ecuacion vectorial de la recta
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Ejercicios resueltos de Ecuacion VectorialTRANSCRIPT
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INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NCLEO ACADMICO TCHIRA
1
Dr. Rodolfo Mrquez
Ecuacin Vectorial de la Recta
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con
una direccin dada .
Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual direccin que , luego es igual a
multiplicado por un escalar:
Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuacin
vectorial.
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Dr. Rodolfo Mrquez
Ecuaciones paramtricas de la recta
A partir de la ecuacin vectorial:
Realizando las operaciones indicadas se obtiene:
La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares:
Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir sus ecuaciones
paramtricas.
Ecuacin continua de la recta
Si de las ecuaciones paramtricas despejamos el parmetro k.
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Dr. Rodolfo Mrquez
Y si igualamos, queda:
Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuacin
continua.
Ecuacin punto-pendiente de la recta
Pendiente
La pendiente de una recta es la tangente del ngulo que forma la recta con la direccin positiva
del eje OX.
Pendiente dado el ngulo
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Dr. Rodolfo Mrquez
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dados dos puntos
Si el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y
crece al crecer el ngulo.
Si el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa
y decrece al crecer el ngulo.
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Dr. Rodolfo Mrquez
Ecuacin punto-pendiente
Partiendo de la ecuacin continua la recta
Y quitando denominadores:
Y despejado:
Como
Se obtiene:
Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuacin punto
pendiente.
Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).
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Dr. Rodolfo Mrquez
Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A(-2, -3) y tiene una inclinacin de 45.
Ecuacin general de la recta
Partiendo de la ecuacin continua la recta
Y quitando denominadores se obtiene:
Trasponiendo trminos:
Haciendo
Se obtiene
Esta expresin recibe el nombre de ecuacin general o implicita de la recta. De esta forma se
acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuacin de una recta.
Las componentes del vector director son:
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Dr. Rodolfo Mrquez
La pendiente de la recta es:
Hallar la ecuacin de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1).
Hallar la ecuacin de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.
Ecuacin expl cita de la recta
Si en la ecuacin general de la recta
despejamos y, se obtienen:
El coeficiente de la x es la pendiente, m.
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Dr. Rodolfo Mrquez
El trmino independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta siendo (O, b) el punto
de corte con el eje OY
Hallar la ecuacin en forma explcita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.
Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos
Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es:
cuyas componentes son:
Sustituyendo estos valores en la forma continua.
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Dr. Rodolfo Mrquez
Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5).
Rectas paralelas a los ejes
Rectas paralelas al eje OX
Una recta paralela al eje OX y de ordenada en el origen b se expresa mediante la ecuacin: y = b
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Dr. Rodolfo Mrquez
Rectas paralelas al eje OY
Una recta paralela al eje OY y que corta al eje OX en el punto (a, O) se expresa mediante la
ecuacin: x = a
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Dr. Rodolfo Mrquez
Ejes de coordenadas
Los puntos que pertenecen al eje OX tienen como caracterstica que su segunda coordenada es 0,
la ecuacin del eje OX es y = 0.
Los puntos que pertenecen al eje OY tienen como caracterstica que su primera coordenada es 0,
la ecuacin del eje OY es x = O.
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si stos son linealmente
dependientes.
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Dr. Rodolfo Mrquez
Dos rectas son paralelas si tienen sus vectores directores iguales.
Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.
Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x e y respectivos son proporcionales.
Dos rectas son paralelas si forman un ngulo de 0.
Ejemplos
Calcular una recta paralela a r x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).
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Dr. Rodolfo Mrquez
Calcula k para que las rectas r x + 2y - 3 = 0 y s x - ky + 4 = 0, sean paralelas.
Hallar la ecuacin de la recta paralela a r 3x + 2y -4 = 0, que pasa por el punto A(2, 3).
3 2 + 2 3 + k = 0 k = -12
3x + 2y - 12= 0
La recta r 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s mx + 2y - 13 = 0.
Calcula m y n.
Incidencia
Un punto P(p1, p2) pertenece a una recta de ecuacin Ax + By + C = 0, cuando las coordenadas del
punto satisfacen la igualdad:
Ap1 + Bp2 + C = 0
Cuando un punto P pertenece a una recta r se dice que r incide en P o que r pasa por P.
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Dr. Rodolfo Mrquez
Analiza si los puntos A (3, 5) y B(0, 1) pertenecen o no a la recta r x + 2 y - 13 = 0.
3 + 2 5 - 13 = 0 A r
0 + 2 1 - 13 0 B r
Cuando dos rectas r y s tienen un punto comn, se dice que tienen un punto de interseccin.
Para hallar las coordenadas del punto de interseccin de dos rectas, se resuelve el sistema
formado por las dos ecuaciones de las rectas.
Hallar el punto de interseccin de las rectas de ecuaciones r 2 x - y - 1 = 0 y s x - y + 1 = 0.
Posiciones relativas de dos rectas
Dadas dos rectas, Ax + By + C = 0, A'x + B'y + C' = 0, para calcular su posicin relativa tendremos en
cuenta que::
1 Si , las rectas son secantes, se cortan en un punto.
2 Si , las rectas paralelas, no se cortan en ningn punto.
3 Si , las rectas son coincidentes, todos sus puntos son comunes.
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Dr. Rodolfo Mrquez
Son secantes las rectas r x +y -2 = 0 y s x - 2 y + 4 = 0? En caso afirmativo calcular el punto de
corte.
Ecuacin cannica o segmentaria
La ecuacin cannica o segmentaria de la recta es la expresin de la recta en funcin de los
segmentos que sta determina sobre los ejes de coordenadas.
a es la abscisa en el origen de la recta.
b es la ordenada en el origen de la recta.
Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuacin general.
Si y = 0 resulta x = a.
Si x = 0 resulta y = b.
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Dr. Rodolfo Mrquez
Una recta carece de la forma cannica en los siguientes casos:
1Recta paralela a OX, que tiene de ecuacin y = n
2Recta paralela a OY, que tiene de ecuacin x = k
3Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuacin y = mx.
Ejemplos
Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente.
Hallar su ecuacin.
Hallar la ecuacin cannica de la recta que pasa por P(2, 1) y tiene por vector director v = (3, 4).
Hallamos la ecuacin en forma continua:
Pasamos a la general:
4x 8 = 3y -3 4x + 3y + 5 = 0
Si y = 0 x = 5/4 = a.
Si x = 0 y = 5/3 = b.
La recta r x y + 4 = 0 forma con los ejes un tringulo del que se pide su rea.
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Dr. Rodolfo Mrquez
La recta forma un tringulo rectngulo con el origen y sus catetos son la abscisa y la ordenada en
el origen.
Si y = 0 x = 4 = a.
Si x = 0 y = 2 = b.
La ecuacin cannica es:
El rea es:
Una recta pasa por el punto A(1. 5) y determina con los ejes de coordenadas un tringulo de 18 u2
de superficie. Cul es la ecuacin de la recta?
Aplicamos la ecuacin cannica:
El rea del tringulo es:
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Dr. Rodolfo Mrquez
Resolvemos el sistema:
Hallar la ecuacin de una recta que determina sobre los ejes coordenados, segmentos de doble
longitud en el eje de abscisas, que en el de ordenadas, sabiendo que pasa por el punto A(3, 2).