colaborativo 1 2015-1 ecuacion diferencial
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Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación
A. ððŠ
ðð¥+ ð ðð (ðŠ) = 0 no lineal, de primer orden
B. y â²â² + yâ² + y = 0. Lineal de segundo orden
C. ð2ðŠ
ðð¥2+
ððŠ
ðð¥â 5ðŠ = ðð¥ lineal de segundo orden
D. (2ðŠ + 1)ðð¥ + (ðŠ2ð¥ â ðŠ â ð¥)ððŠ primer orden, no lineal
E. ð¥ðŠâ² â ðŠ = ð¥2 lineal de primer orden
F. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial
ððŠ
ðð¥+ ðŠ2 +
ðŠ
ð¥â
1
ð¥2 = 0 ðŠ = 1
ð¥ ðŠ1 = â
1
ð¥2
Sustituyo
â1
ð¥2 + (1
ð¥) +
(1ð¥
)
ð¥â
1
ð¥2 = 0
â1
ð¥2 +1
ð¥2 +1
ð¥2 â1
ð¥2 = 0
0 = 0
Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables:
A. Solucione por separación de variables
ððŠ
ðð¥=
â2ð¥
ðŠ
ðŠððŠ = â2ð¥ ðð¥
â« ðŠððŠ = â« â2ð¥ ðð¥
ðŠ2
2= â
2ð¥2
2+ ð
ðŠ2 = â2ð¥2 + ð
Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala
B. Determine si es exacta, si lo es resuélvala
2ð¥ðŠððŠ
ðð¥+ ðŠ2 â 2ð¥ = 0
2ð¥ðŠððŠ = (2ð¥ â ðŠ2)ðð¥ (ðŠ2 â 2ð¥)ðð¥ + 2ð¥ðŠ ððŠ = 0
ðð
ððŠ= 2ðŠ
ðð
ðð¥= 2ðŠ ðððð
ðð
ððŠ=
ðð
ðð¥
Por tanto Si es exacta, entonces
â«(ðŠ2 â 2ð¥)ðð¥
ð¥ðŠ2 â ð¥2 + â(ðŠ)
ð
ððŠ[ð¥ðŠ2 â ð¥2 + â(ðŠ)]
2ð¥ðŠ + ââ²(ðŠ) = 2ð¥ðŠ
ââ²(ðŠ) = 0, â(ðŠ) = ð
ð¥ðŠ2 â ð¥2 = ð
Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:
C. (3ð¥ðŠ + ðŠ2)ðð¥ + (ð¥2 + ð¥ðŠ)ððŠ = 0
ðð
ððŠ= 3ð¥ + 2ðŠ
ðð
ðð¥= 2ð¥ + ðŠ
ððŠ â ðð¥
ð=
3ð¥ + 2ðŠ â 2ðŠ â ðŠ
ð¥2 + ð¥ðŠ=
ð¥ + ðŠ
ð¥(ð¥ + ðŠ)=
1
ð¥
ð(ð¥) = ðâ«1
ð¥ðð¥ = ðððð¥ = ð¥)
(3ð¥2ðŠ + ð¥ðŠ2)ðð¥ + (ð¥3 + ðŠð¥2)ððŠ = 0
ðð
ððŠ= 3ð¥2 + 2ð¥ðŠ
ðð
ðð¥= 3ð¥2 + 2ð¥ðŠ
â«(3ð¥2ðŠ + ð¥ðŠ2)ðð¥
ð¥3ðŠ +ð¥2
2ðŠ2 + â(ðŠ)
ð
ððŠ= ð¥3 + ð¥2ðŠ + ââ²(ðŠ)
ð¥3+ð¥2ðŠ+ ââ²(ðŠ) = ð¥3 + ðŠð¥2
ââ²(ðŠ) = 0
â(ðŠ) = ð
ð¥3ðŠ +ð¥2
2ðŠ2 = ð
D. Resuelva la ecuación
ððŠ
ðð¥=
ðŠ
ð¥+
ð¥
ðŠ ð =
ðŠ
ð¥ ð¥ð = ðŠ ð£ + ð¥
ðð£
ðð¥=
ððŠ
ðð¥
Sustituyo
ð£ + ð¥ðð£
ðð¥= ð£ + ð£â1
ð¥ ðð£
ðð¥=
1
ð£
â« ð£ðð£ = â«1
ð¥ðð¥
ð£2
2= ð¿ð|ð¥| + ð
ð£2 = 2ð¿ð|ð¥| + ð
(ðŠ
ð¥) = 2ð¿ðð¥ + ð
ðŠ = 2ð¥ð¿ðð¥ + ðð¥
E. Resuelva la ecuación
âðŠð¥4 + ðŠâ² = 0 ðŠ(1) = 1
(ðŠð¥)14 +
ðð¥
ððŠ= 0
ððŠ
ðð¥= â ðŠ
14 ð¥
14
ððŠ
ðŠ14
= âð¥14 ðð¥
â« ðŠâ14 ððŠ = â« âð¥
14 ðð¥
4
3ðŠ
3
4 = â4
5ð¥
5
4 + c
ðŠ34 = â
3
5ð¥
54 + ð
ð = ð
ðŠ34 = â
3
5(1)
54
ðŠ(1) ðð ðð ð¡ð ðð ðð ððððððð ðð ðð ð ððð¢ðððð ðð ðð ððð¢ððððð ððððððððððð.
Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m3/s que vierte sus aguas
por la única entrada de un lago con volumen de 6000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1999, y que desde entonces, dos veces por dÃa, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al rÃo a razón de 2 m 3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 8000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de un dÃa, un mes (30 dÃas), un año (365 dÃas).
Los datos conocidos de los ejercicios son los siguientes:
ð¶ðð¢ððð ðð ððð¡ðððð = 10000ð3
ð
ð¶ðð¢ððð ðð ð ððððð = 8000ð3
ð
ð¶ðððððð¡ððððóð ðððð¡ððððððð¡ð =2
ð3
ð
8000ð3
ð
= 0.00025 = 0.025%
ðððð¢ððð ðððð (ð¡ðððð¢ð) = 6000 â 106ð3
ð
Esquema:
Este ejercicio es un modelo de ejercicio del caso de mezclas que tiene algunas consideraciones
importantes para tener en cuenta:
Durante el dÃa solo se va a presentar entrada del contaminante en 4 horas luego eso implicarÃa
tener ecuaciones que trabajaran por intervalos lo cual serÃa más complicado. Para solventar este
problema vamos a considerar una entrada promedio por dÃa del contaminante asÃ:
ððð ð ðð ððð¡ðððð ðð ðððð¡ððððððð¡ð = 2ð3
ð
ððð ð ðð ððð¡ðððð ðð ðððð¡ððððððð¡ð ððð ððð = 2ð3
ð â
60 ð
1 ðððâ
60 ððð
1 ââ 4 â = 28.800 ð3
ððð ð ðð ððð¡ðððð ðð ðððð¡ððððððð¡ð = 28800ð3
ððð
1. El volumen del lago se mantiene constante ya que los caudales de entrada y salida son
iguales.
2. ððð¢ððð ðð ð ððððð = 8000ð3
ð â
60 ð
1 ðððâ
60 ððð
1 ââ
24 â
1 ððð= 691200000
ð3
ððð
ðððð¢ððð ðððð (ð¡ðððð¢ð) = 6000 â 106 ð3
ð
Luego de presentar las anteriores consideraciones vamos a plantear la ecuación que relaciona la
cantidad de contaminante en el tiempo. esta se representa por:
ðð
ðð¡= ðð â ðð
ðð
ðð¡= ðð â ðð
Ahora vamos a reemplazar
ðð
ðð¡= 28800 â 691200000 â
ð(ð¡)
6000 â 106
Simplificando:
ðð
ðð¡= 28800 â 0.1152ð(ð¡)
ðð
ðð¡+ 0.1152ð(ð¡) = 28800
ð = ðâ« 0.1152ðð¡ = ð0.1152ð¡
ð0.1152ð¡ âðð
ðð¡+ ð0.1152ð¡ â 0.1152ð(ð¡) = ð0.1152ð¡ â 28800
ð
ðð¡(ð0.1152ð¡ â ð(ð¡)) = ð0.1152ð¡ â 28800
â« ð (ð0.1152ð¡ â ð(ð¡)) = â«(ð0.1152ð¡ â 28800)ðð¡
ð0.1152ð¡ â ð(ð¡) = 28800 â« ð0.1152ð¡ðð¡
ð0.1152ð¡ â ð(ð¡) =28800
0.1152ð0.1152 + ð¶
ð0.1152ð¡ â ð(ð¡) = 250000ð0.1152ð¡ + ð¶
ð(ð¡) =250000ð0.1152ð¡ + ð¶
ð0.1152ð¡
ð(ð¡) = 250000 + ð¶ðâ0.1152ð¡
Tenemos la cantidad de contamiente en el lago. Ahora sustituimos las condiciones iniciales:
ð(0) = 0
0 = 250000 + ð¶ðâ0.1152(0)
0 = 250000 + ð¶
ð¶ = â250000
ð(ð¡) = 250000 â 250000ðâ0.1152ð¡
Con esta ecuación se puede hallar una expresión para determinar la concentración de
contaminante en el lago
ð¶(ð¡) =ð(ð¡)
ð(ð¡)=
250000 â 250000ðâ0.1152ð¡
6000 â 106
Entonces:
ð¡ = 1 ðÃð
ð¶(1) =250000 â 250000ðâ0.1152(1)
6000 â 106 = 0.00000453 = 0.000453%
ð¡ = 30 ðÃð
ð¶(30) =250000 â 250000ðâ0.1152(30)
6000 â 106 = 0.0000403 = 0.00403%
ð¡ = 365 ðÃð
ð¶(365) =250000 â 250000ðâ0.1152(365)
6000 â 106 = 0.0000416 = 0.00416%