ecuación de la recta
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Definición de línea recta, distancia entre dos puntos, pendiente de una recta, Ecuación de una recta en sus diferentes formas, ejercicios de aplicación...TRANSCRIPT
Definiciones de línea recta:
1. Una línea recta es la figura geométrica en el plano formada por una sucesión
de puntos que tienen la misma dirección. Dados dos puntos diferentes, sólo
una recta pasa por esos dos puntos.
2. Es la figura geométrica formada por un polinomio de primer grado a0 + a1x.
3. Es la figura geométrica obtenida al unir dos puntos, tal que la distancia
recorrida sobre ésta figura, es la más corta.
Después de las rectas constantes, las más simples son aquellas que tienen como
ecuación y = ax. Estas rectas son inclinadas, pasan siempre por el origen (0; 0)
y la inclinación esta determinada por el valor de a.
Ejemplo
Recta y = 3x, quiere decir que el valor
de y es el triple al de x, también
vemos en la figura el desplazamiento
de y = 3x respecto a la recta y = x.
Recta con ecuación y = mx + bLa ecuación de la recta de la forma y = mx + b, es la ecuación donde se
conoce la pendiente, que es m, y la distancia dónde la recta interseca al
eje y que es b.
Si se conoce la pendiente m de la recta y un punto (x1; y1), entonces la
ecuación es:
y - y1 = m(x - x1)
La pendiente m nos dice que tipo de inclinación tiene la recta, el número b
nos dice que tanto subimos o bajamos a la recta. Así sabemos que tipo de
gráfica esEjemplo
¿Cuál es la ecuación y la gráfica de la
recta con pendiente a = 1 qué pasa por el
punto (3; 3)?
La ecuación es y - 3 = 1(x - 3),
equivalentemente:
Ejemplo
¿Cuál es la ecuación y la gráfica de la
recta con pendiente m = -1 qué pasa
por el punto (-5;5)?
La ecuación es y - (- 5) = - 1(x - 5),
equivalentemente:
Ejemplo
¿Cuál es la ecuación y la gráfica de la recta con
pendiente m = 5 qué pasa por el punto (1; 2)?
La ecuación es y - 2 = 5(x - 1),
equivalentemente:
Cálculo de la pendiente
Sólo es posible calcular el coeficiente angular de una recta cuando de ella se conoce:
1. Dos puntos distintos, ó
2. La ecuación general, ó
3. La dirección (por ejemplo, si se sabe que una recta es paralela a una recta dada).
Ejemplos:
1. Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2 , y2) de la figura,
De donde (por la definición de tangente en trigonometría):
cualesquiera que sean los cuadrantes en que están situados A y B
2. Vamos a calcular la pendiente de una recta cuya ecuación general está dada por:
ax + by + C = 0.
Recordemos que, dados A(x1, x2) y B(y2, y2) pertenecientes a una recta, la ecuación
general esta dada por:
Esto es:
Se observo anteriormente que la ecuación reducida de una recta es: y = mx + b,
por tanto, siempre que una recta tiene ecuación reducida (esto es b ≠ 0), estamos
expresando “y” en función de “x”, donde el coeficiente de “x” es la pendiente m.
CONDICIÓN DE PARALELISMO.
“Dos rectas L y L1 son paralelas entre sí si y solamente si sus pendientes son iguales”.
Observación:
Sabemos que dos rectas L: a1x + b1y + c1 = 0; L1: a2x + b2y + c2 = 0 son paralelas
(distintas o no) si y solamente si se tiene:
En los casos que las rectas no son verticales, probaremos que la condición de
paralelismo: D = 0 y m = m1 son equivalentes. Recordando que: b1 ≠ 0 y b2 ≠ 0,
tenemos:
En el caso en que L // L1 // OY, solo vale la condición D = 0, pues no existen los
coeficientes angulares m y m1
CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
Dos rectas L y L1, no verticales, son perpendiculares entre sí, si y solamente si, el
producto de sus coeficientes angulares (pendientes) es igual a “ -1 ”; así tenemos:
Observaciones:
1. Las rectas L: x = 3 ; y L1: y = -1, son perpendiculares, puesto que L // Y; y L1 // X.
Notemos que en este último caso no vale la relación: m×m1 = -1, dado que L es
vertical.
2. Existe la condición de perpendicularidad que vale también para el caso que una de
las rectas sea vertical, “Dos rectas L: ax + by + c = 0 y L1: a1x + b1y + c1 = 0,
son perpendiculares si y solamente si: a×a1 + b×b1 = 0” Así:
por ejemplo, las rectas, L: x = 3, y L1: = -1, son perpendiculares, pues:
a×a1 + b×b1 = 1(0) + (0)1 = 0
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS.
La distancia entre dos rectas paralelas, es la longitud del segmento perpendicular a
ambas rectas. Esta longitud es igual a la distancia de un punto arbitrario P de una
de las rectas a la otra.
La distancia entre las rectas paralelas: L1 : ax + by + c1 = 0 ^ L2 : ax + by + c2 = 0
está dada por:
1. Distancia No dirigida
La distancia “d” de un punto
P1 = (x1 , y1) a una recta cuya
ecuación esta dada
por L: ax + by + c = 0; se obtiene
mediante:
2. Distancia Dirigida
La distancia dirigida “d” de un
punto P1 = (x1, y1) a una recta
cuya ecuación es,
L: ax + by + c = 0, se obtiene con:
Además:
· Si la recta no pasa por el origen “d” es positiva o negativa según que el
punto P1 y el origen estén en lados opuestos o del mismo lado de la
recta.
· Si la recta dada pasa por el origen “d” es positiva o negativa según que
el punto P1 esté arriba o abajo de la recta.
Así tenemos:
Observación:
Si el punto P1(x1 , y1) pertenece a la recta L: ax + by + c = 0, entonces la
distancia:
d = d(P1, L) = 0.
Ejemplos:
1. Hallar la distancia de la recta: 3x - 4y + 12 = 0 al punto
(3, -1). Interpretar el signo de la distancia como segmento
dirigido.
Por tanto la distancia buscada es 26/5. El signo negativo nos
indica que el punto y el origen están del mismo lado de la
recta.
2. Hallar la distancia del punto P(-2, 5) a la recta L1 de ecuación: 3x -4y - 9 = 0.
Solución
3. Determine las ecuaciones de las rectas que forman 45° con el eje X y están a
una distancia de 2 unidades del punto P(3, 4).