1

Repaso de matrices

DAGOBERTO SALGADO HORTA

2

Elemento: aij

Tamaño: m nMatriz cuadrada: n n(orden n)Elementos de la diagonal: ann

Matrices

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

na

a

a

2

1

)( 21 naaa

Vector columna(matriz n x 1)

Vector fila(matriz 1 x n)

3

211

539

874

,

5106

640

312

BA

395

1179

566

25)1(1016

563490

)8(37142

BA

Suma:

nmij

mnmm

n

n

ak

kakaka

kakaka

kakaka

k

)(

21

22221

11211

A

Multiplicación por un escalar:

4

Si A, B, C son matrices mn, k1 y k2 son escalares:

(i) A + B = B + A(ii) A + (B + C) = (A + B) + C (iii) (k1k2) A = k1(k2A)

(iv) 1 A = A (v) k1(A + B) = k1A + k1B

(vi) (k1 + k2) A = k1A + k2A

5

(a)

(b)

Nota: En general, AB BA

86

29,

53

74BA

3457

4878

65)2(36593

87)2(46794

．．．．．．．．

AB

02

34,

72

01

85

BA

66

34

154

07)3(227)4(2

00)3(120)4(1

08)3(528)4(5

．．．．．．．．．．．．

AB

Multiplicación:

6

mnnn

m

m

T

aaa

aaa

aaa

21

22212

12111

A

Transpuesta de una matriz A:

(i) (AT)T = A(ii) (A + B)T = AT + BT (iii) (AB)T = BTAT

(iv) (kA)T = kAT

Nota: (A + B + C)T = AT + BT + CT (ABC)T = CTBTAT

7

00

00

00

,00

00,

0

0000

Matriz cero

A + 0 = AA + (–A) = 0

inferior Triangularsuperior Triangular143215

02111

00398

00061

00002

1000

9800

7650

4321

Matrices triangulares

8

Matriz cuadrada n n, i ≠ j, aij = 0

100

00

007

21

Matriz diagonal:

10

015

50

05

A: m n, entonces

Im A = A In = A

Matriz identidad:

1000

0010

0001

9

Una matiz A n × n es simétrica si AT = A.

467

652

721

A

AA

467

652

721T

10

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

21

222221

111211

Matriz aumentada asociada, para resolver el sistema de ecuaciones lineales.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

11

2x1 + 6x2 + x3 = 7 x1 + 2x2 – x3 = –1 5x1 + 7x2 – 4x3 = 9

9475

7162

1121

9475

1121

716212R

14130

10

1121

14130

9320

1121

29

23

52

221

3121

RRRRR

5100

10

1121

00

10

1121

29

23

255

211

29

23

3 3112

32 RRR

529

23

12

3

32

321

x

xx

xxx

x3 = 5, x2 = –3, x1 = 10

12

Resolver mediante el método de Gauss-Jordanx1 + 3x2 – 2x3 = – 7

4x1 + x2 + 3x3 = 5

2x1 – 5x2 + 7x3 = 19

0000

3110

2101

3110

3110

7231

3311110

3311110

7231

19752

5314

7231

3212

3111

2111

3121

3

24

RRRR

RR

RRRR

Entonces: x2 – x3 = –3 x1 + x3 = 2

Haciendo x3 = t, tenemos x2 = –3 + t, x1 = 2 – t.

13

Resolver: x1 + x2 = 14x1 − x2 = −62x1 – 3x2 = 8

1600

210

101

832

614

111

0 + 0 = 16 !! No tiene soluciones.

14

Vectores fila:

u1 = (a11 a12 … a1n), u2 = (a21 a22, … a2n),…, um = (am1 am2 … amn)

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

A

mn

n

n

n

mm a

a

a

a

a

a

a

a

a

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1 ,,, vvv

Vectores columna: El rango de una matriz A m n, es el máximo número de vectores fila linealmente independientes.

0000

210

3111

1420

2840

3111

8753

8622

3111

21

32

241

3221

31

21R

RRRRRR

A

rang A = 2.

15

AX = 0

Siempre hay soluciones

(consistente)

Solución única X = 0

(solución trivial)

rang(A) = n

Infinitas soluciones

Rang(A) < n

n – r parámetros

16

AX = B, B≠0

Inconsistente

rang(A) < rang(A│B)

Consistente

rang(A) = rang(A│B)

Solución única

rang(A) = nInfinitas soluciones

rang(A) < n

n – r parámetros

17

211222112221

1211det aaaaaa

aaA

.

det

332112322311

312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

A

Determinantes

3231

222113

3331

232112

3332

232211det

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

A

Expansión por cofactores a lo largo de la primera fila.

18

3231

222113

3331

232112

3332

232211 aa

aaC

aa

aaC

aa

aaC

333231

232221

131211

det

aaa

aaa

aaa

A

det A = a11C11 + a12C12 + a13C13

El cofactor de aij es Cij = (–1)i+ j Mij

donde Mij se llama menor.

... O por la tercera fila: det A = a31C31 + a32C32 + a33C33

Podemos expandir por filas o columnas.

19

351

306

742

A 131211 742

351

306

742

det CCC A

35

30)1(

351

306

742

)1( 111111

C

31

36)1(

351

306

742

)1( 212112

C

51

06)1(

351

306

742

)1( 313113

C

20

120)]1(0)5(6[7)]1(3)3(6[4)]5(3)3(0[2

51

06)1(7

31

36)1(4

35

30)1(2det 312111

A

131211 742

351

306

742

det CCC A

120)6(3)23(6

51

42)1(3

35

74)1(6

306det

3221

232221

CCCA

Más corto desarrollando por la segunda fila...

21238)]2(5)4(6[7

42

56)1)(7(

042

781

056

)1)(7(

0)7(0

042

781

056

det

3232

332313

CCCA

042

781

056

A

22

det AT = det A

4143

75det

A 41

47

35det

TA

Si dos filas (columnas) de una matriz A de n × n son idénticas, entonces det A = 0.

229

224

226

A 0

229

224

226

det A

23

Si todos los elementos de una fila (columna) de una

matriz A de n × n son cero, entonces det A = 0.

Si B es la matriz obtenida por intercambio de dos filas (columnas) de una matriz A n × n, entonces:

det B = −det A

AB det

312

706

914

914

706

312

det

24

Si B se obtiene de una matriz A n × n multiplicando una fila (columna) por un número real k, entonces:

det B = k det A

A

B

A

det)(

det

fila ésima- la de largo lo a cofactorespor det deexpansión

2211

2211

kCaCaCak

CkaCkaCka

i

ininiiii

ininiiii

80)21(8012

11285

24

1185

164

815

1620

85

．．

．

25

Si A y B son matrices n × n, entonces

det AB = det A det B.

53

43,

11

62BA

96

2212AB

det AB = −24, det A = −8, det B = 3,

det AB = det A det B.

26

det A = 45 = det B = 45.

BA

2411

703

215

414

703

215313 RR

Si B se obtiene como combinaciones lineales de filas o columnas de una matriz A n × n, entonces:

det B = det A

27

333231

2221

11

0

00

aaa

aa

a

A

33221132332211

3332

2211

)．0(

0det

aaaaaaa

aa

aa

A

2427

0495

0062

0003

A

144)2(．)4(．6．3

2427

0495

0062

0003

det

A

400

060

003

A 7246)3(

400

060

003

det

．．A

matriz diagonal

matriz triangular inferior

28

Supongamos que A es una matriz n n.

Si ai1, ai2, …, ain son los elementos de la i-ésima fila y Ck1, Ck2, …, Ckn son los cofactores de la k-ésima

fila, entonces:

ai1 Ck1 + ai2 Ck2 + …+ ain Ckn = 0, para i k

Igualmente, si a1j, a2j, …, anj son los elementos de la j-ésima columna y C1k, C2k, …, Cnk son los cofactores de la k-ésima columna, entonces:

a1j C1k + a2j C2k + …+ anj Cnk = 0, para j k

29

DemostraciónSea B la matriz que obtenemos de A al cambiarle los elementos de la i-ésima fila por los de su k-ésima fila:

bi1 = ak1, bi2 = ak2, …, bin = akn

B tendrá entonces dos filas idénticas de modo que det B = 0, y:

kninkiki

knknkkkk

CaCaCa

CaCaCa

2211

2211det0 B

30

842

234

726

A

0)10(7)40(2)25(6

34

267

24

762

23

726

331332123111

CaCaCa

31

Inversa de un matrizSea A una matriz n n. Si existe una matriz n n B tal que

AB = BA = Idonde I es la matriz identidad n n, entonces se dice que A es una matriz no singular o invertible. Y B es la matriz inversa de A.Si A carece de inversa, se dice que es una matriz singular.

Sean A, B matrices no singulares. (i) (A-1)-1 = A (ii) (AB)-1 = B-1A-1 (iii) (AT)-1 = (A-1)T

32

Sea A una matriz n × n. La matriz formada por la transpuesta de la matriz de cofactores correspondientes a los elementos de A:

se llama adjunta de A y se denota por adj A.

nnnn

n

nT

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

21

22212

12111

21

22221

11211

Matriz adjunta

33

AA

A adjdet

11

A

A

A

AA

det00

0det0

00det

)adj(

332313

322212

312111

333231

232221

131211

CCC

CCC

CCC

aaa

aaa

aaa

Encontrar la matriz inversa:

Sea A una matriz n × n. Si det A 0, entonces:

Para n =3:

34

102

41A

21

1

1

25

12

410

21

A

10

01

541010

2245

1

25

102

41

21

1AA

10

01

5411

202045

102

41

1

25

21

1AA

35

103

112

022

A

612

222

12

022

11

02

603

222

13

022

10

02

303

125

13

121

10

11

333231

232221

131211

CCC

CCC

CCC

21

21

41

61

61

125

61

61

121

1

663

225

221

121

A

36

655

432

102

A

1050

011530

0001

100655

010432

0001

100655

010432

001102

25

217

21

21

52

21

21

3121

121

RRRR

R

100

010

001

)|(

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

IA

37

6105100

010

0001

00

010

0001

010

010

0001

31

31

35

21

21

30

51

31

61

301

31

31

35

21

21

51

21

1017

31

31

35

21

21

3

32

351

231

R

RR

RR

6105100

10178010

352001233

5132

1

RRRR

6105

10178

3521A

38

306

542

211

A

100306

012960

001211

100306

010542

001211

212 RR

114000

012960

001211

106960

012960

001211

32

316

RR

RR

Singular

39

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

,

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A ,2

1

nx

x

x

X

mb

b

b

2

1

B

AX = B

Si m = n, y A es no singular, entonces: X = A-1B

40

1663

1592

21

21

xx

xx

16

15

63

92

2

1

x

x

03963

92

23

96

391

63

92 1

316

13

234

391

16

15

23

96

391

2

1

x

x

3/1,6 21 xx

41

4432

1655

22

321

321

31

xxx

xxx

xx

655

432

102

A

36

62

19

1

4

2

6105

10178

352

1

4

2

655

432

102 1

3

2

1

x

x

x

36,62,19 321 xxx

42

nnnnn

nn

nn

nnnnn

n

n

cbCbCb

cbCbCb

cbCbCb

b

b

b

CCC

CCC

CCC

2211

2222121

1212111

2

1

21

22212

12111

det1

det1

A

ABAX 1-

AA

A

detdet

det2211

k

nknkkk

CbCbCbx

Regla

deCramer

43

0

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene solo la solución trivial (ceros) si y solo si A es no singular.

Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene una solución no trivial si y solo si A es singular.

44

Problemas de autovalores

Sea A una matriz n n. Un número se dice

que es un autovalor de A si existe una solución

vector K, distinto de cero para:AK = K

El vector solución K es el autovector

correspondiente al autovalor .

DEFINICIÓNAutovalores y autovectores

Los autovalores de una matriz triangular, inferior o superior, o de una matriz diagonal son los elementos de la diagonal.

45

Verifica que es el autovector de la matriz:

Solución

1

1

1

K

112

332

310

A

KAK )2(

1

1

1

)2(

2

2

2

1

1

1

112

332

310

Autovalor

46

• Podemos escribir AK = K como:

(A – I)K = 0

Que es lo mismo que un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Si queremos que K sea una solución distinta de cero, debería ocurrir que:

det (A – I) = 0

Observa que det (A – I) nos proporcionará un polinomio de grado n, que llamaremos ecuación característica.

47

Encuentra los autovalores y autovectores de:

121

016

121

A

0

121

016

121

)det(

IA

–3 – 2 + 12 = 0 ( + 4) ( – 3) = 0

= 0, −4, 3.

Ahora encontraremos los autovectores para cada autovalor.

(A – I)K = 0

48

(i) 1 = 0

0000

010

001

0000

010

0121

0000

06130

0121

0121

0016

0121

)|0(

136

131

2

136

6

122131

3121

RRR

RRRR

0IA

3231 136

,131

kkkk

Tomando k3 = −13

13

6

1

1K

(A – 1I)K = 0

49

(ii) 2 = −4

01680

01890

0321

0125

0036

0321

0321

0036

0125

)|4(

3121

133

56

RRRR

RR

0IA

0000

0210

0101

0210

0210

03213212

381

291

22

RRRR

RR

k1 = −k3 , k2 = 2k3. Tomando k3 = 1:

1

2

1

2K

(A – 2I)K = 0

50

(iii) 3 = 3

0000

010

0101

0421

0046

0122

)|3( 230IA

2

3

2

3K

k1 = – k3, k2 = –(3/2) k3. Y tomando k3 = –2,

(A – 3I)K = 0

51

1 = 2 = 5 es un autovalor de multiplicidad 2.A partir de (A – 5I|0), tenemos:

71

43A

0)5(71

43)det( 2

IA

02

042

21

21

kk

kk

Encuentra los autovalores y autovectores de:

Tomando k2 = 1, tenemos

k1 = 2, y entonces

1

21K

52

1 = 11, 2 = 3 = 8 (multiplicidad 2).

911

191

119

A

0)8)(11(

911

191

119

)det( 2

IA

Encuentra los autovalores y autovectores de:

53

(i) 1 = 11, por el método de Gauss-Jordan:

0000

0110

0101

0211

0121

0112

)|11( 0IA

1

1

1

1K

k1 = k3, k2 = k3. Si k3 = 1, entonces:

54

(ii) 2 = 8,

0000

0000

0111

0111

0111

0111

)|8( 30IA

,

0

1

1

2

K

1

0

1

3K

k1 + k2 + k3 = 0. Podemos elegir dos de ellos de manera arbitraria. Tomemos k2 = 1, k3 = 0:

Y k2 = 0, k3 = 1:

55

AK = K,

Sea A una matriz cuadrada de elementos reales.

Si = + i, 0, es un autovalor complejo de A,

entonces su conjugado es también un

autovalor de A.

Si K es un autovector correspondiente a , entonces

el autovector conjugado es un autovector

correspondiente a .

Autovalores y autovectores complejos

i

K

,KKA KKA Demostración:

56

1 = 5 + 2i

45

16A

0291045

16)det( 2

IA

ii 25,25 121

0)21(5

0)21(

21

21

kik

kki

Encuentra los autovalores y autovectores de:

k2 = (1 – 2i) k1, tomando k1 = 1:

i21

11K

i21

112 KK,2512 i

(A – 1I)K = 0

57

Potencias de una matriz

Sea A, una matriz n × n. Definimos la potencia m-ésima de A como:

factores m

m AAAAA

58

Teorema de Cayley-Hamilton

0IAAA 01

11)1( ccc n

nnn

0)1( 011

1 ccc n

nnn

Una matriz A satisface su propia ecuación característica:

Ecuación característica: det (A – I) = 0

59

31

42A

Observa que entonces: A2 = A + 2I y 2 = + 2 Y podemos escribir las sucesivas potencias de A como: A3 = AA2 = A(A+ 2I ) = A2 + 2A = 3A + 2I

A4 = AA3 = A (3A+2I) = 3A2+2A = 5A+ 6I A5 = 11A + 10I A6 = 21A + 22I... Am = c1A + c0I ... m = c1 + c0

2 − – 2 = 0.Y por el teorema de Cayley-Hamilton:

A2 − A – 2I = 0

Comprobarlo con:

60

O sea que podemos escribir:

Am = c1A + c0I y m = c1 + c0 2 − – 2 = 0; 1 = −1 , 2 = 2:

)2(2

)1()1(

10

10

cc

ccm

m

])1(2[1/3],)1(22[1/3 10mmmm cc

])1(2[])1(2[

])1(2[])1(42[2

31

31

34

31

mmmm

mmmmmA

61

Am = c0I + c1A + c2A2 +…+ cn–1An–1

m = c0 + c1 + c2 2 +…+ cn–1 n–1

donde los ck (k = 0, 1,…, n–1), dependen de m.

Y en general, para una matriz de orden n:

62

Solución3 + 2 2 + – 2 = 0, = –1, 1, 2. Am = c0I + c1A +c2A2

m = c0 + c1 + c2 2

Con 1 = –1, 2 = 1, 3 = 2, obtenemos:

(–1)m = c0 – c1 + c2

1 = c0 + c1 + c2 　 2m = c0 +2c1 + 4c2

110

121

211

ACalcula Am para:

]2)1(3[

],)1(1[2

],2)1(3[

16

12

1

31

0

mm

m

mm

c

c

c

63

Puesto que Am = c0I + c1A +c2A2, tenemos:

])1(723[])1(2[])1(23[

12221

])1(729[])1(2[])1(29[

16

13

116

1

16

13

116

1

mmmmmm

mmm

mmmmmm

mA

342341341

102310241023

34134134010A

Por ejemplo, para m = 10

64

Por el teorema de Cayley-Hamilton: A2 – A – 2I = 0, I = (1/2)A2 – (1/2)A,

Multiplicando a ambos lados por A–1 podemos encontrar la inversa:

A–1 = (1/2)A – (1/2)I

31

42A

1

2

10

01

21

31

42

21

31

42

21

231

65

Una matriz A n n es simétrica si A=AT

Si A es simétrica con elementos reales, entonces los autovalores de A son reales.

AK = K, ,KKA KKA

KKAKK TT Transponiendo y multiplicando por K por la derecha:

KKT)(0

0)||||||( 222

21 n

T kkk KK

real. es 0

66

Al igual que definimos el producto escalar entre vectores:

x y = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn

podemos definirlo con matrices (vectores fila o columna):

X Y XT Y = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn

222

21|||| n

T xxx XXX

Autovectores ortogonales

Veamos que si A es una matriz n × n simétrica, los autovectores correspondientes a distintos (diferentes) autovalores son ortogonales.

67

DemostraciónSean 1,, 2 dos autovalores distintos correspondientes a los autovectores K1 y K2.

AK1 = 1K1 , AK2 = 2K2

(AK1)T = K1TAT = K1

TA = 1K1T

K1TAK2 = 1K1

TK2 AK2 = 2K2, K1

TAK2 = 2K1TK2

0 = 1K1TK2 − 2K1

TK2

0 = (1 − 2) K1TK2

Como 1 2, entonces K1TK2 = 0.

68

= 0, 1, −2 y

010

111

010

A,

1

0

1

1

K ,

1

1

1

2

K

1

2

1

3K

0)1(12011

1

2

1

)101(

0)1(110)1(1

1

1

1

)101(

31

21

．．．

．．．

KK

KK

T

T

0)1(1211)1(

1

2

1

)111(32

．．．KKT

69

Matriz ortogonal:

Una matriz A n × n no singular es ortogonal si: A-1 = AT

A es ortogonal si ATA = I.

100

010

001

I ITI = II = I

32

31

32

31

32

32

32

32

31

A

IAA

100

010

001

32

31

32

31

32

32

32

32

31

32

31

32

31

32

32

32

32

31

T

70

100

010

001

21

22212

12111

nTn

Tn

Tn

nTTT

nTTT

T

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

AA

Una matriz A n × n es ortogonal si y solo si sus vectores columnas X1, X2, …, Xn forman un conjunto ortonormal.

Es decir si: XiTXj = 0, i j , i, j =1, 2, …, n

XiTXi = 1, i =1, 2, …, n

Los Xi forman un conjunto ortonormal.

71

,

32

32

31

1

X ,

31

32

32

2

X ,

32

31

32

3

X

32

31

32

31

32

32

32

32

31

A

092

92

94

)(

094

92

92

)(

092

94

92

)(

32

31

32

31

32

32

32

32

31

32

32

32

31

31

31

32

32

32

32

31

21

XX

XX

XX

T

T

T

72

Y los vectores son unitarios, ortonormales:

194

91

94

)(

191

94

94

)(

194

94

91

)(

32

31

32

32

31

32

33

31

32

32

31

32

32

22

32

32

31

32

32

31

11

XX

XX

XX

T

T

T

73

,

1

0

1

1

K ,

1

1

1

2

K

1

2

1

3K

,2|||| 111 KKK T

,3|||| 222 KKK T

6|||| 333 KKK T

,

21

0

21

,

313

13

1

6

16

26

1

61

31

21

62

31

0

61

31

21

P

Verifica que PT = P-1.

010

111

010

AVimos

74

Autovalor dominanteSean los autovalores de una matriz A n × n. El autovalor se llama autovalor dominante de A si:

Un autovector asociado se denomina

autovector dominante de A.

nk ,,,,, 21 k

niik ,,3,2,1,||||

k

40

04A

2,2 21

500

150

002

A

5,2 321

75

Método de las potencias,3,2,1,1 iii AXX

01

02

12

01

XAAXX

XAAXX

AXX

mmm

Supongamos que A tiene un autovalor dominante.

Vector n 1

Supongamos que |1| > |2| … |n| con K1, K2, …, Kn

autovectores asociados linealmente independientes. Entonces:

nnccc KKKX 22110

Como AKi = iKi , entonces: AX0 = c1AK1 + c2AK2 + … + cnAKn

nnccc KKKAX n2221110

76

Multiplicando por A sucesivamente:

nnn

nn

ccc

ccc

KKK

AKAKAKXA2

22221

211

n22211102

nmnn

mmm ccc KKKXA 2221110

n

m

nn

mm ccc KKK

1

2

1

22111

1110 KXA cmm

Como |1| > |i|, i = 2, 3, …, n; cuando m , podemos aproximar:

(...)

77

Observemos que un autovector multiplicado por una constante sigue siendo un autovector. De modo que podemos escribir:

Am X0 = Xm

De modo que Xm será una aproximación al autovector dominante. Puesto que AK = K, AKK= KK

que nos da una aproximación al autovalor dominante.

KK

KAK

mm

mm

XX

XAX

1

1110 KXA cmm

Cociente de Rayleigh.

78

13

24A

1

10X

16

28

2

6

13

24

2

6

1

1

13

24

12

01

AXX

AXX

6

Xi

7543i

68

144

364

712

1772

3576

8956

17848

44588

89304

4933.0

1893047X

1110 KXA cmm

79

5007.2

9986.4

4993.0

1

13

247AX

2493.14993.0

1

4993.0

1

2472.64993.0

1

5007.2

9986.4

77

77

T

T

XX

XAX

．

．

0006.52493.12472.6

77

771

XXXAX

．．

,2,5 21

3

1,

5.0

121 KK

80

Si existe una matriz P, tal que P-1AP = D sea diagonal, entonces decimos que A es diagonalizable.

Si A es una matriz n × n que tiene n autovectores

K1, K2, …, Kn linealmente independientes, entonces

A es diagonalizable.

TEOREMA

Condición suficiente de diagonalizabilidad

Matriz diagonalizable

81

Demostración • Puesto que P = (K1, K2, K3) es no singular,

entonces existe P-1 y

Así que P-1AP = D.

PDKKK

KKKAKAKAKAP

3

2

1

321

332211321

00

00

00

)(

)()(

82

Si A es una matriz n n con n autovalores

distintos, entonces es diagonalizable.

Condición suficiente de diagonalización

71

43A

1

21KTenemos que = 5, 5.

Y solo podemos encontrar un autovector. La matriz no puede diagonalizarse.

83

106

95A

)4)(1(45106

95)det( 2

IA

,2

31

K

1

12K

,12

13)( 21

KKP

32

111P

DAPP

40

01

12

13

106

95

32

111

Diagonaliza:

= 1, 4.

84

121

016

121

A

2

3

2

,

1

2

1

,

13

6

1

,3,4,0

321

321

KKK

2113

326

211

)( 321 KKKP

212

71

218

283

72

289

121

121

1

0

P

D

APP

300

040

000

2113

326

211

121

016

1210

212

71

218

283

72

289

121

121

1

85

100

001

010

A

0

1

1

1K

000

000

011

000

011

011

)|( 0IA

= −1, 1, 1. = −1

= 1

,

0

1

1

2

K

1

0

0

3K

100

011

011

P

100

010

001

D

junto con K1, forman tres vectores linealmente independientes. Luego la matriz es diagonalizable.

P-1AP = D

86

• Si existe una matriz P ortogonal que puede diagonalizar a A, decimos que A es ortogonalmente diagonalizable.

• Una matriz A n x n es ortogonalmente diagonalizable si y solo si es simétrica.

P diagonaliza a A: P-1AP = D, A = PDP-1.P es ortogonal: P-1 = PT, entonces:

A = PDPT. AT = (PDPT)T = PDTPT = PDPT = A Luego A es simétrica.