capitulos 1 y 2 2015 1

CIRCUITOS ELECTRÓNICOS

ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

TEORÍA BÁSICA Y EJERCICIOS RESUELTOS

CAPITULO 1

GENERALIDADES

G

CIRCUITO ELECTRICO MATERIA EL ÁTOMO FUERZA ELECTROSTÁTICA,PROTONES Y

ELECTRONES LA CARGA Y EL CULOMBIO CORRIENTE ELECTRICA VOLTAJE TIPOS DE SEÑALES ELEMENTOS ACTIVOS-FUENTES FUENTE INDEPENDIENTE FUENTE DEPENDIENTE

1 2015


CAPITULO 1.Generalidades

DEFINICIONES Y UNIDADES

1.1 CIRCUITO ELECTRICO: Es un conducto que facilita la transferencia de cargas eléctricas desde un punto a otro.

La observación de un fenómeno es en general incompleta, a menos que dé lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información, se requiere la medición de un parámetro físico. Así, la medición constituye una parte fundamental en las actividades del Ingeniero.

La medición es la técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad. El Sistema Internacional de Unidades (SI) define con precisión las unidades fundamentales o básicas en términos de cantidades permanentes y reproducibles.

VARIABLE UNIDAD SIMBOLO

Intensidad Lumínica Candela Cd

Cantidad de Sustancia Mol Mol

Temperatura Kelvin K

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Corriente Eléctrica Amperio A

Longitud Metro M

Tabla 1. Unidades básicas del sistema internacional (SI)

1

ING. JORGE FORERO GUTIERREZ

VARIABLE UNIDAD SIMBOLO

Fuerza Newton N

Trabajo o Energía Joule J

Potencia Watts W

Voltaje Voltio V

Frecuencia Hertz Hz

Carga Eléctrica Coulomb C

Resistencia Eléctrica Ohm Ω

Conductancia Eléctrica Siemens S

Capacitancia Eléctrica Faradio F

Inductancia Henry H

Tabla 2. Otras unidades del sistema internacional (SI)

El sistema internacional de medidas SI incorpora un sistema decimal para relacionar cantidades mayores o menores que la unidad básica. Las potencias de 10 se representan con prefijos estándar en la tabla No 3.

Tabla 3. Múltiplos y Submúltiplos

2

10-6 micro μ

10-9 nano n

10-12 pico p

10-15 fento f

10-18 atto a

1012 tera T

109 Giga G

106 Mega M

103 Kilo K

10-3 mili m


1.2 MATERIA

La materia es cualquier sustancia que tiene peso (masa) y ocupa espacio. La materia puede ser sólida como es el metal, el vidrio, el plástico y el papel. La materia puede también ser un líquido tal como el agua: o un gas, como el vapor.

Al partir o dividir la materia en sus partículas más pequeñas al final se llega al átomo.

1.3 EL ÁTOMO

La palabra átomo viene de la palabra griega á-tomos, que significa indivisible. Algo indivisible es algo que no puede dividirse más. En otras palabras, un átomo es una partícula demasiado pequeña para que pueda subdividirse una vez más, el átomo consiste de dos elementos: un núcleo y varios electrones. El núcleo de un átomo contiene tanto protones como neutrones.

Los protones dan a los átomos su masa. Un protón pesa 1.840 veces más que el electrón. El electrón gira en órbita alrededor el núcleo. Se muestra el dibujo del átomo de hidrógeno en la figura 1. Átomos de hidrógeno consisten de un electrón y un núcleo, que contiene un protón. Los átomos, sin embargo, pueden contener cualquier número de electrones y de protones. Los electrones giran en órbita alrededor del núcleo.

Figura 1. 1 Átomo de hidrogeno

1.4 FUERZA ELECTROSTÁTICA, PROTONES Y ELECTRONES

La fuerza electrostática mantiene a los electrones en órbita alrededor del núcleo. La fuerza electrostática se define como el principio de atracción y repulsión de cargas.

3


Las cargas diferentes se atraen; las cargas iguales se repelen.

4


Figura 1. 2 Atracción y Repulsión entre cargas

Aplicando la Ley de la Fuerza Electrostática a los electrones y protones. Cada electrón tiene una carga y cada protón también la tiene. La carga de un electrón es la más pequeña que puede medirse. Esta carga es de polaridad negativa o sea carga negativa. La carga del protón es igual a la del electrón pero es de polaridad opuesta. La carga del protón es de polaridad positiva. Un átomo estable es aquel que contiene un número igual de electrones y protones.

1.5 LA CARGA ELÉCTRICA Y EL CULOMBIO

Cantidad de electricidad de algunas partículas elementales que dan lugar a una interacción o fuerza electrostática que existe cuando un átomo tiene un desequilibrio entre sus protones y sus electrones. A este átomo eléctricamente cargado se le denomina ión .Los fenómenos de repulsión y atracción que a menudo observamos se atribuyen a dos tipos de cargas; Se ha determinado que el electrón tiene una carga negativa de 1.602X 10 -19 coulomb (C) .Por lo tanto 1 coulomb representa la cantidad de 6.25 X 1018

electrones. La letra con que se identifica la carga es q .La carga del protón es entonces positiva del mismo valor que la del electrón. Se considera entonces como definición sencilla que la Carga Eléctrica es la responsable de los fenómenos o eventos eléctricos.

1.5.1 CORRIENTE ELECTRICA: Es el movimiento de cargas eléctricas. La razón de cambio con respecto al tiempo en un punto determinado constituye una corriente eléctrica. El modelo matemático que expresa la relación es:

i(t)=dqdt

Donde i representa la intensidad de corriente y q la carga. La unidad fundamental de la corriente es el Amperio (A) y 1A es 1 coulomb por segundo.

Si consideramos valores instantáneos podemos escribir:

I=Q/T

5

Recordar que: Un amperio en un punto determinado en un circuito significa que en un segundo por ese punto pasan 6.25X1018 electrones.


En análisis de circuitos es necesario conocer la magnitud y la dirección de la corriente. En teoría de circuitos es usual entender la corriente como un movimiento de cargas positivas. Esta convención proviene de Benjamín Franklin quien supuso que la electricidad viajaba de positivo a negativo. Ahora se sabe que en los conductores metálicos los electrones (cargas negativas) son los que tienen movimiento .En nuestro análisis tendremos en cuenta la corriente convencional.

Dibujemos un alambre por donde pasan n amperios es decir:

Figura 1. 3 Dirección de la corriente

Entonces lo anterior me indica que la corriente convencional (cargas positivas) van de izquierda a derecha. Esta situación es equivalente a considerar que la corriente electrónica (cargas negativas) va de derecha a izquierda. Debemos tener en cuenta que los elementos que conforman las redes hasta el momento son considerados eléctricamente neutros; es decir, no se acumula carga, así que la corriente que se ve entrando por la terminal izquierda de la figura 1.3 sale por la terminal derecha.

Ejemplo 1.1

Se tienen las corrientes:

i1=30µ A ;i2=0.3mA i3=25∗10−4 A

Haga una clasificación de mayor a menor de las corrientes.

Solución: Para resolver el ejercicio debemos expresar todas las magnitudes con un solo prefijo (múltiplos y submúltiplos)

i1=30 μA

i2=0.3∗10−3 Ai2=0.3∗10

−3∗103∗10−3 Ai2=0.3∗103∗10−6i2=300 μA

i3=25∗10−4 Ai3=25∗10

−4∗10−2∗102i3=2500 μA

Entonces la clasificación pedida es:

i3 ,i2 ,i1

6


Ejemplo 1.2

Sí una corriente de 10 A recorre un elemento. ¿Cuál es la carga en 10 milisegundos?

Solución:

I=QTQ=I∗TQ=10∗(10∗10−3 )Q=0 .1C

Ejemplo 1.3

Una carga de 30µC fluye por un elemento durante un intervalo de 3 mS. Determine la corriente en este intervalo de tiempo.

SOLUCION:

I=QTI=30∗10

−6C3∗10−3S

I=10∗10−6∗10+3I=10∗10−3I=10mA

Ejemplo 1.4

¿A cuánta corriente equivalen tres mil millones de electrones en un específico tiempo?

Solución:

Hacemos una regla de tres:

1 A → 6.25∗1018

x → 3∗103∗106

x=3∗109 A e−¿

6.25∗1018 e−¿¿¿x=0 .48nA

EJERCICIOS PARA RESOLVER

Ejercicio 1.1

Clasifique de menor a mayor las corrientes dadas:

ix=4.5∗10−5 Ai y=28 μAiz=630mA

Ejercicio 1.2

Un conductor está siendo recorrido durante 10 µS por una corriente de 30 kA. ¿De qué carga estamos hablando?

Ejercicio 1.3

Determine la corriente que fluye por un elemento durante 9 mS de una carga de 4 kC

7


Ejercicio 1.4

¿Cuántos electrones hay en una carga de 0.32042 pC?

1.5.2 VOLTAJE: Si se quiere un movimiento ordenado de los electrones debemos aplicar una fuerza externa llamada fuerza electromotriz (FEM). Se define el Voltaje a través de un elemento como el trabajo realizado para mover cada carga de un terminal a otro. Expresado matemáticamente:

v=dwdq

En donde: v es el voltaje en Voltios; w es energía (trabajo) en Joules; q es la carga en Coulomb.

Si consideramos valores instantáneos podemos escribir:

V=WQ

Al moverse la carga a través del elemento, la carga experimenta cambios en su energía, lo que nos lleva a pensar en una variación de potencial eléctrico (específico en cada punto). Esta diferencia de potencial se expresa con una convención de signos “+ -“, uno en cada terminal. Observando el elemento entre los terminales a y b.

Figura 1. 4

Decimos que el voltaje (diferencia de potencial) es más positivo en el punto a, así que:

V ab=V a−V b

Figura 1. 5

8


De igual forma vemos que Vba=Vb-Va y se lee que el voltaje (diferencia de potencial) es más positivo en el punto b.

Figura 1. 6

Es claro que Vab=-Vba: significa que si un voltaje supuesto resulta negativo, basta con cambiar la polaridad.

Veamos con más claridad qué significa la diferencia de potencial en un elemento.

Figura 1. 7

Figura 1. 8

Figura 1. 9

Figura 1. 10

Figura 1. 11

9

Es necesario insistir y recordar que en análisis de circuitos, para definir más específicamente un elemento, necesitamos conocer la magnitud y dirección de la corriente y la magnitud y polaridad del voltaje.


1.6 ENERGIA Y POTENCIA

1.6.1 Energía: Se define como la capacidad de realizar un trabajo. La unidad con la que se mide la energía es el Joule.

1.6.2 Potencia: es la razón de cambio del consumo de energía, sí significa la rapidez del cambio, podemos expresarla matemáticamente como:

P=dwdt

En donde P es la potencia en watts (vatios), w es la energía o trabajo en Joules y t es el tiempo en segundos

En un sistema eléctrico:

P=dwdt

;dw=V∗dQP=V∗dQdt

P=V∗i

Es importante recordar que el voltaje se expresa en voltios, la corriente en amperios y la potencia en watts.

Para saber si la energía está siendo suministrada al elemento, o por el elemento al resto del circuito se toma la siguiente convención:

10

a. Si una corriente positiva entra por el terminal positivo, una fuerza externa está entregando energía al elemento, que en este caso, está absorbiendo energía.

b. Si una corriente positiva sale por el terminal positivo, el elemento está entregando energía al circuito externo.

Recordamos entonces:

i=dQdt

v=dwdQ

p=dwdt

Donde ‘i’ es la corriente, ‘Q’ es la carga, ‘t’ es el tiempo, ‘V’ es el voltaje y ‘w’ es la energía.


EJEMPLOS:

En cada una de las figuras, determinar si el elemento está entregando o absorbiendo energía y calcular el valor de la potencia (v x i).

Ejemplo 1.5:

Figura 1. 12

Solución: Como los valores son positivos, y de acuerdo a la convención ’b’, el elemento está entregando energía, y la potencia es:

P=5V∗2 A=10W

Ejemplo 1.6:

Figura 1. 13

Solución: Una corriente para debajo de -3ª es lo mismo que una corriente de 3A en sentido contrario:

Figura 1. 12

Ahora, si sale por el terminal negativo, es porque está entrando por el terminal positivo y de acuerdo a la convención ‘a’, el elemento está absorbiendo energía y la potencia es:

P=3V∗3 A=9W

11


Ejemplo 1.7:

Figura 1. 13

Solución: Colocando positivos ambos parámetros (cambiando la polaridad del voltaje y la dirección de la corriente) la figura sería:

Figura 1. 14

Así que la corriente sale por el positivo, entra por el negativo, y el elemento estaría entregando energía, según la convención ‘b’, con una potencia de:

P=2V∗2 A=4W

Ejemplo 1.8:

Figura 1. 15

Solución: Al colocar la corriente y el voltaje positivos tenemos:

Figura 1. 16

12


Y siguiendo la convención ‘a’, el elemento está absorbiendo energía y su potencia es:

P=3V∗5 A=15W

Ejemplo 1.9:

Figura 1. 17

En este caso, expresamos el voltaje de manera positiva cambiando la polarización del elemento:

Figura 1. 20

De acuerdo a la convención ‘b’, el elemento está entregando una potencia de:

P=8V∗3 A=24W

EJERCICIOS A RESOLVER

En cada uno de los elementos determinar la potencia entregada o absorbida:

Figura 1. 21

1.7 TIPOS DE SEÑALES

13


Señal eléctrica, es una magnitud cuyo valor depende del tiempo. Puede representar un voltaje o una corriente. Pueden ser de dos tipos, analógicas o digitales:

- Señales analógicas: Son aquellas que pueden tomar un número infinito de valores comprendidos entre dos límites.

- Señales digitales: pueden tomar un número finito de valores (por lo general dos) y cambian drásticamente de un valor a otro.

Otra clasificación que comúnmente se da es:

Señal DC: Es una señal constante en el tiempo.

Figura 1. 22 Señal DC

Señal AC: Es una señal variable con el tiempo. Este tipo de señal puede tomar muchas formas:

o Señal triangular:

Figura 1. 23 Señal analógica triangular

o Señal Sinusoidal:

Figura 1. 24 Señal analógica Sinusoidal.

14


o Señal Cuadrada o digital:

Figura 1. 25 Señal cuadrada o digital.

1.8 ELEMENTOS ACTIVOS

Son considerados aquéllos que por lo general entregan potencia pero en algunos casos la absorben. Un ejemplo son las fuentes

FUENTESLas fuentes son las que suministran energía en un circuito. Las fuentes pueden ser de dos tipos diferentes, Independientes o Dependientes:

1.8.1 Fuente Independiente: Generadores de voltaje o de corriente que no dependen de otras variables del circuito.

o Fuente Independiente de Voltaje: Elemento de dos terminales donde el voltaje se mantiene entre sus terminales independientemente de la corriente a través de él.

Figura 1. 26 Representación de las fuentes devoltaje independientes

o Fuente Independiente de Corriente: Elemento de dos terminales donde la corriente se mantiene independientemente del voltaje a través de él.

15


Figura 1. 27 Representación de las fuentes de corriente independientes.

1.8.2 Fuente Dependiente: Generador de voltaje o de corriente que es dependiente de otra variable en algún otro lugar en el circuito.

o Fuente de voltaje dependiente de voltaje: Proporciona un voltaje dependiente de un voltaje existente en otra parte del circuito.

V=k∗V 1

Figura 1. 28 Fuente de voltaje dependiente de voltaje.

o Fuente de voltaje dependiente de corriente: Proporciona un voltaje dependiente de una corriente existente en otra parte del circuito.

V=k∗i 1

Figura 1. 29 Fuente de voltaje dependiente de corriente.

o Fuente de corriente dependiente de voltaje: Proporciona una corriente dependiente de un voltaje existente en otra parte del circuito.

i=k∗V 1

Figura 1. 30 Fuente de corriente dependiente de voltaje.

o Fuente de corriente dependiente de corriente: Proporciona una corriente dependiente de una corriente existente en otra parte del circuito.

16


i=k∗i 1

Figura 1. 31 Fuente de corriente dependiente de corriente.

1.9 ELEMENTOS PASIVOS

Son considerados aquellos que nunca entregan potencia. Son por ejemplo los resistores ,bobinas y condensadores.

17


CIRCUITOS ELETRÓNICOS

ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

TEORÍA BÁSICA Y EJERCICIOS RESUELTOS

CAPITULO 2

CIRCUITOS RESISTIVOS

18

G .

RESISTENCIA ELECTRICA RESISTENCIA ELECTRICA DE UN

CONDUCTOR VARIACION DE RESISTENCIA CON LA

TEMPERATURA LEYES DE KIRCHHOFF EL RESISTOR (RESISTENCIA),

RESISTORES FIJOS, CODIGO DE COLORES LA LEY DE OHM POTENCIA DISIPADA EN EL RESISTOR RESISTENCIAS EN SERIE-DIVISOR DEL

VOLTAJE RESISTENCIAS EN PARALELO-DIVISOR

DE CORRIENTE

2-2014


CAPITULO 2.Circuitos Resistivos

2.1 RESISTENCIA ELECTRICA

El paso de la corriente eléctrica depende del material que se utilice. Todo material se opone en mayor o menor grado al movimiento de los electrones, a esta oposición al movimiento de cargas se le conoce con el

nombre de resistencia eléctrica. Teniendo en cuenta lo anterior, los materiales se pueden clasificar en:

Conductores: Son materiales que soportan un movimiento importante de carga (corriente). Los mayores conductores utilizados en los sistemas electrónicos son el oro, la plata, el cobre y el aluminio.

Aislantes: Son materiales (generalmente compuestos) que ofrecen mucha oposición al movimiento ordenado de cargas. Pueden ser materiales aislantes o no conductores el vidrio, la madera, el plástico, etc.

Semiconductores: Son materiales que bajo ciertas condiciones pasan de ser aislantes a ser conductores. Los materiales más utilizados como semiconductores son el silicio y el germanio.

2.2 RESISTENCIA ELECTRICA DE UN CONDUCTOR

Si consideramos un conductor de longitud L y de sección transversal A; a una temperatura determinada, la resistencia eléctrica R está dada por:

Figura 2. 1

R=ρ LA

Donde representa resistividad (propiedad básica de una substancia de oposición al flujo de corriente) yρ está dada en ohmio-metro. L es la longitud del conductor expresada en metros. Y A es el área transversal del conductor expresada en metros².

De acuerdo con estas unidades, la resistencia estaría expresada en ohmios .Ω

19


EJEMPLOS:

Ejemplo 2.1

Calcular la resistencia de un conductor de cobre que tiene una longitud de 2km y una sección transversal de 20 mm² con una resistividad de 16 n *mΩ

Solución: De acuerdo a la ecuación y reemplazando con la unidades fundamentales:

R=ρ LAR=16∗10

−9Ωm∗2∗103m

20∗(10−3 )2m2R=1.6Ω

Ejemplo 2.2

Calcular la longitud de un conductor de plata de 0.5 mm de diametro que tiene una resistencia de 0.04Ω

Solución: De acuerdo a la ecuación: R=ρ LA

de donde se concluye:

L= R∗Aρ

Tenemos:

A=π∗R2A=3.14∗( 0.5∗10−32 )2

A=1962.5∗10−10m ²

Entonces:

L=0.04Ω∗1962.5∗10−10m2

16∗10−9Ω.m

L=490.62∗10−3m =0.49 m

EJERCICIO A RESOLVER:

20

La resistividad de la plata es …………………………………………………… 0.016 µ -m.Ω

La resistividad del Cobre es…………………………………………………….. 0.017 µ -m.Ω

La resistividad del Oro es………………………………………………………... 0.022 µ -m.Ω


Calcular la resistencia que tienen 20m de nichrome con un calibre de 0.821 mm² si la resistividad del nichrome es de 1080 n -m.Ω

2.3 VARIACIÓN DE LA RESISTENCIA CON LA TEMPERATURA

Si consideramos el calor (energía) como el movimiento de las moleculas o átomos, podemos concluir que cuanto más caliente está un material, tanto más energicamente vibran alrededor de sus puestos en la red del cristal. Así, con el aumento de la temperatura, se aumenta la posibilidad de choques de los electrones cuasi-libres con los átomos, impidiendo un libre movimiento de cargas, lo que representa un aumento en la resistencia.

Experimentalmente se puede mostrar que una gran variación de temperatura produce una gran variación de resistencia. Tambien se puede decir que dependiendo de la resistencia utilizada (lo que se conoce como resistencia de partida)se produce una variación de la misma.

Como los diversos materiales tienen diferentes estructuras cristalinas, los cambios de la resistencia eléctrica al variar la temperatura tambien serán diferentes; a este cambio se le conoce como el

coeficiente de temperatura (Cambio de la resistencia de un conductor al variar un grado Centigrado la temperatura)

La resistencia final, despues del calentamiento, será entonces:

Rf=Rp+RRf=Rp(1+ T∗α)

Si Rp es la resistencia a 0ºC podemos escribir la expresión:

Rf=Ro(1+αT )

EJEMPLOS

21

Resumiendo lo anterior, podemos expresar la variación de la resistencia de un conductor R como:

R=Rp∗ T∗α

Donde Rp es la resistencia de partida (a temperatura ambiente), T es la variación de la temperatura y es el coeficiente de temperatura.α


Ejemplo 2.3.1

Una linea de transmisión de cobre, tiene una resistencia de 50 a 0ºC. Calcular la variación de laΩ resistencia entre las estaciones de verano (30ºC) y de invierno (-5ºC). El coeficiente de temperatura del cobre es 0.00427/oC

Solución: De acuerdo a:

R=Rp∗ T∗α

Reemplazamos.

R=50Ω∗35∗0.00427R=7.47Ω

Ejemplo 2.3.2

¿Cuánto es el incremento de una resistencia de constatán con un valor de 1K a temperatra de 20ºCΩ trabajando a temperaturas de hasta 200ºC? El coeficiente del constatán es 0.00004*1/oC

Solución:

R=Rp∗ T∗αR=103Ω∗180∗4 x10−5R=7.2Ω

Y la resistencia final sería:

Rf=Rp+RRf=103Ω+7.2ΩRf=1007.2Ω

EJERCICIO A RESOLVER

Una línea de transmisión de cobre tiene una longitud de 800m. Calcular la resistencia total de la línea a 25ºC.

De acuerdo a tablas:

- ρ=15.88nΩ−m a 0ºC

- α=4.27 x 10−3∗1ºC

- A=0.821mm2

LEYES DE KIRCHHOFF

22


Para analizar el más simple de los circuitos, se hace indispensable conocer y aplicar las leyes postuladas por el físico Aleman Gustav Kirchhoff. Conocidas como Ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) y Ley de voltajes de Kirchhoff (LVK).

Antes de hablar de las leyes, debemos aclarar el concepto del nodo, que es la unión de dos o más componentes del circuito.

Ley de Kirchhoff de corrientes (LCK)

Existen tres formas diferentes de plantear esta ley:

Ejemplo 2.4.1

Para el siguiente circuito aplicar la ley de Kirchhoff de corrientes en todos los nodos:

Figura 2. 2

Solución: Determinamos cuáles son los nodos y marcamos con letras mayúsculas desde la ‘A’ hasta la ‘F’, luego determinamos los sentidos de las corrientes de una manera arbitraria. Posteriormente aplicamos la LCK en todos los nodos obteniendo:

NODO PRIMER POSTULADO SEGUNDO POSTULADO TERCER POSTULADO

23

1. En todos los nodos de un circuito, la suma algebraica de las corrientes entrantes es igual a cero.

2. Tambien podemos decir que en todos los nodos, la suma algebraica de las corrientes salientes es igual a cero.

3. La suma de las corrientes que entran al nodo es igual a la suma de las corrientes que salen.


(Corrientes entrantes=0)

(Corrientes salientes = 0)

(Corrientes entrantes= corrientes salientes

A i1 - i2= 0 -i1 + i2= 0 i1= i2

B i2 - i3 - i5 = 0 -i2 +i3 +i5 = 0 i2 = i3+i5

C i5 - i6 = 0 -i5 + i6 = 0 i5 = i6

D i6 - i7 = 0 -i6 + i7 = 0 i6 = i7

E i3 - i4 + i7 = 0 -i3 + i4 – i7 = 0 i3 + i7 = i4

F -i1 + i4 = 0 i1 – i4 = 0 i4 = i1

Tabla 4. LCK en los nodos del circuito.

Podemos hacer hincapié en que las ecuaciones son las mismas en cada uno de los nodos, sin embargo la manera en que se plantea cada una de ellas es particular.

Ley de Kirchhoff de Voltaje

Esta ley postula lo siguiente:

Ejemplo 2.4.2.

Ahora, al circuito de la Figura 2.3 y polarizamos arbitrariamente las caídas de potencial en cada elemento.

Figura 2. 3

Solución: Podemos observar que hay tres trayectorias cerradas:

1. FABEF: donde la LVK sería:

24

En toda trayectoria cerrada, la suma algebraica de voltajes es igual a cero.


−V 1+V 2−V 3+V 4=0

Es necesario aclarar que el signo del voltaje es el primero que se lee en su trayectoria en todos los elementos.

2. FABCDEF:

−V 1+V 2+V 5−V 6−V 7+V 4=0

3. EBCDE:

+V 3+V 5−V 6−V 7=0

Se debe insistir que en un circuito con n trayectorias cerradas, se debe cumplir la ley de Kirchhoff de voltajes en todas las trayectorias; ahora bien, usted podrá escribir las ecuaciones con el signo saliente del elemento en la trayectoria:

I. FABEF:

+V 1−V 2+V 3−V 4=0

Es necesario aclarar que el signo del voltaje es el primero que se lee en su trayectoria en todos los elementos.

II. FABCDEF:

+V 1−V 2−V 5+V 6+V 7−V 4=0

III. EBCDE:

−V 3−V 5+V 6+V 7=0

2.4 EL RESISTOR (RESISTENCIA)

EL RESISTOR

Es un componente electronico pasivo que dependiendo de su estructura y elementos para su fabricación, tiene un valor de resistencia eléctrica determinado.

25

Para recordar:

La ley de Kirchhoff de corriente se aplica en todos los nodos de un circuito, mientras la ley de voltaje de Kirchhoff se aplica en todas las trayectorias cerradas de un circuito.


Clasificación de los resistores:

Figura 2. 4 Resistores fijos

Figura 2. 5 Resistores variables

RESISTORES FIJOS. CODIGO DE COLORES.

Los resistores de películas por lo general se pueden identificar por unas bandas de colores dibujadas alrededor de ellos.

Figura 2. 6

26

Fijos

Peliculas

De carbon

Metálicos

Gruesa

DelgadaBobinados

Variables

Lineales

Potenciometros de ajuste.

Potenciometro giratorio.

Potenciometro de cursor.

No lineales

Dependientes de parámetros físicos

como la temperatura (termistores), la luz (fotoresistencias), la

tensión (varistores), el campo magnético

(placas magneticas) y la presión mecánica

(piezoeléctricos).

ExponencialesLogarítmicos

Antilogarítmicos


Por lo general hay cuatro bandas dibujadas,

La primera banda significa la primera cifra,

La segunda banda es la segunda cifra,

La tercera banda significa el valor multiplicativo,

La cuarta banda indica la tolerancia, que es el máximo o mínimo valor que puede tomar la resistencia respecto al indicado por las bandas.

Color 1ª Banda 2ª Banda 3ª Banda 4ª Banda

Negro 0 0

Marrón (café) 1 1 101 ±1%

Rojo 2 2 102 ±2%

Naranja 3 3 103

Amarillo 4 4 104

Verde 5 5 105 ±0.5%

Azul 6 6 106

Violeta 7 7 107

Gris 8 8 108

Blanco 9 9 109

Oro ±5%

Plata ±10%

Tabla 5. Código de colores

Si existieran cinco bandas de color (resistencias de precisión) se debe leer así:

- 1ª banda: cifra

- 2ª banda: cifra

- 3ª banda: cifra

- 4ª banda: Factor multiplicativo

27


- 5ª banda: Tolerancia.

En la actualidad se utiliza una sexta banda que representa el coeficiente térmico, expresado en partes por millón.

Para valores pequeños, se utilizan tres bandas, donde las dos primeras son cifras y la tercera, si es dorada, indica división entre 10, si es plateada, indica división entre 100.

Ejemplos

Hallar el valor óhmico de las siguientes resistencias:

2.4.1.

Figura 2. 7

- Solución: Rojo (2), azul (6), naranja (3 ceros), dorado (5%).

- R= 26000 = 26K ±5%

- Valor entre 24.7K y 27.3K

2.4.2

Figura 2. 8

- Solución: Verde (5), rojo (2), azul (6), rojo (2 ceros), verde (±0.5%)

- R= 52600 = 52.6K ±0.5%

- Valor entre 52.33K y 52.86K

2.4.3

Figura 2. 9

- Solución: Café (1), rojo (2), dorado (dividido 10)

- R= 12/10

- R = 1.2Ω28


EJERCICIOS A RESOLVER:

Represente con bandas de colores los siguientes valores óhmicos:

2.4.1. 1K , tolerancia de 1%Ω

2.4.2. 4.7Ω

2.4.3. 735 , tolerancia de 0.5%Ω

En el mercado se encuentran resistencias desde décimas de ohmios, hasta decenas de megohmios.

2.5 LA LEY DE OHM

Al físico alemán Georg Simon Ohm, se le debe la relación entre voltaje (voltios), corriente (amperios) y resistencia (ohmios), ya que la estableció en lo que comúnmente se conoce como ley de ohm. Dicha ley establece que al aplicar una corriente ‘i’ a una resistencia ‘R’ se produce una caída de potencial ‘v’ que es proporcional a la corriente, y esa constante de proporcionalidad entre corriente y voltaje es el valor de la resistencia. Gráficamente lo podemos visualizar:

Figura 2. 10

Y matemáticamente:

V=i∗R

Donde V es el voltaje en voltios, i es la corriente en amperios y R es la resistencia o constante de proporcionalidad en ohmios ( ).Ω

Al ser el resistor un elemento pasivo, nunca entrega energía; y teniendo en cuenta las convenciones expuestas en el capítulo anterior para determinar si un elemento entrega o consume potencia, podemos determinar fácilmente la caída de potencial con la polarización adecuada (voltaje) en el resistor sí conocemos el sentido de la corriente.

29


V=i∗R

Figura 2. 11.

V=i∗R

Figura 2. 12.

De igual manera, si se conoce la caída de potencial en un resistor con su adecuada polarización, se puede determinar fácilmente la dirección de la corriente:

i=VR

Figura 2. 13

i=VR

Figura 2. 14

Ejemplos:

Determine el valor del voltaje (caída de potencial) en cada caso:

2.5.1.

30


Figura 2. 15

- Solución: La corriente va de izquierda a derecha, lo que produce la caída de potencial mostrada:

Figura 2. 16

- Es importante recordar que cuando un elemento consume energía, la corriente pasa del terminal positivo al negativo del elemento.

V=2mA∗1KΩV=2∗10−3∗1∗103V=2v

2.5.2.

Figura 2. 17

- Solución: La corriente tiene sentido sur-norte (abajo-arriba), lo que produce la caída de potencial mostrada:

Figura 2. 18

V=3 A∗20ΩV=60v

2.5.3

31


Figura 2. 19

- Solución: Si la corriente es -2A de arriba abajo, lo primero que debemos hacer es cambiar el sentido (abajo-arriba) produciendo el siguiente voltaje:

Figura 2. 20

V=2 A∗10ΩV=20v

Determinar la magnitud de la corriente en los siguientes casos:

2.5.4

Figura 2. 21

- Solución: El terminal izquierdo de la resistencia es más positivo y al tratarse de un elemento pasivo, la corriente debe entrar por el positivo del voltaje así:

Figura 2. 22

i=10v1K

i=10mA

2.5.5.

32


Figura 2. 23

- Solución: Ya podemos deducir:

Figura 2. 24

i=20v2K

i=10mA

2.5.6

Figura 2. 25

- Solución:

Figura 2. 26

i=30v3K

i=10mA

POTENCIA DISIPADA EN EL RESISTOR

33


Recordando que:

P=V∗i

Y que en un resistor:

V=i∗R

Podemos deducir que la potencia absorbida en un resistor es:

- P=i2∗R Ó P=V 2

R

Es bueno advertir que esa potencia absorbida por el resistor, es liberada (transformación de energía) en forma de calor al aire a través de sus terminales.

Otra cantidad importante y muy útil en el análisis de circuitos es la conductancia (G), definida como el

inverso de la resistencia, su unidad en el SI es el siemens (S) o el moh ( ).

El modelo matemático es:

G= 1R

Es lógico decir que si hablamos de resistencia como la oposición a movimientos muy grandes, la conductancia es muy pequeña.

2.7 RESISTENCIAS EN SERIE (DIVISOR DE VOLTAJE)

Considere el siguiente circuito:

Figura 2. 27

34


Se observa que la fuente de voltaje se aplica desde ‘A’ hasta ‘C’, en donde también aparece la resistencia ‘R1’ de ‘A’ a ‘B’ y ‘R2’ de ‘B’ a ‘C’. Se dice entonces que ‘R1’ y ‘R2’ están en serie. Aplicando la ley de Kirchhoff de corriente, observamos que sí la corriente ‘i’ llega a ‘A’, debe salir hacia ‘B’ y ésta a su vez hacia ‘C’.

Concluyendo, algo muy importante es:

“Cuando hay elementos en serie, la intensidad de corriente es la misma a través de los diferentes elementos”

Para determinar la resistencia total o equivalente, dibujemos de nuevo el circuito original:

Figura 2. 28

Ahora dibujemos el circuito mostrado:

Figura 2. 29

En este circuito hemos reemplazado las resistencias en serie por una que llamamos “resistencia equivalente”. El voltaje de la fuente sigue siendo ‘V’ y la corriente ‘i’.

Aplicando la ley de Kirchhoff en el circuito original:

V=V 1+V 2

Y combinando con la ley de ohm (V=i∗Req)

i∗Req=i∗R1+i∗R2

Req=R1+R235


De acuerdo con lo anterior, la resistencia equivalente de dos resistencias en serie es la suma de las resistencias.

Y aplicando la ley de ohm:

V 1=i∗R1

Pero i= VReq

i= VR1+R2

Reemplazando:

V 1=V∗R1R1+R2

Siguiendo el mismo procedimiento: V 2=i∗R2

i= VReq

= VR1+R2

V 2=V∗R2R1+R2

Cuando se tienen n resistencias en serie no es difícil concluir lo siguiente:

36

De todo el procedimiento anterior podemos concluir:

1. La corriente tiene la misma intensidad en todo el circuito porque las resistencias están en serie.

2. La resistencia equivalente o total, es la suma de las resistencias en serie.

3. El voltaje se divide de acuerdo al número de resistencias.


Figura 2. 30

i= VR1+R2+…+Rn

V Rx=V∗Rx

R1+R2+…+Rn

Donde V Rx es el voltaje en la resistencia x, V es el voltaje entregado por la fuente y Rx es la resistencia. De

acuerdo con lo anterior, el voltaje o caída de potencial es mayor donde la resistencia sea mayor.

EJEMPLOS

2.7.1. Hallar corrientes ,voltajes y mostrar la conservación de Energía (Potencia) en el circuito mostrado

Figura 2. 31

i= 12v2K+6K+4K

i=1mA

V 1=12v∗2K12K

V 1=2 v

V 2=12v∗6K12K

V 2=6 v

V 3=12v∗4K12K

V 3=4 v

37


Debemos confirmar:

- La suma de las caídas de potencial (voltaje) en las resistencias deben ser equivalentes al voltaje entregado por la fuente: (2v+4v+6 v=12v). Se cumple la ley de Kirchhoff de voltaje.

- El voltaje es mayor en la resistencia de mayor valor: 6v en 6K, 4v en 4K y 2v en 2K.

Hablemos ahora de potencia:

- La potencia entregada por la fuente es

P=V∗iP=12 v∗1mAP=12mW

- Potencia discipada en las resistencias:

PR2K=V 1∗i=2v∗1mA=2mW

PR6K=V 2∗i=6v∗1mA=6mW

PR4 K=V 3∗i=4 v∗1mA=4mW

Por supuesto, debido a la ley de la conservación de la energía, en todo sistema o circuito eléctrico la potencia entregada (12mW) es igual a la potencia absorbida (2mW +6mW +4mW ).

2.7.2. Hallar corrientes ,voltajes y en el circuito mostrado

Figura 2. 32

RT=1K+4K+3K+2KRT=10K

i= 15v10K

=32mAi=1.5mA

V A=15 v∗1K10K

=32vV A=1.5v

V B=15v∗4K10K

V B=6 v

38


V C=15v∗3K10K

=92vV C=4.5v

V D=15v∗2K10K

V D=3 v

Comprobemos:

- Caída de mayor voltaje en 4K (6v), siguiente 3K (4.5v), 2K (3v) y en 1K (1.5v).

2.7.3.

En el siguiente circuito en serie (divisor de voltaje) la potencia entregada por la fuente es 8mW y V 1=V16

.

Calcular R, V, y V1.

Figura 2. 33

- Solución: Aplicando el divisor de voltaje en la resistencia de 2K:

V 1=V∗2K

2K+8K+R+4 K= V∗2K14K+R

Como V 1=V16

.

- Reemplazamos:

V16

= V∗2K14 K+R

Entonces:

14K+R=32KR=18K

- Ahora recordemos que sólo la fuente entrega potencia, en este caso de 8mW que son absorbidos por el total de las resistencias, en este caso 32K.

- Sabiendo que P=V 2

R:

39


V 2=P∗RV 2=8∗10−3W∗32∗103ΩV 2=256V=16 v

- Ahora hallamos V1

V 1=V16

=1616

=1V

Comprobemos potencias:

Elemento Potencia entregada Potencia absorbida

Fuente de Voltaje 8mW

Resistencia 2K V∗i=1v∗0.5mA=0.5mW

Resistencia 8K V∗i=4 v∗0.5mA=2mW

Resistencia 18K V∗i=9v∗0.5mA=4.5mW

Resistencia 4K V∗i=2v∗0.5mA=1mW

Totales 8mW 8mW


2.7.1. Muestre la conservación de energía (potencia) en el siguiente divisor de voltaje.

Figura 2. 34

40


2.7.2. Muestre la conservación de energía (potencia) en el siguiente circuito.

Figura 2. 35

2.7.3. En el divisor de voltaje mostrado, sí i=100mA, muestre la conservación de potencia.

Figura 2. 36

2.8 RESISTENCIAS EN PARALELO (DIVISOR DE CORRIENTE)

Considerar el siguiente circuito:

Figura 2. 37

41


Nótese que los resistores R1 y R2 están unidos en el nodo A (un terminal de cada resistencia) y en el nodo B (al otro terminal de cada resistencia). A esta configuración se le conoce como resistencias (o elementos) en paralelo.

De acuerdo a la ley de Kirchhoff de voltajes sabemos que sobre los resistores R1 y R2 hay el mismo voltaje V así;

Figura 2. 38

Se concluye que en los elementos en paralelo el voltaje a través de cada uno es el mismo. Ahora pensemos en la corriente. Hay dos caminos:

Figura 2. 39

La pregunta es: ¿qué resistencia ve la corriente i?

Para determinar cuál es la resistencia que ve la corriente ‘i’ reemplazamos el circuito original por el siguiente:

42


Figura 2. 40

Del circuito original, aplicando la ley de Kirchhoff de corriente en el nodo A (o en el nodo B) obtenemos:

i=i1+i2

VReq

= VR1

+ VR2

Simplificando nos queda:

1Req

= 1R1

+ 1R2

Otra forma de expresar la relación anterior es:

En dos resistores en paralelo, la conductancia equivalente es igual a la suma de las conductancias individuales:

Gt=G1+G2

Cuando se tienen ‘n’ resistencias en paralelo se puede concluir que:

Geq=G1+G2+…+Gn

Ó

1Req

= 1R1

+ 1R2

+…+ 1Rn

Teniendo este circuito

Figura 2. 41

Podemos decir que:

43


1Req

= 1R1

+ 1R2

1Req

=R1+R2R1∗R2

Req=R1∗R2R1+R2

Fácilmente y en forma general podemos recordar que la resistencia equivalente de dos resistencias en paralelo es igual al producto sobre la suma de las resistencias. Por ejemplo:

- R3Ω / ¿6Ω=(3∗6)(3+6)

=189

=2Ω

- R12KΩ/ ¿ 4KΩ=12K∗4 K12K+4K

=4816

=3KΩ

- R12Ω /¿ 6Ω=6∗126+12

= 6∗126(1+2)

=4Ω

Analizando estos ejemplos, se puede concluir que la resistencia equivalente es siempre menor que la menor de las resistencias en paralelo.

Ahora veamos lo que sucede con la corriente:

Figura 2. 42

i1=VR1

= i∗ReqR1

=i∗R1∗R2R1 (R1+R2 )

i1=i∗R2R1+R2

De igual forma:

i2=VR2

=i∗ReqR2

=i∗R1∗R2R2 (R1+R2 )

i2=i∗R1R1+R2

44


Al observar las dos ecuaciones anteriores (i1e i2) podemos decir de una manera general que en un sistema

en paralelo la corriente que pasa por una resistencia es igual a la corriente total del nodo multiplicada por la otra resistencia y dividida por la suma de las resistencias que están en paralelo.

Por ejemplo:

Figura 2. 43

Aplicando el divisor de corriente:

i1=36mA∗12KΩ6K+12K

=24mAi2=36mA∗6KΩ18KΩ

=12mA

Este ejemplo nos sirve para generalizar el comportamiento de la corriente en un sistema en paralelo, donde la corriente mayor se va por donde la resistencia es menor. Entre las dos corrientes calculadas, la corriente de 24mA (la mayor de las dos) recorre la resistencia menor (6K). Ahora bien, el voltaje sobre la resistencia de 6K es V=24mA∗6K=144 vque por supuesto es igual en ambas resistencias (Ley de Kirchhoff de voltaje).

Para aclarar y determinar más fácilmente un arreglo de resistencias veamos el siguiente ejemplo en donde tomaremos los nodos así:

Figura 2. 44

La resistencia equivalente es:

Req AC=(R1+R2)/¿(R4+R3)

Req BD=(R1+R4)/¿(R2+R3)

45


Req BC=R2/¿(R1+R4+R3)

ReqDC=R3/¿(R1+R4+R2)

Req AD=R4/¿(R1+R2+R3)

Req AB=R1/¿ (R2+R4+R3)

Es decir, el valor de la resistencia equivalente depende de los puntos o terminales que se consideren.

EJEMPLOS

Ejemplo 2.8.1.

Determine el valor de la resistencia equivalente entre el punto ‘A’ y el punto ‘B’.

Figura 2. 45

Solución: Para comenzar se debe identificar qué asociaciones de resistencias hay, es decir, cuáles resistencias están en serie y cuales en paralelo.

En este circuito solo hay dos casos en serie:

1. 10Ω+8Ω=18Ω

2. 5Ω+10Ω=15Ω

Aplicada esta operación, el circuito queda de la siguiente manera:

46

Nota: Es recomendable identificar y solucionar primero las resistencias que están en serie.


Figura 2. 46

Como se puede observar, en el circuito no quedan más resistencias en serie, por lo tanto se pueden comenzar a analizar las resistencias que están en paralelo.

Para hacer más fácil el análisis del circuito se tomará nodo por nodo planteando las ecuaciones:

1. Las resistencias de 10 y 15 están en paralelo dado que sus terminales están conectadasΩ Ω entre sí:

R10 /¿15=10∗155(2+3)

=6Ω

2. Las resistencias de 18 y 36 también están en paralelo, aunque la resistencia de 36 estáΩ Ω Ω ubicada diagonalmente, sigue siendo un paralelo, puesto que lo importante son los nodos a los que está conectada.

R18 /¿36=18∗3618 (1+2 )

=12Ω

Ahora se redibuja el circuito para comprender mejor los cambios y las operaciones realizadas:

Figura 2. 47

Se puede observar que las resistencias de 18 y 6 están en serie:Ω Ω

47


6Ω+18Ω=24Ω

Figura 2. 48

Claramente se ve que la resistencia de 24 está en paralelo con la de 12 :Ω Ω

R24 /¿ 12=12∗2412 (1+2 )

=8Ω

Quedando el circuito así:

Figura 2. 49

Por último vemos que las dos resistencias están en serie; por lo tanto basta con una suma para encontrar la resistencia equivalente.

Req=6Ω+8ΩReq=14Ω

Ejemplo 2.8.2.

Una fuente de voltaje entrega 240V y 1920W al siguiente circuito de resistencias. Calcule el valor de R.

48


Figura 2. 50

Solución: Primero se deben identificar las resistencias dispuestas en serie y en paralelo, luego se debe encontrar la resistencia equivalente y encontrar el valor de R utilizando la potencia y el voltaje dado.

Figura 2. 51

Al sumar las resistencias que estaban en serie se obtiene un valor en términos de R como se muestra en la Figura 2. 51

Las dos resistencias restantes están en paralelo:

RR /¿2 R=2R∗RR (1+2 )

=2 R3

Es decir, la resistencia equivalente es:

Req=2R3Ω

Figura 2. 52

Teniendo en cuenta que se proporciona un voltaje y una potencia y una resistencia en términos de ‘R’, se puede utilizar la ecuación de potencia para encontrar el valor de la corriente ‘i’.

49


P=V∗i

i= PVi=1920W

240Vi=9612

Ai=8 A

Con el valor de la corriente, se aplica la ley de ohm para conocer el valor de ‘R’.

V=i∗ReqReq=ViReq=

240V8 A

Req=30Ω

Reemplazando en la ecuación encontrada en el circuito de resistencias se tiene:

Req=30Ω

2R3Ω=30Ω2 RΩ=90ΩR=45Ω

Ejemplo 2.8.3.

Hallar la resistencia equivalente del circuito entre los puntos AB

Figura 2. 53

Solución: Como se ha mencionado anteriormente, lo primero que se debe hacer es identificar las resistencias en serie y en paralelo, de derecha a izquierda, pues por lo general al final del circuito hay resistencias en serie y esto facilita la re-organización de las resistencias.

Solo hay dos resistencias en serie en este circuito, al sumar estas resistencias se obtiene el siguiente circuito.

R=60Ω+40Ω=100Ω

50


Figura 2. 54

Al ver este circuito, se pueden intuir varios paralelos, el primero es entre la resistencia recién encontrada de 100 con otra resistencia del mismo valor.Ω

R100/ ¿100=100∗100100 (1+1 )

=50Ω

Figura 2. 55

Ahora se observan las dos resistencias de 50 están en serie así que se realiza la suma:Ω

R=50Ω+50Ω=100Ω

Figura 2. 56

Quedan dos resistencias en paralelo de 100 cada una, y sabemos que la resistencia equivalente es 50 .Ω Ω

51


Figura 2. 57

Se realiza el paralelo de las resistencias de 50 así que:Ω

R50 /¿50=50∗5050 (1+1 )

=25Ω

Figura 2. 58

Se realiza la suma de las resistencias de 175 y 50 :Ω Ω

R=175Ω+25Ω=200Ω

Figura 2. 59

Hay que reconocer que las dos resistencias de 200 están en paralelo y también la resistencia de 100 yaΩ Ω que las tres resistencias están conectadas a los mismos nodos. Se realizan las operaciones respectivas así:

R200/ ¿200=200∗200200 (1+1 )

=100Ω

R100/ ¿100=100∗100100 (1+1 )

=50Ω

52


Figura 2. 60

Finalmente se observa que las resistencias entre el punto ‘A’ y el punto ‘B’ están en serie, por lo tanto la resistencia equivalente es:

R=20Ω+50Ω+30=100Ω

Ejemplo 2.8.4.

Para el siguiente circuito hallar el valor de V utilizando el divisor de voltaje.

Figura 2. 61

Solución: Lo primero que se recomienda es llegar a un circuito base donde solo haya dos resistencias en serie y la fuente de voltaje. Por esto se hace necesario reducir el circuito haciendo operaciones entre las resistencias.

Las resistencias de 2 y 4 están en serie, por ende:Ω Ω

R=2Ω+4Ω=6Ω

Figura 2. 62

Las resistencias de 12 y 6 están en paralelo:Ω Ω

53


R12 /¿6=12∗66 (1+2 )

=4Ω

Figura 2. 63

Ahora se suman las resistencias de 4 que están en serie:Ω

R=4Ω+4Ω=8Ω

Figura 2. 64

Por último, las resistencias de 8 están en paralelo:Ω

R8 /¿ 8=8∗88 (1+1 )

=4Ω

Figura 2. 65

En este punto, teniendo el circuito reducido, se procede a encontrar la caída de potencial en la resistencia de 4 . Se tomará como referencia el circuito inicial nombrando los nodos para poder comenzar aΩ encontrar el voltaje en los nodos requeridos.

54


Figura 2. 66

Ahora se procede al cálculo comenzando desde la Figura 2. 65 y teniendo en cuenta el nombre de los nodos:

Figura 2. 67

El voltaje del nodo ‘B’ al nodo ’E’ es igual a la multiplicación del voltaje inicial por la resistencia evaluada, sobre la suma de las resistencias.

V BE=10V∗4Ω6Ω+4Ω

=4V

Teniendo el valor del voltaje BE, se pasa a hallar el voltaje de ‘C’ a ‘E’:

Figura 2. 68

V CE=4 V∗4Ω4Ω+4Ω

=2V

55

Nota: No confundir los voltajes en el momento de evaluar los circuitos, el voltaje en los diferentes nodos puede variar y por ende, la solución del circuito.


Aplicamos el mismo procedimiento para encontrar el voltaje de ‘D’ a ‘E’:

Figura 2. 69

V DE=2V∗4Ω2Ω+4Ω

= 43V

Ejemplo 2.8.5.

Para el siguiente circuito hallar ‘V’ utilizando el divisor de voltaje . Para facilitar el análisis se identifican los nodos.

Figura 2. 70

Solución: Primero se debe encontrar la resistencia equivalente para poder aplicar el mismo método que en el ejercicio anterior. Las resistencias en serie se ven claramente, tanto entre los nodos BCD como en los nodos DEF así que:

56


R=4Ω+8Ω=12Ω

Figura 2. 71

En este momento queda cada una de las resistencias de 6 en paralelo con una de 12 :Ω Ω

R12 /¿6=12∗66 (1+2 )

=4Ω

Figura 2. 72

Se obtiene un circuito donde las dos resistencias de 4 están en serie y que la resistencia resultanteΩ quedará en paralelo con la de 24 :Ω

R=4Ω+4Ω=8Ω

R8 /¿ 24=8∗248 (1+3 )

=6Ω

Figura 2. 73

57


A partir de este circuito se puede comenzar a encontrar el voltaje entre los nodos. El voltaje entre los nodos BF será:

V BF=60 v∗6Ω

12Ω+12Ω+6Ω=12v

Con este valor, se puede encontrar el voltaje en los nodos BD y FD (Figura 2. 72)

V BD=12v∗4Ω4 (1+1)Ω

=6 v

Con este voltaje, se procede a encontrar el voltaje pedido entre los nodos ‘C’ y ‘D’.

V CD=6v∗8Ω4 (2+1 )Ω

V CD=4V

Ejemplo 2.8.6.

Encontrar el voltaje ‘V’ que pasa por la resistencia de 40 utilizando el divisor de voltaje.Ω

Figura 2. 74

Solución: Como en los casos anteriores, primero se deba hallar la resistencia equivalente mediante la identificación y operación de las resistencias dispuestas en serie y paralelo:

R=32Ω+40Ω=72Ω

R12 /¿6=12∗66 (1+2 )

=4Ω

58


R30 /¿6=30∗66 (1+5 )

=5Ω

Obteniendo el siguiente circuito equivalente:

Figura 2. 75

Las resistencias de 4 y 5 están en serie, y la resistencia resultante está en paralelo con laΩ Ω resistencia de 72 .Ω

R=4Ω+5Ω=9Ω

R9 /¿ 72=9∗729 (1+8 )

=8Ω

Figura 2. 76

Realizando la suma de las resistencias en serie y el paralelo que se forma después obtenemos el siguiente resultado:

R=2Ω+8Ω=10Ω

R10 /¿15=10∗155 (2+3 )

=6Ω

59


Figura 2. 77

Se procede ahora a hallar en voltaje en los nodos BC

V BC=50V∗6Ω4Ω+6Ω

=30V

Basados en la figura 2. 77 Se calcula el voltaje en los nodos BD.

V BD=30V∗8Ω8Ω+2Ω

=24V

El voltaje ‘V’ entre los nodos FD puede hallarse de la siguiente manera:

V FD=24V∗40Ω40Ω+32Ω

V FD=403V

Ejemplo 2.8.7.

Encontrar ‘V’ utilizando el divisor de voltaje en el siguiente circuito.

Figura 2. 78

Solución: Rápidamente se puede simplificar el circuito para facilitar su análisis primero entre los nodos CE y los nodos FE:

R=16Ω+8Ω=24Ω60


R6 /¿ 12=6∗126 (1+2 )

=4Ω

Figura 2. 79

De la Figura 2. 79 se deduce que las resistencias de 8 y 4 están en serie y que la resultante está enΩ Ω paralelo con la resistencia de 24 .Ω

R=4Ω+8Ω=12Ω

R24 /¿ 12=24∗1212 (1+2 )

=8Ω

Figura 2. 80

Aplicando la última operación entre resistencias (serie entre 24 y 8 y paralelo de la resultante conΩ Ω 32 ) se tiene que:Ω

R=24Ω+8Ω=32Ω

R32 /¿32=32∗3264

=16Ω

61


Figura 2. 81

Tomando la Figura 2. 81 se calcula el voltaje en los nodos BE:

V BE=60V∗16Ω16Ω+4Ω

=48V

Se continúa con el cálculo de los voltajes para encontrar el valor del voltaje entre los nodos DE apoyándose en la Figura 2. 80.

V CE=48V∗8Ω24Ω+8Ω

=12V

Por último, se debe calcular el voltaje entre los nodos DE:

V DE=12V∗16Ω16Ω+8Ω

V DE=8V

Ejemplo 2.8.8.

Calcular el valor de V mediante un divisor de voltaje. Todas las resistencias están Ω

Figura 2. 82

62


Solución: Es importante resaltar que existe una resistencia de valor cero paralela a la resistencia de 30Ωaunque no esté dibujada, la mayor parte de la corriente fluye a través del camino que oponga menos resistencia, como este camino no tiene resistencia, toda la corriente fluirá por allí. Veámoslo:

R0 /¿ 30=0∗3030+0

=0Ω

Esto quiere decir que se puede omitir la resistencia de 30 .Ω

Figura 2. 83

La resistencia de 8 está en paralelo con la resistencia de 24 :Ω Ω

R8 /¿ 24=8∗248(1+3)

=6Ω

Figura 2. 84

El siguiente paso es calcular la resistencia equivalente de la serie de 4 y 6 y el paralelo de la resultanteΩ Ω y la de 15 .Ω

R=4Ω+6Ω=10Ω

R10 /¿15=10∗155 (2+3 )

=6Ω

63


Figura 2. 83

Y finalmente:

R12 /¿6=12∗66 (1+2 )

=4Ω

Figura 2. 84

Ahora se procede a hallar el voltaje en los nodos AC:

V AC=14V∗4Ω5Ω+4Ω

=569V

En la Figura 2. 83 se ve una resistencia de 6 entre los nodos BC que servirá para encontrar el voltaje:Ω

V BC=

569V∗6Ω

6Ω+4Ω=5615V

El voltaje ‘V’ será el mismo voltaje entre los nodos BC y esto se puede demostrar así:

V BC=

5615V∗8Ω

8ΩV BC=

5615

V


2.8.1 .Aplicando Divisor de voltaje hallar v y comprobar la conservación de potencia

64


Figura 2. 85

2.8.2. Dado Req=9Ω hallar R

Figura 2. 86

2.8.3. Aplicando el Divisor de voltaje hallar v en el siguiente circuito

Figura 2. 87

65

capitulos 1 y 2 2015 1

Documents