Universidad Nacional Autónoma de MéxicoPosgrado de IngenieríaSeminario de Investigación

México, D.F., a 25 de abril del 2011

1 INTRODUCCÍON

1.1Antecedentes

La construcción de una estructura y su cimentación causa cambios en el estado de esfuerzos en la masa de suelo que la soporta. Estos incrementos en los esfuerzos dependen de la magnitud de la carga, la forma del área cargada, la geometría de la carga, la profundidad del desplante, entre otros.

En este artículo se van a describir las distintas soluciones para tratar con los problemas de ingeniería civil en los cuales es necesario determinar el estado de esfuerzos inducido en la masa de suelo. Estas soluciones se basan en la Teoría de la elasticidad, desde luego que el uso de esta teoría involucra grandes simplificaciones, que pueden estar alejadas de las características de un suelo real, sin embargo, se reconoce que las soluciones a las que se llega, aunque aproximadas, son lo suficientemente precisas para la práctica profesional.

Los suelos son materiales complejos que no pueden modelarse matemáticamente sin introducir hipótesis que simplifiquen su caracterización. Para el cálculo de esfuerzos se hacen las siguientes hipótesis:

Es un medio continuo: el suelo en realidad es un me-dio particulado, sin embargo esta hipótesis evita las complicaciones de la distribución de esfuerzos deri-vadas de las concentraciones de esfuerzos en los con-tactos, las fisuras, las grietas y demás imperfeccio-nes.

Es un medio homogéneo: esto significa que las pro-piedades mecánicas son las mismas en todos los pun-tos del medio. Es decir el medio no tiene vetas, man-chas o puntos débiles, blandos o duros.

Es un medio isótropo: esto significa que sus propiedades no son direccionales, es decir, no depen-den de la dirección en que se mida.

Es un medio linealmente elástico: lo cual significa que todo incremento de esfuerzos está asociado a un incremento de deformación proporcional.

A pesar de numerosos estudios experimentales y analíticos disponibles en la literatura técnica sobre asentamientos y esfuerzos en suelos sometidos a cargas, todavía existe la necesidad de modelos con la capacidad de analizar el caso general de un área de forma arbitraria sometida a cargas puntuales o uniformemente distribuidas, como se explicó anteriormente. En base a esto, se desarrollaron algoritmos basados en la ecuación de Boussinesq capaces de predecir los esfuerzos y los asentamientos en cualquier punto a profundidad determinada en un medio o estrato, los cuales se explicarán a continuación.

1.2Objetivos

El artículo se propone describir algunas de las teorías utilizadas en la actualidad para el cálculo de los esfuerzos en el interior de un semi-espacio linealmente elástico debido al efecto de una carga aplicada expuestas por grandes investigadores como Boussinesq, Newmark, Westergaard y Frohlich. Se presenta también el trabajo realizado por el Ing. Julio Damy donde integra las ecuaciones de dichas teorías, y las aplica para cualquier polígono.

1.3Alcances

El artículo comprende la descripción de diferentes métodos propuestos por algunos autores para calcular el incremento de esfuerzo vertical en la masa de suelo debidos a cargas aplicadas; con la finalidad de establecer comparaciones entre ellos que faciliten la selección del procedimiento apropiado según el caso práctico al que corresponda.

DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL SUELO

Stress distribution in the soil

Ing. Vanessa Mussio Arias, Alumno de Posgrado de Ingeniería, UNAM

RESUMEN: Este artículo describe los métodos utilizados para determinar la distribución de los esfuerzos verticales en la masa de suelo debido a la aplicación de cargas. Esto es, naturalmente, de gran importancia en el análisis de asentamientos, debido a que el mismo es proporcional al peso propio de la estructura y al incremento en los esfuerzos verticales de la masa de suelo. En la mayoría de los casos, el incremento del esfuerzo vertical es el factor de mayor importancia en el análisis de asentamientos.

ABSTRACT: This article describes commonly used methods to determine the increase in stress in the soil deposit due to applied loads. This is naturally important in settlement analysis because the settlement of the structure is due directly to its weight, which causes an increase in stress in the underlying soil. In most cases, it is the increase in vertical stress that is of most importance in settlement analyses.

Distribución de esfuerzos en el suelo

2 TEORÍA DE BOUSSINESQ

2.1Discusión general

En 1885, Boussinesq publicó ecuaciones basadas en la teoría de la elasticidad, para la determinación de los esfuerzos normales y cortantes en un punto cualquiera, causados por una carga puntual concentrada en la superficie horizontal de un medio semi-infinito, homogéneo, linealmente elástico e isotrópico.

Aunque las ecuaciones y los gráficos basados en la teoría de elasticidad son de uso frecuente para determinar el cambio de esfuerzos en el suelo, se conoce que el mismo no es un material elástico. Por ejemplo, si una carga pesada se aplica a un depósito de suelo, habrá deformación vertical del suelo en respuesta a esta carga. Si se quita esta carga pesada, el suelo rebotará pero no volverá a su altura original, comprobando que el suelo no se comporta como una material totalmente elástico.

Sin embargo, se ha indicado que mientras el valor obtenido entre el factor de la seguridad y el esfuerzo de falla sea mayor de 3, los esfuerzos impuestos por la carga de la fundación son aproximados a los valores obtenidos con la teoría de elasticidad. (NAVFAC DM-7.1 1982)

Por esto, al evaluar la cercanía que existe entre las hipótesis en el desarrollo de la teoría y las condiciones reales en campo, se puede llegar a la conclusión que no es apropiada la Teoría de Boussinesq. Sin embargo, al comparar los resultados de experimentos realizados tanto en el laboratorio como en el campo se puede concluir que guardan suficiente aproximación con las predicciones.

2.2Carga aplicada

Para una carga puntual Q, aplicada en la superficie del suelo tal como muestra en la Figura 1, el incremento del esfuerzo vertical en cualquier profundidad, z, y a una distancia, r, de la carga puntual puede ser calculada usando la siguiente ecuación de Boussinesq:

σ z=∆ σ v=3Q z3

2 π (r2+z2 )52

(1)

Si en vez de ser una carga puntual, se trata de una carga linealmente uniforme (fuerza por longitud de unidad), el incremento del esfuerzo vertical en una profundidad, z, a una distancia, r, de la carga linealmente uniforme sería:

σ z=∆ σ v=3Q z3

π (r2+z2 )2(2)

Par una misma carga Q, los resultados obtenidos con la Ec. 2 serán mayores que los esfuerzos verticales obtenidos con la Ec. 1.

Figura 1. Representación de los Términos de la Ecuación de Boussinesq (Robert W. Day, 2000)

3 GRÁFICOS Y ECUACIONES BASADOS EN LA TEORÍA DE BOUSSINESQ

3.1Método aproximado

Uno de los primeros métodos utilizados para encontrar el incremento de esfuerzo vertical en el suelo, a una profundidad z cualquiera, debido a una carga uniformemente distribuida P, colocada en una superficie rectangular de ancho B y largo L.

Este método supone que la zona donde la P actúa, se va distribuyendo en el suelo, ampliándose, desde la de contacto, hasta una zona más grande que va a ser en función de la profundidad, y que va a ir creciendo con una pendiente 2:1 (V:H), tal como se muestra en la Figura 2.

Figura 2. Método aproximado para la determinación del incremento del esfuerzo vertical. (Robert W. Day, 2000)

Ing. Vanessa Mussio Arias

3.2Bulbo de presiones

En la Figura 3 se observa la zona del suelo donde se producen incrementos de carga vertical por efecto de una carga aplicada del tipo que sea. Esta zona forma un bulbo llamado presiones, y está conformada por isóbaras que son curvas que unen puntos de un mismo valor de presión o de esfuerzo.

Figura 3. Bulbos de presiones (Bowles 1982)

Se admitió la hipótesis de que la transmisión de las presiones en la masa de suelo se difunde dentro de un cierto ángulo y que éstas van decreciendo con uniformidad hacia abajo por capas sucesivas, y con repartición uniforme. La presión no es uniforme, sino que es mayor en el centro, disminuyendo de intensidad hacia los extremos. Esta particularidad, combinada con la elasticidad que generalmente tiene el suelo, hace que la resultante de las presiones esté aproximadamente, al centro de la fundación. El bulbo de presiones, tiene gran influencia en el diseño, cálculo y resultado de las cimentaciones. Sin embargo, su efecto corresponde, no al asentamiento inicial, sino al subsecuente.

3.3Teoría de Westergaard

Casagrande observó que en los suelos compresibles con finos estratos de arena o limo, alternados con otros de arcilla (arcillas finamente estratificadas), las láminas de arena y limo actúan como refuerzos del conjunto, limitando o restringiendo la deformación horizontal de la masa. Considerando esto, la utilización de la Teoría de Boussinesq no es recomendable, pues la misma arroja

resultados poco aproximados, por la condición no isotrópica del suelo.

Westergaard (1938) obtuvo una solución elástica lineal particular para estos casos, donde se supone que el suelo se encuentra reforzados lateralmente por numerosas laminaciones horizontales de espesor sumamente pequeño pero de rigidez infinita, como se muestra en la Figura 6.

O mediante la siguiente ecuación:

σ z=

P2 π z2∗√ (1−2 ν )

(2−2 ν )

[ (1−2 ν )(2−2 ν )

+( rz )

2]23

(3)

Figura 4. Determinación del incremento del esfuerzo vertical basado en la teoría de Wetergaard (Duncan y

Buchignani, 1976)

Esta figura arroja mejores resultados en la determinación del incremento del esfuerzo vertical para un suelo estratificado, cuando el suelo es una arcilla blanda con numerosas laminaciones horizontales de arena.

3.4Teoría de Newmark

En 1935, Newmark basándose en la ecuación y solución de Boussinesq desarrolló una nueva ecuación para determinar el incremento de esfuerzos en la esquina de un área cargada uniformemente. La Figura 4 que se muestra a continuación, permite calcular el valor de

Distribución de esfuerzos en el suelo

influencia de manera sencilla. Entrando a la gráfica con el valor de n y, la intersección con la curva deseada de m, se obtiene el valor Iw del coeficiente de influencia del eje vertical. Con éste valor de Iw y el valor de la carga q0 se obtendrá el incremento de esfuerzo a cualquier profundidad.

Figura 5. Determinación del incremento del esfuerzo vertical en la esquina de un área cargada (NAVFAC DM-

7.1, 1982)

Esta figura también puede ser utilizada para determinar el incremento del esfuerzo vertical en el centro de un área rectangular uniformemente cargada. Para este caso, primero se divide el área rectangular en 4 parte, se determina el valor del coeficiente de influencia en la esquina de una de las partes y posteriormente se multiplica el valor del incremento del esfuerzo vertical obtenido por 4, resultando así, el valor del incremento del esfuerzo vertical al centro del rectángulo.

En 1942 Newmark ideó una solución gráfica para encontrar de manera aproximada el incremento de esfuerzo vertical debajo de cualquier punto de una fundación, con cualquier tipo, forma de carga y en un medio que cumple con las hipótesis de Boussinesq. A esta solución se le llama Carta de Newmark, como se observa en la Figura 5.

Posiblemente la máxima utilidad de la Carta de Newmark aparezca cuando se tiene una zona con diversas áreas cargadas uniformemente, pero con cargas de distintas intensidades, pues es este caso los métodos antes vistos requerirían muchos cálculos, mientras que la carta de Newmark funciona sin mayor dificultad.

Figura 6. Carta de Newmark para determinación del incremento del esfuerzo vertical (Newmark, 1942)

3.5Teoría de Frohlich

Frohlich propuso una fórmula para calcular la distribución de esfuerzos verticales en la masa de suelo debido a cargas aplicadas en la superficie, la cual se puede calcular por medio de la siguiente expresión para una carga concentrada p;

σ z=pχ

2 π z2 [ 1

1+( rz )

2 ]χ+2

2 (4)

El valor X, es el factor de distribución de esfuerzos de Frohlich, el cual depende de las condiciones estratigráficas y mecánicas de compresibilidad del suelo:

X=1.5, aproximadamente la solución de Westergaard para un suelo fuertemente estratificado reforzado por estratos horizontales múltiples e indeformables, ν= 0.

X=2, suelo estratificado, con estratos de diferentes deformabilidades.

X=3, solución de Boussinesq, suelo homogéneo e isotrópico.

X=4, suelo homogéneo en que la compresibilidad se reduce en la profundidad, como en el caso de las arenas

Ing. Vanessa Mussio Arias

3.6Trabajo del Ing. Julio Damy

El ingeniero Julio Damy realiza una contribución muy importante al estudio de la distribución de esfuerzos en la masa de suelo al desarrollar con base en la geometría del triangulo, una serie de fórmulas mediante las cuales se puede calcular dicha influencia de las cargas en el suelo para cualquier polígono. Desarrollando tres formulas correspondientes a la teoría de Boussinesq, Westergaard y Frohlich.

Además, aplicando de una manera muy simple las formulas del triangulo, se llegan a obtener fórmulas para rectángulos correspondientes a la teoría de los mismos autores antes mencionados, como se muestra a continuación:

Ecuación de Boussinesq:

σ z=q

2 π {( 11+m2 )+( 1

1+n2 ) mn

(m2+n2+1 )12

+ tan−1 mn

( m2+n2+1 )12 }(5)

Ecuación de Frolich:

σ z=q

4 π {[( 11+m2 +

11+n2 ) mn

(m2+n2+1 ) ]+[ n ( 3+2 n2 )

(1+n2)32

tan−1( m

(1+n2 )12 )]+[m (3+2 m2 )

(1+m2 )32

tan−1( m

(1+m2 )12 )]}

Ecuación de Westergard:

σ z=q

2 πtan−1( mn

k (m2+n2+k2 )12 )(7)

Donde:

k=√ 1−2 μ2 (1−μ )

(8)

4 CONCLUSIONES

1. La fórmula de Boussinesq es utilizada para suelos homogéneos e isotrópicos.

2. La fórmula de Westergaard aplica cuando el suelo está fuertemente estratificado reforzado por estratos horizontales múltiples e indeformables. El resultado es 2/3 menor al de Boussinesq, a causa que los estratos horizontales toman parte de estos esfuerzos.

3. La máxima utilidad de la Carta de Newmark, además de ser un método gráfico muy sencillo, es cuando se tiene una zona con diversas áreas cargadas uniformemente, perco con cargas de distintas intensidades, pues es este caso los métodos antes vistos requerirían muchos cálculos, mientras que la carta de Newmark funciona sin mayor dificultad

4. La fórmula de Frohlich aplica para superficie de una medio semi–infinito, elástico y anisotrópico.

5. El ingeniero Julio Damy realiza una contribución muy importante al estudio de la distribución de esfuerzos en la masa de suelo al desarrollar con base en la geometría del triangulo, una serie de fórmulas mediante las cuales se puede calcular dicha influencia de las cargas en el suelo para cualquier polígono.

5 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Bowles, J. E (1982). “Foundation Analysis and Desing”. Estados Unidos, New York. Editorial Mc Graw Hill. Second Edition: 816 pp.

Damy R. Julio, Integración de las superficies de Boussinesq, Westergaard y Frölich sobre superficies poligonales de cualquier forma cargadas por fuerzas verticales uniformemente repartidas.

Day, R. (2000). “Geotechnical Engineer’s portable handbook”. Estados Unidos, New York. Editorial Mc Graw Hill. Second Edition: 6.2- 6.22 pp.

Juárez Badillo y Rico Rodríguez (2008). “Mecánica de suelos, Tomo II, Teoria y aplicaciones de la mecánica de suelos”. México. Editorial Limusa: 38-41 pp.

NAVFAC DM-7.1 (1982). “Soil Mechanics, Desing Manual 7.1, Department of the Navy”. Naval Facilities Engineering Command, Alexandria, Va., 364 pp.

Terzaghi, Peck and Mesri. (1996). “Soil Mechanics in Engineering practice”. India, New Delhi. Editorial John Wiley and Sons, Inc. Third Edition: 291-297 pp.

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