en la ecuación de la recta

7/24/2019 En La Ecuacin de La Recta

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Pendiente de la recta

Antes de referirnos a la orientacin de una pendiente de la recta(si

es positivao negativa) hagamos una recapitulacin:Veamos un ejemplo.

Si tenemos

y = 3x 4esto es igual a,

3x y 4 = 0(ecuacin de la recta)

Ahora lo que sigue es sacar la pendiente, pero Cmo se otiene la pendiente si solotenemos la frmula!

"ues ha# dos maneras de hacerlo: directae indirecta:

Indirecta:

$tenemos dos puntos (xe y) a partir de dos %alores dados a x(por ejemplo, x = 1# x = 2), # los ponemos en la ecuacin de la recta:

&' # * + si (x = 1)

&() # * +

& # * +

# * +

# - * +

# *

"(, ) * (', #)

&' # * + si (x = 2)

&() # * +

/ # * +

# - * +

# *

"(, ) * (', #)

Ahora sustituimos en la frmula de la pendiente:


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(esta es la pendiente)

irecta:

0as1ndonos en los %alores de la recta podemos conseguir la pendiente:

&' # * +

A' 0# C * +

A * cantidad de x

0 * cantidad de y

C * 23mero cualquiera

Ahora solo sustituimos en la frmula de la pendiente

(esta es la pendiente)

!rado de inclinacin

4ada una recta, gr1ficamente su pendiente nos da su grado de inclinacinPendiente positiva


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Cuando la recta es creciente (al aumentar los %alores de ' aumentan los de #), supendiente es positi%a, en la e'presin anal5tica m 6 +

Pendiente negativa

Cuando la recta es decreciente (al aumentar los %alores de ' disminu#en los de #), supendiente es negati%a, en la e'presin anal5tica m 7 +

Pendiente nula o cero


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Cuando la recta es constante se dice que tiene pendiente nula, en la e'presinanal5tica " = 0

Visualmente, tami8n podemos definir si la pendiente es positi%a o negati%a:

Si el #nguloque forma la recta con la parte positi%a del eje $9 es agudo,la pendientees positiva# crece al crecer el 1ngulo.

Si el #nguloque forma la recta con la parte positi%a del eje $9 es o$tuso,la pendientees negativa# decrece al crecer el 1ngulo.


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Con los ejemplos discutidos podemos oser%ar la interpretacin geom8trica de lapendiente de una recta:

Pendiente %ipo de recta

positi%a recta ascendente

negati%a recta descendente

cero recta horiontal

no definida recta %ertical

&er: P': ate"#tica*

Pregunta 3+,2010Pregunta 1-,200+

&er* ade"#s: .cuacin de la recta

&er en Internet:

/ttp:cidseitcraccrrevista"ateerra"ientasectaecta/t"l

/ttp:upr/edu5eude6e$720"ecudocsP8de.9leccionP8

En la ecuacin de la recta:
http://www.profesorenlinea.com.mx/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2036_2010.htmlhttp://www.profesorenlinea.com.mx/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2015_2006.htmlhttp://www.profesorenlinea.com.mx/geometria/Recta_Ecuacion_de.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/Recta/Recta.htmlhttp://www.uprh.edu/~eudez/web%20mecu/docsPDFdeMECU/leccion8.PDFhttp://www.profesorenlinea.com.mx/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2015_2006.htmlhttp://www.profesorenlinea.com.mx/geometria/Recta_Ecuacion_de.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/Recta/Recta.htmlhttp://www.uprh.edu/~eudez/web%20mecu/docsPDFdeMECU/leccion8.PDFhttp://www.profesorenlinea.com.mx/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2036_2010.html


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El coeficiente de la x es la pendiente , m.

El trmino independiente, b, se llama ordenada en

el origende una recta, siendo (O, b)el punto de corte

con el eje de ordenadas.

Supongamos que tenemos estos 2 puntos en el plano cartesiano u

ortogonal.

A ( 2, 4 ) y B ( 3 , 6 )

Hallar la distancia entre esos puntos:

Entonces le damos nombre a esas coordenadas.

x= 2

y= 4

--

x= 3

y= 6

Empleando la frmula de la distancia entre 2 puntos:


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d = (x- x) + (y- y)

Reemplazo el valor de cada nombresito que le pusimos

d = (3 - 2) + (6 - 4)

[Realizando lo que est dentro de parntesis]

d = (1) + (2)

[Elevamos ambos trminos al cuadrado]

d = 1 + 4

d = 5

La distancia es la raiz de 5

Osea: 2. 236067 ...

. ;n su orden, los puntos A(


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C) + unidades4) / unidades

&. @a distancia entre los puntos A(& ,


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C) $licuas4) ?nclinadas

>. Al hallar las pendientes de dos rectas encontramos que el producto de suspendientes es igual a


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. @a pendiente # la inclinacin de una recta que pasa por los puntos B( , )# "(> ,


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C) # < * +4) ' - * +

+. @a pendiente # el punto de corte con el eje G de la recta G * < & 9 - = ,respecti%amente ,son:

A) & # (+,=)0) & # (=,+)C) F & # (+,=)4) F & # (=,+)

9lave

.4 .0 &.A .C .A /.0 =.C D.0 >.C +.4 .4 .4 &.0 .4.A /.A =.C D.C >.0 +.C

.cuacin de la recta

('egundo "edio)

"ara entrar en esta materia # para entender lo que significa la .cuacin de laectaes imprescindile estudiar, o al menos re%isar, lo referido a !eo"etr;aanal;tica# Plano cartesiano

@a idea de l;nea rectaes uno de los conceptos intuiti%os de la Heometr5a (como sontami8n el punto# el plano).


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Para co"prender este proceder es co"o si la "is"a l;nea solo se ca"$ia deropa para @ue sepan de su existencia pero expresada en tAr"inos"ate"#tiicos (co"o una ecuacin)

;s en este conte'to que la !eo"etr;a anal;ticanos enseIa que una recta es larepresentacin gr1fica de una e'presin algeraica (funcin) o ecuacin lineal de

pri"er grado.;sta ecuacin de la recta %ar5a su formulacin de acuerdo con los datos que seconocan de la l5nea recta que se quiere representar algeraicamente. 4icho enotras palaras, ha# %arias formas de representar la ecuacin de la recta.

1B .cuacin general de la recta

;sta es una de las formas de representar la ecuacin de la recta.

4e acuerdo a uno de los postulados de la Heometr5a ;uclidiana, para determinar unal5nea recta slo es necesario conocer dos puntos (A # 0) de un plano (en un planocartesiano), con a$scisas (x)# ordenadas (y).

ecuerden @ue es i"prescindi$le do"inar todos los aspectos so$re el Planocartesiano pues la .cuacin de la recta no tiene existencia conceptual sin un

Plano cartesiano

Ahora ien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin e'cepcin,quedan incluidas en la ecuacin

Cx D Ey D 9 = 0

Bue tami8n puede escriirse como

ax D $y D c = 0

# que se conoce como: la ecuacin generalde la l5nea recta, como lo afirma elsiguiente:

%eore"a

@a ecuacin general de primer grado Cx D Ey D 9 = 0, donde A,0, C pertenecen a los n?"eros reales( )J # en que A # 0 noson simult1neamente nulos, representa una l5nea recta.

2B .cuacin principal de la recta

;sta es otra de las formas de representar la ecuacin de la recta.

"ero antes de entrar en la ecuacin principal de la recta con%iene recordar losiguiente:

Cada punto (x* y)que pertenece a una recta se puede representar en un sistema decoordenadas, siendo xel %alor de la ascisa (horiontal) e yel %alor de la ordenada(%ertical).
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(x* y) = (C$scisa * Frdenada)

;jemplo: ;l punto (B3* -)tiene por ascisa F& # por ordenada .

Si un par de %alores (x* y)pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface laecuacin.

;jemplo: ;l punto (G* 2) (el = en la a$scisa x# el en la ordenada y) satisface laecuacin y = x B -, #a que al reemplaar queda

2 = G B -lo que resulta %erdadero.

Kecordado lo anterior, %eamos ahora la ecuacin de la recta @ue pasa solo por unpunto conocido y cuya pendiente (de la recta) ta"$iAn se conoce , que seotiene con la frmula

y = "x D n

que considera las siguientes %ariales: un punto (x* y), la pendiente (") # el punto deintercepcin en la ordenada (n), # es conocida como ecuacin principal de la

recta (conocida tami8n como forma simplificada, como %eremos luego).Al representar la ecuacin de la recta en su forma principal %emos que aparecierondos nue%as %ariales: la "# la n, esto agrega a nuestra ecuacin de la recta dosnue%os elementos que deen considerase al analiar o representar una recta:la pendiente# elpunto de intercepcin(tami8n llamado intercepto) en el ee delas ordenadas (y).

Kespecto a esto, en el gr1fico de la iquierda,"representa la pendiente de la rectay per"iteo$tener su grado de inclinacin(en relacin a lahoriontal o ascisa), # nes el coe>iciente de

posicin* el n3mero que seIala el punto donde larecta interceptar1 al eje de las ordenadas (y)

8or"a si"pli>icada de la ecuacin de la recta

Si se conoce la pendiente ", # el punto donde larecta corta al eje de ordenadas es (0* $)(corresponde a nen la frmula principal #a %ista),podemos deducir, partiendo de la ecuacin de larecta de la forma

y y1= "(x x1)

y B $ = "(x B 0)

y B $ = "x

y = "x D $

;sta es una segunda forma de la ecuacin principal de la recta(se la llamatami8n >or"a expl;cita de la ecuacin) # se utilia cuando se conocen lapendiente # la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos $ ( no ol%idemos
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que corresponde a la nen la primera forma de la ecuacin principal). Lami8n sepuede utiliar esta ecuacin para conocer la pendiente # la ordenada al origen apartir de una ecuacin dada.

;jemplo: @a ecuacin y = 4x D Gtiene pendiente # coeficiente de posicin =, lo cualindica que interceptar1 al eje yen el punto (0* G).

Conocida la frmula de la ecuacin principal (simplificada o e'pl5cita, como quieranllamarla) de la recta es posile otener la ecuacin de cualquier recta siempre que senos den al menos dos %ariales de ella: puede ser la pendiente, puede ser un puntoo puede ser el intercepto.

;sto significa que si te dan esa informacin se puede conseguir una ecuacin de laforma y = "x D $que cumple con esas condiciones dadas. 2tese que la ecuacin y= "x D $es la forma generaliada de la forma principal y = "x D nHpor lo tanto, la $corresponde al %alor de n(el intercepto en la ordenada y).

.e"plo 1:

Mallar la ecuacin de la recta que tiene pendiente" = 3e intercepto $ = 10.Lenemos que hallar la ecuacin de la recta, esto es, y = "x D $.

Nsamos la informacin que tenemos:

" = 3 # $ = 10# sustituimos en la ecuacin

y = 3x D 10.

@a ecuacin que se pide es y = 3x D 10.

2tese que esta forma principal (simplificada o e'pl5cita) tami8n podemose'presarla como una ecuacin general:

y B 3x B 10 = 0, la cual amplificamos por F, quedando comoB y D 3x D 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar

3x B y D 10 = 0

.e"plo 2

Mallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1* 2)# tiene pendiente " = B -.

Lenemos que hallar la ecuacin de la recta, esto es, y = "x D $.

Nsamos a informacin: " = B -# sustituimos en la ecuacin:

y = B -x D $

Ahora tenemos que uscar la $J usamos el otro datoJ la recta pasa por el punto (1=x*2=y), por lo tanto, ese punto es una solucin de la ecuacin que uscamos. Sesustitu#en esos %alores de x = 1* y = 2en la ecuacin que estamos uscando:

2 = B - (1) D $

4espejamos la %ariale $en:

2 = B - (1) D $


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Vol%iendo a la ecuacin general de la recta (Cx D Ey D 9 = 0), en ella la pendiente(") # el coeficiente de posicin (n) quedan determinados por:

;jemplo: Cu1l es la pendiente # el coeficiente de posicin de la recta 4x B +y D 3 =0!

.cuacin de la recta @ue pasa por dos puntos

Sean P(x1* y1)# J(x2* y2)dos puntos de una recta. Sore la ase de estos dospuntos conocidos de una recta, es posile determinar su ecuacin.

"ara ello tomemos un tercer punto (x* y), tami8n perteneciente a la recta.

Como ", B # K pertenecen a la misma recta, se tiene que "B # "K deen tener lamisma pendiente. $ sea

#

@uego, la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos es:

que tami8n se puede e'presar como

.e"plo 1:


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4etermina la ecuacin general de la recta que pasa por los puntos P(1* 2)# J(3* 4)

y B 2 = x B 1

y B x D 1 = 0

.e"plo 2:

4etermina la ecuacin general de la recta que pasa por los puntos P1(4* 3)# P2(B3* B2)

Saemos que la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos es:

Keemplaamos los %alores:B2 B 3 = y B 3B3 B 4 x B 4

B- = y B 3BG x B 4

y B 3 = x B 4 (B- BG)

y B 3 = B- x D 20 BG

BG (y B 3) = B- x D 20


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y D 4 = B4x D 20

@uego la ecuacin pedida es 4x D y B 1+ = 0.

.ercicios para o$tener la ecuacin general de la recta dados un punto y lapendiente

Kecuerde que la frmula inicial es y B y1= "(x B x1)1 " = B1H punto (B2* 3)

# F & * F(' - )# F & * F' F ' - # F * +

2 " = 2H punto (B32* B1)

# - * (' - &E)# - * ' - &

F ' - # F * +

' F # - * +3 " = 0H punto (B3* 0)

# F + * +(' - &)# * +

4 "= B4H punto (23* B2)

# - * F(' F E&)# - * F' - DE - F ' FDE& * +# F E& F ' * +' F # - E& * +

- " = B2-H punto (1*4)

# F * (' F )# F * ' F # F F ' - * +# F & F ' * +' F # - & * +

+ " = 34H punto (2*-* B3)

# - & * O(' F ,)# - & * &E' F ED

# - & F &E' -ED * +# - &>ED F &E' * +&E' F # F &>ED * +

G " = indH punto (0*-)

# F * (' F )# F F ' - * +


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# F ' * +' F # * +

" = 0H punto (B4* 12)

# F P * (' - )# F P F ' F * +# F >E F ' * +' F # - >E * +

Para "#s utilidades del Plano cartesiano* &er: istancia entre dos puntos

8uentes Internet:

/ttp:""pc/ilec-clpagproductosindus,rectalos720originalesconc1/t"

/ttp:esiNipediaorgiNiPendiente,de,la,recta

/ttp:docstocco"docs2O2332ecuaci7.87E87EnBdeBlaBrecta

&er "#s eercicios en:

/ttp:e"ate"aticasnetecrectap/pKa=3

/ttp:/uitotoudeaeducoate"aticas44/t"l

&er en* youtu$e:

/ttp:youtu$eco"atc/Kv=t$iix0GBLM=1

/ttp:youtu$eco"atc/Kv=esJdtO.LM=1

/ttp:youtu$eco"atc/Kv=9QJR$NoBxLM=1

/ttp:youtu$eco"atc/Kv=yx3'B.O$$I

/ttp:youtu$eco"atc/Kv=9QJR$NoBx

/ttp:youtu$eco"atc/Kv=/d8l!E69O

.s propiedad: pro>esorenlineacl S egistro MT 1-40
http://www.profesorenlinea.com.mx/geometria/Distancia_entre_dos_puntos.htmlhttp://mmpchile.c5.cl/pag/productos/indus_recta/los%20originales/conc1.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_la_rectahttp://www.docstoc.com/docs/292332/ecuaci%EF%BF%BDn%E2%80%93de%E2%80%93la%E2%80%93recta/http://www.ematematicas.net/ecrecta.php?a=3http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.4.htmlhttp://www.youtube.com/watch?v=tbiix0D7%96Uw&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=ZesQdtU9UZE&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=CWQYbkZo%96x8&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=yx3S%96Ew9bbIhttp://www.youtube.com/watch?v=CWQYbkZo%96x8http://www.youtube.com/watch?v=hdFlG8BzC98http://www.profesorenlinea.cl/http://www.profesorenlinea.com.mx/geometria/Distancia_entre_dos_puntos.htmlhttp://mmpchile.c5.cl/pag/productos/indus_recta/los%20originales/conc1.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_la_rectahttp://www.docstoc.com/docs/292332/ecuaci%EF%BF%BDn%E2%80%93de%E2%80%93la%E2%80%93recta/http://www.ematematicas.net/ecrecta.php?a=3http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.4.htmlhttp://www.youtube.com/watch?v=tbiix0D7%96Uw&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=ZesQdtU9UZE&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=CWQYbkZo%96x8&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=yx3S%96Ew9bbIhttp://www.youtube.com/watch?v=CWQYbkZo%96x8http://www.youtube.com/watch?v=hdFlG8BzC98http://www.profesorenlinea.cl/


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"roporcionalidad: directa e in%ersa

"ara comprender el concepto de proporcionalidad, directa o in%ersa, deemos comenar por comprender el

concepto dera6n.

Kan # proporcin num8rica

a6n entre dos n?"eros

Siempre que halemos de a6nentre dos n3meros nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de

di%idirlos) entre ellos.

;ntonces:

Raznentre dos nmeros ay bes el cociente entre

Por ee"plo* la ra6nentre 10 y 2 es -* ya

@ue

R la ra6n entre los n?"eros 0*1- y 0*3 es

Proporcin nu"Arica

Ahora, cuando se nos presentan dos ra6onespara ser comparadas entre s5, para %er como se comportan entre

ellas, estaremos halando de una proporcin nu"Arica

;ntonces:

@os n3meros a* $* c #d forman una proporcinsi la ran entre a# $es la misma que
http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Razon.htmlhttp://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Razon.htmlhttp://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Razon.htmlhttp://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Razon.html


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entre c# d.

;s decir

Se lee Qa es a$ comoc es adU

@os n3meros , # D, + forman una proporcin, #a que la ran entre # es la misma que la ran entre D #

+.

;s decir

;n la

proporcin

ha# cuatro t8rminosJ a# dse llaman extre"os, c# $se

llaman "edios

@a propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporcin* el producto de losextre"os es igual al de los "edios

As5, en la proporcin anterior

se cumple que el producto de los e'tremos nos da ' + * + # el producto de los medios nos da ' D * +


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Comprendido el concepto de proporcin como una relacin entre n3meros o magnitudes, ahora %eremos que esa

relacin puede darse en dos sentidos:

@as dos magnitudes pueden suir o ajar (aumentar o disminuir) o ien si una de las magnitudes sue la otra ajo

# %ice%ersa.

Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden suir o ajar en

igual cantidad, halaremos de Ragnitudes directamente proporcionales.

Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sue la otra aja en la misma cantidad, halaremos

de Ragnitudes in%ersamente proporcionales.

C!MI%.' I.9%C.M%. PFPF9IFMC


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"ara pasar de la T fila a la T asta multiplicar por +

"ara pasar de la T fila a la T di%idimos por +

$ser%a que

@as magnitudes n?"ero de sacos# peso en Ng son directa"ente proporcionales.

@a constante de proporcionalidadpara pasar de n3mero de sacos a g es +.

;sta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos Kegla de tres# que

nos ser%ir1 para resol%er un gran cantidad de prolemas matem1ticos.

P': ate"#ticaH

Pregunta 0G,200+

Pregunta 0+,200G

.!


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G como en toda proporcin el producto de "edios es igual al producto de extre"os(en palaras simples,

se multiplican los n3meros en forma cruada) resulta:

+ por .++ * .&++ por x

;s decir

;n la pr1ctica esto se suele disponer del siguiente modo:

;sta forma de plantear # resol%er prolemas sore proporciones se conoce con el nomre

de regla de tres si"ple directa.

&er:.l InterAs y el dinero

&er: P': ate"#ticaH

Pregunta 02,200-

Pregunta 0-,200-

Pregunta 02,200+

.e"plo 2

Nn autom%il gasta litros de encina cada ++ m. Si quedan en el depsito / litros, cu1ntos ilmetros podr1

recorrer el autom%il!
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27/31

@uego, con / litros el autom%il recorrer1 + m

C!MI%.' IM&.'C.M%. PFPF9IFMC


28/31

I"portante:

9o"o regla general* la constante de proporcionalidad entre dos "agnitudes inversa"ente

proporcionales se o$tiene "ultiplicando las "agnitudes entre s;* y el resultado se "antendr#

constante

&er P': ate"atica*Pregunta 10

.!


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@uego + %acas podr1n comer d5as

;sta forma de plantear # resol%er prolemas sore proporciones se conoce con el nomrede regla de tres si"ple inversa.

.e"plo 2

"ara en%asar cierta cantidad de %ino se necesitan D toneles de ++ litros de capacidad cada uno. Bueremos

en%asar la misma cantidad de %ino empleando & toneles. Cu1l deer1 ser la capacidad de esos toneles!

"ues la cantidad de %ino * D por ++ * & por '

4eemos tener & toneles de + litros de capacidad para poder en%asar la misma cantidad de %ino.

PFPF9IFMC


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N2?4A4 chico en d5a gasta /.+E+* / pesos

/ chicos en d5a gastan / ' / * &.=+ pesos

0XSBN;4A 4;@

K;SN@LA4$/ chicos en d5as gastan &.=+ ' * /.+ pesos

.e"plo 2: Proporcionalidad inversa

1- o$reros tra$aando + /oras diarias* tardan 30 d;as en reali6ar un tra$ao V9u#ntos d;as tardar#n en

/acer el "is"o tra$ao 10 o$reros* e"pleando /oras diariasK

4ole n3mero de oreros traajando el mismo n3mero de d5as traajar1n la mitad de horas al d5a para

realiar el traajo. "or tanto el n3mero de oreros # el n3mero de d5as de traajo son in%ersamente

proporcionales.

4ole n3mero de horas diarias de traajo el mismo n3mero de oreros tardar1n la mitad de d5as en realiar

el traajo. @uego el n3mero de horas diarias de traajo # el n3mero de d5as de traajo son in%ersamente

proporcionales.

Memos relacionado las dos magnitudes conocidas, n de oreros # n de horas diarias de traajo, con la cantidad

desconocida, n de d5as de traajo.

SA0;R$S BN;

K;4NCC?W2 A @A

N2?4A4

0XSBN;4A 4;@

K;SN@LA4$


31/31

en la ecuación de la recta

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