Los cálculos de los túneles tienen por objeto comprobar el dimensionamiento del sostenimiento y revestimiento de los mismos, así como verificar la estabilidad de cada una de las fases constructivas. Al igual que en el resto de las aplicaciones de la Mecánica del Suelo y de las Rocas, en el cálculo de túneles es necesario efectuar una serie de simplificaciones que hacen que el análisis sea siempre aproximado. Existen varios métodos de cálculo para el estudio de las excavaciones subterráneas, con diversos grados de simplificación y, por lo tanto, con diversos grados de exactitud y también de facilidad de manejo. Puede efectuarse una primera clasificación de los métodos de cálculo en dos grupos: analíticos y numéricos. Los analíticos son los basados en el empleo de expresiones obtenidas de la teoría de la Elasticidad aplicada al terreno. Los métodos numéricos se basan en dividir el terreno y10 el revestimiento del túnel en una serie de elementos, tanto más pequeños cuanto más exacto queramos que sea el cálculo, y aplicar en ellos las leyes de la Elasticidad. En ambos casos, la complejidad de las expresiones resultantes obligan a realizar el cálculo por medio de un programa de ordenador. Los métodos usados más comúnmente para el cálculo de túneles son los siguientes:

ANAL~TICOS:

o Formulación elástica o Método de las Curvas Características

NUMÉRICOS:

0 Método de los muelles o Reacciones Hiperestáticas Método de los Elementos Finitos

0 Método de las Diferencias Finitas Método de los Elementos de Contorno

a Método de los Elementos Discretos En los capítulos siguientes se describen los fundamentos y posibilidades de cada uno de ellos.

Las expresiones de la Teoría de la Elasticidad, que son un sistema de ecuaciones en derivadas parciales, pueden ser aplicadas al caso de los túneles haciendo una serie de hipótesis simplificadoras:

El túnel se supone de forma circular y sin revestir. Q El terreno se supone indefinido, homogéneo e isótropo.

Se analiza un problema bidimensional en deformación plana. Con estas hipótesis las ecuaciones son integrables analíticamente. En la figura 5.1, figura 5.2 y figura 5.3, se muestran los resultados que se obtienen para los tres casos más habituales: medio elástico y condiciones iniciales isótropas, medio elástico y condiciones iniciales anisótropas y medio elasto-plástico con condiciones iniciales isótropas '3'.

El alcance de este método es muy limitado ya que las hipótesis simplificadoras son tan severas que no se ajustan prácticamente a ningún caso real. El interés de estas formu- laciones reside en que dan un orden de magnitud de las tensiones y deformaciones que

Medio eldstico. Tensiones iniciales

isótropas

van a aparecer y de su distribución, y también en que son la base del Método de las Curvas Características.

MEDlO ELÁSTICO. TENSIONES INICIALES ISÓTROPAS

MEDlO ELÁSTICO. TENSIONES INICIALES ANISÓTROPAS

0~=0 .5 (o :+o~) (1 +a2)+0.5(o:+o~)(1+3a4) C O S ~ @

~~=0.5(o:+o~)(1-a~)-0.5(o~+of)(193a~-a~) cos28

T,~=O.~(CJ:+CT~)(I -3a4+2a2)sin28

siendo a=Wlr

MEDlO ELASTOPLÁSTICO. TENSIONES INICIALES ISÓTROPAS

Medio elástico. Tensiones iniciales

cp 1 +sencp s iendo k, = td(45+-) =

2 1- sencp

Medio elastoplástico Tensiones iniciales

isótropas

El Método de las Curvas Características o Método de Convergencia/Confinamiento permite analizar el comportamiento tensodeformacional de la superficie excavada así como del sostenimiento aplicado a la misma. Es un método simple y fácil de usar, pero que también presenta tantas hipótesis simplificadoras, que su utilidad es más bien relativa. El método de curvas características del terreno y del sostenimiento explica de forma gráfica los fundamentos del Nuevo Método Austríaco de Construcción de Túneles (NATM), que es el origen de muchos de los métodos constructivos de túneles usados hoy en día. Las hipótesis de partida del método de las curvas características son las que se relacionan a continuación:

- Se considera una sección plana del problema, supuesto un comportamiento con simetría cilíndrica, en deformación plana.

- El túnel se supone circular y con un sostenimiento colocado en todo su contorno. El terreno es indefinido, homogéneo e isótropo. El estado de tensiones inicial es también isótropo, con una tensión inicial 00.

Para el terreno es válido alguno de los siguientes criterios de rotura: elástico, elastoplástico perfecto, elastoplástico frágil y medio puramente cohesivo (con rozamiento cp=O). Para el sostenimiento son válidos todos o alguno de los siguientes elementos: anillo de hormigón proyectado o colocado, anclajes o bulones y cerchas.

Los fundamentos del método se explican con ayuda de la figura 5.4. El sistema consiste en dibujar dos curvas: la curva de convergencia o del terreno y la curva de confinamiento o del sostenimiento. Ambas se representan en el mismo diagrama, donde el eje horizontal es la deformación S, del contorno de la excavación hacia su interior y el eje vertical representa la tensión radial o, del elemento de terreno situado en el contorno de la superficie excavada del túnel. La curva del terreno ABC se obtiene de las ecuaciones elásticas vistas en el apar-

Deformacion radial 81

tado anterior. Inicialmente el terreno tiene una tensión o 0

(punto A). Una vez excavado el terreno, la roca empieza a relajarse, disminuyendo la tensión y aumentando la deformación. En una primera fase (A-B) el comportamiento es elástico, por lo que la curva es una Iínea recta. En el punto B se supera el criterio de rotura, y la Iínea tiene una forma u otra dependiendo del comportamiento plástico elegido para el terreno. Si la Iínea del terreno corta el eje X significa que la excavación se autosostiene sin necesidad de ningún elemento estructural

Modelo para cálculo por

reacciones hipe 7 -estáticas

de refuerzo, con una deformación radial dada por la abcisa del punto de corte. Si, por el contrario, la curva no toca el eje X y comienza a subir de nuevo (punto C) se produce el colapso del túnel. La forma de la curva del sostenimiento depende de la rigidez de los elementos resistentes, que lo componen: hormigón, bulones y cerchas. Es posible definir el momento en que deben colocarse los diversos elementos resistentes, que generalmente se realiza un tiempo después de efectuada la excavación. La curva del sostenimiento es la D-E-F-G. En el ejemplo se supone que se emplean dos elementos resistentes (p.e. bulones y hormigón). El primero empieza a actuar cuando ya se ha producido una deformación 61, mientras que el segundo se coloca cuando ya se ha producido una deformación ¿j2. Cada elemento del sostenimiento tiene un comportamiento elastoplástico perfecto: tiene una primera zona elástica (DE ó FG) hasta alcanzar un cierto criterio de rotura, y a partir de ahí una zona plástica (EF), en que se deforma sin soportar más carga. Generalmente las dos curvas se cortarán en un punto de equilibrio, que nos define la deformación radial alcanzada por el contorno del túnel (6,) y la presión que la roca está ejerciendo sobre el sostenimiento o,. Si no hay punto de equilibrio significa que la excavación es inestable. Otra posibilidad es que el terreno se autosostenga antes de colocar el refuerzo, en tal caso la curva del terreno cortaría el eje X entre el origen y el punto D. Del método se extraen dos conclusiones de interés: e La roca tiene una cierta capacidad de autosostenerse, es decir, el túnel puede ser estable sin necesidad de sostenimiento.

Es conveniente dejar relajarse al terreno antes de colocar el sostenimiento, por supuesto, sin que se produzca el colapso, porque de este modo la cuantía de los elementos estructurales del mismo podrá ser menor. Dicho de otro modo: hay que aprovechar al máximo la capacidad autoportante de la roca. La sencillez del Método de las Curvas Características hace que sea posible usarlo manualmente, o escribir un programa sencillo que proporcione puntos de las curvas. El programa SOSTENIM, publicado por el Instituto Geológico y Minero de España permite efectuar estos cálculos de forma cómoda en un ordenador personal ").

numérico consiste en modelizar una sección plana del sostenimiento o revestimiento del túnel mediante una serie de elementos lineales o barras. Los nodos tienen tres grados de libertad: movimiento X e Y y giro Z, lo que permite obtener axiles, cortantes

y flectores en las barras. El terreno, se representa me- diante unos muelles que, por un lado, conectan con los nodos del revestimiento y, por otro, están totalmente coac- cionados (véase figura 5.5). Los muelles simulan la reacción pasiva que ejerce el terreno sobre el hormigón cuando éste trata de desplazarse hacia él. Por tal motivo sólo trabajan a compresión y nunca a tracción.

EsJCiserzos obtenidos en el cúlculo d e

Reacciones Hip e~estriticas

La carga activa que ejerce la roca sobre el revestimiento se modeliza mediante una fuerzas actuando sobre los nodos del mismo. El valor de la carga ha de suponerse, y es aquí donde radica la inexactitud de este método. Se hacen distintas consideraciones según la zona de aplicación de las cargas:

CARGAS ?/EATICALES SOBRE SOVEDA: Normalmente se toman igual a p, = y . H , es decir, directamente la presión litostática. No obstante, si el túnel es muy profundo ese valor resulta excesivo, y debe reducirse para considerar que es una cierta zona de descarga la que únicamente gravita sobre el revestimiento del túnel.

CARGAS i-iORiZrJ:\JiALES §OBRE I-IASI;ALES: Pueden tomarse igual a p, = Ko . p,, siendo Ko el coeficiente de empuje en reposo del terreno, que normalmente se toma como 0.5 en suelos y variable en rocas, oscilando entre 0.5 y 3.0 dependiendo de la profundidad y de la historia tectónica del macizo. No obstante, las cargas horizontales sólo deben considerarse cuando el terreno realmente empuje horizontalmente, lo que sucede si Ko es alto o si el revestimiento es relativamente flexible.

c~ i%Gi - .S vrmcri,irs E?\! SCiLC2A: No suelen considerarse, pues el terreno normalmente ya se ha relajado bajo el túnel cuando se hormigona la solera. Aplicar el valor de p, = y . H da resultados incorrectos generalmente.

Cr-,F.GA5 DE AGUA: Se aplica la presión hidrostática si se supone que el revestimiento es totalmente impermeable. Si no, hay que reducir su valor en una cierta fracción. La constante elástica del muelle Em se obtiene a partir del módulo de balasto del terreno K, de la longitud de los muelles L y de su separación medias. La expresión es la siguiente: €,=S-L-K, suponiendo que la sección transversal de los muelles es A=l m2.

Por su parte, el módulo de balasto t< es complicado de obtener, pues depende no sólo del terreno, sino también de las dimensiones del túnel y del radio de curvatura del revestimiento en cada punto.

E Se suele utilizar el valor medio que se obtiene de: K=-

R.( IW)

donde E es el módulo de elasticidad del terreno, u es el coeficiente de Poisson, y R es el radio medio del túnel. Algunas veces se ha modelizado también el rozamiento entre terreno y hormigón. Esto se

consigue colocando otros muelles perpendiculares a los que simulan la reacción normal. La simplificación básica que adopta este método es que no considera el terreno, sino que sustituye éste por unas fuerzas y por unos muelles que tratan de reproducir su acción. Los resultados están del lado de la seguridad, pues generalmente no actúa sobre el hormigón el total de las cargas de excavación, sino solamente una parte. Esto es así porque no se considera la capacidad auto- portante de la roca, ni la excavación en sucesivas fases constructivas, ni la acción del bulonado, etc. Los resultados típicos obtenidos con este tipo de cálculo son: la deformada del revestimiento y las leyes de axiles, cortantes y flectores en el hormigón (figura 5.6), que permiten dimensionar la armadura del revestimiento. Para efectuar el cálculo es válido cualquier programa de análisis matricial de estructuras que incluya barras reticuladas planas.

GENERALIDADES El Método de los Elementos Finitos (FEM ó MEF) consiste en modelizar el terreno, que es un medio continuo, mediante una serie de elementos discretos conectados unos con otros a través de unos puntos comunes llamados nodos. Dentro de cada elemento planteamos las ecuaciones de la Elasticidad en función de los valores de los movimientos y de las tensiones en los nodos, suponiendo que en el interior del elemento ambas siguen unas leyes conocidas. Posteriormente se elabora una matriz, llamada matriz de rigidez [K], que contiene las r~gideces de cada elemento frente a cada movimiento y la conexión entre los diversos elementos. En definitiva, se llega a la s~guiente expresión matricial: [p] = [Y\] - [d] donde [K] es la matriz de rigidez del problema, [p] es el vector de cargas sobre los nodos, dato del problema, y [d] son los movimientos de los nodos, que son las incógnitas. Una vez resuelto el sistema lineal, pueden obtenerse las tensiones en cualquier punto volviendo a aplicar las ecuaciones de la Elasticidad dentro de cada elemento. NO se profundizará aquí en el desarrollo de las formulaciones concretas del MEF por ser de gran complejidad y estar fuera del alcance de estas páginas. En la bibliografía que se adjunta pueden encontrarse los correspondientes desarrollos matemáticos '",17)

El MEF es el método más usado hoy en día para el cálculo de túneles. Esto es así porque reúne las siguientes características:

El modelo puede ajustarse a la real~dad tanto como se desee: es posible calcular túneles de cualquier forma y con cualquier revestimiento, el límite lo fija la capacidad del programa y del ordenador.

c Pueden efectuarse cálculos trid~mensionales o bien cálculos simplif~cados bidimensionales.

3 Se pueden considerar las fases constructivas de que consta el proceso de excavación del túnel. Para el terreno existen gran variedad de comportamientos y de criterios de rotura. Asimismo, pueden modelizarse terrenos anisótropos y no Iiomogéneos. Pueden tenerse en cuenta las orientaciones reales de las diaclasas de la roca con respecto al túnel.

o El único inconveniente es la elevada potencia de cálculo que se neces~ta para la mayoría de las aplicaciones, aunque hoy en día existen programas para ordenadores personales que permiten efectuar cálculos completos mediante el MEF.

A continuación se exponen unas normas de tipo práctico que es conveniente seguir en las dos etapas principales de que consta el cálculo: la introducción de los datos y la obtención de los resultados.

CREACIUN DE MODELO

a En primer lugar se debe abordar la cuestión de si el cálculo se efectúa con un modelo tridimensional o uno bidimensional. El cálculo 3D es lógicamente más exacto, pero también más complicado de manejar y consume mucha más memoria y tiempo de ordenador. Para la mayoría de los problemas, la simplificación 2D resulta más que suficiente, ya que un túnel posee aproximadamente una simetría cilíndrica a lo largo del eje del mismo. Solamente en casos tales como entronques, embocaduras, cruce de túneles a distinto nivel, etc. es necesario abordarlos mediante 3D.

El cálculo bidimensional puede efectuarse con elementos tridimensionales, que es lo que se denomina cálculo pseudo-3D. Esto permite tener en cuenta las orientaciones reales de las diaclasas y de la esquistosidad de la roca.

En el cálculo 20 hay que tener en cuenta que el problema es realmente tridimensional, y que la cercanía del frente del túnel a la sección calculada afecta a las cargas que actúan sobre el conjunto terreno-sostenimiento. Esta simplificación de 3D a 2D puede efectuarse por dos métodos: el método de distribución de tensiones y el método de la reducción de rigideces. El primero consiste en aplicar la carga total de excavación en varias etapas, de forma que sobre una sección dada, en función de su distancia al frente, actúa un cierto porcentaje de la carga total. El segundo método consiste en reducir la rigidez de los elementos del sostenimiento colocados con posterioridad, para simular el hecho de que soportan una carga menor.

La malla de elementos finitos (véase figura 5.7) se elabora teniendo en cuenta varias premisas: debe adaptarse a todas las fases constructivas (otra posibilidad es crear una malla distinta para cada fase), los elementos deben ser tanto menores cuanto mayor se prevea la variación de tensiones en cada zona; el aspecto de los elementos debe ser lo más regular posible, ...

El tamaño de la malla debe ser tal que, como mínimo, existan entre dos y tres diámetros de terreno en torno al túnel. Si el túnel es somero la malla debe llegar hasta la superficie del terreno.

Si es posible utilizar simetrías para simplificar el problema debe hacerse, pues eso reduce notablemente el tamaño del cálculo.

Las condiciones de contorno dependen de cada caso pero generalmente se coaccionan los lados laterales e inferior de la malla perpen- dicularmente a sí mismos (figura 5.7).

Las cargas actuantes son el peso de la roca y la reacción del terreno que rodea la zona modelizada. Sólo en casos especiales se consi- derarán otras fuerzas: agua (si el revestimiento es impermeable), ciertas sobrecargas de uso, etc. e Dentro de las fases constructivas, siempre hay que considerar una fase O o fase inicial que reproduzca el estado tensional de la roca antes de comenzar la excavación del túnel. La

estabilidad de un túnel depende en gran medida del estado tensional inicial, por lo que este dato es de suma importancia.

Las características de la roca se obtendrán a partir de los ensayos de laboratorio de que se disponga pero también de la experiencia del calculista, ya que los parámetros a usar no son solamente función del terreno, sino del método y de las hipótesis de cálculo que se utilicen.

Existen diversos criterios de rotura para el terreno. En muchas ocasiones es válido un cálculo elástico, mientras que en otras es necesario emplear un modelo elastoplástico o incluso un modelo viscoplástico. Los datos del criterio de rotura suelen ser en el caso más simple la cohesión y el ángulo de rozamiento interno.

de números incomprensibles, por lo que esta costumbre está tendiendo actualmente a desaparecer.

Los gráficos a obtener dependerán del programa concreto que se esté usando, pero

O B T E N C I Ó N D E RESULTADOS

generalmente están comprendidos en tres grupos:

e LOS resultados del cálculo conviene presentarlos siempre

G R Á F I C O S DE MO'dliVllENTZ)S

D E L T E R R E N O . - Puede pre- sentarse un gráfico de la malla deformada (figura 5.8) o en forma vectorial, apli- cando en cada nodo un vector que señala en módulo y dirección la cuantía del movimiento en cada punto (figura 5.9). Otra posibilidad es un gráfico de isolíneas de deformación, donde se di- bujan las líneas que unen los puntos de igual movimiento (f igura 5.1 O) , pudiendo colorearse las zonas inter- medias o no.

GRÁFICOS DE TEj\l51QNES

T E R R E N O . - Se representan habitualmente en forma de

en forma de gráficos y tablas. Es poco útil presentar largos listados de impresora llenos

gráficos de isolíneas para cualquiera de los valores ten- sionales: o,, o, (figura 5.1 l ) , tensiones principales, T,, etc. Es también de ut i l idad representar en cada elemen- to la dirección y magnitud de las tensiones principales (figura 5.12).

G R Á F I C O S DE TENSIONES Ehl

E L S O S T E N I M I E N T O . - E S conveniente obtener las leyes de axiles, cortantes y flectores (figura 5.13) en el hormigón en cada fase constructiva, y estimar a continuación la necesidad o no de armadura y dimen- sionar su cuantía en caso afirmativo

Movimientos verticales

Tensión vertical ( ~ y

tensiones principales

1.

G i a f i co

AWSYS 5.0 A JAN 1.7 1 9 9 5 &:&$0&43

STEP=2 SUB =4 T 1 WE=2

sostenzmzento

Se comentan de forma más breve otros métodos numéricos que también se usan con cierta frecuencia, aunque son menos potentes que el Método de Elementos Finitos.

ecuaciones de la Elasticidad se aplican al modelo, pero sustituyendo las derivadas parciales según X e Y por los correspondientes cocientes incrementales, con lo que se transforma el sistema de ecuaciones diferenciales que define el problema, en un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Existen formulaciones explícitas e implícitas. Las primeras dan directamente las tensiones en cada punto partiendo de las zonas de tensión o movimiento conocido: los contornos. En las formulaciones implícitas se llega a un sistema de ecuaciones que es necesario resolver. En este caso es necesario efectuar iteraciones hasta ajustar todos los resultados del contorno a las condiciones iniciales dadas. El Método de Diferencias Finitas únicamente puede modelar el terreno, aunque se puede combinar con el MEF introduciendo elementos lineales o barras que simulan el comportamiento del hormigón o de los bulones.

M r- r r 9DO DE LAS DIFERENClAS FINITAS

(BEM) se basa en discretizar el contorno de la excavación del túnel mediante unos

El Método de las Diferencias Finitas consiste

elementos lineales, mientras que el terreno se supone elástico, homogéneo e isótropo. En cualquier punto del continuo se pueden calcular los movimientos y las tensiones

básicamente en dividir el terreno en una serie de incrementos según X y según Y. Las

deformaciones en torno a una

excavación circular ('oek & Brown)

inducidas por la excavación como sumatoria de las producidas por cada uno de los elementos lineales que forman el contorno del túnel, cuya expresión analítica es conocida. En "Underground Excavations in Rock" de Hoek & Brown '2', se incluye un pequeño programa que calcula mediante este método, así como unos gráficos de distribución de tensiones en torno a excavaciones de diversas formas y con diversas condiciones tensionales iniciales (figura 5.14). Se han desarrollado también formulaciones no explícitas, que permiten combinar el BEM con el MEF. En tal caso el contorno del túnel, el sostenimiento y la zona de roca más próxima a la excavación se

%mula mediante Elementos Finitos, mientras que la roca más alejada, dado que se mantendrá en régimen elástico, se modeliza mediante Elementos de Contorno, Esto permite simplificar algo los cálculos efec- tuados unicamente con el MEF.

que se hace es modelizar el terreno por medio de unos bloques que están en contacto unos con otros. Estos bloques se supone que representan al macizo rocoso roto por las diversas familias de diaclasas (véase figura 5.1 5). Las ecuaciones se plantean en el movimiento de cada bloque, pudiendo éstos ser rígidos o deformables. Se resuelve para cada pequeño incremento de tiempo, pudiéndose obtener desplazamientos, velocidades y aceleraciones. El parámetro fundamental en este método es la resistencia a esfuerzo cortante de las diaclasas, que viene dado por la cohesión y el ángulo de rozamiento de la junta. Es un método que exige una gran potencia de cálculo y que sólo modeliza adecuadamente los terrenos formados por roca de buena calidad con familias de juntas bien definidas.

i v s ~ i ~ 3 ~ DE ifi5 EF:!,/:ER!TGS GICCEF-35 En el Método de 10s Elementos Discretos lo

(1) Sinha R.S. (Editor): "Underground Structures, Design and Instrumentation", Developments in Geotechnical Engineering, 59A, Elsevier, 1989.

(2) Hoek & Brown: "Undergrounds Excavations in Rock", lnstitution of Mining and Metalurgy, 1980.

(3) Bouvard-Lecoanet A. et al: "Ouvrages Souterrains. Conception, Realisation, Entretien", Presses de I'école nationale des Ponts et C haussées, 1988.

(4) Pande G.N. et al: "Numerical Methods in Rock Mechanics", John Wiley e( Sons Ltd, 1990.

(5) IGME: "Sostenimiento de Excavaciones Subterráneas. Programa para el Cálculo de Curvas Características", Instituto Geológico y Minero de España, 1988.

(6) AFTES-Grupo de Trabajo no 7: "L'emploi de la Méthode Convergence/confinement", AFTES, 1979.

(7) Wittke W.: "Rock Mechanics", Springer-Verlag, 1990.