REPUBLICA DE PANAMÁ

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

FACULTA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

PROYECTO DE CÁLCULO III

“INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE DATOS”

INTEGRANTES:

ARROYO KELVIN 9-748-565

HUANG LUISI 8-915-1295

PROFESORA: NORMA MILLER

1IE-113

6 – 10 – 2015

PARTE I:

En una reacción química se midió la concentración y de cierto producto cada media hora. Los resultados encontrados fueron los siguientes:

Tiempo 0 0.5 1.0 1.5 2.0Concentración 0 0.19 0.26 0.29 0.31

Se desea encontrar un polinomio de interpolación de grado 4 para este conjunto de datos, es decir, un polinomio de la forma:

y=P (t )=a0+a1 t+a2t2+a3 t

3+a4 t4

1. Plantee el sistema de 5 ecuaciones en 5 incógnitas para ajustar un polinomio de grado 4 a los datos experimentales. (NOTA: Observe que la matriz de coeficientes tendrá filas con potencias de t que van en aumento. Una matriz con este patrón se denomina Matriz Vandermonde).

y=P (t )=a0+a1 t+a2t2+a3 t

3+a4 t4

y=P (0 )=1+0+0 t 2+0 t3+0 t 4

y=P (0.5 )=1+0.5 t+0.25 t2+0.125 t 3+0.0625t 4

y=P (1.0 )=1+1t+1 t2+1 t3+1 t 4

y=P (1.5 )=1+1.5 t+2.25 t 2+3.375 t 3+5.0625 t 4

y=P (2.0 )=1+2t+4 t2+8 t 3+16 t 4

2. Resuelva el sistema con alguna aplicación (Ej. Geogebra, Matlab, Octave, Mathematica, etc.). En Geogebra use el comando “ReducedRowEchelonForm[<Matrix>]” para encontrar la matriz escalonada reducida del sistema.

3. Grafique el polinomio de interpolación y corrobore que pasa por los puntos del conjunto de datos.

4. Aplique el comando “FitPoly[<List of Points>, <Degree of Polynomial>]” a sus datos. Compare el polinomio que genera Geogebra con el que resultó de su sistema de ecuaciones. ¿Qué se observa?

PREGUNTAS: En base a la función obtenida para modelar la reacción química:

a) ¿En qué momento la concentración alcanzó un valor de 0.10?

R= En: 0.205952855218942 horas.

b) ¿Cuál fue la concentración después de 1 hora con 15 minutos de iniciada la reacción?

R= La concentración fue: 0.276953096607884.

PARTE II:

Se desea diseñar una rampa de salto de esquí. La rampa se representará mediante un polinomio cuya gráfica será una vista lateral de la rampa. La rampa debe cumplir con las siguientes especificaciones:

La rampa comienza a una altura de 100 pies y termina a una altura de 10 pies sobre el suelo.

De inicio a fin, la rampa cubre una distancia horizontal de 120 pies. Un esquiador que utiliza la rampa comenzará horizontalmente, y

deberá salir volando al final de la rampa haciendo un ángulo de 30° por encima de la horizontal.

1. En base a las especificaciones, determine el grado del polinomio que utilizará, y plantee el sistema de ecuaciones correspondiente a los datos.

f ( x )=1.4426 x 10− 4 x3−0.02356x2+100

2. Resuelva el sistema con Geogebra u otra aplicación.

Grafique el polinomio de interpolación en el intervalo relevante a la rampa y corrobore que satisface las especificaciones.

PARTE III:

Lea acerca de la curvas de Beziér en el documento “Apuntes sobre curvas de Bézier” adjunto. Diseñe su firma utilizando una secuencia de curvas de Beziér. Indique claramente todos los puntos y ecuaciones utilizados. (Si desea, y como reto adicional, puede incluir automatizar el trazo dinámico de su firma).

Vista algebraica

Hoja de Cálculo

Firma

Cédula

Preguntas de reflexión

Sustente sus respuestas con argumentos teóricos o en base a exploraciones en alguna aplicación (incluya evidencia de su trabajo):

1. ¿Qué podría suceder si intentara ajustar a n puntos distintos un polinomio de grado mayor que n−1? R= En la matriz resultante las dimensiones no serían de una matriz cuadrada, por ende faltarían pivotes y por las variables libre habrá infinitas soluciones.

2. ¿Qué podría suceder si intentara ajustar a n puntos distintos un polinomio de grado menor n−1R= Resultaría una curva que no pasa por todos los puntos, sino que promediaría los valores para llegar a una curva aproximada.

En la parte II fue necesario utilizar la primera derivada del polinomio para tomar en cuenta, además de posición, la pendiente. ¿Qué tendría que hacer si en un ajuste de curva se deseara tomar en cuenta adicionalmente la curvatura del polinomio?

R= Tendríamos que tomar en cuenta la segunda derivada, que nos brinda información sobre la curva, como la concavidad o si es creciente o decreciente y el punto mínimo y punto máximo.