esfuerzos y deform. en una masa de suelo

7/24/2019 Esfuerzos y Deform. en Una Masa de Suelo

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Capitulo 2.Esfuerzos y deformaciones en una masa de suelos.Para explicar el comportamiento ingenieril de los suelos es necesario entender el conceptode esfuerzo en una masa de suelo y, en particular, la manera como el esfuerzo que acta

sobre el suelo como un todo se relaciona con los esfuerzos que se desarrollan dentro delesqueleto del suelo y del fluido intersticial.

Para poder resolver problemas de ingeniera, tambin es necesario entender c!mo evaluarlos esfuerzos que actan en un punto de la masa de suelo debidos a su propio peso y asmismo el cambio de esfuerzos que se induce en el suelo debido a la acci!n de carga "odescarga# externa producto de la construcci!n de obras de ingeniera. $e la misma manerason importantes las deformaciones de la masa de suelo, principalmente los asentamientos,que resultan de los cambios de tales esfuerzos.

Por lo general, el esfuerzo sobre un punto no es el mismo en todas las direcciones y, portanto, es importante estudiar el estado general de esfuerzos que existe en un punto dentro dela masa de suelo y considerar las relaciones entre los esfuerzos actuantes en direccionesdiferentes. %in embargo, en muc&os problemas de ingeniera el inters principal se centrasobre los esfuerzos que actan en una direcci!n particular' por e(emplo, el estudio de la

capacidad portante y los asentamientos de cimentaciones dependen principalmente de losesfuerzos que actan en la direcci!n vertical, en tanto que el estudio de las presiones detierras sobre los muros de contenci!n requiere un conocimiento de los esfuerzos&orizontales en la masa de suelo.

2.). Principio de esfuerzo efectivo

En una masa de suelo existen esfuerzos dentro del esqueleto del suelo que resultan de lasfuerzas que actan sobre los puntos de contacto entre partculas individuales, y existenesfuerzos dentro del fluido intersticial que ocupa los vacos del suelo. Para estudiar elcomportamiento ingenieril de los suelos es necesario tener la capacidad de distinguir estas dosclases de esfuerzos y tambin entender la relacin entre ellos. Si se considera dentro de estepropsito, una masa de suelo saturado con una superficie horizontal (Figura 2.1, con el ni!el

fre"tico a ni!el del terreno, se tiene #ue en un plano horizontal $$ de "rea Aa profundidad z, lacolumna !ertical de suelo por encima de $$ tendr" el peso total Wsiguiente.

W = Ws + Ww "2.)#

donde Wses el peso de las partculas del suelo y Wwes el peso del agua en los vacos.


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*as partculas del suelo por deba(o del nivel fre+tico est+n sometidas a un empu(e Ude talmanera que su peso efectivo Wsest+ dado por

Ws Ws - Uentonces

Ws Ws U

y reemplazando en la ecuaci!n "2.)#

W = Ws U + Ww

%i Vsrepresenta el volumen de las partculas de suelo en la columna, y Vw, el volumen deagua, entonces U = pwgVs"principio de /rqumedes# y Ww pwgV0.

Entonces

W = Ws+ pwg (Vs Ww)

Como el suelo est+ saturado, el volumen de agua V, es igual al volumen de vacos Vv. Portanto Vs Vwrepresenta el volumen total Vde la columna. Entonces

W = Ws pwgV

1 como V= Az, entonces

W Ws =_____ + pwgz

A A

W/A define el esfuerzo sobre como resultado del peso total de la columna y sedenomina esfuerzo total, representado por .Ws3A es el esfuerzo sobre como resultadodel peso efectivo de las partculas de suelo y se denomina esfuerzo efectivo, "o algunasveces#. Puesto que el plano est+ a la profundidadzpor deba(o del nivel fre+tico, eltrminopwgzconstituye lapresi! i!tersticial "i#rost$tica en , representada por u. /sobtenemos la relaci!n

4 45 u "2.2#

*a ecuaci!n 2.2 generalmente se cumple para suelos saturados, sin tener en cuenta lascondiciones del agua en los poros ni la influencia de las cargas externas. Esta relaci!n seconoce como pri!cipio #e esfuerzo efectivo y fue postulado la primera vez por 6arl7erzag&i, en )829. Este simplemente propone que en cual%uier pu!to #e u!a &asa #e suelosatura#o el esfuerzo total e! cual%uier #irecci! es igual a la su&a alge'raica #el esfuerzoefectivo e! esa #irecci! la presi! i!tersticial.

/ pesar de su forma algebraica extremadamente simple, el principio de esfuerzo efectivo esquiz+ la relaci!n de m+s importancia en el estudio de la mec+nica de suelos, y supublicaci!n por 7erzag&i marc! la aparici!n de esta materia como una disciplina separada

en ingeniera.


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2.2. Esfuerzos en un punto de una masa de suelo.En la :igura 2.2a# se muestra el estado general de esfuerzos totales en un elemento dentrode una masa de suelo. El estado de esfuerzos que resulta en cada cara se caracteriza por unacomponente de esfuerzo normal y dos componentes de esfuerzo cortante r, cada una delas cuales se identifica con un sufi(o direccional relacionado con las tres direcciones dereferencia* * z. %in embargo, para este estado de esfuerzos debe existir en el elemento uncon(unto de tres planos mutuamente perpendiculares sobre los cuales el esfuerzo resultantees normal, con las componentes de esfuerzos cortantes nulos. Estos son los pla!ospri!cipales* y los esfuerzos normales asociados son los esfuerzos pri!cipales. Enorden demagnitud descendente tenemos el esfuerzo principal mayor que acta sobre el planoprincipal &aor, el esfuerzo pri!cipal i!ter&e#io , que acta sobre el planoprincipal i!ter&e#io, y el esfuerzo principal menor -que acta sobre el plano principalmenor. En la :igura 2.2b# se representa el estado de esfuerzos del elemento cuando lascaras del elemento est+n orientadas en las direcciones de los planos principales. %i elelemento se toma de tama;o infinitesimal, los esfuerzos que se muestran en la :igura 2.2 enlas caras del elemento pueden tomarse para describir los esfuerzos que actan sobre planosdiferentes en un punto de la masa de suelo.

En los casos de muros de contenci!n, terraplenes, cortes y cimentaciones corridas, la masade suelo sometida a esfuerzo es a menudo muy grande en una direcci!n, como se ilustra enla :igura 2.9. Para esta geometra tpica, las deformaciones de la masa de suelo en ladirecci!ns!lo se producen localmente en los bordes de la estructura, y las condiciones dela mayor parte de la masa de suelo se aproximan a las defor&aci! pla!a*donde es elesfuerzo principal intermedio.Por tanto, al tomar espesores unitarios de la masa de suelo en la direcci!nreducimos elproblema a un an+lisis bidimensional de esfuerzos, en el cual nicamente es necesarioconsiderar los esfuerzos en el plano* z.


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/n+lisis bidimensional de esfuerzos< crculo de =o&r de esfuerzos

En la :igura 2.>a# se muestra el estado bidimensional de esfuerzos sobre un elemento desuelo. Para analizar las condiciones de esfuerzos en el elemento, debe considerarseequilibrio del prisma abc de la :igura 2.>b#. %ean y rlas componentes normal y cortantedel esfuerzo que acta sobre el plano ab. %ea la longitud lde ab. Entonces# y "2.@#

Ana gr+fica de esfuerzo cortante ren funci!n del esfuerzo normal , se define mediante uncrculo de radio B D" z# F2 r,zcon su centro sobre el e(e en D" z#.Esto se ilustra en la :igura 2.>c, con la convenci!n de signos tal que los esfuerzos normalesde compresi!n y los esfuerzos cortantes en sentido contraro a las manecillas del relo( sonpositivos. *a gr+fica del esfuerzo cortante en funci!n del esfuerzo normal se denominadiagrama #e o"r,y el crculo, c0rculo #e o"r #e esfuerzos.

%obre la circunferencia de todo crculo de =o&r existe un punto denominado polo, quetiene una caracterstica nicac# el punto G tiene las coordenadas "z rz# que definen el estado de esfuerzo enel plano cb del elemento de suelo, y el punto 6 tiene las coordenadas " z rz# que definenel estado de esfuerzo en ac. Por tanto, el polo P se encuentra trazando una lnea que pasepor G paralela al plano cb del elemento "o una lnea que pase por 6 paralela a ac# la cual

corta el circulo en el punto P. Ana lnea que pase por P paralela al plano ab del elementocorta el crculo en el punto * cuyas coordenadas deben ser.",r#.

*a validez de esta construcci!n puede verificarse a partir de la Heometra del crculo de=o&r, en la :igura 2.>c. /l aplicarle al tri+ngulo *GC la regla de los cosenos, se obtiene

7ambin

Entonces


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con lo cual

que confirma la ecuaci!n "2.9#.

7ambin

Por consiguiente, las coordenadas del punto * son yr, que representan las componentesnormal y cortante del esfuerzo sobre el plano ab. /s, el esfuerzo resultante sobre ab, queacta con una inclinaci!n 1medida en el sentido de las manecillas del relo( a partir de ladirecci!n normal' en la :igura 2.>b, se representa sobre el diagrama de =o&r por el vectorI* trazado con un +ngulo 1en el sentido contrario a las manecillas del relo( a partir del e(e

de esfuerzo normal.Por definici!n, los planos principales son planos de esfuerzo cortante nulo y, por tanto,deben representarse con los puntos donde el crculo corta el e(e del esfuerzo normal.Entonces el punto = de la :igura 2.>c representa el esfuerzo principal mayor ) que actasobre el plano principal mayor y el punto J, el esfuerzo principal menor 49que acta sobreel plano principal menor. El +ngulo subtendido en el polo es igual a 8KL y, por tanto, losplanos principales forman +ngulo recto entre s. $e igual modo, los valores m+ximos delesfuerzo cortante se representan con los puntos % y 7 y se corresponden con un esfuerzonormal de magnitud D"4) 49#. J!tese que los planos de esfuerzo cortante m+ximo formanun +ngulo de >ML con los pianos principales,

El crculo de =o&r de esfuerzos es, por tanto, una &erramienta muy til para el an+lisis deesfuerzos bidimensionales. /dem+s, al considerar el elemento de suelo de la :igura 2.>a de

un tama;o infinitesimal, puede utilizarse un crculo de =o&r para representar lascondiciones de esfuerzo en un punto particular de la masa de suelo, en el que cada punto dela circunferencia del crculo representa las componentes del esfuerzo sobre planosdiferentes alrededor del punto.

/unque aqu se &an ilustrado los esfuerzo totales de un suelo, el concepto del crculo de=o&r se aplica igualmente al an+lisis bidimensional de esfuerzos efectivos Esto puede&acerse a partir del trazado de crculos de =o&r de esfuerzos efectivossobre un diagrama de=o&r de esfuerzo cortante en funci!n del esfuerzo normal efectivo.

2.3. Esfuerzos debidos al propio peso

El esfuerzo vertical que existe en una masa de suelo debido solamente a su propio peso sedenomina esfuerzo #e so'recarga.*a :igura 2.M muestra un dep!sito &omogneo de suelo con una superficie &orizontal. Paraestas condiciones el esfuerzo cortante en todos los planos verticales es cero y por tanto losesfuerzos vertical y &orizontal son esfuerzos principales. El esfuerzo vertical total y "opresi!n de sobrecarga total# en cualquier punto es simplemente el esfuerzo que resulta delpeso de todo el material por encima del punto. /s, considerando el plano &orizontal de+reaAa una profundidadz* el peso total de la columna vertical de suelo por encima de est+ dado por


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dondepesla densidad aparente del suelo,pses la densidad saturada, yg es la aceleraci!n

de la gravedad. Entonces, el esfuerzo vertical total vsobre definidocomo N3/, est+dado por

Con la densidad en =g3m9,g 8.O) m3s2, y la profundidad en metros, tiene unidades deJ3m2.

*a presi!n intersticial uen cualquier punto de la masa de suelo tendr+ un valor de equilibriocompatible con las condiciones de frontera &idr+ulicas existentes en la masa de suelo. *ascondiciones m+s simples son aquellas en las que el nivel de aguas subterr+neas es est+tico"como se considera aqu#, en cuyo caso las presiones intersticiales se denominanpresiones "i#rost$ticas. /l ser una presi!n de fluido la presi!n intersticial en cualquierpunto es la misma en todas las direcciones, y por tanto no &ay necesidad de atribuirle un

sufi(o direccional. /s, en la :igura 2.M, la presi!n intersticial &idrost+tica en a unaprofundidad z0por deba(o del nivel fre+tico est+ dada por

El esfuerzo vertical efectivo asociado "o presi!n de sobrecarga efectiva# sobre seobtiene a partir del principio de esfuerzos efectivos utilizando la ecuaci!n "2.2# en la formasiguiente

Entonces, sustituyendo vyuen las ecuaciones "2.O y "2.8#

/ partir de la ecuaci!n ").2)#, (ps2 p0# define la densidad efectivap3y por tanto se obtiene


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Qa(o condiciones &idrost+ticas, la presi!n efectiva de sobrecarga en una masa de suelo esfunci!n de la densidad total del suelo que se encuentre por encima del punto consideradosobre el nivel fre+tico y de la densidad efectiva del suelo que se encuentre por encima delpunto considerado ba(o el nivel fre+tico.

El esfuerzo &orizontal en un punto de la masa de suelo est+ fuertemente determinado por la&istoria de esfuerzos del dep!sito, y como tal no puede calcularse de una manera simple

como los esfuerzos de sobrecarga. En el captulo @ estudiaremos este tema con mayoramplitud.

E(emplo 2.).An perfil de suelo se compone de M m de arena depositados encima de > mde grava que descansa sobre el lec&o rocoso. El nivel fre+tico "J:# est+ 2 m por deba(o dela superficie &orizontal de la arena.

a# $eterminar las distribuciones del esfuerzo vertical total, la presi!n intersticial y elesfuerzo vertical efectivo en funci!n de la profundidad &asta llegar al lec&o rocoso, dadoque la densidad aparente de la arena por encima del J: ).RK =g3m9, la densidad saturadade la arena por deba(o del J: 2.KM =g3m9 y la densidad saturada de la grava 2.)M=g3m9b# SC!mo cambian estas distribuciones si el nivel fre+tico desciende &asta la interfasearena3gravaT

%oluci!n.

a# El perfil de suelo es como se muestra en la :igura 2.@.%e empieza por el c+lculo de los esfuerzos en los lmites de las tres zonas.

%i la densidad del suelo en cada zona es constante, la relaci!n v = pgz predice unavariaci!n lineal de ven funci!n de la profundidad a lo largo de cada zona. $e igual manerala variaci!n de u = pw%zw es lineal en funci!n de la profundidad por deba(o del nivel


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fre+tico. Entonces se llega a que v vara linealmente a lo largo de cada zona. *asdistribuciones de v, uy vson entonces como lo muestra la :igura 2.@a.

b# Con el nivel fre+tico en la interfase arena3grava , se tiene )@R.RM J3m2u = ) x 8.O) x > 98.2> J3m2, v )@R.RM - 98.2> )2O.M) J3m2

*as distribuciones de v, uy vson a&ora como se muestra en la :igura 2.@b. Comparandolos resultados de a# y b# pueden determinarse los cambios en esfuerzo Uv, Uuy Uv enfunci!n de profundidad ":igura 2.@c#. Esto indica que al ba(ar el nivel fre+tico en una masade suelo el esfuerzo vertical total disminuye en todos los puntos pordeba(o del J: original,pero esta disminuci!n es menor que la correspondiente a la presi!n intersticial. Comoresultado se obtiene un aumento del esfuerzo vertical efectivo en el suelo constante entodos los puntos por deba(o del nivel fre+tico m+s ba(o. J!tese que estos cambios enesfuerzo son compatibles con el principio de esfuerzo efectivo' por e(emplo, en cualquierpunto por deba(o del nivel fre+tico m+s ba(o

y por tanto, a partir del principio de esfuerzo efectivo

como se muestra en la figura 2.@c.

2.>. Esfuerzos debidos a cargas aplicadas.*as distribuciones de esfuerzos que producen en una masa de suelo la aplicaci!n de lascargas resultantes de la construcci!n de obras de ingeniera dependen del espesor y launiformidad de la masa de suelo, del tama;o y la forma del +rea cargada, y de laspropiedades esfuerzo-deformaci!n del suelo. /&ora, el comportamiento esfuerzo-deformaci!n de los materiales reales rara vez es simple, y en el caso de los suelosingenieriles frecuentemente es muy comple(o. Para ilustrarlo, nos referimos a la :igura 2.R"tomada de Qis&op, )8R2# y comparamos las relaciones esfuerzo-deformaci!n para unnmero de materiales ideales con la de un suelo real. Itros e(emplos de relacionesesfuerzo-deformaci!n para suelos reales se dan en las :iguras M.)b, M.)d y M.9.


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%in embargo, dentro del contexto de la bsqueda de los esfuerzos y deformaciones en unamasa de suelo, pueden identificarse dos categoras de problemas de ingeniera. *osproblemas de esta'ili#a# que constituyen una de las categoras se analizan considerando elequilibrio limite de una masa de suelo que est+ en estado de falla por cortante a lo largo deuna superficie de deslizamiento potencial. %e supone que el suelo en la zona de falla seencuentra en un estado de e%uili'rio pl$stico,y en el an+lisis el comportamiento del suelose define con un valor de resistencia a la condici!n de falla a lo largo de la superficie dedeslizamiento. Con la comparaci!n entre los esfuerzos reales sobre la superficie dedeslizamiento potencial con aquellos necesarios para generar la falla, se obtiene un factorde seguridad con respecto a la inestabilidad. *a teora del equilibrio lmite para el an+lisisde estabilidad se presenta con detalle en los captulos @, R y O cuando se consideran laspresiones de tierras en los muros de contenci!n, la estabilidad de taludes y la capacidadportante de cimentaciones.

*a segunda categora la constituyen los problemas de #istri'uci! #e esfuerzos y #e

#efor&acio!es* en los que el inters est+ centrado en la predicci!n de esfuerzos ydeformaciones "por lo general, asentamientos# en el suelo cuando los niveles de esfuerzosse restringen a un rango de traba(o muy por deba(o del valor de falla y dentro de la parteinicial, aproximadamente lineal, de la curva esfuerzo deformaci!n. Para estas condicionesse supone que el suelo se encuentra en un estado de e%uili'rio el$stico y las distribucionesde esfuerzos y las deformaciones se determinan ba(o el supuesto de que el suelo secomporta como un material &omogneo - isotr!pico y linealmente el+stico, cuyaspropiedades se definen con el m!dulo de elasticidad, 4, y la relaci!n de Poisson, u.Estaclase de problemas se estudian en este captulo, y m+s adelante en el captulo >, cuando seestudie el an+lisis de asentamientos de estructuras.


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=uc&as de las soluciones obtenidas para las distribuciones de esfuerzos se derivan de lostraba(os de Qoussinesq, quien en )OOM desarroll! expresiones matem+ticas para obtener elincremento de esfuerzo en una masa semiinfinitaxde suelo debido a la aplicaci!n de unacarga puntual en su superficie ":igura 2.Oa#. *as expresiones de Qoussinesq se &anintegrado para obtener soluciones para +reas cargadas y se &an modificado para tomar encuenta estratos de suelo de espesor finito, sistemas de varios estratos y aplicaci!n de cargas

por deba(o de la superficie de la masa del suelo. Ana revisi!n ex&austiva de las diversassoluciones publicadas fue dada por %cott ")8@9#, Garr ")8@@# y Poulos y $avis ")8R>#. %inembargo, aqu s!lo se presentan aquellas comnmente utilizadas en la pr+ctica de laingeniera.x Ana masa semiinfinita es la que est+ limitada por una superficie &orizontal y se extiende al infinitoverticalmente &acia aba(o, y &orizontalmente en todas direcciones.

*as condiciones comple(as de carga con frecuencia pueden tratarse como una combinaci!nde dos o m+s de estos casos simples de carga, y su soluci!n puede obtenerse aplicando elprincipio de superposici!n. *os cambios de esfuerzo debidos a la descarga, por e(emplo, enexcavaciones, pueden calcularse simplemente con una carga negativa aplicada sobre el +reade excavaci!n.

$ebe recordarse que las soluciones producen cambios en esfuerzo que resultan de la

aplicaci!n de cargas, y no toman en cuenta los esfuerzos que existen en la masa de suelodebidos a su propio peso.

a# Carga puntual verticalCon referencia en la :igura 2.Oa#, las expresiones de Qoussinesq para el incremento deesfuerzo en el punto5en una masa semiinfinita de suelo debido a la aplicaci!n de unacarga puntual 6en la superficie, est+n dados por

$onde z profundidad desde la superficie del suelo &asta el punto J. r distancia radial desde J &asta la lnea de acci!n de 6.y u relaci!n de Poisson.


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b# Carga lineal vertical de, longitud infinitaCon referencia a la :igura 2.Ob, los incrementos de esfuerzo en5debidos a la aplicaci!n deuna carga lineal de 6por metro, son

c# Carga uniformemente distribuida sobre una fran(a infinita

*os incrementos de esfuerzo en el punto J producidos por una presi!n uniforme % queacta sobre una fran(a flexible infinitamente larga de anc&o7con referencia a la :igura2.8a, son los siguientes

d# Carga con distribuci!n triangular sobre una fran(a infinita

Cuando el esfuerzo aplicado se incremento linealmente a travs del anc&o de la fran(a, locual conduce a una distribuci!n triangular, como se muestra en la :igura 2.8b, losincrementos de esfuerzo en el punto J est+n dados por


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*os casos c# y d# pueden superponerse para calcular el cambio de esfuerzo producido por laconstrucci!n de terraplenes o por la realizaci!n de cortes en una masa de suelo.

e# Carga uniformemente distribuida sobre un +rea rectangular

En este caso se presenta la soluci!n para el incremento de esfuerzo vertical total en unpunto J deba(o de una es%ui!ade un +rea rectangular flexible uniformemente cargada. *asoluci!n puede expresarse en la forma

donde8es unfactor #e influencia #e esfuerzo que depende de la longitud9 del anc&o7del +rea rectangular y de la profundidadzdel punto J. *os valores de 8expresados enfunci!n de los par+metros m 7/z y !9/zse presentan en la :igura 2.)K, segn :adum")8>O#.

El mrito de presentar una soluci!n para un punto esquinero radica en que por simplesuperposici!n Uvpuede calcularse con facilidad para cualquier punto en la masa de suelo

debido a cualquier +rea uniformemente cargada que pueda subdividirse en rect+ngulos. Pore(emplo, por deba(o del punto en la :igura 2.))a, el incremento en esfuerzo debido al+rea cargada9 x7 se calcula a partir de


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$e igual manera, por deba(o del punto 1 en la :igura 2.))b, el incremento de esfuerzodebido a la aplicaci!n de una carga sobre el +rea sombreada se calcula a partir de


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f# Carga uniformemente distribuida sobre un +rea circular

El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad zba(o el centro de un +reacircular flexible de radiocargada con una presi!n uniforme %est+ dado por

%in embargo, para puntos diferentes de los situados ba(o el centro de carga, las solucionestienen una forma extremadamente complicada "Garr, )8@@# y por lo general se presentan enforma gr+fica ":oster y /&lvin, )8M># o en tablas "/&lvin y Alery, )8@2#. En el punto J dela :igura 2.)2, puede escribirse el incremento en el esfuerzo vertical total como

donde el factor de influencia8, depende de,z r. *os valores de 8en funci!n de lospar+metrosz/ r8 se obtienen a partir de la :igura 2.)9 "segn :oster y /&ivin, )8M>#.


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g# $iagrama de influencia de Je0marEn )8>2 Je0mar propuso un procedimiento gr+fico para determinar el incremento deesfuerzo vertical total ba(o cualquier +rea de forma flexible uniformemente cargada.El gr+fico de Je0mar, que se muestra en la :igura 2.)>, consta de un nmero de +reas deinfluencia creadas por la intersecci!n de una serie de crculos concntricos con lneas queparten del origen en sentido radial. El gr+fico est+ construido de tal manera que cuandocada +rea de influencia se carga con una presi!n uniforme % se obtiene el mismoincremento de esfuerzo vertical total a una profundidad /Q por deba(o del origen de lagr+fica. Por tanto, si en este caso el nmero total de +reas de influencia en la gr+fica es 2KK,cada una representar+ un cambio de esfuerzo de K.KKM %' de esta manera se define un valorde influencia8 que para este gr+fico es K.KKM.


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Para utilizar el gr+fico se dibu(a el contorno del +rea cargada a una escala compatible con ladel gr+fico' esta escala debe ser tal que la longitud de la lnea de escala /Q sobre el gr+ficocorresponda a la profundidadz a la cual se quiere encontrar el incremento de esfuerzo.El

contorno a escala se localiza de manera tal que el punto ba(o el cual se quiere encontrar elesfuerzo quede directamente sobre el origen del gr+fico. El nmero de +reas de influencia alinterior del contorno se calcula y se denomina !. El incremento en el esfuerzo vertical totalse obtiene entonces as


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$esplazando el contorno a escala alrededor del gr+fico, puede determinarse Uven todoslos puntos del suelo a la profundidadz. Para calcular Uva cualquier otra profundidad, elproceso se repite con el contorno dibu(ado a otra escala.

El gr+fico de Je0mar es particularmente til para +reas cargadas de forma irregular ycomo mtodo adicional para evaluar esfuerzos deba(o de +reas circulares cargadas.

C+lculo aproximado del incremento del esfuerzo verticalPara +reas circulares o rectangulares uniformemente cargadas, puede &acerse un c+lculoaproximado del incremento de esfuerzo vertical total suponiendo que la carga aplicada sedistribuye dentro de un cono truncado o una pir+mide truncada formados por lados conpendiente de 2 en la vertical y ) en la &orizontal, como se ilustra en la :igura 2.)M. Pore(emplo, si el +rea cargada es un rect+ngulo de longitud * y anc&o Q, el incrementopromedio en el esfuerzo vertical total a una profundidad z estar+ dado aproximadamentepor

Cualquier +rea cargada puede considerarse como un nmero discreto de sub+reas, quecontribuyen cada una con una carga puntual aplicada sobre la superficie del suelo en supunto central. El incremento de esfuerzo debido al +rea completa se obtiene entoncesutilizando la ecuaci!n de Qoussinesq correspondiente a una carga puntual yel principio de superposici!n. %i la profundidad a la que se va aencontrar el esfuerzo es porlo menos tres veces el anc&o escogido para las sub+reas, s!lo se presentar+n peque;asinexactitudes. En realidad, con la disponibilidad de los computadores, considerar unnmero suficiente de sub+reas para asegurar precisi!n en los c+lculos es algo simple, casoen el cual la aproximaci!n ser+ m+s conveniente que una basada en el uso de gr+ficos otablas de factores de influencia.

Qulbos de esfuerzos

*as soluciones presentadas en los literales a# &asta g# pueden utilizarse para obtener laslneas de igual incremento de esfuerzo en una masa de suelo producidos por una cargaaplicada en la superficie. Por e(emplo, en la :igura 2.)@a# se muestran las lneas de igualincremento del esfuerzo vertical total expresado como una fracci!n de la presi!n aplicada %en una fran(a infinitamente larga' y en la :igura 2.)Ra se muestra una secci!n transversal enla lnea central de un +rea cuadrada. *as lneas forman lo que se denomina 'ul'os #e


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esfuerzo del +rea cargada, y dan una representaci!n visual til de la manera como elincremento de esfuerzo se distribuye travs de la masa de suelo. %e ve, por e(emplo, quepara cualquier profundidad el mayor incremento de esfuerzo tiene lugar deba(o del centro.Por tanto, las distribuciones de Uvpor deba(o del punto central son deespecial inters, y semuestran por separado para una fran(a y un +rea cuadrada en las figuras 2.)@b y 2.)Rbrespectivamente. Por deba(o del centro de un +rea rectangular cargada de anc&o Q, Uvauna profundidad de tres veces el anc&o es m+s o menos el MV de la presi!n superficial %.

$e otro lado, deba(o de la lnea central de una fran(a de anc&o7una reducci!n similar deUvse logra s!lo cuando la profundidad es superior a )K7. *a profundidad &asta la cual elincremento de esfuerzo es significativo se denominazo!a #e i!flue!cia y puede tomarseentonces como aproximadamente )K veces el anc&o en el caso de una fran(a infinitamentelarga y aproximadamente tres veces el anc&o en el caso de un +rea cuadrada cargada. $emanera similar, la zona de influencia de un +rea circular cargada se extiende &asta unaprofundidad de m+s o menos tres veces su di+metro.

2.M. /sentamientos basados en la teora de la elasticidad

*a teora de la elasticidad en la cual se apoyan las soluciones dadas en la secci!n 2.>tambin puede utilizarse para obtener expresiones de las deformaciones que resultan en unamasa de suelo cuando se le aplica una carga. En la pr+ctica, son de especial inters lasdeformaciones verticales, es decir, los ase!ta&ie!tos que se producen en la superficie de lamasa de suelo cuando la carga se aplica sobre el +rea de una cimentaci!n. *as solucionespara los asentamientos basadas en la teora de la elasticidad utilizan el m!dulo deelasticidad4y la relaci!n de Poisson v. %in embargo, una masa de suelo no tiene valoresnicos de4y v, y la dificultad para determinar los valores apropiados de estos par+metroslimita la aplicaci!n pr+ctica de estas soluciones.


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En dep!sitos de arena el valor del m!dulo vara no s!lo con la profundidad sino tambincon el anc&o del +rea cargada, y en el rango Wel+sticoW inicial de deformaci!n el valor de larelaci!n de Poisson vara con la deformaci!n. En consecuencia, las soluciones basadas en laelasticidad son poco utilizadas en la predicci!n de asentamientos en arenas. En la pr+ctica,dic&as predicciones se basan por lo general en mtodos m+s empricos como los que sedescriben en el captulo O.

%in embargo, en dep!sitos de arcilla saturada, los asentamientos que se presentaninmediatamente durante la construcci!n se producen sin ningn drena(e del agua intersticialdel suelo. Esta es una condici!n de cambio de volumen nulo en la masa de suelo para lacual la relaci!n de Poisson v K.M. 1 es razonable la &ip!tesis de un m!dulo de elasticidadno drenado constante. Por tanto, en la pr+ctica, las soluciones que se presentan en estasecci!n se utilizan principalmente para predecir los asentamientos i!&e#iatos "a vecesllamados asentimientos elasticos#que se producen en los dep!sitos de arcilla saturada encondiciones no drenadas.

Xrea rectangular con carga uniformemente distribuida.

El asentamiento en la superficie de una masa de suelo semiinfinita en la es%ui!ade un +rearectangular flexible de longitud9y anc&o7a la que se aplica una carga uniforme %est+dado por

donde 8s es el factor #e i!flue!cia #el ase!ta&ie!to que depende de la relaci!nlongitud3anc&o del +rea rectangular. *a relaci!n entre8s y937 fue establecida por 7erzag&i")8>9#, y se muestra en la :igura 2.)O.

%i el +rea rectangular est+ en la superficie de un estrato de suelo de espesor finito:quereposa sobre una base rgida, el asentamiento en una es%ui!apuede obtenerse a partir de la


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soluci!n aproximada presentada por %teinbrenner en )89>. En este caso el factor deinfluencia8spuede expresarse en trminos de las funciones;)y;2, as

*as funciones;) y;2 dependen de las relaciones9/7y:37y se presentan gr+ficamente enla :igura 2.)8


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*os asentamientos superficiales en otros puntos diferentes de las esquinas o debidos a +reascargadas constan de una combinaci!n de formas rectangulares, y pueden determinarseaplicando el principio de superposici!n, como se explic! en los c+lculos de esfuerzo en lasecci!n 2.>e.

Xrea circular con carga uniformemente distribuida*os asentamiento en la superficie debidos a una carga uniforme %que acta sobre una +reacircular flexible de radioest+n dados por

donde el factor de influencia8sdepende del valor de la relaci!n de Poisson y de la distanciaradial desde el centro del +rea &asta el punto en el que se busca el asentamiento. Yalores de8spara una masa de suelo semiinfinita y para dos casos de estratos de suelo de espesor finito:los present! 7erzag&i ")8>9#, y se reproducen en la :igura 2.2K.

E(emplo 2.2.An +rea rectangular flexible de O m de longitud por > m de anc&o aplica unapresi!n uniforme de >K J3m2en la superficie de un estrato de 2K m de espesor de arcillasaturada que reposa sobre el lec&o rocoso. Calcular el incremento en el esfuerzo verticaltotal en la arcilla a una profundidad de M m ba(o el centro y ba(o una de las esquinas del+rea cargada. Calcular tambin el asentamiento diferencial inmediato entre el centro y unaesquina del +rea cargada.

*as propiedades de la arcilla son< m!dulo de elasticidad no drenado 9,MKK J3m2 yrelaci!n de Poisson K.M.

%oluci!n

Para determinar los incrementos en el esfuerzo vertical total ba(o un +rea rectangular

cargada se utiliza el diagrama de :adum de la :igura 2.)K. Para los esfuerzos ba(o el puntocentral, debe dividirse el +rea cargada en cuatro sub+reas y aplicar el principio desuperposici!n. Por tanto, con referencia a la :igura 2.2)

esfuerzos y deform. en una masa de suelo

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