INTRODUCCIN:Este tema est dedicado a la discusin de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Dicho sistemas aparecen en problemas que tienen rotacin con varias variables dependientes que son funcin de las mismas variables independientes.Por ejemplo, las leyes de Newton:

Donde es la masa de la partcula, son sus coordenadas especiales y las componentes de la fuerza actuante sobre la partcula en dicha posicin, que pueden ser funcin de la posicin, de la velocidad y el tiempo.Hay una importante conexin entre los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuacin de orden

Puede ser reducida a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamados

.

ContenidoUNIDAD 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES34.1 TEORA PRELIMINAR34.1.1 SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES54.1.2 SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGNEAS74.1.3 SOLUCIN GENERAL Y PARTICULAR DE SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES104.2 METODOS DE SOLUCIN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.134.2.1 METODOS DE LOS OPERADORES.144.2.2 MTODO UTILIZADO EN LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.214.3.3 APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.25CONCLUSIN:28BIBLIOGRAFA29

UNIDAD 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES4.1 TEORA PRELIMINAR FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA

Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Puede ser escrito como

O simplemente

Si el sistema es homogneo se convierte en

Las ecuaciones anteriores tambin se escriben como y , respectivamente.Ejemplo 1: En la forma matricial, el sistema no homogneo

Puede ser escrito como

En donde Ejemplo2: En la forma matricial, el sistema homogneo

Es

En donde

4.1.1 SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Sistemas lineales. Si cada una de las funciones es lineal en las variables dependientes entonces las ecuaciones son un sistema de ecuaciones lineales de primer orden. Ese sistema tiene la forma normal o estndar

Un sistema con las forma de estas ecuaciones se denomina sistema lineal de orden n. se supone que los coeficientes y las funciones son continuos en un intervalo comn . Cuando , , se dice que el sistema lineal es homogneo; en caso contrario, es no homogneo.*Reduccin de una ecuacin a un sistemaSupongamos que la ecuacin diferencial lineal de orden n se escribe primero en la forma

Si ahora introducimos las variables

Se tiene que y por lo tanto obtenemos

Ejemplo 1Reducir la ecuacin de tercer orden.

A la normal Solucin escrbase la ecuacin diferencial en la forma:

Y luego hgase puesto que

Resulta

4.1.2 SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGNEASSabemos que una ecuacin diferencial lineal es de la forma,

Si esta misma ecuacin se transforma en la forma,

Obtenemos una ecuacin diferencial lineal homognea. Esta se da cuando lafuncin conocida no est presente en la ecuacin diferencial lineal, entonces se le llama una ecuacin diferencial homognea. Y si tenemos una gran cantidad de tales ecuaciones juntas, de manera tal que dependen unas de las otras, y definen colectivamente un problema comn, entonces se les llama un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogneo. Tales sistemas pueden ser resueltos de manera eficiente con la ayuda de las matrices, las cuales son denominadas matriz fundamental. Sean las soluciones de la matriz fundamental del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales homogneas, entonces puede representarse de manera condensada como,

En la ecuacin anterior, las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales estn definidas en algn intervalo, digamos I y la solucin general del sistema de ecuaciones diferenciales es este

En la ecuacin anterior, los trminos que se mantienen dentro de los corchetes son los vectores de la fila, donde estas son las soluciones fundamentales del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales lineales homogneas para el intervalo dado I. Entonces tenemos que la matriz fundamental para el sistema homogneo de ecuaciones diferenciales lineales para el intervalo dado como I es,

Los pasos para resolver un sistema homogneo de ecuaciones diferenciales lineales son los siguientes: Construye la matriz de coeficientes para las ecuaciones del sistema dado.

Determina los valores propios de esta matriz de coeficientes del sistema dado de ecuaciones diferenciales lineales homogneas.

Ahora, busca el vector propio inicial de este conjunto de valores propios y nmbralo como EV1.

Determina la primera ecuacin de este vector en trminos de constantes .

Despus de esto, determina el siguiente conjunto de valores propios, sus vectores propios correspondientes y su ecuacin.

Anota la solucin general para las ecuaciones en trminos de constantes.

Por ltimo, deriva la solucin general para el sistema de ecuaciones.

Aunque el procedimiento para solucionar el sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogneo es bastante fcil, se da un ejemplo ilustrativo que te ayudara a hacer los conceptos ms claros.

Primero, escribamos la matriz constante para el sistema de ecuaciones diferenciales homogneas dado. Esto es,

La matriz columna de los valores propios construida a partir de esta matriz de coeficientes es la siguiente,

Esto nos da . A partir de estos valores propios el vector propio asociado se construye como,

Colocando el valor de 1= -1 en lugar, el valor exacto de EV1 se obtiene como,

El determinante de este se obtiene como,

La ecuacin asociada de este vector propio es,

De manera similar, la otra ecuacin para el segundo vector propio es,

Cuando y

Del mismo modo,

4.1.3 SOLUCIN GENERAL Y PARTICULAR DE SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESPara resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, es absolutamente esencial conocer los conceptos de valor propio y vector propio. Para una matriz M dada, es llamndolos valores propios, si la condicin es verdadera,

Aqu se llama vector propio de la matriz M.Es decir, los vectores propios son aquellos vectores que luego de ser multiplicados por la matriz de entrada permanecen proporcionales a la matriz de entrada o resultan a cero.Sea A la matriz que contiene los valores propios, como A continuacin se indican los pasos para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales.

Calcula las ecuaciones diferenciales y construye la matriz que contiene los coeficientes de todas las ecuaciones en el orden en que aparecen en el sistema se entrada de la ecuacin.

Los valores propios se obtienen de esta matriz que contiene los trminos de los coeficientes.

Calcula todos los vectores propios de los valores propios como los obtenidos en el paso anterior. Nmbralos en secuencia a medida que son determinados EV1, EV2, EV3En.

Calcula las ecuaciones correspondientes para cada uno de los vectores propios y los vectores propios asociados. Repite este paso para cada par de valores y vectores propios.

Obtn la solucin particular para un sistema de ecuaciones no homogneo como,

Aqu se define como,.Y en caso de que el sistema de entrada sea una ecuacin diferencial homognea, entonces la solucin particular del sistema ser dad de la forma,

La ecuacin anterior nos da la relacin,

En la relacin anterior, son valores propios y vectores propios respectivamente. Y la solucin general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es dada de la forma,

En general podemos decir que la solucin de un sistema de ecuacin diferencial es llamada solucin general si los valores de las constantes no se obtienen en la solucin final. La misma solucin puede convertirse en una solucin particular cuando tenemos el valor de las constantes determinadas. Esto se hace en el caso que el sistema de entrada de la ecuacin diferencial sea un problema de valor inicial con las condiciones iniciales establecidas para la determinacin de los trminos constantes.

El ejemplo siguiente aclara el procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.

Determina el conjunto de ecuaciones como para el sistema de ecuaciones con las condiciones iniciales establecidas como El valor de la matriz A esta dad como,

La ecuacin caracterstica de la matriz de coeficiente arriba es,

Y las races de esta ecuacin nos dan repetidos valores propios de la matriz como, 1=2=-2.

Entonces, el vector propio de la matriz esta dado de la siguiente forma:

Por consiguiente, un vector propio generalizado puede ser calculado como,

La solucin particular de este problema seria el cul es el valor propio generalizado de esta matriz, junto con los valores propios repetidos y es la solucin homognea dando el vector propio v1.

Y la solucin general del problema es,

Entonces nos da,

4.2 METODOS DE SOLUCIN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual que existen varias tcnicas para resolver una ecuacin diferencial lnea, tambin las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el mtodo de eliminacin de Gauss, mtodo separable y reducible. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales esta representado como:

.

Entonces la representacin de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones diferenciales lineales ser,

4.2.1 METODOS DE LOS OPERADORES.Las operaciones diferenciales ordinarias simultneas comprenden dos o ms ecuaciones que contienen las derivadas de dos o ms funciones incgnitas de una sola variable independiente. Si y son funciones de la variable , entonces

Y

Son ejemplos de sistemas de ecuaciones diferenciales simultneas.Solucin de un sistema.Una solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones diferenciables , etc., que satisfacen cada ecuacin del sistema en algn intervalo .Eliminacin sistemtica.La primera tcnica que consideramos para resolver tales sistemas se basa en el principio fundamental de eliminacin algebraica sistemtica de las variables. Veremos que lo anlogo de multiplicar una ecuacin algebraica por una constante es operador sobre una ecuacin diferencial con alguna combinacin de derivadas. Recurdese que una ecuacin diferencial lineal

en donde los , siendo constantes, puede ser escrita como

Ejemplo: Escribir el sistema de ecuaciones diferenciales

usando la notacin de los operadores.Solucin: Expresar el sistema dado como

de modo que

Mtodo de solucin.Considrese el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden ,o equivalentemente,

Si la primera ecuacin le aplicamos D, multiplicamos la segunda por 2 y luego restamos, se elimina del sistema. Se obtiene que o bien Puesto que las races de la ecuacin auxiliar son y obtenemos

Si ahora multiplicamos la primera ecuacin por -3, aplicamos D a la segunda y luego sumamos, resulta la ecuacin diferencial en . De inmediato se obtiene que

Como la ltima expresin tiene que anularse para todos los valores de debemos tener que y o bien

Por lo tanto, concluimos que una solucin del sistema debe ser

Ejemplo: Resolver

Solucin: Primero escribimos el sistema con la notacin de operadores diferenciales

Luego, eliminando obtenemos

O bien

Puesto que las races de la ecuacin auxiliar son , la funcin complementaria es

Para determinar la solucin particular usamos coeficientes indeterminados, para lo cual suponemos que Por lo tanto

La ultima igualdad implica que

y por lo tanto

Por consiguiente

Eliminando del sistema se obtiene o bien .Debe ser obvio que

y que es posible usar coeficiente indeterminados para obtener una solucin particular de la forma . En este caso, con las derivaciones usuales y operacionales algebraicas se obtiene

y por lo tanto

Ahora bien, y pueden ser expresadas en trminos de y sustituyendo. Usando la segunda ecuacin, despus de combinar trminos, obtenemos

de modo que y .Despejando y en trminos de y resulta

Finalmente se encuentra que una solucin es

Uso de determinante.Si y denotan operadores diferenciales de coeficientes constantes, entonces un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en dos variables y puede ser escrito como

Eliminando las variables tal como lo haramos para ecuaciones algebraicas resulta

en donde

Los resultados obtenidos se pueden escribir formalmente en trminos de determinantes de manera similar a la usada en la regla de Cramer:

El determinante que aparece en el miembro izquierdo de cada ecuacin puede ser desarrollado en el sentido algebraico corriente; el resultado se aplica posteriormente a las funciones y Sin embargo, los determinantes de los segundos miembros deben desarrollarse con cierto cuidado, de modo que los operadores diferenciales internos efectivamente acten sobre las funciones y .Si

es un operador diferencial de orden , entonces El sistema puede ser descompuesto en dos ecuaciones diferenciales de orden en y . La ecuacin caracterstica, y por lo tanto, la funcin complementaria de cada una de estas ecuaciones diferenciales es la misma. Puesto que tanto como contienen constantes, aparecen en total constantes. El nmero total de constantes independientes que aparecen en la solucin del sistema es .

Si

entonces, el sistema puede tener una solucin que contiene un nmero cualquiera de constantes independientes, o puede, simplemente, no tener solucin.

Ejemplo: Dado el sistema

hallar la ecuacin diferencial para la variable .

Solucin: Usando determinantes podemos escribir

Desarrollando cada determinante segn los menores de la primera fila resulta

O bien El smbolo en la expresin debe ser tratado como un ente algebraico, no as en el segundo miembro.

4.2.2 MTODO UTILIZADO EN LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.La transformada de Laplace es una tcnica matemtica que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas estn definidas por medio de una integral impropia y cambian una funcin en una variable de entrada en otra funcin en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales. Cuando se resuelven ecuaciones diferenciales usando la tcnica de la transformada, se cambia una ecuacin diferencial en un problema algebraico.Sea una funcin definida en . Se define la transformada de Laplace de a la funcin o definida por la integral

para aquellos valores de (o) para los que est definida la integral.Ntese que la integral que aparece es una integral impropia, que est definida por

siempre que el limite exista.Antes de discutir sobre la existencia o no de la transformada de Laplace, resulta conveniente definir ciertos trminos.Se dice que una funcin es continua por segmentos o seccionalmente continua en un intervalo cerrado si es continua en todo punto de , excepto en un nmero finito de puntos en los que tiene una discontinuidad de salto. Se dice que es seccionalmente continua en si lo es en cada intervalo de la forma con Se dice que una funcin es de orden exponencial si existen constantes positivas y tales que .

CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.La forma ms conveniente para probar la convergencia o divergencia de una integral impropia es por medio del siguiente teorema de comparacin, que es anlogo a un teorema similar para series infinitas.TEOREMA.Si es seccionalmente continua para , si cuando , para alguna constante y si convergente, entonces tambin convergente. Por otra parte, si para y si diverge, entonces tambin diverge.De acuerdo con este teorema, la funcin deber satisfacer ciertas condiciones para que su transformada de Laplace exista.Si es continua por segmentos en y de orden exponencial , entonces .Supongamos que no est conectada cuando . Adems: es continua por segmentos en cualquier intervalo con para cualquier con es una funcin de orden exponencial .Entonces, existe .

Propiedades de la transformada de laplace.Siempre que no diga lo contrario, supondremos que esta seccin que es seccionalmente continua y de orden exponencial.1. linealidad.Si son funciones cuyas transformadas respectivas son , entonces

2. traslacin.Si , entonces

Si , y entonces .

3. cambio de escala.Si

4. transformada de la derivada.Supongamos que y son seccionalmente continuas en y de orden exponencial. Entonces existe y

Ejemplo: Resolver

sujeto a .Solucin: Si y , despus de transformar cada ecuacin obtenemos

O bien

Multiplicando la segunda ecuacin por 2 y restando resulta

Ahora bien, mediante fracciones parciales

de modo que

Haciendo y en el ultimo rengln resulta y , respectivamente; en tanto que igualando los coeficientes de y en cada miembro de la igualdad resulta.Se tiene que . Por consiguiente se transforma en

y por tanto

Por la segunda ecuacin

de lo cual se deduce que

.Por consiguiente, concluimos que la solucin del sistema dado es

4.3.3 APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de una o ms ecuaciones en las que aparecen una o ms funciones incgnitas, pero todas ellas dependiendo de una sola variable independiente.Una ecuacin diferencial lineal de primer orden es una que se puede escribir en la forma

donde y son funciones continuas en un determinado intervalo. Este tipo de ecuacin se presenta con frecuencia en varias ciencias. Sistema de primer orden.Se llama sistema de primer orden, al orden de un sistema de ecuaciones diferenciales es el orden de las derivadas de mayor orden que aparece en el sistema.La forma general de un sistema de dos ecuaciones y de primer orden es:

donde y son funciones de las tres variables y (variable independiente del sistema). Una solucin del sistema en el intervalo es un par de funciones, que satisfacen

Idnticamente para todo .

Notacin vectorial.Al trabajar con sistemas es conveniente utilizar la notacin vectorial, porque es ms manejable y compacta. Por ejemplo para el sistema

,

si definimos la funcin vectorial

tendramos que

Primero, Para derivar una funcin vectorial lo nico que hay que hacer es derivar cada una de sus componentes:.

En segundo lugar, la parte de la derecha de la ecuacin es una funcin vectorial respecto de las componentes del vector . Por lo tanto, si ponemos

,

entonces la ecuacin se convierte en

En general, para un sistema de dimensin :

podemos ahorrar mucho espacio y tiempo si usamos notacin vectorial. Si ponemos y

entonces el sistema se puede escribir como.

As que la gran ventaja de usar notacin vectorial consiste en poder expresar un sistema de cualquier dimensin casi de la misma forma que una sola ecuacin diferencial. La diferencia es que para sistemas, las variables y funciones son vectores. Por lo general, sin embargo, el contexto se podr deducir fcilmente si trabajamos con vectores o con escalares.

Sistemas de ecuaciones lineales.Si cada una de las funciones en el sistema son lineales, entonces el sistema se dice que es lineal.La forma general de un sistema lineal de ecuaciones de primer orden es

As los sistemas

son lineales, mientras que los sistemas

Si cada una de las funciones son idnticamente cero, entonces el sistema se dice que es homogneo y en caso contrario, no homogneo.Los sistemas lineales son los ms simples entre todos los sistemas de primer orden, pero incluso estos son muy difciles de resolver analticamente. Suficientemente difciles son los sistemas lineales con coeficientes constantes; es decir, aquellos en los que las funciones son funciones constantes. Estos son los nicos que se pueden resolver analticamente.

CONCLUSIN:En esta unidad hemos considerado sistemas de ecuaciones diferenciales lineales en la cual aprendimos que se utilizan en la vida cotidiana. Probablemente la tcnica bsica para resolver sistemas lineales consiste en reescribir el sistema completo con la notacin de operadores y luego usar la eliminacin sistemtica para obtener una sola ecuacin diferenciales en una variable dependiente, la cual puede ser resuelta mediante los procedimientos usuales. Adems, generalmente es posible usar determinantes para obtener el mismo resultado. Una vez que todas las variables dependientes han sido determinadas, es necesario usar el sistema mismo para encontrar distintas relaciones entre los parmetros.Cuando se especifican condiciones iniciales, se puede usar la trasformada de Laplace para reducir el sistema a ecuaciones algebraicas simultneas en las funciones transformadas.

BIBLIOGRAFAZill, D. G. ecuaciones diferenciales con aplicaciones. iberoamericana.

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