CARACTERÍSTICAS:

• LA PARTÍCULA SIGUE UNA TRAYECTORIA RECTA

•OSCILA ALREDEDOR DE UNA POSICIÓN DE EQUILIBRIO

• EL MOVIMIENTO ES PERIÓDICO (T)

•ESTÁ SOMETIDO A FUERZAS RESTAURADORAS – INTENTAN HACER VOLVER AL CUERPO A SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO.

PUEDE SER:

•LIBRE: NO ACTÚAN FUERZAS DISIPATIVAS – EL SISTEMA OSCILA INDEFINIDAMENTE (NO REAL)

•AMORTIGUADO: ACTÚAN FUERZAS DISITATIVAS (ROZAMIENTOS) – EL SISTEMA ACABARÁ DETENIENDOSE EN SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO

x=-A x=0 x=Ax(t)

POSICIÓN DE EQUILIBRIO AAMPLITUD

x(t)Elongación

Posición de equilibrio – Punto donde no actúan las fuerzas restauradoras. Se suele tomar como origen del sistema de coordenadas.

Elongación – Separación con respecto a la posición de equilibrio de la partícula en cualquier instante del tiempo. (Puede ser positiva o negativa).

Amplitud – Valor máximo de la elongación.

x=-A x=0 x=A

x(t)v

x

A

)cos(

cos

o

o

tAx

t

Ax

p’

p

- 1 Supón que la partícula (p’) sigue un M.C.U.- 2 Denomina como (p) a la proyección de (p’) sobre el eje-x- 3 Diremos que: (p) sigue un M.A.S.entre +A y –A- 4 La coordenada “x” sobre la trayectoria rectilínea:

fase inicial (cuando t = 0)0= representa en radianes la posición “xo” inicial

0

2

32

Actividad-1: Suponiendo que la amplitud de una partícula (p) que sigue un MAS esde 5 m determina su posición inicial (cuando t = 0) si la fase inicial es de 3 radianes.¿Cuál será el sentido de movimiento de la partícula (p)?.Repite la actividad si la fase inicial fuera 5/3 rad

Cálculo de la fase inicial en un MAS cuando se conoce su elongación inicial

Actividad-2: Completa la siguiente tabla, conocido x0:

x0 (+A) 0→(-A) (-A) 0→(+A) (+A)

0(rad)

Actividad-3: Determina la fase inicial de una partícula que sigue un MAS con una amplitud de 5 m si en el instante t = 0 ocupa:a) Una posición x0 = 1 m hacia (+A). (Sol: IV cuadrante 4.914 rad)b) Una posición x0 = 1 m hacia (-A). (Sol: I cuadrante 1.369 rad rad)c) Una posición x0 = -1 m hacia (+A). (Sol: III cuadrante 4.511 rad)d) Una posición x0 = -1 m hacia (-A). (Sol: II cuadrante 1.773 rad)

x=-A x=0 x=A x(t)

rad

c

2

0

c

c a)calculador la (de rad, en ángulo,

cuadrante I el en inicial Fase I cuadrante (+A → 0)

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t

x

6

0

32

2

Actividad-4: Justifica la gráfica x=f(t) si para t = 0→x0 = (+A)

x=-A x=0 x=A x(t)

II cuadrante (0 → -A)

0

32

2

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t

x

6

c 0

cuadrante II el en inicial Fase

Actividad-5: Justifica la gráfica x=f(t)si para t = 0→x0 = 0 (sentido –A)

x=-A x=0 x=A x(t)

III cuadrante (-A→ 0)

0

32

2

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t

x

6

c 0

cuadrante III el en inicial Fase

Actividad-6: Justifica la gráfica x=f(t)si para t = 0→x0 = (–A)

x=-A x=0 x=A x(t)

IV cuadrante (0 → +A)

0

32

2

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t

x

6

cc 20

cuadranteIV el en inicial Fase

Actividad-7: Justifica la gráfica x=f(t)si para t = 0→x0 = 0(sentido +A)

Actividad-8: Representa la gráfica x=f(t) si para t = 0→x0 = -A/2(sentido +A).Considera = rad/s y A = 5m. Calcula previamente 0 y representa “x” para los instantes: 0; T/8; 2T/8; 3T/8; 4T/8; 5T/8; 6T/8; 7T/8; 8T/8

• Cinemática del movimiento armónico simple (MAS)Cinemática del movimiento armónico simple (MAS)

Una partícula tiene un Una partícula tiene un MASMAS si su si su elongaciónelongación xx cumple: cumple:

)()0()(

)(cos

AtAsenx

A+ωtA=x

o

o

o0

de Origen

ò

de Origen

0+ωt Fase (rad)Fase (rad)

0 Fase inicial (cuando Fase inicial (cuando t =0t =0))

A Amplitud (máxima elongación)Amplitud (máxima elongación)

ω=T /2π Periodo (intervalo de tiempo para el que el Periodo (intervalo de tiempo para el que el valor de valor de xx se repite) se repite)

Equilibrio

T=ν /1 Frecuencia (se mide en Hz) Frecuencia (se mide en Hz)

πν=T=ω 2/2π Frecuencia angular (rad/s) Frecuencia angular (rad/s)

Varía periódicamente entre los valores Varía periódicamente entre los valores +A+A y y -A-A

La La velocidadvelocidad vv de una partícula que tiene un de una partícula que tiene un MASMAS es, es,

dtdx

=v Varía periódicamente entre los valores Varía periódicamente entre los valores AA y y --AA

La La aceleraciónaceleración aa de una partícula que tiene un de una partícula que tiene un MASMAS es, es,

xωdtdv

=a 2 Varía periódicamente entre los valores Varía periódicamente entre los valores 22AA y y --22AA..

En el MAS En el MAS aa es proporcional y opuesta a es proporcional y opuesta a xx..

Elongación

Velocidad

Aceleración

Representación del desplazamiento en función del tiempo

T/4 T/2 3T/4 T

Actividad-9: Representa las gráficas v=f(t) y a=f(t) si para la elongación utilizamos la función “seno” cuando en el instante t=0 la partícula vibrante se encuentra en 0 hacia (+A)

Aquí están representadas las gráficas v=f(t) y a=f(t) si parala elongación utilizamos la función “coseno” cuando en elinstante t=0 la partícula vibrante se encuentra en (+A)

v’

+A

0

-A

+A

0

-A

+A

0

-A

x=-A x=0 x=Ax(t)

- A

0

- A

+ A

+ A

0

0

- A

+ A 0

0

0

v

a

a

v

Magnitud y sentido de la velocidad y de la aceleración en función de la posiciónde la partícula vibrante.

.equilibrio deposición la de rarecuperado fuerza una Es

elongación la a contraria siempre es fuerza la que indica menos signo El

k(N/m) de Unidades

muelle del elástica constante llama sek , de caso elen

movimiento del rarecuperado constante la esk donde

elongación la a alproporcion Es

:ticasCaracterís

)(k F(x)

)(wm F(x)

amF

2mwk

-kx(t)F(x)

2

muelles

tx

tx

kxF

xmF

xa

maF

2

2M.A.S.un En

2mk

10.-Un muelle de constante elástica 200 N/m, longitud natural 50 cm y masa despreciable se cuelga del techo. Posteriormente se engancha de su extremo libre una masa de 5 kg

a) Calcula la longitud final del muelle cuando el sistema esté en equilibrio.(Sol: L=74.5 cm)b) Determina la ecuación de la elongación y=f(t) si se tira de la masa hacia abajo 5 cm y se suelta a

continuación, siguiendo un M.A.S. (Sol: y = -0.05cos(2√10 t) m,s)

Actividad-11 a) Calcula el trabajo realizado por una fuerza constante “F” aplicada a una

masa “m” cuando se desplaza una distancia “x”. Considera que “F” es paralela al desplazamiento.

b) Representa F = f(x). ¿Se puede identificar el WF con el área definida entre “F” y el eje de abcisas?. ¿De qué figura geométrica se trata?

F

0 xr

F

x0 x

WFF

Actividad-12: a) Calcula el trabajo realizado por la fuerza elástica “FE = -kx ” aplicada a un

muelle, cuando éste se deforma una distancia “x” desde su posición de equilibrio. Para ello, al tratarse de una fuerza variable, representa “FE =f(x) y determina el área comprendida entre “FE” y el eje de abcisas.

b) Demuestra que la fuerza elástica es una fuerza conservativa; para ello, determina el trabajo realizado por la fuerza elástica al desplazarse ésta desde “0” a “x” y regresar nuevamente a “0” (Sol: Si WFciclo = 0→ FE es conservativa).

c) Al ser la fuerza elástica una fuerza conservativa, determina la función energía potencial asociada a la misma.

Fext

0 x

FE

x0

x

WF

FE

-kx

)2

1 :Sol( 2kxEP

sobre

Actividad-13:

Actividad-14

(0.22 m)

( 6.17 m)

La figura muestra una piedra de 7.94 kg colocada sobre un resorte. La piedra comprime al resorte 10.2 cm quedando el sistema en equilibrio. a) Calcula la constante elástica del muelle. b) El conjunto se empuja hacia abajo otros 28.6 cm yluego se suelta: ¿a qué altura respecto a esta posición final subirá la piedra?. Tomar g = 9.81 m/s 2

(Sol: a) k = 763.64 N/m;b) h = 0.74 m)

2

2

2

2

1Ec

0 Ep 0 x

02

1Ep

A x

2

1 CONSTANTE ESMECÁNICA ENERGÍA LA PUNTOS LOS TODOS EN

kAEc

kA

kA

M.A.S. DEL POSICIONES ALGUNAS EN ENERGÉTICOESTUDIO

-A 0 A x(t)

Energías

E. POTENCIAL

E. CINÉTICA

E. MECÁNICA

22

2

1

2

1kxmvE

EEE

m

pcm

)(

)(

)(

21

21

21

22

222

222

222

xAmk

v

xAmk

v

xAkmv

kxmvkA

EEE pcm

gravedad la de valor dely

longitudsu de depende solamente pénduloun de oscilación de periodo El

22

2...

L

x-sen

agsen

mamgsen

maP

x

xx

g

LT

L

gw

L

gw

L

xga

xwaSAM

aL

xg

-x

L

PPxPy

El péndulo simple:

-La componente tangencial Px, actúa hacia la posición de equilibrio, en sentido opuesto al desplazamiento.

-La componente tangencial de la fuerza de la gravedad es una fuerza de recuperación.

-Un péndulo simple sigue un MAS si <15º

El periodo de oscilación de un péndulo simple depende exclusivamente de la longitud de la cuerda al punto de

fijación, y de la gravedad del lugar

Ejercicios:15.- Un péndulo que bate segundos en París (TP = 2s) en donde gP =9.81 m/s2, se traslada al

Ecuador, y en este punto verifica al día 125 oscilaciones menos.a) Calcula la longitud del péndulo. (Sol: 99.40 cm)b) Calcula la aceleración de la gravedad en el Ecuador. (Sol: 9.75 m/s2)

16.- Un oscilador armónico formado por un muelle de masa despreciable, y una masa en el extremo de valor 40 g, tiene un periodo de oscilación de 2 s. Si la amplitud de las oscilaciones del oscilador es 10 cm, ¿cuánto vale, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad que alcanzará su masa.(Sol: Ep=1.974 10-3J; v=0.314m/s).

17.- Una partícula de masa 2 kg efectúa un movimiento armónico simple de amplitud 1 cm. La elongación y la velocidad de la partícula en el instante inicial t = 0 s valen, 0.5 cm y 1 cm/s, respectivamente.

a) Determina la fase inicial y la frecuencia del M.A.S.(Sol: o=/6 rad;; =0.18 Hz) b) Determina la fuerza elástica en el instante 1,5 s.(Sol:F =- 0.021N)c) Calcula la energía total del M.A.S. así como la energía cinética y potencial en el

instante t = 1.5 s.(Sol: ET=1.334 10-4J;;Ec=5.35 10-5J;;Ep=7.99 10-5J)

18.-Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple:a) Escribe la ecuación del movimiento y la ecuación de la velocidad si la aceleración máxima es 52 cms-2, el periodo de las oscilaciones 2 s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimiento 2.5 cm, siendo el sentido del movimiento hacia (+A).b) Representa gráficamente la elongación y la velocidad en función del tiempo, completando la siguiente tabla:

(Salto = T/8 = 2/8 = 0.25 s)

t(s) x(cm) v(cm/s)

0

T/8

2T/8

3T/8

4T/8

5T/8

6T/8

7T/8

8T/8

19.-Una partícula de masa m = 5 g oscila armónicamente a lo largo del eje OX en la forma x = A cos ωt, con A = 0,1 m y ω = 2 s-1.

a) Determina la velocidad de la partícula en función del tiempo.b) Calcula la energía mecánica de la partícula. en el instante t = T/3.(Sol 9.87 10 -4J) c) Representa la elongación de m, la energía potencial de m y la fuerza elástica sobre m en función del

tiempo. Considera t = T

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

t(s)

Ep

(J)

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

t(s)

x(m

)

-0,03

-0,02

-0,02

-0,01

-0,01

0,00

0,01

0,01

0,02

0,02

0,03

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

t(s)

F(N

)

20.-Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora vale 10 N/mm. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad. Determinar:

a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo, x = x(t).b) Los módulos de la velocidad y aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la

posición de equilibrio. (Sol: 3.24 m/s;; 100 m/s2)c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria.

(Sol: 3.54 N)d) La energía mecánica del sistema oscilante.(Sol: 0.088 J)

21.- Una partícula de 5 g de masa vibra con una amplitud de 10 cm y una frecuencia de 50 Hz. Calcular:

a) La constante restauradora del sistema.(Sol: 493.5 N/m)b) La ecuación de la posición si en el instante inicial se encuentra en -A.c) La velocidad 0.1 s después de iniciado el movimiento. (Sol; v = 0)d) La velocidad de la partícula cuando se encuentra a + 2 cm con sentido de movimiento

hacia elongaciones negativas. (Sol: -30.78 m/s)e) Representar la Ec, la Ep y la Em para medio periodo.

22.- Una persona de masa 60 kg que está sentada en el asiento de un vehículo, oscila verticalmente alrededor de su posición de equilibrio como un oscilador armónico simple. Su posición inicial es y(0)=1.2cos(/6) cm, y su velocidad inicial v(0)=-2,4sen(/6) m/s. Calcula la ecuación de la elongación y(t) y la ecuación de la energía mecánica Em(t).

23.- Una partícula de 20 g oscila siguiendo un MAS:

Determina: a) Las ecuaciones de la aceleración y la ecuación de la elongación en función del tiempo.b) La Ec y la Ep en el instante t = T.(Sol: Ec = 9J;Ep = 0J).-

-40,00

-35,00

-30,00

-25,00

-20,00

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

t(s)

v(m

/s)

24.-Una bolsa con 2 kg de dulces cuelga de un muelle que se alarga 50 cm con esa carga, quedando el sistema en equilibrio a una altura de 1 m sobre la cabeza de un niño. Si el niño tira de la bolsa hacia abajo otros 25 cm y la suelta ¿cuánto tiempo tardará la bolsa en regresar a la altura de 1 m sobre su cabeza?.(Sol: 0.355s)

d

P=mg

FE=kd

1 m

0

-A

+A

EQUILIBRIO M.A.S.

-Las trayectorias del movimiento resultante de componer dos M.A.S. de direcciones perpendiculares se denomina figuras de Lissajous.-Tales trayectorias dependen de la relación de frecuencias angulares x/y y de la diferencia de fase

x=A·sen(x t)y=A·sen(y t+ )

Vídeohttp://www.youtube.com/watch?v=2_VLdkaXg4I