C"prulo 20

FL.Z0-l

Coordenndqs poloresLA POSICION DE UN PUNTO P en un plano con respecto a un

punto fijo O del misrno, se puede denir por medio dc lasproyccciones del vector OP sobre dos rectas mutuamenteperpendiculares del plano que pasen por O. Este es el sistemacartesiano de coordenadas rectangulres. Otra forma dedeterminar el punto en cuestin os por nedio de Ia distanciat: OP y el ngulo B que OP farmz con uns scmirrectafrjz OX de origen O (polo). Este es el sistema de caordenadaspolares.

A cad par de nmeros (g, 0) le corresponde un rlnico punto, pero esta correspondencia no esbiunvoc ya que, por ejemplo, al punto P de la gura le corresponden las coordenadas (g, 0 L ?-nt)y [-e,0 +.(br + l)rl], siendo n un nmero positivo cualquiera, incluido el cero. En particular,las coordenadas polares del polo son (0, 6), en donde 0 puedc scr cualquicr gulo.

La curva cuya eoua+in cn coordenadae polarer es g -l(0) o tr{g, 0} - O est fqrriadr pr

todos los puntos de coordendas (9, 0) que satisfacen la funcin o ecuacin anterior.

EL ANGLTLO y quc el radio vector OP forma con la tangcnte PIa la curva en un punto Pk, Al de ella, viene dado por

talv: Q# : $, siendo e' : #El valor de tag r/ juega el mismo papel en el sistema de

coordenads rolares, que el de la pendiente de l tangcnten el sisterna de coordenadas rectangulares,

(Ver Problem's l-3.)Fi.2G2

EL ANGLJLO DE INCLINACION de la tanfente a la curva en un punto P(e, de ella viene dado portagz:ffi

(Ver hobtemas 4-10.)LOS PUNTOS DE INTERSECCION de dos crrvas de ecuaciones

a:f.{0) Y e:fr(0,se hallan resolviendo el sistema

,{0}:,f'(0)Epmplo t:

Hallar los puntos dc intcrseocin dc g -

I * scn 0 y g : 5 -

3 scnB.

Igrralando I * scn 0 : 5 -3 sen 0, obtencmos sen 0 : l.

Por tanto, 0 - ln y (2, ln) es el rinico punto de interseccin.

(r)

CAP.2OI COORDENADAS FOLARES TOlCuando el polo es un punto de interceccin puede ocurir que no zpa;rezra, entre las solueiones

de (I). El polo es un punto de intersecin siempre que haya valores de 0, 0, y 0", para los cualcs"6(dJ :0 yl'(Br) - $.ffrnplo 2:

Hllar los puntos de interseccin de g : sen d y g : cos 0.DG scn0:cos8 (I)

gc obticn el punto de intcrscccio{t{T,}z). Ahora bien, en este saso, lascurvas dadas son circunfcrcrrias qrrp6!n por el polo y, sin embargo, estc punto no es solucin dc (I) porquc srs coordenadag en la ecuacin g : sen4on (0,0), mientras que en la ecuacin I : cos0 son (0, |rr).Efcuplo 3:

Hlhr loc puntos de inteseccin de p : oos 2A y g : cos 0,Igualando s20:2cogr0- I : cos0, obtenemc(cos0* IX2cos0 i l):9.Dc donds 0

- O,brl\, 4zl3; y los puntos dc rnicrscccin son (1, O), (-t,brltl, (**,4nl3). El polo cs tambi{n

utr ptnto de intcrcccin.

EL ANGULO DE INITRSECCION / de dos curvas en un puntode interseccin P(9,0), quc no sea el polo, viene dado por C

tag C : -t8 9t - tag ?

I f tag %tzgpesiendo ?r y g los ngulos que forma el radio vector OP cnnlas respectivas tangentes a les curvs en P.

Como vemos, el procedimiento de calcular este nguloes anlogo al utilizado en coordenadas rectangulares sinms que sustuir las pendientes de las tangentes por las tan-gentei de los ngulos que el radio vector fonma con las tangen- otes a las curvas en el punto de interseocin. Fir.20-tEtemplo 4:

Hallat los ngulos agrrdos dc interseccin de las curvas

: cos 0 Y g : cos 20.las puntos dc intcrseccin ya sc calcularon cn el ejcmplo 3.Enelpob:estaputovbndadopor0:|zdclacurvap:cc0yngr0-zl4ylttl4delag-:sos24For

tanto, cn ei poto habi dos intcrgeiorres, siend el ngulo agudo de cada una de las cunas dadas a fz-

kra p : cos@teSTr:-cot0

Para

: c620tagtp:4crt20

Enclpunto{1,0): tagVr: -cot0: co Y lag? - oa.Por Bnto,9r : Yt: \ty Q:4.

En er punto (- l,bl3):las sr : {Tp v tasv : -{T6. "" f :$}# : v/tlsv el nguto agu'

do de inteFsin es d : 46" 6'.Por sinctrfa. este'as tambin el ngulo agudo de interseccin en el punto (-*,anlD.

(Ver Problemas ll-13.)

IA DERTVAIIA DE LA LONGITUD DE ARCO viene dda po, #: /du * (p )'sindo s' :haciendo el convenio de que al aumentar 0 tambin lo hace s.

dgE(Ver Problemas l4-l.)

t02 COORDENADAS POLARES [cAP. 20

I,A cURvATuRA de una curva se expresa por K : ffi#.(Ver hoblemas 17-19.)

MOYIMIENTO CURVILINEO. Supongamos que una partfcula P se rnueve a 1o largo de una curvacuya ecuacin, en coordenadas polares, cs g :/(0). Exprcsando la ccuacin de la curva en formaparamtrica:

x: Q cos0:g(0), y: Q senS: (0)El vector de posicin de P es

r : OP : xi *yi : eicos 0 * pj sen 0 : g(icos 0 *i sen 0)y el momiento de P se puede estudiar como se hizo en el Captulo 19.

Otro procedimiento es expresaf r y, por tanto, y y I, enfuncin de los vectores unitarios segn el radio vector de Py su perpendicular. Veamos cul es la expresin del vectorunitario en la dieccin de r.

tle:icos8*isen9cuyo sentido es el de crecimiento de g; el vector unitariosegrln la perpendicular a r con el sentido del crecimientode 0, viene dado por

o:-isen0*jcos0A pa*ir de estas expresiones es fcil llegar a las siguientes:

dao due dA _

d0 le dAdt : _A _A _ rro dt y _t : _\_AtDe

Como se demuestr en el Problema 20,r:ge

, : $: n"+ + eor+: )eue g uoue

' : $: "-[# --(#)] * *[' # *'# #]

: ck * eue

Aquf u. : # ! e: O $ ron, respecvamente, las componentes de v en la direccin del radiovector y en su perpendicutar, siendo oo: # -l#l' y do : n# * r#' ff,vr correspon-dientes componentes de . (Ver Problerna 21.)

Problemas resueltosl. Demosrar que tag * : n #,siendo rp el ngrlo formado, en et punto f(p, t) de ta curva g : f@), por el radio vec-

tor OP y la tangentc P?rEn Ia Fig. &5, Q(p + Ae,0 * ./) cs un punto dc la crva muy prximo a P. Del tingulo rect8ulo PSO'

cAP. 201 COORDENADAS POLARES

^_ t .sP SP e*n A0IaC/. -

-

: . - .'-..--

.SC OQ-OS e+p-pcas0*n A0o_

'aa: --f=ccrZd ;a- -- ----'00

l0]

g sen l0(l *cos 0) t le

Calcular tag ? en los puntos dados en las funciones de los problemas 2-3.2. e:2* cos0;0:n11.(Yer Fig.2fM.)

para0:nl3:p:2 +.1 : Sl2,g': -*n0:_\r/rL,y tzgtp: elg, :_Sl\/T.

Fia.20.6 Fig.20.?p : 2 sen 3Bi 0 : nl4. (Yer Fig. 2S?.)

Para 0 : nl4: s : 2(U\/-2) : \t\' : 6cos 30 : 6(-U\/-zt : -3{2,y tas y : ete' : -1t3.

Demostrar que tas r : -9i9lut${$.

De la figura dcl Problcma l, t -

V * A y

sen0' de ' cos0

3.

.

Ahora bien, cuando Q * P a lo largo de la curva, /8 --> O,OQ+OP,PQ+PTy L7+ Lry.Cuando ao +o.2o I -cos /o.

"g_*ty__if+0(verCa_pltulo l2).Dedonde, tag rp : Jl$" t"g ^: -OE

: +

t.ez:tag(r*ol:#*ffi-l dB senO-a

-

-_

* dp cosO

Fig.20-

scos0+SsenO

#cos0-psendpcos d * p'sen8

=senE+'cdTa Demostrar que si g :/(8) pasa por el polo y dr satsface a la ecuacin/(0J : 0

la direccin de la tangente a la curva en el polo (Q 0t) viene dada por 0r.En {0,0J:

:0 Y e' :t'{8).si p' ;e o; res ?

-

jJ$*uittt$*+#*+3 - ta80,

sis,:s tagz:m ##+l[!] : "ru,

Fis.2o-?

Fig.20-t

t04 COORDENADAS POLARES

En los Problemas 6-8 hallar la tangente de la curva dada sn el punto considerado.:

-cos 0; 0 : |:r. Yer Fig. 20-9.

tu.uP :fn: sen: l, cosd : O, I : l, Q' :en0 : l, Y

lcAP. 20

6.Q

pcosd+p'send l'0+ l'lras?:ffi:=l+I;::*I

rasr:#$Pu*_.*:-E#9. Hallar los puntos en los que la tangpnte a la curva

: I * sen 0 es hqri-

7.

8.

Fi.20-9 Fi.20-10

e : gos 3d; polo. Ver Fig. 20-10.Cuando 0 :0, cos 30: q. Por tanto 38:n2,3n12,5n12, y 0:nJ6, nl2, 5n16.Del Problema 5, tagr-: ll{l *, y

-lldT.e0:a',0:n13.

Para 0:/3: sen 6:1/llZ,cosd: , p:3aln,y e':--41tr:-9atnr.

zontal o vertical

En P(, 0): tag r : {t * sen0)cos d i cos 0 send-.(l + sen 0) sen 0 i cor'0

cos0(l * 2senB)(sen0*l){2sen0*l){a) Haciendo cos0(l * 2sen8): Oobtenemot:

0 : nlL, 3nl2,7tul6, y llnl6.Siendo (sen0 + l)(2sen0- l)

- 0 obtenemos;

A :3*12, nl6, y 5n16.() Para 0 : nl2: Hay una tangpnte horizontal en (2,n12).

Pata 0 : 7tzl6 y I lnl6: Hay tangFntes horizontales en los puntocFi.20-ll

(t, ?r,t6) y (*, I ln/6).Para 0 : nl6 y 5z16: Hay tangcntes verticales en (3/2, ttl6) y (312,5n16').Para f : 3nl2: Yer Problema 5, hay una tanEpnte vertical cn cl polo.

10. Demosrar que el ngulo que forma el radio vector de u! purto cualquiera de l cardioide g : dl -

cc 0) con lacurva, s la mitad del que iorma el radio vector eon el eje polar.

Dado un punto cualquiera P(p,0) de la cardiode, tendremos:e'- asen0, y tag ip - ele'- (l

-cos0)/sen0 - tagi0 o g - |8

cAP- 201 COORDENADAS POLARES

En los Problemas I l-13 hallar los ngulos de interseccin de los pares de curvas dadas.

ll. e:3cosd,Q:I*cos0.() Resolviendo g : 3 cos0 : I * cos 0 obtcnemc los puntos de interseccin

Q 12, n l3l V Ql?, 5n l3\. l-as curvas s cortan tambin en cl polo.() ParaQ:3cosd: p':-3sen0 y taggr:-cot0.

Para g: I *cos 0t g' :-seng y taggi:- t :#U(c) Para 0:nl3: tasvL:-tt\/T, tagq':-\,/T, y aE: UdT.

El ngulo agudo de interseccin en el punto (312, nl3) y por simetra en e I (3/2, 5nl3l, es z16.En el polo: Crcarrente o teniendo en cuenta el resultado del Problema 5, se pucde ver qne las crrvas ddas sonortogonales.

e:sect0,e:3csct|0.(a) Resolviendo g : sect f0 : 3 csct |8 obtenemos los puntos de interseein (4,?al3l y (4,4n13).() Para e : sect i0: Q' : sec' l0 taglg y tg yr : cot t0.

Para p : 3 csc |B: p' : -3 csct 0 cot 0 y tag rp :

-tag,*$-(c) Para 0:2n13: tagtr: llt/T, taeqz:-{lV :Ln, Lascurvasmnortogonales.

8:sen20,g:sos6.(a) Las curvas se cortan n los puntix 6/T12,1:.16), (-\,ttz,5n16), y en el polo.() Para p : sen 20:. p' :2 cos 20 y tag r/r

- ltag29.Para p : cos 0: sen 0 y tag yr :

-

cot 0.

(c) Para g:nl6; tag?r: lTl2,tae4s:-{T,y l.eE:41/7. Hnguloagudodeinterseccinenlospun-tos (1/y2,6) y (-\/T12.5*/6) es : urc tae3\,/T: 79'6'.

En el polo, los ngulos agudos de interseccin son 0o y |n.

Hallar dsld9 en el punto P(p,0) en los Problemas 14-l.8*@s28.

e' : *2sen 20 y dl : \/d+GT : \/cs'zf+ 4seF: Vj +lsen'E.

105

t2.

r3.

4.

f5. e(l * cos 0) : 4.--{ sn 0 + e'(l * cos 0) : s' De donde .' : #h : Offih v

ds 4\/,_E : {Q' +(pJ,:

,'*;COrr16. g : senr {0. }{allar dsld0 para d : }n.

0' : sn'{0cos}0 y dsFA: @ :sen*0.Para 0 : $n, dsfd|: senr tz : l/4.

17. Demostrar que K : e' + 2(P'\" - ge"{Fqer4';--'Por deniein, K: dtlds. Como z :0 + vt y

F[.20-12

* = # + + - 4^ * # * : #(,. #\, siendo y - arctas*

rc6 COORDENADAS POLARES [cAP. 20

# =VW = !W- y 1 ** ='*ffi = ffiff{Porranto, * : *(r. #) : W = H#+ = ffiff.

18. g -

2 * sen 0. Hallar la curvatura en el punto P(9, d).o

-

p'*2(p'\'-pp" -

(2*sen)r * 2cos1e * {*n_e)(2*sena) _

6(l*scnc)*--1;lllYlr- -G+4*"al"''

19. Q(l -cos0): . Hatlarlacurvatufaen0: flZ y en U:*,t.r'= 6ffi, p" = ffi+ffi, v =senr{a.Para0: xf, K:(U1' : tEl+; para0: 4nlt, K:(lTiZ"

-l/Tie.

2ll. Apartirdela relacin -goe,deducirlasfrmulas de ryrcnfuncindeeo yoo.

=pun

Y = # = u,#*r* =,,**o'.o#E = # = ,o#+",yr#*o,u#*ur|r#-*,(#)'

f p /\'l , __ f *c , ^dpdel= "oL' - o\dt/ lt "oL'* - o)

21. Una parthula 8e mueve en el sentido contrario al de las agujas del rcloj a lo largo de Ia curva g:4sen20, siendoldt : I radianes por segrndo. (o) Expresar r y r n furcin de o{ y a. () Calcular lvl y ll Wa 0 : nl6.

r = 4sen2e up, dpldt - 8cos2cldt = 4cos2a, pldt2 = -4scn2,

d,o dc{o) v = ,o*ptl.s = 4urcos2c*Zusxn2d-- f ,0 /dd\'l , l- .c

- odp48 = "'LIF-'\a)I * "'Low* " d)

= -5uo sen 2a * 4u6eos2e

()parae =rtl. uo_ $r*f,i,,r, = -|i **. v = fr*li, a = -ft-*t.l"l = fz, a : 16-r. ' a

Problemas propuestosCalcular tf,g r/ en los puntos dados, en los Poblemas 22-25.

22. g:3 -sen0 para 0: 0, e :3t14 SoL -1, l{l-t

23. e :(t -cc9) para d - rl4 e - hlz sol- \-t, -l

24. e(l -cos0) -q para 0: *l!,0:5n14 SoI. -{Th, | + \/T

t!i. t : 4 sen 20 para 0 : 5zll2, 0 : turl3 So. ..ll\8, {T