definicion de ecuacion diferencial
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Guía de ejercicios, muy completa. Ecuaciones Diferenciales.TRANSCRIPT
DEFINICION DE ECUACION DIFERENCIAL
ECUACION DIFERENCIAL
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que se establece una relación entre una o más
variables independientes y una función incógnita y sus derivadas.
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN
DE DERIVADAS QUE INVOLUCRAN
Ecuación Diferencial Ordinaria: es una ecuación diferencial en la cual aparecen derivadas
ordinarias de una variable dependiente respecto a una sola variable independiente.
Por ejemplo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 5𝑦 = 𝑒𝑥 ,
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2−𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 6𝑦 = 0,
𝑑𝑥
𝑑𝑡+𝑑𝑦
𝑑𝑡= 2𝑥 + 𝑦
Las derivadas ordinarias se escribirán usando la notación de Leibniz 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ , 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2⁄ … o la
notación prima 𝑦′, 𝑦′′, 𝑦′′′. Realmente la notación prima se usa para denotar solo las primeras tres
derivadas: la cuarta derivada se denota 𝑦(4) en lugar de 𝑦′′′′. En general, la 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 derivada de
“y” se escribe como 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛⁄ 𝑜 𝑦𝑛 .
Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales: es una ecuación diferencial en la cual aparecen
derivadas parciales de una sola variable dependiente respecto de dos o más variables
independientes.
Por ejemplo:
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+𝜕2𝑢
𝜕𝑦2= 0,
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2=𝜕2𝑢
𝜕𝑡2− 2
𝜕𝑢
𝜕𝑡, 𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
ORDEN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
El orden de una ecuación diferencial es la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación
diferencial.
Por ejemplo:
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 5 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)3
− 4𝑦 = 𝑒𝑥
Una ED puede contener más de una
variable dependiente,
Segundo orden Primer orden
PROBLEMA 1:
Clasificar cada una de las ecuaciones que se dan a continuación:
Ecuación Variable D Variable I Tipo Orden
1. 𝑦′ = 𝑥2 + 5𝑦
2. 𝑦′′ − 4𝑦′ − 5𝑦 = 𝑒3𝑥
3. 𝜕𝑈
𝜕𝑍= 4
𝜕2𝑈
𝜕𝑥2+𝜕𝑈
𝜕𝑦
4. 𝑑𝑟
𝑑∅= √𝑟∅
5. 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 3𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑦
6. 𝜕2𝑉
𝜕𝑥2= √
𝜕𝑉
𝜕𝑦
7. (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 − 3𝑦)𝑑𝑦 = 0
8. 𝜕2𝑉
𝜕𝑥2+ 4
𝜕2𝑉
𝜕𝑥𝜕𝑦+ 4
𝜕2𝑉
𝜕𝑦2=0
9. 9𝜕2𝑇
𝜕𝑥2= 4
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
10. 𝑦𝑑𝑥 + (2𝑥 − 3)𝑑𝑦 = 0
PROBLEMA 2:
Clasifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación, según tipo y
orden.
Ecuación Variable D Variable I Tipo Orden
1. 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦′′′ − 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦′ = 2
2. (1 − 𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0
3. 𝑥𝑑3𝑦
𝑑𝑥3− 2 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)4+ 𝑦 = 0
4. (1 − 𝑥)𝑦′ − 4𝑥𝑦′ + 5𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
5. 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 9𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
6. 𝑦𝜕𝑈
𝜕𝑦+ 𝑥
𝜕𝑈
𝜕𝑥= 2𝑈 + 6𝑥 − 4𝑦
7. 𝜕4𝑈
𝜕𝑥2 𝜕𝑦2= 0
8. 𝑥𝜕𝑍
𝜕𝑥+ 𝑦
𝜕𝑍
𝜕𝑦= 𝑍
GRADO DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la cual esta elevada la derivada de mayor
orden de la ecuación diferencial.
PROBLEMA 3:
Clasifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación, según tipo, orden
y grado.
Ecuación Variable D Variable I Tipo Orden
1. (𝜕3𝑉
𝜕𝑠3)2
+ (𝜕2𝑉
𝜕𝑡2)3
= 𝑠 − 3𝑡
2. 𝑑2𝑥
𝑑𝑦2+ 𝑠𝑒𝑛𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑦)3= 0
3. 𝜕2𝑉
𝜕𝑥2+ 2
𝜕2𝑉
𝜕𝑦2= 𝑉
4. 𝑥𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑥𝑦 = 0
5. 𝑥2𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 𝑥 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)2+ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
6. 𝜕4𝑍
𝜕𝑥4− 2 (
𝜕4𝑍
𝜕𝑥2 𝜕𝑦2)2
+𝜕4𝑍
𝜕𝑦4= 0
PROBLEMA 4:
Clasificar cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación, según tipo,
orden y grado.
Ecuación Variable D Variable I Tipo Orden
1. 𝜕3𝑧
𝜕𝑥3+ 3
𝜕3𝑧
𝜕𝑥2 𝜕𝑦+ 3
𝜕3𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑦2+
𝜕3𝑧
𝜕𝑦3= 0
2. 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 2𝑥 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)2= 0
3. 𝜕2𝑈
𝜕𝑟2+1
𝑟
𝜕𝑈
𝜕𝑟+1
2
𝜕2𝑈
𝜕∅2= 0
4. 𝑥2(𝑦′′)2 + 2𝑥(𝑦′)3 − 12𝑦 − 2𝑥2 = 0
5. (𝑦′′′)4 − (𝑦′)2 = 𝑥𝑒𝑥
6. 𝑥3𝜕3𝑧
𝜕𝑥3+ 6𝑥𝑦
𝜕2𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑦+ 7𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦+ 𝑦 = 0
ECUACION DIFERENCIAL LINEAL
Una ecuación diferencial de 𝑛 − é𝑛𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 orden se dice que es lineal si F es lineal en
𝑦, 𝑦′, … , 𝑦𝑛. Esto significa que una EDO de 𝑛 − é𝑛𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 es lineal cuando la ecuación es:
𝑎𝑛(𝑥)𝑦𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦
𝑛−1 +⋯𝑎1(𝑥)𝑦′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 − 𝑔(𝑥) = 0
O también,
𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1+⋯𝑎1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
Dos casos especiales importantes de este tipo de ecuación son las ED lineales de primer orden
(𝑛 = 1) y de segundo orden (𝑛 = 2):
𝑎1(𝑥)𝑦′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑦 𝑎2(𝑥)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
Por lo tanto para que se cumpla que es una ecuación diferencial lineal debe satisfacer
simultáneamente las siguientes condiciones:
a) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado (esto es, si están
elevadas a la potencia uno)
b) Los coeficientes de la variable dependiente y sus derivadas depende solo de la variable
independiente.
Por ejemplo:
(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + 4𝑥𝑑𝑦 = 0, 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0, 𝑦 𝑑3𝑦
𝑑𝑥3+ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥− 5𝑦 = 𝑒𝑥
Las ecuaciones son, respectivamente, ED de primero orden, segundo orden y tercer orden.
Acabamos solo de mostrar que la primera ecuación es lineal en la variable “y” cuando se
escribe en la forma alternativa 4𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑥. Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es
simplemente no lineal. Funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas,
tales como 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑦 𝑒𝑦, no se pueden representar en una ecuación lineal.
Por ejemplo:
(𝟏 − 𝒚)𝒚′ + 2𝑦 = 𝑒𝑦 ,𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 𝒔𝒆𝒏𝒚 = 0,
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4+ 𝒚𝟐 = 0
Termino no lineal: Coeficiente depende de y
Termino no lineal: Función no lineal de y
Termino no lineal: El exponente es diferente de 1.
PROBLEMA 5:
Clasifique cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación según orden,
grado y linealidad.
Ecuación Orden Grado Linealidad
1. (1 − 𝑥)𝑦′′ − 4𝑥𝑦′ + 5𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
2. 𝑥2𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 2𝑥2
3. 𝑦´´ − 2𝑥(𝑦´)2 = 0
4. 𝑥𝑑3𝑦
𝑑𝑥3− (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)4+ 𝑦 = 0
5. 𝑦′′′ − 2𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 0
6. 𝑡5𝑦(4) − 𝑡3𝑦′′ + 6𝑦 = 0
7. 𝑑2𝑢
𝑑𝑟2+𝑑𝑢
𝑑𝑟+ 𝑢 = cos (𝑟 + 𝑢)
8. 𝑥2𝑦′′ + 2𝑥𝑦′ − 12𝑦 = 𝑥2𝑦2
9. 𝑦′′ + 𝑥𝑦 − 𝑦′𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
10. 𝑦′ = 𝑥2 + 5𝑦
11. 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2= √1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)2
12. 𝑑2𝑅
𝑑𝑡2= −
𝑘
𝑅2
13. (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 − 3𝑦)𝑑𝑦 = 0
14. 𝑥(𝑦′)2 + 2𝑥𝑦′ + 𝑥𝑦𝑦′′ = 0
15. 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦′′′ − 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦′ = 2
16. 𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 𝑦 = sec (𝑙𝑛𝑥)
17. 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 𝑦2 = 𝑥2𝑒𝑥
18. 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = (12𝑥2 − 6𝑥)𝑒2𝑥
19. 6𝑥2𝑦′′ + 5𝑥𝑦′ + (𝑥2 − 1) = 0
20. 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥2
21. 𝑥2𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑥𝑦 = 𝑒𝑥+𝑦
22. 𝑦′′ − 2𝑥(𝑦´)2 + 𝑥𝑦 = 0
23. 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 4𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥
24. 𝑑4𝑦
𝑑𝑥4− (2
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3)3
= 𝑥𝑦𝑒𝑥
25. 𝑦𝑦′ − 𝑥𝑦′′ = 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)
Se dice que es separable o que tiene variables separables.
Considere la ecuación diferencial de primer orden 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ = 𝑓(𝑥, 𝑦). Cuando f no depende de la
variable y, es decir, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥), la ecuación diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑔(𝑥)
Se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, al integrar a ambos lado de la
ecuación se obtiene,
∫𝑑𝑦 = ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑦 = 𝐺(𝑥) + 𝑐
Donde 𝐺(𝑥) es una antiderivada (integral indefinida) de 𝑔(𝑥).
Ejemplo 1:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦2𝑥𝑒3𝑥+4𝑦
Separando variables obtenemos,
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (𝑥𝑒3𝑥)(𝑦2𝑒4𝑦)
Integrando,
∫𝑦2𝑒4𝑦𝑑𝑦 = ∫𝑥𝑒3𝑥𝑑𝑥
𝑦2𝑒4𝑦
4−𝑦𝑒4𝑦
8+𝑒4𝑦
32=𝑥𝑒3𝑥
3−𝑒3𝑥
9+ 𝑐
Sabiendo que, 𝑎𝑛 . 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
Integración por parte
Un problema con valores iniciales.
Ejemplo 2:
Resuelva, (𝑒2𝑦 − 𝑦)𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑒𝑦𝑠𝑒𝑛2𝑥 , 𝑦(0) = 0
Separando variables,
(𝑒2𝑦 − 𝑦)
𝑒𝑦𝑑𝑦 =
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
Simplificando e Integrando a ambos lados tenemos,
∫𝑒𝑦𝑑𝑦 −∫𝑦𝑒−𝑦 = ∫2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
𝑒𝑦 +𝑦
𝑒𝑦+1
𝑒𝑦= 𝑐 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥
La condición inicial 𝑦 = 0 cuando 𝑥 = 0 implica que 𝐶 = 4. Por lo tanto una solución del problema
con valores iniciales es
𝑒𝑦 +𝑦
𝑒𝑦+1
𝑒𝑦= 4 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥
Ejemplo 3:
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦), 𝑦(0) = 0
Separando variables:
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦)
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥= (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥) − (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑡𝑔𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑦𝑠𝑒𝑛𝑦𝑑𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
∫𝑠𝑒𝑐𝑦𝑑𝑦 = ∫2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
Identidad trigonométrica:
Sen2x= 2senxcosx
Identidad trigonométrica:
𝑠𝑒𝑛(𝑎 ± 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 ± 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑐𝑜𝑠𝑎
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑦 + 𝑡𝑔𝑦| = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐
La condición inicial 𝑦 = 0 cuando 𝑥 = 0 implica que 𝐶 = 0. Por lo tanto una solución del problema
con valores iniciales es
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑦 + 𝑡𝑔𝑦| = 2𝑠𝑒𝑛𝑥
PROBLEMAS:
Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de
primero orden de variables separables:
1.𝑑𝑦
𝑑𝑥=1 + 2𝑦2
𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥
2.𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑥2𝑦2
1 + 𝑥
3.𝑑𝑠
𝑑𝑟=𝑙𝑛𝑟(𝑠 + 1)
𝑠
4.𝑑𝑁
𝑑𝑡+ 𝑁 = 𝑁𝑡𝑒𝑡+2
5. (4𝑦 + 𝑦𝑥2)𝑑𝑦 − (2𝑥 + 𝑥𝑦2)𝑑𝑥 = 0
6. (1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2𝑦2)𝑑𝑦 = 𝑦2𝑑𝑥
7. 𝑦𝑙𝑛𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥= (
𝑦 + 1
𝑥)2
8. 𝑄2𝑡2𝑑𝑡 = (𝑡 + 1)𝑑𝑄
9.𝑑𝑦
𝑑𝑥= (
2𝑦 + 3
4𝑥 + 5)2
10. 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑦 + 𝑐𝑠𝑐𝑦𝑑𝑥 = 0
11. 𝑒𝑦𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑒2𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0
12. 𝑠𝑒𝑐𝑦𝑑𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑦𝑑𝑥
13. 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑑𝑥 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠33𝑥𝑑𝑦 = 0
14. (𝑒𝑦 + 1)2𝑒−𝑦𝑑𝑥 + (𝑒𝑥 + 1)3𝑒−𝑥𝑑𝑦 = 0
15.𝑦
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (1 + 𝑥2)−
12⁄ (1 + 𝑦2)
12⁄
16.𝑑𝑈
𝑑𝑠=
𝑈 + 1
√𝑠 + √𝑠𝑈 𝑠𝑢𝑔𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎, 𝐶. 𝑉 𝑣2 = 𝑈
17.𝑦3
𝑥2𝑑𝑦
𝑑𝑥= (1 − 𝑥2)−
12⁄ (1 + 𝑦2)
12⁄
18.𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑥𝑦 + 3𝑥 − 𝑦 − 3
𝑥𝑦 − 2𝑥 + 4𝑦 − 8
19.𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑥𝑦 + 2𝑦 − 𝑥 − 2
𝑥𝑦 − 3𝑦 + 𝑥 − 3
20.𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑦 − 𝑐𝑜𝑠2𝑦)
21. 𝑠𝑒𝑐𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)
22. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)
23. 𝑡𝑔𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥+ cos(𝑥 − 𝑦) = cos (𝑥 + 𝑦)
24. 𝑥√1 − 𝑦2𝑑𝑥 = 𝑑𝑦
25. (𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦2
26. (𝑥 + √𝑥)𝑑𝑦
𝑑𝑥= (𝑦 + √𝑦)
27.𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)
28.𝑡3𝑑𝑡
𝑑𝑟= 𝑒−𝑡
2cos (√𝑟)
29.𝑑𝑥
𝑑𝑦=𝑦2√𝑥2 − 6𝑥 + 13
√9 − 25𝑦2
30. (1 + 𝑥4)𝑑𝑦 + 𝑥(1 + 4𝑦2)𝑑𝑥 = 0, 𝑦(1) = 0
31. (𝑒−𝑦 + 1)𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑦, 𝑦(0) = 0
32. 𝑥2𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦 − 𝑥𝑦, 𝑦(−1) = −1
33.𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑦 = 1, 𝑦(0) =
5
2
34.√1 − 𝑦2𝑑𝑥 −√1 − 𝑥2𝑑𝑦, 𝑦(0) =√3
2
35.𝑑𝑦
𝑑𝑥= 4(𝑥2 + 1), 𝑦 (
𝜋
4) = 1
36.𝑑𝑦
𝑑𝑥=(𝑦 − 1)(𝑥 − 2)(𝑦 + 3)
(𝑥 − 1)(𝑦 − 2)(𝑥 + 3)
37.𝑑𝑟
𝑑∅=𝑠𝑒𝑛∅ + 𝑒2𝑟𝑐𝑜𝑠∅
3𝑒𝑟 + 𝑒𝑟𝑐𝑜𝑠2∅
38. 𝑥3𝑒2𝑥2+2𝑦2𝑑𝑥 − 𝑦3𝑒−𝑥
2−2𝑦2𝑑𝑦 = 0
39.𝑥5𝑑𝑥
𝑑𝑦=√9𝑥2 − 1
√𝑥2 − 1
40. (𝑦 + 1)𝑑𝑥 +𝑥2 − 𝑥 + 2
4 − 𝑥𝑑𝑦 = 0
ECUCIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN HOMOGENEAS
La ecuación diferencial
𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
Es una ecuación diferencial ordinaria de primera orden homogénea si las funciones 𝑃(𝑥, 𝑦) y
𝑄(𝑥, 𝑦) son homogéneas con igual grado de homogeneidad.
Por lo tanto si una función 𝑓 tiene la propiedad 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡𝛼𝑓(𝑥, 𝑦) para algún número real de
𝛼. Por ejemplo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 es una función homogénea de grado 3, ya que
Para toda 𝑥 = 𝑡𝑥 mientras que para 𝑦 = 𝑡𝑦
𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥)3 + (𝑡𝑦)3
Factor común 𝑡3
𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝒕𝟑(𝑥3 + 𝑦3)
Mientras que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 + 1 es no homogénea. En conclusión si ambas funciones 𝑃 y 𝑄
son ecuaciones homogéneas del mismo grado, la ecuación deberá estar
𝑴(𝒕𝒙, 𝒕𝒚) = 𝒕𝜶𝑴(𝒙, 𝒚) 𝒚 𝑵(𝒕𝒙, 𝒕𝒚) = 𝒕𝜶𝑵(𝒙, 𝒚)
Además, si 𝑃 y 𝑄 son funciones homogéneas de grado 𝛼, podemos escribir
𝑴(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝜶𝑷(𝟏, 𝒖) 𝒚 𝑵(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝜶𝑵(𝟏, 𝒖) 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒖 =𝒙
𝒚
𝑴(𝒙, 𝒚) = 𝒚𝜶𝑷(𝒗, 𝟏) 𝒚 𝑵(𝒙, 𝒚) = 𝒚𝜶𝑵(𝒗, 𝟏) 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒗 =𝒙
𝒚
Las siguientes propiedades plantean las sustituciones que se pueden usar para resolver una
ecuación diferencial homogénea. En concreto, cualquiera de las sustituciones 𝒚 = 𝒖𝒙 o 𝒙 = 𝒗𝒚
donde 𝒖 y 𝒗 son las nuevas variables dependientes, reducirán una ecuación homogénea a una
ecuación diferencial de primer orden separable.
Ejemplo 1:
(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0
Examinamos el grado de la ecuación diferencial,
Para toda 𝒙 = 𝒕𝒙 mientras que para 𝒚 = 𝒕𝒚
[(𝑡𝑥)2 + (𝑡𝑦)2]𝑑𝑥 + [(𝑡𝑥)2 − (𝑡𝑥𝑡𝑦)]𝑑𝑦 = 0
Es una ecuación diferencial homogénea de grado 2,
𝒕𝟐(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + 𝒕𝟐(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 = 0
Una vez chequeado el grado de la ecuación diferencial, se efectúa el siguiente cambio, 𝒚 = 𝒖𝒙
entonces 𝒅𝒚 = 𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖 después de sustituir, la ecuación se convierte
[𝑥2 + (𝑢𝑥)2]𝑑𝑥 + [𝑥2 − 𝑥(𝑢𝑥)](𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0
(𝑥2 + 𝑢2𝑥2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑢𝑥2)(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0
𝑥2(1 + 𝑢2)𝑑𝑥 + 𝑥3(1 − 𝑢)𝑑𝑢 = 0 𝐸. 𝐷 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒
Integrando nos queda,
1−𝑢
1+𝑢𝑑𝑢 = −
𝑑𝑥
𝑥
∫1 − 𝑢
1 + 𝑢𝑑𝑢 = −∫
𝑑𝑥
𝑥
−∫𝑑𝑢 + ∫2
1 + 𝑢𝑑𝑢 = −∫
𝑑𝑥
𝑥
−𝑢 + 2𝑙𝑛|1 + 𝑢| = −𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐
Sustituyendo de nuevo 𝒖 =𝒚
𝒙
−𝑦
𝑥+ 2𝑙𝑛 |1 +
𝑦
𝑥| = −𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐
Ejemplo 2:
2𝑥𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥= 4𝑥2 + 3𝑦2
Examinamos el grado de la ecuación diferencial,
Para toda 𝒙 = 𝒕𝒙 mientras que para 𝒚 = 𝒕𝒚
2𝑡𝑥𝑡𝑦 𝑑𝑦 = [4(𝑡𝑥)2 + 3(𝑡𝑦)2]𝑑𝑥
𝒕𝟐(2𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 𝒕𝟐(4𝑥2 + 3𝑦2)𝑑𝑥
Concluimos que es Homogénea de grado 2.
División de polinomios
Efectuamos el cambio, 𝒚 = 𝒖𝒙 por lo que 𝒅𝒚 = 𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖, quedando que
2𝑥𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥= 4𝑥2 + 3𝑦2
𝑑𝑦 = [2(𝑥
𝑦) +
3
2(𝑦
𝑥)]𝑑𝑥
𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = [2(𝑥
𝑢𝑥) +
3
2(𝑢𝑥
𝑥)]𝑑𝑥
𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = (2
𝑢+3𝑢
2)𝑑𝑥
Agrupando e integrando queda,
∫2𝑢
𝑢2 + 4𝑑𝑢 = ∫
𝑑𝑥
𝑥
𝑙𝑛|𝑢2 + 4| = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐
Sustituyendo de nuevo 𝒖 =𝒚
𝒙
𝑙𝑛 |(𝑦
𝑥)2
+ 4| = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐
PROBLEMAS:
Obtenga la solución general para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. Siga cada
uno de los pasos indicados en esta misma guía para tal efecto.
1. (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0
2. 𝑥𝑑𝑥 + (𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑦 = 0
3. 𝑦𝑑𝑥 = 2(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦
4. (𝑦2 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥2 = 0
5.𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑦 − 𝑥
𝑦 + 𝑥
6.𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑥 + 3𝑦
3𝑥 + 𝑦
7. – 𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 + √𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0
8. 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦 + √𝑥2 − 𝑦2
Si 𝑢
𝑢′= 𝑙𝑛|𝑢|
9. 𝑥𝑦2𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦3 − 𝑥3, 𝑦(1) = 2
10. (𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 𝑥⁄ )𝑑𝑥 − 𝑥𝑒𝑦 𝑥⁄ 𝑑𝑦 = 0, 𝑦(1) = 0
11. (𝑥2 + 2𝑦2)𝑑𝑥
𝑑𝑦= 𝑥𝑦, 𝑦(−1) = 1
12.𝑑𝑦
𝑑𝑥=−20𝑥2 + 20𝑥𝑦 − 5𝑦2
−9𝑥2 + 5𝑥𝑦 − 𝑦2
13.𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑦 + 𝑥𝑐𝑜𝑠2(
𝑦𝑥)
𝑥 𝑦(1) =
𝜋
4
14. (𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑦+ 𝑦𝑠𝑒𝑐2
𝑥
𝑦) 𝑑𝑥 + (2𝑦𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝑦+ 2𝑦𝑡𝑔
𝑥
𝑦− 𝑥𝑐𝑜𝑠
𝑥
𝑦− 𝑥𝑠𝑒𝑐2
𝑥
𝑦)𝑑𝑦 = 0
15.𝑑𝑦
𝑑𝑥=−24𝑥2 + 20𝑥𝑦 − 6𝑦2
−15𝑥2 + 6𝑥𝑦 − 𝑦2
16.𝑑𝑦
𝑑𝑥=−5𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 𝑦2
−2𝑥2 − 2𝑥𝑦 − 𝑦2
17. 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥(𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦 − 1)𝑑𝑦 = 0, 𝑦(1) = 𝑒
18.𝑑𝑦
𝑑𝑥=6𝑥2 − 5𝑥𝑦 − 2𝑦2
6𝑥2 − 8𝑥𝑦 + 𝑦2
19.𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑦
𝑥+𝑦2
𝑥2, 𝑦(1) = 1
20. 𝑦′ =𝑦
𝑥+ 𝑠𝑒𝑐2
𝑦
𝑥
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EXACTAS
Una expresión diferencial
𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚
Es una diferencial exacta en una región 𝑅 del plano 𝑥𝑦 si esta corresponde a la diferencial de
alguna función 𝑓(𝑥, 𝑦) definida en 𝑅. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
Se dice que es exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.
Por ejemplo 𝑥2𝑦3𝑑𝑥 + 𝑥3𝑦2𝑑𝑦 = 0 es una ecuación exacta ya que su lado izquierdo es una
diferencial exacta:
𝑑 (1
3𝑥3𝑦3) = 𝑥2𝑦3𝑑𝑥 + 𝑥3𝑦2𝑑𝑦
Si hacemos las identificaciones
𝑥2𝑦3𝑑𝑥 + 𝑥3𝑦2𝑑𝑦 = 0
𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦3 𝑦 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦2
Entonces,
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦= 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 𝑦
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥= 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐
Por lo tanto, sean 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥, 𝑦) continuas y que tienen primeras derivadas parciales continuas
en una región rectangular 𝑅 definida por 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 𝑐 < 𝑦 < 𝑑. Entonces una condición necesaria
y suficiente para que 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 sea una diferencial exacta es
𝝏𝑴(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚=𝝏𝑵(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
PASOS A SEGUIR PARA LA OBTENCION DE LA SOLUCION GENERAL DE UNA ECUACION
DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN EXACTA DE LA FORMA
𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
1. Determinar si la igualdad se cumple,
𝝏𝑴(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚=𝝏𝑵(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
Si es así entonces existe una función 𝒇 para la que
𝝏𝒇
𝝏𝒙= 𝑴(𝒙, 𝒚)
2. Para determinar 𝒇 integrando 𝑴(𝒙, 𝒚) respecto a 𝒙 mientras 𝒚 se conserva constante:
𝒇(𝒙, 𝒚) = ∫𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝑭(𝒙, 𝒚) + 𝒈(𝒚)
3. Donde la función arbitraria 𝒈(𝒚) es la constante de integración. Ahora derivando
respecto a la variable 𝒚 y asumiendo que, 𝝏𝒇 𝝏𝒚⁄ = 𝑵(𝒙, 𝒚):
𝝏[𝑭(𝒙, 𝒚) + 𝒈(𝒚)]
𝝏𝒚= 𝑵(𝒙, 𝒚)
Se obtiene,
𝒈′(𝒚) = 𝑵(𝒙, 𝒚) −𝝏𝑭(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
4. Por último, se integra la ecuación obtenida con respecto a 𝒚, luego se sustituye el
resultado en la ecuación,
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝑭(𝒙, 𝒚) + 𝒈(𝒚)
La solución implícita de la ecuación es 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒄
Ejemplo 1:
(𝑒2𝑦 − 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 0
1. Determinar si se cumple
𝝏𝑴(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚=𝝏𝑵(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
𝜕(𝑒2𝑦 − 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦)
𝜕𝑦=𝜕(2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 + 2𝑦)
𝜕𝑥
2𝑒2𝑦 + 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 = 2𝑒2𝑦 + 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦
Es exacta
2. Integrando 𝑀(𝑥, 𝑦) respecto a 𝑥 mientras 𝑦 se conserva constante,
𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫(𝑒2𝑦 − 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦)𝑑𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒2𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 + 𝑔(𝑦)
3. Ahora derivando respecto a la variable 𝑦 y asumiendo que, 𝜕𝑓 𝜕𝑦⁄ = 𝑁(𝑥, 𝑦):
𝜕[𝑥𝑒2𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 + 𝑔(𝑦)]
𝜕𝑦= 2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 + 2𝑦
2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 + 𝑔′(𝑦) = 2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 + 2𝑦
4. Por último, se integra la ecuación obtenida con respecto a 𝑦,
𝑔(𝑦) = ∫2𝑦𝑑𝑦
𝑔(𝑦) = 𝑦2 + 𝑐
Sustituyendo el resultado en la ecuación, concluimos una familia de soluciones
𝒙𝒆𝟐𝒚 − 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 + 𝒄 = 𝟎
Ejemplo 2:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑥𝑦2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑦(1 − 𝑥2) , 𝑦(0) = 2
Al escribir la ecuación diferencial en la forma
(𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑦(1 − 𝑥2)𝑑𝑦 = 0
Podemos reconocer que la ecuación es exacta
𝜕(𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥𝑦2)
𝜕𝑦=𝜕(𝑦(1 − 𝑥2))
𝜕𝑥
−2𝑥𝑦 = −2𝑥𝑦
Ahora,
∫𝑐𝑜𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥𝑦2 𝑑𝑥
∫𝑐𝑜𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 − 𝑦2∫𝑥𝑑𝑥
−𝑐𝑜𝑠2𝑥
2−𝑦2𝑥2
2+ 𝑔(𝑦)
Derivando parcialmente,
𝜕 [−𝑐𝑜𝑠2𝑥2 −
𝑦2𝑥2
2 + 𝑔(𝑦)]
𝜕𝑦= 𝑦(1 − 𝑥2)
−𝑦𝑥2 + 𝑔′(𝑦) = 𝑦 − 𝑦𝑥2
𝑔(𝑦) = ∫𝑦𝑑𝑦
𝑔(𝑦) =𝑦2
2+ 𝑐
Sustituyendo,
−𝑐𝑜𝑠2𝑥
2−𝑦2𝑥2
2+𝑦2
2= 𝑐1
−𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑦2(𝑥2 − 1) = 2𝑐1
−𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑦2(𝑥2 − 1) = 𝑐
La condición inicial 𝑦 = 2 cuando 𝑥 = 0
𝑐 = 3
FACTORES INTEGRANTES
Para una ecuación diferencial no exacta 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, a veces es posible encontrar
un factor integrante µ(𝑥, 𝑦) de modo que, después de multiplicar, el lado izquierdo de
𝝁(𝒙, 𝒚)𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝝁(𝒙, 𝒚)𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
Es una diferencial exacta. En un intento por encontrar 𝜇, se vuelve al criterio de exactitud.
Si (𝑀𝑦 − 𝑁𝑥) 𝑁⁄ es una función de 𝑥 exclusivamente, entonces un factor de integración será,
𝝁(𝒙) = 𝒆∫𝑴𝒚−𝑵𝒙𝑵 𝒅𝒙
Si (𝑁𝑥 −𝑀𝑦) 𝑀⁄ es una función de 𝑦 solamente, entonces un factor de integración será,
𝝁(𝒚) = 𝒆∫𝑵𝒙−𝑴𝒚
𝑴 𝒅𝒙
Ejemplo 3:
𝑥𝑦𝑑𝑥 + (2𝑥2 + 3𝑦2 − 20)𝑑𝑦 = 0
Verificando,
𝜕(𝑥𝑦)
𝜕𝑦=𝜕(2𝑥2 + 3𝑦2 − 20)
𝜕𝑥
𝑥 = 4𝑥
No exacta
Con las identificaciones de 𝑀 = 𝑥𝑦, 𝑁 = 2𝑥2 + 3𝑦2 − 20, al efectuar sus derivadas parciales
obtenemos 𝑀𝑦 = 𝑥 y 𝑁𝑥 = 4𝑥. Para el primer cociente obtenemos,
𝑀𝑦 − 𝑁𝑥𝑁
=𝑥 − 4𝑥
2𝑥2 + 3𝑦2 − 20=
−3𝑥
2𝑥2 + 3𝑦2 − 20
Depende de 𝑥 y 𝑦, por lo tanto no lleva a ninguna parte. Sin Embargo,
𝑁𝑥 −𝑀𝑦
𝑀=4𝑥 − 𝑥
𝑥𝑦=3𝑥
𝑥𝑦=3
𝑦
Se produce un cociente que solo depende de 𝑦.
Por lo tanto el factor de integración vendrá dado por,
𝜇(𝑦) = 𝑒∫3𝑦𝑑𝑦 = 𝑒3𝑙𝑛𝑦 = 𝑒𝑙𝑛𝑦
3
𝝁(𝒚) = 𝒚𝟑
Multiplicando por 𝜇(𝑦) a toda la ecuación resultante,
𝒚𝟑(𝑥𝑦)𝑑𝑥 + 𝒚𝟑(2𝑥2 + 3𝑦2 − 20)𝑑𝑦 = 0
𝑥𝑦4𝑑𝑥 + (2𝑥2𝑦3 + 3𝑦5 − 20𝑦3)𝑑𝑦 = 0
Nuevamente comprobando,
𝜕(𝑥𝑦4)
𝜕𝑦=𝜕(2𝑥2𝑦3 + 3𝑦5 − 20𝑦3)
𝜕𝑥
4𝑥𝑦3 = 4𝑥𝑦3
Se cumple, la ED es exacta.
Con los pasos antes expuestos se puede llegar a una familia de soluciones, 𝟏
𝟐𝒙𝟐𝒚𝟒 +
𝟏
𝟐𝒚𝟔 − 𝟓𝒚𝟒 = 𝒄.
PROBLEMAS:
En los problemas determine si la ecuación diferencial que se proporciona es exacta. En caso
afirmativo, resuélvala.
1. (2𝑥 − 1)𝑑𝑥 + (3𝑦 + 7)𝑑𝑦 = 0
2. (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − (𝑥 − 6𝑦)𝑑𝑦 = 0
3. (5𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑥 + (4𝑥 − 8𝑦3)𝑑𝑦 = 0
4. (𝑠𝑒𝑛𝑦 − 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 + (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0
5. (2𝑥𝑦2 − 3)𝑑𝑥 + (2𝑥2𝑦 + 4)𝑑𝑦 =0
6. (2𝑦 −1
𝑥+ 𝑐𝑜𝑠3𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝑦
𝑥2− 4𝑥3 + 3𝑦𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 0
7. (𝑥2 − 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0
8. (1 + 𝑙𝑛𝑥 +𝑦
𝑥) 𝑑𝑥 = (1 − 𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑦
9. (𝑥 − 𝑦3 + 𝑦2𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 = (3𝑥𝑦2 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑦
10. (𝑥3 + 𝑦3)𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦2𝑑𝑦 = 0
11. (𝑦𝑙𝑛𝑦 − 𝑒−𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (1
𝑦+ 𝑥𝑙𝑛𝑦) 𝑑𝑦 = 0
12. (3𝑥2𝑦 + 𝑒𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥3 + 𝑥𝑒𝑦 − 2𝑦)𝑑𝑦 = 0
13. 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥𝑒𝑥 − 𝑦 + 6𝑥2
14. (1 −3
𝑦+ 𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 =
3
𝑥− 1
15. (𝑥2𝑦3 −1
1 + 9𝑥2)𝑑𝑥
𝑑𝑦+ 𝑥3𝑦2 = 0
16. (𝑒𝑦 + 2𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)𝑦′ + 𝑥𝑦2𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 + 𝑦2𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 = 0
17. (5𝑦 − 2𝑥)𝑦′ − 2𝑦 = 0
18. (𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦)𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑦 = 0
19. (3𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥 − 3)𝑑𝑥 + (2𝑦 + 5)𝑑𝑦 = 0
20. (1 − 2𝑥2 − 2𝑦)𝑑𝑦
𝑑𝑥= 4𝑥3 + 4𝑥𝑦
21. (2𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑦 + 2𝑦2𝑒𝑥𝑦2)𝑑𝑥 = (𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 4𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦
2)𝑑𝑦
22. (4𝑡3𝑦 − 15𝑡2 − 𝑦)𝑑𝑡 + (𝑡4 + 3𝑦2 − 𝑡)𝑑𝑦 = 0
23. (1
𝑡+1
𝑡2−
𝑦
𝑡2 + 𝑦2)𝑑𝑡 + (𝑦𝑒𝑦 +
𝑡
𝑡2 + 𝑦2)𝑑𝑦 = 0
24. (𝑥 + 𝑦)2𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 + 𝑥2 − 1)𝑑𝑦 = 0, 𝑦(1) = 1
25. (𝑒𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (2 + 𝑥 + 𝑦𝑒𝑦)𝑑𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1
26. (4𝑦 + 2𝑡 − 5)𝑑𝑡 + (6𝑦 + 4𝑡 − 1)𝑑𝑦 = 0, 𝑦(−1) = 2
27. (3𝑦2 − 𝑡2
𝑦5)𝑑𝑦
𝑑𝑡+
𝑡
2𝑦4= 0, 𝑦(1) = 1
28. (𝑦2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑥2𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑥 + (2𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥3 + 𝑙𝑛𝑦)𝑑𝑦 = 0
29. (1
1 + 𝑦2+ 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦(𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑥), 𝑦(0) = 1
Compruebe que la ecuación diferencial que se proporciona no es exacta. Multiplique la ecuación
por el factor integrante indicado 𝜇(𝑥, 𝑦) y compruebe que la nueva ecuación es exacta. Resuelva.
30. 6𝑥𝑦𝑑𝑥 + (4𝑦 + 9𝑥2)𝑑𝑦 = 0, 𝜇(𝑥, 𝑦) = 𝑦2
31.−𝑦2𝑑𝑥 + (𝑥2 + 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0, 𝜇(𝑥, 𝑦) =1
𝑥2𝑦
32. (−𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑦 = 0, 𝜇(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦
33. (𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑦2 + 2𝑥𝑦 − 𝑥2)𝑑𝑦 = 0, 𝜇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)−2
Resuelva las ecuaciones diferenciales mediante la determinación de un factor integrante adecuado
34. (2𝑦2 + 3𝑥)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0
35. 𝑦(𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑥 + (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 0
36. 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 + (1 +2
𝑦)𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑦 = 0
37. (10 − 6𝑦 + 𝑒−3𝑥)𝑑𝑥 − 2𝑑𝑦 = 0
38. (𝑦2 + 𝑥𝑦3)𝑑𝑥 + (5𝑦2 − 𝑥𝑦 + 𝑦3𝑠𝑒𝑛𝑦)𝑑𝑦 = 0
39. 𝑥𝑑𝑥 + (𝑥2𝑦 + 4𝑦)𝑑𝑦 = 0, 𝑦(4) = 0
40. (𝑥2 + 𝑦2 − 5)𝑑𝑥 = (𝑦 + 𝑥𝑦)𝑑𝑦, 𝑦(0) = 1
ECUACIONES LINEALES
Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma
𝑎1(𝑥)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
Es una ecuación lineal en la variable dependiente 𝑦.
Cuando 𝑔(𝑥) = 0, se dice que la ecuación lineal es homogénea; de lo contrario, es no homogénea.
FORMA ESTANDAR DE UNA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN
Al dividir ambos lados de la ecuación antes planteada entre el coeficiente principal 𝑎1(𝑥), se
obtiene una forma útil, la forma estándar, de una ecuación lineal de orden uno:
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
Se busca una solución de la ecuación en un intervalo 𝐼 para el cual ambas funciones coeficientes 𝑃
y 𝑄 son continuas.
PASOS PARA LA OBTENCION DE LA SOLUCION GENERAL DE ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA
DE PRIMER ORDEN LINEAL DE LA FORMA
𝑦′ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
Como primer paso se busca el factor integrante, el cual depende solo de 𝑥, es decir, resolvemos
𝜇(𝑥) = 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥
Luego sustituyendo en la ecuación planteada, el cual es una de las formas equivalentes más fáciles
para la obtención de una solución general de una ED de primer orden, nos queda
𝑦𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑄(𝑥)𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥
Resolviendo la integral a la derecha y despejando a 𝑦
𝑦 = 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥∫𝑄(𝑥)𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝐶
Es importante aclarar que,
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
Donde,
𝑦𝑐 = 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝐶 𝑦 𝑦𝑝 = 𝑒
−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∫𝑄(𝑥)𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥
Ejemplo 1:
𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥− 4𝑦 = 𝑥6𝑒𝑥
Si dividimos entre 𝑥, se obtiene la forma estándar
𝑦′ −𝟒
𝒙𝑦 = 𝑥5𝑒𝑥
Aplicando,
𝑦𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑄(𝑥)𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥
Sustituyendo nos queda,
𝑦𝑒∫−4𝑥𝑑𝑥 = ∫𝑥5𝑒𝑥𝑒∫ −
4𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥
Resolviendo
𝜇(𝑥) = 𝑒∫ −4𝑥𝑑𝑥 = 𝑒−4𝑙𝑛𝑥 = 𝑒𝑙𝑛𝑥
−4
= 𝑥−4
Entonces,
𝑦𝑥−4 = ∫𝑥5𝑒𝑥( 𝑥−4)𝑑𝑥
𝑦𝑥−4 = ∫𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑦𝑥−4 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑐
Despejando la solución vendrá dada por,
𝑦 = 𝑥5𝑒𝑥 − 𝑥4𝑒𝑥 + 𝑥4𝑐
Ejemplo 2:
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥, 𝑦(0) = 4
De la ecuación se identifica 𝑃(𝑥) = 1 y 𝑄(𝑥) = 𝑥
𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)
Sustituyendo, nos queda
𝑦𝑒∫𝑑𝑥 = ∫𝑥𝑒∫𝑑𝑥 𝑑𝑥
Por lo tanto,
𝑦𝑒𝑥 = ∫𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑦𝑒𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑐
Despejando,
𝑦 = 𝑥 − 1 + 𝑒−𝑥𝑐
Pero de la condición inicial se sabe que 𝑦 = 4 cuando 𝑥 = 0
𝑐 = 5
Por consecuencia, la solución es
𝑦 = 𝑥 − 1 + 5𝑒−𝑥
Ejemplo 3:
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑄(𝑥), 𝑦(0) = 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄(𝑥) =
1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 10, 𝑥 > 1.
La solución para la siguiente función discontinua será.
Primero se resuelve la ED para 𝑦(𝑥) en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 y luego en el intervalo 1 < 𝑥 < ∞.
Para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, se tiene
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 1
Nos queda,
𝑦𝑒∫ 𝑑𝑥 = ∫𝑒∫𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑦𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐1
La primera solución vendrá dada,
𝑦 = 1 + 𝑐1𝑒−𝑥
Luego de evaluar 𝑦(0) = 0, se debe tener que 𝑐1 = −1. Por lo tanto la solución en el intervalo
0 ≤ 𝑥 ≤ 1, será
𝒚 = 𝟏 − 𝒆−𝒙
Ahora para 𝑥 > 1, de la ecuación
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 0
Se llega a 𝑦 = 𝑐2𝑒−𝑥. Por consiguiente, se puede escribir
𝑦 = 1 − 𝑒−𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1𝑐2𝑒
−𝑥 , 𝑥 > 1
Si se recurre a la definición de continuidad en un punto es posible determinar a 𝑐2 para que la
función anterior sea continua en 𝑥 = 1. El requerimiento de que lim𝑥→1+
𝑦(𝑥) = 𝑦(1) implica que
𝑐2𝑒−𝑥 = 1 − 𝑒−𝑥 o 𝑐2 = 𝑒 − 1. La función queda
𝑦 = 1 − 𝑒−𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1(𝑒 − 1)𝑒−𝑥 , 𝑥 > 1
Es continua en (0, ∞).
PROBLEMAS:
1.𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑒−3𝑥
2. 𝑦′ + 3𝑥2𝑦 = 10𝑥2
3. 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 𝑥3
4. 𝑥2𝑦′ + 𝑥𝑦 = 𝑥 + 1
5. 𝑦′ = 2𝑦 + 𝑥2 + 5
6. 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 4𝑦 = 𝑥3 − 𝑥
7. 𝑥2𝑦′ + 𝑥(𝑥 + 2)𝑦 = 𝑒𝑥
8. 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥− 𝑦 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥
9. 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1
10. 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑦 + (𝑦𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 0
11. (1 + 𝑥)𝑦′ − 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑥2
12. (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑦 + (2𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥)𝑑𝑥 = 0
13. 𝑦𝑑𝑥 + (𝑥𝑦 + 2𝑥 − 𝑦𝑒𝑦)𝑑𝑦 = 0
14. (𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑦 = (𝑥6 + 3𝑥𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥
15. 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥+ (3𝑥 + 1)𝑦 = 𝑒3𝑥
16. 𝑦′ + 𝑦𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥
17.𝑑𝑦
𝑑𝑥+
𝑥
1 − 𝑥2𝑦 = 𝑥3
18. 𝑑𝑦 = (𝑥5 − 9𝑥2𝑦)𝑑𝑥
19.𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 =
1 − 𝑒−2𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
20. 𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 + 2𝑥𝑦2 − 2𝑦)𝑑𝑦
21. 𝑥𝑦′ + (1 + 𝑥)𝑦 = 𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥
22.𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥
23. 𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑙𝑛𝑥
24.𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑒−𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡
25. 𝑦𝑑𝑥 = (𝑦𝑒𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑦
26.𝑑𝑟
𝑑𝜃+ 𝑟𝑠𝑒𝑐𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
27. (𝑥 + 2)2𝑑𝑦
𝑑𝑥= 5 − 8𝑦 − 4𝑥𝑦
28.𝑑𝑃
𝑑𝑡+ 2𝑡𝑃 = 𝑃 + 4𝑡 − 2
29. (𝑥2 − 1)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑦 = (𝑥 + 1)2
30. 𝑑𝑥 = (3𝑒𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑦
31. 𝑦′ = (10 − 𝑦)𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
32. 𝑦𝑑𝑥 − 4(𝑥 + 𝑦6)𝑑𝑦 = 0
33.𝑑𝑦
𝑑𝑥− (
2𝑥 − 2
𝑥2 − 2𝑥 + 1)𝑦 = 1
34. 𝑦′ − (2𝑥 − 2
𝑥2 − 2𝑥 + 1)𝑦 =
(𝑥 + 1)
(𝑥2 − 16)
35. 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑒𝑥 , 𝑦(−1) = 4 36. 𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦− 𝑥 = 2𝑦2, 𝑦(1) = 5
37. 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡+ 𝑅𝑖 = 𝐸, 𝑖(0) = 𝑖0 𝐿. 𝑅, 𝐸 𝑒 𝑖0 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
38.𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚), 𝑇(0) = 𝑇0 𝑘, 𝑇𝑚 𝑦 𝑇0 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
39. (𝑥 + 1)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥, 𝑦(1) = 10
40. 𝑦′ + 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥, 𝑦(0) = −1
41.𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑦 = 𝑄(𝑥), 𝑦(0) = 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄(𝑥) =
1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 30, 𝑥 > 3
42.𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑄(𝑥), 𝑦(0) = 1, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄(𝑥) =
1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1−1, 𝑥 > 1
43.𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 𝑄(𝑥), 𝑦(0) = 2, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄(𝑥) =
𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 1 0, 𝑥 ≥ 1
44. (1 + 𝑥2)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 𝑄(𝑥), 𝑦(0) = 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄(𝑥) =
𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 1−𝑥, 𝑥 ≥ 1
45. 𝑦′ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 4𝑥, 𝑦(0) = 3, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑃(𝑥) = 2, 0 ≤ 𝑥 < 1−2 𝑥⁄ , 𝑥 > 1
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A LINEAL
ECUACION DE BERNOULLI
Una ecuación diferencial de la forma:
𝒅𝒚
𝒅𝒙+ 𝑷(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙)𝒚𝒏
Donde 𝑛 es cualquier número real, se llama Ecuación de Bernoulli. Para solucionar esta ecuación
diferencial vamos a reducirla a una ecuación lineal de orden uno; simplemente realizando la
siguiente sustitución:
𝒖 = 𝒚𝟏−𝒏
Despejando a 𝑦 nos queda,
𝒚 = 𝒖 𝟏
𝟏−𝒏
Por regla de la cadena, obtenemos
𝒅𝒚
𝒅𝒙= (
𝟏
𝟏− 𝒏)𝒖 (
𝟏𝟏−𝒏)−𝟏
𝒅𝒖
𝒅𝒙
Sustituyendo y simplificando en la ecuación inicial, nos queda
𝒖′ + 𝑷(𝒙)𝒖 = 𝑸(𝒙)
Es obvio que la ecuación no es más que una ecuación diferencial lineal de primer orden. Resuelva
y devuelva el cambio. De ser posible despeje 𝑦.
Ejemplo 1:
𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥2𝑦2
Organizando en la forma estándar,
𝑑𝑦
𝑑𝑥+1
𝑥𝑦 = 𝑥𝑦2
Efectuando el cambio,
𝑢 = 𝑦1−2
𝑢 = 𝑦−1
𝒚𝒏
Despejando a 𝑦, obtenemos
𝑦 = 𝑢−1
Derivando por regla de la cadena,
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −𝑢−2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Sustituyendo,
−𝑢−2𝑑𝑢
𝑑𝑥+1
𝑥𝑢−1 = 𝑥(𝑢−1)2
Dividiendo entre −𝑢−2, se concluye
𝑑𝑢
𝑑𝑥−1
𝑥𝑢 = −𝑥
A continuación tenemos una ecuación diferencial lineal de primer orden. Resolvemos de la forma
habitual.
𝑢𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑄(𝑥)𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑢𝑒∫−1𝑥𝑑𝑥 = ∫−𝑥 𝑒∫−
1𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥
El factor integrante será,
= 𝑒∫−1𝑥𝑑𝑥 = 𝑒−𝑙𝑛𝑥 = 𝑥−1
Resolviendo,
𝑢𝑥−1 = ∫−𝑥 . 𝑥−1𝑑𝑥
𝑢𝑥−1 = −∫𝑑𝑥
Después de la integración y a su vez despejando 𝑢,
𝑢 = −𝑥
𝑥−1+
𝑐
𝑥−1
𝑢 = −𝑥2 + 𝑥𝑐
Como 𝑢 = 𝑦−1, la solución vendrá dada
𝑦−1 = −𝑥2 + 𝑥𝑐
Despejando a 𝑦, la solución
𝒚 =𝟏
−𝒙𝟐 + 𝒙𝒄
PROBLEMAS:
Cada ED es una ecuación de Bernoulli. Resuelva,
1. 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 =
1
𝑦2
2.𝑑𝑦
𝑑𝑥− 𝑦 = 𝑒𝑥𝑦2
3.𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦(𝑥𝑦3 − 1)
4. 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥− (1 + 𝑥)𝑦 = 𝑥𝑦2
5. 𝑡2𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 𝑦2 = 𝑡𝑦
6. 3(1 + 𝑡2)𝑑𝑦
𝑑𝑡= 2𝑡𝑦(𝑦3 − 1)
7. 𝑦′ = (4𝑥 + 𝑦)2
8. 𝑥2𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 5𝑦3
9. 𝑥𝑦′ + 6𝑦 = 3𝑥𝑦43⁄
10. 𝑥2𝑑𝑦
𝑑𝑥− 2𝑥𝑦 = 3𝑦4, 𝑦(1) =
1
2
11. 𝑦12⁄𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦
32⁄ = 1, 𝑦(0) = 4
12. 2𝑦′ = 𝑦
𝑥−𝑥
𝑦2, 𝑦(1) = 1
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
Teniendo la siguiente ED de orden 𝑛 homogénea con coeficientes constantes,
𝒂𝟎𝒚𝒏 + 𝒂𝟏𝒚
𝒏−𝟏 + 𝒂𝟐𝒚𝒏−𝟐 +⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝒚
′ + 𝒂𝒏𝒚 = 𝟎
Suponga soluciones de la forma 𝑦 = 𝑒𝜆𝑥, λ un número cualquiera y busque las 𝑛 derivadas de 𝑦 =
𝑒𝜆𝑥: 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑥, 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑥, 𝑦′′′ = 𝜆3𝑒𝜆𝑥…
Sustituyendo las derivadas obtenidas en la ecuación diferencial,
𝒂𝟎𝝀𝒏𝒆𝝀𝒙 + 𝒂𝟏𝝀
𝒏−𝟏𝒆𝝀𝒙 + 𝒂𝟐𝝀𝒏−𝟐𝒆𝝀𝒙 +⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝝀𝒆
𝝀𝒙 + 𝒂𝒏𝒆𝝀𝒙 = 𝟎
Factor común 𝑒𝜆𝑥
(𝒂𝟎𝝀𝒏 + 𝒂𝟏𝝀
𝒏−𝟏 + 𝒂𝟐𝝀𝒏−𝟐 +⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝝀 + 𝒂𝒏)𝒆
𝝀𝒙 = 𝟎
Como 𝑒𝜆𝑥 ≠ 0 entonces deberá buscar las raíces del polinomio
(𝒂𝟎𝝀𝒏 + 𝒂𝟏𝝀
𝒏−𝟏 + 𝒂𝟐𝝀𝒏−𝟐 +⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝝀 + 𝒂𝒏) = 𝟎
El cual se denomina polinomio característico.
Caso 1:
Si las raíces del polinomio característico son reales y distintas 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3…,𝜆𝑛−1,𝜆𝑛
Entonces las 𝑛 soluciones linealmente independientes son,
𝑦1 = 𝑒𝜆1𝑥 , 𝑦2 = 𝑒
𝜆2𝑥 …
La solución general de la ecuación diferencial homogénea es:
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆𝝀𝟏𝒙 + 𝑪𝟐𝒆
𝝀𝟐𝒙 +⋯+ 𝑪𝒏−𝟏𝒆𝝀𝒏−𝟏𝒙 + 𝑪𝒏𝒆
𝝀𝒏𝒙
Donde 𝑪𝟏, 𝑪𝟐… ,𝑪𝒏−𝟏, 𝑪𝒏 son constantes arbitrarias
Caso 2:
Si las raíces del polinomio característico son reales y algunas se repiten, digamos 𝜆1 con
multiplicidad de 𝑘. Entonces para esa raíz repetida las soluciones serán
𝑦 = 𝑪𝟏𝒆𝝀𝟏𝒙 + 𝑪𝟐𝒙𝒆
𝝀𝟏𝒙 ++𝑪𝟑𝒙𝟐𝒆𝝀𝟏𝒙…+ 𝑪𝒏−𝟏𝒙
𝒏+𝟏𝒆𝝀𝟏𝒙 + 𝑪𝒏𝒙𝒏𝒆𝝀𝟏𝒙
Caso 3:
Si el polinomio característico tiene raíces complejas. Si 𝜆1 = 𝛼 + 𝛽𝑖 es raíz, su conjugada 𝜆2 =
𝛼 − 𝛽𝑖 también es raíz, entonces las soluciones serán
𝑦1 = 𝑒(𝛼+𝛽𝑖)𝑥 , 𝑦2 = 𝑒
(𝛼−𝛽𝑖)𝑥
Y la solución general es al igual que en el caso 1, una combinación lineal de las 𝑛 soluciones
linealmente independientes.
Aquí deberá aplicarse la Formula de Euler
𝑒(𝛼±𝛽𝑖)𝑥 = 𝑒𝛼𝑥 𝑒±𝛽𝑖𝑥 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐𝑜𝑠𝛽𝑖𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑖𝑥)
𝒚 = 𝒆𝜶𝒙(𝑪𝟏𝒄𝒐𝒔𝜷𝒊𝒙 + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏𝜷𝒊𝒙)
Caso 4:
Si el polinomio característico tiene raíces complejas repetidas. Las soluciones correspondientes se
escriben de manera similar a como se indico para las raíces reales repetidas y la solución general
es al igual que el caso 1, una combinación lineal de las 𝑛 soluciones linealmente independientes.
𝒚 = 𝒆𝜶𝒙(𝑪𝟏𝒄𝒐𝒔𝜷𝒊𝒙 + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏𝜷𝒊𝒙) + 𝒆𝜶𝒙(𝑪𝟑𝒙𝒄𝒐𝒔𝜷𝒊𝒙 + 𝑪𝟒𝒙𝒔𝒆𝒏𝜷𝒊𝒙) + ⋯
Ejemplo 1:
2𝑦′′ − 5𝑦′ − 3𝑦 = 0
Construimos la siguiente ecuación auxiliar,
2𝑚2 − 5𝑚 − 3 = 0
Por medio de la formula cuadrática se encuentran las raíces,
𝑚1 = −1
2 ,𝑚2 = 3
Por lo tanto la solución para raíces reales distinta vendrá dada por,
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆−𝟏𝟐𝒙 + 𝑪𝟐𝒆
𝟑𝒙
Ejemplo 2:
𝑦′′ + 4𝑦′ + 7𝑦 = 0
Quedando la ecuación,
𝑚2 + 4𝑚 + 7 = 0
Por medio de la ecuación cuadrática tenemos,
𝑚1 = −2 + √3𝑖 ,𝑚2 = −2 − √3𝑖
La solución respecto al caso 3,
𝒚 = 𝒆−𝟐𝒙(𝑪𝟏𝒄𝒐𝒔√𝟑𝒙 + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏√𝟑𝒙)
Ejemplo 3:
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3+ 3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 4𝑦 = 0
Debe ser evidente de la inspección,
𝑚3 + 3𝑚2 − 4 = 0
Que una raíz sea 𝑚1 = 1 y, por consecuencia, 𝑚2 = 𝑚3 = −2. Así que la solución general del caso
1 y caso 2 para la ecuación diferencial,
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆𝒙 + 𝑪𝟐𝒆
−𝟐𝒙 + 𝑪𝟑𝒙𝒆−𝟐𝒙
Ejemplo 4:
𝑦′′ + 16𝑦 = 0 , 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = −2
Tenemos que la ecuación,
𝑚2 + 16 = 0
Posee raíces complejas,
𝑚1 = 4𝑖 ,𝑚2 = −4𝑖
Es obvia la solución
𝑦 = 𝐶1𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛4𝑥
Evaluando para la condición inicial de 𝑦 = 2 para 𝑥 = 0, obtenemos
2 = 𝐶1
Para el estudio de la segunda condición, la solución debe ser derivada
𝑦 = 𝐶1𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛4𝑥
𝑦′ = −4𝐶1𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 4𝐶2𝑐𝑜𝑠4𝑥
Así pues, evaluamos la condición de 𝑦′ = −2 cuando 𝑥 = 0
−2 = 4𝐶2
𝐶2 = −1
2
La solución será,
𝒚 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 −𝟏
𝟐𝒔𝒆𝒏𝟒𝒙
PROBLEMAS:
1. 3𝑦′′ − 𝑦′ = 0
2. 2𝑦′′ + 5𝑦′ = 0
3. 𝑦′′ − 16𝑦 = 0
4. 𝑦′′ + 8𝑦 = 0
5. 𝑦′′ + 9𝑦 = 0
6. 3𝑦′′ + 𝑦 = 0
7. 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0
8. 𝑦′′ − 𝑦′ − 6𝑦 = 0
9. 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 8
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 16𝑦 = 0
10.𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 10
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 25𝑦 = 0
11. 𝑦′′3𝑦′ − 5 = 0
12. 𝑦′′ + 4𝑦′ − 𝑦 = 0
13. 12𝑦′′ − 5𝑦′ − 2 = 0
14. 8𝑦′′ + 2𝑦′ − 𝑦 = 0
15. 𝑦′′ − 4𝑦′ + 5𝑦 = 0
16.𝑑6𝑦
𝑑𝑥6− 𝑦 = 0
17. 2𝑦′′ − 3𝑦′ + 4𝑦 = 0
18. 3𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 0
19. 2𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 0
20. 𝑦′′′ − 4𝑦′′ − 5𝑦′ = 0
21. 4𝑦′′′ + 4𝑦′′ + 𝑦′ = 0
22. 𝑦′′′ − 𝑦 = 0
23. 𝑦′′′ − 6𝑦 = 0
24. 𝑦′′′ + 5𝑦′′ = 0
25. 𝑦′′′ − 5𝑦′′ + 3𝑦′ + 9𝑦 = 0
26. 𝑦′′′ + 3𝑦′′ − 4𝑦′ − 12 = 0
27. 𝑦′′′ + 𝑦′′ − 2𝑦′ = 0
28. 𝑦′′′ − 𝑦′′ − 4𝑦′ = 0
29. 𝑦′′′ + 3𝑦′′ + 3𝑦′ + 1𝑦 = 0
30. 𝑦′′′ − 6𝑦′′ + 12𝑦′ − 8𝑦 = 0
31. 𝑑4𝑦
𝑑𝑥4+𝑑3𝑦
𝑑𝑥3+𝑑2𝑦
𝑑𝑥2= 0
32. 𝑑4𝑦
𝑑𝑥4− 2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 𝑦 = 0
33. 16𝑑4𝑦
𝑑𝑥4+ 24
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 9𝑦 = 0
34. 𝑑4𝑦
𝑑𝑥4− 7
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 18𝑦 = 0
35.𝑑5𝑦
𝑑𝑥5− 16
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0 36.
𝑑5𝑦
𝑑𝑥5− 2
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4+ 17
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3= 0
37. 𝑑5𝑦
𝑑𝑥5+ 5
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4− 2
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3− 10
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 5𝑦 = 0
38. 2𝑑5𝑦
𝑑𝑥5− 7
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4+ 12
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3+ 8
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2= 0
39. 𝑦′′ + 16𝑦 = 0, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = −2
40. 𝑦′′ − 𝑦 = 0, 𝑦(0) = 𝑦′(0) = 1
41. 𝑦′′ + 6𝑦′ + 5𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 3
42. 𝑦′′ − 8𝑦′ + 17𝑦 = 0, 𝑦(0) = 4, 𝑦′(0) = −1
43. 2𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0, 𝑦(0) = −1, 𝑦′(0) = 0
44. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0, 𝑦(0) = 5, 𝑦′(0) = 10
45. 𝑦′′ + 𝑦′ + 2𝑦 = 0, 𝑦(0) = 𝑦′(0) = 0
46. 4𝑦′′ − 4𝑦′ − 3𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 5
47. 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0, 𝑦(1) = 0, 𝑦′(1) = 1
48. 𝑦′′ + 𝑦 = 0, 𝑦 (𝜋
3) = 0, 𝑦′ (
𝜋
3) = 2
49. 𝑦′′′ + 12𝑦′′ + 36𝑦′ = 0, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 1, 𝑦′′(0) = −7
50. 𝑦′′′ + 2𝑦′′ − 5𝑦′ − 6𝑦 = 0, 𝑦(0) = 𝑦′(0) = 0, 𝑦′′(0) = 1
51. 𝑦′′′ − 8𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = −1, 𝑦′′(0) = 0
52.𝑑4𝑦
𝑑𝑥4= 0, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 3, 𝑦′′(0) = 4, 𝑦′′′(0) = 5
53. 𝑑4𝑦
𝑑𝑥4− 3
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3+ 3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2−𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0, 𝑦(0) = 𝑦′(0) = 0, 𝑦′′(0) = 𝑦′′′(0) = 1
54.𝑑4𝑦
𝑑𝑥4− 𝑦 = 0, 𝑦(0) = 𝑦′(0) = 𝑦′′(0) = 0, 𝑦′′′(0) = 1
55.𝑑4𝑦
𝑑𝑥4− 4𝑦 = 0, 𝑦(0) = 𝑦′(0) = 𝑦′′(0) = 0, 𝑦′′′(0) = 1
COEFICIENTES INDETERMINADOS, METODO DE SUPERPOSICION
Para resolver una ecuación diferencial no homogénea
𝒂𝟎𝒚𝒏 + 𝒂𝟏𝒚
𝒏−𝟏 + 𝒂𝟐𝒚𝒏−𝟐 +⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝒚
′ + 𝒂𝒏𝒚 = 𝒈(𝒙)
Se deben efectuar dos pasos:
1. Determinar la función complementaria 𝑦𝑐. La función complementaria es la solución de la
ecuación diferencial homogénea relacionada a la ecuación antes expuesta, es decir
𝒂𝟎𝒚𝒏 + 𝒂𝟏𝒚
𝒏−𝟏 + 𝒂𝟐𝒚𝒏−𝟐 +⋯+𝒂𝒏−𝟏𝒚
′ + 𝒂𝒏𝒚 = 𝟎
2. Hallar la solución particular 𝑦𝑝. En la presente sección se van a presentar métodos para la
obtención de soluciones particulares.
3. Luego la solución general vendrá dada por 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
Método de coeficientes indeterminados
La primera de las dos formas que se consideran para obtener una solución particular 𝑦𝑝 de una ED
lineal no homogénea se llama método de los coeficientes indeterminados. La idea fundamental
que sustenta este método es una conjetura acerca de la forma de 𝑦𝑝, en realidad una suposición
informada, motivada por las clases de funciones que constituyen la función de entrada 𝑔(𝑥). El
método general se limita a ED lineales donde
Los coeficientes 𝑎𝑖 , 𝑖 = 0,1,… , 𝑛 son constantes 𝑦
𝑔(𝑥) es una 𝑘 constante, una función polinomial, una función exponencial 𝑒𝑎𝑥, una
función seno o coseno 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 𝑜 cos 𝑏𝑥, o sumas finitas y productos de estas funciones.
Las siguientes funciones son algunos ejemplos de los tipos de entradas de 𝑔(𝑥) :
𝑔(𝑥) = 10, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥, 𝑔(𝑥) = 15𝑥 − 6 + 8𝑒−𝑥
𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3𝑥 − 5𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + (3𝑥2 − 1)𝑒−4𝑥
El conjunto de funciones que consiste en constantes, polinomios, exponenciales 𝑒𝑎𝑥, senos y
cosenos tienen notable propiedad de que las derivadas de sus sumas y productos son de nuevo
sumas y productos de constantes, polinomios, exponenciales, senos y cosenos. Debido a que la
combinación lineal de derivadas 𝑦𝑝 debe ser idéntica a 𝑔(𝑥), parece razonable suponer que 𝑦𝑝
tiene la misma forma que 𝑔(𝑥).
En los ejemplos siguientes se ilustra el método.
Ejemplo 1:
𝑦′′ + 4𝑦′ − 2𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6
Paso 1:
Se resuelve primero la ecuación homogénea relacionada 𝑦′′ + 4𝑦′ − 2𝑦 = 0. De la formula
cuadrática se encuentra que las raíces de la ecuación auxiliar
𝑚2 + 4𝑚 − 2 = 0
𝑚1 = −2 − √6, 𝑚2 = −2 + √6
Por consiguiente la función complementaria es
𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒−(2+√6) + 𝐶2𝑒
(−2+√6)
Paso 2:
Debido a que la función 𝑔(𝑥) es un polinomio cuadrático, supóngase una solución particular que
también es de la forma de un polinomio cuadrático:
𝑦𝑝 = 𝐴𝑥2 +𝐵𝑥 + 𝐶
Se busca determinar coeficientes específicos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 para los cuales 𝑦𝑝 es una solución de la
ecuación problema. Sustituyendo 𝑦𝑝 y las derivadas
𝑦′𝑝 = 2𝐴𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑦′′𝑝 = 2𝐴
Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene,
𝑦′′ + 4𝑦′ − 2𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6
2𝐴 + 4(2𝐴𝑥 + 𝐵 ) − 2(𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶) = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6
Distribuyendo,
2𝐴 + 8𝐴𝑥 + 4𝐵 − 2𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 − 2𝐶 = 𝟐𝑥2 − 𝟑𝑥 + 𝟔
Agrupando términos se construye un sistema de ecuaciones,
𝑥2(−2𝐴) = 2
𝑥(8𝐴 − 2𝐵) = −3
𝑇. 𝐼(2𝐴 + 4𝐵 − 2𝐶) = 6
Resolviendo el sistema tenemos que, 𝐴 = −1,𝐵 = −5
2 𝑦 𝐶 = −9. Por lo tanto una solución
particular es,
𝑦𝑝 = −𝑥2 −
5
2𝑥 − 9
Paso 3:
La solución general de la ecuación que se proporciona es
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆−(𝟐+√𝟔) + 𝑪𝟐𝒆
(−𝟐+√𝟔) − 𝒙𝟐 −𝟓
𝟐𝒙 − 𝟗
FORMACION DE 𝒚𝒑 POR SUPERPOSICION
Ejemplo 2:
𝑦′′ − 2𝑦′ − 3𝑦 = 4𝑥 − 5 + 6𝑥𝑒2𝑥
Paso 1:
La solución homogénea relacionada 𝑦′′ − 2𝑦′ − 3𝑦 = 0 resulta ser 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒−𝑥 + 𝐶2𝑒
3𝑥.
Paso 2:
A continuación, la presencia de 4𝑥 − 5 en 𝑔(𝑥) indica que la solución particular incluye un
polinomio lineal. Además, debido a que la derivada de producto 𝑥𝑒2𝑥 produce 2𝑥𝑒2𝑥 y 𝑒2𝑥, se
supone también que la solución particular incluye a 𝑥𝑒2𝑥 y 𝑒2𝑥. En otras palabras, 𝑔 es la suma de
dos clases básicas de funciones:
𝑔(𝑥) = 𝑔1(𝑥) + 𝑔2(𝑥) = 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 + 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠.
En consecuencia, el principio de superposición para ecuaciones no homogéneas indica que se
busca una solución particular
𝑦𝑝 = 𝑦𝑝1 + 𝑦𝑝2
Donde 𝑦𝑝1 = 𝐴𝑥 + 𝐵 y 𝑦𝑝2 = 𝐶𝑥𝑒2𝑥 + 𝐸𝑒2𝑥. Sustituyendo
𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝐶𝑥𝑒2𝑥 + 𝐸𝑒2𝑥
Derivando y agrupando términos semejantes en la ecuación, se obtiene
𝑦′′ − 2𝑦′ − 3𝑦 = 4𝑥 − 5 + 6𝑥𝑒2𝑥
−3𝐴𝑥 − 2𝐴 − 3𝐵 − 3𝐶𝑥𝑒2𝑥 + (2𝐶 − 3𝐸)𝑒2𝑥 = 4𝑥 − 5 + 6𝑥𝑒2𝑥
De esta identidad se obtienen las cuatro ecuaciones
𝑥𝑒2𝑥(−3𝐶) = 6
𝑒2𝑥(2𝐶 − 3𝐸) = 0𝑥(−3𝐴) = 4
𝑇. 𝐼(−2𝐴 − 3𝐵) = −5
Al resolver, se encuentra que 𝐴 = −4
3, 𝐵 =
23
9, 𝐶 = −2 𝑦 𝐸 = −
4
3. En consecuencia
𝑦𝑝 = −4
3𝑥 +
23
9− 2𝑥𝑒2𝑥 −
4
3𝑒2𝑥
Paso 3:
La solución general de la ecuación es
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆−𝒙 + 𝑪𝟐𝒆
𝟑𝒙 −𝟒
𝟑𝒙 +
𝟐𝟑
𝟗− 𝟐𝒙𝒆𝟐𝒙 −
𝟒
𝟑𝒆𝟐𝒙
Ejemplo 3:
En el siguiente ejemplo se ilustra que algunas veces la suposición “obvia” para la formación de 𝑦𝑝
no es una suposición correcta.
𝑦′′ − 5𝑦′ + 4𝑦 = 8𝑒𝑥
Si se procede como se hizo en los ejemplos anteriores, se puede suponer de modo razonable una
solución particular de la forma 𝑦𝑝 = 𝐴𝑒𝑥. Pero la sustitución de esta expresión en la ecuación
diferencial produce la expresión contradictoria 0 = 8𝑒𝑥 de modo que claramente se hizo una
conjetura equivocada para 𝑦𝑝.
La dificultad aquí es evidente al examinar la función complementaria
𝑦𝑝 = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑒
4𝑥
Observe que la suposición 𝐴𝑒𝑥 ya está presente en 𝑦𝑐. Esto significa que 𝑒𝑥 es una solución de la
ecuación diferencial homogénea relacionada, y un múltiplo constante 𝐴𝑒𝑥 cuando se sustituye en
la ecuación diferencial necesariamente produce cero,
𝑪𝟏𝒆𝒙 + 𝐶2𝑒
4𝑥 ≈ 𝑨𝒆𝒙
Bajo las circunstancias descritas, se puede constituir la siguiente regla general.
Regla de la multiplicación. Si alguna 𝑦𝑝1 contiene términos que duplican los términos de 𝑦𝑐,
entonces esa 𝑦𝑝1 se debe multiplicar por 𝑥𝑛, donde 𝑛 es el entero positivo más pequeño que
elimina esa duplicación.
Con base en la regla, se puede encontrar una solución particular de la forma,
𝑦𝑝 = 𝐴𝑥𝑒𝑥
Al sustituir 𝑦′𝑝 = 𝐴𝑥𝑒𝑥 + 𝐴𝑒𝑥 y 𝑦′′𝑝 = 𝐴𝑥𝑒
𝑥 + 2𝐴𝑒𝑥 en la ecuación diferencial y simplificando, se
obtiene
𝑦′′ − 5𝑦′ + 4𝑦 = −3𝐴𝑒𝑥 = 8𝑒𝑥
De la ultima igualdad se ve que el valor de 𝐴 ahora se determina como 𝐴 = −8
3. Por consiguiente,
una solución particular de la que se proporciona es
𝑦𝑝 = −8
3𝑥𝑒𝑥
Soluciones Particulares de Prueba
𝒈(𝒙) Forma de 𝒚𝒑
1. (𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 𝐴
2. 5𝑥 + 7 𝐴𝑥 + 𝐵
3. 3𝑥2 − 2 𝐴𝑥2 +𝐵𝑥 + 𝐶
4. 𝑥3 − 𝑥 + 1 𝐴𝑥3 +𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷
5. 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝐴𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛4𝑥
6. 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝐴𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛4𝑥
7. 𝑒5𝑥 𝐴𝑒5𝑥
8. (9𝑥 − 2)𝑒5𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒5𝑥
9. 𝑥2𝑒5𝑥 (𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)𝑒5𝑥
10. 𝑒3𝑥𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝐴𝑒3𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝐵𝑒3𝑥𝑠𝑒𝑛4𝑥
11. 5𝑥2𝑠𝑒𝑛4𝑥 (𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)𝑐𝑜𝑠4𝑥 + (𝐸𝑥2 + 𝐹𝑥 + 𝐺)𝑠𝑒𝑛4𝑥
12. 𝑥𝑒3𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒3𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 + (𝐶𝑥 + 𝐸)𝑒3𝑥𝑠𝑒𝑛4𝑥
PROBLEMAS:
1. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 6
2. 4𝑦′′ + 9𝑦 = 15
3. 𝑦′′ − 10𝑦′ + 25𝑦 = 30𝑥 + 3
4. 𝑦′′ + 𝑦′ − 6𝑦 = 2𝑥
5. 1
4𝑦′′ + 𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥
6. 𝑦′′ − 8𝑦′ + 20𝑦 = 100𝑥2 − 26𝑥𝑒𝑥
7. 𝑦′′ + 3𝑦 = −48𝑥2𝑒3𝑥
8. 4𝑦′′ − 4𝑦′ − 3𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥
9. 𝑦′′ − 𝑦′ = −3
10. 𝑦′′ + 2𝑦′ = 2𝑥 + 5 − 𝑒−2𝑥
11. 𝑦′′ − 𝑦′ +1
4𝑦 = 3 + 𝑒
𝑥2⁄
12. 𝑦′′ − 16𝑦 = 2𝑒4𝑥 13. 𝑦′′ + 4𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛2𝑥
14. 𝑦′′ − 4𝑦 = (𝑥2 − 3)𝑠𝑒𝑛2𝑥
15. 𝑦′′ + 𝑦 = 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
16. 𝑦′′ − 5𝑦′ = 2𝑥3 − 4𝑥2 − 𝑥 + 6
17. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 5𝑦 = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥
18. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒2𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥)
19. 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠2𝑥
20. 𝑦′′ + 2𝑦′ − 24 = 16 − (𝑥 + 2)𝑒4𝑥
21. 𝑦′′′ − 6𝑦′′ = 3 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
22. 𝑦′′′ − 2𝑦′′ − 4𝑦′ + 8𝑦 = 6𝑥𝑒2𝑥
23. 𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑦 = 𝑥 − 4𝑒𝑥
24. 𝑦′′′ − 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 5 − 𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥
25. 𝑦(4) + 2𝑦′′ + 𝑦 = (𝑥 − 1)2
26. 𝑦(4) − 𝑦′′ = 4𝑥 + 2𝑥𝑒−𝑥
27. 𝑦′′ + 4𝑦 = −2, 𝑦 (𝜋
8) =
1
2, 𝑦′(
𝜋8) = 2
28. 2𝑦′′ + 3𝑦′ − 2𝑦 = 14𝑥2 − 4𝑥 − 11, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 0
29. 5𝑦′′ + 𝑦′ = −6𝑥, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = −10
30. 𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = (3 + 𝑥)𝑒−2𝑥 , 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 5
31. 𝑦′′ + 4𝑦′ + 5𝑦 = 35𝑒−4𝑥 , 𝑦(0) = −3, 𝑦(0) = 1
32. 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 12
33.𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 𝑤2𝑥 = 𝐹0𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡, 𝑥(0) = 0, 𝑥′(0) = 0
34. 𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 𝑤2𝑥 = 𝐹0𝑐𝑜𝑠𝛾𝑡, 𝑥(0) = 0, 𝑥′(0) = 0
35. 𝑦′′′ − 2𝑦′′ + 𝑦′ = 2 − 24𝑒𝑥 + 40𝑒5𝑥 , 𝑦(0) =1
2, 𝑦′(0) =
5
2, 𝑦′′(0) = −
9
2
36. 𝑦′′′ + 8𝑦 = 2𝑥 − 5 + 8𝑒−2𝑥 , 𝑦(0) = −5, 𝑦′(0) = 3, 𝑦′′(0) = −4
37. 𝑦′′ − 9𝑦′ + 14𝑦 = 3𝑥2 − 5𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 7𝑥𝑒6𝑥
38. 𝑦′′ − 5𝑦′ + 𝑦 = 𝑒𝑥
39. 𝑦′′ + 𝑦 = 4𝑥 + 10𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑦(𝜋) = 0, 𝑦′(𝜋) = 2
40. 𝑦′′ − 6𝑦′ + 9𝑦 = 6𝑥2 + 2 − 12𝑒3𝑥
41. 𝑦′′′ + 𝑦′′ = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
42. 𝑦(4) + 𝑦′′′ = 1 − 𝑥2𝑒−𝑥
43. 𝑦′′ + 4𝑦 = 𝑔(𝑥), 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 2, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
0, 𝑥 >𝜋
2
44. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 10𝑦 = 𝑔(𝑥), 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔(𝑥) = 20, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋0, 𝑥 > 𝜋
VARIACION DE PARAMETROS
Así para resolver,
𝑎2𝑦′′ + 𝑎1𝑦
′ + 𝑎0𝑦 = 𝑔(𝑥)
Primero se encuentra la función complementaria 𝑦𝑝, de la misma forma que en las secciones
anteriores,
𝑦𝑐 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2
Se procede a calcular el wronskiano,
𝑊(𝑦1(𝑥), 𝑦2(𝑥))
Al dividir entre 𝑎2, se escribe en la ecuación en la forma estándar
𝑦′′ + 𝑃𝑦′ + 𝑄𝑦 = 𝑓(𝑥)
Para determinar a 𝑓(𝑥). Se encuentra 𝑢1 y 𝑢2 al integrar
𝑢′1 =𝑊1
𝑊 𝑦 𝑢′2 =
𝑊2
𝑊
Donde 𝑊1 y 𝑊2 se obtiene,
𝑊 = |𝑦1 𝑦2𝑦′1 𝑦′2
| , 𝑊1 = |0 𝑦2
𝑓(𝑥) 𝑦′2| , 𝑊2 = |
𝑦1 0
𝑦′1 𝑓(𝑥)|
Una solución particular es 𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2
Así la solución general de la ecuación es
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
Ejemplo 1:
𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = (𝑥 + 1)𝑒2𝑥
De la ecuación auxiliar 𝑚2 − 4𝑚 + 4 = 0 se obtiene,
𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒
2𝑥
Con las identificaciones 𝑦1 = 𝑒2𝑥 y 𝑦2 = 𝑥𝑒
2𝑥, a continuación se calcula el wronskiano:
𝑊(𝑒2𝑥 , 𝑥𝑒2𝑥) = | 𝑒2𝑥 𝑥𝑒2𝑥
2𝑒2𝑥 2𝑥𝑒2𝑥 + 𝑒2𝑥| = 𝑒4𝑥
Como en la ecuación a resolver, el coeficiente de 𝑦′′ es 1, se identifica 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒2𝑥.
𝑊1 = |0 𝑥𝑒2𝑥
(𝑥 + 1)𝑒2𝑥 2𝑥𝑒2𝑥 + 𝑒2𝑥| = −(𝑥 + 1)𝑥𝑒4𝑥 ,𝑊2 = |
𝑒2𝑥 02𝑒2𝑥 (𝑥 + 1)𝑒2𝑥
| = (𝑥 + 1)𝑥𝑒4𝑥
Por lo tanto,
𝑢′1 = −(𝑥 + 1)𝑥𝑒4𝑥
𝑒4𝑥 𝑦 𝑢′2 =
(𝑥 + 1)𝑥𝑒4𝑥
𝑒4𝑥
Integrando,
𝑢1 = ∫−(𝑥 + 1)𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑢2 = ∫(𝑥 + 1)𝑥 𝑑𝑥
𝑢1 = −1
3𝑥3 −
1
2𝑥2 , 𝑢2 =
1
2𝑥2 + 𝑥
Por consiguiente,
𝑦𝑝 = (−1
3𝑥3 −
1
2𝑥2) 𝑒2𝑥 + (
1
2𝑥2 + 𝑥) 𝑥𝑒2𝑥
Agrupando,
𝑦𝑝 =1
6𝑥3𝑒2𝑥 +
1
2𝑥2𝑒2𝑥
La solución general vendrá dada,
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆𝟐𝒙 + 𝑪𝟐𝒙𝒆
𝟐𝒙 +𝟏
𝟔𝒙𝟑𝒆𝟐𝒙 +
𝟏
𝟐𝒙𝟐𝒆𝟐𝒙
Ejemplo 2:
4𝑦′′ + 36𝑦 = 𝑐𝑠𝑐3𝑥
Primero se organiza la ecuación de la forma estándar,
𝑦′′ + 9𝑦 =1
4𝑐𝑠𝑐3𝑥
Debido a que las raíces de la ecuación auxiliar 𝑚2 + 9 = 0 son 𝑚1 = 3𝑖 y 𝑚2 = −3𝑖, la función
complementaria es
𝑦𝑐 = 𝐶1𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛3𝑥
Entonces,
𝑦1 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 , 𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑓(𝑥) =1
4𝑐𝑠𝑐3𝑥
Para el wronskiano,
𝑊(𝑐𝑜𝑠3𝑥, 𝑠𝑒𝑛3𝑥) = |𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥−3𝑠𝑒𝑛3𝑥 3𝑐𝑜𝑠3𝑥
| = 3
𝑊1 = |0 𝑠𝑒𝑛3𝑥
1
4𝑐𝑠𝑐3𝑥 3𝑐𝑜𝑠3𝑥
| = −1
4, 𝑊2 = |
𝑐𝑜𝑠3𝑥 0
−3𝑠𝑒𝑛3𝑥1
4𝑐𝑠𝑐3𝑥
| =1
4
𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥
Al integrar,
𝑢′1 = −1
12 𝑦 𝑢′2 =
𝑐𝑜𝑠3𝑥
12𝑠𝑒𝑛3𝑥
Se obtiene 𝑢1 = −1
12𝑥 y 𝑢2 =
1
36𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛3𝑥|. Por consiguiente, una solución particular es
𝑦𝑝 = −1
12𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 +
1
36(𝑠𝑒𝑛3𝑥)𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛3𝑥|
La solución general de la ecuación es
𝒚 = 𝑪𝟏𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 −𝟏
𝟏𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 +
𝟏
𝟑𝟔(𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙)𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙|
PROBLEMAS:
1. 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥
2. 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
3. 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥
4. 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃
5. 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥
6. 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
7. 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
8. 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
9. 𝑦′′ − 4𝑦 =𝑒2𝑥
𝑥
10. 𝑦′′ − 9𝑦 =9𝑥
𝑒3𝑥
11. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 =1
1 + 𝑒𝑥
12. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 =𝑒𝑥
1 + 𝑥2
13. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑒𝑥
14. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑒𝑡 arctan 𝑡
15. 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑒−𝑡𝑙𝑛𝑡
16. 2𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 4√𝑥
17. 3𝑦′′ − 6𝑦′ + 6𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥
18. 4𝑦′′ − 4𝑦′ + 𝑦 = 𝑒𝑥 2⁄ √1− 𝑥2
Resuelva cada ecuación mediante variación de parámetros, sujeta a las condiciones iniciales
𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0.
19. 4𝑦′′ − 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 2⁄
20. 2𝑦′′ + 𝑦′ − 𝑦 = 𝑥 + 1
21. 𝑦′′ + 2𝑦′ − 8𝑦 = 2𝑒−2𝑥 − 𝑒−𝑥
22. 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = (12𝑥2 − 6𝑥)𝑒2𝑥
Resuelva la ecuación diferencial de tercer orden por medio de variación de parámetros.
23. 𝑦′′′ + 𝑦′ = 𝑡𝑎𝑛𝑥
24. 𝑦′′′ + 4𝑦′ = sec 2𝑥
Analice como pueden combinarse los métodos de coeficientes indeterminados y variación de
parámetros para resolver la ecuación diferencial. Ponga en práctica sus ideas.
25. 3𝑦′′ − 6𝑦′ + 30𝑦 = 15𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑥𝑡𝑎𝑛3𝑥
26. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 4𝑥2 − 3 + 𝑥−1𝑒𝑥
DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
En cálculo elemental se aprendió que la diferenciación e integración son transformadas; esto
significa, en términos aproximados, que estas operaciones transforman una función en otra. Por
ejemplo, la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 se transforma, a su vez, en una función lineal y una familia de
funciones polinomiales cubicas mediante las operaciones de diferenciación e integración:
𝑑
𝑑𝑥𝑥2 = 2𝑥 También ∫𝑥2𝑑𝑥 =
𝑥3
3+ 𝐶. Además estas dos transformadas poseen la propiedad de
linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación
lineal de transformadas. En esta sección se examina un tipo especial de transformada integral
llamada transformada de Laplace. Además de poseer la propiedad de linealidad, la transformada
de Laplace tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver
problemas de valores lineales.
DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Sea 𝑓 una función definida para 𝑡 ≥ 0. Entonces se dice que la integral
L 𝑓(𝑡) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡∞
0
Es la transformada de Laplace de 𝑓, siempre que converja la integral.
Cuando la integral converge, el resultado es una función de 𝑠.En los ejemplos siguientes se usa una
letra minúscula para denotar la función que se transforma y la letra mayúscula correspondiente
para denotar su transformada.
Ejemplo 1:
L 𝑒−3𝑡
De la definición se tiene,
= ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑒−3𝑡𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−(𝑠+3)𝑡∞
0
𝑑𝑡∞
0
=−𝑒−(𝑠+3)𝑡
(𝑠 + 3) |∞ 0
=1
𝑠 + 3, 𝑠 > −3
El resultado se deduce del hecho de que
lim𝑡→∞
𝑒−(𝑠+3)𝑡 = 0
Para 𝑠 + 3 > 0, o bien, 𝑠 > −3
Ejemplo 2:
L 𝑠𝑒𝑛2𝑡
De la definición,
= ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑑𝑡∞
0
=−𝑒−𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡
𝑠−2𝑒−𝑠𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡
𝑠2−4
𝑠2∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑑𝑡∞
0
=−𝑠𝑒−𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡
(𝑠2 + 4)−2𝑒−𝑠𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡
(𝑠2 + 4) |∞ 0
lim𝑡→∞
𝑒−𝑠𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡 = 0, 𝑠 > 0
Evaluando el resultado es,
=2
𝑠2 + 4, 𝑠 > 0
PARA UN COMBINACION LINEAL DE FUNCIONES
∫ 𝑒−𝑠𝑡[𝛼𝑓(𝑡) + 𝛽𝑔(𝑡)] 𝑑𝑡 = 𝛼∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + 𝛽∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑔(𝑡)𝑑𝑡∞
0
∞
0
∞
0
Siempre que ambas integrales converjan para 𝑠 > 𝑐.
Como resultado de la propiedad dada,
L 1 + 5𝑡
=L 1 + L 5𝑡
De la definición antes expuesta se concluye,
=1
𝑠+5
𝑠2
TRANSFORMADA DE UNA FUNCION CONTINÚA POR PARTES
Evaluar L 𝑓(𝑡)
𝑓(𝑡) = 0, 0 ≤ 𝑡 < 32, 𝑡 ≥ 3
La función 𝑓, mostrada en la figura es continua por partes y de orden exponencial para 𝑡 > 0.
Puesto que 𝑓 se define en dos partes, su transformada se expresa como la suma de dos integrales.
= ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−𝑠𝑡(0)𝑑𝑡 + ∫ 𝑒−𝑠𝑡(2)𝑑𝑡∞
3
3
0
∞
0
= 0 +2𝑒−𝑠𝑡
−𝑠 |∞ 3
=2𝑒−3𝑠
𝑠, 𝑠 > 0
PROBLEMAS:
Use la definición L 𝑓(𝑡) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡∞
0 para encontrar la transformada de Laplace,
1. 𝑓(𝑡) = 2, 0 ≤ 𝑡 < 1−2, 𝑡 ≥ 1
2. 𝑓(𝑡) = 4, 0 ≤ 𝑡 < 20, 𝑡 ≥ 1
3. 𝑓(𝑡) = 𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 22, 𝑡 ≥ 2
4. 𝑓(𝑡) = 2𝑡 + 1, 0 ≤ 𝑡 < 10, 𝑡 ≥ 1
5. 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 𝜋0, 𝑡 ≥ 𝜋
6. 𝑓(𝑡) = 0, 0 ≤ 𝑡 < 𝜋 2⁄
𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑡 ≥ 𝜋 2⁄
7.
8.
10.
10. 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑡+7
11. 𝑓(𝑡) = 𝑒−2𝑡−5
12. 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑒4𝑡
13. 𝑓(𝑡) = 𝑡2𝑒−2𝑡
14. 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡
15. 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡
16. 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡
17. 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡
18. 𝑓(𝑡) = 2𝑡4
19. 𝑓(𝑡) = 𝑡5
20. 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑒4𝑡
21. 𝑓(𝑡) = 4𝑡 − 10
22. 𝑓(𝑡) = 7𝑡 + 3
23. 𝑓(𝑡) = 𝑡2 + 6𝑡 − 3
24. 𝑓(𝑡) = −4𝑡2 + 16𝑡 + 9
25. 𝑓(𝑡) = (𝑡 + 1)3
26. 𝑓(𝑡) = (2𝑡 − 1)3
27. 𝑓(𝑡) = 1 + 𝑒4𝑡
28. 𝑓(𝑡) = 𝑡2 − 𝑒−9𝑡 + 5
29. 𝑓(𝑡) = (1 + 𝑒2𝑡)2
30. 𝑓(𝑡) = (𝑒𝑡 − 𝑒−𝑡)2
31. 𝑓(𝑡) = 4𝑡2 − 5𝑠𝑒𝑛3𝑡
32. 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠5𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡
33. 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑘𝑡
34. 𝑓(𝑡) = cosh 𝑘𝑡
35. 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡
36. 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ𝑡
37. 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡
38. 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠2𝑡
1
39. 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(4𝑡 + 5) 40. 𝑓(𝑡) = 10𝑐𝑜𝑠 (𝑡 −𝜋
6)
TRANSFORMADA INVERSA
Si 𝐹(𝑠) representa la transforma de Laplace de una función 𝑓(𝑡), se dice entonces que 𝑓(𝑡) es la
transformada de la Laplace inversa de 𝐹(𝑠) y se escribe 𝑓(𝑡) = 𝐿−1𝑓(𝑠).
Ejemplo 1:
L 𝑒−3𝑡 = 1
𝑠+3 su transformada inversa es 𝑒−3𝑡 = 𝐿−1
1
𝑠+3
Ejemplo 2: División de término a término y linealidad
Evalué la transformada inversa,
−2𝑠 + 6
𝑠2 + 4
Primero se reescribe la función provista de 𝑠 como dos expresiones por medio de la división
término a término, y luego se usa la ecuación
𝐿−1 −2𝑠
𝑠2 + 4+
6
𝑠2 + 4 = −2𝐿−1
𝑠
𝑠2 + 4 +
6
2𝐿−1
2
𝑠2 + 4
= −2cos 2𝑡 + 3𝑠𝑒𝑛 2𝑡.
Ejemplo 3:
Fracciones parciales en la transforma inversa.
𝐿−1 𝑠2 + 6𝑠 + 9
(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)𝑠 + 4)
Existen constantes reales, 𝐴,𝐵 𝑦 𝐶, de tal forma que
𝑠2 + 6𝑠 + 9
(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)𝑠 + 4)=
𝐴
𝑠 − 1+
𝐵
𝑠 − 2+
𝐶
𝑠 + 4
𝑠2 + 6𝑠 + 9
(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)𝑠 + 4)=𝐴(𝑠 − 2)(𝑠 + 4) + 𝐵(𝑠 − 1)(𝑠 + 4) + 𝐶(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)𝑠 + 4)
Puesto que los denominadores son idénticos, los numeradores son idénticos:
𝑠2 + 6𝑠 + 9 = 𝐴(𝑠 − 2)(𝑠 + 4) + 𝐵(𝑠 − 1)(𝑠 + 4) + 𝐶(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
Si se establece 𝑠 = 1, 𝑠 = 2 𝑦 𝑠 = −4, se obtiene, respectivamente,
𝐴 = −16
5 , 𝐵 =
25
6 𝑦 𝐶 =
1
30
Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es
𝑠2 + 6𝑠 + 9
(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)𝑠 + 4)= −
16 5⁄
(𝑠 − 1)+
25 6⁄
(𝑠 − 2)+
1 30⁄
(𝑠 + 4)
Y, por consiguiente,
𝐿−1 𝑠2 + 6𝑠 + 9
(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)𝑠 + 4) = −
16
5𝐿−1
1
𝑆 − 1 +
25
6𝐿−1
1
𝑠 − 2 +
1
30𝐿−1
1
𝑠 + 4
= −16
5𝑒𝑡 +
25
6𝑒2𝑡 +
1
30𝑒−4𝑡
PROBLEMAS:
1. 1
𝑠3
2. 1
𝑠4
3. 1
𝑠3−48
𝑠5
4. (2
𝑠−1
𝑠3)2
5. (𝑠 + 1)3
𝑠4
6. (𝑠 + 2)2
𝑠3
7. 1
𝑠2−1
𝑠+
1
𝑠 − 2
8. 4
𝑠+6
𝑠5−
1
𝑠 + 8
9. 1
4𝑠 + 1
10. 1
5𝑠 − 2
11. 5
𝑠2 + 49
12. 10𝑠
𝑠2 + 16
13. 4𝑠
4𝑠2 + 1
14. 1
4𝑠2 + 1
15. 2𝑠 − 6
𝑠2 + 9
16. 𝑠 + 1
𝑠2 + 2
17. 1
𝑠2 + 3𝑠
18. 𝑠 + 1
𝑠2 − 4𝑠
19. 𝑠
𝑠2 + 2𝑠 − 3
20. 1
𝑠2 + 𝑠 − 20
21. 0.9𝑠
(𝑠 − 0.1)(𝑠 + 0.2)
22. 𝑠 − 3
(𝑠 − √3)(𝑠 + √3)
23. 𝑠
(𝑠 − 2)(𝑠 − 6)(𝑠 − 3)
24. 𝑠2 + 1
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)
25. 1
𝑠3 + 5𝑠
26. 𝑠
(𝑠 + 2)(𝑠2 + 4)
27. 2𝑠 − 4
(𝑠2 + 𝑠)(𝑠2 + 1)
28. 1
𝑠4 − 9
29. 𝑠 + 5
𝑠6 − 1
30. 1
(𝑠2 + 1)(𝑠2 + 4)
31. 6𝑠 + 3
𝑠4 + 5𝑠2 + 4
32. 𝑠 + 7
𝑠(𝑠2 + 𝑠 + 1)
33. 𝑠2 + 9𝑠
𝑠4 − 𝑠2 − 12
34. 𝑠2 + 7𝑠 + 5
𝑠5 + 3𝑠4 + 4𝑠3 + 4𝑠2
35. 𝑠2 + 5𝑠 + 1
(𝑠3 − 8)(𝑠4 − 22𝑠2 − 75)
𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑟 (𝑠3 − 8)(𝑠4 − 22𝑠2 − 75) = 𝑠7 − 22𝑠5 − 8𝑠4 − 75𝑠3 + 176𝑠2 + 600
Crecimiento y Decrecimiento poblacional
1. La población de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al número de
personas presentes en el tiempo 𝑡. Si en cinco años se duplica una población inicial 𝑃0.
¿Cuánto tarda en triplicarse? ¿En cuadruplicarse?
2. Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es 10 000 después
de tres años. ¿Cuál fue la población inicial 𝑃0? ¿Cual será la población en 10 años?¿Con
que rapidez crece la población en 𝑡 = 10?
3. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población presente en el
tiempo 𝑡. La población inicial de 500 se incrementa 15% en diez años. ¿Cuál será la
población en 30 años? ¿Que tan rápido está creciendo la población en 𝑡 = 30?
4. La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional al número de
bacterias presentes en el tiempo 𝑡. Después de tres horas se observo que están presentes
400 bacterias. Después de diez horas hay 2000 bacterias ¿Cuál fue el número inicial de
bacterias?
5. El isotopo radiactivo del plomo, Pb-209, decae a una rapidez proporcional a la cantidad
presente en el tiempo 𝑡 y tiene una vida media de 3,3 horas. Si al inicio está presente un
gramo de ese isotopo, ¿Cuánto tiempo tarda en decaer 90% del plomo?
6. Un científico prepara una muestra de sustancia radiactiva. Un año después la muestra
contiene 3 g de la sustancia; 2 años después hay solo 1 g. Determine la cantidad de
sustancia radiactiva que había inicialmente.
7. Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa
había disminuido en 3%. Si la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad de la
sustancia presente en el tiempo 𝑡, determine la cantidad restante después de 24 horas.
8. Determine la vida media de la sustancia que se describe en el problema 7.
9.
a) Considere que el problema de valor inicial,
𝑑𝐴
𝑑𝑡= 𝑘𝐴, 𝐴(0) = 𝐴0
Como el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general,
la vida media 𝑇 de la sustancia es 𝑇 = −(𝑙𝑛2) 𝑘⁄ .
b) Demuestre que la solución del problema de valor del inciso (a) se puede escribir como
𝐴(𝑡) = 𝐴02−𝑡 𝑇⁄
c) Si la sustancia radiactiva tiene la vida media que se indica en el inciso (a).¿Cuánto
tarda una cantidad inicial 𝐴0 de la sustancia en decaer a 1
8𝐴0?
10. Cuando un haz vertical de luz pasa por un medio transparente, la rapidez a la que decrece
su intensidad 𝐼 es proporcional a 𝐼(𝑡), donde 𝑡 representa el espesor del medio (en pies).
En agua de mar clara, la intensidad tres pies por debajo de la superficie es de 25% de la
intensidad inicial 𝐼0 del haz incidente. ¿Cuál es la intensidad del haz 15 pies debajo de la
superficie?
11. El estroncio 90(Sr-90) es un isotopo radiactivo producido en explosiones de bombas de
hidrogeno. El tratado de proscripción de pruebas nucleares sobre la superficie de la Tierra
de 1963 se baso en evidencias de contaminación, con Sr-90, de la leche y de los huesos
humanos. La vida media del Sr-90 es de 29 años. Suponga que ninguna nueva fuente de Sr-
90 ha contaminado la atmosfera desde 1963. Determine que fracción del nivel de Sr-90 en
1963 permaneció en la atmosfera en 2003. Determine la fecha aproximada en que el nivel
de Sr-90 será solo 1% del nivel de 1963.
12. El bitartrato de hidrocodonio es una droga usada para eliminar la tos y aliviar el dolor. La
droga se elimina del cuerpo mediante un proceso de decaimiento natural con una vida
media de 3,8 h. La dosis usual es de 10 mg cada 6 horas. Describa y resuelva el problema
con valor inicial que modela la cantidad de bitartrato de hidrocodonio en un paciente
después de una dosis. Suponga que la cantidad del medicamento antes de la dosis es 𝑄0 y
que el medicamento es absorbido inmediatamente.
Ahora suponga que un paciente toma bitartrato de hidrocodonio solo un día. Suponiendo
que inicialmente no hay ninguna cantidad del medicamento en el sistema del paciente,
represente de manera grafica la cantidad a lo largo de 2 días. Note que el paciente toma 4
dosis el primer día y ninguna el segundo.
Ley de enfriamiento
13. Se toma un termómetro de una habitación donde la temperatura es de 70°F y se lleva al
exterior, donde la temperatura del aire es de 10°F. Después de medio minuto el
termómetro marca 50°F. ¿Cuál es la lectura del termómetro en 𝑡 = 1 𝑚𝑖𝑛? ¿Cuánto tarda
el termómetro en alcanzar 15°F?
14. Se lleva un termómetro de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es de
5°F. Después de un minuto el termómetro marca 55°F y después de 5 minutos la lectura es
de 30°F. ¿Cual es la temperatura inicial de la habitación?
15. Un termómetro en el que se lee 70°F se coloca en un lugar donde la temperatura es de
10°F. Cinco minutos más tarde el termómetro marca 40°F. ¿Qué tiempo debe transcurrir
para que el termómetro marque medio grado más que la temperatura del medio?
16. Una pequeña barra metálica, cuya temperatura inicial fue de 20°C, se sumerge en un gran
recipiente de agua hirviente. ¿Cuánto tarda la barra en alcanzar 90°C si se sabe que su
temperatura aumenta 2° en un segundo? ¿Cuánto le toma a la barra llegar a 98°C?
17. Dos recipientes grandes A y B del mismo tamaño se llenan con diferentes líquidos. Los
líquidos de los recipientes A y B se mantienen a 0°C y 100°C, respectivamente. Una barra
metálica, cuya temperatura inicial es de 100°C, se sumerge en el recipiente A. Después de
un minuto la temperatura de la barra es de 90°C. Transcurridos dos minutos se retira la
barra y se transfiere de inmediato al otro recipiente. Después de permanecer un minuto
en el recipiente B la temperatura de la barra aumenta 10°. ¿Cuánto tiempo, desde el inicio
del proceso, tarda la barra en llegar a 99,9°C?
18. Un termómetro que marca 70°F se coloca en un horno precalentado a una temperatura
constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que
después de medio minuto el termómetro marca 110°F y luego de un minuto la lectura es
de 145°F.¿Cual es la temperatura del horno?
19. En una habitación la temperatura que marca un termómetro clínico es de 20°C. Para
detectar si un paciente tiene fiebre (definida como temperatura corporal de 38°C o más)
se coloca un termómetro en la axila del paciente. Si al cabo de un minuto el termómetro
marca 27°C en una persona sana (con temperatura de 36°C), ¿Cuánto tiempo se debe
dejar en una persona con fiebre para detectarla con un error no mayor que 0,2°C?
20. Un ganadero salió una tarde a cazar un lobo solitario que estaba diezmando su rebaño. El
cuerpo del ganadero fue encontrado sin vida por un campesino, en un cerro cerca del
rancho junto al animal cazado, a las 6:00 h del día siguiente. Un medico forense llego a las
7:00 y tomo la temperatura del cadáver, a esa hora anoto 23°C; una hora más tarde, al
darse cuenta de que en la noche, y aun a esas horas, la temperatura ambiente era
aproximadamente de 5°C, el médico volvió a medir la temperatura corporal del cadáver y
observó que era de 18,5°C. ¿A que hora murió el ganadero aproximadamente?
21. Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de
750°C, para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se
encuentre a una temperatura de cuando mucho 200°C. Suponga que la temperatura de
una sala de enfriamiento donde se colocara este material, es de 5°C y que, después de 15
min, la temperatura del material es de 600°C. ¿En cuánto tiempo el material cerámico
estará listo para entrar a la segunda etapa de su proceso?
22. A las 13:00 horas un termómetro que indica 10°F se retira de un congelador y se coloca en
un cuarto cuya temperatura es de 66°F. A las 13:05, el termómetro indica 25°F. Más tarde,
el termómetro se coloca nuevamente en el congelador. A las 13:30 el termómetro da una
lectura de 32°F. ¿Cuándo se regreso el termómetro al congelador? ¿Cual era la lectura del
termómetro en ese momento?
23. Luis invito a Blanca a tomar café en la mañana. El sirvió dos tazas de café. Blanca le agrego
crema suficiente como para bajar la temperatura de su café 1°F. Después de 5 min, Luis
agrego suficiente crema a su café como para disminuir su temperatura en 1°F. Por fin,
tanto Luis como Blanca empezaron a tomar su café. ¿Quién tenía el café más frio?
24. La razón con la que un cuerpo se enfría también depende de su área superficial expuesta
𝑆. Si 𝑆 es una constante, entonces una modificación de la ecuación es
𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝑘𝑆(𝑇 − 𝑇𝑚)
Donde 𝑘 < 0 y 𝑇𝑚 es una constante. Suponga que dos tazas A y B están llenas de café al
mismo tiempo. Inicialmente la temperatura del café es de 150°F. El área superficial del café en
la taza B es del doble del área superficial del café en la taza A. Después de 30 min la
temperatura del café en la taza A es de 100°F. Si 𝑇𝑚 = 70°𝐹, entonces ¿Cuál es la temperatura
del café de la taza B después de 30 min?
25. Suponga que en su casa, en una tarde de invierno a la 1:00 pm, se suspende la electricidad
por una falla y la calefacción deja de funcionar. Cuando se suspende la electricidad la
temperatura en su casa es de 68°F. A las 10:00 pm ha bajado a 57°F. Suponga que la
temperatura exterior es de 10°F.
a) Escriba un problema con valor inicial para la temperatura en su casa suponiendo que la ley
de enfriamiento de Newton es válida.
b) Resuelva el problema con valor inicial para estimar la temperatura de la casa cuando se
levante a las 7:00 de la mañana del día siguiente. ¿Le preocuparía la congelación del agua
en las tuberías?
c) ¿Qué suposición tuvo que hacer acerca de la temperatura exterior? Ya que esta
estimación probablemente no es correcta, ¿consideraría incrementarla o decrementarla?
¿Por qué?
26. El café está en una temperatura de 190°F cuando se vierte en una taza de metal. El café se
agita continuamente con una cucharita de plástico y después de 3 minutos alcanza una
temperatura de 150°F. ¿En qué tiempo el café alcanzara una temperatura de 110°F?
La ley de enfriamiento de Newton seria menos adecuada para el problema si el café no se
agitara y si la taza fuera de un material que conservara el calor o bien de metal.
a) ¿Cómo se modificaría el comportamiento real si no se agitara el café?
b) ¿Cómo se modificaría el comportamiento real si la taza fuera de espuma de
poliestireno?
c) ¿Si la cuchara fuera de metal como se modificaría el comportamiento real?
27. A las nueve de la mañana un pastel a 70°F es sacado del horno y llevado a una habitación
donde la temperatura es de 15°F. Cinco minutos después la temperatura del pastel es de
45°F. A las 9:10 am se regresa a interior del horno, donde la temperatura es fija e igual a
70°F. ¿Cuál es la temperatura del pastel a las 9:20 am?
Drenado de tanques
28. Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua. Tiene
un pequeño orificio en el fondo de una pulgada de diámetro ¿Cuándo se vaciará todo el
tanque?
29. Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista. Debido a un pequeño orificio
situado en el fondo del tanque, de 2 pulgadas cuadradas de área, presenta un escape. Si el
tanque está inicialmente lleno hasta las tres cuartas partes de su capacidad, determine:
a) ¿Cuándo estará a la mitad de su capacidad?
b) ¿Cuándo estará vacío?
30. Un tanque en forma de cono circular recto, de altura ℎ radio 𝑟, vértice por debajo de la
base, está totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total si ℎ =
12 𝑝𝑖𝑒𝑠, 𝑟 = 5 𝑝𝑖𝑒𝑠, 𝑎 = 1 𝑝𝑢𝑙𝑔2 y el factor de fricción/contracción es 𝑐 = 0,6.
31. Una taza hemisférica de radio R está llena de agua. Si hay un pequeño orificio de radio 𝑟
en el fondo de la superficie convexa, determine el tiempo de vaciado.
32. Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva 𝑦 = 𝑥4 3⁄
alrededor del eje y. Siendo las 11:27 de la mañana se retira un tapón que está en el fondo
y en ese momento la profundidad del agua en el tanque es 12 pies. Una hora más tarde la
profundidad del agua ha descendido a la mitad. Determine
a) ¿A qué hora estará vacío el tanque?
b) ¿A qué hora quedara en el tanque 25% del volumen de líquido inicial?
33. El tanque que se muestra en la figura está totalmente lleno de líquido. Se inicia el proceso
de vaciado, por una perforación circular de área 1 𝑐𝑚2 ubicada en la base inferior del
depósito. Si se ha establecido el coeficiente de descarga 𝑐 = 0,447 y la gravedad es 𝑔 =
10 𝑚 𝑠𝑒𝑔2⁄ .
Determine:
a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al
18,75% de su capacidad
b) Tiempo de vaciado total del tanque
34. El tanque que se muestra en la figura se encuentra lleno en un 100%. El líquido escapa por
un orificio de 5 𝑐𝑚2 de área, situado en el fondo del tanque. Determine:
a) Tiempo de vaciado total
b) Tiempo para que el volumen de líquido en el tanque descienda 5 𝑚𝑡𝑠.
35. Se tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical hacia abajo cuyas
dimensiones son 2 𝑚𝑡𝑠 de diámetro y altura 3 𝑚𝑡𝑠. El tanque inicialmente está lleno en su
totalidad y el líquido escapa por un orificio de 20 cm2 de área situado al fondo del tanque.
Determine:
a) Cuánto tiempo debe transcurrir para que quede en el tanque sólo un tercio de su
capacidad inicial
b) Calcular el tiempo que tarda en vaciarse totalmente.
36. Un depósito en forma de cono circular recto invertido y truncado con 2 𝑚𝑡𝑠 de radio
menor, 4 𝑚𝑡𝑠 de radio mayor y 8 𝑚𝑡𝑠 de altura, está lleno en un 90% de su capacidad. Si
su contenido se escapa por un orificio de 10 𝑐𝑚2 de área, ubicado al fondo del tanque, y
sabiendo que el coeficiente de descarga se ha establecido en 0,75. Determine el tiempo
que tardará en vaciarse totalmente.
37. El día 15 de julio de 2006, a las 2:25 pm, se pone a vaciar un tanque cilíndrico con eje
horizontal, el cual está inicialmente lleno en un 100%. La longitud del tanque es de
10 𝑚𝑡𝑠, el radio 4 𝑚𝑡𝑠. Si el agua fluye por un orificio de área 2 cm2, situado en el fondo
del tanque y se ha establecido el coeficiente de descarga en 0,6, determine qué día y a qué
hora el taque se vacía totalmente.
38. Un tanque en forma semiesférica de 8 𝑚𝑡𝑠 de radio está totalmente lleno de agua. Se
retira un tapón que está en el fondo, justo a las 4:27 pm. Una hora después la profundidad
del agua en el tanque ha descendido un metro. Determine:
a) ¿A qué hora el tanque estará vacío?
b) ¿A qué hora quedará en el tanque 31,25% del volumen inicial.
39. El tanque que se muestra en la Fig. 1 está lleno de agua en un 100%: Comienza a vaciarse
por un orificio situado en su base inferior de “A” cm2 de área. Si transcurrida 1 hora 6
minutos 40 segundos el nivel libre de líquido ha descendido 5 𝑚𝑡𝑠 y el coeficiente de
descarga se ha establecido en 0,8. Determine:
a) Área del orificio de salida
b) Tiempo de vaciado total
40. Calcular el tiempo que tarda en vaciarse completamente un tanque de forma cilíndrica de
altura 2 𝑚𝑡𝑠 y radio 1 𝑚𝑡 a través de 2 orificios de 2,5 𝑐𝑚 de radio que se encuentran uno
en la parte inferior y otro a un cuarto de su altura. Suponga 𝑐 = 0,8 y 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠𝑒𝑔2⁄ .
Mezclas
1. Un depósito contiene 200 litros de líquido en el que se disuelven 30 gramos de sal. La
salmuera que contiene un gramo de sal por litro se bombea hacia el depósito a una
rapidez de 4 𝐿 𝑚𝑖𝑛⁄ ; la solución bien mezclada se bombea hacia afuera a la misma
rapidez. Calcule la cantidad 𝐴(𝑡) de gramos de sal que se encuentran en el depósito en el
tiempo 𝑡.
2. Resuelva el problema anterior suponiendo que se bombea agua pura al depósito.
3. Un depósito grande se llena al máximo con 500 galones de agua pura. Se bombea al
depósito salmuera que contiene dos libras de sal por galón a razón de 5 𝑔𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑛⁄ ; la
solución bien mezclada se bombea a la misma rapidez. Calcule el número 𝐴(𝑡) de libras de
sal en el depósito en tiempo 𝑡.
4. En el problema anterior, ¿Cuál es la concentración 𝑐(𝑡) de sal en el depósito en el tiempo
𝑡? ¿En 𝑡 = 5 𝑚𝑖𝑛? ¿Cuál es la concentración de la sal en el depósito después de un tiempo
largo, es decir, cuando 𝑡 → ∞? ¿En qué momento la concentración de la sal en el depósito
es igual a la mitad de este valor limite?
5. Un tanque con capacidad de 500 galones contiene inicialmente 200 galones de agua con
100 lb de sal en solución. Se inyecta al tanque agua que cuya concentración de sal es de
1 𝑙𝑏 𝑔𝑎𝑙⁄ , a razón de 3 𝑔𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑛⁄ . La mezcla debidamente agitada y homogeneizada sale
del tanque a razón de 2 𝑔𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑛⁄ .
a) Encuentre la cantidad de sal y la concentración de sal en el tanque para cualquier
tiempo.
b) Determine la concentración de sal en el instante justo en que la solución alcanza el
volumen total del tanque.
6. Un tanque contiene 450 litros de líquido en el que se disuelven 30 gr de sal. Una salmuera
que contiene 3 𝑔𝑟 𝑙𝑡𝑠⁄ se bombea al tanque con una intensidad de 6 𝑙𝑡𝑠 𝑚𝑖𝑛⁄ , la solución
adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 8 𝑙𝑡𝑠 𝑚𝑖𝑛⁄ .
Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el tanque en
un instante cualquiera.
7. Un gran depósito está lleno de 500 galones de agua pura. Una salmuera que contiene
2 𝑙𝑏 𝑔𝑎𝑙⁄ se bombea al tanque a razón de 5 𝑔𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑛⁄ . La salmuera, adecuadamente
mezclada, se bombea hacia fuera con la misma rapidez.
a) Halle el número de libras de sal y la concentración de sal en el tanque en un instante 𝑡
cualquiera.
b) Determine la cantidad de sal y la concentración al cabo de hora y media de iniciado el
proceso de mezclado
c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la cantidad de sal en el tanque sea de 632,12
libras?
8. Efectuar el ejercicio anterior suponiendo que la solución se extrae a razón de
10 𝑔𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑛⁄ . ¿Cuánto tiempo demorara el tanque en vaciarse?
9. Un tanque cuyo volumen es de 4000 lts está inicialmente lleno hasta la mitad de su
capacidad, con una solución en la que hay disueltos 100 kg de sal. Se bombea agua pura al
tanque a razón de 𝑄 𝑙𝑡𝑠 𝑚𝑖𝑛⁄ y la mezcla, que se mantiene homogénea mediante
agitación, se extrae a razón de 3 𝑙𝑡𝑠 𝑚𝑖𝑛⁄ . Si se sabe que al cabo de 3 horas y 20 min hay
800 lt más de solución en el tanque, determine:
a) El caudal de entrada Q
b) Cantidad de sal en el tanque al cabo de 4 horas
c) Cantidad de sal y concentración de sal al momento justo de comenzar a desbordarse
10. Considérese un estanque con un volumen de 8 mil millones de pies cúbicos y una
concentración inicial de contaminantes de 0,25 %. Hay un ingreso diario de 500 millones
de pies cúbicos de agua con una concentración de contaminantes de 0,05 % y un derrame
diario de igual cantidad de agua bien mezclada en el estanque ¿Cuánto tiempo pasará
para que la concentración de contaminantes en el estanque sea de 0,10%?
11. Un tanque de 400 galones contiene la cuarta parte de su capacidad de salmuera, con una
concentración de sal de 5 𝑘𝑔 𝑔𝑎𝑙⁄ . Se inyecta salmuera al tanque con concentración
de 1 𝑘𝑔 𝑔𝑎𝑙⁄ y a razón de 5 𝑔𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑛⁄ . La salmuera, debidamente agitada y
homogeneizada en el tanque, fluye a razón de 𝑄 𝑔𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑛⁄ . Si se sabe que al cabo de dos
horas y media el tanque alcanza su máxima capacidad, determine:
a) El caudal de salida Q
b) La cantidad de sal cuando alcanza su máxima capacidad.
12. Se bombea cerveza con un contenido de 6% de alcohol por galón, a un tanque que
inicialmente contiene 400 gal de cerveza con 3% por galón de alcohol. La cerveza se
bombea hacia el interior con una rapidez de 3 𝑔𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑛⁄ en tanto que el líquido mezclado
se extrae con una rapidez de 4 𝑔𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑛⁄ .
a) Obtenga el número de galones de alcohol que hay en el tanque en un instante
cualquiera
b) ¿Cuál es el porcentaje de alcohol en el tanque luego de 60 min?
c) ¿Cuánto demorará el tanque en vaciarse?
Circuitos en Serie
13. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 a un circuito en serie 𝐿𝑅 en el que la
inductancia es de 0,1 ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦 y la resistencia es de 50 𝑜ℎ𝑚𝑠. Calcule la corriente 𝑖(𝑡) si
𝑖(0) = 0. Determine la corriente cuando 𝑡 → ∞.
14. Resuelva bajo la suposición de que 𝐸(𝑡) = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 y que 𝑖(0) = 𝑖0.
15. Resuelva bajo la suposición de que 𝐸(𝑡) = 𝐸0𝑠𝑒𝑐5 𝜔𝑡 y que 𝑖(0) = 𝑖0
16. Se aplica una fuerza electromotriz a un circuito en serie en el que la resistencia es de
200 𝑜ℎ𝑚𝑠 y la capacitancia es de 10−4 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑠. Encuentre la carga 𝑞(𝑡) en el capacitor si
𝑞(0) = 0. Encuentre la corriente 𝑖(𝑡).
17. Una fuerza electromotriz de 200 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 se aplica a un circuito 𝑅𝐶 en serie en el que la
resistencia es de 1000 𝑜ℎ𝑚𝑠 y la capacitancia es de 5 𝑥 10−6 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑠. Determine la carga
𝑞(𝑡) en el capacitor si 𝑖(0) = 0,4. Determine la carga y la corriente en 𝑡 = 0,005 𝑠.
Determine la carga cuando 𝑡 → ∞.
18. Una fuerza electromotriz.
𝐸(𝑡) = 120, 0 ≤ 𝑡 < 200, 𝑡 > 20
Se aplica a un circuito 𝐿𝑅 en serie en el que la inductancia es de 20 ℎ𝑒𝑛𝑟𝑖𝑒𝑠 y la
resistencia es de 2 𝑜ℎ𝑚𝑠. Determine la corriente 𝑖(𝑡) si 𝑖(0) = 0.
Análogo de Circuito en Serie
19. Encuentre la carga en el capacitador de un circuito en serie 𝐿𝑅𝐶 en 𝑡 = 0,01 𝑠 cuando 𝐿 =
0,05 ℎ, 𝑅 = 2 Ω, 𝐶 = 0,01 𝑓, 𝐸(𝑡) = 0 𝑉, 𝑞(0) = 5 𝐶 𝑒 𝑖(0) = 0 𝐴. Determine la primera
vez en que la carga del capacitador es igual a cero.
20. Calcule del capacitador en un circuito 𝐿𝑅𝐶 en serie cuando 𝐿 =1
4ℎ, 𝑅 = 20 Ω, 𝐶 =
1
300𝑓, 𝐸(𝑡) = 0 𝑉, 𝑞(0) = 4 𝐶 𝑒 𝑖(0) = 0 𝐴.¿Alguna vez la carga en el capacitador es igual
a cero?
En los siguientes problemas encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito 𝐿𝑅𝐶.
Determine la carga máxima en el capacitor.
21. 𝐿 =5
3ℎ, 𝑅 = 10 Ω, 𝐶 =
1
30𝑓, 𝐸(𝑡) = 300 𝑉, 𝑞(0) = 0 𝐶, 𝑖(0) = 0 𝐴.
22. 𝐿 = 1 ℎ, 𝑅 = 100 Ω, 𝐶 = 0,0004 𝑓, 𝐸(𝑡) = 30 𝑉, 𝑞(0) = 0 𝐶, 𝑖(0) = 2 𝐴
23. Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito 𝐿𝑅𝐶 en serie cuando 𝐿 =
1 ℎ, 𝑅 = 2 Ω,𝐶 = 0,25 𝑓 y 𝐸(𝑡) = 50𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑉.
24. Muestre que la amplitud de la corriente de estado estable en el circuito 𝐿𝑅𝐶 en serie esta
dada por 𝐸0/𝑍, donde 𝑍 es la impedancia del circuito.
25. Use el problema anterior para mostrar que la corriente de estado estable en un circuito
𝐿𝑅𝐶 en serie cuando 𝐿 =1
2ℎ, 𝑅 = 20 Ω, 𝐶 = 0,001 𝑓 y 𝐸(𝑡) = 100𝑠𝑒𝑛60𝑡 𝑉, esta dada
por 𝑖𝑝(𝑡) = 4,160 𝑠𝑒𝑛(60𝑡 − 0,588).
26. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito 𝐿𝑅𝐶 cuando 𝐿 =1
2ℎ, 𝑅 =
10 Ω, 𝐶 = 0,001 𝑓 y 𝐸(𝑡) = 100 𝑠𝑒𝑛60𝑡 + 200 𝑐𝑜𝑠40𝑡 𝑉.
27. Encuentre la carga en el capacitador de un circuito 𝐿𝑅𝐶 en serie cuando 𝐿 =1
2ℎ, 𝑅 =
10 Ω, 𝐶 = 0,01𝑓, 𝐸(𝑡) = 150 𝑉, 𝑞(0) = 1 𝐶 𝑒 𝑖(0) = 0 𝐴.¿Cuál es la carga en el
capacitador después de un largo tiempo?
28. Calcule la carga en el capacitador y la corriente en un circuito 𝐿𝐶 cuando 𝐿 = 0,1 ℎ, 𝐶 =
0,1 𝑓, 𝐸(𝑡) = 100𝑠𝑒𝑛𝛾𝑡 𝑉, 𝑞(0) = 0 𝐶 𝑒 𝑖(0) = 0 𝐴.
29. Calcule la carga del capacitador y la corriente en un circuito 𝐿𝐶 cuando 𝐸(𝑡) =
𝐸0 cos 𝛾𝑡 𝑉, 𝑞(0) = 𝑞0 𝐶 𝑒 𝑖(0) = 𝑖0 𝐴.
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN MARACAY
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
GUIA DE ESTUDIO
PARA LA RESOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Prof. José L. Arana
Prof. Jenny Romero