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Versión 2014

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

CCAAPPIITTUULLOO 22

MMEECCAANNIISSMMOOSS

División 2

Mecanismos de Barras: Análisis de Casos.

Mecanismos de cuatro barras

Análisis Algebraico Vectorial de

Posición, Velocidad y Aceleración

Versión 2014


1. Introducción

En esta división del capítulo de mecanismos se presentarán los conceptos básicos de los

mecanismos de barras. Se verán los mecanismos de cuatro o más eslabones. Movimientos

especializados: intermitentes, inversiones, etc. Se efectuará el análisis y síntesis del

mecanismo genérico de cuatro barras para diferentes configuraciones. Etiología

2. Determinación del grado de libertad de un mecanismo

Se recordará de la División 1 del presente capítulo que un mecanismo (o eslabonamiento)

puede estar compuesto por un grupo de piezas o eslabones que al estar interconectados

generan un movimiento especificado. El eslabonamiento se compone, en primera instancia

de análisis, por “cuerpos rígidos”. Estos cuerpos rígidos se conectan unos con otros por

medio de enlaces o pares cinemáticos o juntas cinemáticas. La naturaleza de tales

conectores como también su forma determina las propiedades del eslabonamiento. Aun

cuando se pueden concebir muchos tipos de enlaces o pares cinemáticos (y de hecho muchos

existen, ver Figura 2.3), solamente unos cuatro tienen uso práctico en los eslabonamientos.

En la Figura 2.14 se muestran tales casos que permiten un grado de libertad (f = 1), dos

grados de libertad (f = 2) o tres grados de libertad (f = 3).

a) Junta de rotación: permite un solo una rotación en el plano (f = 1).

b) Junta prismática: permite solamente un desplazamiento axial (f = 1).

c) Junta cilíndrica: permite rotación y desplazamiento axial (f = 2).

d) Junta esférica: permite rotaciones en tres direcciones (f = 3).

(a) (b)

(c) (d) Figura 2.14. Pares cinemáticos o enlaces más comunes y prácticos

Las juntas de rotación y prismáticas son muy frecuentes en mecanismos concebibles en un

plano (Figura 2.13. (a) y (b)). Mientras que las juntas cilíndricas y esféricas son más comunes

en los mecanismos de movimientos espaciales o en tres dimensiones.

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Muchas veces se suele emplear una palabra específica para denominar un determinado tipo de

eslabón, como por ejemplo: manivela, cigüeñal, etc. Estas palabras son de uso más común o

convencional para los diseñadores. Dado que el objetivo principal de los diseñadores de

mecanismos es suministrar una determinada salida ante una entrada definida, entonces el

asunto pasa por elaborar las cadenas cinemáticas apropiadas para tal fin. En las Figuras 2.4 a

3.13 se muestran suficientes ejemplos. En la Figura 2.15 se extractan algunos casos típicos de

mecanismos de barras. Nótese que se pueden generar mecanismos complejos solamente con

cuatro tipos elementales de pares cinemáticos. En la Figura 2.15.a se muestran dos casos de

cadenas cinemáticas en el plano, en tanto que en la Figura 2.15.b se muestran cadenas

cinemáticas en el espacio. Por otro lado las cadenas cinemáticas pueden ser abiertas o

cerradas tal como se muestra en la Figura 2.16. Es claro que las cadenas cinemáticas abiertas

permitirán una mayor cantidad de grados de libertad que se deben especificar para poder

definir el sistema.

(a)

(b) Figura 2.15. Ejemplos de casos simples y complejos de cadenas cinemáticas.

Figura 2.16. Cadenas cinemáticas. (a) Abiertas. (b) Cerradas.

Observando la Figura 2.16, se puede colegir que el caso (a) posee tres grados de libertad, en

tanto que el caso (b) solo posee un grado de libertad. El grado de libertad que posee un

mecanismo se puede calcular empleando la siguiente expresión:

J

i

ifJLGDL1

1 (2.1)

Siendo:

= 3 o 6 según el mecanismo sea planar o espacial.

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L = número de eslabones (la tierra es considerada un eslabón adicional)

J = número de juntas o pares cinemáticos.

fi = grado de libertad de la junta i-ésima.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo 2.1.a: El mecanismo de 3 eslabones articulados de la Figura 2.16.a, según se ha comentado en el

párrafo anterior, posee tres grados de libertad que pueden vincularse a los ángulos que forman las barras con la

línea horizontal imaginaria, instante a instante. Esto se puede justificar con la expresión (2.1). En efecto, siendo

que se trata de un sistema en el plano =3, hay cuatro eslabones (no olvidar la presencia de la tierra mediante el

anclaje), o sea L=4, hay tres juntas cinemáticas del tipo visto en la Figura 2.14.a (junta de rotación que ofrece un

solo grado de libertad), con esto J=3 y fi=1, luego aplicando la (2.1) se tiene:

31134313

11

i

J

i

ifJLGDL

Ejemplo 2.1.b: A diferencia del Ejemplo 2.1.a, el caso del mecanismo de la Figura 2.16.b, es tal que =3, L=4,

J=4, fi=1. En consecuencia la cantidad de grados de libertad es:

11144314

11

i

J

i

ifJLGDL

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

La ecuación (2.1) es general para los diferentes tipos de mecanismos o cadenas cinemáticas,

sin embargo no se trata de una panacea ya que en algunos casos no se cumple estrictamente

como se puede ver en los siguientes ejemplos.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo 2.2: En la Figura adjunta se pueden apreciar dos mecanismos con un eslabón conectado mediante

juntas rotantes a otros tres que se vinculan con juntas rotantes a la tierra, en el caso de la izquierda de longitudes

distintas y en el caso de la derecha los tres verticales con la misma longitud.

cero GDL efectivo 1 GDL efectivo

Veamos que sucede en un caso y otro. En efecto, siendo que se trata de un sistema en el plano =3, hay cinco

eslabones (no olvidar la presencia de la tierra mediante el anclaje), o sea L=5, hay seis juntas cinemáticas del tipo

visto en la Figura 2.14.a (junta de rotación que ofrece un solo grado de libertad), con esto J=6 y fi=1, luego

aplicando la (2.1) se tiene:

01165316

11

i

J

i

ifJLGDL

Lo cual da cero grado de libertad, implicando movimiento bloqueado. Esta realidad es clara en el caso de la

figura de la izquierda, pero no en la de la derecha, ya que la misma puede rotar con uno solo de los tres eslabones

que gire poseyendo en consecuencia un grado de libertad.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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Para aplicaciones específicas y más detalladas, se debe recurrir al concepto de síntesis

numérica. Este concepto permite establecer el número de eslabones y pares cinemáticos que

se necesitan para obtener una determinada movilidad o la respuesta ante una entrada definida.

El desarrollo general de la metodología de síntesis numérica de una cadena cinemática está

fuera de los alcances pretendidos para un primer curso de mecanismos en el contexto de

elementos de máquina y los mismos pueden seguirse en las referencias [1] y [3].

Por otro lado, los conceptos mencionados anteriormente se concentrarán para el caso de

mecanismo genérico de CUATRO BARRAS en virtud de su amplia aplicabilidad. En

este sentido, si en un mecanismo de cuatro barras dado, se selecciona arbitrariamente el

eslabón que sirve como conductor de movimiento o más comúnmente llamado manivela,

puede ocurrir que la manivela no rote completamente. Esto no es siempre necesario en la

práctica. Aun así, es necesario un criterio para determinar si la manivela rota 360º o no. Dado

el mecanismo de cuatro barras de la Figura 2.17 se puede establecer el criterio expuesto en la

ecuación (2.2) y denominado Criterio de Grashof-Gruebler.

qpsl (2.2)

Siendo:

l es la longitud del eslabón más largo

s es la longitud del eslabón más corto

p y q son las longitudes de los eslabones restantes

El criterio (2.2) pronostica el comportamiento de rotación o la posibilidad de rotación de

diferentes casos practicables en un mecanismo de cuatro barras. En la Figuras 2.17.b y 2.17.c

se muestran dos posibles casos de mecanismos que se deslindan de la estructura genérica de la

Figura 2.17.a. Tales casos particulares se denominan Inversiones del mecanismo. En el caso

de un mecanismo de cuatro barras se pueden obtener solamente cuatro inversiones.

Entonces si se cumple la condición o criterio (2.2), entonces se dice que el tipo de

eslabonamiento es eslabonamiento de tipo Grashof y por lo menos un eslabón podrá

realizar una rotación completa, claramente será el de menor longitud en tanto que por el

tipo de inversión se le permita movimiento. Esto no quiere decir que no existan otras

posibilidades donde algunos eslabones puedan tener una rotación completa, lo cual depende

estrictamente de la geometría. Esto se verá en el programa SAM 6.1 (ver referencia [4]) u

otros disponibles (Autodesk Force Effect Motion, para celular y tablet)

El concepto de inversión de movimiento es sumamente útil en el diseño de mecanismos, lo

cual permite que nuevas características se tornen evidentes. Para ello, obsérvese con

detenimiento la Figura 2.18, donde se ha fijado por turnos distintas barras del mismo sistema

para dar paso a 4 tipos distintos de movimientos. Obsérvese que en cada caso se dispuesto un

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ancla como indicadora del eslabón que no rota y además mostrando la trayectoria del punto

que efectúa un ciclo completo sobre una circunferencia.

Figura 2.17. Capacidad de movilidad en un mecanismo de cuatro barras

Figura 2.18. Ejemplos de inversión de movimientos en mecanismos de cuatro barras

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nota: Cuando se debe diseñar un mecanismo, hoy en día se emplean programas con diferente grado

de sofisticación que permiten reproducir la cinemática y la dinámica instante a instante. Sin embargo

existen situaciones en las cuales por necesidades de tiempo o espacio, se debe efectuar un trabajo

más manual, incluso simulando movimientos con reglas, compás en láminas de metal, madera y hasta

cartón. No se debe perder de vista esta alternativa.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Sistema de cuatro barras

El aparentemente simple mecanismo (o cadena cinemática) de cuatro eslabones es en realidad

un dispositivo notoriamente sofisticado que permite efectuar una variada gama de operaciones

con unos pocos elementos constitutivos, según como sea diseñado y según como se ejecute su

movimiento de entrada. Tal mecanismo como el que se muestra en la Figura 2.19, puede ser

empleado para:

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Coordinación de movimiento angular: El eslabón conductor b genera un movimiento

angular preestablecido para el eslabón d.

Generación de curvas: El eslabón conductor b causa que el punto C se mueva

siguiendo un camino o curva determinada.

Generación de movimiento: El eslabón conductor b causa que el segmento CD se

mueva de acuerdo a una roto-traslación preestablecida.

Figura 2.19. Mecanismo de cuatro barras genérico

A veces se necesita controlar la velocidad de salida tanto como la posición. Cuando las

rotaciones de la manivela de entrada (normalmente la “b” de la Figura 2.19) y la manivela de

salida (la “d” de la Figura 2.19) están coordinadas, es bastante fácil establecer una relación de

velocidades de entrada y de salida como bd / . Esto se puede hacer prolongando la línea AB

hasta que corte la línea OAOB, donde se obtiene el punto S. De tal manera que se puede hallar

la relación:

BAA

A

b

d

OOSO

SO

(2.3)

Ahora bien, hallar la velocidad lineal de un punto cualquiera en el cuerpo acoplador AB,

no es una tarea franca e inmediata, aunque no difícil, dado que se deben emplear las

ecuaciones de movimiento acopladas de tres cuerpos rígidos.

Por otro lado, se puede establecer una relación entre los torques de las manivelas b y d en

virtud de la conservación de la energía. De tal manera que se puede plantear:

dt

dT

dt

dT bd

(2.4)

Con la cual se puede obtener la relación de torques RT como:

b

d

d

bT

dt

d

dt

d

T

TR

(2.5)

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Téngase presente que la (2.5) es una entidad que expresa la relación de torque en un instante

determinado, aun si la velocidad de entrada es constante.

El análisis de la cinemática de cualquier mecanismo articulado de barras implica el

conocimiento instante a instante de las posiciones de los puntos característicos tales como

los centros de las juntas cinemáticas o bien puntos especiales en los que se quiera conocer el

movimiento. Además se requiere conocer velocidades y aceleraciones de puntos específicos o

de elementos específicos. En definitiva se deberá conocer POSICION, VELOCIDAD y

ACELERACION. Para efectuar tales análisis existen diversos métodos y enfoques que, para

sistemas contenidos en el plano, pueden clasificarse en:

- Análisis algebraico

- Análisis vectorial-fasorial

El primer enfoque (análisis algebraico) permite elaborar formas de solución a partir de

relaciones angulares sencillas de entender pero conducentes a potenciales errores si no se

tienen en cuenta las características de las funciones trigonométricas inversas en los distintos

cuadrantes y como las calculan las computadoras y/o calculadoras. El segundo enfoque es

más expeditivo pues se basa en entidades vectoriales que rotan (los denominados fasores) que

son fácilmente manipulables para hallar las fórmulas de tipo vectorial para la posición,

velocidad y aceleración de puntos característicos.

4. Mecanismo de 4 barras: Análisis algebraico de posición

Un mecanismo de cuatro barras puede ser sintetizado mediante un grupo de expresiones que

identifican la posición de los puntos característicos del mismo en función de los datos

geométricos y del valor del grado de libertad que se prescribe, por caso la velocidad de

rotación de una de las barra b. Sin embargo se debe tener presente que pueden suscitarse

inconvenientes para poder describir la posición (y consecuentemente la velocidad y

aceleración) de los puntos característicos y en consecuencia de todo el mecanismo, debido a la

descripción vinculada fuertemente a funciones trigonométricas inversas. Tales funciones al

ser resueltas en calculadoras y/o computadoras no discriminan estrictamente la ubicación del

cuadrante y en consecuencia pueden aparecer discontinuidades indebidas si no se toman los

recaudos apropiados. Recuérdese que las funciones ArcSin[], ArcCos[], ArcTan[] de una

calculadora (como también de un programa de computadora) no discriminan si el ángulo está

en el cuadrante que corresponde, por ejemplo ArcSin[0.5]=30º y ArcSin[-0.5]=-30º, mientras

que Sin[30º] =Sin[150º]=0.5, y Sin[330]=Sin[-30]=-0.5.

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Figura 2.19. Síntesis algebraica de un mecanismo de cuatro barras

En la Figura 2.20, se muestra un mecanismo de cuatro barras similar al de la Figura 2.19, pero

con otras referencias angulares. Ahora para indicar la ubicación de las barras b, c y d se

emplearán los ángulos de referencia 2, 3 y 4 respectivamente. De tal manera que la

posición del punto C viene dada claramente por:

2

2

.

.

SenbC

CosbC

Y

X

(2.6)

Ahora bien las coordenadas de los puntos C y D están asociadas entre si a la condición de

rigidez de la cada una de las barras. En consecuencia, empleando el teorema de Pitágoras se

puede obtener:

222

YYXX CDCDc

222

YX DaDd

(2.7.a)

(2.7.b)

De las expresiones (2.7) se pueden obtener DX y DY. En efecto, restando miembro a miembro

la (2.7.b)de (2.7.a) se puede obtener DX, es decir:

aC

DCS

aC

DC

aC

adcbD

X

YY

X

YY

X

X

2

2222

(2.8)

Luego, sustituyendo la (2.8) en la (2.7.b) se puede obtener una ecuación de segundo grado:

02

2

2

da

aC

DCSD

X

YYY (2.9)

cuya solución es:

P

PRQQDY

2

42 (2.10)

En (2.8) a (2.10) se han definido las siguientes funciones:

aC

adcbS

X

2

2222

, 22dSaR ,

22

1aC

CP

X

Y

,

aC

SaCQ

X

Y

2 (2.11)

Por otro lado los ángulos 3 y 4 vienen dados por:

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XX

YY

CD

CDArcTan3 (2.12)

aD

DArcTan

X

Y4 (2.13)

Ahora bien, la posición del punto P se puede obtener de la misma manera que en la ecuación

(2.8), es decir:

32

32

..

..

SenrSenbP

CosrCosbP

Y

X (2.14)

Nótese que la posición del punto P, aún depende del valor del ángulo 3 calculado según

(2.12). Esto exige tener un cuidado especial con los signos de los argumentos, como se verá

en el Ejemplo 2.3. En la Tabla 3.1 siguiente se aprecia las posibles variantes para la función

ArcTan[ ].

X

Y

A

AArcTan ubicado en el cuadrante

Si 0YA y 0XA Primero, 90,0

Si 0YA y 0XA Segundo, 180,90

Si 0YA y 0XA Tercero, 270,180

Si 0YA y 0XA Cuarto, 360,270

Tabla 3.1. Valores de la función ArcTan[].

Figura 2.21. Posibles configuraciones para un mecanismo de cuatro barras conducido por manivela.

Nótese que de la expresión (2.10) se pueden obtener dos soluciones. Esto quiere decir que la

solución es válida para dos configuraciones que permite el mecanismo de cuatro barras. Tales

posiciones se llaman “Configuración abierta” y “Configuración cruzada” como se ve en la

Figura 2.21

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-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo 2.3: El mecanismo de la Figura 2.20 tiene las siguientes dimensiones: a=100 mm, b=60 mm, c=85 mm,

d=95mm, r=60 mm, =. El movimiento se genera por rotación de la barra b con respecto al eje que pasa por

el punto A, comenzando desde (0)=60o=/3, a una velocidad =2 en sentido anti-horario. Se pide calcular la

posición de los puntos C, D y P en función del tiempo. Para la resolución de este problema se empleará el

programa Mathematica.

En primer lugar se debe verificar la condición de Grashof-Gruebler para determinar

180160

958560100

dcba

, luego la barra “b” rota 360º.

Luego se tiene que determinar la ley de variación del ángulo en función del tiempo (observe que el sentido de

rotación es positivo de acuerdo a la terna XYZ de la Figura 2.19):

Dado que dt

d2

, luego

ttddt

tt

23

2

0

2

0

2

2

Ahora se deben calculan los ángulos y , empleando el soft de álgebra simbólica Mathematica (se

recomienda a los alumnos bajar archivo Ejemplo2_3.nb de la página web de la asignatura y seguir el detalle).

Para calcular los ángulos, primero se necesitan tener desarrolladas las expresiones (2.6) a (2.11), que por ser muy

voluminosas no se expresan “in-extenso” y si se quiere ver la forma se quitan los caracteres “;” al final de cada

renglón.

Ahora se calculan los ángulos 3 y 4 como:

Ahora con 3 y 4 se determina la posición del punto P.

Ahora se determinarán las coordenadas de la posición inicial de los puntos mencionados:

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A continuación se graficará la trayectoria de los puntos C, D y P, y la forma del mecanismo en el instante inicial.

En ellos se ha empleado la función ArcTan[] convencional de Mathematica y una función ArcTan2[]

programada especialmente, según la Tabla 3.1, para evitar desfasajes.

ArcTan[] por defecto de Mathematica/calculadora ArcTan[] programada de acuerdo a Tabla 3.1

Se puede notar que existe un desfasaje espurio (por falta de continuidad) en el gráfico de la izquierda y que

conduce a una configuración inaceptable e ilógica en las trayectorias del punto P. Obsérvese que cuando se

tiene en cuenta la valoración real de la función arco tangente, las trayectorias son lo que deben ser, o sea

manteniendo la continuidad de la trayectoria.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Mecanismo de 4 barras: Análisis vectorial de posición

Una forma ventajosa para efectuar el análisis de posición (y luego de velocidad y de

aceleración) es mediante el empleo de formas vectoriales para los eslabones, recurriendo al

concepto vectorial de los números complejos. En efecto se recordará que un vector AR en el

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plano (ver Figura 2.22.a) puede representarse por medio de cualquiera de las siguientes

expresiones:

iA eR.R , con AR R (2.15.a)

j i ˆ.ˆ. SenRCosRA R (2.15.b)

SenRiCosRA ... R (2.15.c)

La (2.15.a) se denomina representación polar o fasorial, en tanto que las dos restantes se

denominan representaciones cartesianas. Todas son útiles sin embargo la representación polar

es bastante más útil en tanto que permite condensar sobre una expresión simple, mayor

contenido de información. Además la función (2.15.a) es una de las más fáciles para derivar

(en consecuencia para poder efectuar luego el análisis de velocidad y aceleración) es decir:

Si iA eR.R luego

iA eRid

d..

R (2.16)

Por otro lado recuérdese que en los vectores en representación compleja como la (2.16) o

(2.15.a) o (2.15.c), al efectuar una multiplicación con el operador ‘i’, se tiene como resultado

una rotación de 90º en el sentido antihorario. Así pues, el vector AB i RR . , luego y de modo

semejante AC i RR .2 y BAD ii RRR ..3 , tal como se puede apreciar en la Figura 2.21.b.

Figura 2.22. Representación de vectores en números imaginarios

Figura 2.23. Mecanismo de cuatro barras representado vectorialmente

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Así pues la ecuación vectorial que describe el mecanismo de cuatro barras de la Figura 2.23

puede representarse como:

01432 RRRR (2.17)

O bien

0.... 1432 iiii

edecebea (2.18)

Téngase presente que la (2.18) es una ecuación de equilibrio vectorial y que se necesita

conocer los valores de 2, 3 y 4. Claramente 2 es una variable independiente (ángulo de

entrada) y se deben obtener 3 y 4 en función de a, b, c, d y de 2. Nótese que 1 es un

ángulo nulo.

Así pues para resolver en forma polar la ecuación (2.18) se deberá descomponer en sus partes

reales e imaginarias recordando que 1 = 0, es decir:

0... 432 dCoscCosbCosa (2.19.a)

0... 432 SencSenbSena (2.19.b)

Las expresiones (2.19) forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo cual

permite su resolución.

Así pues, de la (2.19) podemos obtener:

342 ... CosbdCoscCosa (2.20.a)

342 ... SenbSencSena (2.20.b)

De donde elevando al cuadrado miembro a miembro y sumando ambas expresiones se tiene

luego de una serie de simplificaciones:

424232241 SenSenCosCosKCosKCosK (2.21)

Siendo

a

dK 1 ,

c

dK 2 ,

ac

dcbaK

2

2222

3

(2.22)

Para resolver la (2.22) en 4 se emplean las siguientes identidades trigonométricas:

21

22

42

4

4

Tan

Tan

Sen ,

21

21

42

42

4

Tan

Tan

Cos (2.23)

De tal manera que se puede hallar la siguiente ecuación

022

442

CBA KTanKTanK

(2.24)

donde

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3221

2

3122

1

2

1

KCosKKK

SenK

KKCosKK

C

B

A

(2.25)

Luego la solución de (2.29) dará:

A

CABB

K

KKKKArcTan

2

42

2

4 (2.26)

Ahora bien para hallar una expresión del ángulo 3 en función de a, b, c, d y de 2, se procede

en forma similar a la efectuada más arriba. De manera que:

D

FDEE

K

KKKKArcTan

2

42

2

3 (2.27)

Siendo:

5241

2

5124

1

2

1

KCosKKK

SenK

KKCosKK

F

E

D

(2.28)

Con:

a

dK 1 ,

b

dK 4 ,

ab

badcK

2

2222

5

(2.29)

Nótese que en (2.26) y (2.27) se pueden obtener dos soluciones tanto para 4 como para 3.

En estas circunstancias, si el numerador del argumento de la función Arco Tangente es

positivo se tendrá la configuración cruzada del mecanismo de cuatro barras de la Figura 2.21

(o sea la correspondiente al punto D), en tanto que si el numerador del argumento de la

función Arco Tangente es negativo se tendrá la configuración abierta del mismo mecanismo

(o sea la correspondiente al punto D’). Nuevamente en este caso hay que ser cuidadoso con el

empleo de la función arco tangente. En el siguiente ejemplo se podrá ver la evaluación de las

configuraciones abierta y cruzada.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo 2.4: El mecanismo de la Figura 2.23 tiene las siguientes dimensiones: a=60 mm, b=85 mm, c=95 mm,

d=100mm. El movimiento se genera por rotación de la barra ‘a’ con respecto al eje que pasa por el punto A,

comenzando desde (0)=60o=/3, a una velocidad =2 en sentido anti-horario. Se pide calcular la posición de

los puntos C y D en función del tiempo aplicando la metodología vectorial (llamada también fasorial) y

comprobar las dos configuraciones posibles: abierta y cruzada.

Para la resolución de este problema se empleará el programa Mathematica.

En primer lugar se debe verificar la condición de Grashof-Gruebler para determinar si el mecanismo rota o no:

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180160

bcad, luego la barra “a” rota 360º.

Luego se tiene que determinar la ley de variación del ángulo en función del tiempo (observe que el sentido de

rotación es positivo de acuerdo a la terna XYZ de la Figura 2.20):

Dado que dt

d2

, luego

ttddt

tt

23

2

0

2

0

2

2

Ahora se deben calculan los restantes ángulos como se indica en las expresiones (2.26) y (2.27) empleando el

soft de álgebra simbólica Mathematica (se recomienda bajar archivo Ejemplo2_4.nb de la página web de la

asignatura y seguir el detalle). Para calcular los ángulos, primero se necesitan tener desarrolladas las expresiones

(2.6) a (2.11), que por ser muy voluminosas no se expresan “in-extenso” y si se quiere ver la forma se quitan los

caracteres “;” al final de cada renglón. Primero de determinan las constantes Ki:

Ahora se calculan los ángulos 3 y 4 para la CONFIGURACIÓN CRUZADA (que por ser voluminosa no se

muestra en el apunte y se deja al alumno seguir y observar los pasos en la hoja de cálculo de Mathematica):

Ahora con 3 y 4 se determina la posición de los puntos C y D.


Versión 2014


A continuación se graficará la trayectoria de los puntos C y D, y la forma del mecanismo en el instante inicial y

en un instante t=0.7 seg. En ellos se ha empleado tanto la función ArcTan[] que por defecto ofrece el programa

Mathematica como la función ArcTan[] programada especialmente para evitar los desfasajes

Configuración cruzada en t=0 seg Configuración cruzada en t=0.7 seg.

Ahora se calculará la CONFIGURACIÓN ABIERTA. Para ello 3 y 4 se calculan de la siguiente manera:


Versión 2014


A continuación se graficará la trayectoria de los puntos C y D, y la forma del mecanismo en el instante inicial y

en un instante t=0.7 seg. En ellos se ha empleado tanto la función ArcTan[] que por defecto ofrece el programa

Mathematica como la función ArcTan[] programada especialmente para evitar los desfasajes

Configuración abierta en t=0 seg. Configuración abierta en t=0.7 seg.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Mecanismo de 4 barras: Análisis vectorial de velocidad

Las ecuaciones de posición para el mecanismo de cuatro barras se obtuvieron en forma

vectorial en el apartado anterior. En la Figura 2.24 se muestra el mismo esquema que en la

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Figura 2.23 pero ahora indicando los vectores de velocidad. La velocidad de rotación 2 es la

velocidad de entrada y se supone conocida, en consecuencia se deben obtener las restantes

componentes de velocidad en función de los ángulos de posición (obtenidos según el apartado

anterior), las longitudes de los eslabones y la velocidad de rotación de entrada.

Figura 2.24. Mecanismo de cuatro barras representado vectorialmente junto con sus velocidades

Para obtener la ecuación vectorial de velocidades del mecanismo de la Figura 2.23 se tiene

que derivar respecto del tiempo la ecuación vectorial de la posición dada por (2.18). De

manera que se tiene:

0...... 432 432 dt

deci

dt

debi

dt

deai

iii (2.30)

Obsérvese que la ecuación (2.30) no es otra cosa que la ecuación de diferencia de velocidad o

ecuación de la velocidad relativa dada por:

0 DDCC VVV (2.31)

De tal manera que:

dt

deci

dt

debi

dt

deai

iii 432 432 .. ,.. ,..

DDCC

VVV (2.32)

Téngase presente que:

dt

d

dt

d

dt

d 44

33

22 , ,

(2.33)

Lo que se pretende obtener son los valores de CV , DCV , DV , 3 y 4 en función de los datos

geométricos y cinemáticos disponibles.

Así pues, el procedimiento de solución será parecido al desarrollado en el apartado anterior.

Entonces, expandiendo la (2.30) en su forma trigonométrica teniendo en cuenta (2.15.c) se

obtienen las siguientes dos componentes (real e imaginaria, o en los ejes X e Y):

0443322 SencSenbSena (2.34)

0443322 CoscCosbCosa (2.35)

Resolviendo en forma simultanea la (2.34) y la (2.35) se tiene:

Versión 2014


43

2423

Sen

Sen

b

a (2.36)

34

3224

Sen

Sen

c

a (2.37)

Luego reemplazando (2.36) y (2.37) en (2.32) se obtienen las velocidades de la siguiente

manera:

444

333

222

..

..

..

SenCosic

SenCosib

SenCosia

D

DC

C

V

V

V

(2.38)

La expresión (2.38) también va a contener las dos posibles configuraciones de la Figura 2.21,

en tanto que los ángulos 3 y 4 tienen dos soluciones según se explico anteriormente.

7. Mecanismo de 4 barras: Análisis vectorial de aceleración

En los apartados anteriores se obtuvieron expresiones para calcular la posición y las

velocidades del mecanismo de cuatro barras. En este apartado se desean calcular las

aceleraciones de los eslabones. Tales aceleraciones y sus componentes tangenciales y

normales se pueden apreciar en la Figura 2.25. Dado que se tienen como datos las

dimensiones del mecanismo, la velocidad 2 y aceleración 2 del eslabón de entrada (es decir

la manivela o eslabón ‘a’), las posiciones de los puntos C y D y las velocidades de los

eslabones ‘b’ y ‘c’, se desea obtener las aceleraciones de los eslabones ‘b’ y ‘c’.

Figura 2.25. Mecanismo de cuatro barras representado vectorialmente junto con sus aceleraciones

La ecuación vectorial de aceleración se obtiene derivando respecto del tiempo la ecuación

vectorial de la velocidad, es decir la (2.35). Esta operación dará:

0......... 432

4

2

43

2

32

2

2 iii

eciebieai (2.39)

Nótese que la expresión (2.39) es la ecuación de diferencia de las aceleraciones o bien de la

aceleración relativa, es decir:

Versión 2014


0 DDCC AAA (2.40)

De tal manera que:

4

3

2

...

...

...

4

2

4

3

2

3

2

2

2

i

i

i

eci

ebi

eai

n

D

t

DD

n

DC

t

DCDC

n

C

t

CC

AAA

AAA

AAA

(2.41)

Téngase presente que:

dt

d

dt

d

dt

d 44

33

22 ,,

dt

d

dt

d

dt

d 44

33

22 ,,

(2.42)

Lo que se pretende obtener son los valores de CA , DCA ,DA , 3 y 4 en función de los datos

geométricos y cinemáticos disponibles.

Así pues empleando la representación vectorial (2.15.c) en la ecuación (2.39) y reordenando

se obtienen las componentes real e imaginaria (en X e Y respectivamente) como:

04

2

4443

2

3332

2

222 CosSencCosSenbCosSena (2.43)

04

2

4443

2

3332

2

222 SenCoscSenCosbSenCosa (2.44)

Luego de la (2.48) y (2.49) se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas en 3 y 4. De tal

forma que resolviendo el sistema mencionado se obtiene:

DBEA

FADC

QQQQ

QQQQ

3 (2.45)

DBEA

FBEC

QQQQ

QQQQ

4 (2.46)

siendo:

4

2

43

2

32

2

222

34

4

2

43

2

32

2

222

34

. ,.

. ,.

SencSenbSenCosaQ

CosbQCoscQ

CoscCosbCosSenaQ

SenbQSencQ

F

ED

C

BA

(2.47)

Finalmente las aceleraciones CA , DCA y DA se obtienen reemplazando (2.45) y (2.46) en

(2.41). Las componentes tangenciales y normales de las aceleraciones CA , DCA y DA se

obtienen proyectando los vectores de aceleración sobre los vectores unitarios

correspondientes. Tales vectores unitarios se pueden calcular (Ver Figuras 2.24 y 2.23)

conociendo los vectores de velocidad (para las componentes normales de la aceleración) y los

vectores de posición (para las componentes radiales de la aceleración).

Versión 2014


8. Bibliografía

[1] R.L. Norton, “Diseño de Maquinaria”, 2ª Ed., McGraw Hill, México, 2000.

[2] J.E. Shigley, R.E. Gustavson. “Standard Handbook of machine design”. McGraw-Hill-

Digital Edition, Cap.4, 2004.

[3] A.G.Erdman y G.N Sandor, “Diseño de mecanismos. Análisis y síntesis”. 3ª Ed. McGraw-

Hill, Mexico, 1998.

[4] SAM 6.1, http://www.artas.nl

9. Problemas Resueltos y para Completar

En esta sección se ofrecen algunos problemas resueltos completamente (y otros que el alumno

debe completar) para adquirir fluencia en la resolución de los Trabajos Prácticos

correspondientes.

Problema tipo 2.1: En la Figura 2.PTN1 se muestra la posición inicial (y a su vez genérica)

de un mecanismo de cuatro barras. La barra a es la que lleva el movimiento de rotación con

respecto al origen A rotando con una velocidad constante de 2 rad/seg en sentido antihorario.

Figura 2.PTN1. Descripción del mecanismo de cuatro barras.

Las dimensiones de cada barra son:

mmdmmcmmbmma 95857050

La posición en el instante inicial del ángulo es 60º. Calcular la posición instante a instante

de los puntos C y D, empleando la metodología vectorial vista.

Solución Problema tipo 2.1: En primer lugar se debe determinar si las dimensiones y

características del mecanismo verifican la condición de Grashof-Gruebler:

155145

85709550

cbda

(P.1)

Se observa que la expresión (P.1) se cumple, entonces el mecanismo tendrá garantida la

rotación completa de uno de sus eslabones. Nótese que el eslabón más pequeño (el eslabón a)

puede girar los 360º.

La variación del ángulo vendrá dada por la siguiente expresión:

http://www.artas.nl/

Versión 2014


t

dtdt

d

0222

2

20

tt

2223180

60

(P.2)

Luego la posición del punto C viene dada por

tSenaSenaC

tCosaCosaC

Y

X

22

22

3..

3..

(P.3)

Para calcular la posición del punto D se necesitará conocer la variación temporal del ángulo

, lo cual se hace con las expresiones deducidas anteriormente. Es decir empleando las

ecuaciones (2.30) a (2.34).

Mientras que la posición del punto D vendrá dada por la siguiente expresión vectorial:

32RRR

D (P.4)

Puesto en coordenadas cartesianas será:

3

3

.

.

SenbCD

CosbCD

YY

XX

(P.5)

Donde 3 se calcula de la (2.32) para la configuración abierta, o sea:

D

FDEE

K

KKKKArcTan

2

42

2

3

Siendo

5221

2

5124

1

2

1

KCosKKK

SenK

KKCosKK

F

E

D

,

a

dK 1 ,

c

dK 2 ,

b

dK 4 ,

ab

badcK

2

2222

5

(P.6)

Se sugiere a los alumnos completar los siguientes cuadros:

F

E

D

K

K

K

1

K , 2

K , 4

K , 5

K

Para hallar la posición de los puntos C y D, complete la siguiente tabla:

Versión 2014


Tiempo: t [s] CX CY DX DY

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

Nota: Verifique, empleando el programa Mathematica o SAM ARTAS o Autodesk

Motion o el que tenga a disposición, las posiciones de los puntos C y D tal que no se

manifieste una inversión de movimiento por mal empleo de la función ArcTan.

Problema tipo 2.2: En la Figura 2.PTN2 se muestra un mecanismo de manivela-biela-

corredera oblicua. El movimiento se genera con la biela AB, y el punto C, de la barra BC, se

desliza por la corredera que forma un ángulo de 60º con la línea horizontal AD. Se pide

determinar la cinemática (o sea posición, velocidad y aceleración) de los puntos

característicos del mecanismo, empleando la formulación vectorial vista. Una vez elaboradas

las ecuaciones correspondientes, dibuje en función del tiempo, la posición, la velocidad y la

aceleración de cada barra, sabiendo que AB=10 mm, DC=30 mm, AD=90 mm, 2(0)=90º,

2=5 rad/s2, 2(0)=2 rad/s (este Problema también está resuelto en Mathematica, búsquelo en

la página web de la asignatura).

Figura 2.PTN2. Descripción del mecanismo biela-manivela corredera.

Versión 2014


Solución Problema Tipo 2.2: Para poder caracterizar este caso, empleando la metodología

vectorial se tienen que seguir los pasos explicados en los parágrafos 4, 5 y 6, correspondientes

a análisis de posición, velocidad y aceleración respectivamente.

Note que se tienen solo dos variables angulares: 2 y 3. Los argumentos de los vectores R1 y

R4 (o sea los ángulos 1 y 4) son constantes. El módulo de R1 es constante, pero el módulo

de R4 es variable.

Ahora bien, como la entrada de movimiento viene dada por la rotación temporal del ángulo

2, se debe integrar la siguiente ecuación diferencial:

2/0,20

0 iniciales scondicione lascon ,5

22

2

22

2

2

dt

d

dt

td (P.7)

Esto se efectúa de la siguiente manera:

255222

0

2

2

2

2

2

2

2 2

ttttdtddtdt

ddt

dt

dt

(P.8)

Integrando la última expresión de (P.8) se tiene:

2

22

5 2

2

ttt (P.9)

Esta última expresión es la ley de variación del ángulo de entrada de la manivela.

La ecuación vectorial de compatibilidad de desplazamiento del mecanismo es la siguiente:

01432 RRRR

Las posiciones iniciales de los vectores 4,..,1, jj

R son:

3//0,0

,0,3//0

4

22

3

21

SinDCABDCAD

ABTanDCAD

RR

RR (P.10)

Luego se debe efectuar la descomposición en las partes reales e imaginarias de la ecuación

(2.17) y resolver las incógnitas correspondientes que en este caso son ||R4|| y 3. Esta actividad

se deja propuesta a los alumnos para continuarla en forma algebraica. A modo de

comparación y ayuda en la resolución se deja en la página web de la asignatura el archivo de

Mathematica denominado “problema2_2.nb”.

10. Problemas propuestos

En todos los problemas analíticos propuestos a continuación se sugiere al alumno emplear los

programas de simulación de movimiento junto con el estudio detallado del algebra que puede

ser asistido mediante programas como Mathematica, Maple o Matlab. Tenga en cuenta que

los argumentos de los vectores, a menos que se indique lo contrario, siempre están

referidos al eje horizontal con sentido positivo hacia la derecha.

Problema 1.

Determine los grados de libertad de cada uno de los mecanismos que se ven en la siguiente

figura. Indique claramente la cantidad de eslabones, juntas cinemáticas y grados de libertad de

cada junta cinemática. Indique si el movimiento es posible o no en virtud de la condición de

Grashoff-Grübler, en tanto que sea aplicable.

Versión 2014


(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Problema 2.

En la Figura adjunta se muestra el esquema de un mecanismo de retroceso rápido como el

usado en las limadoras. Empleando la metodología vectorial, determine la ley de variación de

la posición del punto B que desliza sobre la barra CD en la medida que la manivela AB está

rotando con un ángulo 2 y una velocidad 2 que se consideran datos. Los segmentos AB,

CA, CD y DE son considerados datos y tienen una longitud invariable. Los pasadores

ubicados en los puntos A y C están fijos y permiten la rotación de los eslabones a ellos

conectados.

Problema 3:

Con relación al Problema 2, sabiendo que 2 = 2 rad/seg, ||CA||=70 mm, ||AB||=25 mm,

||CB||=130mm, ||DE||=35 mm, en el instante inicial 2(0)=0, 4(0)=180º.

a) Determine las leyes de posición y velocidad del punto D y del punto E.

b) Grafique la posición del punto D.

c) Grafique la posición del punto E.

d) Grafique la velocidad del punto D y del punto E.

Problema 4.

En el mecanismo de corredera que se muestra en la Figura, el movimiento se genera por

medio de la manivela O2A, que rota respecto O2, y transmite con la biela AB un movimiento

horizontal a la corredera con centro de masa en B. Se pide que obtenga las ecuaciones de

posición y de velocidad para el punto B, sabiendo que en t=0, 2=75º. 4=90º en todo instante,

además tome los siguientes valores: a=60 mm, b=90 mm, c=75 mm, y =2 rad/seg para la

velocidad de la manivela R2. Note que el vector R4 tiene argumento y módulo fijos, mientras

que el vector R1 tiene argumento fijo (1=0º) y módulo variable en el tiempo.

Versión 2014


a) Grafique en el programa Mathematica (o el que disponga) la trayectoria del punto B.

b) Grafique en el programa Mathematica (o el que disponga) la velocidad del punto B.

Problema 5.

Con relación a la figura del problema anterior, evalúe toda la cinemática (es decir posición,

velocidad y aceleración) del mecanismo sabiendo que la manivela O2A empieza su

movimiento desde el reposo con una aceleración constante 2=2 rad/seg2 hasta llegar a una

velocidad de régimen de 10 rad/seg. Emplee los datos del problema anterior para su análisis.

Grafique la velocidad de los dos puntos característicos del mecanismo durante el tiempo que

se necesita para llegar a la velocidad de régimen.

Problema 6.

En la Figura adjunta se muestra un mecanismo de tijera de una etapa para elevación de

plataformas junto con un boceto que ejemplifica la síntesis del mecanismo. El funcionamiento

es el siguiente: Un actuador lineal mueve la junta deslizante del punto A en dirección al punto

C, lo que produce el movimiento vertical de la barra ED a través de la articulación en B. Las

barras AD y CE tienen la misma longitud de 1.5 m y están articuladas en el punto B ubicado

exactamente en la mitad. Conociendo los siguientes datos: OC=1.60 m, OA(0)=12 cm, la

velocidad de avance de A es 1 cm/seg, se pide:

a) hallar la relación vectorial de posiciones de los puntos B y D.

b) hallar el tiempo en que la distancia CD llega a 1.2 m.

Nota: designe Ud. cuales son las entidades variables y cuales las entidades constantes

(entiéndase por entidad a módulo o argumento de los vectores)

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