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Apndice IMtodos de aproximacin en el clculo

1 Frmula de Taylor

En esta primera parte nos proponemos desarrollar un mtodo general que nos permita encontrar, dada una funcinderivable cualquiera y un punto de su dominio, una funcin polinmica cuya grfica pase por dicho punto y que nos hagaposible estimar, con un error menor que un valor previamente elegido, los valores que toma la funcin en un intervaloabierto que contenga al punto en mencin (a este intervalo se le llama entorno del punto).

Para ilustrar nuestro propsito tratemos de hallar un polinomio que nos aproxime los valores de la funcin xy e en unentorno del punto 0.x Para comenzar, hallemos una funcin polinmica de primer grado (recta) que pase por el punto(0,1) y tenga una pendiente igual a la de la funcin ,xy e o equivalentemente hallemos la recta tangente en (0,1) .Como xy e entonces 0(0) 1,y ec de donde la recta buscada es 1 1( 0)y x o 1 .y x Intuitivamente se esperaque la recta tangente sea, generalmente, la que mejor aproxima los valores que toma la funcin en los puntos vecinos alpunto de tangencia ya que, adems de pasar por el punto, tiene la misma pendiente de la curva (figura 1).

Figura 1

Tratemos ahora de encontrar un polinomio de segundo grado que pase tambin por el punto (0,1) y tal que sus dos primeras

derivadas en 0x coincidan con las de ,xy e que son todas iguales a 1.

420

Lo que se busca con tal polinomio de segundo grado es obtener una curva que tiene en el punto (0,1) la misma ordenada,

la misma pendiente y concavidad con el mismo signo de la funcin que se desea aproximar.

Por este motivo es de esperar que se haya mejorado la aproximacin obtenida con el polinomio de primer grado.

Sea 2( )y f x a bx cx la funcin buscada.Entonces, ( ) 2f x b cxc y ( ) 2 .f x ccc Luego se debe cumplir que

(0) 1f bc y (0) 2 1f ccc , de donde 12

c .Como hemos supuesto que ( )f x pasa por (0,1) , entonces (0) 1.f a El polinomio buscado ser en consecuencia

2

12

xy x (figura 2).

Figura 2

Si se calculan algunas ordenadas para valores de x cercamos a 0,x se encuentra que el polinomio de segundo gradoproporciona una aproximacin mejor que el de primer grado, tal como se puede apreciar en la tabla 1.

De aqu surge una pregunta: cmo lograremos seguir mejorando la aproximacin?

Tabla 1

x

0.1

xe

1.1052

1y x 0.2

0.21.2214

0.9048

0.8187

1.1000

1.2000

0.9000

0.8000

1.1050

1.2200

0.9050

0.8200

2

12

xy x

0.1

421Elementos bsicos de clculo integral y series

La llamada frmula de Taylor nos permite hallar un polinomio tan aproximado como lo deseemos a la funcin ,xy e de talmodo que para mejorar la aproximacin basta con aumentar el grado del polinomio.

El siguiente teorema nos da la frmula general para conocer el polinomio aproximador.

Teorema 1.1: Frmula de Taylor

Sea ( )f x una funcin y n un entero no negativo tal que ( 1) ( )nf x existe en el intervalo I. Si a, b son puntos distintos deI, entonces existe z en ( , )a b tal que

( ) ( 1)2 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) .

1! 2! ! ( 1)!

n nn nf a f a f a f zf b f a b a b a b a b a

n n

c cc (1)Demostracin

Definamos a nR como la diferencia entre ( )f b y los primeros ( 1)n trminos de la suma de la derecha de la ecuacin (1);esto es,

( )2( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ... ( ) .

2! !

nn

n

f a f aR f b f a f a b a b a b a

n

ccc (2)Sea

1( )2

1

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ... ( ) .

2! ! ( )

nnn n

n

R b xf x f xg x f b f x f x b x b x b x

n b a

cc c (3)

Claramente, la funcin ( )g x est definida para todo x en I.

Derivndola se obtiene:

( 1) ( )2 1

1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ... ( ) ( )

2! ! ( 1)!

( 1) ( ).

( )

n nn n

nn

n

f x f x f xg x f x f x b x f x b x f x b x b x b x

n n

n R b x

b a

cccc c cc c cc

Despus de cancelar trminos semejantes en la igualdad anterior se llega a:

( 1)

1

( 1)( )( ) ( ) ( ) .

! ( )

nn nn

n

R nf xg x b x b x

n b a

c (4)

Se ve inmediatamente que si se cambia x por b en la igualdad (3) se llega a ( ) 0.g b Ahora, haciendo x a en la mismaigualdad (3), se llega a:

422

12

1

2

( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ... o

2! ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ... .

2!

nn

n

n

R b af a b ag a f b f a f a b a

b a

f a b ag a f b f a f a b a R

cc c cc c

Reemplazando la (2) en esta ltima igualdad y simplificando se obtiene inmediatamente ( ) 0.g a Como ( ) ( ) 0,g a g b podemos utilizar el teorema de Rolle (mdulo 22 del texto Elementos bsicos de clculo diferen-cial), del cual se deduce que existe z en ( , )a b tal que ( ) 0.g zc Cambiando x por z en (4), haciendo ( ) 0g zc y despejando nR se obtiene:

( 1)1( ) ( ) ,

( 1)!

nn

n

f zR b a

n

lo cual completa la demostracin.

Observaciones

i. Si en la frmula para ( )f b dada por el teorema anterior (frmula (1)) cambiamos a b por x, se obtiene:

2 ( 1)1( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ... ( ) ( ) ; en ( , ).

2! ! ( 1)!

n nn nf a x a f a f zf x f a f a x a x a x a z a x

n n

cc c Esta frmula se conoce como desarrollo de Taylor de ( )f x alrededor del punto .x a

ii. La suma de los ( 1)n primeros trminos del lado derecho de la igualdad anterior se conoce como polinomio deTaylor de grado n para la funcin ( )f x alrededor del punto x a y se representa por ( )nP x .

iii. El trmino

( 1)1( )( ) ( )

( 1)!

nn

n

f zR x x a

n

se llama residuo de grado n (forma de Lagrange) del desarrollo de ( )f x alrededor del punto x a .Cuando ( )nR x es pequeo con respecto a ( )nP x se puede escribir ( ) ( )nf x P x| para .x a| El error, en valorabsoluto, que se comete en la aproximacin est dado por ( )nR x .


iv. Si en la frmula de Taylor hacemos 0a obtenemos la llamada frmula de Maclaurin para ( );f x es decir:( 1)

2 1(0) (0) ( )( ) (0) (0) ... ,2! ! ( 1)!

n nn nf f f zf x f f x x x x

n n

ccc con z en (0, )x .v. Si en la frmula de Taylor hacemos 0,n obtenemos:

( ) ( ) ( )( ),f b f a f z b ac con z ( , )a b ,o tambin,

( ) ( )( ) ,

( )

f b f af z

b a

c frmula que ya habamos obtenido en el teorema del valor medio (mdulo 22 del texto Elementos bsicos declculo diferencial).

Ejemplo 1

Halle el desarrollo de Taylor de grado 3 para ( ) lnf x x en el punto 1.a Solucin

La funcin y sus derivadas sucesivas en el punto 1a son:

2

3

4 4

( ) ln y (1) 0.

1( ) y (1) 1.

( ) y (1) 1.

( ) 2 y (1) 2.

( ) 6 y ( ) 6 .iv iv

f x x f

f x fx

f x x f

f x x f

f x x f z z

c c cc cc ccc ccc

Por tanto podemos escribir

2 3 44( 1) 2( 1) 6ln 0 ( 1) ( 1)

2 3! 4!

x x zx x x

, con z en (1, ),xque simplificada se convierte en

2 3 4

4

( 1) ( 1) ( 1)ln ( 1) .

2 3 4

x x xx x

z

424

Se considera que una aproximacin es exacta en las k primeras cifras decimales si el error E, en valor absoluto, es menor

que ( 1)5 10 .k uAs por ejemplo, la primera cifra decimal es exacta si 25 10 0.05,E u y las dos primeras cifras decimales sern exac-tas si 35 10 0.005E u , etcAhora, si a un nmero que tiene n cifras decimales exactas se le quiere suprimir de la k-sima cifra decimal en adelante

( )k n , entonces se adoptar el siguiente criterio de redondeo:Si 5,ka t entonces la cifra anterior se aumenta en 1.Si 5,ka entonces la cifra anterior no se modifica.

As por ejemplo, para reducir a dos cifras decimales el nmero 1.97695, el 7, por estar seguido del 6, se aumenta en 1, conlo que se obtiene 1.98. En cambio, el nmero 1.97495, escrito con dos cifras decimales nicamente, queda reducido a 1.97.

Ejemplo 2

Con la frmula obtenida en el ejemplo 1 calcule un valor aproximado para ln 1.1 y determine una cota superior para el valorabsoluto del error cometido en la aproximacin.

Solucin

Sustituyendo x por 1.1 en la frmula para ln ,x tenemos:

2 3 4

4

(0.1) (0.1) (0.1)ln 1.1 0.1 ,

2 3 4z con 1 1.1.z

Sumando los tres primeros trminos se obtiene

ln 1.1 0.0953.|Ahora, como 1,z ! podemos escribir

4 45

3 4 4

(0.1) (0.1)(1.1) 2.5 10 .

4 4(1)R

z u

En consecuencia la aproximacin para ln 1.1 es exacta en sus cuatro primeras cifras decimales.


Ejemplo 3

Utilice la frmula de Taylor con 2n para calcular cos 60.5 y determine una cota superior para el valor absoluto delerror.

Solucin

Como 60.5 est prximo a 60, o sea a 3

Srad, y la funcin coseno y sus derivadas sucesivas son fciles de evaluar en

dicho punto, eligiremos .3

aS

Tenemos entonces:

1( ) cos y cos .

3 3 2

3( ) sen y sen .

3 3 2

1( ) cos y cos .

3 3 2

( ) sen y ( ) sen .

f x x f

f x x f

f x x f

f x x f z z

S S S S c c S S cc cc ccc ccc Entonces, el polinomio de Taylor de segundo grado 2 ( )P x ser

2

2

11 3 2

( ) .2 2 3 2! 3

P x x x

S S Debemos convertir el ngulo de 60.5 a radianes para poder utilizarlo en la frmula anterior:

0.560.5

3 180 3 360

S S S S radianes.Por tanto,

2

2

11 3 2 360

cos60.5 0.49242346.3 360 2 2 360 2!

P

S S S S | | El error ser

3

2

sen( ) ,

3 3!

zR x x

S y como sen 1z , podemos escribir:3

37

2

sen 3601.1 10 .

3 360 360 3! 3!

zR

S S S S d u

426

En consecuencia,

cos60.5 0.492423,| con sus seis cifras decimales exactas.Ejemplo 4

Encuentre la frmula de Maclaurin para ( ) sen y 6.f x x n Solucin

er

( ) sen y (0) 0.

( ) cos y (0) 1.1. ciclo

( ) sen y (0) 0.

( ) cos y (0) 1.

( ) sen y (0) 0.

( ) cos y (0) 1.2.

( ) sen y (0) 0.

( ) cos y (0) 1.

iv iv

v v

vi vi

vii vii

f x x f

f x x f

f x x f

f x x f

f x x f

f x x f

f x x f

f x x f

c c cc cc ccc ccc ciclo

Entonces,

2 3 4 5 6 70 0 0 cossen 0 ,

2! 3! 4! 5! 6! 7!

x x x x x x zx x

con z en (0, ).xEs decir,

3 5 7 cossen ,

3! 5! 7!

x x x zx x con z en (0, ).x

Ejemplo 5

Utilice la frmula anterior para hallar un valor aproximado de sen 0.1 y hallar el error cometido.

Solucin

Si en la frmula anterior despreciamos el trmino 7 cos

7!

x z obtenemos

3 5(0.1) (0.1)sen 0.1 0.1 0.099833416.

3! 5!| |


El error de la aproximacin, en valor absoluto, ser

77 11

7

cos (0.1)(0.1) (0.1) 2 10 .

7! 7!

zR d u

Por tanto, el valor hallado para sen 0.1 es correcto en sus siete cifras decimales.

Ejemplo 6

Utilice el polinomio de Taylor en 0a (Maclaurin) para hallar el valor de e con una exactitud de cuatro cifras decimales.Solucin

Tomemos ( ) .xf x e Como ( ) ( )k xf x e para todo k, entonces (0) 1,kf y en consecuencia2 3

( ) 1 ... .2! 3! !

n

n

x x xP x x

n

Para el residuo tenemos

1

( ) ,( 1)!

z n

n

e xR x

n

con z en (0, ).xSe requiere que

10.00005

2nR

para lograr un resultado con cuatro cifras decimales exactas.Ahora, sabemos que 1/ 2 2,ze e de donde

11/ 2

1

11 2 12

.2 ( 1)! 2 ( 1)! 2 ( 1)!

n

n n n

e

Rn n n

Si ensayamos distintos valores de n, obtenemos para n = 4

4 4

1 10.0005208.

2 (2 5!)R

| Como el error est por encima del valor propuesto, ensayamos el valor siguiente de n.

428

Para n = 5,

5 5

1 10.000043 0.000050.

2 (2 6!)R |

En consecuencia

1 1 1 1 11 1.6490,

2 8 48 348 3840e | | con cuatro cifras decimales exactas.

El valor exacto con cinco decimales sera 1.64872.

2 Mtodo de Newton (para el clculo de races)

El llamado mtodo de Newton es un procedimiento iterativo para calcular valores aproximados de una raz o un cero de laecuacin f (x) = 0, partiendo de un punto conocido y cercano a la raz buscada.

Describiremos a continuacin el mtodo:

Sea r una raz de f (x) = 0 situada en el intervalo (a, b) y supngase que f (x) existe en (a, b).

La recta tangente a la curva en el punto P(a, f (a)) de abscisa a (valor que se toma como la aproximacin inicial de r)viene dada por:

( ) ( )( ).y f a f a x ac (1)

Figura 3

Para determinar el punto de interseccin de esta recta con el eje x, que se llamar a1 y que se considera como la siguien-

te aproximacin de r, se hace y = 0 en (1), de lo cual se obtiene:

1

( ); ( ) 0.

( )

f aa a f a

f ac zc


En muchas ocasiones a1 es una aproximacin a r mejor que a; en tales casos se repite de nuevo el procedimiento reempla-

zando el punto a por a1 y obtenemos 2 ,a as (figura 3):

12 1 1

1

( ); ( ) 0.

( )

f aa a f a

f ac zc

El procedimiento se contina de esta manera utilizando la siguiente frmula de recurrencia:

1

( ); ( ) 0.

( )n

n n nn

f aa a f a

f a c zcSon muchos los casos en los cuales la frmula anterior nos proporciona una sucesin de valores na que progresivamente sevan acercando a la raz exacta.

Observaciones

i. Hay casos en los cuales el procedimiento efectuado no proporciona una raz que se acerca a la raz buscada. Este

hecho se reconoce al notar que la sucesin de valores na no se estabiliza por ms que se aumente el nmero deiteraciones.

ii. La eleccin de la primera aproximacin puede ser fundamental. Si se hubiese elegido el punto b de la figura comovalor inicial, la aproximacin siguiente b

1 sera peor que b.

Puede demostrarse, aunque aqu no se har, que se debe elegir el extremo del intervalo (a, b) en donde f y f coincidan en el signo. En la funcin de la figura 3, por ejemplo, en el extremo a se cumple que f (a) y f (a) sonpositivas (cncava hacia arriba); en el extremo b, por el contrario, f (b) < 0 y f (b) > 0.

iii. Una manera prctica de utilizar el algoritmo o mtodo de Newton consiste en repetir el procedimiento hasta queciertos dgitos del resultado se estabilicen. As, si se desean dos cifras decimales exactas, se repite el procedimientohasta que la tercera cifra decimal se empiece a repetir y las dos primeras estn completamente estabilizadas.

Ejemplo 1

Use el mtodo de Newton para resolver la ecuacin5

ln ,xx

con tres cifras decimales exactas.Solucin

Escribamos la ecuacin en la forma

( ) ln 5 0; 0.f x x x x !Por simple inspeccin se encuentra que las races deben caer en el intervalo (1, 10) ya que f (x) cambia de signo en l y,

adems, en el intervalo (0,1] la funcin es siempre negativa y en [10, )f es siempre positiva.Tambin, como la funcin es creciente en [1,10] ya que ( ) 1 ln 0,f x xc ! slo existe una raz entre 1 y 10.

430

Ahora,

1( ) ,f x

xcc

y por tanto:

(1) 5; (1) 1, (10) 18 y (10) 0.1;f f f fcc cc | en consecuencia, de acuerdo a la observacin ii elegiremos el punto 10 como aproximacin inicial.

Sea a = 10 el primer valor; entonces:

1

( ) (10ln10 5)10 4.5419.

( ) (1 ln10)

f aa a

f a

|c Repetimos ahora el procedimiento a partir del punto 1 4.5419a y obtenemos

12 1

1

( ) (4.5419ln 4.5419 5)4.5419 3.7965.

( ) (1 ln 4.5419)

f aa a

f a

|c Continuando tenemos:

23 2

2

34 3

3

( ) (3.7965ln 3.7965 5)3.7965 3.7687.

( ) (1 ln 3.7965)

( ) (3.7687 ln 3.7687 5)3.7687 3.7687.

( ) (1 ln 3.7687)

f aa a

f a

f aa a

f a

|c |c En este punto se observa que las tres primeras cifras decimales se han estabilizado (el 7 que ocupa la cuarta cifra decimalen a

3 y a

4se ha obtenido por redondeo, as que su estabilidad puede ser aparente), con lo cual se puede considerar resuelto

el problema.

Ejemplo 2

Use el mtodo de Newton para calcular 7 con tres cifras decimales exactas.

Solucin

El problema propuesto es equivalente a resolver la ecuacin 2( ) 7 0.f x x Como (2) 3 y (3) 2,f f entonces la raz buscada est en el intervalo (2, 3). Ms an, como f (x) es creciente en elintervalo (2, 3), slo existe una raz en dicho intervalo.


Ahora,

( ) 2 ( ) 2f x x y f xc cc ,luego

(2) (3) 0f fcc cc ! .De acuerdo a la observacin ii se debe elegir el punto a = 3 como aproximacin inicial ya que en l la funcin y su segundaderivada tienen el mismo signo.

Hallemos la forma particular de la ecuacin de recurrencia

2

1

( ) ( 7) ( 7).

( ) 2 2n n n

n n nn n n

f a a aa a a

f a a a

c

Iniciando las iteraciones con a = 3 tenemos:

2

1

21

21

22

32

( 7) (3 7)2.6667,

2 6

( 7) (2.6667 7)2.6458,

2 2 2.6667

( 7) (2.6458 7)2.6458.

2 2 2.6458

aa

a

aa

a

aa

a

| |u |u

Se puede mostrar que 7 2.645751| con seis cifras decimales exactas; por tanto, dos aplicaciones del mtodo (hasta 2 )abastaron para obtener tres cifras decimales exactas.

3 Mtodos numricos de integracin

El clculo de una integral definida exige conocer la primitiva o antiderivada de la funcin que se est integrando.Infortunadamente, en muchsimas ocasiones, a pesar de saber que la integral existe, la primitiva no se conoce, no se puedeexpresar en trminos de un nmero finito de funciones elementales o es muy difcil de calcular; es en estos casos cuandoson tiles los mtodos aproximados de integracin que estudiaremos enseguida.

3.1 Mtodo 1: Regla del trapecio

Sea ( )f x una funcin continua en [ , ]a b y ^ `0 ,..., nP a x x b una particin de [ , ]a b en n subintervalos iguales delongitud .

b ah

n

432

Entonces,

> @0 1 2 1( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ... 2 ( ) ( ) .2b n na hf x dx f x f x f x f x f x | A continuacin presentaremos una justificacin de la frmula anterior.

Por la definicin de integral definida sabemos que cualquier suma de Riemann puede tomarse como una aproximacin alvalor de la integral, y que dicha aproximacin mejora a medida que hacemos ms y ms pequea la norma de la particin del

intervalo [ , ]a b .

Si it es un punto cualquiera del i-simo intervalo 1[ , ],i ix x entonces

1

( ) ( ) .nb

i iai

f x dx f t x | 'Ahora, si tomamos 1i it x , o sea, si evaluamos la suma de Riemann en los extremos izquierdos de los subintervalosdeterminados por la particin y tomando todos los ix' iguales entre s e iguales a h, la aproximacin anterior se convierteen

1 11 1

( ) ( ) ( ).n nb

i iai i

f x dx f x h h f x | De igual manera, tomando i it x , o sea, evaluando la sumatoria en los extremos derechos de los intervalos determinadospor la particin, la aproximacin se convierte en:

1

( ) ( ).nb

iai

f x dx h f x | Una aproximacin que muchas veces es ms cercana al valor de la integral es el promedio de las dos anteriores, esto es,

11 1

( ) ( ) ( ) .2

n nb

i iai i

hf x dx f x f x

Exceptuando 0( ) y ( )nf x f x que aparecen una sola vez, los dems ( )if x aparecen dos veces cada uno en las sumatorias

del lado derecho; por tanto, se puede escribir

> @0 1 2 1( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ... 2 ( ) ( ) ,2b n na hf x dx f x f x f x f x f x | que es la frmula que queramos justificar.


Observaciones

i. Si ( )f x es no negativa en [ , ]a b (figura 4), la frmula aproximada que hemos obtenido equivale a sumar las reas de

los trapecios (parte sombreada de la figura); de ah su nombre de regla o frmula del trapecio.

Figura 4

ii. Una cota superior para el error cometido al utilizar la regla del trapecio est dada por

3

2

( )

12

M b a

n

,

en donde M es un nmero positivo tal que ( )f x Mcc d para todo x de [ , ],a b y n es el nmero de subintervalosque determina la particin (no se demostrar esta frmula por exigir recursos avanzados).

Ejemplo 1

Utilice la regla del trapecio para calcular 2

1

dx

x con 5.n Solucin

( ) (2 1)0.2.

5

b ah

n

La particin ser entonces

^ `1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0 .

434

Los valores funcionales que entran en la suma, calculados hasta la cuarta cifra decimal, son:

1(1) 1.0000.

12

2 (1.2) 1.6667.1.22

2 (1.4) 1.4286.1.42

2 (1.6) 1.2500.1.62

2 (1.8) 1.1111.1.8

1(2.0) 0.5000.

2suma 6.9564

f

f

f

f

f

f

Por tanto podemos escribir:

2

1

0.2 6.95640.6956.

2

dx

x

u| |Si queremos conocer una cota superior del error cometido, de acuerdo a la frmula dada en la observacin ii necesita-mos calcular un valor para M.

Sabemos que 21

( )f xx

c y que 32( )f x xcc , luego el valor mximo de ( )f xcc en [1,2] ocurre en el punto 1;x portanto,

3

2( ) 2.

1f xcc d

En consecuencia, el mximo error posible no puede ser mayor que

3 33

2 2

( ) 2(2 1)7 10 .

12 12 5

M b a

n uu

Lo anterior significa que no tenemos ninguna seguridad en la tercera cifra decimal.

@2 211 ln ln 2 0.69315.dx xx En este problema es fcil calcular el valor exacto de la integral.


En efecto,

@2 211 ln ln 2 0.69315,dx xx lo que nos muestra que la aproximacin que encontramos slo tiene dos cifras decimales exactas.

3.2 Mtodo 2: Regla de Simpson o regla de la parbola

Sea ( )f x un funcin continua en [ , ]a b , sea n un entero positivo par y ^ `0 1 2 1, , ,..., ,n na x x x x x b una particin regularde [ , ]a b , es decir,

b ah x

n

' . Entonces:> @0 1 2 3 2 1( ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ... 2 ( ) 4 ( ) ( ) .3b n n na hf x dx f x f x f x f x f x f x f x | (1)

Esta ltima igualdad aproximada se conoce como la regla de Simpson o regla de la parbola.

Daremos enseguida una justificacin para esta frmula de aproximacin.

Comencemos por calcular el rea encerrada por la parbola que pasa por los puntos 0 1 2,P P y P (figura 5), el eje x y las rectas

0 2 .x x y x x Supongamos adems que 1 0 2 1x x x x h y que el eje y pasa por el punto 1.P

Figura 5

Sabemos que el rea limitada superiormente por la parbola 2y Ax Bx C y lateralmente por las rectas yx h x h viene dada por:

3 22 32( ) 2 .

3 2 3

hh

hh

Ax Bx AA Ax Bx C dx Cx h Ch

(2)

436

Ahora, puesto que los puntos 0 1 2,P P y P pertenecen a la parbola, entonces se verifica que

20 ,y Ah Bh C (3)1 ,y C (4)

22 .y Ah Bh C (5)

Resolviendo el sistema anterior para A, B y C se obtiene:

0 2 1 2 1 12

1 1( 2 ); ( ) ; ,

22A y y y B y y C y

hh

con los cuales, despus de sustituir en (2) y simplificar, se obtiene para el rea del segmento parablico:

0 1 2

1( 4 ).

3A h y y y (6)

Para deducir la frmula (1), y como su nombre lo indica, puesto que tenemos un nmero par de puntos 0 1 2 2, , ,..., mP P P P

y para los cuales ib a

x hn

' , podemos considerar segmentos parablicos que pasan por cada tres puntos conse-cutivos (figura 6). Es decir,

2 4 2

0 2 2 2

( ) ( ) ... ( ) .m

m

x x x

x x xA f x dx f x dx f x dx

Figura 6

Como para cada tres puntos f (x) se aproxima a un arco parablico, se tiene entonces de acuerdo con (6):

> @ > @ > @> @0 1 2 2 3 4 2 2 2 1 20 1 2 3 4 2 2 2 1 24 4 ... 4

3 3 3

4 2 4 2 ... 2 4 .3

m m m

m m m

h h hA y y y y y y y y y

hy y y y y y y y

| |


Es decir,

> @0 1 2 3 4 1( ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 2 ( ) ... 4 ( ) ( ) .3b n na hf x dx f x f x f x f x f x f x f x| Nota: el nmero 2m de los puntos de divisin es arbitrario, pero cuanto mayor sea este nmero, mejor es la aproximacinque se alcanza con respecto al valor real de la integral.

Ejemplo 2

Utilice la regla de Simpson para calcular un valor aproximado de la integral 2

1

1dx

x tomando 6.n Solucin

2 1 1.

6 6h x

' Los puntos de la particin son:

0 1 2 3 4 5 0

7 8 4 3 5 111, , , , , , 2.

6 6 3 2 3 6x x x x x x x

Entonces, de acuerdo a la regla de Simpson:

> @2 0 1 2 3 4 5 61 1 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( )31 24 3 8 6 24 1

1 0.69316.18 7 2 3 5 11 2

hdx f x f x f x f x f x f x f x

x|

|

Como vimos antes el valor exacto de la integral es 0.69315, lo que nos muestra que la aproximacin con la regla de Simpsonpresenta cuatro cifras decimales exactas.


Apndice IIOtros sistemas de coordenadas

En este apndice incluiremos tres nuevos sistemas de coordenadas muy importantes, uno de ellos en el plano y los otrosdos en el espacio. Estos dos ltimos desempean un papel muy trascendente en algunos clculos que se presentan conintegrales dobles y triples y que son tediosos y difciles de efectuar en el sistema de coordenadas rectangulares.

1 Sistema de coordenadas polares

Para definir las coordenadas polares de un punto en el plano fijamos inicialmente en l un punto O llamado origen (polo)y un rayo inicial (eje polar) desde O (figura 1a).

Figura 1

A cada punto P del plano puede asignrsele un par de coordenadas, ( , ),r T llamadas coordenadas polares del punto Py tales que:

r: distancia dirigida de O a P.

: ngulo (positivo o negativo y expresado en radianes) formado por el eje polar y el rayo OP (figura 1b).

Observaciones:

i. Para un ngulo dado , la coordenada r puede ser positiva o negativa, dependiendo de si se toma sobre OP osobre su prolongacin. En la figura 2 se ilustra esta situacin para diferentes puntosen el plano polar.

440

Figura 2

ii. Un punto ( , )P r T en coordenadas polares puede tener diferentes representaciones segn la escogencia que sehaga de las coordenadas r y TAs por ejemplo, el punto 3,

4P

S (figura 3a) puede tener las siguientes representaciones:1

33, 3,

4 4P P

S S (figura 3b)2

53,

4P

S (figura 3c)3

73,

4P

S (figura 3d)4

93,

4P

S (figura 3e)De aqu se deduce que no existe una correspondencia biunvoca entre los puntos ( , )P r T y los puntos del plano,como s se cumple en el sistema de coordenadas rectangulares.

Figura 3


1.1 Relacin entre las coordenadas rectangulares y polares

Para establecer la relacin existente entre los sistemas de coordenadas polares y rectangulares, hacemos coincidir inicial-mente los dos planos. Es decir, el polo del plano polar coincidiendo con el origen del plano cartesiano y el eje polar con eleje x (figura 4).

Figura 4

De esta forma para el punto P podemos establecer las siguientes relaciones, que se deducen fcilmente de la figura 4;

2 2 2 2 2 .x y r r x y r (1)1tan tan .

y y

x x T T (2)

cos cosx

x rr

T T (3)sen sen

yy r

r T T (4)

Si conocemos las coordenadas rectangulares del punto ( , ),P x y entonces usando (1) y (2) podemos determinarlas coordenadas polares ( , )P r T del mismo punto.

Si conocemos las coordenadas polares ( , )P r T del punto, entonces usando (3) y (4) podemos determinar lascoordenadas rectangulares ( , )P x y del mismo punto.

Ejemplo 1

Escriba en coordenadas rectangulares los siguientes puntos dados en coordenadas polares:

a. 1(3, ).P S b. 2 32, .4P S

442

Solucin

a. Como 3 y =r ST , se sigue entonces de (3) y (4) que:cos 3 cos 3,

sen 3 sen 0.

x r x

y r y

S S TTEn consecuencia, el punto 1(3, )P S en coordenadas polares tiene su homlogo 1( 3,0)P en coordenadasrectangulares.

b. Como 3

2 y 4

rS T , se deduce entonces de (3) y (4):

3cos 2 cos 1,

4

3sen 2 sen 1.

4

x r

y r

S S TT

En consecuencia, el punto 23

2,4

PS en coordenadas polares tiene su homlogo 2 (1, 1)P en coordenadas

rectangulares.

Ejemplo 2

Escriba en polares ( 0, 0 2 )r ! d ST los siguientes puntos dados en coordenadas rectangulares:a.

1 ( 3,1).P b. 2 ( 2, 2 3).P Solucin

En la figura 5 aparecen los puntos localizados en el plano cartesiano, los cuales nos ayudarn a determinarlos en coorde-nadas polares.

Figura 5


a. Como 3x e y = 1, se deduce entonces de (1) y (2) que:2 2 2 2

1

( 3) 1 2,

1 5tan .

63

r x y

S T

En consecuencia, el punto 2 ( 3,1)P en coordenadas rectangulares tiene su correspondiente 2 52, 6P S en coor-

denadas polares.

b. Similarmente, como 2 e 2 3x y (figura 5b), se deduce de (1) y (2) que:2 2 4 12 4,r x y

1 4tan ( 3)3

S T (puesto que x < 0 y y < 0).Luego el punto 2

44,

3P

S es el correspondiente en coordenadas polares al punto 2 ( 2, 2 3)P en coordena-das rectangulares.

Las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) no slo son tiles para transformar puntos de un sistema a otro, sino que tambin permiten

expresar una relacin de la forma ( )y f x en una de la forma ( )r f T y viceversa, como lo mostraremos en la prximaseccin.

1.2 Grfica de ecuaciones en coordenadas polares

La grfica de una ecuacin en coordenadas polares ( , )r T consiste en todos aquellos puntos P que tienen por lo menosun par de coordenadas que satisfacen la ecuacin.

Se llama ecuacin polar a la ecuacin de una grfica cuyos componentes se dan en coordenadas r y T , para distinguirlade la ecuacin cartesiana cuyas componentes se dan en trminos de x e y.

Ejemplo 3

Escriba la ecuacin polar de las siguientes ecuaciones cartesianas:

a. 2 2 16.x y b. 2 2 2 2 2( ) 4( ).x y x y

444

Solucin

a. De acuerdo con (1), 2 2 2 .x y r Luego, en nuestro caso, 2 2 16.x y As que 2 16,r lo cual implica que 4.r rEsto es, 4r o 4r representa en coordenadas polares la ecuacin de una circunferencia centrada en elpolo y radio 4.

Nota: en coordenadas polares, la ecuacin r = 4 o 4r se lee:Cualquiera que sea el ngulo ,T r = 4Cualquiera que sea el ngulo ,T 4r

Note adems que ambas ecuaciones representan la misma circunferencia, pero recorridos en formas diferentes.

b. Usando las ecuaciones (1), (3) y (4) podemos escribir en este caso:

2 2 2 2 2 2 4 2

2 2

2

( ) 4( cos sen ) 4 cos 2

( 4cos 2 ) 0

0 4cos 2 .

r r r r r

r r

r r

T T TT T

Pero r = 0 (ecuacin del polo), lo cual indica que la curva pasa por el origen.

La otra igualdad, 2 4cos 2r T representa la ecuacin polar de la ecuacin cartesiana dada.Ejemplo 4

Escriba la ecuacin cartesiana de las siguientes ecuaciones polares:

a. 2 2 sen 2r T b. 6 , 0.2 3 sen

r r ! TSolucin

a. En primer lugar,

2 22 sen 2 2 2 sen cosr r T T T


Ahora, usando las igualdades (1), (3) y (4), se puede escribir la ltima igualdad:

2 2

2 2 2

4 42 2 .

y x xy xyx y

r r r x y

Es decir, 2 2 2( ) 4x y xy es la ecuacin cartesiana de la ecuacin polar dada.b. La ecuacin

6

2 3senr T puede escribirse en las formas equivalentes:

2 2

6 6 632 3sen 2 32

2 3 6

2 6 3 .

rr r

y r yr

r y

x y y

T

Esto es, la ecuacin 2 22 6 3x y y es la ecuacin cartesiana de la ecuacin polar dada.1.2.1 Algunas grficas importantes en coordenadas polares

i. La ecuacin en su forma polar

( : en radianes)

= 2 n

T D DT D r Srepresenta una lnea recta que pasa por el polo, formando un ngulo D con el eje polar (figura 6a).

ii. La ecuacin en su forma polar

sen cscr b r b T Trepresenta una recta paralela al eje polar, que corta al rayo

2

Sb unidades por encima o por debajo del polo

(figuras 6b y 6c).

iii. La ecuacin en su forma polar

cos secr a r a T Trepresenta una recta paralela al rayo

2

S, que corta al eje polar a unidades a la derecha (a > 0) o a la izquierda

(a < 0) del polo (figuras 7a y 7b).

446

Figura 6

Figura 7

iv. La ecuacin en su forma polar:

r = c, c = constante,

representa una circunferencia centrada en el polo y cuyo radio es c (figura 8).

Las curvas r = c o r c representan la misma circunferencia, slo que su recorrido se inicia en el punto (c, 0)o en el punto ( c , 0) (figuras 8a y b).


Figura 8

v. Considere ahora la ecuacin en forma cartesiana:

2 2 2 2 0,x y ax by la cual representa una circunferencia que pasa por el origen, cuyo centro es el punto ( , )C a b y su radio es

2 2 .a bPara analizar la ecuacin dada la escribiremos en la forma polar as:

2 2 cos 2 sen 0 ( 2 cos 2 sen ) 0

0 (ecuacin del polo)

2 cos 2 sen

r ar br r r a b

r

r a b

T T T T

T TEs decir,

2 cos 2 senr a b T T (*)representa la misma circunferencia.

Si b = 0, entonces (*) se transforma en:2 cosr a T

la cual representa una circunferencia con centro en el punto ( ,0)C a y que pasa por el polo (figuras 9a y 9b).

448

Figura 9

Si a = 0, entonces (*) se transforma en:2 senr b T

la cual representa una circunferencia con centro en el punto ,2

C bS y que pasa por el polo (figuras 10a

y 10b).

Figura 10

vi. La grfica de una ecuacin en la forma polar

cos

sen

r a n

r a n

TT

representa una rosa de n ptalos si n es impar, y de 2n ptalos si n es par.


As por ejemplo, la ecuacin 2 sen 3r T representa una rosa de tres ptalos, como la que aparece en la figura 11a.

Figura 11

La ecuacin 3 cos 2r T representa una rosa de cuatro ptalos, como la que aparece en la figura 11b.vii. La grfica de una ecuacin de cualquiera de las formas:

cos

con 0, 0

sen

r a b

a b

r a b

r ! ! rTT

se denomina limazn (figura en forma de caracol) y su forma depende de la relacin entre los valores de a y bas:

Si a = b, se llama cardiode (figura 12). Si 0 1,a

b se llama limazn con nudo (figura 13).

Si 1 2,ab

se llama cardioide con hendidura (figura 14). Si 2,a

bt se llama limazn convexo (figura 15)

viii. La grfica de una ecuacin de cualquiera de las formas:

2 2

2 2

cos 2

sen 2

r a

r a

r r TTrepresentan curvas en forma de aspa de hlice y se denominan lemniscatas (figura 16).

450

Figura 12

Figura 13

Figura 14

Figura 15


Figura 16

Para trazar todas las curvas mencionadas anteriormente y muchas otras de importancia que aparecen en el clculo, seprecisa conocer de ellas algunas propiedades adicionales: simetras, pertenencia o no pertenencia del polo a la curva,tangentes en el origen, valores mximos y mnimos, etc., las cuales para su uso mencionamos a continuacin:

1.2.2 Elementos adicionales para trazar curvas en polares

SimetrasSea ( )r f T la ecuacin de una curva en coordenadas polares. Entonces: (1)i. Si la ecuacin (1) no vara al sustituir:

(T por T ) o (r por r y T por S T ),entonces la curva es simtrica con respecto al eje polar (figura 17).

Figura 17

452

ii. Si la ecuacin (1) no vara al sustituir

(T por )S T o (r por r y T por )T ,entonces la curva es simtrica con respecto al rayo

2

S(eje y) (figura 18).

Figura 18

iii. Si la ecuacin (1) no vara al sustituir

(r por r) o (T por S T ),entonces la curva es simtrica con respecto al polo (origen) (figura 19).

Figura 19

Observacin

Dos simetras implican la tercera. As por ejemplo, si una curva ( )r f T es simtrica con respecto al eje polar y conrespecto al rayo

2

S, entonces tambin es simtrica con respecto al origen.


Tangentes en el origenCuando el polo (origen) pertenece a la curva, al hacer r = 0 en (1) se obtiene ( ) 0.f T (2)La ecuacin (2) es una ecuacin trigonomtrica que al resolverla para T da:

1 2 3, , , ..., .n T D T D T D T DEntonces, las rectas 1 2 3, , , ..., n T D T D T D T D son las rectas tangentes en el origen de la curva

( )r f T .Las tangentes en el origen, conjuntamente con las simetras, permiten conocer la grfica de muchas curvas encoordenadas polares con no muchos valores de T y los correspondientes valores de r.

Mximos y mnimos de r = f TEn muchas ocasiones los mximos y/o mnimos de r ayudan a construir la grfica.

Para determinarlos, hallamos los valores de T para los cuales ( ) 0r fc c T o ( )f c T no existe, y los correspon-dientes valores de r.

Ejemplo 5

Trace la grfica correspondiente a ( ) 2sen 3 .r f T T (1)Solucin

De acuerdo a 1.2.1 (vi), la grfica corresponde a una rosa de tres ptalos. Para trazarla, usemos los elementos adicio-nales descritos en 1.2.2.

Simetras

i. Eje polar: cambiar (T por T ) o (r por r y T por ).S TAl cambiar T por T en la ecuacin (1) resulta:

2 sen 3( ) 2 sen ( 3 ).r T TPero sen ( 3 ) sen (3 ). T TLuego

2sen 3 .r T (2)Al comparar (1) y (2) se deduce que la ecuacin de la curva s vara y, por tanto, la curva no es simtrica conrespecto al eje polar.

454

De otro lado, al cambiar r por r y T por ( )S T en (1) resulta:2 sen 3 ( ) 2 sen (3 3 ) 2 sen (3 ) 2 sen 3 .r r S T S T T T (3)

Al comparar (1) y (3) se deduce que la ecuacin s vara y, por tanto, la curva no es simtrica con respecto al ejepolar.

ii. Rayo 2

S: cambiar (T por )S T o (r por r y T por ).T

Al cambiar T por ( )S T en (1) se obtiene: = 2 sen 3( ) 2 sen (3 3 ) 2 sen 3 ,r S T S T T

entonces se obtiene

2 sen 3r Ty la ecuacin de la curva no vara, lo cual indica que 2 sen 3r T s es simtrica con respecto al rayo

2

S.

Geomtricamente esto indica que la parte de la grfica de los cuadrantes I y IV se refleja exactamente en los cuadran-tes II y III.

iii. Con respecto al polo.

No es simtrica con respecto al polo (demustrelo por reduccin al absurdo).

Tangentes en el origenAl hacer r = 0 en la ecuacin (1), podemos escribir:

0 2 sen 3 . T Resolviendo para T la ecuacin trigonomtrica anterior, se obtiene:

3 2 , .n n `T S De aqu,

2, .

3

nn `ST

Esta frmula proporciona todas las tangentes en el origen.

Esto es,


2 4 60, , , , etc...

3 3 3 S S ST T T T

son las rectas tangentes a la curva en el origen.

Tabla de valoresLa tabla de valores que se adjunta, conjuntamente con la simetra y las tangentes en el origen, es suficiente paratrazar toda la curva.

Tabla 1

Al llevar al plano polar los pares de valores de r y de la tabla 1 se obtiene la porcin de curva que aparece en lafigura 20a.

Figura 20

Como la curva es simtrica con respecto al rayo 2

S, entonces la porcin de curva en el primer cuadrante se refleja en el

segundo y la porcin de curva en el tercer cuadrante se refleja en el cuarto, obteniendo as la grfica completa que apareceen la figura 20b.

rad

0 10 15 20 30 40 45 50 60 70 75 80 90

3 0

r 0 1 2 1 0

2

S49

S512

S718

S3

S518

S4

S29

S6

S9

S12

S18

S06

S4

S3

S2

S 23

S 34

S 56

S S 76

S 54

S 43

S 32

S2 3 3 2 1 2 3 2

456

1.3 rea entre curvas en coordenadas polares

La idea central en esta seccin es establecer, usando integrales, una frmula para determinar el rea de una cierta regin

acotada por las grficas de dos curvas en polares ( )r f T , ( )r g T y las rectas y T D T E que pasan por el polo(figura 21a).

Usaremos la aproximacin en forma diferencial para calcular el rea.

Para ello consideremos el rea sombreada como el rea de la corona circular de radio exterior ( )r f H T , radio interior( )ir g T y ngulo central dT (figura 21b).

Figura 21

De acuerdo a la figura 21b:

2 21 1

2 2 idA r d r d H T T (ejemplo 9 de la seccin 18.2)

2 2 2 21 1( ) ( ) ( ) ( ) .2 2

f g d A f g d EDT T T T T T (1)Observaciones

i. En la frmula (1) D y E son las rectas de interseccin de las dos curvas, es decir, los valores de T para loscuales ( )f T = ( ).g T

ii. En muchas ocasiones, la igualdad ( ) ( )f g T T no proporciona todas las rectas de interseccin entre ( )r f T y ( )r g T .Si en estos casos se quieren conocer todas las rectas de interseccin se deben expresar ( )f T y ( )g T en todas susrepresentaciones posibles y luego buscar las intersecciones entre todas ellas.

En particular, se debe tener en cuenta que si ( )r f T es la ecuacin de una curva en polares, entonces la mismacurva viene dada por ( 1) ( ), .n r f n n ]T S


Ejemplo 6

Use coordenadas polares para determinar el rea que est fuera del crculo 4 cos ,r T pero interior al limazn con nudo1 2 cos .r T

Solucin

En la figura 22 aparecen dibujadas las dos curvas y el rea sombreada por determinar.

Figura 22

Determinemos inicialmente los puntos de interseccin entre las curvas.

As,

11 2 cos 4 cos cos

2 T T T

1 1 cos , .2 3 3

S STTambin,

2

3

S T resulta de intersecar 1 2cosr T (otra forma de la ecuacin del limazn usando la observacin ii)con el crculo 4cosr TAhora, como la regin es simtrica con respecto al eje polar, podemos asumir que el rea total 12 .A A Pero,

2 2 32 2 21 3 2

2 3 22 2

3 3

1( )

2

1 1,

2 2

L c L

L c

A r r d r d

r d r d

S SS SS S

S S

T TT T

458

donde Lr corresponde al r del limazn y cr corresponde al r del crculo.

Entonces,

23

3

2 3 22 21 3 3

2 3 2

3 3

23

2 (1 2cos ) (4cos )

(1 4cos 2 2cos 2 ) (8 8cos 2 )

[3 4sen sen 2 ] [8 4sen 2 ]

4 3 3[ 3] 2 3 3 .

3 3 3

A A d d

d d

SS

S SS SS SS S SS

T S S S S

T T T TT T T T TT T T T

2 Sistema de coordenadas cilndricas

En este sistema, a un punto 3( , , )P x y z (espacio eucldeo) le asociamos la terna (r,T ,z), donde ( , )r T son las coordena-das polares de la proyeccin del punto P sobre el plano x-y. Esto es, (r, )T son las coordenadas polares del punto

( , ,0)P x yc (figura 23).Por esta razn, algunos autores llaman a las coordenadas cilndricas (r,T , z) coordenadas polares de 3 , y en las cualesla tercera componente que mide la altura del punto P al plano x-y coincide con la del sistema rectangular.

Figura 23

Con las restricciones 0r t y 0 2 ,d T S cualquier punto de 3 que no est en el eje z tiene una representacin nica(r,T , z).2.1 Relacin entre las coordenadas cartesianas y cilndricas

Como (r, )T son las coordenadas polares de la proyeccin Pc sobre el plano x-y, se tiene entonces: cos ,x r T (1)


sen ,y r T (2) .z z (3)

Tambin,

2 2 2 2 2 ,r x y r x y (4)1tan tan .

y y

x x T T (5)

Si conocemos las coordenadas rectangulares ( , , )P x y z de un punto de 3 , entonces, usando (3), (4) y (5),podemos determinar las coordenadas cilndricas ( , , )P r zT del mismo punto, donde el cuadrante al cual pertene-ce T est determinado por los signos de x e y.

Si conocemos las coordenadas cilndricas ( , , )P r zT de un punto de 3 , entonces, usando las ecuaciones (1),(2) y (3), podemos determinar las coordenadas cartesianas ( , , )P x y z del mismo punto.

Estas ecuaciones tambin sern usadas en el prximo curso Clculo III para transformar la ecuacin de una superficie deun sistema de coordenadas a otro.

As por ejemplo, la superficie:

2 2 23 0x y z que est en coordenadas cartesianas es equivalente a:

2 23 0r z en coordenadas cilndricas.Ejemplo 7

Exprese en coordenadas cartesianas el punto P(4,3

S, 2) dado en coordenadas cilndricas:

Solucin

Como r = 4, T = 3S y z = 2, se tiene entonces de (1), (2) y (3) que:1

cos 4cos 4 2,3 2

x r ST3

sen 4sen 4 2 3,3 2

y r ST2.z

460

Por tanto, P(2, 2 3 , 2) son las coordenadas cartesianas del mismo punto.

Ejemplo 8

Escriba las coordenadas cilndricas del punto cuyas coordenadas cartesianas son P(4, 0, 1).

Solucin

Como 4, 0, 1x y z , se tiene entonces de (3), (4) y (5) que:2 2 4,r x y

1 10tan tan 04

T S (puesto que x < 0),z = 1.

De esta forma, las coordenadas cilndricas del punto dados son (4, ,1).P S2.1.1 Algunas ecuaciones de superficies importantes en coordenadas cilndricas

i. r = c (radio polar constante, cualquiera que sea el valor de T y de z) representa un cilindro circular recto de radio cy cuyo eje es el eje z (figura 24a).

ii. T D (ngulo T constante, independiente de los valores de r y z) representa un semiplano unido al eje z,formando un ngulo D con el eje x (figura 24b).

iii. z = k (z es constante para todos los valores de r y T ) representa un plano horizontal paralelo al plano x-y(figura 24c).

Figura 24


3 Sistema de coordenadas esfricas

Otro sistema coordenado de 3 y de gran importancia en el clculo es el de las coordenadas esfricas, y en el cual acada punto P(x, y, z) en coordenadas rectangulares le corresponde el punto ( , , ),P U T M donde:

U : distancia del punto P(x, y, z) al origen de coordenadas.T : ngulo que forma la proyeccin del punto P sobre x-y con la parte positiva del eje x.M : ngulo que forma el vector OP con la parte positiva del eje z (figura 25).Los rangos de variacin de cada una de estas coordenadas dependen de la manera como se efecta la medicin.

As:

0tU , 0 2d T S , 0 .d dM S

Figura 25

3.1 Relacin entre las coordenadas cartesianas y esfricas

Las relaciones que aparecen en la figura 25 para x, y, z, r se deducen fcilmente como sigue:

En el tringulo rectngulo ORP se tiene:

sen sen ,RP

RP M U MUsen ,OQ RP r U M (1)

cos cos .OR

OR QP z M U MU (2)

462

Ahora, en el tringulo OTQ se tiene:

sen seny

y rr

T T sen sen .y U M T (3)

cos cosx

x rr

T T sen cos .x U M T (4)

De otro lado, usando las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) podemos deducir adems:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sen cos sen sen cosx y z U M T U M T U M2 2 2 2 2 2 sen (cos sen ) cos U M T T U M2 2 2 2 2 2 2 2 sen cos (sen cos ) . U M U M U M M U

Esto es,

2 2 2 2 2 2 2 ? .x y z x y z U U (5)Tambin,

1tan tan .y y

x x T T (6)

1 1

2 2 2cos cos .

z z

x y z

M MU (7) Si conocemos las coordenadas rectangulares ( , , )P x y z de un punto de 3 , entonces, usando (5), (6) y (7),

podemos determinar las coordenadas esfricas ( , , )P U T M del mismo punto. Si conocemos las coordenadas esfricas ( , , )P U T M de un punto P de 3 , entonces, usando (2), (3) y (4),

podemos determinar las coordenadas rectangulares ( , , )P x y z del mismo punto.

Ejemplo 9

Escriba las coordenadas esfricas del punto cuyas coordenadas cartesianas son ( 2, 2 3, 4)P .


Solucin

Como 2, 2 3, 4x y z , se tiene entonces de (5), (6) y (7) que2 2 2 2 2 2( 2) (2 3) 4 4 2.x y z U1 1 2tan tan ( 3) .

3

y

x ST

1 1

2 2 2

4cos cos .

44 2

z

x y z

SMPor tanto,

24 2, ,

3 4P S S son las coordenadas esfricas del punto en mencin.

Ejemplo 10

Escriba las coordenadas rectangulares del punto cuyas coordenadas esfricas son 4, ,6 6

P S S .

Solucin

Como 4, U6

ST ,6

SM , se tiene entonces de (2), (3) y (4):3

cos 4 cos 4 2 3.6 2

z SU M1 1

sen sen 4 sen sen 4 1.6 6 2 2

y S SU M T1 3

sen cos 4 sen cos 4 3.6 6 2 2

x S SU M TPor tanto, ( 3, 1, 2 3)P son las coordenadas cartesianas del punto 4, ,

6 6P S S en coordenadas esfricas.

3.1.1 Algunas ecuaciones de superficies importantes en coordenadas esfricas

i. c U (todos los puntos de 3 cuya distancia al origen es constante) representa una esfera de radio c y centrada en (0, 0, 0) (figura 26a).

ii. T D (ngulo T constante, independiente de los valores de U y M ) representa un semiplano unido al ejez formando un ngulo D con el eje x (figura 26b).

464

iii. M E (ngulo E constante, independiente de los valores de U y T ) representa:Un cono abierto hacia arriba (figura 26c) si 0 .

2 SE

Un cono abierto hacia abajo (figura 26d) si .2 S E S

iv.2

SM representa el plano x-y.

Figura 26

Apndice IIITABLA DE INTEGRALES

Integrales elementales

1. du u C 2. a du au C 3. [ ( ) ( )] ( ) ( )f u g u du f u du g u du 4.

1

( 1)1

nn uu du C n

n

z 5. ln

duu C

u

Integrales que contienen a + bu

6. 21

[ ln ]u du

a bu a a bu Ca bu b

7.

22 21

23

1( ) 2 ( ) ln

u dua bu a a bu a a bu C

a bu b

8. 2 21

ln( )

u du aa bu C

a bua bu b

9.

2 2

2 3

12 ln

( )

u du aa bu a a bu C

a bua bu b

10. 3 2 2

1 1

( ) 2( )

u du aC

a bua bu b a bu

11.

1ln

( )

du uC

u a bu a a bu

12. 2 21

ln( )

du b a buC

au uu a bu a

13. 2 2

1 1ln

( )( )

du uC

a a bu a buu a bu a

Integrales que contienen a bu14.

3 / 22 (3 2 )( )15

u a bu du bu a a bu Cb

15.2 2 2 2 3 / 2

3

2(15 12 8 )( )

105u a bu du b u abu a a bu C

b

16.3 / 2

12 ( ) 2

(2 3) (2 3)

nn nu a bu anu a bu du u a bu du

b n b n

17. 22

( 2 )3

u dubu a a bu C

ba bu

18.2

2 2 2

3

2(3 4 8 )

15

u dub u abu a a bu C

ba bu

19.12 2

(2 1) (2 1)

n n nu du u a bu an u du

b n b na bu a bu

1

1ln si 0

20.2

tan si < 0

a bu aC a

a a bu adu

u a bu a buC a

aa

!

21. 1 1(2 3)

2 ( 1)( 1) nn ndu a bu b n du

a na n uu a bu u a bu

22. 2a bu du du

a bu au u a bu

23.

3/ 2

1 1

( ) (2 5)

2 ( 1)( 1)n n na bu du a bu b n a bu du

a nu a n u u

Integrales que contienen 2 2ra u24.

1

2 2

1tan

du uC

a aa u

25.

1

2 21

1tanh si

1ln

12coth si

uC u a

du u a a aCua u aa u

C u aa a

!1

2 21

1tanh si

126. ln

12coth si

uC u a

du u a a aCua u au a

C u aa a

!

Integrales que contienen 2 2ru a

En las frmulas 27 a 38 puede reemplazarse

En2 2u u a por 1senh .u

a

En2 2u u a por 1cosh .u

a

En

2 2a u a

u

por 1senh .

a

u

27.2 2

2 2ln

duu u a C

u a r r

28.2

2 2 2 2 2 2ln2 2

u au a du u a u u a Cr r r r

29.4

2 2 2 2 2 2 2 2 2(2 ) ln8 8

u au u a du u a u a u u a Cr r r r

30.

2 2 2 22 2 ln

u a du a u au a a C

u u

31.

2 22 2 1sec

u a du uu a a C

u a

32.2 2 2 2

2 2

2ln

u a du u au u a C

uu

r r r 33.

2 22 2 2 2

2 2ln

2 2

u du u au a u u a C

u a

r r r r34.

2 2

2 2

1ln

du a u aC

a uu u a

35.

1

2 2

1sec

du uC

a au u a

36.

2 2

22 2 2

du u aC

a uu u a

r rr37.

42 2 3/ 2 2 2 2 2 2 23( ) (2 5 ) ln

8 8

u au a du u a u a u u a Cr r r r

38. 2 2 3 / 2 2 2 2( )

du uC

u a a u a r r r

Integrales que contienen 2 2a u39.

1

2 2sen

du uC

aa u

40.

22 2 2 2 1sen

2 2

u a ua u du a u C

a

41.4

2 2 2 2 2 2 2 1(2 ) sen8 8

u a uu a u du u a a u C

a

42.

2 2 2 22 2 2 2 1ln cosh

a u du a a u aa u a C a u a C

u u u

43.2 2 2 2

12

sena u du a u u

Cu au

44. 2 2

2 2 1

2 2sen

2 2

u u a ua u C

aa u

2 2

1

2 2

1 145. ln cosh

du a a u aC C

a u a uu a u

46.

2 2

22 2 2

du a uC

a uu a u

47.

42 2 3 / 2 2 2 2 2 13( ) (2 5 ) sen

8 8

u a ua u du u a a u C

a

48. 2 2 3 / 2 2 2 2( )

du uC

a u a a u

Integrales que contienen -au u 22

49.2

2 2 12 2 cos 12 2

u a a uau u du au u C

a

50.2 2 3

2 2 12 32 2 cos 16 2

u au a a uu au u du au u C

a

51.2

2 12 2 cos 1au u du u

au u a Cu a

52.

2 21

2

2 2 2cos 1

au u du au u uC

u au

53.1

2cos 1

2

du uC

aau u

54.2 1

22 cos 1

2

u du uau u a C

aau u

55.

2 22 1

2

( 3 ) 32 cos 1

2 22

u du u a a uau u C

aau u

56.

2

2

2

2

du au uC

auu au u

57. 2 3 / 2 2 2(2 ) 2

du u aC

au u a au u

58. 2 3 / 2 2(2 ) 2

u du uC

au u a au u

Integrales que contienen funciones trigonomtricas

59. sen cosu du u C 60. cos senu du u C 61. tan ln secu du u C 62. cot ln senu du u C 1 14 263. sec ln sec tan ln tanu du u u C u C S

1264. csc ln csc cot ln tanu du u u C u C

65. 2sec tanu du u C 66. 2csc cotu du u C 67. sec tan secu u du u C 68. csc cot cscu u du u C 69. 2 1 12 4sen sen 2u du u u C 70. 2 1 12 4cos sen 2u du u u C 71. 2tan tanu du u u C 72. 2cot cotu du u u C 73.

1 21 1sen sen cos senn n nn

u du u u u dun n

74.

1 21 1cos cos sen cosn n nn

u du u u u dun n

75.

1 21tan tan tan1

n n nu du u u dun

76.1 21cot cot cot

1n n nu du u u du

n

77.2 21 2sec sec tan sec

1 1n n nnu du u u u du

n n

78.2 21 2csc csc cot csc

1 1n n nnu du u u u du

n n

79.sen ( ) sen ( )

sen sen2( ) 2( )

m n u m n umu nu du C

m n m n

80.

sen ( ) sen ( )cos cos

2( ) 2( )


m n m n

81.

cos ( ) cos ( )sen cos

2( ) 2( )


m n m n

82. sen sen cosu u du u u u C 83. cos cos senu u du u u u C 84. 2 2sen 2 sen (2 ) cosu u du u u u u C 85. 2 2cos 2 cos ( 2)senu u du u u u u C 86. 1sen cos cosn n nu u du u u n u u du 87. 1cos sen senn n nu u du u u n u u du

1 12

1 12

sen cos 188. sen cos sen cos

sen cos 1sen cos

m nm n m n

m nm n

u u mu u du u u du

m n m n

u u nu du

m n m n

Integrales que contienen funciones trigonomtricas inversas

89. 1 1 2sen sen 1u du u u u C 90. 1 1 2cos cos 1u du u u u C 91. 1 1 2tan tan ln 1u du u u u C 92. 1 1 2cot cot ln 1u du u u u C

1 1 2 1 193. sec sec ln 1 sec coshu du u u u u C u u u C 1 1 2 1 194. csc csc ln 1 csc coshu du u u u u C u u u C

Integrales que contienen funciones exponenciales y logartmicas

95. u ue du e C 96.

ln

uu aa du C

a

97. ( 1)u uue du e u C 98. 1n u n u n uu e du u e n u e du 99.

1

ln ln

n un u n uu a nu a du u a du C

a a

100. 1 11

1( 1)

u u u

n n n

e du e e du

nu n u u 101. 1 1

ln

1( 1)

u u u

n n n

a du a a a du

nu n u u 102. ln lnu du u u u C 103.

1

2ln [( 1) ln 1]

( 1)

nn uu u du n u C

n

104. ln ln

ln

duu C

u u

105. 2 2sen ( sen cos )au

au ee nu du a nu n nu Ca n

106. 2 2cos ( cos sen )

auau ee nu du a nu n nu C

a n

Integrales que contienen funciones hiperblicas

107. senh coshu du u C 108. cosh senhu du u C 109. tanh ln coshu du u C 110. coth ln senhu du u C 111. 1sech tan (senh )u du u C 112. 12csch ln tanhu du u C 113. 2sech tanhu du u C 114. 2csch cothu du u C

472

115. sech tanh sechu u du u C 116. csch coth cschu u du u C 117. 2 1 14 2senh senh 2u du u u C 118. 2 1 14 2cosh senh 2u du u u C 119. 2tanh tanhu du u u C 120. 2coth cothu du u u C 121. senh cosh senhu u du u u u C 122. cosh senh coshu u du u u u C 123. 2 2senh ( senh cosh )

auau ee nu du a nu n nu C

a n

124. 2 2cosh ( cosh senh )au

au ee nu du a nu n nu Ca n

473Elementos Bsicos de Clculo Integral y Series

Bibliografa1. Anton H. 1984. Clculo y geometra analtica. Vols. I y II. Mxico: Limusa.2. Edwards CH, Penny DE. 1996. 4.a ed. Clculo con geometra analtica.

Mxico: Prentice Hall.3. Fernndez Via JA. 1981. Lecciones de anlisis matemtico I. 2.a ed. Madrid:

Editorial Tecnos.4. Finney RL y otros. 2000. Clculo de una variable. 2.a ed. Mxico: Editorial

Pearson Educacin.5. Haaser NB, La Salle JP, Sullivan JA. 1977. Anlisis matemtico. Vol. 2, Curso

intermedio, 9.a reimpr. Mxico: Editorial Trillas.6. Larson RE, Hostetler RP. 1998. Clculo. 6.a ed. Madrid: McGraw-Hill Interame-

ricana.7. Larson RE, Hostetler RP, Edwards BH. 2006. Clculo I. 8.a ed. Madrid:

McGraw-Hill Interamericana.8. Leithold L. 1998. El clculo. 7.a ed. Mxico: Editorial Oxford University Press.9. Pita Ruiz C. 1998. Clculo de una variable. Mxico: Prentice Hall Hispano-

americana.10. Purcell E, Varberg D. 1992. Clculo con geometra analtica. 6.a ed. Mxico:

Pearson Prentice Hall Hispanoamericana.11. Purcell EJ, Varberg D, Rigdon SE. 2001. Clculo. 8.a ed. Mxico: Editorial

Pearson Educacin.12. Smith RT, Minton RB. 2003. Clculo. 2.a ed. Madrid: McGraw-Hill Interame-

ricana.13. Spivak M. 1970. Clculo infinitesimal.Barcelona: Revert.14. Stein SK. 1995. Clculo y geometra analtica. 5.a ed. Mxico: McGraw-Hill.15. Sullivan M. 1997. Preclculo. 4.a ed. Mxico: Prentice Hall Hispanoamericana.16. Swokosky EW. 1998. Clculo con geometra analtica. 2.a ed. Mxico: Edi-

torial Iberoamericana.17. Thomas GB Jr. 2005. Clculo, una variable. 11.a ed. Mxico: Editorial Pearson

Educacin.18. http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/

Elementos bsicosde clculo integral y series

Elementos bsicosde clculo integral y series

Jess del Valle Sierra

Primera edicin, marzo de 2006

Todos los derechos reservados. No se permite la reproduccin, archivo o transmisin total o parcial de este texto medianteningn medio, ya sea electrnico, mecnico, ptico, de fotorreproduccin, memoria o cualquier otro sin permiso de loseditores Ude@.

Impreso en Medelln, Colombia.

Imagen de la portada

Fotografa de la escultura Candelaria al fresco en Ambalema

Martha Luca Villafae es una artista colombiana nacida en Roldanillo, Valle del Cauca, residenciada en Medelln y Maestraen Artes Plsticas de la Universidad de Antioquia. Sus obras, en ocasiones de tinte poltico y de crtica social, siempreposeen el sello del trpico y muestran la exploracin de una amplia diversidad de tcnicas y materiales, tanto en el dibujocomo en la escultura.

Candelaria al fresco en Ambalema, situada frente al Museo, es una escultura en hierro y cemento vaciado y policromado,que data de 1992 y pertenece a la Coleccin Museo Universidad de Antioquia.

AutorAcerca delautorJess del Valle Sierra

Jess del Valle Sierra

Matemtico de la Universidad de Antioquia 1977, especialista en Matem-ticas Avanzadas de la Universidad Nacional de Colombia (sede Bogot, 1987)Actualmente se desempea como Coordinador de Cursos de Servicio delDepartamento de Matemticas de la Facultad de Ciencias Exactas y Natura-les de la Universidad de Antioquia.

Correo electrnico: [email protected]

Como estudiante del programa Ude@, usted es el centro del modelo educativo y puede controlar el proceso de aprendizajemediante la organizacin del tiempo alrededor de sus intereses. La autonoma, la disciplina, la creatividad y el trabajo enequipo son caractersticas que le ayudarn en su formacin, para solucionar problemas reales de la sociedad, recurriendo almtodo de la ingeniera.

La Universidad de Antioquia, a tra-vs del programa Ude@, ha puestoa su disposicin contenidos acad-micos en diferentes medios con elfin de facilitarle el aprendizaje me-diante las tecnologas de informti-ca y telecomunicaciones clsicas ymodernas:

RadioTelevisinImpresosWebMultimediaVideoconferencias

En el modelo Ude@ los conocimientos son aportados por cada medio en igualdad de importancia y con lasfortalezas propias de cada uno de ellos, pero el texto desempea un papel fundamental en el aprendizaje yaque es el que ms diversidad ofrece en trminos de funcionalidad y cantidad de contenidos. El texto Ude@no slo permite analizar con ms detalle y profundidad los contenidos de cada curso, sino que facilita enmayor medida la realizacin de ejercicios, tareas y autoevaluaciones.

La estructura del texto es lineal, con una progresin gradual de cada tema, lo cual hace ms fcil la transmisin del contenidode una manera lgica.

La divisin del texto est dada por captulos que, a su vez, agrupan mdulos (sesiones de clase). Al empezar cada captulose encuentra un Contenido breve en la columna externa, que incluye una lista del nmero y el ttulo de los mdulos quecomponen el captulo. Por su parte cada mdulo contiene, en su primera pgina, un ndice temtico del contenido, objetivosespecficos, preguntas bsicas y una introduccin, que le guiarn en el proceso de aprendizaje sobre el tema en particularde cada sesin de clase.

El texto Ude@

Estructura del texto Ude@

Cmo usar este libro

El material Ude@ ha sido producido de manera integral, teniendo como objetivo primordial el autoestudio. Por tanto, laproduccin de los contenidos se desarrolla en los diferentes formatos (radio, televisin, web, multimedia, videoconferencias),con enlaces entre los mismos. La esencia de este enlace est dada por los iconos Ude@.

Los iconos, como representaciones grficas de la realidad, sern los elementos grficos que leayudarn a guiarse en su navegacin por los diferentes medios. El espacio grfico de cada pginadel texto est dividido en dos columnas: en la interior, ms ancha, podr observar todo lo relaciona-do con el desarrollo del contenido y las correspondientes figuras (grficas, fotos, etc.), mientras queen la exterior encontrar las llamadas a otros medios. Estas llamadas permiten que haya interrelaciny retroalimentacin entre los mismos.

Los iconos de radio, televisin, multimedia, mapa conceptual,videoconferencia o web le indicarn la ruta a seguir. Por ello es importante que sepa que sobre eltema que est estudiando en el mdulo impreso, tambin hay material disponible en otros medios,y que ese material representa valor agregado puesto que el contenido de los diferentes formatos nose repite sino que se complementa.

Los iconos y la interrelacin de medios

El mapa conceptual

Es importante que durante su proceso de aprendizaje se pregunte cons-tantemente si de verdad comprendi el significado de los trminos y suuso. Una buena manera de comprobarlo es explicndole el concepto a otra persona. No dude ensolicitar ayuda a su tutor.

Antes de iniciar el estudio de un captulo lea el contenido breve y la presentacin. Las preguntas bsicas de cada mdulo le ayudarn a valorar la comprensin de los nuevosconceptos presentados y de la temtica tratada a lo largo del mismo.

El estudio de los ejemplos intercalados en los bloques de texto y la solucin de los ejerciciosincrementarn sus habilidades en la solucin de problemas reales.

Tome apuntes, plantese preguntas y trate de resolverlas.

Sugerencias para el estudiante Ude@

Al comienzo del texto Ude@ usted encontrar un mapa conceptual delcurso, que lo orientar en el universo temtico de la disciplina. Esta herra-mienta pedaggica hace posible la integracin conceptual, jerrquica yfuncional, en forma grfica y espacial, de todos los contenidos.

Elementos bsicos de clculo integral y series

ContenidoCaptulo 1: Integral indefinida

Mdulo 1Funcin primitiva o antiderivada 23

Mdulo 2Integral indefinida 27

Mdulo 3Regla de sustitucin o cambio de variable 31

Mdulo 4Algunas aplicaciones de la integral indefinida 35

EjerciciosCaptulo 1, mdulos 1 al 4 43

Captulo 2: Mtodos de integracin

Mdulo 5Tabla preliminar de integrales indefinidas 49

Mdulo 6Integracin por partes 53

Mdulo 7Integracin por sustitucin 63

Mdulo 8Sustituciones trigonomtricas 73

Mdulo 9Integracin por descomposicin en fracciones simples 87

Mdulo 10Integracin de funciones racionales propias 93

Mdulo 11Sustituciones diversas 101


Tabla de contenido

Captulo 3: Integral definida

Mdulo 12

Notacin sigma ( ) y particin de un intervalo 117Mdulo 13Integral segn Riemann 127

Mdulo 14Propiedades de la integral definida 141

Mdulo 15Teorema del valor medio (TVM) para integrales 149

Mdulo 16Los teoremas fundamentales del clculo 155

Mdulo 17Integrales impropias 173


Captulo 4: Aplicaciones de la integral definida

Mdulo 18rea de una regin plana 203

Mdulo 19Volmenes de slidos por secciones transversales 219

Mdulo 20Volmenes de slidos de revolucin 225

Mdulo 21Longitud de arco de una curva plana y rea de superficie de revolucin 243

Mdulo 22Momentos y centros de masa 263

Mdulo 23Los teoremas de Pappus 285

Mdulo 24Trabajo mecnico 293


Mdulo 25Presin de lquidos 299


Captulo 5: Series numricas

Mdulo 26Sucesiones de nmeros reales 319

Mdulo 27Series de trminos constantes 331

Mdulo 28Criterios de convergencia y divergencia de series 339

Mdulo 29Convergencia absoluta y convergencia condicional 359


Captulo 6: Series de potencia

Mdulo 30Intervalo de convergencia y radio de convergenciade una serie de potencias 379

Mdulo 31Representacin de funciones por medio de series de potencias 395

EjerciciosCaptulo 6, mdulos 30 y 31 415

Apndice IMtodos de aproximacin en el clculo 419

Apndice IIOtros sistemas de coordenadas 439

Apndice IIITablas de integrales 465

PrlogoComo es de manifiesto conocimiento, los conceptos funda-mentales del clculo son el lmite, la continuidad, la deriva-da y la integral de una funcin.

En el primer texto, Elementos bsicos de clculo diferen-cial, he presentado los tres primeros, los cuales conformanen su conjunto lo que es en nuestro Departamento de Mate-mticas el curso actual de Clculo I que se ofrece para laFacultad de Ingeniera, y en este segundo texto de la seriepresento el ltimo concepto (integral de una funcin) y lasseries numricas, que constituyen el de Clculo II que, igual-mente, se dicta para los estudiantes de dicha Facultad.

En lo que respecta al orden de los captulos, he recibido eincluido algunas sugerencias de los docentes del rea declculo para que el curso se desarrolle de una manera msgil. Por esta razn, presento el captulo de mtodos deintegracin inmediatamente despus de la primitivacin,buscando con ello que el estudiante adquiera mayor habili-dad para manipular y resolver integrales antes de las aplica-ciones.

Igual que en el primer texto, ste tambin est escrito en ellenguaje normal de nuestros cursos de clculo. Las defini-ciones y teoremas estn seguidas de observaciones y ejem-plos grficos que ayudan a su comprensin. Durante el de-sarrollo de los temas, stos se ilustran con muchos ejemplosque le dan pautas al estudiante para resolver los ms de 600ejercicios propuestos al final de los captulos.

Las preguntas bsicas en cada uno de los mdulos puedenresponderse despus de estudiado el mdulo correspon-diente. Con ellas se busca no slo medir el grado de apren-dizaje de los mismos por parte del estudiante sino empezar aprepararlo para las pruebas tipo ECAES que debe presentarpara la cualificacin profesional respectiva.

He adjuntado al final del texto tres apndices que completancualquier curso de clculo. El primero de ellos, Mtodosde aproximacin en el clculo, ser de gran utilidad paraaquellos estudiantes que en sus cursos avanzados precisandel anlisis numrico. El segundo corresponde a Otros sis-temas de coordenadas, que sern de gran utilidad en eldesarrollo de las integrales mltiples en el prximo curso. Yel tercero es una tabla sencilla de integrales que no puedefaltar en cualquier texto de clculo integral. La tabla ha sido

tomada del libro Clculo y geometra analtica de HowardAnton que aparece reseado en la bibliografa.

Agradezco los comentarios positivos que ayuden a mejoraruna futura edicin. Todos sern bien recibidos en la direc-cin: [email protected].

El autor


Objetivos generales

Objetivos especficos

1. Facilitarle al estudiante, mediante el desarrollo tericode los temas, la comprensin de la integral indefini-da, la integral definida y las series numricas.

2. Presentar la integracin como operacin inversade la diferenciacin. Esto es, dada una funcin f seprecisa hallar otra funcin F cuya derivada sea iguala f.

3. Desarrollar en el estudiante, mediante modelos pro-pios de la ingeniera, la capacidad de plantear y resol-ver problemas relacionados con las aplicaciones dela integral: reas, volmenes, momentos y centros demasa, etc.

4. Indicar las diferentes etapas y estrategias que puedanemplearse cuando se analiza una situacin problem-tica y se busca llegar a su solucin. Evidenciar lanecesidad de distinguir con claridad cules son losdatos y cules son los resultados pedidos; as mis-mo, diferenciar claramente, en los teoremas, lashiptesis y las tesis.

5. Disear situaciones problema integrales que facili-ten la intervencin del mayor nmero posible deelementos tericos bsicos, mostrando la necesidadde establecer relaciones adecuadas entre ellos parasu utilizacin ptima.

6. Proponer situaciones problema que involucren pro-piedades interesantes del clculo y que estimulen elespritu investigativo.

7. Mostrar en el desarrollo temtico del curso cmo searticula la teora, introduciendo las definiciones co-rrectas que surgen de manera natural para designarrelaciones y demostrar los teoremas ms importantes.

8. Presentar las series numricas, juntamente con loscriterios de convergencia y divergencia de las mismas.

9. Presentar las series de potencias y los correspondien-tes intervalos de convergencia absoluta y convergen-cia.

10. Establecer los fundamentos y nexos requeridos conlos proyectos de aula que tiene este curso comoprerrequisito o correquisito, especialmente con Cl-culo III, Ecuaciones diferenciales y lgebra Lineal.

1. Presentar el concepto ms importante de la integralindefinida, la primitiva o antiderivada, y sus nexoscon la derivacin de funciones.

2. Presentar las propiedades de la integral indefinida ofrmulas de integracin y su demostracin simplecon base en las frmulas de derivacin correspon-dientes y mostrar cmo usarlas en la solucin deejercicios.

3. Mostrar algunas aplicaciones de la integral indefini-da a las ecuaciones diferenciales ordinarias y a lafsica (movimiento rectilneo).

4. Construir, con base en las reglas de derivacin y lasreglas diferenciales, una primera tabla de integrales.

5. Ampliar la tabla del objetivo anterior con la ayuda delos mtodos o tcnicas de integracin.

6. Establecer las tcnicas o mtodos de integracincomo el estudio de mtodos sistemticos para hallarprimitivas o antiderivadas.

7. Enunciar y demostrar la regla de sustitucin (cam-bio de variable) y hacer notar que es uno de los mto-dos ms importantes del clculo de integrales defini-das.

8. Presentar todos los tipos de integrales de potenciasde funciones trigonomtricas y sus correspondien-tes combinaciones.

9. Establecer las sustituciones trigonomtricas comomtodo para calcularalgunas integrales de las for-

mas

2(a

con .r Q10. Establecer y demostrar el mtodo de integracin

por partes y dar algunas observaciones con respec-to a su uso.

11. Estudiar la tcnica de integracin por descompo-sicin en fracciones simples para calcular la integralde funciones racionales.

12. Presentar las sustituciones diversas como tcnicasadicionales para calcular integrales que presentanuna forma particular; en especial, conocer las inte-grales de los binomios diferenciales.

13. Comprender el sentido de la notacin sigma ( ) yla integral definida, y aplicar estos conceptos en lasolucin de algunos problemas bsicos y afines a laintegracin.

14. Introducir, por medio de la idea intuitiva de rea y delas sumas aproximantes, la integral definida segnRiemann.

15. Destacar la relacin existente entre la continuidad eintegrabilidad mediante un teorema que proporcionauna gran familia de funciones integrables.

16. Enunciar y demostrar las propiedades ms importan-tes de la integral definida.

17. Presentar los teoremas fundamentales del clculo y larelacin de los mismos con la derivacin y con laprimitivacin.

18. Usar la integracin en aplicaciones geomtricas: cl-culo de reas entre curvas, volmenes de slidos derevolucin, longitud de un arco de curva plana ysuperficie de revolucin.

19. Usar la integracin en aplicaciones a la fsica: momen-tos y centros de masa, trabajo mecnico y presin deun fluido.

20. Extender la nocin de integral para funciones noacotadas y que no estn definidas en todos los pun-tos del intervalo de integracin mediante las llama-das integrales impropias.

21. Dar sentido a integrales de la forma

( ) , ( ) , ( ) ,b

af x dx f x dx f x dx

f ff f

e integrales de la forma

( ) ,b

af x dx

donde f presenta discontinuidad infinita en algn

punto del intervalo [ , ].a b

22. Presentar las sucesiones de nmeros reales, su clasi-ficacin y el clculo de lmites de sucesiones.

23. Presentar las series numricas como una sucesin desumas parciales, y los criterios de convergencia ydivergencia de las mismas.

24. Indagar qu tipo de funciones pueden represen-tarse mediante series de potencias y darle sentidoal intervalo de convergencia y al intervalo de con-vergencia absoluta como dominio de las mismas.

Mapa conceptual

1Integral

indefinida

Captulo 1

En este captulo se definir el concepto matemtico de integral de tal manera que elestudiante empiece a conocer lentamente el proceso u operacin de integracin,mostrndole adems la relacin que existe entre esta operacin de integracin y laoperacin inversa de derivacin, a la cual llamaremos primitivacin.

En general, este proceso es ms complicado que el de la derivacin y debemos serms cautelosos y pacientes con los mtodos que se expongan, los cuales nospermitirn, cuando sea posible, obtener la primitiva o antiderivada de un gran n-mero de funciones.

Iniciamos el captulo presentando las definiciones correspondientes a la funcinprimitiva, para posteriormente hacer el estudio de la regla de sustitucin o cambiode variable, quizs el mtodo de integracin ms importante, ya que en cualquierade los otros mtodos, por lo general, en algn paso intermedio se hace uso de dicharegla.

Al finalizar el captulo ilustramos con algunos ejemplos sencillos una primera apli-cacin de la integral indefinida a las ecuaciones diferenciales y a la fsica.

Mdulo 1Funcin primitiva o antiderivada

Mdulo 2Integral indefinida

Mdulo 3Regla de sustitucin o cambio devariable

Mdulo 4Algunas aplicaciones de la inte-gral indefinida

EjerciciosMdulos 1 al 4

La ley de cada de Galileo establece que todos los cuerpos caen en el mismo tiempo desde la mismaaltura, independientemente de su peso.


1Funcin primitiva o antiderivada

Contenidos del mdulo

Objetivos del mdulo

Preguntas bsicas

Introduccin

1.1 Funcin primitiva o antiderivada1.2 Teorema 1

1. Presentar el concepto ms importante de la integral indefinida, la primitivacin o antiderivada, y sus nexos con la derivacin de funciones.

1. Se puede demostrar, usando mtodos de integracin, que la funcin

3

2( )

25

xf x

x tiene las siguientes primitivas:

2 3 2 2 1 21

1( ) ( 25) 25( 25) ,

3F x x x C

2 2 1 2 2 3 22

2( ) ( 25) ( 25) .

3F x x x x C

Demuestre que F1(x) = F

2(x).

En el captulo 3 del texto Elementos bsicos de clculo diferencial hemos estudia-do el siguiente problema: dada una funcin F(x), hallar su funcin derivada f (x),

esto es, ( ) ( ).F x f xc En este mdulo consideraremos el problema inverso: dada lafuncin f (x), se precisa hallar otra funcin F(x) cuya derivada coincida con f (x).Esta funcin F que tratamos de buscar se llama primitiva o antiderivada de f (x).

Gabrielle mile le Tournelle de Breteuil

mile le Tournelle, conocida como lamarquesa de Chtelet, estudi a Newton yLeibniz, tradujo al francs los Principia deNewton y contribuy a divulgar los concep-tos del clculo diferencial e integral.

mile, nacida en 1706 y fallecida en 1749,no responda al prototipo de belleza de supoca pues ya de nia era muy alta (1,65m) y tena las manos y los pies grandes. Talvez por esto su padre, pensando que noiba a casarse, se preocup de que recibieseuna excelente educacin. Sin embargo, alos diecinueve aos se cas con el marqusde Chtelet y suspendi temporalmente susestudios, pero los reanud a los veintisieteaos, despus del nacimiento de su tercerhijo.

En los salones de su residencia, en vez defrivolizar con conversaciones intrascenden-tes, mile y sus invitados deliberaban conardor sobre problemas matemticos. Atanto lleg su pasin por esta actividadacadmica que mand que le confeccio-naran unas ropas de hombre, y con suspiernas enfundadas en calzas y calzoneslogr entrar vitoreada por sus colegas enel caf Gradot de Pars, en donde se reunanmatemticos y cientficos y al cual se le habaprohibido la entrada por ser mujer.

mile le Torunelle escribi Las institucionesde la fsica, libro que contiene uno de loscaptulos ms interesantes sobre clculoinfinitesimal.

24

1.1 Funcin primitiva o antiderivada

Definicin

Sea f una funcin definida en un intervalo I. Una funcin F (x) se llama primitiva o

antiderivada de f (x) en I si F es diferenciable y ( ) ( )F x f xc para todo x en I.Ejemplo 1

Sea 3 2( ) 4 8 4 5.f x x x x Son primitivas de f (x) las siguientes funciones:

4 3 21

8( ) 2 5 6

3F x x x x x , 4 3 22 8( ) 2 5 4.3F x x x x x

En efecto,

3 21 2( ) ( ) 4 8 4 5 ( ).F x F x x x x f xc c

Ejemplo 2

Sea ( ) sec .f x x Son primitivas de f (x) las siguientes funciones:

1 2( ) ln (sec tan ) 3, ( ) ln (sec tan ) 2.F x x x F x x x En efecto,

1 2( ) ( ) (ln (sec tan ) 3) (ln (sec tan ) 2).x xF x F x D x x D x xc c 1

(sec tan )sec tan x

D x xx x

(RD26)21 (sec tan sec )

sec tanx x x

x x (RD15 y RD13)

1sec (tan sec )

sec tanx x x

x x

sec ( ).x f x Observacin

En los ejemplos anteriores es fcil ver que si una funcin dada f (x) tiene funcinprimitiva F(x) sta no es nica. As, en el ejemplo 1 las funciones F

1(x) y F

2(x)

figuran como funciones primitivas de f (x), o en general, cualquier funcin de la

Captulo 1: Integral indefinida

Vea el mdulo 1 del programade televisin Elementos bsicosde clculo integral y series


forma 4 3 28

( ) 2 5 ,3

F x x x x x C donde C es una constante, es tambin pri-mitiva de f (x).

Por otra parte, puede demostrarse que las funciones de la forma

4 3 28( ) 2 53

F x x x x x C abarcan todas las funciones primitivas de3 2( ) 4 8 4 5,f x x x x lo cual se deduce fcilmente del siguiente teorema.

1.2 Teorema 1

Si F1(x) y F

2(x) son dos funciones primitivas de f (x) en un intervalo I, entonces la

diferencia entre ellas es una constante.

Demostracin

Designemos por 1 2( ) ( ) ( ).x F x F xM (1)Como F

1(x) y F

2(x) son dos funciones primitivas de f (x) en un intervalo I, se tiene,

de acuerdo con la definicin,

1 ( ) ( ),F x f xc (2)2 ( ) ( ).F x f xc (3)

Ahora, de (1), (2) y (3), se tiene 1 2( ) ( ) ( ) 0.x F x F xM c cc En conclusin, ( ) 0,xMc y de acuerdo con el ejercicio 19 del mdulo 28 del textoElementos bsicos de clculo diferencial, se deduce que existe una constante C

tal que ( ) ,x CM es decir, 1 2( ) ( ) ( ) .x F x F x CM Observacin

Del teorema anterior se deduce que si F(x) es una primitiva de f (x), entonces

( ) ( )G x F x C tambin lo es, y G(x) as definida se denomina primitiva msgeneral de f.

Mdulo 1: Funcin primitiva o antiderivada


2Integral indefinida

Contenidos del mdulo

Objetivos del mdulo

Preguntas bsicas

Introduccin

2.1 Integral indefinida2.2 Primeras frmulas de integracin

1. Presentar las propiedades de la integral indefinida o primeras frmulas de integracin y su demostracin simple con base en las frmulas de derivacin correspondientes, y mostrar cmo usarlas en la solucin de ejercicios.2. Construir, usando las reglas bsicas de derivacin y diferenciales, una primera tabla de integrales.

Diga si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

1. ( ) ( ) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx Justifique su respuesta.2.

( )( )

( ) ( )

f x dxf xdx

g x g x dx . Justifique su respuesta.

En el mdulo 1 definimos la primitiva o antiderivada de una funcin f, y tambin laprimitiva ms general de f. Esta ltima es la que se conoce como la integral indefini-da de f. En este mdulo mostraremos que en muchos casos puede ser calculadamediante la operacin inversa de la derivacin, la cual llamaremosantidiferenciacin o integracin.

Arqumedes de Siracusa

Arqumedes, considerado por muchoscomo el ms grande de los matemticos dela antigedad, naci en el ao 287 a.C. ymuri en el 212. Pas casi toda su vida ensu ciudad natal de Siracusa, aunque se sabeque visit Egipto al menos en una ocasin.La fama de Arqumedes se basa fun-damentalmente en sus numerosos descu-brimientos matemticos. Hall, por ejemplo,un valor aproximado del nmero pi con unerror muy pequeo. Calcul volmenes yreas, algunos muy difciles, entre ellos elvolumen de la esfera, y demostr el siguienteresultado fundamental del que se sentaparticularmente orgulloso: Los volmenesde un cono, de una semiesfera y de uncilindro, todos de la misma altura y radio,se encuentran en la razn 1:2:3. Consi-derado este teorema con la perspectiva quenos da la historia, era verdaderamente unresultado excepcional para la poca. Lapureza de su matemtica en las obras De laesfera y del cilindro, De los conoides yesferoides, De las espirales, y la originalidadde sus nuevas ideas (mtodo de exhaucin,cuadratura del segmento de parbola), enlas que se puede ver el germen del clculoinfinitesimal de Newton y Leibniz, se unen yse complementan armoniosamente con sustrabajos sobre esttica e hidrodinmica,poniendo de manifiesto cmo las dosmatemticas (la pura y la aplicada) secomplementan mutuamente, de manera que

Escuche el audio Eureka! Arqu-medes y el clculo integral en sumultimedia de Elementos bsicosde clculo integral y series.

28

2.1 Integral indefinida

Definicin

Si F(x) es una funcin primitiva de f (x), la expresin F(x) + C se llama integral

indefinida de la funcin f (x) y se denota por el smbolo ( ) .f x dx Esto es:( ) ( ) .f x dx F x C

En este caso f (x) se llama integrando (o funcin bajo el signo de integral), C se llamaconstante de integracin y dx indica que la variable de integracin es la letra x.

Observaciones

1. El significado geomtrico de la integral indefinida es una familia de curvas,una para cada valor de C.

2. Toda funcin continua f (x) en el intervalo [ , ]a b tiene una funcin primitiva

y por consiguiente una integral indefinida. Sin embargo, no siempre es po-sible encontrar la integral indefinida (primitiva ms general) de una funcin

continua en [ , ]a b como sucede por ejemplo con la funcin 4( ) 1f x x .Ms adelante estudiaremos mtodos que permiten determinar las funcionesprimitivas (y por consiguiente las integrales indefinidas) de ciertas clases defunciones.

3. De la definicin anterior podemos deducir lo siguiente:

a. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando. Es decir,

( ) ( ),d

f x dx f xdx

o tambin, ( ) ( ) .d f x dx f x dx

b. Como ( ) ( ),F x f xc entonces ( ) ( ) .dF x f x dx Por tanto, ( ) ( ) .dF x F x C

De acuerdo con la observacin 3, podemos obtener frmulas de integracin a part

calculo integral.pdf cel3207737761 doble cara paula abono 10000

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