coordenadas polares
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Coordenadas polares
De Laplace
Contenido
1 Definición
2 Relación con las coordenadas cartesianas
2.1 Base vectorial en polares
3 Vectores cinemáticos en coordenadas polares
3.1 Vector de posición
3.2 Vector velocidad
3.3 Vector aceleración
1 Definición
En el caso del movimientobidimensional de un punto materialresulta útil en muchas ocasionestrabajar con coordenadas polares.Usaremos la figura para definirlas.
Sea un punto P situado en el plano
OXY con coordenadas cartesianas
(x,y). Su vector de posición respecto
al origen del sistema de referenciaes
Las coordenadas polares (ρ,θ) se
definen de la siguiente forma
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1. La coordenada ρ es la distancia del punto P al punto O. Puede variar entre
los valores 0 y .
2. La coordenada θ es el ángulo que forma el vector con el eje OX. Puede
variar entre los valores 0 y 2π.
Estas dos coordenadas permiten describir de forma unívoca la posición decualquier punto en el plano OXY.
El intervalo para θ es abierto a la derecha para evitar llegar al valor de 2π. De lo
contrario, los puntos del eje OX aparecerían dos veces, para θ = 0 y para θ = 2π.
2 Relación con las coordenadas cartesianas
Cada par de valores (x,y) corresponde unívocamente a un par de valores ρ,θ. La
relación entre estos dos pares puede obtenerse a partir de la figura. Teniendo encuenta el triángulo rectángulo formado por los catetos de longitud x e y y la
hipotenusa de longitud ρ tenemos
Polares →
cartesianas
Cartesianas →
polares
θ = arctan(y / x)
2.1 Base vectorial en polares
Al igual que el sistema de coordenadas cartesianas, las coordenadas polaresllevan asociada una base vectorial. Esta base la componen los vectores unitarios
pintados en verde en la figura.
El vector apunta en la dirección y sentido en que nos movemos si variamos la
coordenada ρ manteniendo θ constante. Si ρ aumenta nos alejamos radialmente
del punto O, y si disminuye nos dirigimos hacia O.
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De igual modo, el vector apunta en la dirección y sentido en que nosmovemos si varía θ manteniendo ρ constante. Si θ aumenta nos desplazamos
sobre la tangente a la circunferencia de radio ρ centrada en O, en sentido
contrario a las agujas del reloj. Si θ disminuye el sentido del desplazamiento es
el de las agujas del reloj.
Usando los ángulos indicados en la figura podemos expresar los vectores de labase polar en función de los vectores de la base cartesiana
Hay quedestacar que, adiferencia de losvectores de labase cartesiana,los vectores dela base polar noson constantes.Esto quiere decirque varían endirección ysentido alcambiar depunto en elplano. Algunosejemplos
θ
0
π / 4
π / 2
Podemos obtener la expresión de los vectores de la base cartesiana en función
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de la base polar proyectando en la primera figura o despejando en la expresiónde los vectores polares en función de los cartesianos. Así
3 Vectores cinemáticos en coordenadas polares
3.1 Vector de posición
Vamos a encontrar la expresión delos vectores de posición, velocidady aceleración en coordenadaspolares. A partir del dibujo que elvector de posición puede
escribirse como
El vector de posición debedepender de ρ y θ. Así que uno
puede preguntarse donde está lacoordenada θ en esta expresión. La
respuesta es que está en el vector , que depende de θ.
3.2 Vector velocidad
A lo largo del movimiento del punto por el plano las coordenadas polarescambian con el tiempo
Para obtener la velocidad hay que derivar el vector de posición respecto deltiempo. Pero hay que tener en cuenta que al moverse el punto, como varíantanto ρ como θ, también varían los vectores y . Así pues, hay que derivar
también el vector en la expresión de .
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Para encontrar usamos la expresión en cartesianas del vector. Los vectores de
la base cartesiana no cambian durante el movimiento de la partícula, estoes, . Usando la regla de la cadena tenemos
El vector entre paréntesis es precisamente . Por tanto
y la velocidad se escribe
El primer sumando representa la componente de la velocidad en la direcciónradial, mientras que el segundo sumando es la componente de la velocidad en ladirección perpendicular a la radial.
3.3 Vector aceleración
Derivamos la velocidad respecto al tiempo para obtener la aceleración. Tenemosen cuenta que ρ, θ, y dependen del tiempo
Para obtener la expresión de utilizamos de nuevo la expresión en cartesianas
de
Finalmente, la expresión de la aceleración en coordenadas polares es
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