vectorial 1

7/23/2019 Vectorial 1

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Unidad 1: VectoresMagnitud escalar:

Es una magnitud cuya determinación solo requiere el conocimiento de un núrespecto de cierta unidad de medida de su misma especie.

Ejemplo:Longitud, masa, tiempo temperatura, trabajo, área, etc. Denominamos escalar el número Real asociado con cada una de ellas.

Magnitud vectorial:

Es una magnitud (cantidad) cuya determinación eige el conocimiento de un m

una dirección y un sentido.Ejemplo: "uer#a, $elocidad, aceleración, despla#amiento. %ales cantidades se representan grá&icamente por un segmento rectilíneo orien

'e entiende por vector, un segmento rectilneo orientado.

• El estudio de los $ectores se llama análisis vectorial.



• De&inimos un segmento rectilneo orientado, como un segmento de recta, queun punto P a un punto Q, y lo representamos por . El punto P se llama untopunto Q unto %erminal (&inal). +er "ig.



• La longitud del segmento es la correspondiente del $ector (magndirección es el ángulo que &orma con la -ori#ontal (con el eje pos&lec-a indica el sentido del $ector.

• /nalticamente un $ector se representa por una letra con una &lecetc.

• El modulo se representa por etc.

Dos segmentos orientados de la misma magnitud, dirección y sentequivalentes.

Por ejemplo0 los segmentos orientados de la "igura 1, sonequivalentes:



Entonces, se considera que un $ector permanece sin cambio, si se mue$e traslamismo. 'i además tienen el mismo punto inicial entonces son iguales.

/l conjunto de todos los segmentos orientados que son equivalentes a uno davector del plano y escribimos .



Ejemplo 1: Representación de segmentos orientados.

a) Representar a mediante el segmento orientado que $a de (",") a (#,$), y a pde (1,$) a (%,%).

b) Demostrar analticamente, que y son equi$alentes.

&oluci'n:

. 2ra&icamos en nuestros ejes de coordenadas 3, los puntos dados.1. 4nimos los puntos respecti$os y obtenemos los segmentos orientados corresp

5. 6acemos los cálculos analticos necesarios con las &órmulas respecti$as



a!

(! De acuerdo con la &igura 5, y usando la &órmula de la distancia entre doplano:



)e donde:

/demás, con la ecuación de la pendiente de una recta, calculamos la direcciónrespecto a la -ori#ontal)0

de donde:



Entonces, tienen la misma longitud m'dulo! y además tienen la misma direcci'

or lo tanto0 son equi$alentes.

• El segmento orientado cuyo punto inicial es el origen del sistema de ejes de cose denomina $ector en posici'n normal o en &orma can'nica.

• 4n $ector en posición normal, puede representarse en &orma única, por las code su punto *inal, esto nos lle$a a la siguiente,

)e*inici'n:'i es un $ector en el plano, cuyo punto inicial es el origen y cu+o punto *

V$!, entonces el $ector en *orma de componentes está dado por0

• Las coordenadas V1 y V$ se conocen como componentes de .

'i ambos puntos, el inicial y el &inal son el origen entonces a se le llama vectordenota como0



Para pasar de &egmentos orientados a la *orma de componentes yprocedemos as0

. 'i P 7 (, 1) y Q 7 (8, 81), la &orma de componentes del $ector está represe

1.El modulo (longitud) de esta dado por0

5. 'i , entonces puede representarse por medio del segmento orientado en posicque $a de P ","! a Q V1, V$!.

En &orma general si0

Ejemplo: si



Ejercicio $:

a) 9alcular las componentes + la longitud de un $ector , cuyos puntos inicial y -! + $, ) respecti$amente.

b) E&ectuar las grá&icas del segmento orientado dado y del $ector obtenido e

componentes.

)irecci'n de un vector

La dirección de cualquier $ector di&erente de cero, está dada por la medida en radángulo desde el eje / positivo, medido en sentido contrario al de las agujas d

representación del $ector de posición normal. /s tenemos que .) 'i entonces si .

Ejemplo:



$! 'i / 7 : y 0 ; : se tiene que0

Ejemplo: si

#! 'i / 7 : y 0 " entonces

Ejemplo:



Ejercicio #: a! representar grá&icamente los siguientes $ectores0

(! Determinar el /ngulo Ɵ que &orman con el eje positi$o (dirección) en radian



2PE345627E& 527 VE5823E&:

De&inición de suma de $ectores y de producto por un escalar 0

'ean los $ectores + y 9 un escalar:

) La suma de los $ectores y es el $ector 0

1) El producto del escalar 9 por es el $ector0

5) El $ector opuesto de es

<) La di&erencia de y es

Ejemplo: Dados los $ectores0 y

Determine y represente grá&icamente0

a) b) c) d) e)



&oluci'n: analítica!

a)

b)

c)

d)

e)

8area: acer las grá*icas de los vectores resultante



a! &uma ;rá*ica M<todo del paralelepípedo!.

2eom=tricamente la suma o la resultante de 1 $ectores y , es otro $ecobtiene trasladando el punto inicial de , al punto &inal de , y uniendo el puncon el punto &inal de or ejemplo, dados los $ectores y siguientes 0



2eom=tricamente(grá&icamente) la suma o la resultante de los $ectores y , indicado en la &igura >.b)

P f Pi

&igura >. b)



(! &UM4 : ME82)2 )E= P434=E=2;34M2

En este m=todo, se trasladan los 1 $ectores () a un punto inicial com>n, eslados ad+acentes de un paralelogramo, que se completa tra#ando paralelalados. El vector suma corresponde a la diagonal del paralelogramo, con puntel punto inicial com>n. 9onsideremos los $ectores del ejemplo anterior :

@



3E&84 2 )6?E3E7564 ;3@?654 )E )2& VE5823E&

8enemos dos m<todos:

1! ara representar geom=tricamente, la di*erencia o resta de 1 $ectores (representación con el mismo punto inicial, entonces, el segmento orientado qpunto *inal de , al punto *inal de es la representación de .+er &ig. ?

$! @ tambi=n para restar dos $ectores (), se suma al vector minuendo, vector sustraendo, es decir0 +er &ig. ?



Ejercicio 8area: Dados y

Determine analtica y grá&icamente0

a) b) c)

=E0E& )E= ;E4=A34 VE582364=:'ean , 5 $ectores, y m y n dos escalares, se $eri&ica0

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)



Magnitud del m>ltiplo escalar de un vector:

sean un $ector y 9 un escalar , la magnitud de es0 donde es el valor a(soluto

Ejemplo: si y 9 7 A, a) determine

&oluci'n: y

Entonces0

Vector unitario en la direcci'n de

'ea un $ector no nulo del plano entonces el $ector0

%iene magnitud 7 (uno) y la misma dirección .



)emostraci'n: como es positi$o y concluimos que tiene la misma dirección de

Ejemplo: 'B a! calcule

&oluci'n:

9omprobación0

La solución la representamos en la &ig. : siguiente0



Ejercicio tarea: dado

a) Representarlo grá&icamente.b) 9alcular un $ector unitario en la dirección de y gra&icarlo.

c) 9omprobar su módulo



VE5823E& U7684362& 54727652& i, j!.

Los $ectores unitarios0 1, " B y ", 1B se conocen como vectores unitarios canel plano), y se denotan por 0 i C 1, " B y j C ", 1B como se muestra en la &ig.



Estos $ectores pueden usarse para representar cualquier $ector0

orque0

7

Llamamos a com(inaci'n lineal de i y de j.

Los escalares y 3 son las componentes -ori#ontal y $ertical de , respecti$a

Ejemplo:

'ea un $ector con punto inicial (1, CA) y punto &inal (C, 5), y sea

Escribir los $ectores siguientes, como com(inaci'n lineal de los $ectcan'nicos i, j:

a) b)



&oluci'n:

a) ara el $ector tenemos que0

b) ara el $ector , tenemos que0

Dado que cualquier $ector puede escribirse como una combinación lineal de$ectores se conocen como la (ase estándar del sistema de $ectores bidimen



'i , es un $ector de posición, entonces la &ig.1 uestra que es la suma de los $e

a$ j.



=os vectores a1i y a$ j tienen el origen como punto inicial común. El escalar a1 se

la componente -ori#ontal de y a$ la componente $ertical de

Ejemplo: De $arias &ormas de representar los $ectores0

%, - ; 7 %i D -j

(1i C Aj) F (Gi F 5 j) 7 (1i F Gi) F (CA j F 5 j) 7 1"i $j

:(5i H j) 7 #"i 1"j

VE5823E& P434=E=2&

Dos $ectores son paralelos si + solo si son m>ltiplos escalares uno del otro. +



Ejemplo: Los $ectores y son paralelos porque es un múltiplo escalar de .Es decir0



Ejemplo: dados y

a) Determina analticamente y grá&icamente0 y

&oluci'n: (analticamente)

&oluci'n: (grá&icamente)0

1. 0 9on el m=todo del paralelogramo0 (los dos $ectores con el punto inicial co

+er &ig.< %enemos0



2. 0 9on los dos m=todos. +er &ig.A



843E4 1 de la U 6 :

3esolver + entregar en ojas sueltas:

a! 7om(re de la unidad + *eca(! 7>mero de ejerciciosc! 7om(re del alumnoa!

3esolver los Ejercicios del 1 al #%, páginas F + -

)e el li(ro de Matemáticas # cálculo de varias varia(les! d

)ennis ;. Gill.

Edit. Mc ;raH ill

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