capitulo 8 formas cuadraticas
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Capítulo 8 del libro que se utiliza en la cátedra Álgebra Lineal I de la Escuela de Estadística y Ciencias Actuariales de la Universidad Central de VenezuelaTRANSCRIPT
Capítulo 8
FORMAS CUADRÁTICAS 8.1. INTRODUCCIÓN. En este capítulo se presenta un concepto fundamental para la teoría de la probabilidad, específicamente para el estudio de la distribución normal multivariante, como lo es el concepto de Forma Cuadrática. Se exponen sus principales temas asociados como lo son las Representaciones Normal y Canónica, la Clasificación y la Derivada de Formas Cuadráticas. 8.2. DEFINICIONES, PROPIEDADES Y EJEMPLOS. Definición 8.1. Sean B∈Mnxn(ℜ) y f: ℜn→ℜ. Se dice que f es una forma cuadrática con matriz asociada B si y sólo si:
f(X) = XtBX
Observación:
Desarrollando se obtiene que:
f(X) = f(X1, X2, …, Xn) = [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
n21
X
XX
BBB
BBBBBB
XXXM
L
MMM
L
L
L
= ∑∑= =
n
1i
n
1jjiij XXB
Ejemplo 8.1. Sea f: ℜ3→ℜ definida por:
322123
22
21321 XX2XX2XX2X)X,X,X(f +−++=
Esta función es una forma cuadrática, ya que su regla de correspondencia es de
la forma ∑∑= =
3
1i
3
1jjiij XXB . Luego, B11 = 1, B12 = -2, B13 = 0, B21 = 0, B22 = 2,
B23 = 2, B31 = 0, B32 = 0 y B33 = 1 y la matriz:
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
287
B = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
1 0 02 2 00 21
es una matriz asociada a la forma cuadrática f. Pero f también puede escribirse de la siguiente forma:
32122123
22
21321 XX2XXXXXX2X)X,X,X(f +−−++=
En ese caso, B11 = 1, B12 = -1, B13 = 0, B21 = -1, B22 = 2, B23 = 2, B31 = 0, B32 = 0 y B33 = 1 y la matriz:
B = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
1 0 0 2 2 10 11
es también una matriz asociada a la forma cuadrática f. Observación: El ejemplo anterior evidenció que una forma cuadrática puede tener más de una matriz asociada. Para identificar a una forma cuadrática con una única matriz, se obtiene una matriz B asociada a la función y luego se calcula la siguiente matriz:
)BB(21A t+=
La matriz A es simétrica y de hecho es la única matriz simétrica asociada a la forma cuadrática f. Con dicha matriz es que se identifica de forma única una forma cuadrática. Ejemplo 8.2. La única matriz simétrica asociada a la forma cuadrática del ejemplo 8.1., es:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
1 1 0 1 2 10 11
)1 2 0 0 2 20 0 1
1 0 02 2 00 21
(21A
Definición 8.2. Sean A, B∈Mnxn(ℜ). Se dice que A es congruente con B si y sólo si:
∃ P∈Mnxn(ℜ) (P no singular): PtAP = B
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
288
Si además A y B son las matrices simétricas asociadas a las formas cuadráticas f: ℜn→ℜ y g: ℜn→ℜ, respectivamente, entonces se dice que las formas cuadráticas f y g son congruentes. Si además P es ortogonal entonces se dice que tanto A y B como f y g son ortogonalmente congruentes. Observaciones: Si A es congruente con B entonces:
1. Rango(B) = Rango(PtAP) = Rango(A). 2. Como P es no singular entonces P se puede escribir como un
producto de matrices elementales, en este caso como P aparece postmultiplicando a A dichas matrices elementales son obtenidas con operaciones elementales de columnas, es decir, P = FsFs-1…F1. Luego, Pt = (FsFs-1…F1)t = (F1)t(F2)t…(Fs)t = E1E2…Es. Luego,
E1E2…EsAFsFs-1…F1 = B
3. Las matrices elementales E1, E2, …, Es se pueden elegir de forma
tal que E1E2…EsA sea una matriz triangular, digamos triangular superior. Luego,
E1E2…EsA = T; siendo Pt = E1E2…Es
Tomando transpuesta a ambos lados se obtiene que:
(E1E2…EsA)t = Tt At(E1E2…Es)t = Tt AtFsFs-1…F1 = Tt
Si A es simétrica entonces se tiene que:
AFsFs-1…F1 = Tt ⇒ E1E2…EsAFsFs-1…F1 = E1E2…EsTt
Es decir, A es congruente con la matriz E1E2…EsTt. Pero T es triangular superior, en consecuencia, Tt es triangular inferior y como E1E2…Es logran una matriz triangular superior entonces la matriz E1E2…EsTt es una matriz diagonal. Por lo tanto, si A es simétrica entonces A es congruente con una matriz diagonal, no necesariamente igual a la matriz de autovalores de A.
Ejemplo 8.3. Consideremos la forma cuadrática del ejemplo 8.1. La matriz simétrica asociada es:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
1 1 0 1 2 10 11
A
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
289
Apliquemos operaciones elementales de fila sobre A para obtener una matriz triangular superior equivalente por filas a A. Dichas operaciones serán aplicadas simultáneamente sobre la matriz I3 para obtener a la vez la matriz Pt:
[A| I3] = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
100010001
1 1 0 1 2 10 11
⎯⎯⎯ →⎯ +→ 122 rrr
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
100011001
1 1 0 1 1 0 0 11
⎯⎯⎯ →⎯ −→ 233 rrr
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
1 110 1 1 0 0 1
0 0 0 1 1 0 0 11
= [T | Pt]
Por lo tanto,
T = PtA = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
0 0 0 1 1 0 0 11
P = (Pt)t = (⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−− 1 110 1 1 0 0 1
)t = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
1 0 011 011 1
Luego,
D = PtAP = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
0 0 0 1 1 0 0 11
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
1 0 011 011 1
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0 0 00 1 00 0 1
Por consiguiente, A es congruente con la matriz diagonal D. Teorema 8.1. Sean A∈Mnxn(ℜ). A es simétrica si y sólo si A es ortogonalmente congruente con su matriz de autovalores Dλ(A). Demostración CN (⇒): Si A es simétrica entonces A es ortogonalmente congruente con su matriz de autovalores Dλ(A). Si A es simétrica entonces por el teorema 7.17. A es diagonalizable ortogonalmente, es decir:
∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): PtAP = Dλ(A)
Luego, A es congruente con Dλ(A).
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
290
CS (⇐): Si A es ortogonalmente congruente con su matriz de autovalores Dλ(A) entonces A es simétrica. Si A es ortogonalmente congruente con su matriz de autovalores Dλ(A) entonces:
∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): PtAP = Dλ(A) ⇒ ∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): PPtAPPt = PDλ(A)Pt
⇒ ∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): A = PDλ(A)Pt ⇒ ∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): At = (PDλ(A)Pt)t ⇒ ∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): At = (Pt)t(Dλ(A))tPt ⇒ ∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): At = P(Dλ(A))tPt
Como Dλ(A) es una matriz diagonal entonces es simétrica, luego:
∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): At = PDλ(A)Pt Por lo tanto, A = At, es decir, A es simétrica.
Definición 8.3. Sea A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica. Se define como índice de A y se denota por Indice(A) al número de autovalores positivos de A. Ejemplo 8.4. Consideremos la forma cuadrática del ejemplo 8.1. La matriz simétrica asociada es:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
1 1 0 1 2 10 11
A
Hallemos sus autovalores. Se puede demostrar que su autopolinomio es:
λ−λ+λ−=λ 34)(P 23A
Los autovalores de A son λ1 = 1, λ2 = 3 y λ3 = 0. Por lo tanto, Indice(A) = 2. Ejemplo 8.5. Consideremos la Varianza de un grupo de n datos cuantitativos X1, X2, …, Xn:
n
)XX(S
n
1i
2i
2∑=
−=
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
291
⇒ ∑=
−=n
1i
2i
2 )XX(nS
Veamos que nS2 es una forma cuadrática. Se puede demostrar que:
∑ ∑= =
−=−n
1i
2n
1i
2i
2i XnX)XX(
Luego,
n
X
n
XnXXXnXXnX
n
1ii
n
1iin
1i
2i
n
1i
2i
2n
1i
2i
∑∑∑∑∑ ==
===
−=−=−
∑∑∑===
−=n
1ii
n
1ii
n
1i
2i XX
n1X = X))((X
n1XX t
nntt 11−
= X)))((n1I(X t
nnnt 11−
= XtPX; con X =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
X
XX
M
Por lo tanto, nS2 es una forma cuadrática con matriz simétrica asociada la matriz de centraje. Por el ejemplo 7.19., dicha matriz tiene como autovalores λ1 = 0 con r1 = 1 y λ2 = 1 con r2 = n – 1. En consecuencia, Indice(P) = n – 1. Teorema 8.2. Sea A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica. Si Rango(A) = r e Indice(A) = p entonces A es congruente con la matriz diagonal D´(A) definida por:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
θθθθ−θθθ
=′
−−−−−
−−−−
−−
)rn(x)rn()pr(x)rn(xp)rn(
)rn(x)pr(prxp)pr(
)rn(px)pr(pxp
II
)A(D
Demostración Como A es simétrica entonces por el teorema 8.1., A es ortogonalmente congruente con su matriz de autovalores o forma canónica de Jordan de A, es decir,
∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): PtAP = Dλ(A) (1)
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
292
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que en la matriz Dλ(A) los primeros p autovalores son los positivos de A, los siguientes r – p autovalores son los negativos de A y los últimos n – r autovalores son los nulos de A. Sea C∈Mnxn(ℜ) la matriz definida por:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≠+==
==λ
=j i si 0
n ..., 1,r i j; i si c
r ..., 2, 1, i j;i si 1
Ci
ij ; c∈ℜ*
Es claro que C es una matriz diagonal y no singular. Premultiplicando y postmultiplicando a ambos lados de (1) por Ct y C, respectivamente se tiene que:
CtPtAPC = CtDλ(A)C (PC)tA(PC) = CtDλ(A)C
Como P y C son no singulares entonces la matriz Q∈Mnxn(ℜ); Q = PC es también no singular. Luego,
∃Q∈Mnxn(ℜ) (Q no singular): QtAQ = CtDλ(A)C Por lo tanto, A es congruente con la matriz CtDλ(A)C, cuyo elemento genérico es:
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≠+==
+==λ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
λ
==λ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
λ
=λ
ji si 0 n ..., 1,r i j; i si 0.c
r ..., 1,p i j; i si 1
p ..., 2, 1, i j; i si 1
)C)A(DC(
2
i
2
i
i
2
i
ijt
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≠+==
+==λλ
==λλ
=
ji si 0 n ..., 1,r i j; i si 0
r ..., 1,p i j; i si
p ..., 2, 1, i j; i si
i
i
i
i
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
293
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≠+==
+==λ−λ
==λ+λ
=
ji si 0 n ..., 1,r i j; i si 0
r ..., 1,p i j; i si
p ..., 2, 1, i j; i si
i
i
i
i
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠+==+==−
==
=
ji si 0 n ..., 1,r i j; i si 0 r ..., 1,p i j; i si 1
p ..., 2, 1, i j; i si 1
Es decir, CtDλ(A)C = D´(A). Se concluye que A es congruente con la matriz D´(A). Ejemplo 8.6. Consideremos la forma cuadrática del ejemplo 8.1. La matriz simétrica asociada es:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
1 1 0 1 2 10 11
A
Sus autovalores son λ1 = 1, λ2 = 3 y λ3 = 0. La matriz Dλ(A) es:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=λ
000030001
)A(D
Se puede verificar que los autoespacios asociados a dichos autovalores son:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ℜ∈
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=ℜ∈= *31 a;
220
22
aX:X)A(V
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
ℜ∈
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=ℜ∈= *33 b;
66
36
66
bX:X)A(V
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
294
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
ℜ∈
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=ℜ∈= *30 c;
33
33
33
cX:X)A(V
La matriz P ortogonal que hace a A ortogonalmente congruente con Dλ(A) es:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
33 6
6 22
33
36 0
33
66
22
P
Se sabe que Indice(A) = 2 y Rango(A) = 2. Luego, la matriz C es:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
c00
03
10001
C ; c∈ℜ*
La matriz Q es:
Q =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
33 6
6 22
33
36 0
33
66
22
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
c00
03
10001
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
3c3 6
22
23
c33
2 03
c36
22
2
La matriz D´(A) es:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=′
000010001
)A(D
A es congruente con D´(A) y se verifica que QtAQ = D´(A).
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
295
8.3. REPRESENTACIONES NORMAL Y CANÓNICA DE UNA FORMA CUADRÁTICA. Teorema 8.3. (Representación Normal de una Forma Cuadrática) Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica de rango r y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. Si λi∈ℜ*, ∀ i = 1, 2, …, r, tal que λi es autovalor no nulo de A entonces existe una forma cuadrática Nf: ℜn→ℜ
definida por Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=
λr
1i
2iiY ortogonalmente congruente con f y
tal que f = Nf (la forma cuadrática Nf se dice que es la representación normal de la forma cuadrática f). Demostración Como A es simétrica, por el teorema 8.1., es ortogonalmente congruente con su matriz de autovalores Dλ(A), es decir:
∃P∈Mnxn(ℜ) (P ortogonal): PtAP = Dλ(A)
En consecuencia, la forma cuadrática f es ortogonalmente congruente con la forma cuadrática Nf cuya matriz simétrica asociada es Dλ(A), es decir, Nf(Y) = YtDλ(A)Y. Desarrollando se obtiene que:
Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=
λr
1i
2iiY
Por otro lado, si X = PY entonces:
f(X) = XtAX = (PY)tA(PY) = YtPtAPY = YtDλ(A)Y = Nf(Y) Ejemplo 8.7. La representación normal de la forma cuadrática f del ejemplo 8.1., es:
22
21321 Y3Y)Y,Y,Y(Nf +=
Teorema 8.4. (Representación Canónica de una Forma Cuadrática) Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. Si Indice(A) = p y Rango(A) = r entonces existe una forma cuadrática Cf: ℜn→ℜ definida por
Cf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑∑+==
−r
1pi
2i
p
1i
2i YY congruente con f y tal que f = Cf
(la forma cuadrática Cf se dice que es la representación canónica de la forma cuadrática f).
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
296
Demostración Como A es simétrica, Indice(A) = p y Rango(A) = r por el teorema 8.2., es congruente con la matriz D´(A), es decir:
∃P∈Mnxn(ℜ) (P no singular): PtAP = D´(A)
En consecuencia, la forma cuadrática f es congruente con la forma cuadrática Cf cuya matriz simétrica asociada es D´(A), es decir, Cf(Y) = YtD´(A)Y. Desarrollando se obtiene que:
Cf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑∑+==
−r
1pi
2i
p
1i
2i YY
Por otro lado, si X = PY entonces:
f(X) = XtAX = (PY)tA(PY) = YtPtAPY = YtD´(A)Y = Cf(Y) Ejemplo 8.8. La representación canónica de la forma cuadrática f del ejemplo 8.1., es:
22
21321 YY)Y,Y,Y(Cf +=
Teorema 8.5. Sean A, B∈Mnxn(ℜ) matrices simétricas y f, g: ℜn→ℜ formas cuadráticas con matrices simétricas asociadas A y B, respectivamente. La forma cuadrática f es congruente con g si y sólo si f y g tienen la misma representación canónica. Demostración CN(⇒): Si f es congruente con g entonces f y g tienen la misma representación canónica. Si f es congruente con g entonces A es congruente con B. Luego:
∃P∈Mnxn(ℜ) (P no singular): PtAP = B (2) Como B es simétrica entonces por el teorema 8.2., es congruente con la matriz D´(B), es decir:
∃Q∈Mnxn(ℜ) (Q no singular): QtBQ = D´(B) ∃Q∈Mnxn(ℜ) (Q no singular): B = (Qt)-1D´(B)Q-1 (3)
Sustituyendo (3) en (2) se tiene que:
∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): PtAP = (Qt)-1D´(B)Q-1 ∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): QtPtAPQ = D´(B)
∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): (PQ)tA(PQ) = D´(B) ∃R∈Mnxn(ℜ) (R no singular) (R = PQ): RtAR = D´(B)
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
297
Luego, A es congruente con D´(B) y en consecuencia la forma cuadrática f es congruente con la forma cuadrática Cg. Análogamente se demuestra que la forma cuadrática g es congruente con la forma cuadrática Cf. Por lo tanto, la representación canónica de f es Cg y la representación canónica de g es Cf. En consecuencia, Cf = Cg. CS(⇐): Si f y g tienen la misma representación canónica entonces f es congruente con g. Si f y g tienen la misma representación canónica entonces A y B son congruentes con una común matriz D´, es decir:
∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): PtAP = D´ y QtBQ = D´ ⇒ ∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): PtAP = QtBQ
⇒ ∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): (Qt)-1PtAPQ-1 = B ⇒ ∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): (Q-1)tPtAPQ-1 = B ⇒ ∃P, Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): (PQ-1)tA(PQ-1) = B
⇒ ∃R∈Mnxn(ℜ) (R no singular) (R = PQ-1): RtAR = B Luego, A es congruente con B y por lo tanto f es congruente con g. 8.4. CLASIFICACIÓN DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS. Definición 8.4. Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. Se dice que f es:
1. Definida Positiva si y sólo si ∀ X∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) > 0. 2. Semidefinida Positiva si y sólo si ∀ X∈ℜn: f(X) ≥ 0 y
∃ X∈ℜn(X ≠ θnx1): f(X) = 0. 3. Definida Negativa si y sólo si ∀ X∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) < 0. 4. Semidefinida Negativa si y sólo si ∀ X∈ℜn: f(X) ≤ 0 y
∃ X∈ℜn(X ≠ θnx1): f(X) = 0. 5. Indefinida si y sólo si ∃ X1, X2∈ℜn (X1 ≠ θnx1, X2 ≠ θnx1):
f(X1) > 0 y f(X2) < 0.
Igualmente se dice que la matriz simétrica A adopta la clasificación de su forma cuadrática f. Ejemplo 8.9. Sean f1, f2, f3, f4, f5: ℜ3→ℜ definidas por:
312332
2221
213211 XX2X2XX2X2XX2X2)X,X,X(f −+−++=
23
2221
213212 X3X4XX4X)X,X,X(f +++=
312332
2221
213213 XX2X2XX2X2XX2X2)X,X,X(f +−+−−−=
23
2221
213214 X3X4XX4X)X,X,X(f −−−−=
23
22
213215 XXX)X,X,X(f −+=
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
298
1. f1 es definida positiva ya que:
312332
2221
213211 XX2X2XX2X2XX2X2)X,X,X(f −+−++=
3123
2332
22
2221
21
21 XX2XXXX2XXXX2XX −++−++++=
)XXX2X()XXX2X()XXX2X( 2331
21
2332
22
2221
21 +−++−+++=
231
232
221 )XX()XX()XX( −+−++=
A su vez, f1(X1, X2, X3) = 0 si y sólo si X1+X2= X2–X3 = X1–X3 = 0, es decir, si y sólo si:
X1 = –X2, X2 = X3 y X1 = X3 ⇒ X1 = –X3 y X1 = X3
⇒ –X3 = X3 ⇒ 2X3 = 0 ⇒ X3 = 0 ⇒ X1 = 0 ⇒ X2 = 0
Luego, f1(X1, X2, X3) = 0 si y sólo si X1 = X2 = X3 = 0. Por lo tanto, ∀ X∈ℜ3 (X ≠ θ3x1): f1(X) > 0.
2. f2 es semidefinida positiva ya que:
23
2221
213212 X3X4XX4X)X,X,X(f +++=
23
221 X3)X2X( ++= > 0.
A su vez, f3(X1, X2, X3) = 0 si y sólo si X1 + 2X2 = 0 y X3 = 0, es decir, X1 = –2X2 y X3 = 0. Luego, existen X1 = –2, X2 = 1 y X3 = 0 para los cuales f2(X1, X2, X3) = 0. En consecuencia, ∀ X∈ℜ3: f2(X) ≥ 0 y ∃ X∈ℜ3(X ≠ θ3x1): f2(X) = 0.
3. f3 es definida negativa ya que:
312332
2221
213213 XX2X2XX2X2XX2X2)X,X,X(f +−+−−−=
)XX2X2XX2X2XX2X2( 312332
2221
21 −+−++−=
)X,X,X(f 3211−= Como ∀ X∈ℜ3 (X ≠ θ3x1): f1(X) > 0 entonces ∀ X∈ℜ3 (X ≠ θ3x1): –f1(X) < 0, es decir, ∀ X∈ℜ3 (X ≠ θ3x1): f3(X) < 0.
4. f4 es semidefinida negativa ya que:
23
2221
213214 X3X4XX4X)X,X,X(f −−−−=
)X3X4XX4X( 23
2221
21 +++−=
)X,X,X(f 3212−=
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
299
Como ∀ X∈ℜ3: f2(X) ≥ 0 y ∃ X∈ℜ3(X ≠ θ3x1): f2(X) = 0 entonces ∀ X∈ℜ3: –f2(X) ≤ 0 y ∃ X∈ℜ3(X ≠ θ3x1): –f2(X) = 0, es decir, ∀ X∈ℜ3: f4(X) ≤ 0 y ∃ X∈ℜ3(X ≠ θ3x1): f4(X) = 0.
5. f5 es indefinida ya que:
Para X1 = 1, X2 = 1 y X3 = 1, 1)X,X,X(f 3215 = > 0 y para X1 = 0,
X2 = 0 y X3 = 1, 1)X,X,X(f 3215 −= < 0.
Así, ∃ X1, X2∈ℜ3 (X1 ≠ θ3x1, X2 ≠ θ3x1): f5(X1) > 0 y f5(X2) < 0. Teorema 8.6. Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. f es:
1. Definida Positiva si y sólo si A tiene todos sus autovalores positivos, es decir, Indice(A) = Rango(A) = n.
2. Semidefinida Positiva si y sólo si A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un autovalor positivo y ningún autovalor negativo, es decir, Indice(A) = Rango(A) < n.
3. Definida Negativa si y sólo si A tiene todos sus autovalores negativos, es decir, Indice (A) = 0 y Rango(A) = n.
4. Semidefinida Negativa si y sólo si A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un autovalor negativo y ningún autovalor positivo, es decir, Indice(A) = 0 y Rango(A) < n.
5. Indefinida si y sólo si A tiene al menos un autovalor positivo y al menos un autovalor negativo, es decir, 0 < Indice(A) < Rango(A) ≤ n.
Demostración
1. CN(⇒): Si A es definida positiva entonces A tiene todos sus autovalores positivos, es decir, Indice(A) = Rango(A) = n.
Sea λ autovalor de A con autovector asociado X. Luego,
AX = λX ⇒ XtAX = Xt(λX) ⇒ XtAX = λXtX
Ahora bien, X es autovector de A, es decir, X ≠ θnx1. Por lo tanto,
XtX = ∑=
n
1i
2iX > 0.
⇒ XX
AXXt
t
=λ
Por hipótesis, A es definida positiva, es decir, ∀ X∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) = XtAX > 0. En consecuencia.
λ > 0
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
300
Luego, A tiene todos sus autovalores positivos, es decir, Indice(A) = Rango(A) = n.
CS(⇐): Si A tiene todos sus autovalores positivos, es decir,
Indice(A) = Rango(A) = n, entonces A es definida positiva. Consideremos la representación normal de la forma cuadrática f, es
decir,
Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=
λr
1i
2iiY : siendo r = Rango(A)
Como A tiene todos sus autovalores positivos, es decir,
Indice(A) = Rango(A) = n, entonces:
Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=
λn
1i
2iiY > 0 y
Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=
λn
1i
2iiY = 0 si y sólo si Y1 =Y2 = … = Yn = 0.
Por lo tanto, ∀ Y∈ℜn (Y ≠ θnx1): Nf(Y) > 0. Además, por el
teorema 8.3., Nf(Y) = f(X) para X = PY, es decir, Y = P-1X. Luego, ∀ P-1X ∈ℜn (P-1X ≠ θnx1): f(X) > 0 y en virtud de que P es no singular entonces ∀ X ∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) > 0, es decir, A es definida positiva.
2. CN(⇒): Si A es semidefinida positiva entonces A tiene al menos
un autovalor nulo, al menos un autovalor positivo y ningún autovalor negativo, es decir, Indice(A) = Rango(A) < n.
Sea λ autovalor de A con autovector asociado X. Luego,
AX = λX ⇒ XtAX = Xt(λX) ⇒ XtAX = λXtX
Ahora bien, X es autovector de A, es decir, X ≠ θnx1. Por lo tanto,
XtX = ∑=
n
1i
2iX > 0.
⇒ XX
AXXt
t
=λ
Por hipótesis, A es semidefinida positiva, es decir, ∀ X∈ℜn: f(X) = XtAX ≥ 0 y ∃ X∈ℜn(X ≠ θnx1): f(X) = XtAX = 0. En consecuencia.
λ = 0 ó λ > 0
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
301
Luego, A tiene A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un autovalor positivo y ningún autovalor negativo, es decir, Indice(A) = Rango(A) < n.
CS(⇐): Si A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un
autovalor positivo y ningún autovalor negativo, es decir, Indice(A) = Rango(A) < n, entonces A es semidefinida positiva.
Consideremos la representación normal de la forma cuadrática f, es
decir,
Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=
λr
1i
2iiY ; siendo r = Rango(A)
Como Indice(A) = Rango(A), es decir, los r primeros autovalores de A son positivos entonces Nf(Y1, Y2, …, Yn) ≥ 0, ∀ Y1, Y2, …, Yr∈ℜ, mientras que Nf(Y1, Y2, …, Yn) = 0 si y sólo si Yi = 0, ∀ i = 1, 2, …, r y Yi ≠ 0, para algún i = r+1, r+2, …, n. Por lo tanto, ∀ Y∈ℜn: Nf(Y) ≥ 0 y ∃ Y∈ℜn(Y ≠ θnx1): Nf(Y) = 0. Además, por el teorema 8.3., Nf(Y) = f(X) para X = PY, es decir, Y = P-1X. Luego, ∀ P-1X∈ℜn: f(X) ≥ 0 y ∃ P-1X∈ℜn(P-1X ≠ θnx1): f(X) = 0 y en virtud de que P es no singular entonces ∀ X∈ℜn: f(X) ≥ 0 y ∃ X∈ℜn(X ≠ θnx1): f(X) = 0, es decir, A es semidefinida positiva.
3. CN(⇒): Si A es definida negativa entonces A tiene todos sus
autovalores negativos, es decir, Indice(A) = 0 y Rango(A) = n.
Sea λ autovalor de A con autovector asociado X. Luego,
AX = λX ⇒ XtAX = Xt(λX) ⇒ XtAX = λXtX
Ahora bien, X es autovector de A, es decir, X ≠ θnx1. Por lo tanto,
XtX = ∑=
n
1i
2iX > 0.
⇒ XX
AXXt
t
=λ
Por hipótesis, A es definida negativa, es decir, ∀ X∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) = XtAX < 0. En consecuencia.
λ < 0 Luego, A tiene todos sus autovalores negativos, es decir,
Indice(A) = 0 y Rango(A) = n. CS(⇐): Si A tiene todos sus autovalores negativos, es decir,
Indice(A) = 0 y Rango(A) = n, entonces A es definida negativa.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
302
Consideremos la representación normal de la forma cuadrática f, es
decir,
Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=
λr
1i
2iiY : siendo r = Rango(A)
Como A tiene todos sus autovalores negativos, es decir,
Indice(A) = 0 y Rango(A) = n, entonces:
Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=
λn
1i
2iiY < 0 y
Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=
λn
1i
2iiY = 0 si y sólo si Y1= Y2 = … = Yn = 0.
Por lo tanto, ∀ Y∈ℜn (Y ≠ θnx1): Nf(Y) < 0. Además, por el
teorema 8.3., Nf(Y) = f(X) para X = PY, es decir, Y = P-1X. Luego, ∀ P-1X ∈ℜn (P-1X ≠ θnx1): f(X) < 0 y en virtud de que P es no singular entonces ∀ X ∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) < 0, es decir, A es definida negativa.
4. CN(⇒): Si A es semidefinida negativa entonces A tiene al menos
un autovalor nulo, al menos un autovalor negativo y ningún autovalor positivo, es decir, Indice(A) = 0 y Rango(A) < n.
Sea λ autovalor de A con autovector asociado X. Luego,
AX = λX ⇒ XtAX = Xt(λX) ⇒ XtAX = λXtX
Ahora bien, X es autovector de A, es decir, X ≠ θnx1. Por lo tanto,
XtX = ∑=
n
1i
2iX > 0.
⇒ XX
AXXt
t
=λ
Por hipótesis, A es semidefinida negativa, es decir, ∀ X∈ℜn: f(X) = XtAX ≤ 0 y ∃ X∈ℜn(X ≠ θnx1): f(X) = XtAX = 0. En consecuencia.
λ = 0 ó λ < 0
Luego, A tiene A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un autovalor negativo y ningún autovalor positivo, es decir, Indice(A) =0 y Rango(A) < n.
CS(⇐): Si A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un
autovalor negativo y ningún autovalor positivo, es decir, Indice(A) = 0 y Rango(A) < n, entonces A es semidefinida negativa.
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
303
Consideremos la representación normal de la forma cuadrática f, es
decir,
Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=
λr
1i
2iiY ; siendo r = Rango(A)
Como Indice(A) = 0 y Rango(A) < n, es decir, los r primeros autovalores de A son negativos entonces Nf(Y1, Y2, …, Yn) ≤ 0, ∀ Y1, Y2, …, Yr∈ℜ, mientras que Nf(Y1, Y2, …, Yn) = 0 si y sólo si Yi = 0, ∀ i = 1, 2, …, r y Yi ≠ 0, para algún i = r+1, r+2, …, n. Por lo tanto, ∀ Y∈ℜn: Nf(Y) ≤ 0 y ∃ Y∈ℜn(Y ≠ θnx1): Nf(Y) = 0. Además, por el teorema 8.3., Nf(Y) = f(X) para X = PY, es decir, Y = P-1X. Luego, ∀ P-1X∈ℜn: f(X) ≤ 0 y ∃ P-1X∈ℜn(P-1X ≠ θnx1): f(X) = 0 y en virtud de que P es no singular entonces ∀ X∈ℜn: f(X) ≤ 0 y ∃ X∈ℜn(X ≠ θnx1): f(X) = 0, es decir, A es semidefinida negativa.
5. CN(⇒): Si A es indefinida entonces A tiene al menos un autovalor
positivo y al menos un autovalor negativo, es decir, 0 < Indice(A) < Rango(A) ≤ n.
Sea λ autovalor de A con autovector asociado X. Luego,
AX = λX ⇒ XtAX = Xt(λX) ⇒ XtAX = λXtX
Ahora bien, X es autovector de A, es decir, X ≠ θnx1. Por lo tanto,
XtX = ∑=
n
1i
2iX > 0.
⇒ XX
AXXt
t
=λ
Por hipótesis, A es indefinida, es decir, ∃ X1, X2∈ℜn (X1 ≠ θnx1, X2 ≠ θnx1): f(X1) = (X1)tAX1 > 0 y f(X2) = (X2)tAX2 < 0. En consecuencia, existen λ1 y λ2 tales que:
λ1 > 0 y λ2 < 0
Luego, A tiene A tiene al menos un autovalor positivo y al menos un autovalor negativo, es decir, 0 < Indice(A) < Rango(A) ≤ n.
CS(⇐): Si A tiene al menos un autovalor positivo y al menos un
autovalor negativo, es decir, 0 < Indice(A) < Rango(A) ≤ n, entonces A es indefinida.
Consideremos la representación normal de la forma cuadrática f, es
decir,
Nf(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=
λr
1i
2iiY ; siendo r = Rango(A)
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
304
Supongamos que Indice(A) = p. Como 0 <Indice(A)<Rango(A) ≤ n, es decir, los p primeros autovalores de A son positivos, los r – p subsiguientes son negativos y los n – r restantes son nulos entonces Nf(Y1, Y2, …, Yn) > 0 si y sólo si Yi = 0, ∀ i = p+1, p+2, …, r y Yi ≠ 0, para algún i = 1, 2, …, p, mientras que Nf(Y1, Y2, …, Yn)< 0 si y sólo si Yi = 0, ∀ i = 1, 2, …, p y Yi ≠ 0, para algún i = p+1, p+2, …, r. Por lo tanto, ∃ Y1, Y2∈ℜn (Y1 ≠ θnx1, Y2 ≠ θnx1): Nf(Y1) > 0 y Nf(Y2) < 0. Además, por el teorema 8.3., Nf(Y) = f(X) para X = PY, es decir, Y = P-1X. Luego, ∃ P-1X1, P-1X2∈ℜn
(P-1X1 ≠ θnx1, P-2X2 ≠ θnx1): f(X1) > 0 y f(X2) < 0 y en virtud de que P es no singular entonces ∃ X1, X2∈ℜn (X1 ≠ θnx1, X2 ≠ θnx1): f(X1) > 0 y f(X2) < 0, es decir, A es indefinida.
Observación: Sean A, B∈Mnxn(ℜ) matrices simétricas y f, g: ℜn→ℜ formas cuadráticas con matrices simétricas asociadas A y B, respectivamente. La forma cuadrática f es congruente con g si y sólo si f y g tienen la misma clasificación. Ejemplo 8.10. Los autovalores de la matriz A del ejemplo 8.1., son λ1 = 1, λ2 = 3 y λ3 = 0. Luego, A es semidefinida positiva. Ejemplo 8.11. En relación al ejemplo 8.5., la matriz de centraje P es la matriz simétrica asociada a la forma cuadrática nS2. Dicha matriz tiene como autovalores λ1 = 0 con r1 = 1 y λ2 = 1 con r2 = n – 1. En consecuencia, P es semidefinida positiva. Teorema 8.7. Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. Si A es:
1. Definida Positiva entonces Det(A) > 0 y Traza(A) > 0. 2. Definida Negativa entonces Traza(A) < 0. 3. Semidefinida Positiva entonces Det(A) = 0 y Traza(A) > 0. 4. Semidefinida Negativa entonces Det(A) = 0 y Traza(A) < 0.
Demostración
1. Si A es definida positiva entonces A tiene todos sus autovalores positivos. Por otra parte, por el teorema 7.13. (lema de Issai Schur),
si λ1, λ2, …, λn son los autovalores de A entonces Det(A) = ∏=
λn
1ii
y Traza(A) = ∑=
λn
1ii . Como λi > 0, ∀ i = 1, 2, …, n entonces
Det(A) > 0 y Traza(A) > 0.
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
305
2. Si A es definida negativa entonces A tiene todos sus autovalores negativos. Por otra parte, por el teorema 7.13. (lema de Issai Schur), si λ1, λ2, …, λn son los autovalores de A entonces
Traza(A) = ∑=
λn
1ii . Como λi < 0, ∀ i = 1, 2, …, n entonces
Traza(A) < 0. 3. Si A es semidefinida positiva entonces A tiene al menos un
autovalor nulo, al menos un autovalor positivo y ningún autovalor negativo. Por otra parte, por el teorema 7.13. (lema de Issai Schur),
si λ1, λ2, …, λn son los autovalores de A entonces Det(A) = ∏=
λn
1ii .
Como λi = 0 para algún i = 1, 2, …, n y λi > 0 para el resto de los autovalores entonces Det(A) = 0 y Traza(A) > 0.
4. Si A es semidefinida negativa entonces A tiene al menos un autovalor nulo, al menos un autovalor negativo y ningún autovalor positivo. Por otra parte, por el teorema 7.13. (lema de Issai Schur),
si λ1, λ2, …, λn son los autovalores de A entonces Det(A) = ∏=
λn
1ii .
Como λi = 0 para algún i = 1, 2, …, n y λi < 0 para el resto de los autovalores entonces Det(A) = 0 y Traza(A) < 0.
Teorema 8.8.
Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. f es:
1. Definida Positiva si y sólo si A es congruente con In. 2. Definida Negativa si y sólo si A es congruente con –In.
Demostración
1. CN(⇒): Si f es definida positiva entonces A es congruente con In.
Si f es definida positiva entonces A tiene todos sus autovalores positivos, es decir, Indice(A) = Rango(A) = n. En consecuencia, por el teorema 8.2., A es congruente con In.
CS(⇐): Si A es congruente con In entonces A es definida positiva.
Si A es congruente con In entonces por el teorema 8.5., las formas cuadráticas asociadas a A y In, respectivamente tienen la misma representación canónica. Es claro que la representación canónica de la forma cuadrática asociada a In, digamos g(Y) = YtY es Cg(Y1,
Y2, …, Yn) = ∑=
n
1i
2iY . Por lo tanto, esta función es también la
representación canónica de A. En consecuencia, A tiene todos sus autovalores positivos, es decir, A es definida positiva.
2. CN(⇒): Si f es definida negativa entonces A es congruente con –In.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
306
Si f es definida negativa entonces A tiene todos sus autovalores negativos, es decir, Indice(A) = 0 y Rango(A) = n. En consecuencia, por el teorema 8.2., A es congruente con –In.
CS(⇐): Si A es congruente con –In entonces A es definida negativa.
Si A es congruente con –In entonces por el teorema 8.5., las formas cuadráticas asociadas a A y –In, respectivamente tienen la misma representación canónica. Es claro que la representación canónica de la forma cuadrática asociada a –In, digamos g(Y) = –YtY es
Cg(Y1, Y2, …, Yn) = ∑=
−n
1i
2iY)1( . Por lo tanto, esta función es
también la representación canónica de A. En consecuencia, A tiene todos sus autovalores negativos, es decir, A es definida negativa.
Teorema 8.9.
Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. A es definida positiva si y sólo si existe una matriz B∈Mnxn(ℜ) no singular tal que A es una matriz Grammian de la forma A = BtB. Demostración CN(⇒): Si A es definida positiva entonces existe una matriz B∈Mnxn(ℜ) no singular tal que A es una matriz Grammian de la forma A = BtB. Como A es definida positiva entonces por el teorema 8.8., A es congruente con la matriz In, es decir:
∃ P∈Mnxn(ℜ) (P no singular): PtAP = In ⇒ ∃ P∈Mnxn(ℜ) (P no singular): A = (Pt)-1InP-1
⇒ ∃ P∈Mnxn(ℜ) (P no singular): A = (P-1)tP-1
⇒ ∃ P, B∈Mnxn(ℜ) (P, B no singulares) (B = P-1): A = BtB
CS(⇐): Si existe una matriz B∈Mnxn(ℜ) no singular tal que A es una matriz Grammian de la forma A = BtB entonces A es definida positiva. Por hipótesis:
∃ B∈Mnxn(ℜ) (B no singular): A = BtB ⇒ ∃ B∈Mnxn(ℜ) (B no singular): (Bt)-1AB-1 = In
⇒ ∃ B∈Mnxn(ℜ) (P no singular): (B-1)tAB-1 = In
⇒ ∃ P, B∈Mnxn(ℜ) (P, B no singulares) (P = B-1): PtAP = In Luego, A es congruente con In y por el teorema 8.8., A es definida positiva. Teorema 8.10.
Sean A∈Mmxn(ℜ). Si Rango(A) = n entonces:
1. AtA es definida positiva. 2. AAt es semidefinida positiva.
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
307
Demostración Es claro que Rango(A) ≤ min{m, n}, es decir, n ≤ min{m, n}. Luego, n < m.
1. Sea f: ℜm→ℜ la forma cuadrática cuya matriz simétrica asociada es AtA. Luego,
f(X) = XtAtAX = (AX)t(AX) = YtY = ∑=
n
1i
2iY ; con Y = AX
Por lo tanto, f(X) ≥ 0 y es tal que f(X) = 0 si y sólo si Y = θmx1. Pero, Y = θmx1 implica que AX = θmx1, lo cual es un SEL homogéneo y por la Eliminación de Gauss-Jordan, como Rango(A) = n entonces el SEL AX = θmx1 tiene una única solución, la cual es la solución trivial X = θnx1. Luego, f(X) = θmx1 si y sólo si X = θnx1. Por consiguiente, ∀ X∈ℜn (X ≠ θnx1): f(X) > 0, es decir, f es definida positiva y en consecuencia AtA es definida positiva.
2. Sea f: ℜn→ℜ la forma cuadrática cuya matriz simétrica asociada es
AAt. Luego,
f(X) = XtAAtX = (AtX)t(AtX) = YtY = ∑=
n
1i
2iY ; con Y = AtX
Por lo tanto, f(X) ≥ 0 y es tal que f(X) = 0 si y sólo si Y = θnx1. Pero, Y = θnx1 implica que AtX = θnx1, lo cual es un SEL homogéneo y por la Eliminación de Gauss-Jordan, como Rango(At) = Rango(A) = n < m entonces el SEL AtX = θnx1 no tiene una única solución, es decir, existen soluciones distintas de la solución trivial X = θmx1. Luego, f(X) ≥ 0 y ∃ X∈ℜn (X ≠ θmx1): f(X) = 0. Por consiguiente, ∀ X∈ℜn: f(X) ≥ 0 y ∃ X∈ℜn (X ≠ θmx1): f(X) = 0, es decir, f es semidefinida positiva y en consecuencia AAt es semidefinida positiva.
8.5. VECTOR DERIVADA O GRADIENTE DE UNA FORMA CUADRÁTICA. Definición 8.5. Sea f: ℜn→ℜ. Se define como vector derivada o vector gradiente de f respecto de X y se denota por )X(f∇ al vector n)X(f ℜ∈∇ cuyo elemento genérico es
ii X
f))X(f(∂∂
=∇ .
Ejemplo 8.12. Sea f: ℜ3→ℜ definida por f(X1, X2, X3) = 2
32231
221
21 X5X3XX5XX3X2 −+−+ .
Luego,
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
308
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+−+
=∇
31
2221
3221
321
X10X5X6XX6
X5X3X4)X,X,X(f
Teorema 8.11. (Gradiente de una Función Lineal) Sea f: ℜn→ℜ definida por XYYX)X(f tt == ; Y∈ℜn. Entonces se cumple que:
Y)X(f =∇ Demostración Por hipótesis, XYYX)X(f tt == , es decir:
f(X1, X2, …, Xn) = ∑=
n
1iiiXY
Luego,
ii
in21 YXf))X,...,X,X(f( =
∂∂
=∇
Por consiguiente,
Y)X(f =∇ Teorema 8.12. (Gradiente de una Forma Cuadrática) Sean A∈Mnxn(ℜ) una matriz simétrica y f: ℜn→ℜ una forma cuadrática con matriz simétrica asociada A. Entonces se cumple que:
AX2)X(f =∇ Demostración Por hipótesis:
f(X) = XtAX, es decir, f(X1, X2, …, Xn) = ∑∑= =
n
1i
n
1jjiij XXA
Como A es simétrica entonces f(X1, X2, …, Xn) = ∑ ∑∑= <==
+n
1i
n
j)(i 1jjiij
n
1i
2iii XXA2XA .
Luego,
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
309
∑∑=≠=
=+=∂∂
=∇n
1jjij
n
)ji( 1jjijiii
iin21 XA2XA2XA2
Xf))X,...,X,X(f(
En consecuencia,
AX2
X
XX
AAA
AAAAAA
2
XA2
XA2
XA2
)X(f
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
n
1jjnj
n
1jjj2
n
1jjj1
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=∇
∑
∑
∑
=
=
=
M
L
MMM
L
L
M
Ejemplo 8.13. La derivada de la forma cuadrática del ejemplo 8.1., es:
AX2XXX
1 1 0 1 2 10 11
2XX
XX2XXX
2X2X2
X2X2X4X2X2
)X,X,X(f
3
2
1
32
321
21
23
312
21
321 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−
−=∇
Ejemplo 8.14. En relación al ejemplo 8.5., el vector gradiente de la forma cuadrática nS2 = f(X) = XtPX es:
X̂2PX2)X(f ==∇
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
310
EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Sean f1, f2, f3, f4 funciones fi: ℜ3→ℜ; i = 1, 2, 3, 4 y f5, f6 funciones
fi: ℜ4→ℜ; i = 5, 6 definidas por:
1.1. f1(X1, X2, X3)= X12 + X2
2 + 4X32 –2X1X2 + 2X1X3 – 2X2X3.
1.2. f2(X1, X2, X3)= X12 + 3X2
2 + 4X32 + 4X1X3.
1.3. f3(X1, X2, X3)= (X1 + X2)2 + (2X1 – X3)2 – X12 – 2X2
2 + 6X2X3. 1.4. f4(X1, X2, X3)= 2X1
2 + 9X22 – X3
2 – 4X1X3. 1.5. f5(X1, X2, X3, X4)= X1
2+2X22+X3
2+2X42–2X1X3+2X1X4+
4X2X3 –2X2X4. 1.6. f6(X1, X2, X3, X4)= 2X1
2+2X22+3X3
2+X42+2X1X2–2X1X3+
2X2X3+2X3X4.
Demuestre que cada una de estas funciones son formas cuadráticas y determine en cada caso la respectiva matriz simétrica asociada.
2. En el conjunto Mnxn(ℜ) se define la relación R por
(∀ A, B ∈ Mnxn(ℜ)) A R B si y sólo si A es congruente a B. Demuestre que R es una relación de equivalencia en Mnxn(ℜ).
3. Demuestre que la forma cuadrática f1 del ejercicio 1 es congruente con
las formas cuadráticas gi: ℜ3→ℜ; i = 1, 2 definidas por g1(X1, X2, X3) = X1
2 + 3X32 y g2(X1, X2, X3) = X1
2 + X32.
4. Demuestre que la forma cuadrática f4 del ejercicio 1 es
ortogonalmente congruente con la forma cuadrática g1: ℜ3→ℜ y congruente con la forma cuadrática g2: ℜ3→ℜ definidas por
g1(X1, X2, X3)= –2X12+3X2
2+9X22 y g2(X1, X2, X3)=
21 X1
2+9X22
–31 X3
2.
5. Clasifique cada una de las formas cuadráticas del ejercicio 1 y
determine además representación normal y canónica de cada una de ellas.
6. Sean X1, X2, …, Xn un conjunto de datos cuantitativos con media X y
desviación estándar S. Sean f1, f2, f3 funciones fi: ℜn→ℜ; i = 1, 2, 3 definidas por:
6.1. f1(X1, X2, …, Xn) = ( )2X .
6.2. f2(X1, X2, …, Xn) = n ( )2X . 6.3. f3(X1, X2, …, Xn) = S2.
Demuestre que cada una de estas funciones son formas cuadráticas. Clasifíquelas y determine además representación normal y canónica en cada caso.
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
311
7. La ecuación aY2+bY+a = 0, con a, b ∈ ℜ* puede tener dos raíces reales iguales, dos raíces reales distintas o dos raíces imaginarias. Clasifique en cada caso la forma cuadrática f: ℜ2→ℜ definida por:
f(X1, X2) = bX1
2 + 4aX1X2 + bX22
8. Sean f: ℜn→ℜ y g: ℜn→ℜ formas cuadráticas con matrices simétricas
asociadas A y B, respectivamente. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justificando con una demostración en el caso que las considere verdaderas y con un contraejemplo en el caso que las considere falsas:
8.1. Si Traza(A) > 0 entonces A es definida positiva. 8.2. Si Traza(A) < 0 entonces A es definida negativa. 8.3. Si A es definida negativa entonces Traza(A)Det(A) > 0. 8.4. Si A tiene n autovectores linealmente independientes
entonces A es definida negativa. 8.5. Si A es indefinida y n = 2 entonces A tiene n autovectores
L.I. 8.6. Si A es definida positiva y B es indefinida entonces
Rango(AB) = Rango(A). 9. Sea la forma cuadrática f: ℜ2→ℜ definida por: f(X1, X2) = aX1
2 + 2bX1X2 + cX22; a, b, c∈ℜ
tal que f es definida negativa. Demuestre que:
9.1. a < 0. 9.2. ac > 0. 9.3. a + c < 0. 9.4. ac – b2 > 0.
10. Sea X∈Mnxp(ℜ) una matriz de rango columna completo. Demuestre
que:
10.1. La matriz XtX es no singular. 10.2. La matriz A = k2(In – X(XtX)-1Xt) es semidefinida positiva,
con k ≠ 0. 11. Sea la forma cuadrática f: ℜn→ℜ con matriz simétrica asociada A de
rango q, q < n. Demuestre que:
11.1. Si f es semidefinida positiva entonces existe una matriz P∈Mqxn(ℜ) de rango q tal que A = PtP.
11.2. Si f es semidefinida negativa entonces existe una matriz Q∈Mqxn(ℜ) de rango q tal que A = –QtQ.
12. Sean A∈Mnxn(ℜ) y B∈Mnxp(ℜ) tales que A es definida positiva y
Rango(B) = p. Demuestre que la forma cuadrática f: ℜp→ℜ con matriz simétrica asociada BtA-1B es definida positiva.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
312
13. Sea la forma cuadrática f: ℜn→ℜ, tal que f(X) = XtA1X + XtA2X, donde A2A1 = θnxn para i = 1,2 Ai es idempotente y rango(Ai) = ki. Clasifique la forma cuadrática f si se sabe que:
13.1. k1 + k2 < n. 13.2. k1 + k2 = n.
14. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ), tales que Rango(A) = n, ABA = A y BA es simétrica. Demuestre que si P∈Mnxn(ℜ) es no singular entonces la matriz Pt(BA)P es definida positiva.
15. Sean A∈Mpxq(ℜ) y B∈Mqxq(ℜ) tales que Rango(A) = q, B es simétrica
y B – AtA es definida positiva. Demuestre que la matriz B es definida positiva.
16. Sea f la forma cuadrática f: ℜn→ℜ con matriz simétrica asociada A.
Demuestre que:
16.1. A es definida positiva si y sólo si los determinantes de todos sus menores principales son positivos.
16.2. A es definida negativa si y sólo si los determinantes de todos sus menores principales de orden par son positivos y los determinantes de todos sus menores principales de orden impar son negativos.
17. Sea f la forma cuadrática f: ℜ2→ℜ definida por:
f(X1, X2) = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−
− 22
22
21
212
1
21
2 SX
SSXrX2
SX
)r1(1
con |r| < 1 y S1S2 > 0. Demuestre que f es definida positiva. 18. Sean X1 y X2 variables aleatorias con varianzas S1
2 y S22,
respectivamente y S12 la covarianza entre X1 y X2. Demuestre que si ∀ Y1, Y2 ∈ℜ no nulos simultáneamente, VAR(Y1X1 + Y2X2) > 0 entonces la matriz V definida por:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= 2
212
122
1
SSSSV
Es definida positiva.
19. Sean X1, X2, …, Xn variables aleatorias con varianzas S1
2, S22, …, Sn
2, respectivamente y Sij la covarianza entre Xi y Xj,i = 1, 2, .., n; j = 1, 2, …, n. Demuestre que si ∀ Y1, Y2, …, Yn∈ℜ no nulos simultáneamente, VAR(Y1X1 + Y2X2 + … + YnXn) > 0 entonces la matriz V definida por:
CAPÍTULO 8: FORMAS CUADRÁTICAS
313
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2nn2n1
n22
212
n1122
1
SSS
SSSSSS
V
L
MMM
L
L
Es definida positiva.
20. Determine el vector gradiente de todas las formas cuadráticas del ejercicio 1.
21. Sean X∈Mnxp(ℜ) una matriz de rango columna completo, Y∈ℜn y
h: ℜp→ℜ definida por h(Z) = (Y–XZ)t(Y–XZ). Determine el vector Z tal que 1px)Z(h θ=∇ .