propósitos, didáctica y contenido de cálculo aplicado iii
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Ricardo Pulido RíosTecnológico de Monterrey
Marzo de 2014
¿A quién se le quiere enseñar?
¿Quién enseña?
¿Cómo y dónde se le quiere enseñar?
¿Qué es lo que se quiere enseñar?
Estas y otras cuestiones nos han acompañadoen la evolución de nuestra visión de lo quepensamos es educar en matemáticas.
Antecedentes
Sobre la obra completa de Cálculo
El Cálculo Aplicado, Tomo III (Cálculo de Varias Variables)
¿Basta con saber Matemáticas para ser un buen profesor?
Problemas obvios en el aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas
La Investigación para la enseñanza de las Matemáticas
La Contribución de México en la investigación para la enseñanza de las Matemáticas
El aporte del Tecnológico en la Investigación Rasgos distintivos del nuevo discurso de
Cálculo
Anteceentes 4
Las primeras ideas sobre cómo enseñar yaprender matemáticas eran muy simples
e ingenuas.
Aprender significaba que el alumno pudiera
REPRODUCIR lo que se le había enseñado
La idea de enseñar y aprender se reducía a recordar secuencias de pasos ya sea para probar un teorema o para resolver un problema rutinario
Enseñar consistía en REPETIR lo que habíamos aprendido o exponer el contenido del libro de
texto señalado.
Antecedentes 5
Entonces, un buen profesor debería tener un buen conocimiento del contenido matemático para poder descomponerlo en una serie de afirmaciones lógicas; pero al mismo tiempo tener la habilidad para mantener la atención del alumno, es decir, debía poseer una cierta intuición pedagógica.
Antecedentes 6
Aprender matemáticas no debería ser difícil ya que se trata de seguir una cadena de argumentos lógicos que validan los resultados matemáticos que se estudian. Siendo así, el estudiante simplemente necesita poner atención a los razonamientos.
Problemas obvios en el aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas
El alto porcentaje de alumnos reprobadosEjemplo: en 1996 la Facultad de Ingeniería Mecánica de la UANL, en un curso de Matemáticas I (cálculo Diferencial) el 70% de un total de 1134 estudiantes reprobaron. En EUA, en 1997 el 40% de los estudiantes universitarios reprobaron un curso introductorio de Cálculo.
Los estudiantes que pasan lo hacen sin entender los conceptos claves. Las matemáticas conducen a un conocimiento profundo de los fenómenos naturales, pero el modo en que son enseñadas no acarrea ese beneficio.
Antecedentes 7
La Investigación para la enseñanza de las Matemáticas
La necesidad de investigar el problema educativo relacionado con las matemáticas, implica haber aceptado el supuesto de la complejidad del problema, pero al mismo tiempo proporciona la confianza de que es posible generar intervenciones sucesivas exitosas en el sistema educativo.
Para facilitar la discusión, la investigación en MatemáticaEducativa puede ubicarse en el estudio de tres áreas: lacognitiva (los estudiantes), la didáctica (la escuela y el profesor)y la epistemológica (el contenido a enseñar)
Antecedentes 8
La Contribución de México en la Investigación para la enseñanza de las
Matemáticas
Se rompió, en el caso de la enseñanza del Cálculo, con la idea que el contenido a enseñar debía de provenir de un conocimiento fijo e inamovible: el Análisis Matemático. De hecho la escuela mexicana encabezada por Ricardo Cantoral, agregó que era necesario incorporar en la investigación las prácticas sociales que tuvieran que ver con el surgimiento de conceptos matemáticos en aras de mejorar las propuestas para el aprendizaje. La incorporación de este elemento en la investigación dio origen al llamado enfoque socioespistemológico
Antecedentes 9
El aporte de la investigación en el Tecnológico de Monterrey para un cambio de Paradigma en la
enseñanza del Cálculo
Investigar en la Historia sobre los orígenes del CálculoLeibniziano con sus diferenciales e infinitesimales,observar cómo se convirtió en una herramienta clave ypoderosa para la Física (y la Ingeniería) que aún hoy sirvede apoyo esencial, mientras que los libros de textotradicionales de Cálculo no explican esos conceptos o losincluyen con argumentos incoherentes, dejó en claro lanecesidad de cambiar esos libros como apoyo para loscursos de Cálculo para ingeniería. Go to
El aporte de la investigación en el Tecnológico de Monterrey para un cambio de Paradigma en la
enseñanza del Cálculo
Investigar en la Historia sobre los orígenes del CálculoNewtoniano y observar cómo en el ambiente del estudiodel fenómeno del movimiento surgen ideas básicas quedesencadenarán poderosas herramientas para el estudiodel cambio en general, darán la posibilidad de vislumbraruna propuesta para la enseñanza que comience con unaidea paradigmática: conocer una magnitud a través delestudio de sus cambios sucesivos
Antecedentes 11
Seis profesores trabajando en equipo, asistiendode oyentes a cursos propios de ingeniería, paraver el contraste entre lo que se enseñaba dematemáticas y lo que ellos usaban en sus clases,reinventándose en su conocimiento de lasmatemáticas, se dieron a la tarea de construir unnuevo discurso del cálculo.
Antecedentes 12
Esta obra contiene una propuesta acerca de qué, cómo y porquéenseñar y aprender Cálculo, con la intención de proveer a estudiantesde ingeniería un aprendizaje funcional.Tal vez sería mejor decir que la propuesta refleja nuestro interés defomentar en los estudiantes a apreciar el conocimiento matemáticocomo una herramienta valiosa para resolver problemas en contextosreales relacionados con sus aspiraciones académicas. De esta forma sedesea responder a la cuestión del porqué enseñar o aprender Cálculo.El qué se enseña proviene de centrarse en la cuestión del para qué es elCálculo. Nociones, procedimientos, objetos matemáticos sonherramientas óptimas en los problemas propuestos. El cómo se enseñaestá ligado al desarrollo de una serie de actividades, situaciones yproblemas entrelazadas que puedan ser trabajadas por los estudiantesde un modo en el que ellos van construyendo gradualmente loselementos matemáticos hasta el nivel que puedan reconocerlos ymanejarlos en contextos propios de su interés académico.
Sobre la obra completa de Cálculo
Sobre la obra completa de Cálculo 13
Sobre la obra completa de Cálculo 14
Problemas guía de cada Volumen del Cálculo Aplicado
En el volumen I:Predecir el valor de una magnitud que está cambiando. El tratamiento de la predicción conduce a la construcción de nociones y procedimientos asociados con la razón de cambio y el cambio acumulado. La noción de derivada y de integral surgen y adquieren un significado preciso para esa práctica.
En el Volumen 2:Calcular el valor de una magnitud asociada a un todo, dividiéndolo en partes. Este problema da origen a la noción de diferencial como el valor de una magnitud infinitamente pequeña, junto con el de la suma o integral. Dividir el todo en partes infinitamente pequeñas, calculando las magnitudes correspondientes y sumarlas es parte esencial del proceso para atender el problema. La noción de la toma del elemento diferencial para calcular la magnitud completa, por medio de integración surge de la misma práctica. Hay que mencionar que esta última noción es muy utilizada en la física y la ingeniería y constituye una diferencia sustancial de nuestra propuesta a las tradicionales; simplemente ahí no existe.
Sobre la obra completa de Cálculo 15
En el Volumen III:
El problema es el de matematizar dos nociones fundamentalesde la Física: flujo y circulación. Aunque provienen de lahidrodinámica, estas nociones aparecen en otras áreas de laFísica; se habla por ejemplo de flujo eléctrico, circulación deun campo magnético, flujo del calor, etc. Para mostrar laimportancia de esas nociones es suficiente señalar que RichardFeynman dice en su segundo volumen de su libro de Física quesólo con esas dos nociones es posible describir las leyes de laelectricidad y el magnetismo. En el intento de darletratamiento matemático a estas dos nociones, parareconocerlas y manejarlas como aparecen en las ecuaciones deMaxwell, por ejemplo, aparecen nociones tales como derivadaparcial, gradiente, integrales de línea y de superficie, elteorema de la divergencia y del rotacional, entre otras, quepertenecen a lo que se conoce como el Cálculo de VariasVariables.
El Cálculo Aplicado, Tomo III (Cálculo de Varias Variables)
Cálculo de Varias Variables 16
Empezamos el estudio del flujo en un contexto familiar para el estudiantes: el flujo de agua. Del campo de velocidades de un flujo de agua surge la idea de un campo vectorial en general. El cálculo del flujo se hace primero en una situación simple: la superficie sobre la que se calcula el flujo es plana, la velocidad es constante y perpendicular a la superficie. Esta situación evolucionará hasta tener un campo vectorial y una superficie no necesariamente plana. Con la misma idea de avanzar de una situación restrictiva, pero simple y familiar, el primer acercamiento a la circulación es a través del concepto de trabajo en su versión más simple: el trabajo hecho por un campo de fuerzas constante en dirección de un desplazamiento rectilíneo. Eventualmente la operación de calcular el trabajo se extiende al caso de tener un campo y una curva en general.
Cálculo de Varias Variables 17
En el tránsito de un campo de fuerzas o velocidadesconstante a campos vectoriales en general, de líneasrectas a curvas, de superficies planas a curvas hayevidencia de un pensamiento infinitesimal. Utilizado enlos volúmenes previos como una poderosa herramienta,para construir conceptos claves del Cálculo como laderivada, la integral o el mismo teorema fundamentaldel cálculo, ahora se tienen productivas extensiones delas consideraciones algebraico-geométricas de esepensamiento; así como las curvas en los infinitamentepequeño son rectas y la razón de cambio se asumeconstante en segmentos infinitamente pequeños, lassuperficies curvas pueden considerarse planas enregiones infinitamente pequeñas y un campo vectorialpuede asumirse constante en porciones infinitesimalesde la superficie.
Cálculo de Varias Variables 18
De hecho las ideas de flujo y circulación llevadas a loinfinitamente pequeño, vía el pensamiento infinitesimal,permiten la construcción de “nuevas derivadas” como ladivergencia y el rotacional de un campo y establecer susrespectivos teoremas: de la divergencia de Gauss y el delrotacional de Stokes; éstos, a su vez, permitenpoderosos modos de caracterizar los campos vectorialescon sendas ecuaciones diferenciales parciales: como sonla ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial y laecuación del calor, por ejemplo.
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“it is an impossible situation that the mathematician teaches a mathematics that cannot be applied and the physicist applies a mathematics that has not been taught by the mathematician”
Freudenthal (1973) Mathematics as an
Educational Task
“So, a real schism was emerging between the theory and practice of calculus, while the level of rigor in the calculus itself was rising: those engaged with issues of foundations had a system of rules and those who applied calculus had another one. The situation has persisted until today, causing unnecessary and unfortunate confusion among students; on one side they have learned from the books of calculus that there are not magnitudes infinitely small, but at the same time, those things are used in the mathematical physics courses”
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