Coordenadas polares

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede

localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos

valores son las distanicas dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se

intersectan los dos ejes coordenados.

Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordendas polares, en este sistema se necesitan

un ngulo () y una distancia (r). Para medir , en radianes,

necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para

medir r, un punto fijo llamado polo.

Si queremos localizar un punto (r,) en este sistema de

coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, despus trazar una lnea con un ngulo

de inclinacin y, por ltimo, localizamos el punto de interseccin

entre la circunferencia y la recta; este punto ser el que queramos localizar.

A continuacin localizamos varios puntos en el plano polar.

Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas

circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo nico que hace falta es encontrar el ngulo de inclinacin. Para

medir el ngulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o

negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del

movimiento de las manecillas del reloj.

Como ves los ngulos pueden ser negativos dependiendo de cmo se midan a partir del eje polar,

tambin podemos tener distancias "negativas": ya que hayamos

localizado el ngulo, la recta que parte del polo en esa direccin tendrn un radio positivo y los puntos que estn sobre la

prolongacin de esta recta en sentido contrario al polo tendrn un

radio negativo. Por ejemplo:

Con estos conceptos bsicos de localizacin de puntos en el sistema de coordendas polares, podemos graficar funciones y no

solo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente es y la

dependiente es r, as que las funciones son del tipo r = r(). El

mtodo para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la funcin r = r() en coordenadas rectangulares y

apartir de esa grfica trazamos la correspondiente en polares.

Guindonos con la dependencia de r con respecto a .

Recordemos que es la variable independiente y va de 0 a

2 generalmente. Por ejemplo la funcin r = tiene como grfica

en rectangulares

A la izquierda

vemos que el radio depende

linealmente con el

ngulo, es decir que el

radio

crecer y tomar los

mismos valores que el ngulo. Y

a la derecha tenemos

esta grfica en

coordenada

s polares se ve claro

esta dependenci

a del radio con el

ngulo. A

esta grfica se le

llama Espiral de

Arqumedes

Mostraremos a continuacin algunas grficas en coordendas

polares.

r = sen(2)

r = sen(3)

r = sen(4)

r = sen(5)

Hasta aqui hemos visto que las funciones del tipo r = sen(a) son

rosas o rosetas. El nmero de ptalos depende del valor de a,

si a es par, el nmero de ptalos es 2a; y si a es impar el nmero

de ptalos es a.

Para graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrn se

puede hacer una tabulacin slo con algunos valores de que casi

siempre son: 0, /2,, 3/2, 2. y ver cmo cambia el valor de r.

r = 1- sen()

Aqu observamo

s que el

radio siempre es

positivo y va de 1 a

2.

Si quieres ver ms detalle cmo graficar este tipo funciones, mndanos un correo a la

direccin tmatep8@www.dynamics.unam.edu y con gusto te

mandaremos ms informacin. De todas formas vistanos

constantemente ya que estamos en un periodo de actualizaciones.