COORDENADAS POLARES

1. INTRODUCCINHasta este punto, en nuestro estudio de propiedades geomtricas por mtodos analticos, hemos utilizado un solo sistema de coordenadas. Ahora vamos a introducir y emplear otro sistema conocido como sistema de coordenadas polares. En vista de la utilidad demostrada del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se puede pensar que no hay necesidad de considerar otro sistema. Pero se ver, sin embargo, que para ciertas curvas y tipos de lugares geomtricos el uso de coordenadas polares presenta algunas ventajas sobre las coordenadas rectangulares.

2. DEFINICIN

Por medio de un sistema de coordenadas en un plano, es posible localizar cualquier punto del plano. En el sistema rectangular, llamado as a que las coordenadas de un punto geomtricamente describen un rectngulo, esto se efecta refiriendo el punto a dos rectas fijas perpendicularmente llamadas ejes de coordenadas (XY). En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posicin relativa con respecto a una recta fija y a un punto fijo de esa recta.

La recta fija se hace llamar eje polar; el punto fijo se llama polo. Como se muestra en la figura 1, la recta horizontal OA es el eje polar y el punto O es el polo.

Tracemos el segmento OP y designemos su longitud por r. Llamemos a1 ngulo AOP. Evidentemente, la posicin del punto P con relacin a1 eje polar y a1 polo es determinada cuando se conocen r y . Estas dos cantidades se llaman las coordenadas polares del punto P; en particular, r se llama radio vector y 8 ngulo polar, ngulo vectorial o argumento de P. Las coordenadas polares de un punto se indican dentro de un parntesis, escribindose primero el radio vector. As, las coordenadas de P se escriben ( r , ). La lnea recta que pasa por el polo y es perpendicular a1 eje polar se llama el eje a 90.El ngulo polar se mide como en Trigonometra considerando el eje polar como lado inicial y el radio vector como lado final del ngulo, es decir, partiendo del eje polar hacia el radio vector; se considera positivo o negativo segn que el sentido seguido sea opuesto a1 de las manecillas de un reloj o el mismo. Algunos autores, siguiendo 10s convenios hechos en Trigonometra, consideran que el radio vector nunca debe ser considerado como negativo; otros autores, en cambio, admiten que el radio vector puede tomar todos los valores reales. Nosotros seguiremos este ltimo convenio. Segn esto, si un punto tiene un radio vector negativo, se mide primero el ngulo polar de la manera ordinaria, y despus se toma el radio vector en la prolongaci6n del lado final. As, un punto P, de coordenadas (- r , ) , se localiza como se indica en la figura 1.

Figura 1: sistema de coordenadas polares

Es evidente que un par de coordenadas polares (r , ) determina uno y solamente un punto en el plano coordenado. El reciproco, en cambio, no es verdadero, porque un punto P determinado por las coordenadas (r, ) est tambin determinada por cualquiera de los pares de coordenadas representadas por (r , + 2n), en donde est dado en radianes y n es un entero cualquiera. El punto P puede determinarse tambin por cualquiera de los pares de coordenadas representados por (- r, + n), en donde n es un entero impar cualquiera. Mientras el sistema rectangular establece una correspondencia biunvoca entre cada punto del plano y un par de nmeros reales, esta correspondencia no es nica en el sistema polar, porque un punto puede estar representado por uno o cualquiera de un nmero infinito de pares de coordenadas polares. Es esta carencia de reciprocidad nica en el sistema polar la que nos conduce, en algunos casos, a resultados que difieren de los obtenidos en el sistema rectangular.Para la mayor parte de nuestros propsitos, un par de coordenadas polares es suficiente para cualquier punto en el plano. Como nuestra capacidad de seleccin en este respecto es ilimitada, convendremos, a menos que se especifique lo contrario, en tomar el radio vector r de un punto particular como positivo y su ngulo polar comprendido entre cero y el ngulo positivo ms pequeo menor que 360, de manera que la variacin de los valores de est dada por:0 360

El trazo de puntos en el sistema de coordenadas polares se facilita considerablemente usando papel coordenado polar (ver Figura 2) que consiste en una serie de circunferencias concntricas y rectas concurrentes. Las circunferencias tienen su centro comn en el polo, y sus radios son mltiplos enteros del radio ms pequeo tomado como unidad de medida. Todas las rectas pasan por el polo, y los ngulos formados por cada par de rectas consecutivas son iguales.

Figura 2: papel coordenado polar

Un ejemplo de este papel est representado en la figura 3 en donde se han trazado los siguientes puntos: P1 (4, /6), P2 (6, 2), P3 ( -7, 75), P4 ( 5, 7/4).

Figura 3: puntos trazados en el papel polar

3. PASO DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES Y VICEVERSA

Las coordenadas rectangulares (x, y) de cualquier punto de un plano implican solamente dos variables, X y Y. Por tanto, la ecuacin de cualquier lugar geomtrico en un sistema de coordenadas rectangulares en un plano, contiene una o ambas de estas variables, pero no otras. Por esto es apropiado llamar a una ecuacin de esta clase la ecuacin rectangular del lugar geomtrico. Las coordenadas polares (r , ) de cualquier punto de un plano implican solamente dos variables, r y , de manera que la ecuacin de cualquier lugar geomtrico en el plano coordenado polar contiene una o ambas variables, pero no otras. Tal ecuacin se llama, de acuerdo con esto, la ecuacin polar del lugar geomtrico.Para un lugar geomtrico determinado, conviene, frecuentemente, saber transformar la ecuacin polar en la ecuacin rectangular, y recprocamente. Para efectuar tal transformacin debemos conocer las relaciones que existen entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de cualquier punto del lugar geomtrico. Se obtienen relaciones particularmente simples cuando el polo y eje polar del sistema polar se hacen coincidir, respectivamente con el origen y la parte positiva del eje X del sistema rectangular, tal como se indica en la figura 4.

Figura 4 Sea P un punto cualquiera que tenga por coordenadas rectangulares (x, y) y por coordenadas polares (r, ), entonces, de la figura 4, se observa y deduce inmediatamente las relaciones. x = r cos (1)y = r sen(2)x2 + y2 = r2(3) = arcTg (y/x)(4)r = (5)sen = (6)cos = (7)

Consideremos primero el paso de una ecuacin rectangular a su forma polar. La ecuacin dada contiene como mximo las dos variables x y y. Por tanto, si sustituimos la x y la y por sus valores dados por las ecuaciones (1) y (2) respectivamente, obtenemos la ecuacin polar directamente, aunque no siempre en su forma ms simple. La ecuaci6n (3) puede usarse algunas veces ventajosamente en esta transformacin.Veamos ahora la transformaci6n de una ecuaci6n polar a su forma rectangular. La ecuacin dada contiene como mximo las dos variables r y . Podemos usar, adems de las frmulas (1), (2) y (3) las relaciones (4) y (5) que expresan a y a r, respectivamente, en funcin de x y y. Tambin, si la ecuacin polar contiene algunas funciones trigonomtricas de , podemos expresar primero tales funciones en funci6n de sen y cos y entonces usar la f6rmulas (6) Y (7).Un resumen de los resultados anteriores viene dado en el teorema siguiente:TEOREMA1. Si el polo y el eje polar del sistema de coordenadas polares coinciden, respectivamente, con el origen y la parle positiva del eje X de un sistema de coordenadas rectangulares, el paso de uno a otro de estos dos sistemas puede ejecutarse por medio de las siguientes frmulas de transformacin:x = r cos y = r senx2 + y2 = r2 = arcTg (y/x) r = sen = cos =

Ejemplo 1: Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas polares son (4, 120)Solucin: En este caso r = 4 y = 120, por lo tanto, por el teorema 1:

x = r cos = 4(cos120) = 4(-1/2) = -2y = r sen = 4(sen120) = 4(/2) = 2

De manera que las coordenadas rectangulares del punto P son (-2, 2 )

Ejemplo 2: Hallar un par de coordenadas polares de un punto P que tienes coordenadas rectangulares (3, -5).Solucin: En este caso x = 3, y = -5. Por lo tanto:

r = = = = arcTg = arcTg (-5/3)Ahora tenemos un nmero ilimitado de valores para 8 de donde tenernos que escoger uno. De acuerdo con lo dicho en el Articulo 80 para el par principal de coordenadas polares. Tomaremos r como positivo y para el ngulo positivo mis pequeo, menor que 360. Evidentemente, como se ve en la figura 5.

Figura 5 est en el cuarto cuadrante; su valor es de 300 58. Por lo tanto, el par principal de coordenadas polares de P es (, 300 58).

Ejemplo 3: Hallar la ecuacin polar del lugar geomtrico cuya ecuacin rectangular es:2x2 + 2y2 + 2x 6y + 3 = 0Solucin: Segn el teorema 1, reemplazamos x2 + y2 por r2, x por r cos y y por r sen. Entonces la ecuacin polar buscada sera. 2r2 + 2rCos 6rSen + 3 = 0

4. TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES

La construccin de curvas en coordenadas polares constar de los seis pasos siguientes:

1. Determinacin de las intersecciones con el eje polar y el eje normal.2. Determinacin de la simetra de la curva con el eje polar, el eje normal y el polo.3. Determinacin de la extensin del lugar geomtrico.4. Clculo de las coordenadas de un nmero suficiente de puntos para obtener una grfica adecuada.5. Trazado de la grfica.6. Transformacin de la ecuacin polar a rectangular.

Ahora desarrollaremos los pasos 1, 2 y 3, los 4, 5 y 6 no es necesario desarrollarlos.

4.1. InterseccinLas intersecciones con el eje polar, cuando existen, pueden obtenerse resolviendo la ecuacin polar dada para r, cuando a se le asignan sucesivamente los valores 0, , 2, y en general n, donde n es un entero cualquiera. Anlogamente, si existen algunas intersecciones con el eje normal, pueden obtenerse asignado a los valores de n/2, donde n es un nmero impar cualquiera. Si existe un valor de para el cual r=0, la grfica pasa por el polo.4.2. SimetraLa simetra de una curva se analiza mediante las siguientes transformaciones.Simetra con respecto alLa ecuacin Polar no se altera o se transforma en una ecuacin equivalente

Eje Polara) Se sustituye a por o b) Se sustituye a por y r por r.

Eje normala) Se sustituye a por ob) Se Sustituye a por y r por r.

Poloa) Se sustituye a por b) Se sustituye a r por r.

Fuente: Captulo X, Lehman4.3. Extensin del lugar geomtricoPara determinar la extensin de la grfica de un lugar geomtrico dado en coordenadas polares, primero se despeja a r en funcin de , de modo que tenemos r=f().Si r es finito para todos los valores de , se trata de una curva cerrada. Si r es infinita para ciertos valores de la grfica no es una curva cerrada. Para valores de que hacen a r compleja no hay curva; tales valores constituyen intervalos excluidos del lugar geomtrico. Si la grfica es una curva cerrada, es til, determinar los valores mximo y mnimo de r.

Ejemplo 4: Discutir y graficar la curva r = 1 Cos.

a) Interseccin

Para = 0, r = 0Para = , r = 2Para = 2, r = 0

Las intersecciones son: (0, 0); (2, ); (0, 2)

b) Simetra

Con el eje polar

Sustituimos a por r = 1 Cos(-) = 1 CosComo la ecuacin no se altera, hay simetra con el eje polar.

Con el eje normal

Sustituimos a r po r y a por -r = 1 Cos(-) r = 1 - CosComo la ecuacin se altera, no existe simetra con el eje normal.

Con el polo

Se sustituye a r por r. r = 1 Cos - r = 1 Cos Como la ecuacin se altera, no hay simetra con el polo

c) Extensin del lugar geomtrico

Dado que los valores del radio son finitos, podemos decir que la curva es cerrada.

d) Clculo de coordenadas de un nmero suficiente de puntos para obtener una grfica adecuada

r = 1 Cos

0/6/3/22/35/67/64/33/25/311/62

R00.130.511.51.8721.871.510.50.130

Como puede observarse en la tabla los valores a partir de empiezan a repetirse, por ser la ecuacin simtrica con el eje polar. Esto implica que cuando una ecuacin tiene esta caracterstica solo es necesario calcular los valores del radio hasta para = .e) Trazado de curva

Figura 6: Trazado de la curva r = 1 cos Fuente Mathematica

f) Transformar la ecuacin de polar a rectangular

Multiplicando la ecuacin r = 1 Cos miembro a miembro por r, obtenemos:

r2 = r rCos

Reemplazando r2 por x2 + y2 y rCos por x tenemos:

x2 + y2 = r x, pasamos x a sumar al miembro izquierdo

x2 + y2 + x = r, elevando al cuadrado cada miembro

(x2 + y2 + x)2 = r2, sustituyendo r2 = x2 + y2

La ecuacin rectangular buscada sera

(x2 + y2 + x)2 = x2 + y2

5. INTERSECCIN ENTRE CURVAS EN COORDENADAS POLARES

Para determinar todas las intersecciones de dos curvas dadas sus ecuaciones polares, resuelva las ecuaciones en forma simultnea; luego grafique las dos ecuaciones para descubrir otros posibles puntos de interseccin. Esto se debe a que un punto P tiene muchas parejas polares y una pareja puede satisfacer la ecuacin polar de una curva; y una pareja distinta puede satisfacer la ecuacin de otra curva.Ejemplo 5: Determine los puntos de interseccin der = 1 Cos, r = 1 + Cos Solucin:Igualando las dos ecuaciones:1 Cos = 1 + Cos2Cos = 0Cos = 0Ahora tenemos que:Cos-1Cos = Cos-10 = /2 = 3/2De acuerdo a la parte analtica los dos puntos de interseccin son:(1, /2) y (1, 3/2) Ahora, si observamos la siguiente grfica (ver figura 7) nos damos cuenta que existe un tercer punto de interseccin, el polo. Esto se debe a quer = 0 en 1 cos cuando = 0 y r = 0 en 1 + cos cuando = 0

Figura 7: grficas de funciones e intersecciones

6. FRMULA DE DISTANCIA ENTRE PUNTOS EN COORDENADAS POLARES

Sean los puntos P1 (r1, 1) y P2 (r2, 2) (ver figura 8) dos puntos dados cualesquiera. Se trata de hallar la distancia d entre P1 y P2, en donde d = . Para ello emplearemos el par principal de coordenadas de P1 y P2.

Figura 8: distancia entre puntos en coordenadas polares

Tracemos los radios vectores de P1 y P2, formando as el tringulo OP1P2 en donde , y el ngulo P1OP2 es igual a 1 2. Entonces, por la ley de cosenos, tenemos:

d2 = r12 + r22 2r1r2Cos(1 2), En donde:d =

7. GRFICA DE FUNCIONES EN COORDENADAS POLARES

7.1. Grfica de la recta7.1.1. Ecuacin de la recta que pasa por el polo

Figura 9: Ecuacin de la rectaLa ecuacin cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella, es de la forma y = mx.Realizando las transformaciones respectivas:

rSen = mrCosTag = mTag = Tag

Resulta finalmente que: = Ejemplo 6: Graficar = /4

Solucin:

Figura 10: Grfica de la recta

7.1.2. Ecuacin de la recta que no pasa por el polo y se encuentra a una distancia d del polo

Observemos la figura 11

Figura 11 rectas que no pasan por el polo

Del tringulo tenemos que:

Cos( - ) = d/r

Por lo tanto la ecuacin del mencionado lugar geomtrico sera:

r =

Ejemplo 7: Graficar r = Solucin:

Figura 12: grfica de la recta que no pasa por el polo

Casos especialesa) Si entonces la ecuacin resulta r = d/Cos una recta vertical (ver figura 13).b) Si entonces la ecuacin resulta r = d/Sen una recta horizontal (ver figura 14).

Figura 13

Figura 147.2. Grfica de las Circunferencias 7.2.1. Circunferencias con centro en el polo

Figura 15: circunferencias con centro en el polo

La ecuacin cartesiana de una circunferencia es:

x2 + y2 = a2

Aplicando las transformaciones tenemos:

(rCos)2 + (rSen)2 = a2

r2(cos2 + sen2) = a2

r2 = a2

Resultado finalmente:r = a

Ejemplo 8: Graficar r = 2

Solucin:

Figura 16

7.2.2. Circunferencias que contienen al polo y tienen centro en (a, )

Observemos la figura 17

Figura 17

De all obtener el tringulo (ver figura 18)

Figura 18

Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos:

a2 = r2 + a2 -2arCos( - )

Resultando finalmente:

r = 2arCos( - )

Ejemplo 9: Graficar r = 4Cos( /3)

Solucin:

Casos especiales:a) Si = 0, tenemos:r = 2aCos

Que transformada a su forma cartesiana, tenemos

(x a)2 + y2 = a2

Una circunferencia con centro en (a, 0) y radio r = a (ver figura 19)

Figura 19

b) Si = , tenemos r = - 2aCosUna circunferencia con centro (-a, 0) y radio r = a, ver figura 20

Figura 20

c) Si = /2, tenemos r = 2aSenUna circunferencia con centro en (0, a) y radio r = a (ver figura 21).

Figura 21d) Si = 3/2, tenemos r = -2aSenUna circunferencia con centro en (0, -a) y radio r = a (ver figura 22).

Figura 22

7.3. Cnicas tales que el foco es el polo y su recta directriz est a una distancia d del polo

Observe la figura 23

Figura 23: Cnicas

Se define a la parbola (e = 1), a la elipse (0 < e < 1) y a la hiprbola (e > 1), como el conjunto de puntos del plano tales que:

d(P,F) = e d(P, l)

Entonces:

d(P,F) = e d(P,l)

r = e [d rCos( - )]

r = ed erCos( - )

r[1 + eCos( - )] = ed

r = ed/[1 + eCos( -]

Casos especiales:

1) Si = 0 tenemos 2) Si = tenemos 3) Si = /2 tenemos 4) Si = 3/2 tenemos

Ejemplo 10: Graficar Solucin: En este caso e = 1 (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parbola con foco en el polo (el origen) y directriz cartesiana x = 6 ( a la derecha al eje /2). Parbola cncava a la izquierda (ver figura 24).

Figura 24: parbola con foco en el polo

Ejemplo 11: Graficar Solucin: En este caso e = (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una elipse con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar (ver figura 25)

Figura 25: elipse con un foco en el polo

Ejemplo 12: graficar Solucin: En este caso e = 2 (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una hiprbola con un foco en el polo y el otro foco a la derecha en el eje polar (ver figura 26).

Figura 26: hiprbola con foco en el polo

Ejemplo 13: Graficar

Solucin: Como el ejemplo 10, es una parbola; pero ahora como hay un signo negativo en la funcin trigonomtrica, la recta directriz tendr ecuacin cartesiana x = 6 " (a la izquierda y paralela al eje /2 ). Cncava hacia la derecha ver figura 27.

Figura 27Ejemplo 14: Graficar

Solucin: Es una elipse con foco en el polo y su otro foco a la derecha del eje polar (ver figura 28)

Figura 28

Ejemplo 15: Graficar

Solucin: Es una hiprbola con un foco en el polo y el otro polo a su izquierda en el eje polar (ver figura 29)

Figura 29

Ejemplo 16: Graficar Solucin: Es una parbola con foco el polo y recta directriz y = 6 (paralela y arriba del eje polar). Cncava hacia abajo (ver figura 30).

Figura 30

Ejemplo 17: Graficar

Solucin: Es una elpise con un foco en el polo y el otro en el eje /2 hacia abajo (ver figura 31).

Figura 31

Ejemplo 18: Graficar Solucin: Es una hiprbola con un foco el polo y el otro foco en el eje /2 hacia arriba (ver figura 32)

Figura 32Ejemplo 19: Graficar Solucin: Es una parbola con foco el polo y recta directriz y = 6 (paralela y abajo del eje polar) Cncava hacia arriba (ver figura 33)

Figura 33

Ejemplo 20: Graficar Solucin: Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje /2 hacia arriba (ver figura 34)

Figura 34

Ejemplo 21: Graficar Solucin: Es una hiprbola con un foco el polo y el otro foco en el eje /2 hacia abajo (ver figura 35)

Figura 35

7.4. Caracoles Los caracoles tienen por ecuacin polar la forma: r = a b Cos o de la forma r = a b Sen.

Consideremos 3 casos:7.4.1. Si se llaman CARDIOIDES

Ejemplo 22: Graficar r = 6 + 6Cos (ver figura 36), r = 6 6Cos (ver figura 37), r = 6 + 6Sen (ver figura 38) y r = 6 6Sen (ver figura 39)

Figura 36

Figura 37

Figura 38

Figura 39

7.4.2. Si se llaman LIMACON o CARACOL SIN RIZO

Ejemplo 23: Graficar r = 6 + 3Cos (ver figura 40), r = 6 3Cos (ver figura 41), r = 6 + 3Sen (ver figura 42) y r = 6 3Sen (ver figura 43).

Figura 40Figura 41

Figura 42Figura 43

7.4.3. Si se llaman LIMACON o CARACOL CON RIZO

Ejemplo 24: Graficar r = 3 + 6Cos (ver figura 44), r = 3 6Cos (ver figura 45), r = 3 + 6Sen (ver figura 46) y r = 3 6Sen (ver figura 47).

Figura 44Figura 45

Figura 46Figura 47

7.5. Rosas

Estos lugares geomtricos tienen ecuacin polar de la forma r = aCos(n) o r = aSen(n) para n > 1 y n natural, si n es par la rosa tendr 2n ptalos, si tiene n es impar la rosa tendr n ptalos.

Ejemplo 25: Graficar r = 4Sen(3) (ver figura 48) y r = 4Cos(3) (ver figura 49).

Figura 48Figura 49

7.6. Lemniscastas

Tienen ecuacin polar de la forma r2 = aCos2 o de la forma r2 = aSen2

Ejemplo 26: Graficar r2 = 4Cos2 (ver figura 50) y r2 = -4Cos2 (ver figura 51) y r2 = 4Sen2 (ver figura 52).

Figura 50Figura 51

Figura 52

7.7. Espirales

Aqu consideramos dos tiposa) Espiral de Arqumides.

Su ecuacin polar es de la forma r = a y tiene como grfica como se ve en la figura 53.

Figura 53: Espiral de Arqumidesb) Espiral LogartmicaTiene por ecuacin polar r = aeb y su grfica es como la de la figura 54.

Figura 54: Espiral LogartmicaBIBLIOGRAFA

1. Geometra Analtica Charles H. Lehmann, 3era edicin.2. Pre Clculo, Moiss Vilena Muoz3. Geometra Analtica R. Figueroa edicin

WebGrafa1. https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/5241/4/Precalculo%20de%20Villena%20-%2004%20-%20Coordenadas%20Polares.pdf 2. http://www.vitutor.com/di/c/a_11.html3. http://unrn.edu.ar/blogs/matematica1/files/2013/03/6%C2%B0-Coordenadas-Polares.pdf4. http://wikiuasd.wikispaces.com/file/view/Tema+III.+Coordenadas+polares.pdf