1.- sistema de referencia en el plano....2.- ecuaciones de una recta: 2.1 ecuaciÓn vectorial de la...

1º Bachillerato Matemáticas I Tema 6: Geometría analítica Ana Pascua García

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1.- SISTEMA DE REFERENCIA EN EL PLANO. COORDENADAS DE PUNTOS Y VECTORES. Un Sistema de referencia en el plano está formado por:

� Un punto O llamado Origen � Una base. Tomaremos la base canónica B = { }ji rr ,

Se denota R ={ }jiO rr ,, Vector posición:

Sea A un punto cualesquiera del plano. Llamaremos vector posición al vector OA, que tiene origen en O y extremo en A.

Coordenadas del vector libre AB Sean los puntos A ( )11, yx , B( )22 , yx .

Luego para hallar las coordenadas del vector AB , se obtienen restando las coordenadas del extremo menos las del origen.


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Proposición: Tres puntos A, B, y C están alineados si los vectores BCyAB tienen la misma dirección, eso es, si sus coordenadas son proporcionales

Ejemplo:

Ejemplo:


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Coordenadas del punto medio de un segmento: Consideremos el segmento AB , siendo A ( )11, yx y B( )22 , yx y sea M ( )mm yx , el punto medio de dicho segmento.

Las coordenadas de M serán :

+=

+=

2

2

21

21

yyy

xxx

m

m

Demostración: Basta considerar que MBAM =

( )( )

( ) ( )

cqdyy

yyyy

xxxxxx

yyyy

xxxxyyxxyyxx

yyxxMB

yyxxAM

mm

mm

msm

mmmmsmm

mm

smm

22

22

,,,

,

2121

2121

2

21221

22

1

+=→+=

+=→+=

−=−−=−

⇒−−=−−⇒−−−−

Punto simétrico de un punto A respecto de otro punto M Si A' es el punto simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del

segmento 'AA . Es decir , se cumple que 'MAAM =


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Ejemplo:


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2.- ECUACIONES DE UNA RECTA: 2.1 ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

Para poder calcular esta ecuación necesitaremos:

� un punto por el que pase la recta

� y un vector que determine la dirección de la misma. Sea A (a1, a2) un punto por el que pasa la recta

y u (u1, u2) el vector director de la recta. Cosideremos P (x, y) un punto cualquiera por el que pase la recta.

Observando el gráfico se observa que : utOAOPr

·+= Ecuación vectorial ( ) ( ) ( )2121 ,·,, uutaayx += , siendo t ℜ∈

2.2 ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA Desde la ecuación vectorial, operamos e igualamos coordenada a coordenada, y obtendremos las ecuaciones paramétricas. ( ) ( ) ( )2121 ,·,, uutaayx += → ( ) ( ) →++= 2211 ,, tuatuayx Ecuaciones paramétricas

ℜ∈

+=+=

ttuay

tuax,

22

11


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2.3 ECUACIÓN CONTINUA Despejamos el parámetro t de las dos ecuaciones paramétricas e igualamos las expresiones resultantes:

ℜ∈

+=+=

ttuay

tuax,

22

11

=−

=−

→t

u

ay

tu

ax

2

2

1

1

Ecuación continua

2

2

1

1

u

ay

u

ax −=

−

2.4 ECUACIÓN IMPLÍCITA O GENERAL Operando y simplificando en la ecuación continua obtendremos la ecuación general de la recta.

2

2

1

1

u

ay

u

ax −=

− → )·()·( 2121 ayuuax −=− → )·()·( 2121 ayuuax −=−

→=+−− 02112·12 auyuuaxu 0)( 2·12112 =−+− uaauyuxu Ecuación general o implícita 0=++ CByAx Nota: De la ecuación general es muy fácil obtener el vector director de la recta:

),( 21 uuu , basta fijarse en los coeficientes de x e y , como se deduce de

0)( 2·12112 =−+− uaauyuxu → 0=++ CByAx → ),( ABu − Ejemplo:

El vector director de la recta r: 3x-5y +4 = 0 es )3,5(u


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2.5 ECUACIÓN EXPLÍCITA

Se obtiene despejando y de la ecuación general.

r: 0=++ CByAx → B

Cx

B

Ay −−= . Suele expresarse de la forma nmxy += ,

siendo

−=

−=

origen elen ordenada la

pendiente la

B

Cn

B

Am

Notas: Sobre la pendiente de la recta

� Recuérdese que ( )211

2 ,, uuusiendou

um

x

ym =→

∆∆

= el vector director de r.

� La pendiente marca la inclinación de la recta, y coincide con el valor de la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo X. αtgm =

� Si la recta es creciente , la pendiente es positiva, y si es decreciente, la pendiente será negativa.

Sobre la ordenada en el origen : La recta pasa por el punto P(0, n) , n > 0 ó n < 0 2.6 ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA

Consideremos la recta r: 0=++ CByAx de vector director ),( ABu − .

Diremos que el vector nr

( A, B) es un vector perpendicular o normal a r, ya que el producto escalar es 0. =⋅ vu rr ),( AB− · ( A, B) = -BA + AB = 0

Sea P (p1, p2) un punto por el que pase la recta , y Q (x, y) un punto cualquiera de la recta r. Sea n

r (A, B) un vector normal a r.

La ecuación normal de la recta r es de la forma ·nr

0=PQ Es decir (A, B) · (x - p1, y - p2) = 0 → ( ) ( ) 021 =−+− pyBpxA


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2.7 ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE DE LA RECTA Dados un punto P (x0 , y0 ) y la pendiente m de la recta, la ecuación punto pendiente será: y - y0 = m · (x - x0 )

Ejemplos resueltos:


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3.- POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO La posición relativa de dos rectas en el plano viene determinada por el número de puntos que tienen en común dichas rectas.

Para averiguar la posición relativa de dos rectas habría que resolver el sistema formado por sus ecuaciones y se daría uno de estos casos:

� Sistema compatible determinado: la solución es única, esto es, tienen un punto de intersección, y por lo tanto son rectas secantes.

� Sistema compatible indeterminado: Infinitas soluciones, es decir, existen infinitos puntos de intersección, y por lo tanto son rectas coincidentes.

� Sistema incompatible: no tiene solución, es decir, no tienen ningún punto en común, son rectas paralelas.

Sin embargo, no será necesario resolver el sistema, ya que podremos aplicar los siguientes criterios:


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4.- HAZ DE RECTAS 4.1.- HAZ DE RECTAS SECANTES Se llama haz de rectas secantes de centro o vértice P (x0, y0) , al conjunto de todas las rectas que pasan por el punto P. La ecuación del haz será de la forma : ) x-(x · m y -y 00 = Nota: Para que el haz quede completo hay que añadir la recta x = x0 , paralela al eje Y y que está incluida en el haz. Así: el haz completo sería: { } { }000 xx ) x-(x · m y -y =∪=

4.2.- HAZ DE RECTAS PARALELAS Se llama haz de rectas paralelas a la recta r: Ax + By + C = 0, al conjunto de rectas que son de la forma: Ax + By + K = 0 , siendo k ℜ∈


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5.- DISTANCIA ENTRE PUNTOS Y RECTAS 5.1.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre los puntos del plano P(p1 , p2) y Q (q1 , q2 ) , coincide con el módulo del

vector PQ, por lo tanto:

Propiedades de la distancia entre dos puntos:

Ejemplo: La distancia del punto A (10, 6 ) a otro punto B del eje de abscisas es 10 u. Halla las coordenadas del punto B.


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5.2.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Dados un punto P y una recta r, la distancia del punto P a la recta r es la mínima distancia entre dicho punto y cualquier punto de la recta, y se obtiene en la perpendicular a la recta r trazada desde el punto P.

Demostración:

Ejemplo:


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5.3.- DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

ellas. de una cada de puntoun tomar

alobtener puede se que distanciamenor la a rectas dos entre distanciapor entiende Se

Naturalmente, si las rectas son secantes o coincidentes la distancia es 0. Luego la distancia entre rectas interesa únicamente entre rectas paralelas. La distancia entre dos rectas paralelas r: Ax + By + C = 0 y s: Ax + By + C' = 0 es igual a la distancia de la recta s a un punto cualquiera P (p1 , p2) de la recta r.

( )22

21 ',),(BA

CpBpAsPdsrd

+

++==


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6.- ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Por lo tanto, tenemos que:


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RESUMEN TEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA

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1.- sistema de referencia en el plano....2.- ecuaciones de una recta: 2.1 ecuaciÓn vectorial de la...

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