revista de matematica sistema de coordenadas polares
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Universidad Fermín Toro
Vice Rectorado Académico
Facultad de Ingeniera
Cabudare – Edo Lara
Integrante:
Roinner
Rodriguez
CI:
21.126.476
Todo sobre las Matemáticas
Barquisimeto,
28 Marzo
2014
EDICIÓN
ESPECIAL
COORDENAD
AS POLARES
Emplear el
sistema de
coordenadas
polares
Convertir
coordenadas
polares a
coordenadas
rectangulare
s y viceversa.
Obtener las
gráficas de
las
ecuaciones
en
coordenada
s polares.
Calcular el
área de
una región
plana en
coordenad
as polares.
1
EL MATEMÁTICO
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¿Qué es un Sistema de Coordenadas?
Un sistema de
coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que se denomina sistema de referencia.
Sistema de Coordenadas Polares Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos. Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.
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El sistema de coordenadas
polares es un sistema de
coordenadas bidimensional
en el cual cada punto o
posición del plano se
determina por un ángulo y
una distancia.
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Por conveniencia, comencemos con un sistema dado de coordenadas xy,
tomemos después el origen como polo y el semieje no negativo de las x
como eje polar. Dado el polo O y el eje polar, el punto P cuyas coordenadas
polares so r y q , escritas como par ordenado ( r, q ), se localiza como
sigue.
1.Encuentre el lado terminal del ángulo q, dado en radianes, medido en
sentido contrario de las manecillas del reloj ( si q > 0 ) a partir del semieje
positivo de abscisas ( eje polar) como lado inicial.
2.Si r ³ 0 , P estará en el lado terminal a la distancia r del origen.
3.Si r < 0, el punto P estará en el rayo opuesto al lado terminal, a la
distancia |r| = - r del polo. Se puede describir la coordenada radial r como
la distancia dirigida de P al polo, sobre el lado terminal del ángulo q.
4.Si r es positivo, el punto P estará en el mismo cuadrante que q .
5.Si r es negativo, P estará en el cuadrante opuesto.
6.Si r = 0, no importa cual sea el ángulo q, las coordenadas polares (
0, q ) representan al origen cualquiera que sea la coordenada
angular q. Por supuesto, el origen o polo es el único punto para el cual r =
0
Coordenadas Cartesianas
Un sistema de coordenadas
cartesianas se define por dos
o tres ejes ortogonales
igualmente escalados,
dependiendo si es un sistema
bidimensional o
tridimensional.
Coordenadas
Cilíndricas
se usa para representar los puntos
de un espacio
euclídeo tridimensional. Resulta
especialmente útil en problemas
con simetría axial. Este sistema de
coordenadas es una
generalización del sistema de
coordenadas polares del plano
euclídeo, al que se añade un
tercer eje de referencia ortogonal
a los otros dos.
Coordenadas Esféricas
En el plano podemos usar las coordenadas polares,
que permiten expresar ciertas curvas en forma mucho
más simple que las ecuaciones que ligan sus
coordenadas cartesianas. En el espacio, en lugar de
usar las cartesianas, podemos usar las coordenadas
cilíndricas o esféricas.
¿Sabías Que?
Aquí otros tipos de
coordenadas
Se define por dos o tres ejes
ortogonales igualmente
escalados, dependiendo de
si es un sistema
bidimensional o
tridimensional. 5
Las calculadoras dibujan gráficas de r = f (θ) al hallar el valor
de f (θ) para numerosos valores de θ a intervalos espaciados
regularmente, y dibujando luego los puntos resultantes (x,y).
Cuando se dibujan gráficas en
coordenadas polares, debe
identificarse algunos valores
mostrados de θ
correspondientes a r = 0 o
donde r alcanza un máximo o
un mínimo. Además, debe
identificar el rango de valores
de θ que producen una copia
de la curva polar, cuando ésta
es apropiada. Se deduce que
muchas curvas familiares
tienen ecuaciones polares
sencillas Gráfica de una Ecuación Polar
La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el
conjunto de puntos (x,y) para los cuales x = r
cos θ , y = r sen θ y
r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una
ecuación polar es una gráfica en el plano xy de
todos los puntos cuyas coordenadas polares
satisfacen la ecuación dada.
ROSA DE
CUATRO
HOJAS/PÉTAL
OS
6
Mediante la
localización de
puntos en el sistema
de coordenadas
polares, podemos
graficar funciones y
no sólo puntos. En
este tipo de
funciones la variable
independiente es θ y
la dependiente es r,
así que las funciones
son del tipo r = r(θ).
El método para
graficar estas
funciones es el
siguiente, primero
graficamos la
función r = r(θ) en
coordenadas
rectangulares y a
partir de esa gráfica
trazamos la
correspondiente en
polares. Guiándonos
con la dependencia
de r con respecto a
θ.
Recordemos que θ es la variable
independiente y generalmente va de
0 a 2π.
ROSA DE TRES
HOJAS/PÉTALOS
ROSA DE OCHO
HOJAS/PÉTALOS
UNA ROSA
DENTRO DE
OTRA
7
Intersección de
ecuaciones en
dichas
coordenadas
polares, tiene el
propósito de
buscar todos los
puntos de dicha
intersección.
Nota: debe tenerse
especial cuidado al
determinar los puntos de
intersección de dos
gráficas polares, por lo
que se sugiere realizar el
dibujo de las ecuaciones,
donde más adelante se
calcula el área de una
región polar.
¿Sabía usted?
que si tiene una
calculadora gráfica
puede ver con mas
facilidad la
intersección de una
o dos ecuaciones.
Los puntos de intersección de dos graficas, se
determina cuando se resuelven de manera
simultanea las dos ecuaciones para las
graficas.
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Nota: lo más difícil a la
hora de hallar el área de
una región polar es
determinar los límites de
integración. Un buen dibujo
de la región puede ayudar
mucho en estos casos.
Otras gráficas en Coordenadas polares
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Sopa Numérica
1 0 7 6 6
1 0 8 3
2 2 5 0 3
4 3 5 2 9
7 9 4 4 3
Encuentre
las
siguientes
cifras
numéricas
112
785
1083
443
529
2508
13