q(3 , ..... ).

19. Oem~ra que Illongitud de cu~lquier liIdo del triángulo cuyos vén:ices r;on .4(S, -2~(.b - 2) l C(S,-6) es lTlI!oor que li ruma de los otros dos lidos.

20. Encuentra la ecuación de la. recta ~es paralela a la recta determinada por 105 punmsA(-3, - 5) y 8(2.- 2) yquep,w por ~ punto C(- 3,O).

21 . Oibuj;lla ~6r1 que r.e encul!l'ltra arriba de la recta 2x -9 y+ S. O,debajo de I~ recta 2x - y +10. O Y deNjo de 1) recta 2x+ 7 y- 22 .0. Escribe I~ des · igualdades que describen la región.

12. Encuentra Il ecll<lClón de la rectl que ~a por el pUrlto donde r.e (On:arl hu reo:tUX + 4y .. (1 y x - 3y -7 .. O'J~tiene pendiente igual a-6.

n . EnCUttltl70 la disu/'ICia er'Iotn! las rti!tfs 5x - 3,+ 6 .. O Y Sx -3y- 24. O. H . Encuentra la dln:MlCIa emO! la recta ~_ 8y+ 16 . Oyel pUntO P(5,-2). U . Oido ~ tri.Iorlgulo (OrI 'o'&'tices A(I, 7). 8(- 3,0) Y C(6,- 21 ttlcuttltrala dlstarl·

da decada uoo de los véltkesalladoopuesm d~ míong,.Jlo. 16. COrlsidera el tlUngulo con ~rtkes .4(0,41 8(-2,0) Y C(2,0) y en.:uerotra sus

tre;;ingulos. ¡ES un tri.mSUIo iKlSCeles! 11. Prueba que lasrectas 2x + y - 11 .. O y4x + 2y - 3 .. Osan paralelas yeocuetl ·

tra la distan<ia entre ellas. U. Sean A( - 2.6), 8 (1,6) y C(- 2,3) los Wri:1ces de un triingulo Isósceles. Prutba qU!!

el punto 1'(- 1,4) esdi sobre li recta c:p..Ie UM B y e Prueba que la suma de las diSCirldu de P ¡ los lados de! triingul¡¡ es igual a la diSWKÍlI de e a la recta AB.

29. Replte~ problema 28, ~ro ahora con 1'(- 3, 2). ¡Podrlasencontl7orOtro punto pollOl el cual r.eobteng¡¡ el mismo resujt.Jdo!

30. Encuentra la ecuac ión de la recta que cumpla que el ;lrea del paralelognmo form~o por I~s rectas x - y - 2 .. O. 3x - 3y - 1 .. 0 Y el eje X r.e~ 2. Recuerda queel ~rti) del paralelovamo seobtime multiplicando li base por la altura. La "Iuclón no es ilrlki.

)1. Encuentra la ecuación de la recta qL>l' pasa PO' e! punto P(3, t) y fofTTl¡ en e! prilTll!rcuadrante. COrl los ejescoordmidtu. un triángulo cuy¡,'~ es 9.

31. Encuentr.llla ~uad6n ~ la rece .. quepisa pore! punto P(2,-2) yes eal que la lUma d~ laordenaeb del pumo deinunección do!' la recta COn ~I ej~ Y, cNS 1 .. lIbKis¡ de! pumo ~ineom«ci6n d~ la r~CiI con el ej~ X. ioI'iI iplal a 3.

33. En<uem~ la ~u .. d6n de la recu qu~ pilSi por ~I pumo 1'(-3{),8) y es til ~ 1 .. suma d~ la abS(isa ckI punro ~ int4!~~ci6n de la ~a (on l!'I~j~)( sa iplal a B rNS la ordenlld .. del punto de In~rsecdón de 111 rect.\ con d~¡e Y.

~ Cons~ra la ~a 1 dada por la@(Ua(:lón 7x - 3 J -63 - O yel triángulo con vérticesA(-2,7), 11(-5,4) y C(4,O).C<l<l.lI .. cIodel triángulo es b diilgOflal deun paF.lIeloSJOlmo w)'Os lados son p¡F.l1eIos ¡ 1 .. r@«(a l y"'ejeX. a. Encuerma 105 vértices deada uno ~Ios paraleloSJOlmos. b. P;¡,¡¡¡, Cida ¡n~lelogn.mQ, encuentra I¡@(ua(:ióndel .. recuquecontienel ..

otr.J diagon .. l. (.. Encuentra lascoordenadudel puneo en el qu~ s~cortan las treS recns del

inciso amerlor. 3S, L.;¡ cuota porconsumo d~ agua du~nte el eerc~r bimestre de 1!199 en la Ciudad

de Mexko es de $25.10 -si e! COflSUmo fu~ de 20 m' al b¡~. mientraS que por un conwmo de:loO m', también bimestral la aJoea esde $40.86. Si la O.lOti se akulari de mane~ lineal. ¿cuil serf .. el monto .. pi/(lílr por un con' sumo bimescralde 2S m', %

l6. Consideratl triángulo cuyos vért~son el orijen. A(5 ,O) y B;O,8). a. Ern:uentra la ecuadón de la alrura dij uiángulo que pasa pore! or~n. b. COnstruye un cuiCIrado ~n el segundo wadranet que eenga a Bcomo uno

de sus v~ces. Llamamos E al Y&tke opuesro al orlgr:n y F .. I qUO! esd sob~ ~I ej~ X.

(.. COnstruye un cuadrado en el WirtO wildrame qUO! tengi a A como uno de ws vértices. Llamamos e 1I Y&tice opueno al or~ y D al que est~ sobre e! eje Y.¿Quécoordenws tienen Cy D!

d Encuenera ~ coordeniCIas del punto dondl- se cortan Iís rectas EA y Be y ¡:rueba qu~eI plJ:'leo es¡i sob~ la ¡Iwra del lMlso a. ' -""

L Ern:uenua la ecuación de la ~a qu~ pasa por D y por t EncUO!nm la ecUlOCión de li r«:ti que p~ por Ey por F.Encuemri lu(oorden<Klu del punto donde se co,un estilS ~0lS Y prueba qUO! el pUntO est~ sob~ la ,,1-ru.a ckI incko a.

37. En(uenQ";ll~ ecu;K!6n de I~ recta que p~ porel puntO ~ 1. -~)y(llY¡¡ dist"n· da al origen es igual a l. Sugerenc:ia: Puedessuponerque la «uKIón de la recta buscada es de la form~ x + By .¡. e • o.

Autoevaluación J 1. Encuentr.lla pendiente de la recti ~ pasa por

(5,4) y (8.-3). .. m _ _ ~ .

b.m __ ~.

e. m_t;. d.m- t ·

&1 caso de que tu reIp~a sea Imorreaa, con' sulta bi pigil\ll 36.

2. &1cuentf3la ecuadón de la A!([lI que pasa por el puntO (2. -3) Y tiene pendiente-5. Ly _ _ 5%+I3.

b. y_ 5x-l3. c. y _ _ 5%+7.

d.y .. -5x- l3. En UKI de que tu reIp~a sea imorwaa. con' ~ltlI la pigina 43. %,

3. ¿Cldl delas slguiemesecuOKlones 00 rep~tlI la mlilN recta que Ludem:U? .l. -7x+3~ T2 y-t " O. b. 14x ~ 4'1 - =0. c. -42%+4'1 - 3=0. d.28% - +y+2"0. En ClKl de que tu relpuesta sea imorrecta, COII· sulta la. pigina 55.

<Ii. &1cuemrl la ecuación de la rectll ~ pasa por ~ pumo (-I,4)y tiene pendiente 2 L-x ~2y-9.0.

b. 2x- y+2 _ 0. C. 2% + 1+6 -0. el 2%- 1+6 - 0. En aso de que tu relpuesti sea Imorreaa, COII· sulta la. piginl43.

S. ¿Cldl de los 5iguientes pUlltoS es colilleal con los puntos (1, 6)y(-2, - 3)1 L (5. 18). b. (1, O). e. (2, -3). d. (O. - 3). En aKl de que tu relpuestl!.el imo~, con­sult'" la. pigina 98.

6. &1cuentra b InterSección de lasrectas 3x- 1 +5- Oy 2% +3,-4 .0, .. (2, - 1) .

b· (- ·~,-M· c. (-1,2). d(- f,I ). En caso deque tu respuesta sea inmrrect¡, con· sultala ptgina 62.

1. &1cuentrala recta par.llela a-2% + 8)' - I = Oque pasa por (2, 3)_ L--4X+y~S = O.

b·-"'~ ~1 - 1O -0. c.x+4,-IO=Q. d. -%';'~y - S=O,

En aso deque tu respuesta Se.I inmrrecta, con_ lUlta b piglna 73.

.. &1cuentrala rectl perpendicular a 5x -3 y~ 2 .o O que pólSil por el pUntO (- 1,- ] ), L 3%+5y+8.0. b.3x-5y-2.0. c. 5x-~+2 .. 0. d.3l;-'5y+2.0, En caso~que[U respuesta sea Inmrrecta, con­lUlta bsp'ginaiO y 73.

9.VEncuentrala dlStllncla del punto (2, 3)a la ft(ta 3x-4y-9=O. L 27.

b. -'1-c.1/.

d.H·

En caso deque [U respuesta sea ir>COrrecta, con­sulta b página SIl.

1 o.Encuentra la distancia entre bis rectas 5x- 12y -l. O Y 5x- 12y+ 11 .. O.

L9. C. ¡'. d. 'l;. b. ~ . En caso dequetu respuesta ie¡ inmrrecta, con­lUlta b ptgina 92.