Matriz potencia. Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo k. Las potencias de A se definen como sigue: A2=AA, A3=A2A, , An+1=AnA y A0=I

Ejemplo:

Sea , calcular A2 y A3

Solucin

Matriz Peridica. Una matriz A se llama peridica, si k el menor nmero entero y positivo para el cual se cumple Ak+1=A, se dice que la matriz A tiene como periodo k.

Ejemplo:

, demostrar que A es una matriz de periodo 2.

Solucin:Para determinar si A tiene periodo 2 es necesario calcular A3, por lo tanto

Como vemos de A3=A, entonces A es una matriz peridica, con periodo 2.

Matriz nilpotente. Tambin llamada matriz nulipotente, siendo A una matriz cuadrada y si p es el menor nmero entero positivo para el cual Ap=0, entonces A es nilpotente de orden p.

Ejemplo:

Demostrar que es una matriz nilpotente de orden 3.

Solucin:

Para hacer dicha demostracin es necesario calcular A3, por lo que tenemos

Como vemos que A3=0, entonces A es nilpotente de orden 3.

Matriz idempotente. Una matriz A de nxn es idempotente si y solo si A2=A.

Ejemplo:

Si a , demostrar que A es idempotente.

Solucin:

Como vemos que se cumple A2=A., entonces A es una matriz idempotente.

Matriz involutiva. Una matriz A es involutiva si cumple con A2=I.

Ejemplo: Si , demostrar de A2=I.

Solucin

Es necesario calcular A2=I, por lo que tenemos:

Como vemos que A2=I., entonces A es una matriz involutiva.

Matriz compleja. Sea A una matriz de tamao mxn, se llama compleja si sus elementos con nmeros complejos

Ejemplo:

Matriz conjugada. Sea A una matriz compleja, la matriz conjugada se forma con los conjugados de cada elemento de A, se representa por

Ejemplo:

,

Matriz hermitiana. Si A es una matriz compleja, una matriz hermitiana debe cumplir con .

Ejemplo:

, demostrar que A es una matriz hermitiana

Solucin

,

Como se cumple que , por lo tanto A es una matriz hermitiana.

Matriz antihermitiana

Si A es una matriz compleja y adems cumple con , entonces se llama matriz antihermitiana, hermihermtica o antihermtica.

Ejemplo:

, demostrar que A es una matriz antihermitiana

Solucin

, Por otro lado

Como se cumple que , por lo tanto A es una matriz antihermitiana.

Matriz ortogonal. Una matriz cuadrada es ortogonal si AAT=ATA=I.

Ejemplo. Si , demostrar que A es ortogonal

Solucin

, =