DEFLEXIÓN DE VIGASConsiderándose una viga horizontal AB como se muestra en la figura, de sección transversal y de material homogéneo es decir la viga es uniforme. El eje de simetría se encuentra en el plano medio a lo largo de la viga.

Cuando esta está sometida a fuerzas, las cuales al ser aplicadas deforman a la viga, y debido a su elasticidad puede distorsionarse en su forma.

Las fuerzas pueden ser debidas al peso de la viga, o cargas aplicadas externamente o a cargas combinadas. El eje neutro o eje de simetría de la viga se llama la CURVA ELASTICA. La determinación de esta curva es de importancia en la teoría de elasticidad.

EL APOYO DE LA VIGA:

- Vigas en voladizo: en el cual uno de los extremos esta fijo o empotrado mientras que el otro está libre para moverse.

- Viga simplemente apoyada: viga cuyos extremos están apoyados.

Tenemos diferentes condiciones para calcular las deflexiones de las vigas para cada tipo de problema propuesto. Así como hay diferentes maneras de apoyar las vigas también hay diferentes maneras de aplicar las fuerzas externas.

CARGAS EXTERNAS:

- Carga uniformemente distribuida sobre toda la viga.- Carga variable sobre toda o parte de ella.- Carga puntual o concentrada.

CONSIDERANDO UNA VIGA COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA CON EL EJE DE SIMETRIA EN EL EJE X Y COMO ORIGEN EN PUNTO

0:

Debido a la acción de las fuerzas externas F1 y F2, el eje de simetría se distorsiona en la curva elástica, tenemos el punto fijo empotrado A. El desplazamiento y la deformación de la curva elástica desde el eje X a la nueva posición se llama DEFLEXION O FLECHA de la viga en la posición x.

Si determinamos la ecuación de la curva elástica así determinaremos la deflexión de la viga. Y para poder formular la ecuación debemos saber:

1.- El momento flector en una sección transversal vertical de la viga se define como, la suma algebraica de los mementos de estas fuerzas que actúan sobre la viga, estos se toman sobre el eje neutro a lo largo de esta.

2.- Se adoptan condiciones las cuales nos dan como convención que las fuerzas hacia ARRIBA nos dan momentos NEGATIVOS y las fuerzas hacia ABAJO nos dan momentos POSITIVOS.

3.- No interesa de donde se empiecen a tomar las fuerzas de acción ya que en cualquiera de los extremos el momento resultante será el mismo.

4.- El momento flector en el eje de la viga está relacionado con la curvatura de LA ELASTICA en x siendo la relación la siguiente:

EIy ' '

[1+(Y ' )2]32=M ( x)

DONDE:

E = es el módulo de elasticidad de Young y depende del material usado en el diseño de la viga.

I = momento de inercia de la sección transversal de la viga en x con respecto al centro de gravedad de la sección misma.

EI = en conjunto se llama RIGIDEZ y es una constante.

Se asume que la viga se dobla levemente por lo que para muchos propósitos es práctico, entonces la pendiente y’ de LA ELASTICA es tan pequeña que su cuadro es despreciable comparado con 1, y se puede simplificar de esta manera:

EI y ' '=M (x)

Así conseguimos nuestra ecuación característica de orden superior.

EJEMPLO ACLARATORIO:

Una viga horizontal, simplemente apoyada, de longitud L se dobla bajo su propio peso es cual es W por unidad de longitud. Encontrar la ecuación de su curva elástica.

1.- Formulación Matemática:

En la figura tenemos a la viga apoyada en los soportes 0 y B cada

uno de los cuales tendrán reacciones de WL2 ya que la fuerza del

peso será repartida por E.E.E en partes iguales como dos fuerzas de apoyos.

El Momento Flector M(x) es la suma algebraica de los momentos de estas fuerzas actuantes por la longitud de la viga cerca al punto P.

Tenemos como fuerzas actuantes a lado derecho del punto P:

- La fuerza hacia abajo w(L-x) a una distancia w(L−x)2

de

P, produciendo un M(+) momento positivo.

- La fuerza hacia arriba WL2 a una distancia L-x de P,

produciendo un M(-) momento negativo.

EN ESTE CASO EL MOENTO FLECTOR SERA:

M(x) = w(L-x) (w(L−x)2

) –( WL2 )( L-x) = W x

2

2−WLx

2

CON EL VALOR DE M(x) la ecuación característica será:

EI y ' '=W x2

2−WLx

2

CONDICIONES INICIALES:

En los apoyos tenemos que cuando:

x = 0 ------ y = 0

x = L ------ y = 0

2.- SOLUCION:

INTEGRAMOS DOS VECES:

EI y ' '=W x2

2−WLx

2

Se obtiene:

EI y=W x4

2 4−WL x

3

12+c 1x+c 2

De las condiciones iniciales: x = 0 ------ y = 0

EI (0)=W (0 )24

−WL (0 )12

+c1(0)+c 2

Tenemos que c2 = 0

Remplazamos en la ecuación:

EI y=W x4

24−WL x

3

12+c 1x

De las condiciones iniciales: x = L ------ y = 0

EI (0)=W (L )24

−WL (L )12

+c1(L)

Tenemos que c1 = WLx3

24

Remplazamos en la ecuación:

EI y=W x4

24−WL x

3

12+WLx

4

24

Finalmente tenemos que:

y= W24 EI

( x4−2 Lx3+L3 x )

La ecuación requerida es LA ELASTICA por lo que usaremos la

solución final y=W24 EI

( x4−2 Lx3+L3 x ) para hallar la deflexión.

En el cálculo a una distancia de L2 la flecha será máxima es decir

en el centro de luz de la viga.

Remplazamos x = L2 en la solución final:

ymax=5W L4

384 EI