Atividades Práticas Supervisionadas

Engenharia de Controle e Automação

3º e 4º Semestres

Cálculo III

Objetivo do Desafio

Encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels,

que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém-descoberto.

ETAPA 1

Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

PASSOS

Passo 1

História da Integral:

A história mostra que o cálculo integral se originou com problemas de quadratura e

cubatura. Resolvendo o problema de medição da área de uma região bidimensional. Para

muitos matemáticos, cientistas e engenheiros a integral simplifica os problemas complicados.

Historicamente, existem inúmeras contribuições dos matemáticos no cálculo, tais como:

- Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) quem executou as primeiras quadraturas

quando encontrou a área de certas lunas.

- Antiphon (cerca de 430 A.C.) afirmava que poderia "quadrar o círculo" ou encontrar

sua área, usando uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos.

- Eudoxo (cerca de 370 A.C.) usou um método chamado de exaustão.

- Arquimedes (287--212 A.C.), conhecido como o maior matemático da antiguidade,

usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes primeiro

mostrou que a área depende da circunferência. Seu mais famoso trabalho de todos, foi um

tratado combinado de matemática e física, Arquimedes empregou indivisíveis para estimar o

centro de gravidade.

Outros matemáticos surgiram, depois de Arquimedes, como o árabe Thabit ibn Qurrah

(826--901) quem desenvolveu sua própria cubatura. Assim também o cientista persa Abu Sahl

al-Kuhi (século 10) quem simplificou consideravelmente o processo de Thabit Ibn. O

matemático Al-Haytham (965--1039), mais conhecido no ocidente como Alhazen e quem

chegou a ser famoso por seu trabalho em ótica. E assim em diante, muitos outros

matemáticos, estudantes, cientistas, etc. trabalharam ao longo da história para construir o

caminho que hoje facilita o cálculo integral em diversos ambientes, sendo usada como uma

ferramenta de auxilio.

Fonte: Wikipédia.

Passo 2

Leiam os desafios propostos:

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:

= a^4/12 + (3a^-2)/-2 + 3lna

= a^4/12 – 3/2a^2 + 3lna + C

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de

U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a

profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo

total para se perfurar q pés, é:

C’(q) =1000 + 50q

= 1000q + (50q^2)/2

= 1000q +25q^2 +C

Substituindo C(0) = 10000 na expressão acima teremos:

C(q) = 1000q +25q^2 + 10000

Resposta correta alternativa A.

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu

exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número

de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por:

C(t) = 16,1.e^0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de

petróleo consumida entre 1992 e 1994?

Resposta correta alternativa C.

Desafio D

Resposta correta alternativa A.

Passo 3

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos

realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b).

Para o desafio B:

Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (a).

Para o desafio C:

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).

Para o desafio D:

Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (a).

Passo 4

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de

Relatório 1 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

Resposta 1: Vide Etapa1, Passo 3, Desafios A, B, C e D.

Resposta 2: 3019.

ETAPA 2

Aula-tema: Integração por Substituição. Integração por Partes.

PASSOS

Passo 1

Integração por Partes:

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar

a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista

como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte, onde   e   são funções de classe C no

intervalo  , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b.

A fórmula canônica é dada pela seguinte expressão:

ou, ainda, de forma mais enxuta:

Exemplos:

Algumas antiderivadas são facilmente obtidas via integração por partes, então vejamos

alguns exemplos:

Onde se escolheu    e 

Mediante    e 

Demonstração

Uma demonstração simples pode ser obtida através da regra do produto:

Integrando esta expressão entra a e b, temos:

Concluímos a demonstração, através do teorema fundamental do cálculo:

Integração por Substituição:

Considere a seguinte integral:

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de

variáveis  , onde   é uma função qualquer contínua no domínio de integração.

Fazendo  :

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função

a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da

outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer

substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas).

Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.

Substituições trigonométricas

As substituições trigonométricas são muito úteis quando encontramos integrais contendo

expressões da forma:

Neste caso, as substituições adequadas são:

Passos para a integração:

Passo 1: Faça uma escolha para  . Ex.:  .

Passo 2: Calcule  .

Passo 3: Faça a substituição  ,  . Neste ponto a integral deve estar

em termos de  . Se isso não acontecer, deve-se tentar uma nova escolha para  .

Passo 4: Calcule a integral resultante, se possível.

Passo 5: Substituir   por  ; assim, a resposta final estará em termos de  .

Exemplo

Considere a integral   usando a substituição  ,

obtêm-se 

A integral de Cosseno ao quadrado pode ser feita utilizando integração por partes:

Voltando a equação original:

Agora deve se voltar à incógnita original, isso pode ser feito traspondo o ângulo   para

um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a   

igual a  , consequentemente o cateto adjacente ao ângulo   valerá  . Estes valores

podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo

assim as seguintes relações:

O ângulo   pode ser expresso como:

 

Obtendo assim a resposta final.

Fonte: Wikipédia.

Passo 2

Considerem as seguintes igualdades:

I) = II)

Resolução I) – Integral por substituição:

u = t^2-6t

du = 2t-6 dt , du/2 = t-6 dt

∫u^4 du/2 = -1/2∫u^4 du = -1/2(u^5)/5 = (-u^5)/10 =

=

Resolução II) – Integral por partes:

u = t , du = 1 dt

dv = dt/√t+4

v = ∫dt/√t+4 , v = ∫(t+4)^-1/2 dt , v = u^-1/2 du , v = 2√(t+4)

, ∫t. dt/√t+4 = t. 2√(t+4) - 2∫√(t+4) dt =

= 2t√(t+4) – 2[2√(t+4)^3/3]entre 0 e 5 =

= [30-36] – [-10,667] = -6+10,667 = 4,667

Resposta correta alternativa A.

Passo 3

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos

cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (a).

Passo 4

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de

Relatório 2 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

Resposta 1: Vide Etapa 2, Passo 2.

Resposta 2: 30194.

ETAPA 3

Aula-tema: Cálculo de Área.

PASSOS

Passo 1

Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma

realizados facilmente, devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de figuras como o

triângulo, quadrado, retângulo, trapézios, losangos, paralelogramo entre outras, basta

relacionarmos as fórmulas à figura e realizar os cálculos necessários. Algumas situações

exigem ferramentas auxiliares na obtenção de áreas, como exemplo as regiões existentes sob

uma curva. Para tais situações utilizamos os cálculos envolvendo as noções de integrações

desenvolvidas por Isaac Newton e Leibniz. 

Podemos representar algebricamente uma curva no plano através de uma lei de

formação chamada função. A integral de uma função foi criada no intuito de determinar áreas

sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem diversas

aplicações na Matemática e na Física. Observe a ilustração a seguir:

Para calcular a área da região demarcada (S) utilizamos a integrada função f na

variável x, entre o intervalo a e b:

A ideia principal dessa expressão é dividir a área demarcada em infinitos retângulos,

pois intuitivamente a integral de f(x) corresponde à soma dos retângulos de altura f(x) e base

dx, onde o produto de f(x) por dx corresponde à área de cada retângulo. A soma das áreas

infinitesimais fornecerá a área total da superfície sob a curva.

Ao resolvermos a integral entre os limites a e b, teremos como resultado a seguinte

expressão:

Exemplo 

Determine a área da região a seguir delimitada pela parábola definida pela expressão f(x) = – x² + 4, no intervalo [0,2].

Determinando a área através da integração da função f(x) = –x² + 4. 

 

Portanto, a área da região delimitada pela função f(x) = –x² + 4, variando de -2 a 2, é de

10,6 unidades de área. 

Fonte: http://www.brasilescola.com

Passo 2

Leiam o desafio abaixo:

Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e S2

são,

respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.

Figura 1. Figura 2.

Resolução:

Figura 1:

f(x) = 1/x

Integral de lnIxI entre x=1 e x=2.

= ln2 – ln1 = 0,6931 u.a.

Figura 2:

f(x) = 4/x

Integral de 4lnIxI entre x=0 e x=4.

= 4ln4 – 4ln0 = 5,5452 u.a.

Podemos afirmar que:

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa

Passo 3

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos

cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c).

Passo 4 Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de

Relatório 3 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

Resposta 1: Vide Etapa 3, Passo 2.

Resposta 2 : 301948.

ETAPA 4

Aula-tema: Volume de Sólido de Revolução.

PASSOS

Passo 1

Sólidos e Superfícies de Revolução

Ao fazermos uma região do plano girar em torno de uma reta fixa qualquer do plano,

obtemos uma figura espacial, um sólido, denominado Sólido de Revolução. A reta fixa em

torno da qual ocorre o giro é denominada Eixo de Revolução.

Vejamos um exemplo deste sólido:

Ao fazer o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 3, y = 0 ey = 2 girar em torno do eixo y, obtemos um cilindro (cilindro de revolução).

Volume de Sólidos de Revolução

Vamos agora a um dos mais interessantes problemas que ligam o Cálculo à Geometria

Analítica, que é o de determinar, através da Integral Definida, uma expressão para o volume

de um sólido de Revolução associado ao gráfico de uma função y = f (x).

Suponhamos para isso, primeiramente, que f (x) seja uma função contínua e não-

negativa no intervalo [a, b]. Consideremos então uma partição P deste intervalo [a, b], dada

por a = x0 < x1 < x2 < . . . < xi < xi+1 < . . . < xn−1 < x0 = n.Denotemos (como nas outras vezes) por Δxi o comprimento de cada subintervalo

[xi−1, xi ] da partição, ou seja, Δxi = xi − xi−1.

Agora, para cada um desses subintervalos [xi−1, xi ], vamos considerar o retângulo Ri

de base Δxi e altura igual f (ci ), onde ci ∈ [xi−1, xi ]. Fazendo este retângulo girar em torno

do eixo dos x, obtemos um cilindro de revolução cujo volume é, da conhecida fórmula da

Geometria Espacial,

V(ci ) = πr 2 · h = π[f (ci )]2Δxi .Logo, a soma dos volumes dos n cilindros originados a partir dos n retângulos da

partição é dada por:

e esta soma, analogamente ao que aconteceu no caso do comprimento de arco e da área sob a

curva y = f (x), nos dá uma boa aproximação do que na verdade é o volume V do sólido

gerado pela rotação desta curva.

À medida que tomamos n muito grande, o valor da soma dos volumes dos cilindros ci

, dado, pela expressão acima, aproxima-se cada vez mais do volume do referido sólido, o que

nos permite então escrever

Observando, agora, que a expressão denota uma soma de Riemann para

a função [f (x)]^2 e lembrando que f (x) é supostamente contínua (o que faz com que exista

limite acima), podemos finalmente escrever:

que é a expressão que define o volume V procurado.

Fonte: http://www.ead.ftc.br

Passo 2

Desafio A

A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva

dada por y 4√x de 1/4x4 é: 2π/3(128√2 - 17√7) u.a.. Está correta essa afirmação?

Resolução:

A = 2π∫〖f(y) √1+[f`(y)]^2 dy〗2π∫(1/4)^4〖4√x.√1+4/x dx〗2π∫(1/4)^4〖4√x.√x+4/(√x) dx〗8π∫(1/4)^4〖√x+4dx〗8π〖(x+4)〗^(3/2)/(3/2) = (4,1/4)┤ → 16π/3(8^(3/2) – 〖(17/4)〗^(3/2)) =

2π/3(128√2 - 17√17) u.a.

Desafio B

Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y = 2 ,

da região R delimitada pelos gráficos das equações: y sen x , y = (sen x)^3 de x = 0 até

x=π/2?

(a) 3,26 u.v. (b) 4,67 u.v. (c) 5,32 u.v. (d) 6,51 u.v. (e) 6,98 u.v.

Resolução:

π∫〖〖(f(x)- c)〗^2- 〖(f(x)- c )〗^2 dx〗π∫〖〖(senx-2)〗^2- 〖(〖sen〗^3 x- 2 )〗^2 dx〗π∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 senx+4-(〖sen〗^6 x-4 〖sen〗^3 x+4)dx〗π∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 senx+4- 〖sen〗^6 x+4 〖sen〗^3 x-4 dx〗π[∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 ∫_0^(π/2)〖senx- ∫_0^(π/2)〖〖sen〗^6 x+4 ∫_0^(π/2)

〖〖sen〗^3 x〗〗〗〗]

π[(-senx cosx)/2+ x/2+ 4 cosx+ 1/6 〖sen〗^5 x cos5 senx cosx+15/48 sen x cosx-

15/48+4(-cosx+(〖cos〗^3 x)/3)]

π[(π/2)/2-(15 π/2)/48-(4+4(-1+1/3))]^24

π[(π/2)/2-(15 π/2)/48-(4-8/3)]

π[(π/2)/4-(15 π/2)/96-4+8/3]

π[π/4-15π/96-4/3]

π[(24π-15π-128)/96]

(〖24π〗^2-〖15π〗^2-128π)/96=3,26 u.v

Passo3

Resolvam o desafio A, julgando a afirmação apresentada como certa ou errada. Os

cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.

Marquem a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos cálculos

realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 4, se a resposta estiver certa.

Para o desafio B:

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (a).

Passo 4

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de

Relatório 4 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

3. colocar na ordem de realização dos desafios, os números encontrados indicando por

meio da sequência montada, os milhões de metros cúbicos que poderão ser extraídos do novo

poço de petróleo recém descoberto pela empresa Petrofuels.

Resposta 1: Vide Etapa 4, Passo 2, Desafio A e B.

Resposta 2 e 3: 30194848 metros cúbicos de petróleo.

CONCLUSÃO

Conforme estudo realizado sobre primitivas de funções, integrais indefinidas e

definidas, é possível concluir que na Integral Indefinida o resultado final é sempre uma

função, já na Integral Definida tem-se a resolução de uma função final. Existem várias formas

de integração: substituição, por partes, cadeia, etc. Cada uma delas é utilizada de uma forma

diferente e para resoluções de funções diferentes, neste estudo foi possível conhecer e

entender a aplicação de cada uma, através dos diferentes exercícios resolvidos. Conclui-se

que, com o conhecimento e o domínio das integrais é possível resolver qualquer função de

uma variável.