PROBLEMA 3.17 

Datos: 

Los datos que aparecen en la figura 3.95 

Calcular: 

La ecuación de empalme de la Vía2 en la Vía 1. 

Fig.3.95 

Solución: 

La ecuación de empalme tiene lugar en el punto G. Para ello necesitamos hallar los elementos geométricos necesarios que satisfagan las ecuaciones de las abscisas del mismo, por los diferentes trayectos. Así: 

∆1= 162⁰-108⁰= 54⁰ 

∆2= 162⁰-41⁰=121⁰ 

∆3= (360⁰-312⁰)+41⁰=89⁰ 

∆4=360⁰-(312⁰-108⁰)= 156⁰ 

Con los ángulos de deflexión calculados, podemos hallar las tangentes respectivas a cada curva, mediante la siguiente ecuación: 

T=R*Tan(∆/2) 

T1= (39)tan(54⁰/2)=19.8715 m 

T2=(35)Tan(121⁰/2)=61.8623 m 

T3=(28)Tan(89⁰/2)=27.5155 m 

Para hallar la T4, aplicamos el teorema del seno, entonces: 

Θ= 108⁰-41⁰=67⁰ 

B T2+T3 A 

Sen 67⁰ sen ∆1 sen ∆2 

De donde: A=( T2+T3 )* Sen∆2 / sen ∆1 = 94.697 m 

T4=A+T1=94.697+19.87=114.5685 m 

Ya calculadas las tangentes, podemos calcular las longitudes de las curvas(LC), de la siguiente manera: 

LC=R∆ donde ∆ está en radianes 

LC1= (39)(54⁰)(π/180⁰)=36.757 m 

LC2= (35)(121⁰)(π/180⁰)=73.915 m 

LC3= (28)(89⁰)(π/180)=43.494 m 

Para halla LC4, debemos hallar el radio de la curva 4. 

R=T/Tan(∆/2) 

R4=114.5685/tan(156⁰/2)=24.352 m 

LC4= (24.352)(156⁰)(π/180⁰)=66.304 m 

Tramo PT1-PC2: (TEOREMA DEL SENO) 

B= ( T2+T3 )* Sen 67⁰/ sen ∆1 =101.695 m 

Tramo PT1-PC2=B-(T1+T2)=101.695-(19.87+61.86)=19.9608 m 

Vía 1: (K0+900)+ LC1 + (Tramo PT1-PC2 ) + LC2 + LC3 + (T4- T3) 

= 900+36.757+19.9608+73.915+43.494+(114.5685-27.5155) 

= 1161.18 m 

Vía 2: (K0+900)+ LC4 

= 900+66.304 

= 966.304 m 

Ecuación de Empalme: K0+966.304(Vía 2)=K1+161.18(Vía 1) 

PROBLEMA 3.21 

Para la figura 3.99 adicionalmente se tiene: 

PI2, PI1 =88.460 m 

Radio al PI1 =R1= 71.68 m 

Grado de Curvatura R2 = GC2= 6⁰ 

Tangente al PI3 =T3=55.09 m 

Cuerdas =c1=c2=c3= 10 m 

Calcular: 

La ecuación de empalme del eje 3 en el eje 2. 

[pic]fig.3.99 

Solución 

Al observar la figura 3.99, ésta nos proporciona los acimutes de cada eje, lo cual nos indica que podemos calcular los ángulos de deflexión de cada curva dada. 

∆1= 192⁰53’ - 143⁰25’ = 49⁰28’ 

∆2= 249⁰15’ -192⁰53’ = 56⁰22’ 

∆3= 249⁰15’ - 143⁰15’ = 105⁰50’ 

Ahora, con los datos dados por el problema procedemos a calcular otros elementos geométricos necesarios para el desarrollo del mismo. 

T1= R1*tan(∆1/2)= 71.68 *tan(49⁰28’ /2)= 33.02 m 

R2= (C/2)/(Sen G/2)=(5/Sen 3⁰)= 95.54 m 

R3= T3/ tan (∆3/2) = 55.09/ tan 52⁰55’=41.64 m 

T2= R2*tan(∆2/2)= 95.54* tan(56⁰22’/2)=51.19 m 

Ya calculadas las tangentes y los radios respectivos, podemos calcular las longitudes de las curvas(LC), de la siguiente manera: 

LC=R∆ donde ∆ está en radianes 

LC1= (71.68)( 49⁰28’)(π/180⁰)=61.885 m 

LC2= (95.54)( 56⁰22’)(π/180⁰)=93.94 m 

LC3= (41.64)( 105⁰50’)(π/180)=76.91 m 

Distancia PT1 a A= (99600.530-99790)-[T2+(88.46-T1)+ LC1] 

= 189.47-(51.19+55.44+61.885) 

= 20.96 m 

Para hallar la distancia entre PI1 y PC3y la distancia PT2 a PI3, empleamos el teorema de los senos. 

B 88.46 C 

Sen∆2 Sen ∆3 Sen ∆1 

De donde: B=88.46 Sen∆2 / Sen ∆3 = 88.46 Sen (56⁰22’) / Sen (105⁰50’) = 76.56 m 

y, la distancia entre PI1 y PC3 es: 76.56 - T3= 76.56 - 55.09= 21.47 m 

Distancia PT2 a PI3: C-T2= 69.88-51.19= 18.69 m 

C= 88.46 Sen ∆1 / Sen ∆3 = 88.46 Sen (49⁰28’) / Sen (105⁰50’) = 69.88 m 

EJE 3: (PT1 , A)+ T1+ (PI1 ,PC3)+ LC3= 20.96+33.02+21.47+76.91= 152.36 m 

EJE 2: LC2+ (PT2 ,PI3)+ T3= 93.94+18.69+55.09= 167.72 m 

Ecuación de Empalme: K0+152.36(eje 3)=K0+167.72 (eje 2) 

PROBLEMA 3.25 

Datos: 

Para la figura 3.103, adicionalmente se tiene: 

Coordenadas de A, = N: 1000, E: 500. 

Calcular: 

a) La ecuación de Empalme entre el eje B y el eje A. 

b) Las abscisas del punto Q. 

c) Las coordenadas del punto Q. 

Fig.3.103[pic] 

Solución: 

Con los datos proporcionados por el problema, calculamos los elementos geométricos de las vías. 

∆1=∆2=90⁰= π/2 

T1= R1*tan(∆1/2)=(70) tan(45⁰)= 70 m 

T2= R2*tan(∆2/2)= (60) tan(45⁰)= 60 m 

LC1=R1∆1(rad)=(70* π/2)=109.956 m 

LC2=R2∆2(rad)=(60* π/2)= 94.248 m 

Distancia PT1 a PT2= T2-( T1-30)=60-(70-30)=20 m 

a) Eje B=(K4+950)+ LC2= 4950+94.248 = 5044.248 

Eje A= (K2+950)+ LC1+ (PT1 , PT2)= 2950+109.956+20= 3079.956 

Ecuación de Empalme: K5+044.248(eje B)=K3+079.956 (eje A) 

b) Sabemos que x = R*Sen Θ, y=R(1-Cos Θ); entonces: 

Θ= Arcsen(x/R)=Arcsen(40/70)= 34.85⁰ 

Y = 70*(1 - cos 34.85⁰) = 12.555 m 

También sabemos por fórmula que: s=(Θ* π*R)/180⁰; entonces: 

S=(34.85⁰* π*70)/ 180⁰= 42.0577 m 

Eje A: (LC1 – S) + (K2+950)= (109.956 - 42.0577)+2950= 3017.379 

Eje C: (T2+Y)+ (K4+950)= (60+12.555)+4950= 5022.555 

Abscisa Q (Eje A)= K3+017.379, Abscisa Q (Eje C)= K5+022.555 

c) Para hallar las coordenadas del punto Q necesitamos saber la distancia de Q a A y el ángulo (α) que forma. 

QA= [(T1-X)2+Y2]1/2= [(70-40)2+12.5552]1/2= 32.52 m 

α= Arctan [y/ (T1-X)]= Arctan [12.555/ (70-40)]= 22.709⁰ 

β= (210-22.709)-180= 7.29⁰ 

Obtenemos ahora las coordenadas del punto Q: 

Coordenada Norte: 1000 - 32.52 Cos 7.29 = 967.742 

Coordenada Este: 500 – 32.52 Sen 7.29 = 495.873 

Punto Q: N = 967.742, E = 495.873