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Unidad III Aplicaciones de la integral.

3.1 reas. 3.1.1 rea bajo la grfica de una funcin. 3.1.2 rea entre las grficas de funciones. 3.2 Longitud de curvas. 3.3 Clculo de volmenes de slidos de slidos de revolucin. 3.4 Clculo de centroides. 3.5 Otras aplicaciones. Interpretar enunciados de problemas para construir la funcin que al ser integrada da la solucin. Resolver problemas de clculo de reas, centroides, longitud de curvas y volmenes de slidos de revolucin. Reconocer el potencial del Clculo integral en la ingeniera. 3.1 reas. Refirindonos a la historia, el clculo integral se dio a la luz gracias al problema geomtrico de hallar reas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo. De hecho, vamos a mostrar, como poder hallar reas haciendo uso de la integral. Comencemos dando una primera definicin de la relacin que existe entre la integral y el rea (bajo curva en primera medida) de una regin no poligonal 3.1.1 rea bajo la grfica de una funcin.

S f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a, b], el rea de la regin limitada por la grfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por:

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En ella se ve que f es una funcin continua, positiva (por encima del eje x), y la regin R est limitada (acotada) por las rectas verticales x = a y x = b. Podemos hallar el rea de la regin R por medio de una integral definida aplicando la definicin anterior.

Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver cmo se puede aplicar la definicin.

EJEMPLO 1: Hallar el rea de la regin acotada por la curva y las rectas f(x) = 4 y x =3 y x = 2.

SOLUCIN:

1. TRAZO DE LA REGIN: En primera medida, se debe trazar la regin que se pide. Aqu f es positiva y continua.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definicin anterior, el rea de la regin R viene dado por:

3. EVALUACIN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.

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Luego el rea de la regin es 20 u2.

Obsrvese que esta regin es rectangular, luego se puede encontrar su rea usando los mtodos de la geometra. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente:

No es sorprendente que se hayan obtenido resultados equivalentes.

EJEMPLO 2: Hallemos el rea de la regin acotada por la curva

acotada por [5,5]

SOLUCIN:

1. TRAZO DE LA REGIN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotacin sobre el eje x, por su puesto.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si se observa la figura anterior, las rectas x= 5 y x = 5 dividen la regin en dos partes; A1 y A2 respectivamente. Tambin se puede ver que el intervalo se puede dividir en dos, as: [5,5] , [5,0] y [0,5]. Luego el rea de la regin (sombreada) viene dada por:

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A = A1 + A2

3. EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral de la siguiente forma:

Luego el rea de la regin sombreada es de u2.

3.1.2 rea entre las grficas de funciones.

Para estas regiones en particular, no se es dado los lmites de integracin, que seran los puntos de corte entre dos grficas. Ms bien, para encontrarlos, basta hallar los x (o los y) para los cuales f-g. Por un momento observemos las siguientes grficas, conservando las mismas condiciones de las definiciones anteriores: (dos funciones continuas en un intervalo cerrado, etc.) Aqu, para la primera grfica, a y b son los puntos de corte de f (x) y g(x). En la segunda grfica, c y d son los puntos de corte de f (y) y g(y). Ahora planteamos las definiciones correspondientes que sugieren las graficas:

Definicin 1: Dadas f y g positivas y continuas en un intervalo cerrado [b,a] con, f(x) > g(y), el rea de la regin R est dada por:

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Definicin 2: Dadas f y g positivas y continuas en un intervalo cerrado [d,c] con f(y)>g(y), el rea de la regin R est dada por:

EJEMPLO 1: Hallar el rea de la regin determinada por las curvas

SOLUCIN: En primera medida trazamos la regin correspondiente:

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Ahora tenemos que encontrar los lmites de integracin, pero en la grfica podemos decir que esos lmites lo determinan los puntos de interseccin de f y g. Como dijimos anteriormente, estos se hallan de la siguiente forma:

Luego x=0, 2, 2 son los puntos de corte de ambas funciones. Despus de esto, podemos establecer la integral que nos permitir hallar el rea de la regin pedida:

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Luego el rea de la regin es

3.2 Longitud de curvas. En matemtica, la longitud de arco, tambin llamada rectificacin de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensin lineal. Histricamente, ha sido difcil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios mtodos para curvas especficas, la llegada del clculo trajo consigo la frmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Al considerar una curva definida por una funcin y su respectiva derivada que son continas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado

por a y b es dada por la ecuacin:

En el caso de una curva definida paramtricamente mediante dos funciones dependientes de t como e , la longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante:

Si la funcin est definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ngulo polar estn relacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el intervalo , toma la forma:

En la mayora de los casos, no hay una solucin cerrada disponible y ser necesario usar mtodos de integracin numrica. Por ejemplo, aplicar esta frmula a la circunferencia de una elipse llevar a una integral elptica de segundo orden.

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Ejemplos:

1.-Calcular la longitud de arco de la siguiente curva = 3 El dominio de la funcin es [0,+) x F(x) 0 0 1 1 2 2.8 3 5.1 4 8 5 11.18 6 14.69 7 18.52

= 1 + 2

5

0

= 1 + 32 122 50 = 1 + 94 50 = 1 + 94 = 94 = 49 12 = 49 12+112 + 150 = 49 3232 = 49 23 32 = 82732 = 8271 + 94

3

50

52

= 8271 + 9(5)4 3 8171 + 94 (0)3 = 12.70 827 = 12.40

Calcular la longitud de arco de la siguiente curva 82 = 273, en los puntos A 1, 2

3 y B 8, 8

3

Despejo y

3 = 8227 = 8227 13

= 138227 23 8227

= 138227 23 1627

= 1 + 1681 8227 232 = 1 + 1681 2 8227 232 = 1 + 2566561 2 8227 43

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=

1 + 25626561 (82)43(27)43

=

1 + 25626561 [82]4381 =

1 + 25621049768381

= 1 + 20736210497683 = 1 + 1681 23 = 1 + 168123 = 8123 + 168123 = 81

32 + 16913

= 8123 + 16 = 5413 = 54

13

= 19 154 54832 + 161/2 = 148612 = 1486 3232 = 1486 23 32 = 21458 32 = 21458(81)23 + 163 81 = 21458(81)(8)23 + 163 21458(81)(1)23 + 163 = 19.35

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3.3 Clculo de volmenes de slidos de revolucin. Definicin: El volumen de un slido con rea transversal conocida e integrable A(x) desde x = a hasta x = b, es:

Comnmente a esta integracin se le denomina mtodo de las rebanadas.

Si una grfica de una funcin continua f(x) en el intervalo [a,b] se hace girar sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le denomina rea generatriz, a la superficie delimitada por f(x) al girar se le llama superficie de revolucin y al volumen delimitado por la superficie de revolucin se le llama slido de revolucin. La rotacin no necesariamente se debe de efectuar sobre el eje x, pero sin prdida de generalidad el eje siempre se puede ubicar en esa posicin. Volumen de un slido de revolucin (mtodo de los discos): El volumen de un slido generado alrededor del eje x la regin bajo la curva de f(x) en el intervalo [a,b] en que f(x) es continua es:

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El disco sealado en azul en la figura tiene radio f(x) de ah empleando el rea del crculo se obtiene la expresin previa. Si el volumen se genera por una superficie entre curvas, se generaliza el mtodo de los discos y se le denomina mtodo de las arandelas , en este caso si f(x)g(x) en [a,b] limitan la superficie, se tiene:

Volumen de un slido de revolucin (mtodo de los tubos o casquillos cilndricos): El slido de revolucin generado por una funcin f(x) que gira alrededor del eje y, limitado por las rectas x = a y x = b, el eje x y la grfica de f(x), tiene un volumen:

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En la figura se observa en azul un tubo tpico de radio x, espesor dx y altura f(x), que puede ser convertido en una lmina rectangular de superficie 2xf(x) y espesor dx. 3.4 Clculo de centroides. Cuando una placa slida es de espesor constante y homogneo, su masa es directamente proporcional a su rea, en donde la proporcionalidad depende del espesor de la placa y la densidad del material.

Definicin: Las coordenadas del centro de masa de una placa plana delimitada por la superficie A, se definen como:

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En donde la A bajo las integrales implica que stas se realizan para toda la superficie, ym y xm corresponde con el punto medio del elemento dA. Cuando A est delimitada por f(x) y g(x), y f(x)>g(x) en [a,b]:

y

Debido al principio fsico de la palanca, se define el momento o torque t de una fuerza respecto de un punto, como el producto de la magnitud de la fuerza y la distancia de la fuerza al punto, t = Fs. Por otro lado, si consideras una placa plana de cualquier material y la cortaras en pequeos rectngulos de masa dm, cada uno de ellos respecto de un eje elegido provocar un pequeo momento dt = sdm, de donde el momento total ser:

en donde se indica que la integral se realiza sobre toda el rea. En particular si los ejes seleccionados son el x o el y, y adems el material de la placa es homogneo, la masa es proporcional al rea y los momentos se puedes expresar en funcin de las coordenadas y y x respectivamente. As el momento total sobre el eje x e y son respectivamente:

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Existir algn valor de x en el que se pueda concentrar toda la masa de la placa y provoque el mismo momento total? Se podr dar una condicin similar en y? Supngase que esos valores existen y son:

O finalmente:

Estas coordenadas encontradas definen el centroide de la superficie o centro de gravedad de la placa. 3.5 Otras aplicaciones. rea de una superficie de revolucin Partiendo de la longitud del arco y el mtodo de tubos de altura diferencial dL se tiene:

Definicin: Si la funcin f(x)0 es suave en [a,b], el rea de la superficie generada al girar la curva de f(x) alrededor del eje x es:

Definicin: Si la funcin g(y)0 es suave en [c,d], el rea de la superficie generada al girar la curva de g(y) alrededor del eje y es:

Momentos de Inercia En el contexto de la Dinmica de los cuerpos rgidos, la inercia es una medida de la resistencia que opone un cuerpo a que se produzca un cambio en su estado de

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reposo o de movimiento. A mayor inercia mayor es la resistencia al cambio, de tal forma que si se aplica la misma fuerza a dos cuerpos, el de mayor inercia sufrir el menor cambio en su estado de movimiento, o reaccionar en forma ms lenta. Para el movimiento de translacin la inercia es equivalente a la masa, pero para el movimiento de rotacin depende de momentos de inercia. En el caso de un slido plano, el momento de inercia se mide respecto del punto en que se coloca el eje de rotacin cualquiera que se quiera y se define para un punto de materia como I = r 2 m, donde r es la distancia del punto materia hasta el eje de rotacin. Para poder considerar un cuerpo completo se tendr que dI = r 2 dm o finalmente:

En donde nuevamente r es la distancia entre cada elemento diferencial de masa y el punto p (el eje de rotacin), la integral se hace sobre todo el cuerpo de masa M, z identifica que el cuerpo se pretende hacer girar sobre un eje perpendicular a la superficie y que pasa por p. Si el cuerpo es homogneo el peso se distribuye igualitariamente a lo largo del cuerpo y la masa depender del volumen y su densidad especfica, a su vez si el cuerpo es de espesor constante t, el volumen depender de t y del rea, por lo que finalmente se puede escribir:

En donde r se sustituy con respecto al teorema de Pitgoras. Resolviendo las integrales adecuadamente podrs comparar en donde conviene colocar el eje sobre un cuerpo que va a girar.