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GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES25 ejemplos de graficas en coordenadas polares

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Ahora, biencuando se quierehallar el áreacomprendida entredos gráficaspolares, se empleael procedimientoconocido desustraer un área deotra. Aunque en elsiguiente ejemplolos cálculos nofueron sencillos,con frecuencia,determinar loslímites deintegración es laparte másdesafiante parahallar el área deuna región polar.

AREA DE UNA REGION EN EL PLANO DE COORDENADAS POLARES

Ejemplo 1 Hallar el área de la región A

comprendidadentro del Caracol r=1+2cosø y el exteriordel circulo r=2SOLUCION:

Si observamos la figura se puede apreciar las dos ecuaciones donde el área A entre ellos esta sombreada. Los puntos de intersección del círculo y el caracol están dados por:

Estos valores son

limites de

integración que

se necesitan

luego: 3

Ejemplo 2

Hallar el área interior del limacon r = 3 + 2cosø y exterior a la circunferencia r = 2

SOLUCIÓN:

Primero debe resolverse la ecuación igualando ambasecuaciones: 3+2cosø=2

Observe que como cosø es periódico, existen muchassoluciones para esta ecuación. En consecuencia, esnecesario recurrir a la gráfica para determinar encuales soluciones esta interesado. En este caso, sedesea hallar las soluciones menores negativas y las máspequeñas positivas. Observando la figura,cuidadosamente donde solo se ha representado soloaquellas porciones de las gráficas correspondientesa ø entre las primeras dos soluciones positivas.

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De manera semejante, el área encerrada por la circunferencia en este intervalo esta dado por:

el área interior de la limacony exterior a la circunferencia está dada por:

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El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r viene dada por:

Consideremos la función dada por r=f(ø), donde f es continu y no negativa en el intervalo [α,β]. La region limitada por la grafica para hallar el area de esta region partimos el intervalo [α,β ] en n subintervalos iguales α=ø<ø<ø<……<ø<ø=β

A continuacion aproximamos el area de la region por la suma de las mismas de los n sectores

Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la formula para hallar el area de una region limitada por la grafica de una funcion continua no negativa. Sin embargo, no es necesariamente valida si f toma valores positivos y negativos en el intervalo [α,β].

Algunas veces lo mas dificil a la hora de hallar el area de una region polar es determinar los limites de integracion. Un buen dibujo de la region puede ayudar mucho en estos casos.

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