trabajo final pdf integral.pdf
TRANSCRIPT
II
2015
Calcule las siguientes integrales:
2)∫
4)∫
6)∫
√
8)∫
10)∫
12)∫
14)∫
16)∫
18)∫ √ √
20)∫
22)∫
√
24)∫
√
26) ∫
28) ∫
√
30)∫
32)∫
34)∫
√
36) ∫√
38) ∫
√
40) ∫ ( √ )
42) ∫
44) ∫
46) ∫
√
48) ∫ √
50) ∫√
52) ∫
√
54) ∫
√
56) ∫
√
58) ∫ (
)
60) ∫
62) ∫
√
64) ∫
66) ∫ √
√
68) ∫
√
70) ∫
72) ∫ √
√
74) ∫ √
76) ∫
78) ∫ √
80) ∫ √
82) ∫
83) ∫
√
84) ∫√
85) ∫√
86) ∫√
87) ∫√
88) ∫
√
89)∫√
√
90)∫
92)∫
√
93)∫
94)∫√
95)∫
√
96)∫
√
97)∫
98)∫
√
100)∫
102)∫
104)∫
106)∫
108)∫
110)∫
112)∫
114)∫
116)∫
118)∫
120)∫
√
122)∫
124)∫
126)∫
√
128)∫
√
130)∫
√
132)∫
√
134) ∫
136) ∫
138) ∫
√ √
140) ∫ √
142) ∫
√
144) ∫
√
146) ∫
148) ∫
150) ∫ √
√
152) ∫
154) ∫
156) ∫
158) ∫
160) ∫
162) ∫
164) ∫
166) ∫
168) ∫
170)∫
172) ∫
174) ∫
176) ∫
178) ∫
180) ∫
182) ∫
184) ∫
√ √
186) ∫
√ √
188) ∫√
√
190) ∫
√
192) ∫√
√
194) ∫
√
196) ∫√
198) ∫
√
200) ∫(√ )
√
202) ∫
√
204) ∫
206) ∫
208) ∫
√
210) ∫
212) ∫√
214)∫
√
216) ∫
√
218)∫ √
220)∫
222)∫√ √
√
224)∫
√
226)∫
√
228)∫
√
230)∫
√
232)∫
√
234)∫ dx
236)∫ √
238)∫
240)∫
242)∫
√
244)∫
√
246)∫
√
248)∫
√
250)∫
√
252)∫
√
√
254)∫
256)∫
258) ∫
260) ∫√ √
√
262) ∫
√
264) ∫
√
266) ∫
√ =
268) ∫
270) ∫
√
272) ∫ =
274) ∫
276)∫
√ =
DESARROLLO:
2.∫ ==∫ =∫
=∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
4) ∫ (
) ∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ | | ∫ ∫
| |
∫ ∫
|
|
|
|
6) ∫
√ ==∫
√
=∫
√ =∫
√
= ∫
√ = ∫
√ =2√
8) ∫ =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
10)∫ =
∫
=
∫
∫
𝑢 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐 𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑧 𝑑𝑥
𝑡 𝑥
𝑧
𝑥
𝑚 𝑡𝑎𝑛𝑧
𝑑𝑚 𝑠𝑒𝑐 𝑧𝑑𝑧
𝑢 𝑡𝑎𝑛𝑡
𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐 𝑡𝑑𝑡
12)∫
∫
∫
∫
∫
14)∫ = = ∫ ∫ =
16)∫
= ∫
= | |
18) ∫ √ √
∫
∫
∫
√
√
20)∫
∫
∫
=∫
∫
| |
| |
22)∫
√ ∫
√
∫
∫
∫
√
𝑑𝑡
𝑑𝑥
t=2x
u=𝑥 u=𝑥 u=x du=3𝑥 𝑑𝑥 du=2xdx du=dx
dv=
∫ 𝑒 𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑥𝑑𝑥
dv=∫ 𝑒 𝑥
v=
∫ 𝑒𝑧𝑑𝑧 dv=𝑒 𝑥
v=
𝑒 𝑥
=
𝑒 𝐶 =∫ 𝑒 𝑥
=
𝑒 𝑥 =
𝑒 𝑥
𝑑𝑧
𝑧 𝑑𝑥
z=2x
dv=x
v=1
𝑢 𝑙𝑛 𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑢 𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑑𝑣 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑢
𝑢 𝑢 𝑑𝑢
𝑢
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐 𝑐𝑠𝑐𝑥 𝑐
𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥
u=1+sen2x
𝑑𝑢
𝑥𝑑𝑥
u= 𝑥
𝑑𝑢 𝑥𝑑𝑥
24)∫
√ ∫
√
∫
√
∫
√
√ ∫
√
√
√
√
√
√
26) ∫ (
) ∫ (
) ∫
28)∫
√ =∫
√ ∫
√
∫
√
=
∫
√ ∫
∫
=
30) ∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
| |
| |
| |
32) ∫
∫
| |
| |
34) ∫
√ =∫
√ ∫
∫
dx
∫
∫
∫
√
36) ∫√ ∫√
𝑢
𝑥𝑑𝑥
U = 𝑥 du = 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥
𝑥
𝑥 𝑥 =
𝑥
𝑥
U = 𝑥 𝑥 du = 𝑥 𝑥
du = 𝑥 𝑥 du 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥
𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥
𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑢 𝑥
𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑥𝑑𝑥
du= 𝑥
∫√
∫
√
38)
√ = ∫
√ + ∫
√ ∫ +∫
√
+ ∫
+ ∫
√
40) ∫ √
= ( √ ) ∫
√
( √ )
∫
( √ ) √
( √ ) √
42)
= (
) ∫
√
(√ )
44)∫
∫
∫
𝑢 e 𝑥
𝑑𝑢
√ 𝑥 𝑑𝑥
𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥
𝑢 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑢
𝑙𝑛𝑥
𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑥𝑑𝑥 𝑣 𝑙𝑛𝑥
𝑢 (√𝑥 𝑥) 𝑑𝑢
√𝑥 𝑑𝑥
d𝑣 𝑑𝑥 𝑣 𝑥 𝑡 𝑥 𝑑𝑡 𝑥𝑑𝑥
𝑢 𝑥 → 𝑑𝑢 𝑥𝑑𝑥 →
𝑣 √ 𝑢 → 𝑑𝑣
√ 𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑣
𝑣
𝑑𝑥 𝑑𝑢
𝑥
∫
𝑑𝑢
𝑢√ 𝑢
√ 𝑥
𝑥
𝑢 𝑥 z=u+1
2udu=dx dz=du
2udu=2xdx udu=xdx
dw=√ 𝑑𝑢
𝑢 𝑥
𝑤 √ 𝑢
𝑑𝑤
√ 𝑑𝑢
46)∫
√ = ∫
√ ∫
=2∫ (
) =2∫ -2∫ ∫ ∫
=2[
*
+ ∫
=
√ √ | |
=
√ √ |√ |
48)∫ √ ∫ √ x
∫ e √ e ∫ e √ e
∫ e √ e ∫ e √
∫ e ∫ e ∫ e
∫ e ∫ ∫
(√ )
-
(√ )
+c
50) ∫√
∫
√
∫
√
∫
√ ∫
√ (√ ) ∫
∫
√(
)
∫
∫
√ (
)
∫ ∫
√ (√ )
√ ∫
√ √
√ e √
52) ∫
√ ∫
√ ∫
∫
√ √
𝑢 𝑒𝑥 ; 𝑒𝑥
𝑢 𝑢𝑑𝑢 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑢
𝑢 𝑑𝑥
𝑥 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑥
𝑢 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑑𝑢
e 𝜃
x
2
√𝑥
e 𝜃 𝑥
𝜃 √𝑥
𝑢 𝜃
𝑑𝑢 e 𝜃 𝑑𝜃
𝑥 e 𝜃
𝑑𝑥 e 𝜃 𝜃 𝑑𝜃 54)∫
√ =∫
√
∫
√ ∫
√
∫
√ ∫
∫ e ∫ e ∫ e
∫ e ∫
√
√
√ √
56)∫
∫
e e
e e
√
(
√ )
58 )∫
=∫
dx =∫
dx=∫
dx =∫
=∫ ∫ ∫
= ∫ =
=
60) ∫
dx=∫
= ∫
= ∫
∫
∫
= ∫ ∫ =
∫
∫ =
∫ =
∫ ∫ =
=
62) ∫
√ =∫
√
𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
𝑧 𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑑𝑧 e 𝜃𝑑𝜃
√ 𝑥
1 𝑥
u=cotx
du= 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑑𝑥
u=2x
𝑑𝑢
=dx
u= senx
du= cosx
z=senx
dz=cosx
= ∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
= ∫
∫
= √ ∫
= √
√
√
64) ∫
== ∫
= ∫
∫
= ∫
∫
=
∫
∫
=
66) ∫ √
√ =
∫ = ∫
√
= ∫
√ = ∫
= √
= √ √ √ = √ √ √ √
= √ √ √
68) ∫
√ = ∫
√ ∫
√
= ∫
√ ∫
√ ∫
√ = ∫
∫
∫
= ∫
∫
=
√
= √
√
√
√
√
√
70)∫
= ∫ ∫
= ∫ = =
72) ∫ √
√
u=cosx
du= senxdx
𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑧𝑑𝑧
𝑑𝑢
√ 𝑧 𝑑𝑧
𝑣 ∫𝑑𝑧 v=z 𝑧 √𝑥
𝑑𝑧
√𝑥dx
𝑡 𝑧
𝑑𝑡 𝑧𝑑𝑧
𝑢 𝑥 𝑥 𝑢
𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑡 𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑡
𝑥𝑑𝑥
𝑢 𝑙𝑛𝑡 𝑑𝑢
𝑡
𝑣 ∫𝑑𝑡 𝑣 𝑡
𝑢 𝑥
𝑢𝑑𝑢 𝑑𝑥
= √ √ ∫
√ √
= √ √ ∫
= √ √
74) ∫ √ = ∫ = ∫
= = √ √
76) ∫ ==
∫
=
∫ =
∫
=
∫ =
78) ∫ √ ∫ ∫
= ∫ (
√ )
= ∫
√
= ∫
√
= ∫
= ∫
= ∫
=
∫
∫
=
=
=
(√ )
= √
√
√ (√ )
𝑢 𝑠𝑒𝑛 √𝑥
√ 𝑥𝑑𝑥
𝑣
√ 𝑥𝑑𝑥
𝑣 𝑢𝑑𝑢
√𝑢
𝑣 𝑑𝑢
𝑣 √ 𝑥
𝑢 𝑥
𝑢𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑑𝑣 𝑒 𝑑𝑢
𝑣 𝑒
𝑢 𝑙𝑛 𝑥
𝑑𝑢 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 𝑥
𝑢 𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 𝑥
𝑢 𝑥 → 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥
u 𝑢
𝑟 𝑢
𝑐 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝑢 𝜃
𝑈 √𝑥 𝑢 𝑥
𝑑𝑢
√ 𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑢
𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥
U= √𝑥
Du= 𝑑𝑢
√ 𝑢
𝜃 √𝑥 𝑥
e 𝜃 𝑢
𝑥
𝑢 e 𝜃
𝑑𝑢 e 𝜃 𝜃 𝑑𝜃 u=X+1
2 (
√𝑥
𝑥
80.∫ √ √ ∫ (
√ )
√
∫
√
√
∫
√ ∫
√ ∫ ∫
√
√ √
82) ∫
∫
√
∫
∫
∫
∫
√
84)∫√ ∫√ ∫√
∫√ ∫ e √ e ∫ e √ e
∫ e √ e ∫ e √ ∫ e
∫ e e ∫ e ∫ e e | e
| e | e | e |
√
|
√
|
√
|
√
u= √𝑥 𝑑𝑢
𝑥
√𝑥𝑑𝑥
v=x dv=dx
𝑢 𝑥
𝑑𝑢
√𝑥 𝑑𝑥
𝒗 ∫𝒙
𝑥
∫𝑑𝑢
𝑢
𝑥
𝑢 𝑥
𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑑𝜃
𝑥 𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑢 𝑥 𝑥
𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑥 𝑑𝑥
𝑧 𝑥
𝑑𝑧 𝑑𝑥
86) ∫ √ =
∫ √
=∫ √
=∫ √
=∫ √
=4∫
= ∫
=4∫ ∫
=2 | | | |
=2 | |
=2(
) (
√
* |
√
|
= (√ )
|
√
|
88)∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
√
∫
√ ∫
√
√ ∫
√
√ ∫
√ √ (
)
√ (
)
e e
e
∫ e e ∫ e
∫ e e ∫ e e
∫ e e ∫ e ∫ e
∫ e ∫ e e | e |
∫ e e | e |
∫ e
e | e |
𝑢
√ 𝑢
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃 ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝜃𝑑𝜃 ∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃| 𝑐
𝑢 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃
𝑑𝑣 𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑣 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑑𝜃
𝑥 √ 𝜃
𝑑𝑥 √ e 𝜃 𝑑𝜃
𝜃 𝑥
√𝑥 𝜃
√
√𝑥
𝜃 (𝑥
√ )
∫
∫
∫
√
√ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
*
√
+
√
√ √
(
√ )
√ c
√
√
√
e
94) ∫√
∫√
∫
∫ ∫
√
96) ∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
( )
√ ∫
√
∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
∫
√
∫ √ ∫(
)
√
∫
∫ √
√
√
√
√
√
√
√
√
98. ∫
√ ∫
√(
) (
)
∫
√
∫
√
∫
√
∫
√ (
)
∫
√(
) (
)
𝑥 𝜃 𝑑𝑥 𝜃 𝑑𝜃
𝑢 𝑧
𝑑𝑢 𝑧𝑑𝑧
𝑧 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑑𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
𝑢
𝑥 𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑢 𝑑𝑥 𝑎 √
𝑥 𝑥
𝑥
∫
√(
) (
) ∫
√(√
*
(
)
(
√ )
100) ∫
=∫
=∫
=∫ =
=
102) ∫( )
∫(
( )
) ∫(
)
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
104)∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
106)∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(
)
|
|
∫
(
)
|
|
∫
( )
|
|
∫
(
√ )
|
|
√
∫
|
|
√
|
|
√
(
√ )
𝑢 𝑥 𝑥
𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥
𝑥 𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑥 ÷ 𝑥 𝑥 𝑥
𝑥
𝑡 𝑥
𝑢 𝑥
𝑥
𝑑𝑢 𝑥
𝑧 𝑥
√ 𝑑𝑧
√ 𝑑𝑥
√
𝑑𝑧 𝑑𝑥
108)∫
( ) ∫
∫
(
)
∫
(
) (
)
(
(
))
110) ∫
∫
∫
∫
∫
∫
√
√
112) ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
| | ∫
| |
| |
∫
= ∫
= ∫
∫
=
∫
∫
(
)
=
∫
=
∫
=
(
)
=
(
)
116) ∫
= ∫
=∫
- ∫
=∫
∫
= ∫
√
= ∫
√ = ∫
√
𝑢 𝑥 𝑥
𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥
𝑧 𝑥
𝑑𝑧 𝑑𝑥
𝑢 𝑥 𝑥
𝑑𝑢 𝑥 dx
𝑢 𝑥 𝑥
𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢
𝑥 𝑑𝑥
𝑧 𝑥
𝑑𝑧 𝑑𝑥
𝑢 𝑥 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥
𝑧 𝑥
𝑑𝑧 𝑑𝑥
= (
√ )
√ = (
√ )
√
118) ∫
= ∫
=∫
∫
=
∫
∫
=
∫
=
=
120) ∫
√ ∫
√ = ∫
√
∫
√ √ = ∫
√ = (
) = (
)
122) ∫
∫
=
∫
∫
=
∫
√
∫
√ =
(
√ ) (
√ ) =
√ (
√ )
124)∫
=
∫
=∫
=∫
=∫
=∫
=∫
∫
=∫ ∫
= =
√
126)∫
√ =
∫
=
∫
(
)
=√
𝑢 𝑥 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢
𝑥 𝑑𝑥
𝑧 𝑥
𝑑𝑧 𝑑𝑥
𝑧 𝑥
𝑑𝑧 𝑑𝑥
𝑢 𝑥
𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢
𝑥𝑑𝑥
𝑥 𝜃
𝑑𝑥
𝜃
𝑑𝑥 𝜃d𝜃
𝑥 𝜃
𝑥
𝜃
128) ∫
√ = ∫
√ =∫
√ ∫
√
=
∫
∫
√ =
∫
∫
√
=
(
) ∫
√ = √ ∫
√
= √ ∫
√ = √ + 2 (
)
= √ + 2 (
)
130)∫
√ ∫
√ ∫
√
∫
√ ∫
√ ∫
√
∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
√
∫
√ ∫
√ e (
)
=
(√ ) [
√ ] e (
)
∫
√ ∫
√ ∫
√
∫
∫ e
=-20ln[
√ ]+c
∫
√ ∫
√
∫
√ ∫
∫ ∫
∫
∫
𝑢 𝑥 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢
𝑥 𝑑𝑥
𝑧 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥
𝑢 𝑥
𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑢 𝑥
𝑢 𝜃
𝑑𝑢 𝜃 𝑑𝜃
√
(
)
(√ )
132) ∫
√ ∫
√ =∫
√ ∫
√
=
∫
∫
√ =
∫
∫
√
=
(
) ∫
√ =√
=√
134) ∫
==
∫
√
√
∫
√
√
=
∫
√ ( √ √ )
√
∫
√ ( √ √ )
√
=
√ ∫
( √ )
√
∫
√
√ ∫
( √ )
√
∫
√
=
√ ∫
√ ∫
∫
√
∫
√
=
√
√
∫
√
∫
√
=
√ *
+
√
√
√
√
=
√ *
√
√ +
√ (√ )
√ (√ )
𝑢 𝑥 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢
𝑥 𝑑𝑥
𝑧 𝑥
𝑑𝑧 𝑑𝑥
𝑢 𝑥 √ 𝑥
𝑑𝑢 ( 𝑥 √ )𝑑𝑥
𝑣 𝑥 √ 𝑥
𝑑𝑣 ( 𝑥 √ )𝑑𝑥
𝑧 𝑥 √
𝑑𝑧 𝑑𝑥
𝑤 𝑥 √
𝑑𝑤 𝑑𝑥
𝑢 𝜃
𝑑𝑢 𝜃𝑑𝜃
𝑢
𝜃
136)∫
∫
∫
∫
=
(
)
138) ∫
√ √ ∫
√ √ ∫
∫
∫(
) = ∫ ∫ ∫ ∫
=
∫
=
= √
√
√
[√
]
𝑢 𝑥
𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑧 𝑢
𝑑𝑧 𝑑𝑢
𝑢 𝑥
𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑧 𝑥
𝑑𝑧 𝑧
𝐴 𝐶
𝐵 𝐴 𝐶
𝐴 𝐵 𝐶
𝑥 𝑥
𝐴
𝑥
𝐵
𝑥
𝐶
𝑥
𝐴 𝑥 𝑥 𝐵 𝑥 𝐶 𝑥
𝑥 𝑥
𝐴 𝑥 𝑥 𝑥 𝐵𝑥 𝐵 𝐶 𝑥 𝑥
𝐴𝑥 𝐴𝑥 𝐴 𝐵𝑥 𝐵 𝐶𝑥 𝐶𝑥 𝐶
𝐴 𝐶 𝑥 𝐵 𝐴 𝐶 𝑥 𝐴 𝐵 𝐶
A=-1; B=-1; c=1
𝑥
𝑥 𝑥 𝑥
𝑥 √ 𝑥
[ 𝑥 √ 𝑥] 𝑥 √ 𝑥
=
(𝑥 √ 𝑥 )(𝑥 √ 𝑥 )
=𝐴𝑥 𝐵
𝑥 √ 𝑥
𝐶𝑥 𝐷
𝑥 √ 𝑥
𝐴𝑥 𝐵 (𝑥 √ 𝑥 ) 𝐶𝑥 𝐷 (𝑥 √ 𝑥 )
(𝑥 √ 𝑥 )(𝑥 √ 𝑥 )
=𝐴𝑥 √ 𝐴𝑥 𝐴𝑥 𝐵𝑥 √ 𝐵𝑥 𝐵 𝐶𝑥 √ 𝐶𝑥 𝐶𝑥 𝐷𝑥
√ 𝐷𝑥 𝐷
= 𝐴 𝐶 𝑥 [√ 𝐴 𝐵 √ 𝐶 𝐷]𝑥 [𝐴 √ 𝐵 𝐶 √ 𝐷]𝑥 𝐵 𝐷
A=
√ ; B=
; c=
√ ; D=
140)∫ √
∫ √
∫
√ ∫
√ ∫
√
∫
√
∫
√ ∫
√
∫
√
∫
√ √
√
* √ + √
√
e
√
∫
∫ e ∫
e ∫ e
e ∫ ∫ e
∫ e ∫ e
∫
e e
√
[ √ ]
142)∫
√ ∫
(
)
(
)√
∫
√
∫
√
∫
∫
*
+
√ = √
(
)
√
√
√
144) ∫
√ ∫
√ ∫
∫ =∫ =∫
=∫ d -2∫ +∫
𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢
𝑥𝑑𝑥
𝑥 e 𝜃
𝑑𝑥
e 𝜃 𝜃d𝜃
𝑢 e 𝜃
𝑑𝑢 e 𝜃 𝜃
𝑑𝑣 𝑠𝑒𝑐 𝜃𝑑𝜃 𝑣 𝜃
x
1
√𝑥
𝑑𝑢 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑢 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑢
𝑡 𝑑𝑡
𝑡
𝑥 𝑥
𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝑡 𝑢 𝑡 𝑡
𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
𝑥
√ 𝑥
=∫ +2∫ du -∫ =-cos +2u-
+c=-cos +2cos -
+c
= √ +2√ -
√ +c =√ -
√ + c
146) ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
=- cscx+ cotx+ x+ c
148)∫
∫
(
*
∫
∫
∫
∫
∫
√
∫
√
√
√
150) ∫ √
√ ∫
√ ( )
√ ∫
∫
∫ ∫
*
+ *
+
√
√
√
√
152)∫
∫
∫
(
)
∫
∫
√
√
√
√
√
154)∫( )
∫
𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑡
𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝑡
𝑡 𝑡𝑎𝑛𝑥
u 𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑡
𝑡 du= dt
𝑢 𝑥
𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑧 𝑥
𝑧 𝑥
-> 𝑧 𝑑𝑧
u=x+1 du=dx
t=x-1 dt=dx
u=cos𝜃
du=-sen𝜃𝑑𝜃
=
∫
∫
∫
=
∫
∫
∫
=
∫
| | *
+
=
| |
| |
=
| |
| |
156)∫
3∫
∫
+3∫
=-3In|x|+∫
+ ∫
=-3In|x|+ln|u|+3In|z|+C
=-3In|x|+In|x+1|+3ln|x-1|+C
158) ∫
∫
∫
∫
=
∫
+
∫
-
∫
=
∫
+
∫
-
∫
=
| |
| |
160)∫
∫
= ∫
∫
∫
= ∫
∫
∫
= | | | | | |
162)∫
𝐴
𝑥
𝐵
𝑥
𝐶
𝑋
𝐴 𝑥 𝐵 𝑥 𝑥 𝐶 𝑥
𝑥 𝑥
𝐴𝑥 𝐴𝑥 𝐴 𝐵𝑥 𝐵 𝐶𝑥 𝐶 𝑥 𝑥
𝐴 𝐵 𝑥 𝐴 𝐶 𝑥 𝐴 𝐵 𝐶 = 𝑥 𝑥
=𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶
A= 𝟑
𝟐 B=-
𝟏
𝟐 C=-1
u=x+1 du=dx
𝐴
𝑥
𝐵
𝑥
𝐶
𝑥
𝐴 𝑥 𝐵 𝑥 𝑥 𝐶 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥
=𝐴𝑥 𝐴 𝐵𝑥 𝐵𝑥 𝐶𝑥 𝐶𝑥 𝐴 𝐵 𝐶 𝑥 𝐵 𝐶 𝑥 𝐴
A+B+C=1 -B+C=2 -A=3
A=-3 B=1 C=3
𝑑𝑢
𝑥𝑑𝑥
u=𝑥
du=2xdx
= 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥
𝐴
𝑥
𝐵𝑥 𝐶
𝑥
= 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥
𝐴𝑥 𝐴 𝐵𝑥 𝐵𝑥 𝐶𝑥 𝑐
𝑥 𝑥
= 𝑥 𝑥 𝐴 𝐵 𝑥 𝐵 𝐶 𝑥 𝐴
𝐶
A+B=2 ; 2B+C=3 ; A+2C=-1
A=
; B=
; C=
u=x-1 du=dx
t=x+3 dt=dx
z=x-4 dz=dx
𝐴
𝑥 +
𝐵
𝑥
𝐶
𝑥
-𝐴 𝑥 𝑥 𝐵 𝑥 𝑥 𝐶 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥
A(𝑥 𝑥 𝐵 𝑥 𝑥 𝐶 𝑥 𝑥
A𝑥 𝐴𝑥 𝐴 𝐵𝑥 𝐵𝑥 𝐵 𝐶𝑥
𝐶𝑥 𝐶
(A+B+C)𝑥 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵
𝐶
A+B+C=2; -A-5B+2C=41; -12A+4B-3C=-91
A=4 B= 𝟕 𝑪 𝟓
du=dx
dt=dx
dz=dx
∫
∫
=
∫
∫
∫
=
∫
∫
∫
=
| |
| |
| |
164) ∫
∫
=-∫
∫
∫
∫
| | | |
166)∫
=-∫
∫
∫
∫
∫
∫
= ∫
+
∫
+ ∫
-∫
-3∫
=-In |u|+
∫
∫
∫
-3∫
=-In|x+1|+
| | ∫
∫
- ∫
=-In|x+1|+
| | ∫
∫
∫
∫
=-In|x+1|+
| | ∫
- ∫
=-In|x+1|+
| | -∫ -∫
=-In|x+1|+
| | +
- ∫
=-In|x+1|+
| | +
- ∫
=-In|x+1|+
| | +
- ∫
=-In|x+1|+
| | +
-∫
=-In|x+1|+
| | +
- ∫
𝐴
𝑥
𝐵
𝑥
𝐶
𝑥
𝐴 𝑥 𝑥 𝐵 𝑥 𝑥 𝐶 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥
𝐴𝑥 𝐴𝑥 𝐴 𝐵𝑥 𝐵𝑥 𝐶𝑥 𝐶𝑥
=(A+B+C)𝑥 𝐴 𝐵 𝐶 𝑥 𝐴
A+B+C=0 -5A-4B-C=0 4A=2
A=𝟏
𝟐 ; B=
𝟐
𝟑; C=
𝟏
𝟔
u=𝑒𝑡 du=𝑑𝑥
z=𝑒𝑡 dz=dx
𝐴
𝑒𝑡
𝐵
𝑒𝑡
𝐴(𝑒𝑡 ) 𝐵 𝑒𝑡
𝑒𝑡 𝑒𝑡
A𝑒𝑡+2A+B𝑒𝑡+B=𝑒𝑡
𝐴 𝐵 𝑒𝑡 𝐴 𝐵 = 𝑒𝑡
A+B=1 2A+B=0
A=-1; B=2
u=x+1 t=𝑥 𝑥
du=dx dt=(2x+2)dx
z=x+1
dz=dx 𝑑𝑡
𝑥 𝑑𝑥
=-In|x+1|+
| | +
-∫
=-In|x+1|+
| | +
-
∫ -
∫
=-In|x+1|+
| | +
-
-
sen +c
=-In|x+1|+
| | +
-
-
2sen +c
=-In|x+1|+
| | +
-
sen +c
=-In|x+1|+
| | +
-
-
(
√ * (
√ *
=-In|x+1|+
| | +
-
-
(
)
168) ∫
=
=
∫
-
∫
+
∫
| |
| |
| |
| |
𝐴
𝑥
𝐵𝑥 𝐶
𝑥 𝑥
𝐷𝑥 𝐸
𝑥 𝑥
𝐴 𝑥 𝑥 𝐵𝑥 𝐶 𝑥 𝑥 𝑥 𝐷𝑥 𝐸 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥
A𝑥 𝐴𝑥 𝐴𝑥 𝐴𝑥 𝐴 𝐵𝑥 𝐵𝑥 𝐵𝑥 𝐵𝑥 𝐶𝑥 𝐶𝑥
𝐶𝑥 𝐶 𝐷𝑥 𝐷𝑥 𝐸𝑥 𝐸
=(A+B)𝑥 𝐴 𝐵 𝐶 𝑥 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑥 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝑥
𝐴 𝐶 𝐸 𝑥 𝑥 𝑥
A+B=0; 4 A+3B+C=2; 8 A+4B+3C+D=3; 8 A+2B+4C+D+E=1; 4 A +2C+E=-1
A=-1; B=1; C=3; D=-2; E=-3
u 𝑥
d𝑢 𝑑𝑥
t 𝑥
𝐴
𝑥
𝐵
𝑥
𝐶
𝑥 = 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝐴 𝑥 𝐵 𝑥 𝑥 𝐶 𝑥
𝑥 𝑥 = 𝑥 𝑥 𝑥
𝑥
A𝑥 +2Ax+A+B𝑥 -B+Cx-C= 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(A+B)𝑥 +(2A+C)x+(A-B-C)= 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
A+B=-1; 2 A+C=3; A-B-C=1
A=
; B=
; 𝐶
u= du=cosxdx
senx
u=cos𝜃
du=sen
𝜃𝑑𝜃
z=u-
dz=du
170)∫ - - d
- - =∫
- - d
( - ) =
-
∫
d
-
∫
d
- ∫
d
=-
∫
d
∫
d
- ∫
du
u
= -
| |
| | - ∫u- du=
-
| - |
ln|x+1| +
+ c.
172)∫( )
( )
=
=
∫
∫
∫
=
| |
| |
| |
176)∫
∫
=∫
∫
∫
=∫ ∫ =-cotx+∫ =-
=-
=-cotx- cscx +C
178)∫
=∫
= 2∫
(
* =2∫
=2∫
=2∫
=- ∫
∫
=-2
∫
= √
√
=
√
√
=
√
√
+c
180) ∫
∫
=∫
∫
= ∫
+c=-
+c
𝑡
𝑡 𝑡 𝐴𝑡 𝐵
𝑡 𝐶𝑡 𝐷
𝑡
(At+B)(3𝑡 𝐶𝑡 𝐷 𝑡 = = 𝑡
𝐴𝑡 𝑡 𝐵𝑡 𝐵 𝐶𝑡 𝐶𝑡 𝐷𝑡 𝐷== 𝑡
𝐴 𝐶 𝑡 𝐵 𝐷 𝑡 𝐴 𝐶 𝑡 𝐵 𝐷 =
= 𝑡
3A+C=0; 3B+D=-1 ; A+C=0 ; B+D=1
𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑥
𝑡 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑡
𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑡
𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝑡
𝑢 𝑥 z=u+1
2udu=dx dz=du
182)∫
∫
∫
=∫
∫
√
(
√ *(
√ *
√
=2∫
√
√
=
√
( )√
√
√
=2∫
√ = ∫
- ∫
+ ∫
=ln|u| - ln|u| + ln|u| + c = ln|1+t|- ln|1+t|+ln|1+t| + c
184 ) ∫
√ √ = 2∫
√ √ = 2∫
2∫
=
2∫
=2 ln|1+u|+c = 2ln|1+√ |+c
186 ) ∫
√ √ = 6∫
√ √ =6∫
=6∫
=
=6∫ ∫ ∫ ∫
=2 - 3 + 6u -6 ln|u+1|+c =2√ -3√
+6√
-6ln|√
+1|+c
188)∫√
√
==∫
√
√
∫
= ∫
= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
=
∫
∫
=
√
√
√
√ √
√
∫
∫
=
√
√
√
√ √
√
6 √
- 3ln|z|+c
=
√
√
√
√ √
√
6 √
- 3ln|√ |
190)∫
√ =∫
√ ∫
=2∫ (
)
=2∫ -2∫ ∫ ∫
=2[
*
+ ∫
= x 6 du= dx
u+1= -u+1-
𝑧 𝑢
𝑑𝑧 𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑧
𝑢𝑑𝑢
𝑢 x
dx= 6𝑥 dx 𝑢
𝑢 =x 2udu= dx
𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑡
sen𝜃
𝑡
√ 𝑡
cos𝜃
√ 𝑡
=
√ √ | | =
√ √ |√ |
192)∫√
√ ∫
√
√ =4∫ ( )
∫
= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
=
∫
=
√
√
√ √
|√
|
194)∫
√ ∫
∫
=∫
∫
=∫
∫
= | | ∫
(
)
= | | ∫
(
) = | | ∫
(
)
= | |
+c
= | √ |
√
+c
196) ∫√
dx =∫
= ∫
= 3∫
+3∫
=3∫ ∫
∫
=3u+∫
+3∫
=3√
+ ln|t|+∫
=3√
+ ln|t|-∫
=3√
+ ln|t|-∫
- - ∫
=3√
+ ln|u-1|-
∫
- ∫
=3√
+ ln|√
-1|-
∫
- ∫
=3√
+ ln|√
-1|-
∫
∓
∫
- 2∫
=3√
+ ln|√
-1|-
∫
-
∫
=3√
+ ln|√
-1|-
| |
∫
(
) (
√
* =3√
+ ln|√
-1|-
| |-
∫
(√
*
u+1= -
u+1-
- - + -
/2
= x+1 3 du=dx x= -1 Z= dz=(2u+1)du
k= u -
dk= du
= √
+ ln|√
-1|-
|√
√
|
√ (
√ )+c= √
+
ln|√
-1|-
|√
√
|
√ (
√
√ *
198)∫
√
=∫
√
=∫
√
=∫
√
=∫
√ =∫
√ ∫
√ =∫
√ =
200) ∫(√ )
√ =∫
√
√ ∫
√ ∫
∫
=ln(x+1)+2∫
= = √
202) ∫
√ =∫
=∫
=
(
)+c=
(
√
*
204) ∫
=∫ + ∫ ∫
=
∫
+∫
=
∫
∫
=
∫
∫
=
| | | |
=
| | | |
206) ∫
=∫
(
) ∫
∫
( )
( )
=∫
( )
( )
∫
( )
(
* ∫
( ) ( )
( )
= ∫
∫
∫
(√ )
=2(
√ (
√ )* =
√ (
√ *
208) ∫
√
=∫ √ √
√ √
∫ √ √
√ √ ∫
√
𝑢 𝑒 𝑥 -> 2udu= 𝑒 𝑥𝑑𝑥
dx=𝑢𝑑𝑢
𝑢
u=x+3 du=dx
z=x-1 dz=dx
T=tan𝑥
Senx= 𝑡
𝑡
Cosx= 𝑡
𝑡
dx= 𝑑𝑡
𝑡
X=√ sen𝜃
dx=√ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
sen𝜃 𝑥
√
𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑢
𝑢 √𝑥 𝑑𝑢
𝑢𝑑𝑥
= ∫
√ ∫
∫
=361∫ =361∫ -361∫
=-361cos +361∫ =-361(√
√ *+361
+c
=-19√ (√ )+ √
(√ )
+c
210) ∫
=∫
√ ∫
√
∫
=
∫ ∫
=
√
√ +c
212) ∫√
==∫
√
∫ √
√
=
∫
∫
∫
∫
=
∫ ∫
=
√ √
214)∫
√ =∫
(
)√
∫
√
= ∫
√ (
*
∫
√ =∫
√(
)
√
∫
√ √
= √
=sen
√
√
216) ∫
√ =∫
√ ∫
=
∫
=
∫
=
=
218)∫ √
=∫( √ ) ∫( √ )
=2∫ ∫ ∫
=
√ +
𝑢 𝑡 2udu=2dt
Dt=udu T=𝑢
𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑥
Udu= 𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑑𝑥
T=
𝑥 X=
𝑡 Dx=
𝑑𝑡
𝑡 u=t+
du=dt
𝑣 √ 𝑢
𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑥
𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑣
𝑢
𝑢𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 √𝑢
𝑥 𝑢
.𝑢 𝑥
220)∫
=∫
∫
∫( )
√
= ∫( )
∫ ∫
=4∫ ∫
=
√
√
222)∫√ √
√ =∫
√
√ ∫
√
√ ∫√
∫ √
=∫
√ ∫
√ +
224)∫( )
√ =∫
√ ∫
√ ∫
√
∫
√ √
=
∫
√
√
√
=
√
226)∫( )
√ =∫
√ ∫
√
∫
√ ∫
√
= ∫
∫
√ ∫
+
√
= ((
*
√
)
√
𝑑𝑢 𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑥
.𝑢 𝑥
𝑑𝑢 𝑒𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑢
𝑢
𝑧 𝑢
𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑢
𝑢 𝑧
.𝑢 𝑒𝑥
𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑥𝑑𝑥
𝑡 𝑥 𝑑𝑡 𝑥 𝑑𝑥
𝑧 𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑢
228)∫
√ =∫
(√ ) (
√ *√ (
√ *(
√ * (
√ *
=∫
√ √(
) (
) ∫
√ √
∫
√ =∫
√
=√ +c
230) ∫
√ =∫
√ =∫
√ =∫
=∫
=∫ (
)
=
∫ d =
∫ -
∫ d +
∫ d
=
sen2 +
∫
d
=
-
sen cos +
∫ +
∫ d =
=
-
x(√ )+
+
sen =
e
x(√ )+
.2sen2 +c
=
x(√ )+
+c
=
x(√ )+
sen cos
+c
=
x(√ ) +
x√ (1-
2 )+c
Integración por partes
u=x du=dx
dv=
√
v= -√
∫
√ = -
∫
=
∫
⁄
=
.
+ c
=-
+c
V= - √ +c
Cambio de variable 1
Cambio de variable 2
T=tanx
dt=𝑠𝑒𝑐 𝑥𝑑𝑥
dx=𝑑
𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝑢 𝑡
udu=dt
x=sen𝜃
dx=cos𝜃𝑑𝜃
√ 𝑥
x
232) ∫
√ = x (-√ ) +
∫√ dx =-x √ +∫√ (
)
=- x √ -∫
= -x √ +∫
=-x √ -∫
=-x √ -∫
-∫
=-x √ -z +∫
=-x √ - √ + tanh-1√ +c
234)∫ ( )dx=
∫ dx
=4∫ dx +5∫
=-2 ln(senx)(cos2x)+2∫
ln(cosx)(cos2x) -
∫
=-2ln(senx)(cos2x)+2∫ dx -
ln(cosx)(cos2x)-
∫
tanxdx
=-2ln(senx)(cos2x)+2∫ ∫ -
ln(cosx)(cos2x)-
∫
∫
=-2 ln (senx)(cos2x)+2∫ (
)dx-2∫ (
)dx-
ln(cosx)(cos2x)
-
∫ (
)dx+
∫ (
)
=-2 ln (senx)(cos2x)+ ∫
-2∫
ln(cosx)(cos2x)-
∫
+
∫
=-2ln⌊ ⌋+2∫
∫
ln -
∫
∫
=-2ln⌊ ⌋+2∫( )
-
ln -
+
∫
u=1- du=-2 dx
-
= dx
=1- 2zdz=-2 dx
=dx
=dx
u=ln(senx) dv=sen2xdx
du=
v=-1/2 cos2x du=cotxdx
U=ln(cosx) dv=sen2x
Du=
v=-1/2cos2x Du=-tanxdx
=-2 ln +2∫ - ∫
-
+
∫ -
∫
=-2 ln +2ln|senx|- - -
ln -
x-
ln|secx|-
+c
=-2 ln +2ln|senx|- - -
ln -
-
ln|secx|-
=-2 ln +2ln|senx|-
-
ln -
ln|secx|+c
236) ∫ √ dx= ∫ √
du=∫ =2∫ du= ∫ (
)
du=
∫ )du
=
∫ ∫
∫ =
∫ – u+
∫ =
√
238) ∫
cosh3x + -
∫
=
senh3x+
∫ dx
=∫
∫
(
)+c
=
∫ senh3xdx=
(
)+c
=
(
)+c
240)∫ ( )
=∫ ∫ ∫
=ln -2∫ ( )
=ln -
2∫ -2du
=ln -2∫ + ∫ = ln -2u( -2)+4u
Integración por partes
u= du= dx
dv=∫
v= -
u= du= dx
dv=∫
v=
senh3x
u=lnx
du=
u=ln
du=
dv=∫ =u ln -
2∫
=uln -2u
v =u(ln -2) u=ln
du=
dv=∫ v=u
𝑢 𝑥 -> u=√𝑥
2udu=dx
z=2x 𝑑𝑧
=dx
t=-2x 𝑑𝑡
=dx
=lnln -lnx(ln
242)∫
√ =∫
√ +∫
√ +∫
√
=∫
√ +∫
√ +∫
√ ==
∫
√ +
∫
√
+∫
√ =
∫
+
∫
√
+∫
√(
)
=
∫ +
∫
√ (√
* -∫
√
= +
∫
√ (√
* -∫
=√ +
√ -∫
√ =√ +
(
√ )-
∫
√ (√
* =√ +
(
√ )- ∫
√ (√
* =√ +
(
√ ) - (
√ )
244)∫
√ =∫
√ =∫
=∫ d
=
=∫ ∫ =
=∫ =∫ ∫ +∫
=- cos ∫ du-∫ +2
- - -
+c = √ +
-
+c
= √ + √
-
√
+ c
246) ∫
√ ∫
(
)
√ ∫
=∫ ∫ (
)
=
∫ )d
=
∫ +
∫ +
∫ d =
t=
x=
dx=
w=t- -
dw=dt
u= -x+1 du=(2x-1)dx
z=x-
dz=dx
x=sen dx=cos d
√
x 1
u=cos -du=sen
x=sec𝜃
dx=sec𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 x √𝑥
dx=𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
=
+
∫ (
)d
=
+
sen +
∫ =
+
(√
*+
∫ +
∫ d
=
(√
*+
sen4 +c=
(√
*+
+
sen4 +c
=
(√
*+
+
+c=
+
(√
*+
+c
=
+
(
√
*+
2sen +c
=
+
(
√
*+
(
√
*+c
248)∫
√ ∫
√ (
)
∫
√ (
)
=
-∫
√
= ∫
√ (
)
= ∫
√ = ∫
√
(
)
∫
√
(
) = ∫
√(
) (
) = ∫
√(
)
=
(
)+c
=
+c= (2t-1)+c
250)∫
√ =∫
( √
*
( )
√
=-∫
( )
= ∫
= ∫
=
∫
∫
=
∫
-
∫
∫
=
ln|t|-
∫
(
) (
√
* +
∫
-
∫
=-
ln|z-1|-
∫
(
) (
√
* +
∫
=
ln|
√
|
∫
(√
* +
∫
=
ln|
√ |
√
√ +
ln|u|+c=
ln|
√ |-
(
*
t=
2-x=
dt=
dx= dt
=dx
X=2-1/t
z=t-
dz=dt
√ (
(
√ )
√ )+
ln| |+c =
ln|
√ |-
√ (
(
√ )
√ )+
ln|(
√ )
+
√ +1|+c
Cambio de variable Fracciones parciales
√
√
(√
)
√
√
252)∫
√
√ = ∫
√ √
= ∫
=-4∫
=
= ∫
=-4∫ ∫ ∫
=-2 +4u-4∫
=-2√ + √
-4 ln(√
+1)+c
254) ∫
∫
𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑧 𝑢
𝑑𝑧 𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑧
𝑢𝑑𝑢
u =5-x z=u+1
4𝑢 du=-dx dz=du
-4𝑢 du=dx
| |
| |
| |
256) ∫
=∫
=∫
=
=
∫
=
+c
258) ∫
∫ ∫
∫
=
∫
∫
∫
∫
=
∫
=
∫
∫
=
=
260) ∫√ √
√ ∫
√
∫ √
=
√ √
√ √
262) ∫
√ ∫
( )
√ ∫
√ ∫
√
∫
√ ∫
√
∫( )
∫
√
√
∫ √
√
(
)
√
∫ √ √
(
)
√
𝑧 𝑢 u= 𝑥 du=(ln2) 𝑥dx
𝑑𝑧 𝑑𝑢 dx=𝑑𝑢
𝑥𝑙𝑛
u=Inx du= 𝑑𝑥
𝑥
tan= 𝑢
√
𝑢 𝑑𝑥 𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑧 𝑧 𝑑𝑧
𝑧 𝑢 𝑢 𝑧
∫ √ (
√ *
∫ d (
√ *
| | (
√ *
* √
(
)
|
√
√
(
)
√ + (
√ )
∫
√ ∫
√ =∫
√ ∫
√
= ∫
∫
√ (
)
= ∫
∫
√
=
=-
∫
√ √
= √ - ∫
√ √
= √
√
266) ∫
√ = ∫
√
(
)
∫
√
∫
√
= ∫
√ ∫
√
∫
√
(
)
= ∫
√
∫
√ √
( )
√
= (
√ )
268) ∫
∫
∫
∫
=
∫
∫
∫
∫
=
=
x-
𝑧 z=dx
u=x-
du=dx
x-
𝑥
u=
√
𝑡𝑎𝑛𝜃
u= 𝑥 𝑥
du= 𝑥
du= 𝑥 𝑑𝑥
z=𝑥
dz=dx
𝑑𝑡
𝑡 𝑑𝑥
u=𝑡
du=𝑑𝑡
𝑡
𝑥 𝑥
𝑡
𝑑𝑢
𝑥𝑑𝑥
u=𝑥 du= 𝑥𝑑𝑥
𝑧 𝑢
𝑑𝑧 𝑑𝑢
270)∫
√ ∫
(
)√ (
)
∫
√
∫
√ (
)
∫
√
∫
√ ∫
√ ∫
√
∫
√ =
= (
*
272)∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
274)∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
=∫ ∫
∫ =
∫
∫
| | =
| |
=
| | =
| |
276)∫
√ ∫
√
∫
√ ∫
√
=
∫
∫
=
=√
t
𝑥 x=
𝑡
dt= 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
