monografia ecuacion logistica

ECUACION DIFERENCIAL LOGISTICA CALCULO IV

DEDICATORIA

A mi facultad, porque permite que siga desarrollándome profesionalmente brindándome la parte académica.


INTRODUCCIÓN

Cuando requerimos analizar y conocer, por ejemplo, el comportamiento del crecimiento de una población siempre partimos de datos existentes y buscamos hallar una relación lógica que nos simplifique los cálculos a realizar. En medio de este análisis podemos nombrar el modelo de Malthus, con el cual se inició el estudio de dinámica de poblaciones. Sin embargo una manera de ajustarnos más a la realidad puede ser utilizando un modelo implantado por el matemático belga, Verhulst, que consiste en una ecuación diferencial.

La interpretación, solución y graficas serán expuestas en el primer capítulo del presente trabajo. Para un mejor entendimiento se explicara todo el proceso de planteamiento de la ecuación, para posteriormente integrar y llegar a la solución y mediante su grafica determinar su comportamiento.

En el segundo capítulo, estudiaremos las aplicaciones de estas ecuaciones, tales como el crecimiento logístico, el crecimiento biológico y las reacciones químicas; y la importancia de cada uno de ellos mediante ejemplos que demuestren sus soluciones.


RESUMEN

En el presente trabajo, se desarrolla la importancia de la ecuación diferencial logística. Para ello definimos a la misma, como una ecuación de primer orden no lineal cuya solución se determina mediante procesos algebraicos bajo conceptos de cálculo diferencial y cálculo integral y analizando situaciones particulares, además de la interpretación de su gráfica que nos indica el crecimiento del fenómeno. Sus aplicaciones se dan en el campo de la estadística, biología, sociales y epidemiologia. Resaltando temas como la regresión logística; la propagación de enfermedades en un determinado grupo de la población y el crecimiento biológico de un ser vivo con sus respectivos ejemplos. En este último se tendrá especial cuidado y se analizara matemáticamente la razón de que en algún momento, la tasa de crecimiento disminuya y el crecimiento se detenga, debido a algunas limitaciones propias de cada individuo, tales como alcanzar la madurez.


INDICE

PAGINA

I. DEDICATORIA……………………………………………………… 1

II. INTRODUCCION……………………………………………………. 2

III. RESUMEN…………………………………………………………….3

IV. INDICE…………………………………………………………………4

V. CAPITULO I: DEFINICIONES

1.1. ECUACION DIFERENCIAL LOGISTICA…………………… 5

1.2. SOLUCION DE LA ECUACION….………………………...... 6

1.3. GRAFICAS DE LA FUNCION LOGISTICA…………….……8

VI. CAPITULO II: APLICACIONES

2.1. PROPAGACION DE ENFERMEDADES………………………..10

2.2. REGRESION LOGISTICA………………………………………...11

2.3. CRECIMIENTO BIOLOGICO……………………………………..12

VII. CONCLUSIONES………………………………………………….....13

VIII. BIBLIOGRAFIA……………………………………………………......14


CAPITULO I

DEFINICIONES

1.1. ECUACION DIFERENCIAL LOGISTICA

Para poder definir lo que significa una ecuación diferencial logística, debemos buscar la manera de comprender la ley de formación o crecimiento de diferentes fenómenos, esto podemos hacerlo utilizando ecuaciones.Para el matemático y biólogo, Verhulst, es posible analizarlos mediante modelos matemáticos; es así que define una ecuación diferencial logística, cuya solución nos permite conocer, mediante una función matemática, la ley de formación del crecimiento de un determinado fenómeno.Una ecuación diferencial logística es una ecuación diferencial de primer orden no lineal, cuya solución nos permite llegar con bastante exactitud a las pautas de crecimiento de diferentes seres vivos y fenómenos sociales; esto a través de la gráfica obtenida de su función.La función logística es una función matemática que aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones, propagación de enfermedades epidémicas y difusión en redes sociales. Dicha función constituye un refinamiento del modelo exponencial para el crecimiento de una magnitudSe puede enunciar de la siguiente manera:

Pf (P)=dPdt

Esta ecuación diferencial, que se adopta en muchos modelos demográficos animales, se llama hipótesis de dependencia de densidad.

Ahora supóngase que un medio es capaz de sostener, como máximo, una cantidad K determinada de individuos en una población. Dicha cantidad se llama capacidad de sustento. Entonces f (K) = 0 para la función en la ecuación y se escribe también f (0) = r.

La hipótesis más sencilla es que f (P) es lineal; es decir, que:f (P )=C1 P+C2

Si aplicamos las condiciones f (0 )=r y f ( k )=0, tenemos que C2=r y C1=−rk

,

respectivamente, y f adopta la forma:

f (P )=r−( rk)P.

Entonces la ecuación se transforma en:

dPdt

=P(r− rkP)

Finalmente:


dPdt

=P(1−bP)

Un detalle importante, que debemos tener en cuenta, es que esta relación no resulta ser un modelo muy exacto cuando se trabaja con grandes cantidades.

1.2. SOLUCION DE LA ECUACION

Para encontrar la solución de la ecuación planteada líneas arriba, puede utilizarse diferentes métodos.Según Zill, uno de los métodos es por separación de variables. Descomponemos el lado izquierdo de la ecuación mediante fracciones parciales:

dPdt

=P(1−bP)

(

1aP

+

ba

a−bP)dP=dt

Ahora integramos:1aln|P|−1

aln|a−bP|=t+c

ln| Pa−bP|=at+acP

a−bP=C1 e

at

Y obtenemos P en función de t:

P ( t )=aC1e

at

1+bC1 eat−

aC1bC1−e

−at


Para determinar la solución, hallamos P (0 ) y calculamos el coeficiente, para

luego reemplazarlo C1=P0a−bP

Entonces la solución es:

P (t )=a P0

b P0+(a−bP)e−at

De manera más simplificada, obtenemos:

P ( t )= K

1+Ae−at

Para un caso en particular, este resultado puede analizarse cualitativamente, para obtener nuevas soluciones. Para ello asumimos a > 0

Primero calculamos los puntos de equilibrio d la ecuación, es decir sus soluciones constantes. Para ello, derivamos e igualamos a cero.

P´=aP(1− PK )=0

Entonces P=0P=K

Luego, solo existen dos soluciones constantes para esta ecuación

P(t )=0P(t )=K

Para cualquier valor de t.

Seguido, estudiamos el crecimiento de las soluciones. En este caso, los dos puntos de equilibrio de la ecuación logística P=0 y P=K dividen el plano en tres regiones: R1 (valores por encima de K, en cuyo caso se dice que la situación es de sobrepoblación), R2 (para tamaños poblacionales entre 0 y K, que es el caso biológico estándar) y R3 (para valores negativos de P, que genera una situación no biológica). Para averiguar el signo de la primera derivada de P en cada plano, reemplazamos con valore distintos, de esta manera determinamos si las soluciones son crecientes o decrecientes.

Como tercer paso, analizamos la concavidad de las soluciones. Para ello requerimos la segunda derivada:

P´ ´=[aP(1− PK

)]´

P´ ´=a P´ (1− PK )+aP(−P´

K)

P´ ´=a P´ (1−2 PK )


P´ ´=a2P(1− PK )(1−2PK )Que únicamente se anula cuando P = 0, P = K o bien P = K/2. Las dos primeras opciones no nos conducen a candidatos a nivel de inflexión, pues no son más que los puntos de equilibrio del modelo. Por tanto, de existir algún nivel de inflexión este habría de ser P = K/2.Esto quiere decir, de entrada, que las soluciones que ocupan las regiones R1 y R3 no experimentan inflexión de su concavidad (es decir, o son siempre cóncavas hacia arriba o siempre cóncavas hacia abajo; de hecho, según el análisis realizado sobre el crecimiento de las soluciones, no hay otra alternativa a que las soluciones de R1 sean siempre cóncavas hacia arriba y las de R3 siempre cóncavas hacia abajo).

Finalmente en lo que concierne a la estabilidad de los puntos de equilibrio, es inmediato concluir que P = 0 es claramente inestable mientras que P = K es asintóticamente estable.

El retrato de fases para la ecuación logística con r > 0 es el siguiente:

La representación gráfica esbozada es:

1.3. GRAFICAS DE LA FUNCION LOGISTICA

Una vez hallada la solución final, es más sencillo conocer la gráfica.

0 K


Aunque la variable t suele representar al tiempo y casi no nos ocupamos de aplicaciones en que t < 0, tiene cierto interés incluir ese intervalo al presentar las diversas gráficas. Para ello realizamos el siguiente análisis:

P (t )→aP0b P0

=abas t→∞

P (t )→0as t→−∞

La línea de puntos P = a/2b corresponde a la ordenada de un punto de inflexión de la curva logística. Para caracterizarlo diferenciamos la ecuación, aplicando la regla del producto:

d2Pd t 2

=P(−b dPdt )+(a−bP ) dPdt

=dPdt

(a−2bP)

d2Pd t 2

=P (a−bP )(a−2bP)

d2Pd t 2

=2b2 P(P−ab)(P−2a

b)

Los puntos en los que d2Pd t 2

=0 son posibles puntos de inflexión, pero se

pueden excluir P = 0 y P = a/b; de aquí que P = a/2b sea el único valor posible para la ordenada a la cual puede cambiar la concavidad de la gráfica. Entonces, P” = 0 cuando 0 < P < a/2b, y a/2b < P < a/b significa que Pr’ < 0; por consiguiente, al avanzar de izquierda a derecha la gráfica cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, en el punto que corresponde a P = a/2b. Cuando el valor inicial satisface a 0 <Po < a/2b, la gráfica de P (f) toma la forma de una S:

.

Cuando a/2b < P0 < a/b, la gráfica sigue teniendo la forma de S, pero el punto

de inflexión está en un valor negativo de t:


CAPITULO II

APLICACIONES

2.1. PROPAGACION DE ENFERMEDADES

Para la explicación de este caso, utilizaremos el siguiente ejemplo:Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su escuela, donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no sólo a la cantidad x de alumnos infectados, sino también a la cantidad de alumnos no infectados, determine la cantidad de alumnos infectados seis días después, si se observa que a los cuatro días x(4) = 50.

SOLUCIÓN Para la solución suponemos que nadie sale del campus durante la epidemia, entonces:

dxdt

=Kx(1000−x), x (0)=1

Sustituimos a = 1000k y b = k en la ecuación general y vemos que:

x (t )= 1000K

K+999K e−1000Kt

x (t )= 1000

1+999e−1000Kt

Usando la condición de dato, hallamos K:

50= 1000

1+999e−4000 t


El resultado es:

−1000K=14ln19999

=−0.9906

Finalmente, con el valor de K podemos hallar x (6):

x (6 )= 1000

1+999e−0.9906(6)

x (6 )=276.25

La cantidad de alumnos infectados en 6 días son 276.

Este ejemplo nos muestra claramente, que la ecuación diferencial logística podemos utilizarla para determinar la propagación de una enfermedad en una determinada población y en un determinado tiempo . En este caso se ha podido determinar la cantidad de alumnos infectados con la enfermedad en 6 días, partiendo de un dato que nos indicaba la cantidad de alumnos infectados en 4 días.En el siguiente cuadro podemos observar una gráfica de crecimiento, además de una tabla que contiene valores para otros x (t):

2.2. REGRESION LOGISTICA


Es una aplicación en el campo de la estadística. En el análisis de este fenómeno se emplea la función logística. Dicho análisis pretende estimar la probabilidad de un determinado evento, medible por variables categóricas (y no numéricas), que se sabe está correlacionado con ciertas variables cuantitativas. Para una mejor ilustración, podemos utilizar como ejemplo los trabajos realizados en epidemiología y en la investigación de mecanismos lesionales. En dichos eventos es frecuente correlacionar la probabilidad de muerte o lesión con ciertos valores numéricos mediante una ecuación particular del tipo:

ProbL=1

1+e−(β 0+β1x1 , i+…+βk xki)

Los datos empíricos(con los que se inicia el análisis) constan de una lista de casos de los cuales se conocen una serie de indicadores numéricos para los cuales se examinó si presentaban lesión (o muerte), estos datos se representan

usualmente como 0 (no-lesión) y 1 (lesión) y se estiman los parámetros β1.

El análisis de regresión logística se enmarca en el conjunto de “Modelos Lineales Generalizados (GLM)” que usa como función de enlace la función “logit”.

2.3. CRECIMIENTO BIOLOGICO

Es una aplicación muy importante, ya que es parte del desarrollo de todo ser vivo, incluido el ser humano.

Analizándolo desde esa perspectiva, podemos partir desde el desarrollo embrionario. En el desarrollo de un embrión, el óvulo fecundado comienza a dividirse y el número de células empieza a crecer progresivamente: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. Éste es un crecimiento exponencial. Pero teniendo en cuenta que el feto sólo puede crecer hasta un tamaño que el útero pueda soportar; así, otros factores comienzan a disminuir el incremento del número de células, y la tasa de crecimiento disminuye. Después de un tiempo, el niño nace y continúa creciendo hasta que el número de células se estabiliza y la estatura del individuo se hace constante. Se ha alcanzado la madurez, en la que el crecimiento se detiene.

Podemos determinar un modelo matemático que explique tal fenómeno:

dydt

=xy−b y2

Donde seleccionamos β>0 para restringir el crecimiento de y como lo exige la

realidad. Para y= y0 en t=0.

Se debería enfatizar que esta ecuación sólo proporciona un modelo matemático el cual esperamos describa los hechos biológicos del crecimiento, y si el modelo produce resultados que no están de acuerdo con la realidad éste se debe revisar.

La solución de esta ecuación vendría a ser la función que explique el crecimiento biológico:


y=

xβ

1+( xβy0−1)e−xt

CONCLUSIONES

Una ecuación logística es un modelo implantado por el matemático Verhulst, que nos permite llegar con bastante exactitud a las pautas de crecimiento de diferentes fenómenos, como: crecimiento de una población, crecimiento biológico, propagación de enfermedades, etc.

Para determinar la solución de la ecuación, puede analizarse diferentes casos particulares. En conclusión, la función logística general que se usa y con la cual se elabora las gráficas de crecimiento es:

P ( t )= K

1+Ae−at

Las aplicaciones más resaltantes de esta función y vistos en este trabajo son: la propagación d enfermedades, la regresión logística y el crecimiento biológico. Este último con un análisis desde el desarrollo embrionario además que un ser vivo bajo ciertas condiciones en algún momento deja d crecer; se considera algunas restricciones y limitaciones que ajusten este crecimiento con la realidad.


BIBLIOGRAFIA

- G. ZILL, Dennis “ Ecuaciones Diferenciales-con aplicaciones de modelado ” - Mexico

- MURRAY, Spiegel “Ecuaciones Diferenciales” Edit. Prentice-Hall Mexico

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