C álculo Financiero A plicado

U n Enfoque Profesional

2 a Edición Actualizada y Ampliada

G uillermo López D umrauf

Incluye ejercitación práctica resuelta

LA LEY

Indice

Pág.

Acerca del Autor........................................................................................... IXPrefacio .......................................................................................................... XIDestinatarios.................................................................................................. XIIIPanorámica de la obra.................................................................................. XVReconocimientos...................... XIX

Capitulo I

Introducción al Cálculo F inanciero

1.1. ¿Por qué debemos saber Cálculo Financiero?.............................. 11.2. El valor tiempo del dinero................................................................ 2

Diferencia entre el interés y la tasa de interés............................... 4Diferencia entre incremento porcentual y cantidad de veces en que crece un capital........................................................................ 5Tasas de interés activas y pasivas...................................................... 6Componentes de la tasa de interés.................................................. 6El costo del capital en las economías emergentes......................... 6Rentas y valuación de flujos de efectivo........................................... 7Reglas para llegar a buen puerto....................................................... 7

1.3. Panorámica de las aplicaciones del cálculo financiero................ 8La inflación destruye el valor de la moneda..................................... 8Préstamos................................................................................................ 10El dólar futuro y otros contratos de futuros...................................... 10Tipo de cambio real............................................................................... 11El riesgo país........................................................................................... 12Planes de jubilación y pensión............................................................ 13Opciones.................................................................................................. 14Rendimientos de los activos financieros en Argentina 1991- 2005 16

XXII G uillermo López D umrauf

Pág.Referencias bibliográficas.......................................................................... 17

Capítulo 2

Interés Simple

Introducción................................................................................................ 192.1. La capitalización en el régimen simple: características prin­

cipales .................................................................................................. 20Cuadro de marcha progresiva del interés simple........................ 20Fórmulas derivadas del monto a interés simple.......................... 21La formula del monto a interés simple cuando varía la tasa

de interés........................................................................................... 23Análisis del rendimiento y funciones del monto e interés

acumulado......................................................................................... 23Plazo medio......................................................................................... 26Tasa media............................................................................................ 27Tasa proporcional en el interés simple........................................... 28Interés civil y comercial..................................................................... 29

Forma de contar los intervalos de tiempo en la República Argentina............................................................................................. 30

Ejemplos de aplicación del interés simple en la vida real......... 31

2.2. Actualización en el interés simple: descuento racional y des­cuento com ercial................................................................................. 36Cuadro de marcha del descuento racional.................................... 37

Fórmulas derivadas del descuento racional.................................. 37

Análisis del descuento racional......................................................... 38

Análisis de las funciones del descuento racional con derivadas. 39

La operación de descuento en la práctica: el descuento co­mercial.................................................................................................... 40

Cómo se pacta el descuento en la vida real: la tasa de des­cuento nominal.................................................................................... 43

La equivalencia entre las tasas de interés vencida y de des­cuento para operaciones con más de un período.................... 44

Descuento comercial y racional: dos medidas diferentes de una misma operación........................................................................ 45

Cuadro de marcha del descuento comercial.................................. 46

Fórmulas derivadas del descuento comercial............................... 47

Análisis del descuento comercial....................................................... 47

Cálculo F inanciero Aplicado XXIII

Pág.Tiempo que tarda el descuento en anular un capital o do­

cumento ............................................................................................. 492.3. Equivalencia de capitales en el régimen simple y reemplazo

de pagos................................................................................................. 49Vencimiento común............................................................................. 50Vencimiento medio.............................................................................. 52Un atajo para calcular el vencimiento medio: la tasa no influ­

ye en el descuento comercial...................................................... 53

Resumen......................................................................................................... 56

Preguntas....................................................................................................... 57Problemas...................................................................................................... 57

Referencias bibliográficas.......................................................................... 61Apéndice 2A - Conversión de tasa nominal anual adelantada en

tasa efectiva de descuento....................................................................... 62Apéndice 2B - Conversión de tasa nominal anual adelantada en

tasa de interés efectiva.............................................................. 63

Capitulo 3

Interés Compuesto

Introducción................................................................................................... 653.1. Capitalización en el régimen compuesto........................................ 66

Rendimientos de los depósitos a plazo fijo en la República Argentina........................................................................................... 67

Características principales del interés compuesto......................... 67Cuadro de marcha progresiva del interés compuesto.................. 68

La fórmula del monto compuesto cuando la tasa de interés varía.................................................................................................... 68

Clasificación del régimen compuesto.............................................. 69

Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto.................... 69Aplicaciones del interés compuesto en la vida rea l....................... 71

Análisis de las funciones monto e interés acumulado.................. 72

Tiempo necesario para que un capital se convierta en múl­tiplo de sí mismo.............................................................................. 73

Tiempo en que dos capitales, colocados a diferente tasa, alcanzan igual monto...................................................................... 73

Comparación entre el monto simple y el monto compuesto........ 74

XXIV G uillermo López D umrauf

Pág.La tasa proporcional y equivalente en los regímenes simple

y compuesto.................................................................................... 75El monto a interés simple y el monto a interés compuesto:

comparación gráfica........................................................................ 76Monto fraccionario............................................................................. 77El interés compuesto y el anatocismo............................................. 78

3.2. Regimen de actualización compuesto............................................. 79El valor actual con tasa de interés compuesta................................ 79Análisis de la función del valor actual con interés compuesto

con derivadas................................................................................... 80El descuento compuesto con tasa adelantada: cuadro de

marcha............................................................................................... 81Fórmulas derivadas del descuento compuesto.............................. 82Análisis del descuento compuesto................................................... 83Representaciones gráficas del valor actual y del descuento......... 84Análisis de las funciones del descuento compuesto con de­

rivadas ............................................................................................... 84Comparación del interés y el descuento en los régimenes

simple y compuesto........................................................................ 85Relación entre la tasa de interés y la tasa de descuento en el

régimen compuesto........................................................................ 853.3. Equivalencia de capitales en el interés compuesto....................... 86

Vencimiento común y vencimiento m edio..................................... 87Comparación del vencimiento medio en los regímenes sim­

ple y compuesto.............................................................................. 88Utilidad del vencimiento medio en la práctica............................... 88

Resumen......................................................................................................... 88Preguntas....................................................................................................... 89Problemas...................................................................................................... 89Referencias bibliográficas............................................................................ 92Apéndice 3 A - Tasas de crecimiento del PBI en la Argentina

1900-2004................................................................................................ 93

Capítulo 4

Tasas de Interés

Introducción.................................................................................................. 954.1. Las tasas de interés vencidas............................................................. 96

C álculo F inanciero Aplicado XXV

Pág.La tasa nominal de la operación....................................................... 96

La tasa proporcional y la capitalización subperiódica.................. 98r/4 La tasa efectiva de la operación......................................................... 98

Una fórmula estandarizada para la tasa efectiva que evita confusiones....................................................................................... 100

\ '< La tasa equivalente.............................................................................. 104La capitalización continua y la tasa instantánea de interés.......... 106El valor límite de la tasa nominal cuando el número de capi­

talizaciones tiende a infinito ......................................................... 108

4.2. El cálculo financiero en un contexto inflacionario: la tasa deinterés real............................................................................................ 110La ecuación de arbitraje de Fisher.................................................... 112Evolución de las tasas de interés reales en la República Ar­

gentina................................................................................................ 113Obtención de la tasa real en el régimen continuo.......................... 114

Aplicaciones en el mundo real.......................................................... 115

4.3. Operaciones en moneda extranjera.................................................. 117

Teoría de la paridad de las tasas de interés.................................... 119

Teoría de la paridad relativa del poder adquisitivo...................... 121

El efecto de Fisher internacional...................................................... 122

" 4.4. Tasas de descuento............................................................................. 123

Tasas de descuento nominal, proporcional y el descuento subperiódico..................................................................................... 124

La tasa efectiva de descuento a partir de la tasa nominal de descuento.......................................................................................... 125

La tasa equivalente de descuento..................................................... 125

Frecuencia de capitalización y las tasas de interés......................... 126

Cuadro resumen de las relaciones entre las distintas tasas......... 126

Resumen......................................................................................................... 128

Preguntas........................................................................................................ 129

Problemas....................................................................................................... 130

Referencias bibliográficas............................................................................ 134

Apéndice 4A - Análisis de las operaciones financieras con los datosdel diario.................................................................................................. 135

Apéndice 4B - Teoría matemática del interés............................................ 139

XXVI G uillermo López D umrauf

Pág.Capítulo 5

Indices y Coeficientes de Ajuste

Introducción.................................................................................................. 1415.1. Tipos de números índice................................................................... 142

Números índices simples.................................................................. 142Números índices compuestos........................................................... 142

5.2. índices utilizados con frecuencia en la economía y las fi­nanzas ................................................................................................... 142índice de precios al consumidor...................................................... 143Relación con la evolución del ingreso............................................. 143índice de Laspeyres............................................................................ 144índice de precios de Paasche............................................................ 144índice de precios mayorista nivel general...................................... 146índice de tipo de cambio rea l........................................................... 152índice de riesgo-país.......................................................................... 154El índice del mercado de valores (Merval)..................................... 154índice de dólar futuro INDOL........................................................... 157

5.3. Coeficientes de ajuste diario............................................................. 160índices de ajuste por tasas de interés.............................................. 160El coeficiente de estabilización de referencia (CER)..................... 162El coeficiente de variación de los salarios...................................... 164Coeficiente de Variación de Salarios. Composición...................... 166

Resumen........................................................................................................ 167Preguntas....................................................................................................... 168Problemas...................................................................................................... 168Referencias bibliográficas............................................................................ 169

Capítulo 6

Rentas T emporarias

Introducción.................................................................................................. 1716.1. Rentas temporarias............................................................................. 172

Una clasificación operativa para las rentas..................................... 174Rentas de pagos vencidos y de pagos adelantados....................... 175Renta temporaria inmediata de pagos vencidos............................ 175Fórmulas derivadas de la renta temporaria inmediata................ 178

C álculo Financiero A plicado XXVII

Pág.Renta temporaria inmediata de pagos adelantados....................... 179Resolución de rentas con Excel®...................................................... 181Resolución con calculadora financiera Hewlett PackardHP12C ... 181Rentas diferidas.................................................................................... 181Rentas anticipadas e imposiciones................................................... 183Imposición de pagos vencidos......................................................... 183Imposiciones de pagos adelantados................................................ 185Diferencia entre una renta anticipada y una imposición.............. 186

6.2. Relaciones y categorías importantes de las rentas......................... 187Renta inmediata e imposición........................................................... 187Diferencia entre las cuotas de una renta inmediata y una

imposición........................................................................................ 187Cuadro resumen del valor de las rentas temporarias................... 189Rentas fraccionadas o asincrónicas.................................................. 190Análisis y gráficos de las funciones de rentas................................. 191Cálculo de la tasa implícita de una renta con interpolación

lineal................................................................................................... 193Un ejemplo del mundo real: estimación de la renta de jubi­

lación .................................................................................................. 197Resumen......................................................................................................... 199Preguntas........................................................................................................ 199Problemas....................................................................................................... 200Referencias bibliográficas............................................................................ 202

Capítulo 7

Rentas Perpetuas y Rentas Variables

Introducción................................................................................................... 2037.1. Rentas perpetuas.................................................................................. 204

Renta inmediata de pagos vencidos................................................. 205Aplicaciones de la renta perpetua: el modelo de los divi­

dendos ............................................................................................... 207Ejemplo real: los ferrobonos argentinos.......................................... 208Las ganancias de capital no son importantes en el valor de

la perpetuidad.................................................................................. 209Rendimientos de la inversión en acciones...................................... 211Rentas diferidas.................................................................................... 211

XXVIII G uillermo López D umrauf

Pág.Rentas anticipadas............................................................................ 211

7.2. Rentas variables temporarias en progresión geométrica............. 212Renta inmediata con pagos variables vencidos.............................. 213Rentas variables diferidas.................................................................. 215Rentas variables anticipadas (imposición)..................................... 215

7.3. Rentas variables perpetuas en progresión geométrica................. 216Renta inmediata, variable, de pagos vencidos................................ 216Renta variable diferida........................................................................ 221Renta variable anticipada................................................................... 221

7.4. Rentas variables temporarias en progresión aritmética............... 221Renta inmediata variable de pagos vencidos................................. 222Renta variable diferida........................................................................ 224Imposición........................................................................................... 224

7.5. Rentas variables perpetuas en progresión aritmética................... 225Renta variable inmediata de pagos vencidos................................. 225Renta variable diferida........................................................................ 225Renta variable anticipada.................................................................. 225Esquema y fórmulas de rentas perpetuas y variables................... 225

Resumen......................................................................................................... 227Preguntas...................................................................................................... 227Problemas.............. 228Referencias bibliográficas............................................................................ 230Apéndice 7A - Como asimilar una renta variable a una renta de

pagos fijos: el método de la sustitución de variable....................... 231

Capítulo 8

P réstamos con Intereses sobre Saldo

8.1. Sistema francés................................................... 236Fórmulas más utilizadas.................................................................... 237Cuadro de marcha............................................................................... 238Método prospectivo............................................................................ 241Método retrospectivo.......................................................................... 242Cálculo del saldo del préstamo en un período irregular.............. 242Tiempo medio de reembolso........................................................... 243Fondo amortizante............................................................................. 244

C álculo F inanciero A plicado XXIX

Pág.Intereses periódicos........................................................................... 245Intereses abonados entre períodos no consecutivos.................... 246Resumen de fórmulas para el sistema francés................................ 247El recálculo de la cuota del préstamo por reflnanciación............. 249Como los bancos imputan las amortizaciones parciales y

cálculo del saldo del préstamo..................................................... 252Evolución del valor de la cuota cuando aumenta el plazo de

pago.................................................................................................... 254La cuota del préstamo establecida como un porcentaje del

ingreso mensual............................................................................... 254Efecto de pagos extraordinarios en el valor de la cuota: la

cuota “balloon” ................................................................................. 255Efectos de los impuestos y los gastos en la cuota y en el costo

del préstamo..................................................................................... 255Efecto de los gastos de otorgamiento en el costo efectivo del

préstamo........................................................................................... 256El costo financiero total del préstamo: caso del banco XX............ 256Indexación en el sistema francés...................................................... 258Caso de aplicación: el coeficiente de estabilización de refe­

rencia (CER)...................................................................................... 258Inconvenientes que surgen con la indexación de préstamos...... 260

8.2. Sistema alem án.................................................................................... 262Fórmulas más utilizadas.................................................................... 263Amortización periódica..................................................................... 263Tasa de amortización en el sistema alemán.................................... 263Cuadro de marcha................................................................................ 263Cálculo del saldo del préstamo: métodos prospectivo y re­

trospectivo ........................................................................................ 264

Intereses periódicos........................................................................... 264

Cuota periódica.................................................................................... 265

Intereses abonados entre períodos no consecutivos.................... 265

Resumen de fórmulas.................................. 267

Comparación entre el sistema de amortización francés y alemán..................................................... 267

Responsabilidad del prestamista en los sistemas francés y alemán................................................................................................ 269

8.3. Sistema americano............................................................................... 269

XXX G uillermo López D umrauf

Pág.Sistema americano tradicional........................................................ . 269Cuadro de marcha............................................................................... 270Sistema americano con constitución de Fondo de Amorti­

zación ................................................................................................ 270Comparación de la cuota que se abona en el sistema ameri­

cano de las dos tasas con la cuota del sistema francés.............. 270Sistemas francés, alemán y americano: balance............................ 272

Resumen........................................................................................................ 272Preguntas....................................................................................................... 273Problemas...................................................................................................... 273Referencias bibliográficas............................................................................ 275Apéndice 8A - Costo financiero total del préstamo - Caso real............. 276Apéndice 8B - Efecto del IVA en la cuota................................................... 278

Capítulo 9

P réstamos con Intereses D irectos

Introducción.................................................................................................. 2799.1. Préstamos con intereses directos...................................................... 280

Tasa directa cargada............................................................................ 280Obtención de la tasa sobre saldos a partir de la directa

cargada r ............................................................................................ 281Obtención de la tasa directa a partir de la tasa sobre saldos....... 281La relación entre r e i cuando se modifica el número de pe­

ríodos ................................................................................................ 2829.2. Intereses directos descontados......................................................... 285

Obtención de t a partir de la tasa directa cargada........................... 2869.3. Intereses promediados....................................................................... 287

Relación entre la tasa de interés promediados u y la tasa sobre saldos i : .................................................................................. 287

9.4. Intereses adelantados y amortización vencida.............................. 2899.5. El costo financiero de las distintas modalidades de préstamos.... 2909.6. Otras modalidades de préstamos utilizadas en la práctica........... 291

El préstamo con saldo utilizable....................................................... 291Préstamos para actividades específicas........................................... 292

9.7. Los sistemas de préstamos y el impacto en la rentabilidaddel capital propio................................................................................ 292

C álculo Financiero A plicado XXXI

Pág.Financiamiento con sistemas que calculan intereses sobre

saldo................................................................................................... 294Financiamiento con intereses calculados directamente sobre

el capital............................................................................................ 295Efectos impositivos del tipo de financiamiento............................. 297Ranking del ahorro fiscal.................................................................... 298

Resumen......................................................................................................... 299Preguntas........................................................................................................ 299Problemas....................................................................................................... 299Referencias bibliográficas............................................................................ 300

Capítulo 10

T écnicas de Evaluación de Proyectos de Inversión

Introducción................................................................................................... 30110.1. La tasa de rendimiento contable..................................................... 30210.2. El período de recupero (payback).................................................. 30410.3. Período de recupero descontado (discounted payback)............ 30610.4. El valor actual n eto ............................................................................ 308

Como debe interpretarse el VAN..................................................... 309¿Cuál es la tasa de interés que debe utilizarse para calcular

elVAN?............................................................................................. 310La regla del valor actual neto: si el VAN es positivo....................... 311Análisis de la función del VAN.......................................................... 312El valor terminal en los proyectos de inversión..........i................ 314

10.5. La tasa interna de retorno................................................................. 315La regla de decisión de la T IR .......................................................... 316El supuesto de la reinversión de fondos........................................ 317Como calcular la TIR sin ayuda de calculadoras financieras: .... 318Proyectos "convencionales” o “simples”: cuando el VAN y la

TIR coinciden.................................................................................. 319Diferencias y analogías entre el VAN y la TIR................................ 321

10.6. El índice de rentabilidad o relación beneficio-costo.................. 321Regla de decisión del índice de rentabilidad................................ 322

10.7. Algunas complicaciones en las técnicas de presupuesto decapital................................................................................................... 3231er inconveniente: proyectos mutuamente excluyentes.............. 323

XXXII G uillermo López D umrauf

Pág.2do inconveniente: reinversión de fondos................................. . 3303er inconveniente: proyectos de endeudamiento......................... 3304to inconveniente: la estructura temporal de la tasa de interés .... 331

5'° inconveniente: TIR múltiples o ausencia de una TIR............. 33210.8. La TIR modificada............................................................................... 334

La reinversión de fondos................................................................... 336Otra forma de calcular la TIR modificada...................................... 337TIR modificada: ejemplo de aplicación con Excel®..................... 337¿La TIR Modificada puede corregir los errores de la TIR?........... 338

10.9. Proyectos con diferente vida: cuando la regla directa delVAN puede fallar................................................................................... 340

El método de la anualidad equivalente......................................... 342

10.10. La “duration” en la evaluación de proyectos.................................. 343

Más acerca de proyectos con diferente tam año............................ 345

10.11. Cálculo del VAN y la TIR con flujos no periódicos........................ 346

10.12. Los proyectos sólo se aceptan sí son buenos proyectos............. 348

10.13. Los proyectos, la estrategia y la teoría de opciones..................... 349

Resum en.............................................................................................................. 350

Preguntas.............................................................................................................. 350

Problemas...............,............................................................................................ 352

Referencias bibliográficas................................................................................. 356

Páginas web recom endadas:........................................................................... 357

Capítulo 11

Introducción a la Valuación y Cálculo de Rendimiento de B onos

Introducción.......................................................................................................... 359

11.1. Conceptos Fundam entales.................................................................. 360

Pagos de capital o principal.................................................................. 361

Valor residual............................................................................................ 362

Pagos de in terés ........................................................................................ 363

Detalles en la construcción del flujo de fondos del b o n o ........... 365

Acerca de la forma de contar los días cuando el servicio cae en un día no laborable........................................................................ 366

Intereses corrid o s..................................................................................... 367

Cálculo F inanciero Aplicado XXXIII

Pág.11.2. Valuación y cálculo del rendimiento de la inversión en

bonos................................................................................................... 367Valuación de un bono con pago del principal al final................. 368Medidas de rendimientos de la inversión en bonos................... 369Concepto de rendimiento al vencimiento (Yield to Maturity) 370Rendimiento corriente (currentyield) ........................................... 371Ganancias de capital (capital gain yield) y rendimiento total

esperado............................................................... 372Rendimiento total esperado (TIR).................................................. 373Consideraciones impositivas.......................................................... 373Evolución del precio del bono hasta su vencimiento................. 374El rendimiento cuando el bono tiene una opción de rescate

anticipado (cali feature)................................................................ 37511.3. Valuación de Obligaciones compradas entre períodos inter­

medios ................................................................................................. 376Valuación de un bono adquirido entre dos períodos de renta .. 377El criterio de la reinversión de los cupones a una tasa “segura” .. 378La función “TIR no periódica” ......................................................... 379Ejemplos reales: cálculo de rendimiento de bonos argentinos ... 380Ejemplo reales: costo efectivo de financiarse con obligacio­

nes negociables............................................................................. 38311.4. Riesgos asociados a la inversión en bonos................................... 384

Riesgo de la tasa de interés.............................................................. 384Riesgo de reinversión.............................................................. 385Riesgos de los bonos con opciones................................................ 385Riesgo de rescate anticipado........................................................... 385Riesgo de inflación............................................................................ 386Riesgo de devaluación...................................................................... 387Riesgo de default............................................................................... 387Riesgo de liquidez............................................................................. 387

11.5. Riesgo soberano, riesgo país y riesgo de crédito.......................... 387Factores que influyen en el riesgo país.......................................... 388Cálculo de la stripped yield............................................................. 389El riesgo país y su relación con otras variables e indicadores

económicos.................................................................................... 39011.6. Las Obligaciones Negociables y la calificación del riesgo de

crédito................................................................ 392

XXXIV G uillermo López D umrauf

Pág.Variables observadas........................................................................ 393Calificación de obligaciones negociables en la República

Argentina......................................................................................... 394Resumen........................................................................................................ 395Preguntas....................................................................................................... 395Problemas...................................................................................................... 396Referencias bibliográficas............................................................................ 399Apéndice 11 A - Capitalización del descuento y amortización de

la prima................................................................................................... 400

Capítulo 12

Volatilidad de T ítulos con Renta F ija

Introducción.................................................................................................. 40112.1. Volatilidad.......................................................................................... 402

El riesgo precio tasa de interés....................................................... 403Ejemplo del plazo de vencimiento................................................. 404Ejemplo para el tamaño del cupón................................................ 405Ejemplo para la frecuencia del cupón........................................... 405La Duration (duración) de un b o n o .............................................. 407Factores que afectan la duration de un b o n o ............................... 408Duration modificada......................................................................... 409Derivación matemática de la Duration y la Duration Mo­

dificada............................................................................................ 412Significados de la duration.............................................................. 413Cálculo de la Duration y la Duration Modificada con Excel®.... 414Cambios en la TIR exigida no afectan en forma simétrica al

precio del b on o ............................................................................. 416Convexity............................................................................................ 417Factores que afectan a la Convexity................................................ 419Derivación matemática de la Convexity........................................ 419Utilización de la duration y la convexity en el análisis fi­

nanciero .......................................................................................... 42012.2. Inmunización de una cartera de bonos......................................... 421

Inmunización y Duration................................................................. 423Inmunización y convexity................................................................ 425

12.3. La estructura temporal de la tasa de interés................................. 427

Cálculo F inanciero Aplicado XXXV

Pág.Los bonos cupón cero y las tasas de interés corrientes y

futuras................................................................................... 427Métodos para obtener las tasas de interés corrientes:

bootstrapping................................................................................. 429¿Por qué es importante la estructura temporal de la tasa de

interés?...... ..................................................................................... 431La curva de rendimientos y el arbitraje.......................................... 433Regularidades empíricas en la estructura temporal de la tasa

de interés........................................................................................ 434Teorías sobre la estructura temporal de la tasa de interés.......... 435La estructura temporal de la tasa de interés en la República

Argentina......................................................................................... 437Resumen......................................................................................................... 438Preguntas........................................................................................................ 439Problemas....................................................................................................... 439Referencias bibliográficas............................................................................ 441Apéndice 12A - Inmunización de un portafolio de bonos con Boden

2005 y Boden 2013.................................................................................. 442

Capítulo 13

T eoría de Opciones

Introducción................................................................................................... 44513.1. Principales tipos de opciones......................................................... 446

Resultado de las opciones de compra............................................ 447Opciones de venta............................................................................ 449

13.2. Factores que determinan el precio de una opción....................... 451El precio de la acción........................................................................ 452El precio de ejercicio......................................................................... 452La volatilidad...................................................................................... 452El tiempo de vida de la opción....................................................... 452La tasa de interés libre de riesgo..................................................... 453Los dividendos................................................................................... 454

13.3. Ejercicio de la opción antes de su vencimiento........................... 455Opciones de compra que no distribuyen dividendos................. 455Opciones de venta que no distribuyen dividendos.................... 457El efecto de los dividendos.............................................................. 458

XXXVI G uillermo López D umrauf

Pág.La paridad put-call en las opciones europeas.............................. 458Límites inferior y superior para el valor de las opciones que

no distribuyen dividendos........................................................... 46013.4. Valuación de opciones con el método binomial.......................... 464

¿Qué es un mundo neutral al riesgo?............................................. 468El atajo de las probabilidades neutras ponderadas..................... 469El árbol binomial en dos pasos....................................................... 471Diferencias entre la valuación de la opción americana y la

opción europea............................................................................... 474Delta o Coeficiente de cobertura: un aviso de cuidado.............. 474

13.5. Valuación de opciones con el modelo de Black-Scholes: lafórmula que ganó el premio N obel................................................. 476Supuestos del modelo Black-Scholes.............................................. 478

Ejem plo: una opción de com pra sobre las acciones de Acindar................................................................................................ 479

Convergencia del método binomial a Black-Scholes.................. 480

Resum en.............................................................................................................. 484

Preguntas............................................................................................................. 484

Problem as............................................................................................................ 484

Referencias bibliográficas................................................................................. 486

Apéndice 13 A - M ontaje de un árbol binom ial en una planillaelectrónica.................................................................................................... 487

Capitulo 14

Introducción a las Opciones Reales

Introducción.......................................................................................................... 489

Introducción: las opciones en las finanzas corporativas......................... 490

14.1. Valuación de una opción de diferim iento de la inversiónin ic ia l........................................................................................................... 491

Primer paso: Calculamos el valor presente sin flexibilidad....... 492

Segundo paso: diseño y análisis del árbol de d ecisión ............... 494

Usar el VAN más la técnica DTA viola la ley del precio ú nico ...... 495

Tercer paso: valuación de la opción real con los m étodos del portafolio replicado y neutralidad ante el riesgo............... 496

La técn ica del VAN no valúa correctam en te la op ción de diferir......................................................................................................... 498

14.2. Diferencias fundamentales entre los métodos VAN y ROA.......... 499

Cálculo F inanciero A plicado XXXVII

Pág.Obtención de las tasas ajustadas al riesgo.................................... 499Inexistencia de activo negociado (Marketed Asset Disclaimer) ... 500Portafolio replicado con los retornos del proyecto..................... 501Método de valuación suponiendo neutralidad ante el riesgo ... 501

14.3. Opciones clásicas: expansión, contracción y abandono dela actividad......................................................................................... 503Valuación de la opción de expansión............................................. 504Valuación de la opción de abandono............................................. 507Valuación de la opción de contraer................................................ 509Valuación de la opción combinada................................................ 511Valor de la opción de expansión cuando se pagan dividendos ... 514

14.4. Revisión del VAN y las técnicas de valuación de opcionesreales.................................................................................................... 517Tasas ajustadas al riesgo (TAR)....................................................... 517Probabilidades objetivas y probabilidades hedge...................... 519Diferencias entre opciones reales y opciones financieras.......... 519

Resumen......................................................................................................... 520Preguntas........................................................................................................ 521Problemas....................................................................................................... 521Referencias bibliográficas............................................................................ 523Apéndice A - Caso real en la industria de la construcción: “Hori­

zonte” ....................................................................................................... 525Apéndice B - Caso real en la industria de la construcción: "Cin” ........... 527Apéndice C - Caso real en la industria agro-biotecnológica:

“Agrogen” ................................................................................................ 528Apéndice D - Caso real en telecomunicaciones: “Telnet” ...................... 530

Capítulo 15

El Costo de Capital

Introducción................................................................................................... 53115.1. ¿Qué rendimiento debe recompensarnos una inversión

“riesgosa” ............................................................................................ 532El rendimiento que podemos obtener en una alternativa de

riesgo similar.................................................................................. 533El riesgo de negocio.......................................................................... 534El riesgo financiero........................................................................... 534

XXXVIII G uillermo López D umrauf

Pág.15.2. El capital asset pricing model (CAPM)........................................... 53515.3. El proceso de estimación del costo del capital de las acciones

en la práctica........................................................................................... 539

15.4. La tasa libre de riesgo........................................................................ 540

¿Tasas de corto o largo plazo?.......................................................... 542

Recomendaciones de algunas consultoras....................................... 544

Una solución de compromiso.............................................................. 544

15.5. La prima por riesgo de mercado...................................................... 546

Argumentos a favor de incluir el promedio aritmético............... 546

Argumentos a favor de incluir el promedio geométrico............. 546

Prima de riesgo de mercado implícita (implied equity risk prem iun)............................................................................................ 546

Primas de mercado locales no representativas............................. 548

¿Qué hacen los consultores en la Argentina?................................. 548

Recomendaciones de algunas consultoras.................................... 549

15.6. El coeficiente b e ta ................................................................................. 549

Intervalos de medición........................................................................ 549

Cálculo del beta con Excel®................................................................ 550

La técnica del beta comparable............................................................. 551

Alternativas al beta comparable: betas contables............................ 552

15.7. Prima por riesgo país............................................................................ 553

Incorporación del riesgo país en la tasa descuento..................... 553

Incorporación del riesgo país en el flujo de efectivo, con escenarios de probabilidad ponderada.......................................... 555

¿Riesgo país en la tasa o en los flujos de efectivo?........................ 558

15.8. El costo de la deuda................................................................................... 559

15.9. E1WACC y la estructura de capital.......................................................... 560

15.10. Caso real: estimación del costo de capital de G N X........................... 561

El costo de capital en empresas con acciones sin cotización pública: ¿se encontrará una solución?........................................... 563

R esum en...................................................................................................................... 563

Preguntas..................................................................................................................... 564

P roblem as.................................................................................................................... 564

Referencias bibliográficas........................................................................................ 566

C álculo F inanciero Aplicado XXXIX

Pág.Apéndice A

Respuestas a las Preguntas y los P roblemas de los Capítulos

Capítulo 2: Interés simple............................................................................ 569Respuestas a las preguntas................................................................... 569Resolución de los problemas............................................................... 570

Capítulo 3: Interés compuesto.................................................................... 576Respuestas a las preguntas................................................................... 576Resolución de los problemas............................................................... 576

Capítulo 4: Tasas de interés......................................................................... 580Respuestas a las preguntas................................................................... 580Resolución de los problemas............................................................... 581

Capítulo 5: Indices y coeficientes de ajuste............................................... 590Respuestas a las preguntas................................................................... 590Resolución de los problemas............................................................... 591

Capítulo 6: Rentas temporarias................................................................... 591Respuestas a las preguntas................................................................... 591Resolución de los problemas............................................................... 592

Capítulo 7: Rentas perpetuas y variables.................................................. 598Respuestas a las preguntas................................................................... 598Resolución de los problemas............................................................... 598

Capítulo 8: Préstamos con intereses sobre saldo.................................... 602Respuestas a las preguntas................................................................... 602Resolución de los problemas............................................................... 603

Capítulo 9: Préstamos con intereses directos.......................................... 609Respuestas a las preguntas................................................................... 609Resolución de los problemas............................................................... 610

Capítulo 10: Técnicas de Evaluación de Proyectos de Inversión.......... 611Respuestas a las preguntas................................................................... 611Resolución de los problemas............................................................... 612

Capítulo 11: Obligaciones o bonos............................................................ 618Respuestas a las preguntas................................................................... 618Resolución de los problemas............................................................... 619

Capítulo 12: Volatilidad de Títulos con Renta F ija ................................... 623Respuestas a las preguntas................................................................... 623

XL G uillermo López D umrauf

Pág.Resolución de los problemas.............................................................. 623

Capítulo 13: Introducción a las Opciones................................................. 627Respuestas a las preguntas................................................................... 627Resolución de los problemas.............................................................. 627

Capítulo 14. Introducción a las opciones reales...................................... 631Respuestas a las preguntas................................................................... 631Resolución de los problemas.............................................................. 632

Capítulo 15. El costo del Capital................................................................. 635Respuestas a las preguntas................................................................... 635Resoluciones de los problemas.......................................................... 636

Apéndice B

F órmulas más U tilizadas de la M atemática F inanciera

Capítulo 2: Interés simple............................................................................ 639Monto y fórmulas derivadas............................................................... 639Valor actual con tasa de interés........................................................... 639Valor actual con tasa de descuento..................................................... 640

Capítulo 3: Interés compuesto.................................................................... 640Monto y fórmulas derivadas............................................................... 640Valor actual con tasa de descuento..................................................... 640

Capítulo 4: Tasas de interés......................................................................... 640Tasas de interés vencidas. Equivalencias.......................................... 641Tasas de descuento. Equivalencias..................................................... 641

Capítulo 6. Rentas temporarias................................................................... 641Renta temporaria inmediata de pagos vencidos.............................. 641Renta temporaria inmediata de pagos adelantados........................ 641Renta diferida......................................................................................... 642Imposición de pagos vencidos........................................................... 642Imposición de pagos adelantados...................................................... 642

Capítulo 7. Rentas perpetuas y rentas variables...................................... 642a) Rentas perpetuas con cuotas constantes....................................... 642b) Con cuotas variables........................................................................ 642

Capítulo 8. Sistemas de amortización de préstamos............................... 643Valor del préstamo................................................................................ 643

Cálculo F inanciero Aplicado XLI

Pág.Cuota........................................................................................................ 643Número de períodos.............................................................................. 643Saldo del préstamo al final de un período......................................... 643Sistema alem án...................................................................................... 643

Apéndice C

Revisión de álgebra....................................................................................... 645Revisión de operaciones con números reales.......................................... 645Factor común.................................................................................................. 645Pasaje de términos........................................................................................ 645Común denominador.............................. 646Distributiva..................................................................................................... 647Radicación...................................................................................................... 650Operaciones con “infinito” .......................................................................... 650Logaritmos...................................................................................................... 650Progresiones................................................................................................... 653Progresiones aritméticas:............................................................................. 653Tabla de derivadas usuales......................................................................... 655

Glosario, 657