sistema de coordenadas polares
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Sistema de coordenadas polares
Christian Segura
El sistema de coordenadas polares
Está descrito por los siguientes elementos:
Eje polar
Polo
P(r,)
Notación de un punto
Haciendo uso de la notación P( r, ), se tiene más de una forma de denotar un punto P.
Cuando r es positivo, P está sobre el vector r Cuando r es negativo, P se encuentra en la
prolongación del vector r El ángulo puede ser medido de dos formas:
Sentido positivo: contrario a las manecillas del reloj Sentido negativo: a favor de las manecillas del relojSiempre se mide en radianes
Ejemplo: Notación de un punto
Escribir todas las notaciones del punto en la gráfica.
5
60º= /3
-+r (5, /3) (5,5/3
-r (-5,4/3) (-5, 2/3)
Equivalencias con el sistema cartesiano
r
x
y
0 tan
sin
cos
22
xxy
yxr
ry
rx
GRÁFICAS DE ECUACIONES POLARES
Consisten de aquellos puntos que tienen al menos un par de
coordenadas polares que satisfacen la ecuación.
Propiedades de las GP.
Si una recta es paralela al eje polar y pasa por el punto B(0, b) cuyas coordenadas polares son (b, ½ ), entonces la ecuación es
br
by
sin
1 9
1
5
r
3sin
3
r
y
),3( 21 B
Propiedades.
Si se tiene una recta perpendicular al eje polar y pasa por el punto A (a, 0), y tiene coordenadas polares (a, 0), una ecuación cartesiana es:
ar
ax
cos
1 9
1
5
r
2cos
2
r
y
)0,2(A
Criterios de simetría
Para facilitar el estudio y trazo de las gráficas de ecuaciones polares, se toman en cuenta tres tipos de simetría: Respecto al eje polar (x) Respecto al eje /2 (y) Respecto al origen O
Simetría respecto al eje polar
Se obtiene si al reemplazar por - resulta una ecuación equivalente.
(r,)
(r,-)
0
Simetría respecto al eje /2
Se obtiene si reemplazando por - se obtiene una ecuación equivalente
Se aplican los teoremas para el ángulo de referencia en el intervalo <
(r,)(r,-)
0
Ángulo de referencia. De un ángulo en posición estándar no cuadrantal es el ángulo agudo formado por en lado Terminal y el eje X. No tiene signo.
Teorema del ángulo de referencia. Si O es un ángulo no cuadrantal en posición estándar,
entonces, para hallar el valor de una función trigonométrica en O, se determina el valor para el ángulo de referencia OR y se antepone el signo apropiado según la tabla de signos.
Tabla de signos en los cuadrantes
Funciones I II III IV
Sen + + - -
Cos + - - +
Tan + - + -
Cot + - + -
Sec + - - +
Csc + + - -
Simetría respecto al origen
Se obtiene si sustituyendo r por –r resulta una ecuación equivalente.
(r,)
(-r,)
0
Cardioides y limazones (caracoles)
Las gráficas de las ecuaciones polares:
Tienen forma de corazón que pasa por el origen y se llaman cardioides.
cos sin aaraar
sin22 sin22 rr
El valor de a direcciona la gráfica por el signo y la agrandaproporcionalmente
0.5 4.0
1
5
r 0.5 4.0
1
5
r
cos22 cos22 rr
0.5 4.0
1
5
r0.5 4.0
1
5
r
El valor de a direcciona la gráfica por el signo y la agrandaproporcionalmente
Limazones o caracoles
Los cardioides son casos especiales de otras curvas polares denominadas limazones o caracoles y tienen por ecuaciones:
cos sin barbar
Limazones o caracoles
Si , una limazón es semejante a un cardioide, pero no pasa por el origen
ba
2 14
1
5
r
cos25 sin25 rr
2 14
1
5
r
Si , un caracol tiene un rizo interno.
ba
Limazones o caracoles
cos52 sin52 rr
1 7
1
5
r1 7
1
5
r
Rosas y circunferencias
En general, si n es un entero positivo, las gráficas de
se llaman rosas
narnar cos sin
Si n es impar, el número de pétalos o ramas es n
Rosas.
1 9
1
5
r
3sin7 r 5sin5 r
1 9
1
5
r
Rosas
Si n es par, hay 2n pétalos
4sin2 r 6cos r
0.5 3.5
1
5
r 0.2 1.4
1
5
r
8 pétalos 12 pétalos
Circunferencias.
Son casos especiales de rosas donde n=1.
Son circunferencias que pasan por el origen con diámetro y centros en el eje Y y el X, respectivamente.
cos sin arar
a
sin2 sin2 rr
0.2 2.4
1
5
r0.2 2.4
1
5
r
cos3 cos3 rr
0.5
4.0
4.0
8.5
r
0.5
4.0
4.0
8.5
r
Ecuaciones paramétricas de SP.
Son las dadas por:
sin)( cos)( fyfx
Ejemplo.
Obtener las ecuaciones paramétricas de la gráfica polar r=4sin3
sin3sin4
cos3sin4
3sin4)(
sin)( cos)(
y
x
f
fyfx
Ecuaciones paramétricas
Pendiente de una tangente a la gráfica polar.
Es dy/dx
Dadas las ecuaciones paramétricas
La pendiente de la tangente en un punto es
sin)( cos)( fyfx
ddx
ddy
dxdy
Ejemplo
Obtener la pendiente de una tangente a la gráfica de r=2+2sen en =
1. Ecuaciones paramétricas.
2sin2sin2
cossin2cos2
y
x
2. Derivadas
)cossin2(cos2)sin(sin2
)cossinsin(2
2
22
ddy
ddx
3. Pendiente
)cossinsin(2)cossin2(cos2
22
dxdy
4. Sustitución =
111
)1()0(0)1)(0(21
22
dxdy
0.2 5.2
0.2
6.0
r
m= -1
r=2+2sen en =
Fuentes
Dennis ZillLeithold
Elaboró: Christian Segura.