sistema de coordenadas polares

Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa

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ÍNDICE

COORDENADAS POLARES.

I. DEFINICIÓN…………………………………………….. 01

II. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A

CARTESIANAS Y VICEVERSA.……………………… 04

III. ECUACIONES CANÓNICAS DE LAS SECCIONES CÓNICAS

EN COORDENADAS POLARES……………………… 05

IV. TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS

POLARES………………………………………………... 12

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS……………………………. 17


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COORDENADAS POLARES

I. DEFINICIÓN. Sea O un punto fijo, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un

rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura No. 01. A continuación, a cada

punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, θ), como sigue.

Donde:

r : distancia dirigida de O a P, radio vector.

θ : ángulo dirigido, en sentido contrario al de

las manecillas del reloj desde eleje polar hasta

el segmento OP.

“Las coordenadas polares de un punto se indican dentro de un paréntesis, escribiéndose

primero el radio vector. Así, las coordenadas de P se escriben (r,θ).

El ángulo polar θ se mide como en trigonometría considerando el eje polar como lado

inicial y el radio vector como lado final del ángulo, es decir, partiendo del eje polar hacia el

radio vector; se considera positivo o negativo según que el sentido seguido sea opuesto al

de las manecillas de un reloj o el mismo. Algunos autores, siguiendo los convenios hechos

en trigonometría, consideran que el radio vector nunca debe ser considerado como

negativo; otros autores, en cambio, admiten que el radio vector puede tomar todos los

vectores reales. Nosotros seguiremos este último convenio. Según esto, si un punto tiene un

radio vector negativo, se mide primero el ángulo polar de la manera ordinaria, y después se

toma el radio vector en la prolongación del lado final. Así pues el punto P tendría como

coordenadas (-r, θ)”.

Figura No. 01


3

Ejemplo. Como se muestra en la figura No. 02, muestra tres puntos en el sistema de

coordenadas polares. Obsérvese que en este sistema es conveniente localizar los puntos

con respecto a una retícula de circunferencias concéntricas intersecadas por rectas

radiales que pasan por el polo. (1)

En coordenadas rectangulares, cada punto tiene una representación única. Esto no sucede

con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, θ) y (r, 2π+ θ) representan el

mismo punto [ver los apartados b) y c) de la figura No. 02].También, como r es una

distancia dirigida, las coordenadas (r, θ) y (-r, θ+π) representan el mismo punto. En general,

el punto (r, θ) puede expresarse como:

(r, θ) = (r, 2π+ θ)

O

(r, θ) = (-r, θ+ (2n+1)π),

Donde n es cualquier entero. Además, el polo está representado por (0, θ) donde θ

es cualquier ángulo.

Figura No. 02


4

“El trazo de puntos en el sistema polar se facilita considerablemente usando papel

coordenado polar, que consiste en una serie de circunferencias concéntricas y rectas

concurrentes. La circunferencia tiene su centro común en el polo y sus radios son múltiplos

enteros del radio más pequeño, tomados como unidad de medidas. Todas las rectas pasan

por el polo, y los ángulos formados por cada par de rectas consecutivas son iguales”.

Un ejemplo de este papel está representado en la siguiente figura donde se han trazado los

puntos: P1= (4, 2π/3), P2 = (4, π/6), P3 = (2, -π/12), P = (-3, π/3)

P3

P2

P1

P4

Figura No. 03


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II. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS Y VICEVERSA.

Para establecer una relación entre coordenadas polares y

rectangulares, se hace coincidir el eje polar con el eje x

positivo y el polo con el origen, como se ilustra en

lafigura No.04. Puesto que (x, y) se encuentra en un

círculo de radio r, se sigue que:

r2 = x

2+ y

2.

Para r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que:

tanθ= y/x ,cosθ=x/r , senθ=y/r.

Si r < 0,estas relaciones también son válidas, como se puede verificar.

Ejemplos:

1. Encuentre las coordenadas polares del punto P= (1, 1).

Resolución

De la gráfica:

Usando las transformaciones

r = =

Figura No. 04

TEOREMA 01: Si el polo y eje polar del sistema de coordenadas polares

coinciden, respectivamente, con el origen y parte positiva del eje x de un

sistema de coordenadas o cartesianas el paso de uno a otro de estos dos

sistemas puede efectuarse por medio de las siguientes fórmulas de

transformación:

X = r cosθ, y = r senθ, x2+ y2 = r2, θ = arctg(y/x), r = ±

Gráfica No. 01


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A demás se podría utilizar otras equivalencias polares:

2. Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación polar es: r2 = 2 sen

Resolución

Se sabe que r2 = x

2+ y

2, y= r senθ senθ=

Como r2 = 2 senθ x

2 + y

2 =

III. ECUACIONES CANÓNICAS DE LAS SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS

POLARES. La ecuación polar de una cónica toma una forma particularmente sencilla y útil

cuando uno de los dos focos (Fig. No. 05) está en el polo y el eje focal coincide con el eje

polar. Sea la recta “l” la directriz correspondiente del foco O; esta recta es perpendicular al

eje polar, sea D el punto de intersección.

θ

d

Según ella el punto P debe satisfacer la condición geométrica

= e,… (1)

O

P(r, θ)

B D

r

C

l Designemos la distancia , entre el

foco y la directriz, por la cantidad

positiva “d”. Sea P(r, θ) un punto

cualquiera de la cónica. Desde P

tracemos las perpendiculares y

al eje polar y a la directriz,

respectivamente.

Figura No. 05


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en donde e es la excentricidad. Ahora bien,

= r

y

= d r cosθ.

Sustituyendo estos valores en (1), obtenemos:

,

de donde,

… (2)

Podemos demostrar, recíprocamente, que cualquier punto cuyas coordenadas satisface la

ecuación (2) satisface la condición geométrica (1) y, por tanto, está sobre el lugar

geométrico. Según esto, la ecuación (2) es la ecuación buscada de la cónica.

TEOREMA 02: CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS DE ACUERDO CON LA

EXCENTRICIDAD. Sean F un punto fijo (foco) y “l” una recta fija (directriz) en el plano. Sean

P otro punto en el plano y “e” (excentricidad) el cociente obtenido al dividir la distancia de P a

F entre la distancia de P a D. El conjunto de todos los puntos P con una determinada

excentricidad es una cónica.

1. La cónica es una elipse si 0 < e < 1.

2. La cónica es una parábola si e = 1.

3. La cónica es una hipérbola si e > 1.


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En la figura No. 06, obsérvese que en todos los tipos de cónicas el polo coincide con el

punto fijo (foco) que se da en la definición.

Figura No. 06

TEOREMA 03: ECUACIONES POLARES DE LAS

CÓNICAS. La gráfica de una ecuación de la forma:

o

Es una cónica, donde e>0 es la excentricidad y es la

distancia entre el foco, en el polo y la directriz

correspondiente.

06


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Los cuatro tipos de ecuaciones que se indican en el Teorema, se pueden clasificar como

sigue, siendo d>o.

a) Directriz horizontal arriba del polo :

b) Directriz horizontal abajo del polo :

c) Directriz vertical a la derecha del polo :

d) Directriz vertical a la izquierda del polo :

La figura No 07. Ilustra estas cuatro posibilidades en el caso de una parábola.

Figura No. 07

07


10

Ejemplos:

1. Graficar:

Resolución

En este caso e = 1(coeficiente del coseno), por lo tanto tenemos una parábola con el

foco en el polo (el origen) y directriz con una ecuación cartesiana x=6 (a la derecha

y paralela al eje π/2). Parábola cóncava a la izquierda.

* Si comparamos la ecuación del ejercicio con una de las ecuaciones deducidas, se puede

notar que la distancia entre el foco y la directriz es 6.

O sea: = 6

Gráfica No. 02

Ld

Q

08


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2. Graficar:

Resolución

En este caso e = ½ (coeficiente del coseno) por tanto tenemos una

elipse con un foco en el polo y el otro foco a la izquierda del eje polar.



O sea: = 12

Gráfica No. 03

Ld

Q


12

3. Graficar:

Resolución

En este caso e = 2, por tanto tenemos una hipérbola con un foco en el polo y el

otro foco a su derecha del eje polar.



O sea: = 3

Gráfica No. 04

Ld

Q


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IV.TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES. La gráfica o lugar geométrico de

una ecuación expresada en coordenadas polares es:

G={(r,θ) RxR/ r= f(θ)}

DISCUSIÓN DE UNA ECUACIÓN POLAR. Para facilitar el trazado de gráficas en las

ecuaciones en coordenadas polares es conveniente establecer el siguientes análisis.

1ero

INTERSECCIONES:

a) CON EL EJE POLAR: se hace θ = πn, n Z.

b) CON EL EJE A 90° : se hace θ = π/2 + πn, n Z.

2do

SIMETRÍAS:

a) CON EL EJE POLAR: se reemplaza

(r,θ) = (r, - θ)

(r,θ) = (-r, π-θ)

b) CON EL EJE A 90° : se reemplaza

(r,θ) = (r, π-θ)

(r,θ) = (-r, - θ)

c) CON EL POLO : se reemplaza

(r,θ) = (-r, θ)

(r,θ) = (r, π +θ)

*Si la ecuación no cambia, entonces la curva presenta simetría.

*Sólo basta que cumpla con una condición para que sea simétrica.


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3ero

EXTENSIÓN. Son los puntos máximo y mínimo de la gráfica.

Para determinar la extensión de la gráfica de un lugar geométrico dado en

coordenadas polares, primero se despeja el radio en función de θ, de modo que

tenemos:

r= f(θ)

Si r es finito para todos los valores de θ, se trata de una curva cerrada. Si, en

cambio, r se vuelve infinita para ciertos valores de θ la gráfica no puede ser una

curva cerrada. Para los valores de θ que hacen a r compleja no hay curva. Tales

valores de θ constituyen intervalos excluidos del lugar geométrico. Si la gráfica

es una curva cerrada, es útil, frecuentemente, determinar los valores máximo y

mínimo de r.

4to

TABULACIÓN. Se determina los valores de r correspondientes a los valores

asignados a θ en el dominio y se ordena los pares.

5to

TRAZADO DE LA GRÁFICA. En el sistema coordenado se localizan los puntos

hallados y se traza la curva.

Ejemplo: r = 1+ 2cosθ

1) Interceptos:

Si: θ= 0 : r = 1+ 2cos (0) : r = 3

θ= : r = 1+ 2cos (π/2) : r =1

θ= π : r = 1+ 2cos (π) : r 1

θ= 3π/2 : r = 1+ 2cos (3π/2) : r =1


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2) Simetría:

CON EL EJE POLAR: se cambia (θ) por (-θ) r = 1+ 2cos (-θ) r = 1+ 2cos (-θ)

Como: 1+ 2cos(-θ)= 1+ 2cosθ simetría en el eje polar.

CON EL EJE A 90°: se cambia (θ) por (π-θ) r = 1+ 2cos (π-θ)

r = 1- 2cos (θ)

Como: 1+ 2cos (π -θ) 1- 2cos (θ) simetría en el eje polar.

otra opción es reemplazar (r,θ) por (-r, - θ) -r = 1+ 2cos (-θ)

-r = 1+2cos (θ)

r = -1-2cos (θ)

simetría en el eje polar.

CON EL POLO: se cambia (r) por (-r) -r = 1+ 2cos (θ)

r = -1- 2cos (θ)

simetría en el polo.

Otra opción es reemplazar (θ) por (π + θ) r = 1+ 2cos (π + θ)

r = 1- 2cos (θ)

Como: 1+ 2cos (π + θ) = 1- 2cos (θ) simetría en el polo.

3) Extensión:

-1 1

-2 2

-1 3

-1 3

4) Tabulación:

r = 1+ 2cos[1(θ-0°)]


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análisis cartesiano: y = 1+ 2cos[1(x-0)]

Eje : r =1

Amplitud : A=2

Desfase : D=0

Periódo : P= 2π/1 = 2π

3

r = 1+ 2cosθ

tipo Pxy

1

π/2 π 3π/2 2π

-1

r = 0 0 = 1+2cos θ cos θ = -1/2 θ = arc cos (-1/2)

5) Gráfica:

TABLA

θ 0 π/2 π 3π/2 2π

r 3 1 -1 1 3

90°

120° 60°

150° 30° * Gráfica referencial

180° 0°

210° 330°

240° 300°

270°

θ

r


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