Axiomas de PEANO

Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un sistema

de axiomas aritméticos ideados por el matemático Giuseppe

Peano en el siglo XIX, para definir los números naturales. Estos

axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios en diversas

investigaciones matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de

la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números.

Los publicó en 1889, en un folleto de unas treinta páginas,

intitulado Aritmetices principia, nova methodo exposita, que se

traduce por Nuevo método de exposición de los principios de la

aritmética. Da una lista de nueve axiomas, de los cuales cuatro

versan con el uso del signo =. Los demás se conocen como

"Axiomas de Peano". Los matemáticos los consideran como la

plataforma preliminar para forjar los siguientes conjuntos usuales de

números. La idea pivotal de Peano fue la de "sucesor". 

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:

1. El 1 es un número natural.1 está en N, el conjunto de los

números naturales.

2. Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es

usado para definir posteriormente la suma).

3. El 1 no es el sucesor de algún número natural.

4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor,

entonces n y m son el mismo número natural.

5. Si el 1 pertenece a un conjunto K de números naturales, y

dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también

pertenece al conjunto K, entonces todos los números

naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es

el principio de inducción matemática.

Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no.

Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se

necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben

hacerse algunos ajustes menores:

1. El 0 es un número natural.

2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también

es un número natural.

3. El 0 no es el sucesor de algún número natural.

4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor,

entonces n y m son el mismo número natural.

5. Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural

cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a

ese conjunto, entonces todos los números naturales

pertenecen a ese conjunto.

- Operaciones internas o cerradas en los números naturales

Son aquéllas cuyo resultado es natural:

La adición o suma

Multiplicación.

- Propiedades de estas operaciones

La adición o suma:

“Si sumamos dos números naturales cualquiera, el resultado es

otros números natural”.

La multiplicación:

“Si multiplicamos dos números naturales cualquiera, el resultado es

otro numero naturales”