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CÁLCULO III SERIE 2

SEMESTRE: 04-2 Página 1

Elaborado por: Ing. Enrique Arenas Sánchez

Introducción: El conjunto de ejercicios que se presentan, es parte del trabajo de recopilación de los ejercicios que conformaron los exámenes departamentales de la asignatura Cálculo III, correspondientes al período comprendido del primer semestre de 1998 al primer semestre del 2004. El objetivo de este trabajo es el de brindar a los alumnos que cursan la asignatura, material con el cual puedan ejercitarse para lograr buenos resultados en sus estudios. A pesar de que el trabajo de recopilación y resolución de los ejercicios se ha hecho con el mejor ánimo y tratando de evitar cualquier error, estoy consciente de la posiblilidad que existe de haber cometido algunos errores, por tal razón, solicito a los lectores que de encontrar alguno me lo hagan saber para proceder a su corrección y de este modo contar con un material de mejor calidad. Atentamente. Ing. Enrique Arenas Sánchez. Correo electronico: [email protected]




1011C3AE 1) Calcular las coordenadas del punto P de la curva k e 2 + j t + i 1) - t ( 2 2 ) t 2 - 1 ( = ) t ( r

en el que el vector ) t ( r′ es paralelo a ) t ( r . SOLUCIÓN

) 2 ,1 ,1- ( P 2031C1AE 2) Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria cuya ecuación vectorial es

jsen t e + icos t t e = ) t ( r t donde t es el tiempo, demostrar que le ángulo entre el vector de posición y el vector velocidad es constante y determinar el valor de dicho ángulo.

SOLUCIÓN

4 = πθ

2032A1AE

3) Determinar una ecuación vectorial de la curva

x - 3 =y

9 = y + x :C

2 2

y hacer un dibujo

de C SOLUCIÓN

k z + i 3 = r y k z + j 3 = r , dibujo a criterio del profesor.




2031A2AE 4) Determinar si la curva de ecuación vectorial ksen t - jcos + i t t sen= ) t (r , está

contenida en un plano. SOLUCIÓN La curva es plana. 4031A2AE

5) Sea C la curva de ecuaciones paramétricas t = x , t =y 2 , t 32 =z 3 .

Calcular a) la curvatura de C y b) la torsión de C .

SOLUCIÓN

1 + t 4 + t 42= 24κ ; 1 + t 4 + t 4

2= 24τ

6031A2AE 6) Sea la curva dada por k t 3 + j ) t 2 + t ( + i 2 3 2 ) t - t ( = ) t ( r 2 3 a) Comprobar que dicha curva es plana. b) Obtener la ecuación cartesiana del plano que contiene a dicha curva




SOLUCIÓN a) A criterio del profesor. b) 0 =z +y - x 2 2032A2AE 7) Dada la curva C cuya ecuación vectorial es k t 3

2 + t 2 + j t 2 + i 3 2

t 3

2 - t 2 = ) t ( r 3

obtener las coordenadas del centro de la circunferencia de curvatura de C en el punto

38 ,2 ,

34 P

SOLUCIÓN

38 ,2 ,

320- C

2032C1AE 8) Calcular el radio de curvatura del tiro parabólico en el punto más alto. la ecuación de la

posición de la partícula es: j ) t 5 - t 8 + 6 ( + i 2 t) 6 + 4 ( = r SOLUCIÓN

3.6 = 1036 = ρ




2032C2AE 9) Sea la curva C de ecuación vectorial

kte21 +j e2

1 - isente21 = (t)r ttt

cos

a) Obtener la ecuación vectorial de C en terminos de su longitud de arco s de modo que cuando 1 = s se tiene que 0 = t

b) Calcular el vector tangente unitario a la C en el punto π = t

SOLUCIÓN

a) k ) s ln ( cos2s + j

2s - iln

) s ( sen

2s = ) s( r

b) k 2

- j 2

1 + i ππ 2

- = T

4011A2AE 10) La ecuación vectorial de una curva C , que se genera por la intersección de un cilindro

parabólico y un plano, está dada por: k t + j t + i 2 2t +

3t - 2 = ) t ( r

2

a) Obtener las ecuaciones de las superficies citadas.

b) Obtener el vector normal principal a ) t ( r cuando k + j 2 + i 61 - =

t dr d

c) La ecuación del plano osculador para la condición anterior.




SOLUCIÓN a) Ecuación del plano: 12 =z 3 -y 2 + x 6

Ecuación del cilindro: z =y 2

b) )k 74 - j 33 + i 48- (74 + 33 + 48

1 = N222

c) A criterio del profesor. 2021A1AE 11) Sea C la curva cuya ecuación vectorial es k ) 4 + t + t ( + j ) t - t a ( + i 2433 ) 2 + t 2 ( = ) t ( r 2

a) Determinar el valor de la constante a de modo que C sea plana. b) Calcular la curvatura de C en el punto donde 1 = t

SOLUCIÓN a) 1 = a

b) 0.08534 = 521024

2 / 3

4021A3AE 12) Sea C la curva cuya ecuación vectorial es k t + j t + i 32 t = ) t ( r

a) Calcular la curvatura y torsión de la curva C en el punto ( ) 8 ,4 ,2 P b) Determinar si la curva C es plana.

SOLUCIÓN

a) 16125921

1812 = κ ; 1813 = τ

b) A criterio del profesor.




5021A4AE 13) Calcular la curvatura de la hélice circular k t b + jsen t a + icos t a = ) t ( r para

0 > a SOLUCIÓN

b + aa = 22κ

6021A3AE 14) La ecuación vectorial de una curva C está dada por k ) t + t - 4 ( + j t + i 22 t = ) t ( r

a) Obtener el vector normal principal N b) Determinar si la curva es plana y en caso afirmativo obtener la ecuación del plano que la contiene.

SOLUCIÓN

a) 6 + t 12 - t 24

k ) 1 - t 2- ( + j ) t 2 - 2 ( + i2

) t 4 - 1 ( = N

b) plano osculador 0 = 4 +z -y - x 2031A1AE

15) Mostrar que τκ - = sdB d

sdT d •

SOLUCIÓN A criterio del profesor.




4032A2AE 16) Calcular los vectores T , B así como la curvatura κ de la curva

k t + jsen t 2t - 4 + icos

t

2t - 4 = ) t ( r en el punto donde

2 = t π

SOLUCIÓN

45 +

4 + 4-

k + j 21 - i

2

π

π 4

+ 4- = T ;

( )

256+

4-

849+68-

41157

k 16

+ 2 - 233 + j + i

432

2

ππππ

πππ

- 4

= B

0.28776

16+2-

469

256+

4-

849+68-

41157

= 2 2

3

432

_

ππ

ππππκ

5032A2AE

17) Calcular la curvatura κ de la elipse de ecuación 1 = by +

ax

2

2

2

2

SOLUCIÓN

( ) x b + y a b a =

2 4 2 4 2 / 3

4 4

κ




2041A1AE

18) Sea la curva

x =y

z = y + x : C

2 2

Determinar los vectores T , B y N , así como la curvatura y la torsión de la curva, para el punto ) 2 ,1 ,1 ( P .

SOLUCIÓN

184 ,

181 ,

181 = T ;

31 ,

32 - ,

32 - = N ;

0 ,

21 - ,

21 = B ;

272 = k ; 0 = τ

5041A2AE

19) Sea la curva C representada por

z - 4 = y + x

y = x

2 2 . Determinar, para el punto

) 4 ,0 ,0 ( P : a)Los vectores T , N , y B . b)La curvatura y la torsión. c)La ecuación cartesiana del plano oscular y la del plano rectificante.

SOLUCIÓN

a) 2

) 0 ,1 ,1 ( = T ; ) 1 ,-0 ,0 ( = N ; 2

) 0 ,1 ,1 - ( = B

b) 2 = κ ; 0 = τ c) plano oscular: y = x ; plano rectificante: 4 =z




1011A3AE 20) La posición de una partícula en movimiento está dada por

k 23 + j t 3 - i 2 t 2 = ) t ( r donde t es el tiempo. Obtener para el instante 0.25 = t

segundos : a) El vector velocidad ) v ( de la partícula. b) El vector tangente unitario ) T ( a la trayectoria de la partícula. c) El vector aceleración tangencial ) a ( T de la partícula. d) El vector aceleración normal ) a ( N de la partícula.

SOLUCIÓN

a) j 23 - i 2 = v b)

j

23 - i 2

52 = T

c) j 2554 - i

2572 = aT d) j 25

96 - i 2572- = aN

2031A3AE 21) La trayectoria de una partícula está dada por la expresión k t + j t - i 3 t = ) t (r 2 donde

t es el tiempo. Calcular las componentes tangencial y normal de su aceleración en el punto donde 1 = t

SOLUCIÓN

N 2.33 + T 5.88 = a ; 2.329929 = a

5.879747 = a

N

T




2041A2AE 22) Una particula se desplaza a lo largo de la curva

0 t ; j ) t cos -sen t ( + icos ≥ ) t sen+ t ( = ) t ( r : C . Determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración.

SOLUCIÓN

0 = aT ; 2 = aN 5011A2AE 23) Calcular el ángulo α de intersección entre la superficie S y la curva C cuyas ecuaciones

vectoriales son: k )u 2 - v( + j ) u v 5 ( + i ) v 2 +u ( = ) v u , ( r : S 1

( ) k ) 1 - t 4 - ( + j t 10 - t 5 - 5 + i 2 t) 3 - 3 ( = ) t ( r : C 2 en el punto donde 1- = v

SOLUCIÓN

°0 = α 2021A2AE 24) Sea k )sen t s 2 - t cos ( + j ) t cos s 2 +sen t ( + i ) s2 ( = ) t , s( r

una ecuación vectorial de la superficie S . a) Identificar la superficie S . b) Obtener una ecuación vectorial del plano tangente a S en el punto ) 0 , 2 ,1 ( P .

SOLUCIÓN a) HIperboloide de un manto.




b) 2 =y 2 2 + x 2 - 2031C2AE 25) Dadas las superficies de ecuaciones vectoriales

k s + jsen t s + icos 2 t s= ) t , s(r :S 1 k v+ ju sen 3 + icos u 3 = ) v u , (r :S 2 . Obtener los vectores T , N y B de la curva de intersección de S 1 y S 2 en el punto

) 9 ,0 ,3 ( SOLUCIÓN j = T ; i - = N ; k - = B 2031C3AE 26) Obtener la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie de ecuaciones

paramétricas

1 =z -y - x

=z +y + x :S

αα

αα en el punto ) 3- ,3 ,1 (

SOLUCIÓN

k t s 16 + j ) t - s ( 2 + i ) t + s( 2 = ) t , s( r 2032A3AE 27) Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie S cuya ecuación vectorial es kcos ( + j ) sen vu sen ( + icos ) v ) v u sen ( = ) v u , ( r con π 2 u 0 ≤≤ y

20 π≤≤ v

en el punto donde π =u , 4

= v π




SOLUCIÓN 0 = 2 +z - x 2032C3AE 28) Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación vectorial )k vsen(u + )j v(cos)u (cosu + icos ) v ()u u sen( = ) v u , (r

en el punto ) 0 , ,0 ( P π . SOLUCIÓN

0 = +y - x 2 ππ 2041A4AE 29) Sea la curva C que resulta de la intersección entre las superficies

k ) t - s ( + j ) t s 4 ( + i t) + s( = ) t , s( r : S1 y k 2 + j v+ iu = ) v u , ( r : S 2 a) Identificar las superficies. b) A partir de las ecuaciones vectoriales de S1 y S 2 , determinar la ecuación cartesiana del plano normal a la curva C , en el punto ) 2 ,4 - ,0 ( P , c) Obtener unas ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva C , en el punto

) 2 ,4 - ,0 ( P .




SOLUCIÓN a) : S1 paraboloide hiperbólico; : S 2 plano horizontal b) 0 = x

c)

2 =z

4- =y

2- = x

: C

λ

4041A3AE Obtener la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie representada por ( ) ( ) ( ) ( )k 2- 2v +u +j 3v +2u + i 1 + v +u = v u , r , en el punto para el cual 2 =u y

1 = v SOLUCIÓN

0 = 1 +z +y - x 6032A3AE 30) Determinar la ecuación cartesiana del plano tengente a la superficie de ecuación

k t s 16 + j ) t - s ( 2 + i ) t + s( 2 = ) t , s( r en el punto ) 0 ,2- ,2 ( P SOLUCIÓN

0 =z -y 8 + x 8 6041A3AE 31) Determinar la expresión en coordenadas cilíndricas del vector de posición de cualquier

punto de la superficie r = y + x 2 2 2




SOLUCIÓN

ez + e r = r zˆˆρ 1011A4AE 32) Sea el sistema de coordenadas curvilineas ) v u , ( , cuyas ecuaciones de transformación

son:

y 3 - x = v

y - x 3 - =u

a) Determinar si el sistema curvilineo ) v u , ( es ortogonal. b) Dibujar la región R′ del plano V U en la que se transforma la región R del plano Y X limitada por las rectas de ecuaciones: x 3 =y ; 6 - x 3 =y ; 18 +y 3 - = x ; 6 +y 3 - = x

c) Calcular v u ,y ,x J

d) Determinar la relación entre las áreas R y R′ . SOLUCIÓN a) A criterio del profesor. b) A criterio del profesor.

c) 101

d) ′R 101 = R




1011C4AE 33) Sea el sistema de coordenadas curvilineas ) v u , ( , el cual está referido al sistema

cartesiano )y x, ( por medio de las relaciones: y 4 + x 3 = v

y 3 + x 4- =u

a) Verificar que el sistema vu sea ortogonal. b) Calcular los vectores unitarios euˆ y evˆ c) Calcular los factores de escala hu y hv

d) Calcular v u,

y x, J

SOLUCIÓN a) A criterio del profesor.

b) j 53 + iˆ 5

4- = eu ; j 54 + iˆ 5

3 = ev

c) 51 = hu , 5

1 = hv

d) 251 =

v u , y ,x J

4021A4AE 34) Considere el sistema de coordenadas curvilineas definido por las ecuaciones

y 3 - x = v

y + x 3 =u

a) Determinar si el sistema es ortogonal. b) Calcular los vectores unitarios e u y e v . c) Calcular los factores de escala.

d) Determinar los jacobianos de la tranformación

v u , y ,x J y

y ,x v u , J





b) ) j + iˆ 3 ( 101 = eu ; ) j 3 - iˆ ( 10

1 = ev

c) 101 = hu , 10

1 = hv

d) 101 =

v u , y ,x J

; 10 =

y ,x v u , J

2031A5AE

35) Sea la transformación

vu 2 =y

v - u = x : T

2 2

y sea R la región del plano V U , imagen

de la región R′ del plano Y X . Si R es la región cuadrada cuyos vértices son ) 0 ,1 ( , ) 0 ,2 ( , ) 1 ,2 ( y ) 1 ,1 (

a) dibujar las regiones R y R′

b) calcular los jacobianos de la transformación

v u ,y ,x J y

y ,xv u , J


b) )v + u 4(

1 = y ,x v u , J 2 2

para todo ) 0 ,0 ( ) v u , ( ≠




4031A3AE 36) Sea la transformación dada por )y - x (

21 =u , )y + x (

21 = v

a) Obtener el jacobiano de la transformación

v u , y ,x J

b) Determinar las ecuaciones de transformación inversas. c) Dibujar en un plano V U la imagen de la región del pleno Y X limitada por las rectas

0 = x , 1 = x , 0 =y , 1 =y SOLUCIÓN

a) 1 = v u ,y ,x J

b) 2

v +u = x ; 2u - v =y

c) A criterio del profesor. 2032A4AE 37) Dadas la ecuaciones de transformación

v +u 2 =y - x

v +u =y + x

a) Calcular los jacobianos

vu ,y ,x J y

y ,x v u , J

b) Sea la región R del plano Y X limitada por las rectas 0 = x , 2 - x =y , 1 =y . Determinar la región R′ del plano V U en que se tranforma R y representar gráficamente a R y R′




SOLUCIÓN

a) 21 =

v u ,y ,x J

; 2 =

y ,xv u , J

b) A criterio del profesor. 2041A5AE

38) Sea la transformación

x -y 2 = v

x 2 =u : T

2 , y sea la región R del plano Y X limitada por

las curvas 1 = x , x + 1 =y 2 2 y x 2 - x =y 2 2 a) Determinar si el sistema de coordenadas ) v u , ( es ortogonal. b) Graficar la región R del plano Y X . c) Graficar la región R′ del plano V U , que es la región en la cual se transforma la región R bajo la transformación T .

d) Calcular el jacobiano

v u , y ,x J .

e) Calcular el área de la región R . SOLUCIÓN a) A criterio del profesor. b) A criterio del profesor. c) A criterio del profesor.

d) 41 =

v u ,y ,x J

e) El área de la región R es 89 unidades.

2021A3AE

39) Dadas la ecuaciones de transformación 2

v - u =z ; senvu =y ; vu = x22

φφcos




a) Obtener los factores de escala hu , hv , hφ . b) Obtener los vectores unitarios euˆ , evˆ , êφ . c) Determinar si el sistema curvilíneo es ortogonal.

d) Obtener el jacobiano de la transformación

,v u ,

z y , ,x Jφ

SOLUCIÓN a) v + u = h = h 22vu ; vu = hφ

b) k)u + j sen v+ icosˆ φφ v ( v + u 1 = e 22u ;

k) v- j sen u + icosˆ φφ u ( v + u 1 = e 22v

j cos + iˆ φφφ sen- = e ; c) A criterio del profesor.

d) vu + v u = ,v u , z y , ,x J 33

φ




2032A5AE 40) Sea la transformación ortogonal

z c +y - x = w

z 2 -y b + x 3 = v

z +y 2 - x a =u

a) Determinar los valores de las constantes a , b y c b) Determinar los factores de escala hu , hv y hw c) Expresar a los vectores i , j y k referidos a la base } ä ,ä ,e { wvu ˆˆˆ SOLUCIÓN a) 25 - = b ,16 - = a ,14 = c

b) 2611 = hu ; 638

1 = hv ; 1981 = hw

c) ê 1981 + ê

6383 + ê

26114 = i wvu

ê 1981 - ê

63825 - ê

2612 - = j wvu

ê 19814 + ê

6382 - ê

2611 =k wvu

2032C4AE 41) Dada la transformación

2w + v +u =z

w3 + v -2u =y

w- 2v +u = x

Obtener los vectores de la base } k j , ,i { referido a la base } e ,e ,e { wvu ˆˆˆ




SOLUCIÓN

ê 14 4

42 - ê 6 4

6 + ê 6 4

30 = i wvu ; ê 14 414 - ê

6 46 - ê

6 418 = j wvu ;

ê 14 4

70 + ê 6 4

6 + ê 6 4

7 - =k wvu

5011A3AE 42) Expresar el campo vectorial

j ) x 2 - y +y x ( + i 32 )y 2 + y x + x ( = )y ,x ( F 23 en coordenadas polares. SOLUCIÓN

e 2 - e = ) , ( F 3 ˆˆ θρ ρρθρ 2021A6AE 43) Obtener el vector velocidad referido al sistema polar, de una partícula que se mueve a lo

largo de la curva cuya ecuación en coordenadas polares es θρ 3 = tan , de modo que

] s [ 5 = t d d 1 - θ en el punto donde ° 5 4 = θ .

SOLUCIÓN

e 15 + e 30 = v ˆˆ θρ 2031A4AE 44) Obtener las expresiones que determinan a los vectores de posición y de velocidad en

coordenadas cilíndricas.




SOLUCIÓN

ez + e = r zˆˆρρ

e t dz d + e t d

d + e t d d = v zˆˆˆ ρθ

ρθρ

2031C5AE

45) Expresar x ∂∂ en coordenadas esféricas.

SOLUCIÓN

φρφ

θφρθ

ρφθ

+

sen sen -

sen =

x ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ coscoscos

5031A3AE 46) Para el cono 0 = z - y + x 2 2 2 obtener una ecuación vectorial de la superficie en

coordenadas cilíndricas así como su correspondiente diferencial de área. SOLUCIÓN

θρρ d d 2 = Sd




5032A3AE

47) Para la superficies cuyas ecuaciones en coordenadas esféricas son 4

= : S1πφ y

3 = : S 2 ρ deternimar: a) el ángulo que forman S1 y S 2 . b) unas ecuaciones de la curva de intersección entre S1 y S 2 .

SOLUCIÓN a) °90

b) 4

= πφ ; 3 = ρ

otras son z = y + x 2 2 2 ; 9 = z + y + x 2 2 2

otras son

23 =z ± ;

29 = y + x 2 2

6032A4AE 48) Sea el sistema de coordenadas cilíndricas elípticas )z ,v u , ( , definido por

v u a = x coscosh , v u sen senha =y , z =z . Determinar si dicho sistema es ortogonal.

SOLUCIÓN A criterio del profesor.




2031C4AE 49) Sean los campos vectoriales k ) z - x ( + j ) y x ( + i 2 )z y 2 - x ( = )z y , ,x ( F 2 y k ) x 2 ( + j ) z ( + i 2 )y 2 ( = )z y , ,x ( G

obtener F ) G ( ∇• . SOLUCIÓN

k ) x 2 -y 2 ( + j ) zy x 2 + y 2 ( + i 23 ) z 2- ( = F ) G ( 3∇• 2021A4AE 50) Sea el campo vectorial k ) x + z x tanh ( + j ) 3 + zy cosh ( + i)z - x +y x senh( = )z y , ,x ( F

obtener la dirección en la cual la derivada direccional de F en el punto ) 0 ,0 ,1 ( P es nula.

SOLUCIÓN

) 1- ,2- ,1 ( = e 6021A4AE 51) Calcular la derivada direccional de la función vectorial k )y x 4 ( + j ) z x 2 ( + i zy )z y 3 ( = v x

en ) 1 ,0 ,0 ( P1 y en la dirección de ) 1 ,0 ,0 ( P1 a ) 0 ,1 ,2 ( P2




SOLUCIÓN

j 6

2 + i 61 =

t dv d

1011C5AE 52) Demostrar que para el campo vectorial F , la traza de su gradiente es la divergencia de

dicho campo.

Nota:La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal.

SOLUCIÓN A criterio del profesor. 2021A5AE 53) Sean los campos vectoriales ky + j x + iz = )z y , ,x ( F k )y x ( + j ) z x ( + i )z y ( = )z y , ,x ( G

verificar la validez de la expresión G rot F - F rot G = ) G x F ( div •• SOLUCIÓN A criterio del profesor. 4021A5AE 54) Sea el campo vectorial ( ) k zy x + j z y x + i 22z y x = z y , ,x u 2 .

Determinar la divergencia y el rotacional de u en el punto ( ) 3 ,1 - ,1 P




SOLUCIÓN

18- = u •∇ ; j 8+ i 8 = u ×∇ 2031A6AE

55) Si r w = v × , verificar que v rot 21 = w , siendo w un vector constante.

SOLUCIÓN A criterio del profesor. 5031A4AE 56) Dada la función vectorial k ) z x ( + j ) ysen x y x 2 - x 3 ( + i 2 2 2 ) z + y x seny -y x 6 ( =u 2 2 2 Determinar la divergencia y el rotacional de la función. SOLUCIÓN

z x 2 + ) y x ( y x 4 - ) y x ( senx 2 - ) y x ( y -y 6 = u 2 2 2 2 2 4 coscos•∇ j ) z -z 2 ( = u 2 ×∇

6031A3AE 57) Obtener la divergencia del rotacional del campo vectorial

k ) z y x ( + j xzy + i 3 2

) ez x ( = u y -




SOLUCIÓN

0 = ) u ( ×∇•∇ 7031A4AE 58) Dada la función vectorial k ) z x 2 ( + j ) ysen x y x 2 - x 3 ( + i 2 2 ) z + y x seny -y x 6 ( =u 2 2 2 Determinar la divergencia y el rotacional de la función. SOLUCIÓN

x 2 + ) y x ( y x 4 - ) y x ( senx 2 - ) y x ( y -y 6 = u 2 2 2 2 2 4 coscos•∇ u ×∇ =0

2032A6AE 59) Dado el campo vectorial

k ) zy x b 7 + x ( + j ) zy x +y x 4 ( + i 2 2 zy x a = )z y , ,x ( F 4 3 2 determinar los valores de las constantes a y b de tal forma que la divergencia de F en el punto

) 1 ,2 ,1 ( P sea cero y en el punto ) 2 ,3 ,1 ( Q sea 2 SOLUCIÓN

81611 = a ;

10219 - = b




5011A4AE 60) Calcular todos los valores de las constantes α y β de modo que el campo k ) z 2 -y + x ( + j )y - z ( +i 2 αααβαβα ) 2 +z + x - ( = )z y, x, ( F 2

sea solenoidal e irrotacional. SOLUCIÓN

1- = α ; 1- = β 2031A7AE

61) Dado el campo vectorial j )y + x (

x - i 2 2 ) y + x (y = )y ,x ( V 2 2

determinar a) si V es un campo solenoidal. b) si V es un campo irrotacional.

SOLUCIÓN a) A criterio del profesor. b) A criterio del profesor. 4031A4AE 62) Determinar si el campo vectorial ) jy cos + iy sen( e = )y ,x ( F x es conservativo. SOLUCIÓN A criterio del profesor.




2032C5AE 63) Sea campo vectorial 4)k + zycx+yx(3 + b)j - z4xy + zyx(4 + i 2232222) 3 + zy2 +z axy( = )z y , ,x (F 223

determinar los valores de las constantes a , b y c de tal forma que el campo F sea conservativo.

SOLUCIÓN No existen ℜ∈ c ,b ,a 2041A3AE 64) Sea el campo senoidal representado por

k ) R ( + j )y +y e ( + i 2 x )y x ( = )z y , ,x ( F 2 a) Determinar la componente R . b) Con el resultado obtenido en el inciso anterior, determinar el rotacional de F . SOLUCIÓN a) )y ,x ( g +z y 2 -z e -z y x 2 - = R x

b) ( )k x -y e + j y),(x g x - ze + zy 2 + i2 x x

∂∂

∂∂ y) ,(x g y

+2z -xz 2 - = F rot

4032A3AE 65) Para el campo vectorial k ) y -y x 3 ( + j ) x z 3 - z ( + i 3 2 2 3 )y z 3 - y ( = )z y , ,x ( R 2 3 calcular: a) la divergencia de F b) el rotacional de F c) el laplaciano de F d) el gradiente de F




SOLUCIÓN a) 0 = F •∇ b) k ) z 3 + y 3 - z x 6 - ( + j )y x 6 - zy 6 - ( + i 2 2 ) z 3 - y 3 - x 6 ( = F x 2 2 2 ∇ c) 0 = F 2 ∇

d)

∇

0 y 3 - x 3 y x 6

x 3 - z 3 0 z x 6 -

zy 6 - z 3 - y3 0

= F

2 2

2 2

2 2

1011A5AE 66) Sea el campo vectorial k z x + j z y + i 3223 y x = F 23 , verificar la validez de la

expresión F - ) F div ( = ) F rot ( rot 2∇∇ SOLUCIÓN A criterio del profesor. 4011A3AE 67) Sea ( )z y , ,x F un campo vectorial tal que 0 = F div . Determinar las

características del campo vectorial )z y , ,x ( G tal que F = G rot SOLUCIÓN A criterio del profesor.




1011A6AE

68) Sea la función e + ) y ( + y + x

z = )z y , ,x ( f z222 Ln

a) Obtener f en función de las coordenadas cilíndricas )z , , ( θρ b) Obtener f ∇ en coordenadas cilíndricas. SOLUCIÓN

a) e + ) sen( 2 + 2 + z = )z , , ( f z2 θρρ

θρ lnln

b) ê e + 1 + ê cot

2 + ê zz2

∇

ρθ

ρρρθρ

2 + z 2- = f 3

1011C6AE 69) Utilizar coordenadas esféricas para calcular | r r | 2 •∇ Ln donde

k z + jy + i x = F SOLUCIÓN

r r2•

4011A4AE

70) Determinar si la función en coordenadas esféricas θρ

φθρ 4 + 2 = ) , , ( f es

una función armónica.




SOLUCIÓN A criterio del profesor. 5021A3AE 71) Sea la función ) r ( f = f donde z + y + x =r 222 . Obtener ) r ( f ∇ en

coordenadas esféricas. SOLUCIÓN

e df d = f ˆρρ

∇

2031C6AE 72) Determinar si la función θρθρθρ + 2 sen 4= ) , ( f 2 cos es armónica. SOLUCIÓN A criterio del profesor. 2032A7AE

73) Sea la función z xy = )z y , ,x ( f

Utilizar coordenadas esféricas para calcular f ∇




SOLUCIÓN

e sen - e + e = ) , ,r ( f 2 r ˆtanˆcotsecˆcostan φθ φθφθφθφθ∇ 2032C6AE 74) Sea la función ) + ( sen = ) , , ( f 3 φθρθφρ

Utilizar coordenadas esféricas para calcular φ∇ 2 SOLUCIÓN

) + ( sen sen

- ) sen) + ( sen-

) + ( ( + ) + ( sen sen 12 = f 3

2 3 2

φθφ

ρφφθ

φφθρφθφρ coscos∇

4032A4AE 75) Determinar si la expresión en coordenadas polares θρρρ θθ d 3 3 + d 3 2 = f d 2 ln ,

es una diferencial exacta. En caso de serlo, obtenga la función de la cual se obtiene. SOLUCIÓN

C + 3 = f 2 θρ 5032A4AE

76) Sea el campo ê 0 + ê sen + êcos 3 φθρ ρθ

ρθ 2 = u 3

Determinar si el campo u es solenoidal.




SOLUCIÓN A criterio del profesor. 5032A5AE

77) Sea el campo conservativo R | r |

r 22 ∈ = F

Determinar la función potencial de F . SOLUCIÓN

C + ) r ( = f Ln 2041A6AE 78) Calcular, en coordenadas polares, el gradiente de la función θθρ r 4 = ) , ( f cos . SOLUCIÓN

e ) sen4 ( - e ) 4 ( = f ˆˆcos θρ θθ∇ 4041A2AE 79) Determinar si el campo vectorial ( ) ( ) ( ) ( )e n se + e 2z sen + e nz se = z , , F z22 ˆˆcosˆ θρθθθθρ θρ es irrotacional, donde F está expresado en coordenadas cilíndricas circulares. SOLUCIÓN El campo es irrotacional.




5041A3AE 80) Utilizar coordenadas esféricas para determinar si el campo vectorial representado por

z + y + xk z + jy + i2 2 2

x = )z y , ,x ( F es conservativo. Si lo es, obtener su función potencial.

SOLUCIÓN El campo vectorial )z y , ,x ( F es conservativo y su función potencial en coordenadas

cartesianas es C + z + y + x = f 2 2 2 ln

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