HISTORIA DE LAS COORDENADAS POLARES

Edición #1

Todo lo que necesita saber de

las coordenadas polares

Afine sus conocimientos sobre las

coordenadas polares

Julio del 2014

Armando Escalona

HISTORIA DE LAS COORDENADAS

POLARES pág. 2

¿Qué son las coordenadas polares?

Pág. 4

Curiosidades pág. 6Algo de humor Pág. 7

Graficas polares especiales Pág. 8

Sistema de coordenadas polares con varios

ángulos medidos en grados. Si bien existen

ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio

se conocen y manejan desde la antigüedad, no

es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invención

de la geometría analítica, en que se puede

hablar del concepto formal de sistema

coordenadas polares.

En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y

Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto a mediados del

siglo XVII en la solución de problemas geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este tema

en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635

y una versión corregida en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las coordenadas polares

para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes.

Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de

arcos parabólicos. A continuación localizamos varios puntos en el plano polar.

Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac

Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736,

introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para

resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de

coordenadas polares. En el periódico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un

sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las

coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje

polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base para encontrar el radio de curvatura de

ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas. El término actual de

coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores

italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de

1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo

integral de Sylvestre François Lacroix, mientras que Alexis Clairault fue el primero que

pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.

Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con

aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco

(190-120 a.C) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en

función del ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer

la posición de las estrellas.[1] En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de

Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas

aplicaciones no hacían uso de un sistema de coordenadas como medio de localizar

puntos en el plano, situación análoga al estado de la geometría antes de la invención

de la geometría analítica. Pág. 2

Pág. 3

Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo

en relación a un punto fijo y un rayo fijo (o semirrecta). El punto fijo se denomina polo u

origen y se representa mediante la letra . El rayo fijo recibe el nombre de eje polar (orecta polar), la cual se denota por OA. El rayo OA usualmente se dibuja horizontal y se

prolonga indefinidamente hacia la derecha.

Sea P cualquier punto del plano diferente de 0 . Sea la medida en radianes del ángulo

dirigido AOP , positivo cuando se mide en el sentido contrario al giro de las manecillas del

reloj y negativo en el caso contrario, que tiene como su lado inicial el rayo OA y como su

lado final el rayo OP . Si r es la distancia no dirigida de O a P (esto es, r = | OP ̅|), un

conjunto de coordenadas P de está dado por r y , y se denotan estas coordenadas

como (r, )

= ángulo dirigido, en sentido anti horario, del eje polar al segmento OP

R=distancia dirigida de O a P

Pág. 4

Gráfica de una ecuación polar.Definición. Es el conjunto de puntos tales que cada uno tiene al menos, unpar de coordenadas polares que satisfacen la ecuación.

Trazado de curvas en coordenadas polares.La construcción de curvas en coordenadas polares constará de los seispasos siguientes:1. Determinación de las intersecciones con el eje polar y el eje normal.2. Determinación de la simetría de la curva con el eje polar, el eje normal yel polo.

3. Determinación de la extensión del lugar geométrico.4. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos paraobtener una gráfica adecuada.5. Trazado de la gráfica.6. Transformación de la ecuación polar a rectangular.

Criterios de simetríaUna gráfica esi. Simétrica con respecto al eje polar si se obtiene una ecuación equivalente

cuando (r ,) se sustituye por (r,- ) o (-r, - ) ;ii. Simétrica con respecto al 1/2 eje si se obtiene una ecuación equivalentecuando (r ,) se sustituye por (r, - )o (-r, - ) ;iii. Simétrica con respecto al polo si se obtiene una ecuación equivalentecuando (r , ) se sustituye por ( -r, )o (r, + ) .

Pág. 5

Pág. 6

La mariposa es el emblema de la sabiduría que nos da la vida aportan ese granito de

arena que se queda en nuestras vidas. Estas hermosas especies se pueden

representar matemáticamente usando coordenadas polares.

¿Por qué los osos blancos se

disuelven en agua?

Porque son polares.

¿Qué es un oso polar?

Un oso rectangular, después de un

cambio de coordenadas.

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Le preguntan a un matemático: - Tú qué harías si vieras una

casa ardiendo y justo enfrente una manguera sin conectar

a una boca de riegos? La conectaría, obviamente. Y si la

casa no estuviese ardiendo, pero la manguera estuviese

conectada? Quemaría la casa, desconectaría la

manguera y luego usaría el método anterior

¿En qué se diferencian un oso polar y un oso rectangular?

—En que uno se mide en coordenadas polares, el otro en

rectangulares.

En mitad de una conferencia de matemáticas, un

participante levanta la mano y dice:

- Tengo un contraejemplo para ese teorema!

A lo que el conferenciante responde:

- No importa, yo tengo dos pruebas.

Varios tipos importantes de gráficas tienen ecuaciones que son más simples en

forma polar que en forma rectangular. La ecuación polar de un círculo de radio y

centro en el origen es simplemente . Se muestran abajo algunos tipos de gráficas cuyas

ecuaciones son más simples en forma polar.

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