UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRESFACULTAD DE INGENIERIA

MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOSRal Rigoberto Roque Yujra LA PAZ - BOLIVIA 2006

PROLOGO

Se presenta en este trabajo, una serie de ejercicios resueltos y propuestos de modelado de sistemas dinmicos.

Estos ejercicios han sido elegidos y recopilados de distintos obras relacionadas sobre del rea de sistemas de control.

El presente tiene como objetivo, iniciar estudios de modelos dinmicos de sistemas muy conocidos y utilizados en las ramas de toda la ingeniera.

Se busca que el lector tome como referencia los principios de modelado utilizados en la obra, de manera que sea de ayuda para obtener otros modelos a veces mas fciles y otros de mayor dificultad que se presentan en los cursos normales de modelado, sistemas de control, automatismos, ecuaciones diferenciales y otros propios de una carrera de ingeniera .

R. Roque raulrry@yahoo.com Julio de 2006 La Paz - Bolivia

MODELADO DE SISTEMA DINAMICOS

Problema 1 Considere el sistema elctrico de la figura 1.a) Determine su modelo matemtico. b) Encontrar la representacin en espacio de estados considerando que los estados son x1 = i1 (t ) , x 2 = i2 (t ) y x3 = vc (t ) , la seal de entrada es vi y la seal de salida es v0 .

R1

L1 i1 ic C

L2

+vi

-

+ + i2 vc R2 v0 -

Fig. 1. Sistema Elctrico

Resolucin Mediante las leyes de voltajes de Kirchoff se tiene las siguientes relaciones: (1) di vi = R1i1 + L1 1 + vc dt (2) di v c = L2 2 + v 0 dt A dems por la ley de corrientes: (3) i1 = ic + i2 por otro lado: v dv i2 = 0 ic = C c ; y R2 dt entonces se que el modelo matemtico est definido por : (4) di L1 1 + R1i1 + v c = vi dt (5) di L2 2 + v 0 = v c dt (6) dv C c + i2 = i1 dt b) En vista a las consideraciones iniciales y a las ecuaciones (4), (5) y (6) se tiene : (7) R 1 1 x1 = 1 x1 x3 + u ; L1 L1 L1 (8) R 1 x2 = 2 x2 + x3 ; L2 L2 (9) 1 1 x3 = x1 x 2 ; C C rescribiendo el espacio de estados de forma matricial:

R1 L x1 1 x = 0 2 x3 1 C y = [0 R2

0 R2 L2 1 C

1 L1 x 1 1 1 x2 + 0 u ; L2 x 3 0 0

(10)

x1 0] x 2 ; x3

(11)

Problema 2 Considere el sistema de Nivel de Lquido de la figura 2. En estado estable, el flujo de entrada es qi y el flujo de salida es q 0 . La entrada de perturbacin es q d . Determinar el modelo matemtico de este sistema y elija variables h1 y h2 como estados del sistema y representar el sistema en el espacio de estados.qi qd

C1

h1

R1 q1

C2 h2

R2

q0

Fig. 2 Sistema de Tanques con interaccin

Resolucin Para el tanque primer tanque se tiene la siguiente relacin por el balance de masa: (1) dh qi q1 = C1 1 ; dt para el segundo tanque la relacin es: (2) dh q d + q1 q 0 = C 2 2 ; dt el flujo en la unin de los tanques es: (3) h h2 ; q1 = 1 R1 Ahora reemplazando (3) en (1) y (2), obtenemos el modelo matemtico definido por : (4.a) h h2 dh ; C1 1 = qi 1 R1 dt (4.b) h h2 dh q0 ; C 2 2 =q d + 1 R1 dt para la representacin del sistema en el espacio de estados x = [ h1 cuenta la siguiente relacin: h q0 = 2 ; R2 entonces se tiene: 1 1 1 x1 = x1 + x 2 + qi ; R1C1 R1C 2 C 1 1 1 x1 RC + R C R1C 2 2 2 1 2 o de forma matricial: x2 = 1 x2 + qd ; C2

h2 ] , se toma enT

(5)

(6.a) (6.b)

1 1 1 x1 C R C x1 R1C1 1 1 + 1 x = 1 1 1 x2 2 0 R1C 2 R1C 2 R2 C 2 1 x1 ; y = 0 R2 x 2

0 u 1 ; 1 u 2 C2

(7.a)

(7.b)

Problema 3 Sea el sistema electromecnico que representa a un motor de CD imn permanente, manejado por un voltaje vi aplicado al motor y a su eje se conecta un par de carga c . La salida del sistema es la posicin . Determine su representacin en el espacio de estados. b) Con a) determine la funcin de transferencia del sistema.

R

L i em

+vi

+ -

Jm bm

m

-

c

Fig.3 Motor de CC de imn permanente

Resolucin Para la parte elctrica del sistema: (1.a) di vi = Ri + L + em ; dt (1.b) em = k m ; donde vi es voltaje aplicado en las terminales del motor, i es la corriente armadura, em es la fuerza contraelectromotriz, k m es una constante proporcionalidad, R y L son la resistencia e inductancia del motor. Por otro lado, la parte mecnica se define como: (2.a) J m + bm + c = m ; (2.b) m = kai ; donde J m es la inercia del motor, bm es el coeficiente de amortiguacin viscosa, es el par de carga, m es la par generado por el motor y k a es una constante proporcionalidad. Las variables de estado sern definidas como: x1 = i ; x 2 = ; x3 = Finalmente las ecuaciones en el espacio de estado son: (3.a) k R 1 0 m x1 0 x1 L L v x = 0L 0 1 x2 + 0 0 i ; 2 k b 1 c x3 a 0 m x 3 0 Jm Jm Jm (3.b) x1 x ; y = [0 1 0] 2 x3

de de

cde

b) Para determinar la funcin de transferencia del sistema se hace uso del la ecuacin: Y ( s ) = C.( sI A) 1 B.U ( s ) ; donde cada una de las matrices son definidas por: km R 1 0 L 0 L L A= 0 0 1 ;B = 0 0 ; C = [0 1 0] k b 1 a 0 m 0 Jm Jm Jm entonces: T Matriz de 1 Cofactores ; ( sI A) 1 = det( sI A) de ( sI A) el determinante es: (4) k k b R det( sI A) = s + s s + m + s a m ; JmL J m L

JmL por otro lado la matriz de cofactores: bm s s + Jm ka = J ka s J

det( sI A) =

s

[( Ls + R)( J m s + bm ) + k m k a ] ;km L R s+ ; L R s s + L sT

(5)

(6)0 bm k a k m R + s + s + L Jm JmL 0 Matris de Cofactores de (sI - A) T

Entonces la funcin de transferencia esta definida por:

1 L 0 0 realizando las operaciones de multiplicacin de matrices: Matriz de JmL cofactores ( s) = [0 1 0] s[( Ls + R)( J m s + bm ) + k m k a ] ( sI A)

0 V 0 i ; 1 c Jm

(7)

s bm s + Jm L JmL [0 1 0] k a ( s) = J L s[( Ls + R)( J m s + bm ) + k m k a ] m s ka JmL

8 km JmL R Vi s) 1 s + ; Jm L c ( s ) s R (s + ) Jm L

s

Finalmente, la funcin de transferencia del sistema es:Y ( s) = ( s) =

(9) ka Ls + R Vi ( s ) c ( s ) ; s [ ( Ls + R)( J m s + bm ) + ka km ] s [ ( Ls + R )( J m s + bm ) + ka km ]

Problema 4 Sea el sistema de orientacin de satlite de la figura 4, donde es la posicin angular deseada, l es la distancia del eje del propulsor al centro de masa del satlite, es el ngulo de efecto de control, la variacin del ngulo es proporcional a la seal de control u , R es una constan te que representa una cierta ganancia esttica del actuador que convierte el control u en velocidad de variacin del ngulo y J es la inercia efectiva del satlite. Determinar la representacin del sistema en el espacio de estados. b) Hallar los puntos de equilibrio y linealizar el sistema alrededor de dichos puntos.Orientacin de Referencia

Orientacin Deseada

F

CM

lFig. 4 Sistema de orientacin de Satlite

Solucin Las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento del sistema se obtienen de la segunda ley de Newton: (1) J = Torque neto aplicado = Fuerza x brazo = F sin( ) * l o en forma compacta: (2) J = Fl sin( ) ; el ngulo crece o decrece, de acuerdo al control aplicado mediante la ley de variacin: (3) d = Ru ; dt las variables d estado se escogen como: x1 = ; x 2 = y x3 = ; Entonces el sistema no lineal se describe de la siguiente manera en el espacio de estados: xi = f i ( x1 , x 2 ,..., xi ) + ug ( x1 , x 2 ,..., xi ) ; i = 1,2,...n es decir: (4.a) x1 = x 2 (4.b) Fl x2 = sin( x3 ) J

x3 = Ru

(4.c)

b) El punto de equilibrio fsicamente significativo del sistema, se obtiene igualando a cero el miembro derecho de cada ecuacin de estado. Este resulta ser: x1 = arbitrario ; x 2 = 0 ; x3 = 0 y u = 0 se tiene que la forma lineal matricial es: x = Ax + Bu ; para linealizar el sistema alrededor de estos puntos se determina la matriz Jacobiana del sistema y se evala en los puntos de equilibrio, es decir: (5) f 1 f 1 f 1 0 1 0 0 x1 x 2 x3 0 1 f 2 f 2 f 2 = 0 0 Fl cos( x ) = 0 0 Fl A = JA = 3 x x x3 1 2 0 0 J 0 0 J 0 f 0 3 f 3 f 3 x1 x 2 x3 T (6) g1 g 2 g 3 T B = JB = = [0 0 R ] u1 u1 u1 (7) C = [1 0 0] la representacin matricial en el espacio de estados es: (8.a) x1 0 1 0 x1 0 Fl x = 0 0 x2 + 0 u 2 J x 3 0 0 0 x 3 R (8.b) x1 x y = [1 0 0] 2 x3 Ref:Disertacin : Control No lineal y Linealizacin exacta. Orestes Llanes , Maestria de Sistemas de Control, Facultad de Ingenieria , Carrera de Ing. Electronica, UMSA

Problema 5.Sea el convertidor DC/DC reductor (Buck converter) representado en la figura 5, Determinar el modelo promedio de dicho sistema. (Considere el funcionamiento de modo de conduccin continua) Resolucin.Se considera que tomando en cuenta la base de un esquema de modulacin de ancho de pulso, la conmutacin del switch Q cada periodo de tiempo T es denominado ciclo de trabajo (duty cycle) d (t ) (los valores numricos de d satisfacen 0 d (t ) 1 )

L Q

+Vin

iL DC

+R

v0

-

-

Fig. 5 Convertidor DC/DC Reductor(Buck converter)

de donde se puede extraer las relaciones matemticas de dicho modelo considerando el estado del switch Q . Cuando el switch Q esta en el estado ON , es decir cumple 0 t < dT las ecuaciones que rigen el sistema son: (1) di L 1 = (Vin v0 ) dt L (2) dv0 1 v = (i L 0 ) dt C R y cuando el switch est en OFF lo que quiere decir que dT < t T , las ecuaciones del sistema son: (3) di L 1 = v0 dt L (4) dv0 1 v = (i L 0 ) dt C R tomando como estados a x1 = i L y x 2 = vO , a la entrada u = d (t ) y finalmente la salida a y = vO = x 2 , podemos representa las ecuaciones anteriores como: (5.a) V 1 x1 = x 2 + in u L L (5.b) 1 1 x 2 = x1 x2 C RC (5.c) y = x2 el cual representa el modelo promedio del convertidor DC/DC reductor.

Ref:Mahdavi, Emadi, Toliyat. Application of State Space Averanging Method to Sliding Mode Control of PWM DC DC Converters. IEEE Inductry Applcation Society. 1997

Problema 6.Determinar el modelo matemtico del robot de dos grados de libertad, mostrado en la figura 6. Donde se considera que los parmetros son: l1 y l 2 son las longitudes totales de cada uno de los eslabones, l c1 y l c 2 son las distancias de los centros de masa, I 1 e I 2 son las inercias efectivas de cada uno, m1 y m 2 son las masas y finalmente q1 y q 2 son las posiciones articulares de cada eslabn referido al sistema referencial de base y adems se tiene en cada articulacin torques de control 1 y 2.

y

l2 lc 2 l1 l c1 I 1 , m1 q1 q2 I 2 , m2

xFig.6 Estructura del Robot de dos grados de Libertad

Resolucion.Considrese un robot manipulador de dos grados de libertad de la figura 6, se utiliza el mtodo de Lagrange para determinar, la dinmica del robot. Suponiendo que existe rigidez en las articulaciones y eslabones; tambin la no existencia de fenmenos de friccin ni elasticidad; se procede a determinar las energas cintica y potencial de todo el sistema. La energa cintica total de la estructura es: 1 1 1 E c = I 1q12 + m1l c1q12 + I 2 (q1 + q 2 ) 2 + 2 2 2 1 (1) 2 2 2 2 ;+ 2 m2 l1 q1 + l c 2 (q1 + q 2 ) + 2l1l c 2 q1 (q1 + q 2 ) cos q 2

[

]

y la energa potencial se define como: E p = gm1l c1 sin(q1 ) + gm2 l1 sin(q1 ) + gm2 l c 2 sin(q1 + q 2 ) ;

(2)

El Lagrangiano L del robot, es la diferencia de la energa cintica y la energa potencial, entonces:L= 1 1 1 1 I 1 q12 + m1l c1 q12 + I 2 ( q1 + q 2 ) 2 + m2 l12 q12 + l c22 (q1 + q 2 ) 2 + 2 2 2 2

[

]

(3) + m2 l1l c 2 q1 (q1 + q 2 ) cos q 2 gm1l c1 sin(q1 ) gm2 l1 sin(q1 ) gm2 l c 2 sin(q1 + q 2 ) ; Las ecuaciones del movimiento de Lagrange para un robot de dos grados de libertad estn dadas por: (4.a) d L L = 1 ; dt q1 q1 (4.b) d L L =2; dt q 2 q 2 donde 1 y 2 son los torques que actan en las articulaciones 1 y 2 , ahora se realiza el clculo de cada uno de los trminos como sigue: (5.a) L = ( I 1 + m1l c21 )q1 + I 2 (q1 + q 2 ) + m2 q1l12 + l c22 (q1 + q 2 ) + l1l c 2 (2q1 + q 2 ) cos(q 2 ) ; q1 (5.b) L = I 2 (q1 + q 2 ) + m2 l c22 (q1 + q 2 ) + l1l c 2 q1 cos(q 2 ) ; q 2 derivando respecto al tiempo: d L ( ) = ( I 1 + m1l c21 )q1 + I 2 (q1 + q 2 ) + m2 q1l12 + l c22 (q1 + q 2 ) + dt q1 2 (6.a) + m2 l1l c 2 (2q1 + q 2 ) cos(q 2 ) l1l c 2 (2q1q 2 + q 2 ) sin(q 2 )

[

]

[

]

[

]

(6.b) d L ( ) = I 2 (q1 + q 2 ) + m2 l c22 (q1 + q 2 ) + l1l c 2 q1 cos(q 2 ) l1l c 2 q1q 2 sin(q 2 ) ; dt q1 la derivada parcial respecto a cada posicin es: (7.a) L = m1lc1 g cos(q1 ) m2 l1 g cos(q1 ) m2 l c 2 g cos(q1 + q 2 ) ; q1 (7.b) L = m2 l1l c 2 q1 (q1 + q 2 ) sin(q 2 ) mlc 2 g cos(q1 + q 2 ) ; q 2 reemplazando las ecuaciones se obtiene : m1l c21 + m2 (l12 + l c22 + 2l1l c 2 cos(q 2 )) + I 1 + I 2 q1 + I 2 + m2 (l c22 + l1l c 2 cos(q 2 )) q 2

[

]

[

] [

]

2 (2q1q 2 + q 2 )m2 l1l c 2 sin(q 2 ) + (m1l c1 + m2 l1 ) g cos(q1 ) + m2 l c 2 g cos(q1 + q 2 ) = 1

(8.a)

+ m2 lc22 + m2 l1lc 2 cos(q 2 ) q1 + I 2 + m2 l c22 + m2 l1l c 2 q12 sin(q 2 ) + (8.b) + m2 l c 2 g cos(q1 + q 2 ) = 2 ; expresando este par de ecuaciones diferenciales, en la forma matricial: (9) D ( q ) q + C ( q, q ) q + G ( q ) = ; (10) d11 d12 q1 c11 c12 q1 g1 1 d q + c q + g = ; 21 d 22 2 21 c 22 2 2 2 la matriz de inercias D(q ) es definida por los elementos; (11.a) d11 = m1l c21 + m2 (l12 + l c22 + 2l1l c 2 cos(q 2 )) + I 1 + I 2 ;2

[I

] [

]

d12 = m2 (l c22 + l1l c 2 cos(q 2 )) + I 2 ; d 21 = m2 (l c22 + l1l c 2 cos(q 2 )) + I 2 ; d 22 = m l + I 2 ;2 2 c2

(11.b) (11.c) (11.d)

los elementos de la matriz C (q , q ) de fuerzas centrpetas y de Coriolis son: (12.a) c11 = m2 l1l c 2 q 2 sin(q 2 ) ; (12.b) c12 = m2 l1l c 2 (q1 + q 2 ) sin(q 2 ) ; (12.c) c 21 = m2 l1l c 2 q1 sin(q 2 ) ; c 22 = 0 ; (12.d) y pares gravitacionales G (q) : (13.a) g1 = m1lc1 g cos(q1 ) + m2 l1 g cos(q1 ) + m2 l c 2 g cos(q1 + q 2 ) ; (13.b) g 2 = m2 l c 2 g cos(q1 + q 2 ) ; de esta forma se ha determinado el modelo del robot planar de dos grados de libertad. Ref: Roque. Control Adaptivo de Seguimiento de Trayectorias de Robots Manipuladores. Carrera de Ing. Electronica. Facultad de Ingenieria. Univ. Mayor de San Andres. 2002.

Problema 7 Considere el sistema de la figura, la misma que representa a un sistema de Depsitos Trmicos en Serie: q, TiTe q

V

R

T1

T2

Fig. 7. Depsitos Trmicos en serie

donde Ti y q , son la temperatura y el flujo del liquido de entrada; V , R son el voltaje y la resistencia del calefactor; T1 y T2 son las temperaturas en cada depsito y Te es la temperatura ambiente. Obtener un modelo matemtico que relacione la temperatura T2 con las variables de entrada q y V . Se debe considerar que la densidad del liquido es constante, la temperatura en el primer deposito es uniforme (debido al agitador) y el primer deposito tiene aislamiento perfecto. El flujo del lquido hacia el segundo lquido es por rebalse. Resolucin.Se aplica balance de energa en el primer depsito y se tiene: (1) d (m1 H 1 ) V2 = qH i qH 1 + dt R Donde H1 es la entalpa del liquido, que esta definida como H 1 = C eT1 y m1 = A1 h1 , entonces: (2) dT V2 A1 h1 1 = q (Ti T1 ) + dt C e R Para el segundo depsito, repitiendo el procedimiento anterior: (3) d (m2 H 2 ) = qH 1 qH 2 (T2 Te ) dt como H 2 = C eT2 y m2 = A2 h2 se tiene: (4) dT A2 h2 2 = q (T1 T2 ) (T2 Te ) dt ce donde es una constante. Las ecuaciones que representan al sistema son: (5.a) dT1 V2 A1 h1 = q (Ti T1 ) + dt C e R

A2 h2

d T2 = q (T1 T2 ) (T2 Te ) dt ce

(5.b)

y es un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales acopladas. Para que se haga posible el uso de las herramientas desarrolladas en el control lineal, es necesario que este modelo sea lineal alrededor de un punto de operacin (set-point). Este modelo matemtico, puede ser escrito en variables de estado, tomando a x1 = T1 , x 2 = T2 ; como entradas de control a u = V 2 ,y w = q , con todo ello se tiene: (6.a) T x1 1 x1 = i w+ u; A1 h1 A1 h1 C e R (6.b) Te x x2 x2 x2 = 1 w + ; A2 h2 A2 h2 C e A2 h2 C e en forma compacta matricial: (7.a) Ti x1 1 0 x1 x 2 + A h C R u + A1 h1 w = Te x 1 1 e x1 x 2 2 A2 h2 C e A2 h2 C e 0 A2 h2 (7.b) y = x2 si se considera que w = W = cte > 0 lo que significa que el flujo sea estatico en todo momento, entonces: (8.a) Ti x1 W 1 A1 h1 x1 u + x = W W Te A1 h1 C e R 2 0 A h x1 A h + A h C x 2 + A h C 2 2 e 2 2 e 2 2 2 2 (8.b) y = x2

Problema 8 Sea el Sistema de Levitacin Magntica como el de la figura 8, el cual consiste en suspender una esfera en el aire mediante un a fuerza electromagntica producida por un electroimn. R

L(x)

V (t )

x MFig. 8 Sistema de Levitacin Magntica.

La esfera tiene una masa M , el electroimn tiene una resistencia R y una inductancia L(x) variable en el tiempo segn la posicin de la esfera, la entrada al sistema se define como el voltaje al electroimn y la salida es la posicin de la a esfera. La inductancia puede modelarse como L( x) = L0 + , donde L0 , a y b b+x son constantes positivas. a.) Determinar la representacin matemtica de dicho sistema. b.) Representar lo hallado en a) en el espacio de estados. Resolucin.a) Segn la segunda Ley de Newton: Mx = Mg + Fmag ; Tomando la energa almacenada en la inductancia como E ( x, i ) = magntica Fmag queda definida por:

(1)

1 L( x)i 2 , la fuerza 2(2)

a i2 E ( x, i ) Fmag = = ; x 2(b + x) 2 Para el circuito magntico se aplica la ley de tensiones de Kirchhoff d ( ) + Ri = Vi ; dt donde = L( x) i es el flujo magntico. Entonces el modelo matemtico del sistema queda definido como: ai2 Mx = Mg ; 2(b + x) 2 di axi L( x) + Ri = Vi ; dt (b + x) 2

(3)

(4.a) (4.b)

b) Segn las ecuaciones (4.a) y (4.b) se establecen las variables de estado x1 = x , x 2 = x y x3 = i , la entrada u = Vi y la salida y = x1 entonces se tiene la representacin en el espacio de estados: (5.a) x1 = x2 ; 2 (5.b) ax3 x2 = g 2M ( x1 + b) 2 (5.c) Rx3 ax2 x3 x1 + b x3 = + + u 2 L( x1 ) L( x1 )(b + x1 ) a + L0 ( x1 + b) (5.d) y = x1 ; Ref.: Mazzone V.. Sistema de Suspensin Magntica. Ingeniera en Control y automatizacin Industrial. Universidad Nacional de Quilmes

Problema 9 Sea un motor de CC de excitacin independiente como el de la figura (1) , este tiene excitacin externa de campo. Modelar matemticamente este sistema y hallar su representacin en el Espacio de Estados. Tomar en cuenta que la curva de magnetizacin del motor es lineal.ia RaRf

La

+Vi

a

Vf

+ if -

+fvcfem

Bw TL Tm

-

-

Fig. 9 Motor CC de excitacin independiente

Solucin.En primera instancia se analizar el motor CC sin ninguna conexin, entonces para el circuito de la armadura se tiene: (1) di La a + Ra ia + vcfem = Vi ; dt el voltaje vcfem inducido por el motor es proporcional al flujo de campo y la velocidadw del motor, esto es: vcfem = c1 f w ;

(2)

Para el circuito del campo: (3) d f + Rf if = Vf ; dt el flujo de campo es funcin de la corriente de campo i f , es decir f = f (i f ) ; para este caso se tiene que es lineal entonces f = L f i f . La parte mecnica del sistema esta dada por (4) dw J = Tm TL ; dt donde Tm es proporcional a la corriente ia de la armadura y al flujo del campo f , esto es Tm = c 2 f ia . Luego la dinmica completa del sistema esta dada por: di La a + Ra ia + c1 f w = Vi ; dt di f Lf + Rf if = Vf ; dt dw J = c 2 f i a T L ; dt (5.a) (5.b) (5.c)

Considerando como variables de estado x = ia c Ra 1 x1 l f x3 + u1 ; La La La R 1 x2 = f x2 + V f ; Lf La x1 = x3 = c2 f J y = x3 ; x1 1 u2 ; J

if

, u = [Vi T ] T

(6.a) (6.b) (6.c) (6.d)

Problema 10 Sea el sistema de movimiento de brazo de un robot, donde el brazo est controlado por un motor de CC mediante acoplamientos de engranes tal como lo muestra la figura

Lm

Rm Bm Jm

+ iVi

m

N

-

l

I,mFig. 10 Brazo de Robot Monoarticular

donde Rm es la resistencia del motor, Lm es la inductancia del motor, Vi es la tensin aplicada al motor, Bm es el coeficiente de viscosidad del motor, J m es la inercia del motor, m es la posicin angular del eje de motor, N es la relacin de engrane o reduccin, es la posicin angular del brazo, l es la distancia del centro de giro al punto de inercia, I es la inercia del brazo robtico , finalmente m es la masa del brazo. Se pide a) determinar el modelo matemtico del sistema motor-brazo y b) elegir las variables de estado necesarias y hallar la representacin en el espacio de estados dicho sistema. Resolucin.Segn las Leyes de Kirchhoff se tiene que di Vi = L + Ri + em ; dt donde em = K m m , para la parte mecnica del motor se tiene:

(1)

m = J m + Bm + c ;

(2)

adems: (3) m = K ai ; (4) 1 c = , N por otro lado, utilizando la Segunda Ley de Newton para la parte del brazo robotico, se obtiene que : (5) = I + B + mgl sin ; reemplazando (3), (4) y (5) en (2) , se tiene: 1 K i i = J m m + Bm m + ( I + B + mgl sin( )) ; N Finalmente el modelo se reduce a:

(J m N 2 + I ) L

d d 2 + ( Bm N 2 + B ) + mgl sin = NK a i 2 dt dt

(6.a) (6.b)

di + Ri + K m N = Vi dt

b) Se toma como variables de estado a x1 = , x 2 = y x3 = i , la entrada de control es u = Vi y la salida es la posicin angular, entonces y = x1 . Entonces la representacin en le espacio de estados del sistema est definido como:x1 = x 2

x2 =

1 NK a x3 ( Bm N 2 + B) x 2 + mgl sin x1 JmN 2 + I x3 = Rx3 K m Nx 2 + u y = x1

[

]

(7.a) (7.b) (7.c) (7.d)

Problema 11 Sea el sistema de la figura 11, que representa a un tanque con forma cnica, al cual ingresa un flujo de entrada q1 y un flujo de salida q 0 definida de la formaq0 = km gh(t ) . a) Determinar el modelo matemtico del dicho sistema en funcin de la altura h(t ) . b) Hallar su representacin en ecuaciones de estado. c) Hallar los puntos de equilibrio del sistema.

qi (t ) R

A(t )h(t )

L

q0 (t )Fig. 11. Sistema de nivel de lquido.

Resolucin.Mediante la ley de la conservacin de la materia : Entrada Salida = Acumulacin entonces se tiene: (1) dV (h) ; qi q0 = dt donde m es la masa y V es el volumen del liquido en el tanque. Sabemos que el volumen del liquido es: (2) V (t ) = A(t )h(t ) ; mediante las condiciones del tanque:

R

L de donde se tiene que: R tan = ; L por otro lado el rea transversal es: A(t ) = * r 2 (t ) ;

(3)

(4)

por igualdad de tringulos: r (t ) = tan * h(t ) ; R r (t ) = h(t ) ; L reemplazando en el rea: R 2 h 2 (t ) ; A(t ) = L2 entonces el volumen es: R 2 h 3 (t ) ; V (t ) = L2 reemplazando las relaciones anteriores 3 R 2 dh 2 qi km g h(t ) = 2 h 2 (t ) ; L dt

(5.a) (5.b)

(6)

(7)

(8)

podemos entonces escribir : h 2 h + h = qi ; donde = 3 R 2 y = km g L2 luego el modelo en espacio de estados esta dado por: 1 x= + 2u; x3 x Fcilmente se puede ver que el punto de equilibrio esta dado por: q xe = ie ;

(9)

(10)

(11)

Es claramente visible que las anteriores representan un sistema de tipo no lineal de primer orden. Muchos procesos reales encontrados en la industria tienen este tipo de sistema, conocer su comportamiento es necesario y de mucha importancia a la hora de realizar cierto tipo de automatizacin o control de sistemas que incluyen este tipo de proceso.

Problema 12.Sea el sistema de lazo abierto de la figura 12, el nivel de liquido h(t ) es controlado mediante una electrovlvula proporcional la misma que es accionada por un motor DC de excitacin independiente con amplificador. La altura o nivel del tanque es dada por la ecuacin: dh(t ) = 1.6 (t ) h(t ) ; dt R LVi

Kp

e(t )b Jm

(t )

h(t )Fig. 12 Sistema de control de electrovlvula.

Determinar , a) la representacin matemtica del sistema considerando la dinamica de h(t ) , b) la funcin de transferencia del sistema. Resolucin Para la parte del motor se tiene las siguientes relaciones: di K pVi = Ri + L + e(t ) ; dt d ; e(t ) = K v dt d 2 d = K mi ; Jm 2 + b dt dt Reemplazando la dinmica de la variable =

(1.a) (1.b) (1.c)

1 dh + h 1.6 dt (2.a) (2.b)

K pVi = Ri + L

di K v dh + + h ; dt 1.6 dt

J m d 2 dh b d dh + h + + h = K mi ; 2 1.6 dt dt 1.6 dt dt

Simplificando se obtiene:

L

K dh K v dh di + Ri + v + h = K pVi ; 1.6 dt 1.6 dt dt d 3h d 2h dh + ( J m + b) 2 + b = 1.6 K mi ; 3 dt dt dt x4 ] = h

(3.a)

Jm

(3.b)

Considerando como estados x = [ x1

x2

x3

dh dt

d 2h dt 2

i obtenemos el

modelo en el espacio de estados del sistema:

x1 = x2 ; x2 = x3 ; 1 x3 = [ bx2 ( J m + b) x3 + 1.6 K m x4 ] ; Jmx4 = K 1 Kp x1 v x2 Rx4 + K p u ; 1.6 L 1.6

(4.a) (4.b) (4.c) (4.d) (4.e)

y = x1 ;

Ref: Dorf, Bishop. Modern Control Systems. Addison-Wesley. 7th edition.

Problema 13 Sea el sistema

Ti x1 1 0 x1 x 2 + A h C R u 2 + A1 h1 w ; = Te x e 1 1 x1 x 2 2 A2 h2 C e A2 h2 C e 0 A2 h2 Hallar los puntos de equilibrio del sistema, donde Ti , W , A1 , A2 , h1 , h2 , , R , y C e son constantes y u , w son entradas del sistema, para ello considere los valores: Ti = 30 , Te = 10 , C e R = K 1 = 173.3 , A1 h1 = 1m 3 , A2 h2 = 1m 3 , C e = K 2 = 0.714 , u = 228 , w = 5 . Linealizar el sistema no lineal alrededor de los anteriores puntos de equilibrio y determinar adems la funcin de transferencia total del sistema mediante el uso de los comandos ss y tf de Matlab. Dibuje un diagrama de bloques para dicha funcin de transferencia.Solucin.En primer lugar la forma compacta del sistema es: x = f ( x, u , v ) ; con: f ( x, u , w) f ( x, u , w) = 1 ; f 2 ( x, u , w)

(1) (2)

los puntos de equilibrio del sistema se hallan haciendo la dinmica sea nula, es decir: (3) Ti x1 1 0 Ah 0 Te x 2 + A h C R u 2 + 1 1 w ; 0 = 1 1 e x1 x 2 A2 h2 C e A2 h2 C e 0 A2 h2 luego los puntos de equilibrio quedan definidos por las relaciones: u u2 = Ti + ; x1 = Ti + wC e R wK 1 Te + wx1 K T + wx1 C e ; = 2 e x2 = K2 + w +w C e reemplazando valores numricos, los puntos de equilibrio son: x1 = 90 ; x 2 = 80 ; El modelo lineal del sistema estar dado por: x g = Ax g + B1u g + B2 wg ; (4.a) (4.b)

(5.a) (5.b) (6.a) (6.b)

y g = Cx g ;

donde: x g = x x , u g = u u , wg = w w , y g = y y f1 x A= 1 f 2 x1 f1 x 2 f 2 x 2 f1 ; B1 = u f 2 x= x u u =uw= w

y adems:

x= x u =u w= w

f1 ; B2 = w f 2 w

;x= x u =u w= w

realizando las operaciones se tiene que: 1 w w 0 0 Ah A h ; = 1 1 A= 1 1 K2 + w 1 w K2 + w w x= x A2 h2 A2 h2 u =u A2 h2 A2 h2 w= w

(7.a)

2u A h C R B1 = 1 1 e 0

x= x u =u w= w

2u = A1 h1 K 1 ; 0

(7.b)

Ti x1 Ah B2 = 1 1 x1 x 2 A2 h2

x= x u =u w= w

Ti x1 Ah = 1 1 ; x1 x 2 A2 h2

(7.c)

reemplazando los valores numricos respectivos el modelo lineal es: 0 5 2.63 60 xg = x g + 0 u g + 10 wg ; 5 5.714 y g = [0 1]x g ;

(8.a) (8.b)

el siguiente Script en Matlab determina la funcin de transferencia del sistema% Sistema de Tanques Termicos % Linealizacion alrededor de puntos de equilibrio % Tomando en cuenta las dos entradas: Flujo y Voltaje A1 = 1; A2 = 1; h1 = 1; h2 = 1; Ti = 30; Te = 10; x10 = 90; x20 = 80; u0 = 228; v0 = 5; k1 = 173.28; k2 = 0.714;

a11 = -v0/(A1*h1); a12 = 0; a21 = v0/(A2*h2); a22 = -v0/(A2*h2) - k2/(A2*h2); % Matriz de estado A = [a11 a12;a21 a22]; % Matriz de entrada b11 = 2*u0/(A1*h1*k1); b12 = (Ti-x10)/(A1*h1); b21 = 0; b22 = (x10-x20)/(A2*h2); B = [b11 b12;b21 b22]; % MAtrices de entrada por separado B1 = [b11;b21]; B2 = [b12;b22]; % Matriz de salida c1 = 0; c2 = 1; C =[c1 c2]; % Matriz de acoplamiento D = [0 0]; % Funcin de transferencia sla = ss(A,B,C,D); ftsla = tf(sla)

que da como resutado: 13.16 10s 250 G(s) = 2 U (s) + 2 W ( s) ; s + 10.17 s + 28.57 s + 10.17 s + 28.570 finalmente el diagrama de bloques es:W (s )

(9)

10s 250 s + 10.17 s + 28.572

U (s )

13.16 2 s + 10.17 s + 28.57

+ +

T2 ( s )

Fig 13. Representacin en Diagrama de Bloques

Problema 14 El mecanismo de la figura representa un sistema de mando electromecnico capaz de generar una fuerza en la pieza de hierro mvil de masa M . El dispositivo suministra un procedimiento para controlar el movimiento x(t ) a partir de la tensin v(t ) y de la fuerza exterior aplicada F (t ) . La bobina inductora de N espiras genera un campo magntico B entre el estator y la pieza mvil. En el extremo del estator hay un pequeo resalte de un material no ferromagntico (como el latn), cuya permeabilidad se supone igual a la del aire en el entrehierro Bl = Beh . Las perdidas de flujo magntico debidas a la dispersin se desprecian. La longitud de la pieza de latn es d y de espesor del entrehierro es la variable x(t ) , siendo S la seccin trasversal. Considere que la separacin mxima entre la pieza de latn y la pieza mvil es y que el resorte se modela respecto la movimiento de la pieza mvil como kx + ckx3 . Determinar el modelo matemtico considerando las siguientes coordenadas generalizadas x(t ) , q (t ) y i (t ) = dq(t ) / dt siendo i (t ) la corriente en el circuito y q (t ) la carga elctrica. Rgi (t )

Rs S N

x(t )

F (t )k

dM

v(t )

Bl BehFig.14 Sistema de Mando Elctrico

Pieza Movil

b

Solucin.En la solucin de este problema se utilizara el concepto de energa. Para una pieza de hierro de longitud l y area trasversal S , su reluctancia magntica esta dada por: (1) l Rm = ; 0 = 4 107 H / m ; 0 S Siendo 0 la permeabilidad del vaco y la del hierro, que al ser un material ferromagnetico su valor es muy grande. Luego la tension magntica viene dada por: (2) = Rm ; Siendo el flujo magntico. Esta tensin es relativamente pequea comparada con la que es generada por el laton y el entrehierro; por tanto , prcticamente toda la caida de tension magntica se produce en el latn y en el entrehierro. Luego aplicando la Ley de Ampere se determina que el flujo magntico en el entrehierro es: (3) l + eh = Ni H e d + H eh x = Ni ;

H l H eh H =

Ni ; d+x

(4)

Y teniendo en cuenta la relacion entre el campo magntico H y la induccin x(t ) se deduce: (5) NSi ; B = 0 H = BS = 0 d+x Por otro lado la energia debida solamente la campo magntico suponiendo x(t ) constante ser: t (6) d (t ) Wm (t ) = N i (t )dt ; dt 0 (7) N 2 Si 2 Wm (t ) = 0 ; 2(d + x) La energa cintica total del sistema magntico y mecnico es: N 2 Sq 2 1 2 aq 2 1 = Mx + ; T = Mx 2 + 0 2 2(d + x) 2 (d + x)

(8)

El muelle de constante x(t ) se supone de valor grande, de forma que la energa potencial se modela a travs de la ecuacin: (9) c 1 V = K ( x )2 + ( x )4 ; 4 2 En donde x = b el muelle no ejerce ninguna fuerza. La fusin de disipacin de Rayleigh viene dada por: (10) 1 1 = Bx 2 + ( Rg + Rs )q 2 ; 2 2 Luego el lagrangiano es: (11) 1 aq 2 c 1 K ( x )2 + ( x )4 ; L = T V = Mx 2 + 2 4 d+x 2 Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange (12) d L(q, q ) L(q, q ) (q ) + = Qqi ; qi qi dt qi Entonces se tiene las ecuaciones: (13.a) ai 2 3 = 0; Mx + bx + k ( x ) + cK ( x ) 2 (d + x) (13.b) 2a di 2aix + Rgs i = v(t ) ; 2 d + x dt (d + x) Pasando a variables de estado x1 = x , x2 = x y x(t ) se obtiene: (14) x1 = x2

x2 = x3 =

2 ax3 b k ck ; x2 ( x1 ) ( x1 )3 M M M M (d + x1 ) 2

x2 x3 Rg s (d + x1 ) d + x1 x3 + v(t ) d + x1 2a 2a

Donde Rgs = Rg + Rs . Ref: Prez, Berna. Dinmica y control No lineal de un trasductor electromecnico de posicin lineal. Departamento de Fsica Ingenieria de Sistema y Teoria de la Seal .Universidad de Alicante

Problema 15. Considere el movimiento en el plano de un satlite girando en el campo gravitacional inverso al cuadrado del radio de la tierra. Por simplicidad el satlite se aproxima como una partcula de masa M . La fuerza gravitacional ejercida sobre el satlite es gR 2 M , donde g es la constante gravitacional de la tierra, R es el radio de la Fg = r2 tierra y r es la distancia del centro de la tierra al satlite. Suponga que el satlite se controla mediante dos impulsores F1 en la direccin radial y F2 en la direccin tangencial. Determinar el modelo en el espacio de estados del sistema

F 1

MF2Fg

r

R

Fig. 15 Satlite en el campo de gravedad de la tierra

Solucin.Por simplicidad se realiza el tratamiento en coordenadas polares, adems se observa que como las direcciones de impulsin estn girando de manera continua, las leyes de Newton debe aplicarse de manera especial. El marco referencial definido por estas direcciones no es inercial. Entonces se representar todas las variables en forma de nmeros complejos, por lo tanto se define como el vector de posicin del vehiculo de la forma r = re j , el vector de fuerza radial es: (1) F1 = F1e j ; El vector de la fuerza tangencial es: F2 = F2e j ( +90 ) = jF2 e j ; El vector de la fuerza gravitacional es: gR 2 M j Fg = e ; r2 El vector de la fuerza inercial es: d 2r M 2; dt Por la ley de Newton se tiene: d 2r d2 F1 + F2 + Fg = M 2 = M 2 r (t )e j ( t ) ; dt dt (2) (3)

(4)

(5)

Reemplazando cada una de las relaciones: gR 2 M j j j F1e + jF2 e e = M re j + 2 jr e j + jr e j r 2 e j ; 2 r Se iguala partes real e imaginaria y produce las relaciones: gR 2 M ; F1 = Mr Mr 2 + r2 F2 = 2Mr + Mr ;

(6)

(7.a) (7.b)

En muchos casos es necesario realizar normalizacin de las variables, por lo tanto F t r defnase las siguientes cantidades adimensionales: = , = , u1 = 1 , Mg R R g F u2 = 2 . Entonces el modelo en el espacio de estados considerando Mgx = [ x1 x2 x3 x4 ] = T

est definido por: (8.a) (8.b) (8.c) (8.d) (8.e)

T

x1 = x3 ; x2 = x4 ; 1 + u1 ; x12 2x x 1 x4 = 3 4 + u2 ; x1 x2 y = x1 ;2 x3 = x1 x4

Ref: Lewis. Sistemas de Control Continuo. Prentice Hall, 2002

Problema 16.Sea el sistema electrnico de la figura, que muestra una estructura bsica de los osciladores electrnicos. El inductor y capacitor se asumen como lineales e invariantes en el tiempo, esto es L > 0 y C > 0 . El elemento resistivo es un circuito activo cuya curva caracterstica est dada por i = h(v) donde h(.) , satisface la condicin h(0) = 0 y h(0) < 0 . Asumiendo que i = h(v) es una realizacin de un 1 circuito de dos diodos tunel h(v) = v 3 v . Determinar la representacin de dicho 3 sistema en el espacio de estados.i (t )iC iL

i (t )

i (t )

C

vC

v(t )

v(t )

Fig. 16.a Oscilador

Fig.16.b Caraceristica i = h(v )

Fig. 16.c Resistencia

Solucin.Por la ley de corrientes de Kirchoff ic + iL + i = 0 ; Por lo tanto; t dv 1 C + v( s )ds + h(v) = 0 ; dt L Ahora se deriva respecto al tiempo: d 2v dv LC 2 + v + Lh(v) = 0 ; dt dt Por simplicidad se realiza el siguiente cambio de variable temporal =

(1) (2)

(3)

t : LC(4.a) (4.b)

dv dv ; = LC d dt d 2v d 2v = LC 2 ; d 2 dt Se obtiene entonces: d 2v L dv + h(v) + v = 0 ; 2 d C d Se sabe que h(v) = v 2 1 entonces: d 2v dv (1 v 2 ) + v = 0; 2 d d

(5)

(6)

Esta ltima tiene la forma de la ecuacin de Vander Pol que fue estudiada en circuitos con tubos de vaco. Ahora definamos como variables de estado x = [ x1

x2 ]

T

= v

dv : d (7.a) (7.b)

T

x1 = x2 ; x2 = x1 + (1 x1 ) x2 ;Ref: Khalil, Nonlinear Systems Second Edition

Problema 17.Sea el sistema microactuador electrostatico de la figura 17, el cual es actuado mediante el control del voltaje de entrada v(t ) ; en dicha figura el resorte k y el amortiguador b , representan la flexibilidad y amortiguamiento del montaje. El sistema dispone de placas separadas inicialmente una distancia X 0 cuando v(t ) = 0 . Si las placas tienen una area A , masa M y la separacin entre estas esta definida como x , determinar el modelo en espacio de estados de dicho sistema.

k

bMx

R

i (t )

X0

v(t )

Fig. 17 Microactuador Electrosttico

Solucin.En un par de placas de rea A y separadas por una distancia x(t ) , existe una capacitancia definida por: (1) A C= ; x(t ) donde v(t ) es la constante de permeabilidad entre las placas. El voltaje en un capacitor es proporcional a la carga del mismo, esto es: (2) q(t ) q (t ) x(t ) = ; vC = A C La corriente en el capacitor es directamente proporcional a la variacin de la carga:

iC =

dq(t ) = i; dt

(3)

Por la ley de voltajes de Kirchoff q(t ) x(t ) ; v(t ) = Ri (t ) + vC (t ) = Ri (t ) + A Resolviendo para la variacin de carga: dq (t ) 1 q (t ) x(t ) = v(t ) ; A dt R Para la parte mecnica del sistema, segn la ley de Newton:

(4)

(5)

d 2 x(t ) dx(t ) +b + k ( x(t ) X 0 ) = FC (t ) ; 2 dt dt Donde la fuerza electrosttica de atraccin esta dada por: q 2 (t ) ; FC (t ) = 2 A Por lo tanto el modelo matemtico del sistema es: dq (t ) q(t ) x(t ) 1 + = v(t ) ; AR dt R 2 d x(t ) dx(t ) 1 2 M +b + k ( x(t ) X 0 ) = q (t ) ; 2 dt dt 2 A MEligiendo como variables de estado x = [ x1

(6)

(7)

(8.a) (8.b)

x2

x3 ]

T

= q(t ) x(t )

dx(t ) se obtiene dt (9.a) (9.b) (9.c) (9.d)

T

el siguiente modelo en el espacio de estados: 1 1 x1 = x1 x2 + u ; AR R x2 = x3 ; b k 1 2 x3 = x3 ( x2 X 0 ) + x1 ; M M 2 A y = x2 ;

Ref: Maitharipala D, Jordan B, Dayawansa W. Nonlinear Dynamics Output Feedback Stabilization of Electrostatically Actuated MEMS. Proceeding of the IEEE Conference on Decision and Control, Hawaii, USA, December 2003.

Problema 18.Considere el tanque reactor continuamente agitado mostrado en la figura, donde ocurre una reaccin exotrmica A B , la cual es refrigerada por medio de una sustancia refrigerante que fluye a travs de una chaqueta alrededor del reactor. Determine el modelo matemtico del sistema reactor. Sugerencia: Considere la masa total de la mezcla reactiva, la masa del qumico A en la mezcla reactiva y la energa total de la misma.C Ai , Ti , Fi

FC , TC o

FC , T C i

CA , T , F

Solucin.Aplicamos los principios de conservacin de energa para las tres cantidades fundamentales. Balance total de masa: (1) Acumulacion total de masa = Entrada total Salida total Masa total de masa consumidao generada ; de masa del sistema Es decir: d ( V ) = i Fi F 0 ; dt (2)

Donde i , son las densidades de entrada y salida; Fi , F son tasa de flujo volumtrico de la entrada y la salida; y V es el volumen del tanque. Balance de Masa sobre el componente A: Acumulacion Entrada total Salida total Consumo de A (3) Componente A = de Componente A de Component A debido a la reaccion ;

Es decir: (4) d ( nA ) d (C AV ) = = C Ai Fi C A F rV ; dt dt Donde r es la tasa de reaccin por unidad de volumen; C Ai , C A son las concentraciones molares de A a la entra y salida del reactor; nA es el numero de moles del quimico A en la mezcla reactiva. La tas de reaccin puede ser definida por: E (5) RT ( t ) r = k0 e CA ; Balance Total de Energa: Acumulacion Energia total Energia total Energia disipada total de Energia = de entrada de salida por el refrigerante ; (6) Sabemos que la energa total del sistema esta dada por: E =U + K + P ;

(7)

Donde U es la energa interna, K es la energa cinetica y P es la energa potencial. Se supone el reactor libre de movimiento entonces: (8) dE d (U + K + P ) dU ; = = dt dt dt Como el sistema es lquido se realiza la aproximacin: (9) Acumulacion Acumulacion total de Energia total de Entalpia ; Es decir: (10) dU dH ; dt dt Por lo tanto se tiene: (11) dH = i Fi hi (Tt ) Fh(T ) Q ; dt Donde hi (Ti ) es la entalpa especfica de la alimentacin, h(T ) es la entalpa especfica de salida y Q es la cantidad de calor removida por el refrigerante. Como es sabido la entalpa en un lquido es funcin de la temperatura y de su composicin: (12) H = H (T , nA , nB ) ; Donde nA y nB son los moles de A y B en el reactor. (13) dH H dT H dnA H dnB ; = + + dt T dt nA dt nB dt H H H Se conocen las relaciones = VC p , = HA , = H B , donde C p es la T nA nB capacidad calorfica de la mezcla reactiva; H A y H A son las entalpas molares de A y B respectivamente. Por otro lado (14.a) dnA dC AV = = C Ai F C A F rV ; dt dt

dnB dCBV = = 0 Cb F + rV ; dt dt Entonces dH dT = VC p + H A [C Ai Fi C A F rV ] + [ CB F + rV ] ; dt dt Despejando dT VCP = H A [C Ai Fi C AF rV ] H B [ CB F + rV ] ; dt Por conceptos qumicos sabemos que: i Fi hi (T ) = Fi i hi (T ) + i C pi (Ti T ) = Fi C Ai H A + i CPi (Ti T ) ;

(14.b)

(15)

(16)

(17.a) (17.b)

Fh(T ) = F C A H A + CB H B ;

Reemplazando estas ltimas en () se obtiene: (18) dT VCP = Fi i CPi [Ti T ] + H A H B rV Q ; dt Asumiendo la densidad permanece constante, podemos tambin decir que el termino H A H B = ( H r ) es el calor de la reaccin a la temperatura TdT H r 1 = Fi [Ti T ] + rV Q; CP CP dt Y el modelo matemtico del sistema es: dV = Fi F ; dt E dC A = Fi [C Ai C A ] k0 e RT C A ; dt E H r RT dT Fi 1 Q; = [Ti T ] + k0 e C A dt V CPV CP V

(19)

(20.a) (20.b) (20.c)

Ref: Stephanopaulos G. Chemical Process Control: An Introduction to Theory and Practice. Prentice Hall, 1984.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE MODELADO DE SISTEMA DINAMICOS

Problema 1 Se tiene un sistema cuyo modelo matemtico aproximado es: 2 x1 = x1 10 5 x 2 10 3 x1 x 22 x 2 = 10 3 x1 x 2 x 2 + 10 3 x 2

a). Determinar el modelo lineal para los puntos de trabajo: x1 = 5 x10 4 y x 2 = 750 ; b). Determinar la funcin de transferencia del sistema lineal y discutir los valores de los polos del sistema para el parmetro .

Problema 2 Sea el convertidor CC/CC Elevador-Reductor (Buck-Boost) de la figura D Q + + L v0 C Vin R Convertidor CC/CC Elevador-Reductor (Buck-Boost Converter)

demuestre que el modelo matemtico esta dado por:

V diL 1 u = vC + i u dt L L dvC u 1 1 = iL vC dt C RC

donde L es el valor de la inductancia, C es el valor de la capacitor , R es la resistencia de carga, Vi es el voltaje de la entrada y u es el denominado ciclo de trabajo. Sugerencia: realice el anlisis considerando la posicin del Q .

Problema 3 Considere el avion de ataque YAB-8B Harrier fabricado por la Boening Aircraft Company . Harrier es un avion VSTOL (vertical/short takeoff landing).

u1

u2 y

x

Avion de ataque YAB-8B Harrier VSTOL

Para simplificar considere solo el movimiento planar del mismo (PVTOL) entonces las ecuaciones de movimiento estn dadas por: x = sin( ) u1 + cos( ) u2 y = cos( ) u1 + sin( ) u2 1 donde x , y definen la posicin del centro de masas del avion, el angulo del avion respecto al eje x . Las entradas de control son u1 y u2 que son los propulsores del mismo ubicados debajo de las alas del avion. Y el momento de giro respectivamente. Determinar los puntos de equilibrio del sistema. Realice la linealizacin del modelo no lineal alrededor de los puntos de equilibrio hallados anteriormente. Realice algunas simulaciones del Sistema de lazo abierto utilizando condiciones iniciales que usted elija y observe el comportamiento total del sistema considerando = 0.2 , = 0.7 y para cada caso analice los estados finales. [Ref. Nonlinear Systems Anlisis , Stability and Control , Autor . Shankar Sastry]

= u2

Problema 4 Modelar el sistema de tanques que se muestra en la figura. Considere que el caudal de salida para el primero esta definido por qm = Cv g h1 (t ) y para el segundo

qo = K c g h2 (t ) .

qi (t )N

M

h1 (t )

P

P qm (t )

Y X

h2 (t )

qo (t )

Sistema de tanques No interactivos

b) Linealize el modelo alrededor de los puntos de operacin para qi = 2 [cc/min]. c) Determine la funcin de transferencia del sistema y el diagrama de bloques. Ref: Apuntes Sistemas Lineales Dinmicos, Departamento de Ingeniera Elctrica , Universidad de Concepcin. Chile. Jos Espinosa , Daniel Sbarbaro) Problema 5 Obtenga el modelo matemtico en ecuaciones diferenciales del circuito electromecanico de la figura. El sistema representa un control de posicin en lazo abierto de una masa a partir de un voltaje de alimentacin u (t ) . La fuerza F (t ) generada por el soleniode es proporcional a la corriente que circula por la bobina. Considere que en estado estacionario cuando el voltaje de alimentacin es de 1 voltio, el desplazamiento es de 10cm.

R = 10 [ ]

L = 0.1[ Hy ]

x(t )

K = 10 Nmb = 10 Nm / s

m = 50kg

u (t )

C = 10 [ F ]

Problema 6 El circuito de la figura contiene un inductor de tipo no lineal, dicho circuito es gobernado por una fuente de corriente dependiente del tiempo. Suponga qye el 3 inductor no lineal esta descrito por: iL = LL + L donde L es el flujo magntico del inductor y L , son constantes positivas. a) Usar como variables de estado x1 = L y x2 = vC y determinar el modelo en el espacio de estados. b) sea is (t ) = 0 , hallar los puntos de equilibrio del sistema.iL

is (t )

R

C

vC

Ref: Nonlinear Systems, Second Edition, Hassan Khalil.

Problema 7.Las ecuaciones de movimiento del sistema de pndulo Furuta mostrado en la figura son: a a sin( ) cos( ) + c cos( ) d sin( ) = 0 ; () c cos( ) c 2 sin( ) + 2a sin( ) cos( ) + (b + a sin 2 ( )) = u ; () Donde es el ngulo del pndulo y es el ngulo del brazo y la variable de control u es el torque en el brazo. El objetivo de control es hacer que el pendulo permanezca en el eje vertical. Realice la linealizacin del sistema considerando los estados x1 = , x2 = , x3 = y

x4 = , alrededor de las condiciones iniciales X = ( 0 0 0 0 ) .

z

u

y

x

Sol.-

0 bd ab c 2 x = Ax + Bu = 0 cd ab c 2

1 0 0 0 c 0 0 0 x + ab c 2 u 0 0 0 1 a 0 0 0 ab c 2

Ref: Laboratory Session Of Furuta Pendulum. Problema 8.Un vehculo especial con forma cilndrica est girando alrededor del eje de balanceo tal como se muestra en la figura, con los impulsores proporcionando un par en el sentido de las agujas de reloj ( x4 = ); un par en el sentido contrario a las agujas de reloj ( x4 = ) o un par nulo. Suponiendo que el rozamiento es proporcional a la velocidad en una cantidad x4 = , pero no se considera fuerza gravitacional, determinar el modelo en el espacio de estados del sistema.

Ref: Lewis, Yang, Sistemas de Control en Ingenieria. Prentice Hall Problema 9.-

El sistema mostrado en la figura es un reactor continuamente agitado, donde se realiza una reaccin exotermica irreversible A B . Es de inters la temperatura x4 = y la concentracin del componente x4 = , x4 = , para lo cual se manipula la temperatura del refrigerante x4 = . ReactivoF ,Tf , C f

Fs

T , CA

TC

Fs

Refrigerante

Producto

El modelo est dado por: E dC A q = (C Af C A ) k0 e rT C A ; dt V E dT q (H r ) RT UA = (T f T ) + k0 e C A + (Tc T ) ; C p dt V V C p con x = [ x1

x2 ] = [C A T ] , mostrar que el modelo linealizado sobre los puntos deT T

equilibrio x = xe , u = ue esta dado por:a12 a b1 x = Ax + Bu = 11 x + b u ; a21 a22 2 Donde se define los terminos: q a11 = k0 e Rx2 ; VE

E a12 = k0 2 e Rx2 x1 ; Rx2

E

a21 =

(H r ) Rx2 ; ke C p 0E

E

q (H r ) E UA ; a22 = + k0 2 e Rx2 x1 C p V Rx2 V C p

b1 = 0 ; UA ; b2 = V C p Utilice los siguientes valores numericos para realizar una simulacin del sistema en lazo abierto. q = 100lt / min ; T f = 350 K ; V = 100lt ; C p = 0.239 J / gr K ; (H r ) = 5 x104 J / mol ; E = 8750 K ; k0 = 7.2 x10101/ min UA = 5 x104 J / min K ; RRef: Espinoza F. Introduccin al Analisis de Sistemas No lineales 543 703. Dpto de Ing. Elctrica. Universidad de Concepcin. Chile. Julio de 2003. Problema 10.Sea el circuito de la figuraRa ia va eaLa

vm

LT

vl il

+

ie

Cm

Rl

Cl

Considere

que

ea = km vmT

,

ie = kmia

y

el

siguiente

vector

de

estados

x = [ vm

vl

il

ia ] , , u = [ va

il ] . Demuestre el modelo en el espacio de estados est

definido por: k 1 x1 = x3 + m x4 ; Cm Cm 1 1 1 x2 = x2 + x3 u2 ; Rl Cl Cl Cl 1 1 x3 = x1 x2 ; LT LT k R 1 x4 = m x1 a x4 + u1 ; La La La

Ref: Espinoza J, Sbarbaro D. Apuntes de Sistemas Lineales Dinmicps 543 214. Segunda edicion. Dpto de Ing. Electrica Universidad de Concepcin . Chile Abril 2003.