Lección 3

Sabemos que basta conocer dos puntos que pertenezcan a una recta, para determinar correctamente la ecuación de una recta en el plano. Consideremos primero el caso de una recta que pasa por el origen del plano cartesiano. Es decir, uno de los puntos de la recta es (0, 0) y otro es, digamos (a, b). Si ahora trazamos el vector 〈a, b〉, podremos observar que este vector tiene, naturalmente, la misma dirección que la recta que pasa por (0, 0) y (a, b).

Entonces, podemos decir que, para determinar una recta que pasa por el origen, basta un vector, que tenga la misma dirección de la recta. Observa.

En un plano cartesiano podemos representar una recta L, que pasa por el origen O(0, 0) y con vector director d = 〈d

1, d

2〉 paralelo a la recta L.

Si P es un punto que pertenece a la recta L, por ejemplo P(x, y), entonces siempre

existe un número real λ, tal que OP = λ · d .

Luego la ecuación vectorial de la recta L es 〈x, y〉 = λ〈d1, d

2〉.

¿Cómo hacerlo?Dado el punto A(4, 7), determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el origen y el punto A.

Se utiliza el vector a como vector director d , que corresponde al vector OA :

d = a = 〈4, 7〉

De esta manera, se puede escribir la ecuación vectorial de la recta como: 〈x, y〉 = λ〈4, 7〉. O bien, como: 〈x, y〉 = 〈4λ, 7λ〉 con λ ∈ R.

Veamos ahora qué sucede si λ = 3. Al remplazar en la ecuación:

〈x, y〉 = 〈4 · λ, 7 · λ〉 = 〈4 · 3, 7 · 3〉 = 〈12, 21〉

Es decir, el punto (12, 21) pertenece a la recta 〈x, y〉 = λ〈4, 7〉.

Ecuación vectorial de la recta en el plano y su ecuación cartesianaAprenderé a: identificar y describir rectas en plano, deducir la ecuación vectorial de la recta y su relación con la ecuación cartesiana.

Observa el siguiente gráfico.

• ¿Cuál es la ecuación de la recta representada?

• ¿Qué vector tiene la misma dirección que esta recta?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Cómo podrías representar la ecuación de esta recta utilizando vectores? Explica.

Repaso1. Grafica en un

mismo plano

cartesiano los

siguientes vectores.

a. v = 〈6, 2〉

b. u = 〈12, 4〉

c. w = 〈9, 3〉

d. ¿Qué puedes

concluir?

X1 2 3 4 5–1

54321

–1

Y

0X

O d1

d2

P

L

Y

X

d

162 Unidad 3 - Vectores

3Unidad

Ahora, cuando la recta no pasa por el origen, además del vector director 〈d1, d

2〉 es

necesario determinar un vector que indique la ubicación de la recta en el plano.

En este caso, si la recta L tiene vector director d , pero que además pasa por el punto P

0(x

0, y

0), para representarla consideramos un punto cualquiera P de la recta L, cuyas

coordenadas son P(x, y), entonces existe un número real λ, tal que P0P

= λ · d , y por

lo tanto: OP = OP 0 + λ · d .

Utilizando el vector posición p0 de P0 y considerando el vector p de P,

resulta: p = p0 + λ · d .

Además, si d1 y d

2 son las componentes del vector d , la ecuación

vectorial de la recta, expresada en coordenadas es:

〈x, y〉 = 〈x0, y

0〉 + λ 〈d

1, d

2〉.

¿Cómo hacerlo?Dados los puntos A(2, 3) y B(5, 2), determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por ellos. ¿Qué sucede si λ = 12?

Utilizamos el vector b como vector posición de la recta (también podríamos

haber usado a como vector posición).

Luego, calculamos su vector director d , que corresponde al vector AB:

d = b – a = 〈5, 2〉 – 〈2, 3〉 = 〈3, –1〉.

De esta manera, podemos escribir la ecuación vectorial de la recta como: 〈x, y〉 = 〈5, 2〉 + λ〈3, –1〉. O bien, como: 〈x, y〉 = 〈5 + 3λ, 2 – λ〉 con λ ∈ R.

Veamos ahora qué sucede si λ = 12 . Al remplazar en la ecuación:

〈x, y〉 = 〈5 – 3λ, 2 + λ〉 = 〈5 – 32, 2 + 12〉 = 〈 10 – 32

, 4 + 12 〉 = 〈 7

2, 5

2 〉.

Observa que, por otra parte, el punto medio del segmento AB está dado por:

b2 + 52

, 3 + 22

l = b72

, 52l, lo que coincide con el punto correspondiente a

remplazar λ = 12 en la ecuación vectorial de la recta.

Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta es que permite obtener ecuaciones para un segmento específico de la recta por medio de una restricción del parámetro λ. Así, por ejemplo, en la ecuación 〈x, y〉 = 〈2, –1〉 + λ〈1, 2〉, si restringimos el parámetro a 1 G λ G 3, estamos describiendo el segmento de recta que une los puntos (3, 1) y (5, 5), que son los puntos obtenidos al remplazar por el mínimo y el máximo valor asignado al parámetro λ.

Y

XO

P0

Pp

0d

pL

Vectores - Unidad 3 163

Lección 3

Tomo nota• Las expresiones p = λ d y también p = p0 + λ d reciben el nombre de ecuación vectorial de la recta.

- d es el vector director, paralelo a la recta,

- λ es un parámetro. Al remplazar valores de λ, obtenemos los puntos que pertenecen a la recta,

- p0 es el vector posición de la recta (que no es un vector ponderado de d ), se utiliza cuando la recta no pasa por el origen del plano cartesiano.

Actividades 1. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos dados: A(–4, 6) y B(4, –2).

2. ¿Se puede determinar la ecuación vectorial de la recta a partir de los puntos C(1, 1) y D(4, 4)? En caso afirmativo, ¿cuál es su ecuación vectorial?

3. Dada la ecuación vectorial 〈x, y〉 = 〈1, 2〉 + λ〈4, 8〉, determina tres puntos que pertenezcan a la recta.

4. Determina la ecuación vectorial de una recta paralela a 〈x, y〉 = 〈2, –5〉 + λ〈1, –4〉; luego, grafica ambas rectas.

¿Cómo hacerlo?Si la recta L tiene vector director es d = 〈6, 4〉 y el punto A(5, 7) pertenece a ella, ¿cuál es la ecuación vectorial de L?, ¿cuál es su ecuación cartesiana?

Para determinar la ecuación vectorial de la recta, observamos que la recta L pasa por el punto A, luego, podemos usar a como el vector posición:

〈x, y〉 = 〈5, 7〉 + λ〈6, 4〉 con λ, número real.

Si remplazamos valores en la ecuación vectorial, podemos ubicar en el plano cartesiano dos puntos pertenecientes a la recta y, luego, determinar su ecuación cartesiana.

Entonces, para determinar un punto B de la recta L, asignamos un valor cualquiera a λ y lo remplazamos en la ecuación vectorial. Por ejemplo, si λ = 2:

b = 〈5, 7〉 + 2 · 〈6, 4〉 = 〈5, 7〉 + 〈12, 8〉 = 〈17, 15〉

Luego, el punto B resultante es (17, 15).

Finalmente, calculamos la ecuación cartesiana de la recta, ya sea a partir de los puntos A y B, o bien, dados un punto de ella y su pendiente.

Podemos obtener el valor de la pendiente m a partir de las

coordenadas del vector director 〈d1, d

2〉 como m =

d2

d1

.

Entonces, remplazando en la ecuación punto-pendiente, obtenemos que la recta es y – 7 = 4

6 · (x – 5). Y, ordenando, la

recta es: 2x – 3y + 11 = 0.

2 4 6 8 10 12 14 16 18–2

16

14

12

10

8

6

4

2

–2

Y

0X

L

B

A

d

164 Unidad 3 - Vectores

3Unidad

Vectores - Unidad 3 165

Uso GeoGebraGeoGebra es un software libre que relaciona álgebra y geometría. Por una parte, se pueden construir puntos, vectores y rectas, y luego modificarlas dinámicamente. Pero también se pueden ingresar las ecuaciones y coordenadas directamente y obtener las gráficas correspondientes.

Para descargar este programa ingresa a www.geogebra.org/cms/es. Pulsa el botón Descarga, y luego haz clic en el botón Applet Start. De este modo podrás trabajar con este software sin tener la necesidad de instalarlo en el computador.

1. Usando el botón Nuevo punto, ubica tres puntos no colineales en el plano cartesiano.

2. Con el botón Vector entre dos puntos, determina los vectores correspondientes. a. ABb. BCc. CA

3. Para determinar la recta que pasa por un punto, digamos A, y cuyo vector director es el vector v, por ejemplo, se escribe en la celda Entrada el comando Recta [A, v] y luego presiona Enter.

a. Determina la recta que pasa por A y cuyo vector director es AB .b. Determina la recta que pasa por B y cuyo vector director es BC .c. Determina la recta que pasa por C y es paralela a la recta que

pasa por A y B. Observa las correspondientes ecuaciones cartesianas. ¿Qué tienen en común?, ¿en qué se diferencian?

4. Con el botón Elige y Mueve, puedes mover cada punto, o incluso, los vectores, y a medida que desplazas los elementos, el programa determina la nueva ubicación de cada punto y recalcula las ecuaciones correspondientes en la Vista Algebraica.a. Si desplazas uno de los puntos de modo que uno de los vectores quede horizontal, ¿qué forma

tiene la ecuación cartesiana de la recta que tiene ese vector director?, ¿por qué sucede esto?

Observa en la Vista algebraica que los vectores se escriben en dos filas, de modo que la abscisa está en la primera fila y la ordenada está en la segunda fila.

Al ingresar cada recta en el programa GeoGebra, simultá-nemente en la Vista Gráfica se representa gráficamente la recta y en la Vista algebraica aparece la ecuación cartesiana corres-pondiente.